Các đường cong giải tích trên trường không acsimet trong phần bù các ước của siêu diện

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hữu Khởi CÁC ĐƯỜNG CONG GIẢI TÍCH TRÊN TRƯỜNG KHƠNG ACSIMET TRONG PHẦN BÙ CÁC ƯỚC CỦA SIÊU DIỆN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hữu Khởi CÁC ĐƯỜNG CONG GIẢI TÍCH TRÊN TRƯỜNG KHƠNG ACSIMET TRONG PHẦN BÙ CÁC ƯỚC CỦA SIÊU DIỆN Chun ngành : Hình học tơ pô Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN TRỌNG HỊA Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ Toán học với đề tài “Các đường cong giải tích trường khơng Acsimet phần bù ước siêu diện” thực hướng dẫn TS Nguyễn Trọng Hồ, khơng chép Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số thông tin, tài liệu từ nguồn sách, tạp chí liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2016 Học viên thực Nguyễn Hữu Khởi LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Trọng Hồ, Thầy tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành luận Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Thầy Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn tới Thầy khoa Tốn - Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy, giúp đỡ tơi nâng cao trình độ chun mơn suốt q trình học cao học Xin gửi lời cảm ơn Ban Giám hiệu, Phịng Khoa học Cơng nghệ Phịng Sau đại học, Phịng Tổ chức - Hành chính, Phịng Kế hoạch - Tài Trường đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập làm luận văn Và cảm ơn bạn Học viên K25 chia sẻ với nhiều kinh nghiệm học tập, rèn luyện viết luận văn Xin gửi lời chúc sức khỏe, hạnh phúc thành công tới Quý thầy cô, anh chị bạn! Học viên thực Nguyễn Hữu Khởi MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Bảng ký hiệu MỞ ĐẦU .1 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Trường định chuẩn không Acsimet 1.2 Trường số p – adic .5 1.3 Trường số phức p – adic 1.4 Chuỗi lũy thừa 1.5 Hàm chỉnh hình hàm phân hình trường khơng Acsimet 14 1.6 Hàm đặc trưng 19 1.7 Đường cong chỉnh hình 25 1.8 Siêu mặt xạ ảnh 32 Chương ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ 37 2.1 Tập hợp đại số Affin 37 2.1.1 Định nghĩa sơ đại số .37 2.1.2 Không gian affine tập hợp đại số 39 2.1.3 Idean tập hợp điểm 41 2.1.4 Tập đại số mặt phẳng .43 2.2 Đa tạp Affin 46 2.2.1 Vành tọa độ 46 2.2.2 Ánh xạ đa thức 47 2.2.3 Hàm hữu tỷ vành địa phương 47 2.2.4 Sự hóa 50 2.3 Tính chất địa phương đường cong phẳng 51 2.3.1 Điểm bội đường thẳng tiếp xúc 51 2.3.2 Số lần cắt 53 Chương CÁC ĐƯỜNG CONG GIẢI TÍCH TRÊN TRƯỜNG KHƠNG ACSIMET TRONG PHẦN BÙ CÁC ƯỚC CỦA SIÊU DIỆN .61 3.1 Các kết trường hợp tổng quát 61 3.2 Các kết không gian xạ ảnh 64 KẾT LUẬN 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO 71 BẢNG KÝ HIỆU K : trường đóng đại số P n : khơng gian xạ ảnh n chiều   r , f  : số hạng lớn   