Mối quan hệ của số khuyết với đường cong giải tích xạ ảnh trên trường không acsimet

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đỗ Thị Thanh Huyền MỐI QUAN HỆ CỦA SỐ KHUYẾT VỚI ĐƯỜNG CONG GIẢI TÍCH XẠ ẢNH TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đỗ Thị Thanh Huyền MỐI QUAN HỆ CỦA SỐ KHUYẾT VỚI ĐƯỜNG CONG GIẢI TÍCH XẠ ẢNH TRÊN TRƯỜNG KHƠNG ACSIMET Chun ngành: Hình học tôpô Mã số: 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN TRỌNG HỊA Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng sở công trình tác giả Tạ Thị Hồi An cơng bố năm 2008 tác giả Min Ru công bố năm 2001 Các số liệu, kết luận văn trung thực xác Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2015 Đỗ Thị Thanh Huyền LỜI CÁM ƠN Trong suốt q trình học tập hồn thành luận văn này, nhận hướng dẫn, giúp đỡ quý báu thầy cô, anh chị bạn Với lịng kính trọng biết ơn sâu sắc xin bày tỏ lời biết ơn chân thành tới: Ban giám hiệu, phòng sau đại học, khoa Toán-Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tơi q trình học tập thực bảo vệ luận văn Tiến sĩ NGUYỄN TRỌNG HÒA, người thầy hướng dẫn tận tình, chu đáo hết lịng giúp đỡ tơi suốt q trình học tập làm luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc thầy Tơi xin chân thành cảm ơn q thầy khoa Tốn- Tin trực tiếp giảng dạy, trang bị cho kiến thức làm tảng cần thiết để tơi hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đế bạn đồng mơn lớp cao học khóa 24 giúp đỡ tơi tận tình đồng hành suốt hai năm học tập trường Và cuối cùng, tơi cám ơn gia đình, người thân, bạn bè động viên, chia sẻ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình tơi thực đề tài Một lần xin chân thành cảm ơn! MỤC LỤC Trang LỜI CAM ĐOAN LỜI CÁM ƠN MỤC LỤC Những ký hiệu dùng luận văn MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Trường định chuẩn không Acsimet, trường số phức p − adic 1.1.1 Trường định chuẩn không Acsimet 1.1.2 Không gian p − adic 1.1.3 Trường số p − adic 1.1.4 Trường số phức p − adic 11 1.2 Hàm chỉnh hình hàm phân hình trường khơng Acsimet 13 1.2.1 Hàm chỉnh hình hàm phân hình 13 1.2.2 Các hàm đặc trưng Nevanlinna hàm chỉnh hình 20 1.2.3 Các hàm đặc trưng Nevanlinna hàm phân hình 22 Chương LÝ THUYẾT PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ NEVANLINNA 26 2.1 Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình 26 2.2 Quan hệ số khuyết với hàm phân hình 33 2.3 Lý thuyết Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình 35 2.3.1 Đường cong chỉnh hình 35 2.3.2 Lý thuyết Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình 38 Chương MỐI QUAN HỆ CỦA SỐ KHUYẾT VỚI ĐƯỜNG CONG GIẢI TÍCH XẠ ẢNH TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET 43 3.1 Định nghĩa kí hiệu 43 3.2 Mối quan hệ số khuyết với đường cong giải tích xạ ảnh trường không Acsimet 45 3.3 Mở rộng 51 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 Những ký hiệu dùng luận văn • K: trường, • K ( x; r ) = y ∈ K d ( x, y ) < r : hình cầu mở K, • K [ x; r ] = y ∈ K d ( x, y ) ≤ r : hình cầu đóng K, • K x; r = y ∈ K d ( x, y ) = r : đường tròn K, • log p : hàm logarit thực số p, • ln = log e : logarit Napier (log Nê-pe), { } { } { } • υ p ( x ) : định giá liên kết với chuẩn , • p : chuẩn p − adic , •  p : trường số p − adic •  p : bao đóng đại số  p , •  p : trường số phức p − adic, •  (= f ( z) = r (K)  ∞ ∑a z n =0 n n an ∈ K, bán kính hội tụ r ≥ r} , m (r , f ) = max an r n n≥0 •  ( K ) = ( ∞ ( K ) : tập hàm nguyên K, • m (r , f ) = max an r n : số hạng lớn f , n≥0 { } • υ (r , f ) max = = n an r n m (r , f ) : số ứng với số hạng lớn µ (r , f ) (chỉ số n≥0 tâm), • R ( D ) : tập tất hàm hữu tỉ h( z ) ∈ K( z ) khơng có cực điểm D, • H ( D ) : đầy đủ hóa R ( D ) với tôpô sinh chuẩn hội tụ D, •  ( D ) : tập hàm giải tích D, • K ( a; ρ ) : đĩa giải tích tối đại D, •  ( D ) : trường hàm phân thức  ( D ) , • K ) � ( K ( 0; = ∞ ) )  ( K ) : tập hàm phân hình K, (= ∞( •   n  r,  : hàm đếm f a, đếm số không điểm (kể bội) f − a, với  f −a giá tri tuyệt đối khơng vượt q r , •   n  r,  : hàm đếm số không điểm phân biệt f a K [ 0; r ] ,  f −a • f  1 n ( r , f ) = n  r ,  : số cực đểm kể bội hàm phân hình f = K [ 0; r ] , f0  f0  • f  1 n ( r , f ) = n  r ,  : số cực đểm phân biệt hàm phân hình f = K [ 0; r ] , f0  f0  •   N  r,  : hàm giá trị f a,  f −a •   N  r,  : hàm giá trị (phân biệt) f a, f a −   •     − n  0, n  t,   f −a  f − a  dt + n  0,  log r , < r < r , N ( r, f = a ) = ∫  ( )   t  f −a r • f  1 N ( r , f ) = N  r ,  : với f = , f0  f0  • f  1 N ( r , f ) = N  r ,  với f = , f0  f0  + •= m(r , f ) log = m (r , f ) max {0, log m ( r , f )} : hàm xấp xỉ f trêm K [ 0; r ] , • T= ( r , f ) m ( r , f ) + N ( r , f ) : hàm đặc trưng f K [0; r ] , •  1 N Ram (r , f ) = N (r , f ) − N ( r , f ' ) + N  r , '  : số hạng nhánh,  f  • •     m  r, N  r,  f −a f − a    = − lim sup δ f ( a ) = lim inf : số khuyết f a, r →∞ r →∞ T ( r, f ) T ( r, f ) Km = K × × K : không gian vectơ phức m − chiều,   m • : N ( K ) : khơng gian xạ ảnh phức N − chiều • D ( r0 , ,= rN ) K ( 0; r0 ) ×  × K ( 0; rN ) , • f ( r0 , , rN ) = max aγ r γ : chuẩn hàm chỉnh hình 0≤ γ ≤∞ f ( z0 , , z N ) đa đĩa D ( r0 , , rN ) , • T f ( r ) = log f r , với = f r max = f k r max m ( r , f k ) : hàm đặc trưng Nevanlinna 0≤ k ≤ N 0≤ k ≤ N đường cong chỉnh hình f , • Q : đa thức N + biến với hệ số thuộc K bậc d , • n f ( r , Q ) : số không điểm, tính bội, Q  f thuộc B [ r ] , • N f ( r, Q ) = r ∫ n f ( t , Q ) − n f ( 0, Q ) t • • m f ( r , Q ) = log f dt + n f ( 0, Q ) log r : hàm đếm, d r Q f : hàm xấp xỉ, r { } X ( P1 , , Pr ) = 0, i = 1, , r : đa tạp đại [ x0 : x1 : : xN ] ∈ : N ( K ) Pi ( x0 , x1, , , xN ) = số xác định đa thức P1 , , Pr , { } • N D ( P) = : siêu mặt  ( K ) , [ x0 : x1 : : xN ] ∈ : N ( K ) P ( x0 , x1, , , xN ) = • d f ( D ) = lim inf r →∞ m f ( r, D ) ( deg D ) T f ( r ) : số khuyết f siêu mặt D MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna xây dựng thành tựu toán học đẹp kỷ XX, gọi Lý thuyết phân bố giá trị mặt phẳng phức Lý thuyết Nevanlinna Nội dung hai định lý Định lý thứ mở rộng Định lý đại số, mô tả phân bố giá trị hàm phân hình khác mặt phẳng phức Định lý thứ hai mở rộng Định lý Picard, mô tả ảnh hưởng đạo hàm đến phân bố giá trị hàm phân hình Lý thuyết Nevanlinna p − adic chiều xây dựng Hà Huy Khoái, Mỵ Vinh Quang phát triển W Cherry, A Boutabaa, P Hu, C.C Yang,… Nhu cầu xây dựng lý thuyết Nevanlinna nhiều chiều xuất phát từ xem xét định lý Nevanlinna trường