r , f  : số ứng với số hạng   r , f  H  D  : tập hàm chỉnh hình D M  D  : tập hàm phân hình D W e, f  : định thức Wronski f ứng với sở e UFD : miền nhân tử hoá PID : miền iđêan  V  : vành toạ độ V OP V  : vành địa phương V P FX  P  : đạo hàm riêng F theo biến X P MỞ ĐẦU Một đa tạp phức X gọi hyperbolic (theo nghĩa Brody) ánh xạ giải tích từ mặt phẳng phức vào X ánh xạ Khi nghiên cứu tương tự lý thuyết Nevanlinna xấp xỉ Diophant, nhà toán học, chẳng hạn C Osgood, P Vojta, S Lang rằng, đa tạp tựa xạ ảnh X xác định trường số k hyperbolic mặt giải tích tương ứng tới X có hữu hạn điểm k ' - nguyên với mở rộng hữu hạn k ' k Một vấn đề đặt phần bù siêu mặt P n hyperbolic Hai nhà toán học Kobayashi Zaidenberg đoán rằng, phần bù siêu diện tổng quát Pn với bậc thấp 2n  hyperbolic Có nhiều kết liên quan đến giả thuyết trường số phức Năm 1977, Green kiểm tra giả thuyết trường hợp 2n  siêu phẳng vị trí tổng quát Tổng quát hơn, Babets, Eremenko, Sodin Ru độc lập chứng minh phần bù P n \ { 2n  siêu diện vị trí tổng quát} hyperbolic Khi n  , giả thuyết trường hợp đường cong G Dethloff, G Schumacher, P-M Wong Hyperbolicity Trong trường hợp đường cong C1 , C2 , C3 , G Dethloff, G Schumacher Wong chứng minh P n \ i 1 Ci hyperbolic bậc Ci  2, i  1, 2,3 Khi đường cong Ci đường thẳng, họ chứng minh ánh xạ chỉnh hình f :  P \ Ci i 1 suy biến đại số d1  1, d2  d3  liệt kê tăng dần Nói cách khác, ước lượng số chiều ảnh ánh xạ giải tích từ đến đa tạp phức Ví dụ, dễ thấy ánh xạ giải tích f :  Pn \ { n  siêu diện vị trí tổng quát} suy biến đại số Câu hỏi tương tự đặt trường sở trường không Acsimet Giả sử K trường đóng đại số tùy ý, đầy đủ giá trị tuyệt đối không Acsimet Một đa tạp X K gọi K -hyperbolic ánh xạ giải tích từ K vào X ánh xạ Khác với trường hợp phức, vấn đề dễ dàng nghiên cứu toán hyperbolic trường khơng Acsimet Ví dụ, đường cong đại số xạ ảnh có giống lớn đa tạp Abel K -hyperbolic Như hệ định lý thứ hai Nevanlinna, M Ru (2001) ra, P n \ { n  siêu diện vị trí tổng quát} K -hyperbol Tương tự, sử dụng định lý thứ hai Nevanlinna, T.T.H.An (2007) chứng minh X \{ n  ước siêu diện vị trí tổng qt} K hyperbol, X đa tạp xạ ảnh K  P n ước siêu diện giao siêu diện P n với X Điều dễ thấy ánh xạ giải tích f : K  Pn \  D1  D2  suy biến đại số D1 D2 siêu diện riêng biệt P n Vì vậy, chọn vấn đề: Các đường cong giải tích trường khơng Acsimet phần bù ước siêu diện làm đề tài cho Luận văn Thạc sĩ Kết nội dung báo “Non-archimedean analytic curves in the complements of hypersurface divisors” tác giả Tạ Thi Hoai An, Julie TzuYueh Wang, Pit-Mann Wong, công bố năm 2008 Trước tiên, tơi trình bày kết suy biến đại số ánh xạ giải tích trường không Acsimet bỏ qua ước siêu diện đa tạp xạ ảnh trơn Tiếp theo nghiên cứu K -hyperbolic cho phần bù siêu diện khơng gian xạ ảnh Luận văn gồm có chương sau: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Đường cong đại số Chương Các đường cong giải tích trường khơng Acsimet phần bù ước siêu diện Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm tính chất có liên quan đến đề tài nghiên cứu như: trường định chuẩn không Acsimet mà tiêu biểu trường số phức p-adic; hàm chỉnh hình, hàm phân hình, đường cong giải tích (chỉnh hình), siêu mặt xạ ảnh,… Các nội dung chương có tài liệu tham khảo [2], [3] 1.1 Trường định chuẩn không Acsimet Định nghĩa 1.1 Cho K trường, chuẩn K hàm :K  i   ii   iii    0,   thỏa mãn: x 0  x0; xy  x y , x, y  K ; x y  x  y , x, y  K Chuẩn gọi chuẩn khơng Acsimet thỏa mãn  i  ,  ii  điều kiện sau:  iv  x  y  max  x , y  , x, y  K 1 : x  K* 0 : x  Chuẩn gọi tầm thường x   Chuẩn gọi trù mật tập K   x x  K  trù mật  Nếu chuẩn khơng Acsimet, ta có x  y  max  x , y  x  y Một chuẩn K cảm sinh hàm khoảng cách d định nghĩa : d  x, y   x  y , x, y  K Với số thực  dương r điểm xK , ta kí  hiệu K  x; r   y  K d  x, y   r ; K  x; r    y  K d  x, y   r cầu mở ; đóng bán kính r tâm x Và kí hiệu mặt cầu tương ứng :   K x; r  y  K d  x, y   r  K  x; r   K  x; r  Nếu chuẩn khơng Acsimet mê-tric cảm sinh d thỏa mãn: d  x, y   max d  x, z  , d  z, y  , x, y, z  K Hệ 1.2 Giả sử K trường định chuẩn không Acsimet, ta có: 1 Nếu y  K  x; r  K  y; r   K  x; r  Nếu y  K x; r K  y; r   K x; r  K  x; r  , K  x; r  , K x; r tập vừa đóng, vừa mở  Hai hình cầu mở (hình cầu đóng) rời chứa Bổ đề 1.3 Một chuẩn trường K chuẩn khơng Acsimet kết hợp với hàm định giá v thỏa mãn điều kiện sau : 1 v  x    x  ;  v  xy   v  x   v  y  , x, y  K ;  v  x  y   v  x  , v  y  , x, y  K   Nếu chuẩn không Acsimet, tập hợp K  K 0;1  x  K x  vành K gọi vành định giá Tập hợp K  0;1 idean K gọi idean định giá Hơn nữa, K  0;1 idean tối đại K , phần tử tập phần bù K 0;1 nghịch đảo K 57   Rõ ràng  ,  toàn ánh V I mn , F , G  P nên  đẳng cấu (theo hệ tính chất idean với hữu hạn số khơng điểm) Điều chứng tỏ dòng dãy khớp phải ta có : dim  k  X , Y  / I n   dim  k  X , Y  / I m   dim  Ker    , dấu xảy  ánh xạ 1-1 :   dim k  X , Y  /  I n m , F , G   dim  k  X , Y  / I m n   dim  Ker    Tổng hợp tất điều này, ta có chuỗi bất đẳng thức sau :  I  P, F  G   dim   /  F , G    dim  /  I m  n , F , G    dim k  X , Y  /  I m n , F , G     dim  k  X , Y  / I m n   dim  k  X , Y  / I m   dim  k  X , Y  / I n   mn, dấu xảy dấu bất đẳng thức đồng thời xảy Dấu ‘ = ’ thứ có  đẳng cấu, nghĩa I mn   F , G   Dấu ‘=’ thứ có  ánh xạ 1-1 Tính chất (5) suy từ hệ bổ đề sau: Bổ đề 2.15  i  Nếu F G tiếp tuyến chung P I t   F , G   với t  m  n 1  ii   ánh xạ 1-1 F G có tiếp tuyến phân biệt P Ví dụ : Ta tính tốn số giao I  P, E  F  , với E   X  Y   X 2Y  Y F   X  Y   X 2Y , điểm P  0,  ví dụ 2.3.1 Chúng ta bỏ   qua phần xấu F cách thay F F  X  Y E  58 Y  X   Y Y  X   X 2Y = YG Vì khơng có phương pháp rõ ràng để tìm I  P, E  G  nên ta ứng dụng vào quy trình chứng minh để bỏ qua hạng tử X Thay G G  3E , ta Y  X  3Y  4Y  X 2Y   YH Khi I  P, E  F   I  P, E  Y   I  P, E  H  Mặt khác, I  P, E  Y   I  P, X  Y   ; I  P, E  H   mP  E  mP  H   (theo (5)) Vậy I  P, E  F   14 Ngoài ta cịn có tính chất số lần cắt hai đường cong 8 Nếu P điểm đơn F I  P, F  G   ord PF G    Nếu F G khơng có thành phần chung :  I  P, F  G   dim  k  X ,Y  /  F , G   k P Định lý 2.16 (Định lý Bezout) Cho F G đường cong xạ ảnh phẳng tương ứng với bậc m n Giả sử F G thành phần chung Khi  I  P, F  G   mn P Chứng minh : Do F  G hữu hạn phép biến đổi tọa độ xạ ảnh, cần thiết ta giả sử khơng có điểm F  G nằm đường thẳng vô tận Z  Khi  I  P, F  G    I  P, F  G   dim k  X , Y  /  F , G  * P P định nghĩa số lần cắt * k * * tính chất   59 Đặt *  k  X , Y  /  F* , G*  ,   k  X , Y , Z  /  F , G  , R  k  X , Y , Z   d biểu mẫu không gian vec-tơ bậc d  Định lý chứng minh ta chứng minh dim *  dim d dim d  mn với d đủ lớn Bước 1: dim d  mn với d  m  n Gọi  : R   ánh xạ tự nhiên;  : R  R  R định nghĩa   A, B   AF  BG  : R  R  R định nghĩa   C    GC ,  FC  Do F G khơng có nhân tử chung, nên ta có dãy khớp sau:      R   R  R   R     0 Nếu ta hạn chế ánh xạ đến biểu mẫu với bậc khác nhau, ta nhận dãy khớp:      Rd mn   Rd m  Rd n   Rd   d  0 Ta suy dim Rd   d  1 d   , dim d  mn d  m  n   Bước 2: Ánh xạ  :    xác định  H  ZH ánh xạ 1-1, dấu gạch ngang kí hiệu cho mơ-đun thặng dư  F , G  Ta phải chứng minh ZH  AF  BG H  A ' F  B ' G với A ', B ' Với J  k  X , Y , Z  , ta tạm thời kí hiệu J  X , Y ,0   J Vì F , G Z khơng có chung khơng điểm, F0 G0 hai biểu mẫu nguyên tố k  X , Y  Nếu ZH  AF  BG , A0 F0   B0G0 , B0  F0C A0  G0C với C thuộc k  X , Y  Đặt A1  A  CG , B1  B  CF Do  A1 0   B1 0  , ta có A1  ZA ' , B1  ZB ' với A ', B ' Và ZH  A1F  B1G , ta suy H  A ' F  B ' G (đúng mệnh đề đặt ra) Bước 3: Cho d  m  n chọn A1 , , Amn  Rd phần lại d làm sở cho  d Gọi Ai*  Ai  X , Y ,1  k  X , Y  phần cịn lại Ai* * Khi a1 , , amn sở * 60 Chú ý ánh xạ  bước cảm sinh đẳng cấu từ  d vào d 1 d  m  n , ánh xạ tuyến tính 1-1 khơng gian vec-tơ vào khơng gian vec-tơ có số chiều nên đằng cấu Từ suy phần lại Z r A1 , , Z r Amn sở  d  r với r  Các hệ sinh * : h  H * , H  k  X , Y  Z N H * biểu mẫu mn với bậc d  r , Z N H *   i Z r Ai  BF  CG với i  k ; B, C  k  X , Y , Z  i 1  Khi H  Z N H *    A i * i*  B*F*  C*G* , h   i (là điều muốn có) Các độc lập : Giả sử  a i i  , Z r  i Ai  Z s B* F  Z t C *G với r , s, t Mặt khác   A  BF  CG   Z A  Z A i i* * r i * r i i Do sở nên i  Ta kết thúc việc chứng minh Ta có hệ cần lưu ý sau: Hệ 2.17 Nếu F G khơng có thành phần chung :  m  F  m G   deg  F .deg G  P P P Hệ 2.18 Nếu F G gặp mn điểm phân biệt với m  deg  F  , n  deg  G  tất điểm điểm đơn F G Hệ 2.19 Nếu hai đường cong có bậc m n có khơng q mn điểm chung chúng có phần chung 61 Chương CÁC ĐƯỜNG CONG GIẢI TÍCH TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET TRONG PHẦN BÙ CÁC ƯỚC CỦA SIÊU DIỆN Phần chúng tơi trình bày kết toán K-hyperbolic nghiên cứu trường hợp tổng quát kết cụ thể không gian xạ ảnh P2 Nội dung chương có tài liệu tham khảo [1] 3.1 Các kết trường hợp tổng quát Định nghĩa 3.1 Cho X đa tạp xạ ảnh n chiều Một tập hợp gồm q ước hữu hiệu D1 , , Dq X gọi vị trí tổng quát : i q  n , số đối chiều phép giao q Dq X q ; j 1 ii q  n  , tập hợp n  phần tử i0 , , in  tập hợp 1, , q thỏa n j 0 Di j   Định lý 3.2 Cho X đa tạp xạ ảnh không kỳ dị n chiều P N  K  , F1 , , Fq , q  đa thức không đa tạp N  Di  X  Fi  0 ,  i  q ước X vị trí tổng quát Giả sử f ánh q xạ giải tích từ K vào X \ Di i 1 62 Khi ảnh f chứa đa tạp X với đối chiều n  1, q  X Đặc biệt, f suy biến đại số q  , X \ q Di i 1 K -hyperbolic q  n  Ví dụ: Cho X  P n D1 , , Dq , q  n , siêu phẳng tọa độ  X n  0 Giả sử X nq 1  0 , , f , , f nq hàm K - giải tích khơng phụ thuộc đại số Khi f   f0 , f1 , , f nq ,1, ,1 ánh xạ giải tích khơng vào q Pn \ Di , đối chiều ảnh miền đóng Zariski q  i 1 Chúng ta sử dụng kết tốt định lý Picard trường không Acsimet Bổ đề 3.3 Cho C đường cong xạ ảnh bất khả quy Khi C \{2 điểm riêng biệt} K-hyperbolic Chứng minh Định lý 3.2 : Kí hiệu di : deg Fi đặt l bội số chung nhỏ d i ,  i  q Bỏ qua hao hụt tính tổng quát, giả sử Fi  d cho  i  q sau thay Fi Fi l / di Giả sử  f , , f N  đại diện tối giản f , nghĩa f0 , , f N hàm K -giải tích thơng thường khác không đường cong f   f0 : : f N  Khi f : K  X \ q Di mặt định Fi  f , , f N  1  i  q  hàm giải tích i 1 khác không Theo định lý Picard trường không Acsimet, Fi  f0 , , f N  số khác không với  i  q Do tồn số khác không c2 , ,cq cho Fi  f  z    ci F1  f  z    , z  K  i  q Giả sử Wi tập đại số 63 q P N xác định Fi  ci F1  Khi ảnh f chứa W  X Wi i 2 Ta chứng minh đối chiều phép hợp thành W q  q  n W tập hợp hữu hạn điểm q  n  Trước tiên ta xét trường hợp q  n , ta có q Di i 1 khác rỗng Giả sử x  q Di Mà X bất khả quy nên đủ để tính tốn i 1 đối chiều W tập hợp mở X Trong chứng minh, cần lân cận mở U x chứa x Quy hoạch hệ tọa độ cần thiết, ta giả sử X  x   kí hiệu Fi  Fi / X 0d với  i  q Khi định nghĩa phương trình Wi U x thay  3.1 i : Fi  ci F1 ,  i  q Ta chứng minh  Fi ,  , ,  q  dãy Cauchy vành địa phương  X , x ,  , ,  q  mặt định đối chiều phép hợp thành W X      q  Cho  r  q , rõ ràng F1 ,  , ,  r  F1 , , Fr idean   X , x Giả sử  r ước không  X , x / F1 ,  , ,  r 1   Khi tồn G   X , x G  F1 ,  , ,  r 1 cho       G Fr  cr F1  F1 ,  , ,  r 1  F1 , , Fr   Điều cho thấy GFr  F1 , , F r 1     Từ giả thiết G  F1 ,  , ,  r 1  F1 , , F r 1 , nghĩa  F1 , , F q  không dãy Cauchy  X , x Tuy nhiên, D1 , , Dq vị trí tổng quát nên  F1 , , F q  64 dãy Cauchy  X , x (mâu thuẫn) Vì  Fi ,  , ,  q  dãy Cauchy vành địa phương  X , x Khi q  n  , suy từ chứng minh trước đối chiều X  W2   Wn n  Do ảnh f chứa đường cong bất khả quy Từ điều kiện q  n  D1 , , Dq vị trí tổng quát, rõ ràng tập  q  C   Di  tập nhỏ chứa điểm riêng biệt Do đó, ảnh f chứa  i 1  đường cong C bỏ điểm, nên f số theo Bổ đề 3.3 3.2 Các kết không gian xạ ảnh Định nghĩa 3.4 Các siêu diện không kỳ dị D1 , , Dn cắt ngang n  K  với điểm P  n n Di , i 1 i 1  Di , P   P Ở  Di , P không gian tiếp xúc với Di P Định lý 3.5 Cho siêu diện không kỳ dị D1 , , Dn cắt ngang n  K  Khi n n \ i 1 Di K-hyperbolic deg Di  với  i  n Chú ý: Sự giả thuyết bậc siêu diện mũi nhọn Ví dụ, trường   hợp  , chọn D1   X  0 D2  X 02  X12  X 22  đặt f  z   1, z , z  Dễ dàng kiểm tra D1 D2 cắt ngang f ánh xạ giải tích khơng vào 2 \  D1  D2  Trong trường hợp  n tổng quát, chọn D1   X  0 , Di   X 02  ai1 X12   ain X n2  0 với ai1   ain  ,1  i  n Hơn nữa, giả sử n  n  ma trận ma trận a  ij i , j ,  i  n ,  j  n , có hạng n  Khi siêu diện cắt ngang Do ánh xạ giải tích f  z   1, z , z, , z  không cắt siêu diện Di nào,  i  n 65 Chứng minh: Giả sử tồn ánh xạ giải tích f : K   n \ n Di Theo Định lý 3.2, i 1 thấy ảnh f chứa đường cong bất khả quy C Khi n  f ánh xạ giải tích từ K vào C \ Di Nếu C   Di  gồm i 1  i 1  n điểm, suy từ Bổ đề 3.3 f số Vấn đề cịn lại cần n  xem xét C   Di  gồm điểm P Vì dim C  dim Di  n  , ta có  i 1  C  Di   với i Theo định lý Bezout, ta có : I  P, C  Di   deg C.deg Di  deg Di  , i Di ,P  P , i Do đó, C ,P n Từ giả thiết i 1  Di , P   P , điều chứng minh C phải có đường tiếp xúc khác điểm P Gọi  : C  C chuẩn hóa C , #  1  P   Nếu f : K  C \  P phép nâng f : K  C bỏ qua  1  P  chứa điểm f số f   f số Phần cịn lại chương này, ta nghiên cứu tính đặc biệt trường hợp n  Định nghĩa 3.6 Cho D đường cong với bậc d   Một điểm không kỳ dị P D gọi điểm uốn cực đại tồn đường cắt D P với bội số d Chú ý: Đường cong X d  YZ d 1  có điểm uốn cực đại P  0,0,1 d  Mỗi đường bậc trơn có điểm uốn cực đại (kể đếm bội số), thực điểm uốn Một đường cong tổng quát với bậc d  khơng có điểm uốn cực đại 66 Bổ đề 3.7 2 \ D1 D2  không K-hyperbolic :  i  deg D1  1và deg D2   ii  deg D1  deg D2  D1 , D2 tiếp xúc Chứng minh :  i  Chúng ta xây dựng ánh xạ giải tích không f từ K vào 2 \ D1 D2  , nghĩa 2 \ D1 D2  không K-hyperbolic Đầu tiên ta xem xét deg D1  deg D2  Gọi P giao điểm D1 D2 , L  Di , i  1,2 , đường thẳng qua P Nếu ta xây dựng ánh xạ giải tích khơng f từ K vào  cho ảnh chứa L \ P f ánh xạ giải tích khơng vào 2 \ D1 D2  Thật vậy, phép biến đổi tuyến tính tọa độ, giả sử P  0, 0,1 ; D1   X  0 D2   X  0 Đặt f  z   1,1, z  , D1  f   D2  f   Rõ ràng ảnh nằm L \ P với L   X  X  0 Nói cách khác, f ánh xạ giải tích khơng từ K vào 2 \ D1 D2  Tiếp theo, xem xét degD1  degD2  Trong trường hợp này, giao D1 D2 chứa nhiều điểm riêng biệt Nếu giao chứa điểm P , D1 tiếp xúc với D2 P Chúng ta kéo dài ánh xạ giải tích khơng cho ảnh đường bậc tiếp xúc với D1 P bỏ qua P Thật vậy, sau biến đổi tọa độ, giả sử D1   X  0 P   0,0,1 , ta định nghĩa D2 a0 X 02  a1 X12  a2 X X1  a3 X X  0 Vì D2 khơng kỳ dị nên bất khả quy Do đó, giả sử thêm a1  a3  Không tính tổng quát, ta cho a3  Bây giờ, giả sử 67 f  z   1, z,1  a0  a2 z  a1z  Khi D1  f   D2  f   , điều cho thấy f ánh xạ giải tích khơng từ K vào 2 \ D1 D2  Nếu giao D1 D2 chứa điểm, D1 không đường thẳng tiếp xúc D2 Trong trường hợp này, kéo dài ánh xạ giải tích khơng để ảnh đường thẳng tiếp xúc với đường bậc điểm giao D1 D2 bỏ điểm giao Khi việc xây dựng ánh xạ f hoàn toàn tương tự trước Trong trường hợp  ii  , D1 D2 tiếp xúc nên có xác điểm giao, ta kí hiệu P Chúng ta kéo dài ánh xạ giải tích khơng cho ảnh chứa tiếp tuyến chung đường bậc hai D1 D2 bỏ P Và ta xây dựng ánh xạ f tương tự Định lý 3.8 Cho D1 D2 đường cong xạ ảnh không kỳ dị  Giả sử D1 D2 cắt ngang deg D1  deg D2 Khi 2 \ D1 D2  K-hyperbolic deg D1 ,deg D2  deg D1  1, deg D2  D1 không cắt D2 điểm uốn cực đại Chứng minh : Nếu deg D1 ,deg D2  theo Định lý 3.5  \  D1 D2  K-hyperbolic Bây giờ, xem xét deg D1  1,deg D2  D1 không cắt D2 điểm uốn cực đại D2 Cho f : K  2 \  D1 D2  ánh xạ giải tích Nếu f ánh xạ giải tích khơng hằng, theo Định lý 3.2, ảnh f chứa mặt cong bất khả quy C Nói cách khác, có ánh xạ giải tích f : K  C \  D1   Di  gồm điểm,  i 1  D2  Theo Bổ đề 3.3, C  mặt khác f phải số Giả sử C n   Di  gồm điểm P Nếu  i 1  68 deg C  theo định lý Bezout, ta có : I  P, C  Di   C.Di  deg C.degDi  deg C  , với i  1, Khi lý luận phần chứng minh Định lý 3.5 chứng tỏ f phải số Do đó, vấn đề lại xem xét deg C  Trong trường hợp này, I  P, C  Di   degD2 P  D1 D2 Điều cho thấy P điểm uốn cực đại D2 D1 cắt D2 P , (mâu thuẫn với giả thiết) Vậy f phải ánh xạ Chiều ngược lại, chứng minh Bổ đề 3.7 2 \ D1 D2  không K-hyperbolic deg D1  deg D2  Khi việc cịn lại cần chứng minh cho trường hợp deg D1  1, deg D2  D1 cắt D2 điểm uốn cực đại D2 Không tính tổng quát, ta cho P   0,0,1 điểm uốn cực đại D2 L   X  0 đường thẳng tiếp xúc D2 P Khi bội số giao  L, D2  degD2 , L D2   P định lý Bezout Mặt khác, xem D1 cắt ngang D2 , D1  L Hơn nữa, P  D1 , D1 định nghĩa bX0  X1 Đặt f   0,1, z  : K   Khi D1  f   ảnh f chứa L Vì L D2   P P   0, 0,1  f  K  , f  K  D2   Điều chứng tỏ trường hợp này,  \  D1 D2  không K-hyperbolic Tương tự dự đốn Kobayashi – Zaidenberg trường khơng Acsimet cho trường hợp  bỏ đường cong tổng quát, ta suy hệ sau Hệ 3.9 Cho D1 D2 đường cong tổng quát riêng biệt  Nếu deg D1  deg D2   \  D1 D2  K-hyperbolic Chứng minh : Vì đường cong cắt ngang điều kiện tổng quát, theo định lý trước ta cần kiểm tra đường cong tổng quát D1 D2 với deg D1  deg D2  , D1 khơng cắt D2 điểm uốn cực đại Ta biết đường cong tổng quát D2 với bậc tối thiểu khơng có điểm uốn cực đại Trường hợp 69 đường cong D2 có bậc có tối đa điểm uốn cực đại Trong trường hợp này, đường thẳng tổng quát D1 không cắt D2 điểm uốn cực đại Do hệ trực tiếp suy từ Định lý 3.8 70 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số nội dung sau đây: Các khái niệm, tính chất trường khơng Acsimet; khái niệm hàm chỉnh hình, hàm phân hình đường cong giải tích trường khơng Acsimet, trọng khơng gian xạ ảnh Đặc biệt sử dụng hai định lý lớn Picard – Berkovich định lý Bezout để xác định ánh xạ số lần giao đường cong Đây sở tiền đề dùng để chứng minh đường cong giải tích C K hyperbolic Luận văn nghiên cứu tương tự giả thuyết Kobayashi Zaidenberg trường không Acsimet cho trường hợp “  bỏ đường cong tổng quát riêng biệt K -hyperbolic tổng bậc chúng lớn 4” Đồng thời nêu lên kết cụ thể phần bù ước siêu diện đường cong có bậc bé Vì khn khổ giới hạn cho phép luận văn nên việc nghiên cứu dừng lại mục nêu kết trường hợp tổng quát chứng minh chúng K hyperbolic không K -hyperbolic Cuối cùng, luận văn nghiên cứu soạn thảo cách nghiêm túc với vốn kiến thức cịn hạn chế khiến cho sai sót điều tránh khỏi Rất mong góp ý Q thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh [1] T T H An, Julie.T.Y Wang, Pit-Mann Wong (2008), Non-archimedean analytic curves in the complements of hypersurface divisor, Journal of Number Theory 128 , pp 2275-2281 [2] Pei-Chu Hu and Chung-Chun Yang (2000), Meromorphic functions over nonarchimedean field, Lon Don [3] William Allen Chery (1993), Hyperbolic p-adic analytic spaces, USA [4] William Fulton (2008), Algebraic curves, Singapore [5] William Allen Chery (1994), Non-archimedean analytic curves in abelian varieties, Math Ann., 300, pp 393-404 [6] Neal Koblitz (1948), p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Funtions, USA [7] Bebets V A (1984), Picard-type theorems for holomorphic mappings, Siberian Math J.25, pp 195-200 ... phương đường cong phẳng 51 2.3.1 Điểm bội đường thẳng tiếp xúc 51 2.3.2 Số lần cắt 53 Chương CÁC ĐƯỜNG CONG GIẢI TÍCH TRÊN TRƯỜNG KHƠNG ACSIMET TRONG PHẦN BÙ CÁC ƯỚC CỦA SIÊU...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hữu Khởi CÁC ĐƯỜNG CONG GIẢI TÍCH TRÊN TRƯỜNG KHƠNG ACSIMET TRONG PHẦN BÙ CÁC ƯỚC CỦA SIÊU DIỆN Chuyên ngành : Hình học... sau: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Đường cong đại số Chương Các đường cong giải tích trường khơng Acsimet phần bù ước siêu diện 3 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương trình bày khái niệm tính