hợp nhiều biến Năm 1991, Hà Huy Khoái xây dựng khái niệm độ cao điểm tới hạn hàm chỉnh hình p-adic nhiều biến sở liên hệ lý thuyết hàm không Acsimet với hình học tổ hợp, ý tưởng hình học chưa chứng minh chi tiết Ý tưởng dùng khái niệm điểm tới hạn để nghiên cứu khơng điểm hàm chỉnh hình p-adic nhiều biến nhát cắt xác định họ siêu phẳng để chuyển việc nghiên cứu hàm chỉnh hình p-adic nhiểu biến nghiên cứu họ hàm chỉnh hình p-adic biến tương ứng cảm sinh từ hàm cho Năm 1995, Hà Huy Khoái đưa phiên p-adic công thức Poisson-Jensen cho hàm nhiều biến Năm 1997, Cherry Ye xét hàm phân hình nhiều biến hạn chế đường thẳng chung qua gốc tọa độ, chứng minh hàm đếm cho hàm biến không phụ thuộc vào việc chọn đường thẳng qua gốc tọa độ Đây chìa khóa để Cherry-Ye xây dựng Định lý Quan hệ số khuyết ánh xạ chỉnh hình p-adic họ siêu phẳng vị trí tổng quát không gian xạ ảnh  n ( p ) Họ dùng nhận xét để định nghĩa hàm đếm định lý hàm biến, dẫn đến công thức Poisson-Jensen cho hàm nhiều biến Công thức họ đưa mối quan hệ modun hàm biên 43 Chương MỐI QUAN HỆ CỦA SỐ KHUYẾT VỚI ĐƯỜNG CONG GIẢI TÍCH XẠ ẢNH TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET Trong chương này, ta mở rộng kết đường cong giải tích (đường cong chỉnh hình) lên đa tạp tùy ý khơng gian xạ ảnh trường đóng đại số đầy đủ với chuẩn khơng Acsimet K 3.1 Định nghĩa kí hiệu Trước tiên ta nhắc lại định nghĩa đa tạp đại số, đa tạp xạ ảnh, số khuyết đường cong giải tích siêu mặt Định nghĩa 3.1.1 Giả sử P1 , , Pr ∈ K [ x0 , , xN ] đa thức Tập hợp { } X ( P1 , , Pr ) = 0, i = 1, , r [ x0 : x1 : : xN ] ∈ : N ( K ) Pi ( x0 , x1, , , xN ) = gọi đa tạp đại số xác định P1 , , Pr Trang bị cho đa tạp đại số tơpơ khơng gian xạ ảnh phức ta đa tạp xạ ảnh Định nghĩa 3.1.2 Một siêu mặt  N ( K ) đa tạp xạ ảnh xác định đa thức P sau: 44 } { D ( P) = [ x0 : x1 : : xN ] ∈ : N ( K ) P ( x0 , x1, , , xN ) = Bậc siêu mặt bậc đa thức P Định nghĩa 3.1.3 Cho f : K → : N ( K ) đường cong giải tích khác thuộc khơng gian xạ ảnh f = ( f , , f N ) phép biểu diễn thu gọn f , f , , f N hàm ngun K khơng có chung khơng điểm hàm khác Cho D siêu mặt thuộc  N ( K ) bậc d Q (dạng) đa thức thuần N + biến với hệ số thuộc K xác định D Ký hiệu N f ( r, D ) = N f ( r, Q ) m f ( r, D ) = m f ( r, Q ) hàm đếm hàm xấp xỉ Ta có m f ( r , D ) độc lập với cách chọn dạng xác định Q Định nghĩa 3.1.4 Tập hợp q ≥ N + siêu mặt D1 , , Dq với dạng xác định liên kết Q1 , , Qq , gọi vị trí tổng quát  N ( K ) họ Q1 , , Qq chấp nhập, nghĩa với tập hợp {i0 , , iN } {1, , q} lực lượng N + 1, {x ∈ : N 0, j = 0, , N } = ∅ ( K ) : Qi ( x ) = j Định nghĩa 3.1.5 Số khuyết δ f ( D ) f siêu mặt D cho bởi: 45 d f ( D ) = lim inf r →∞ m f ( r, D ) ( deg D ) T f ( r ) Nhận xét: Từ định lý 2.3.2.2 (Định lý thứ nhất) ta < δ f ( D ) ≤ 3.2 Mối quan hệ số khuyết với đường cong giải tích xạ ảnh trường khơng Acsimet Kết Lý thuyết Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình định lý 2.3.2.5 với giả thiết cho đa thức Q1 , , Qq bậc d Trong phần ta xét đa thức không bậc (tức Qi có bậc di , ≤ i ≤ q ) dẫn đến siêu mặt có bậc khác Do từ định lý 2.3.2.5 ta có định lý sau: Định lý 3.2.1 (Định lý Ru) Cho D1 , , Dq siêu mặt thuộc  N ( K ) vị trí tổng quát Cho f đường cong giải tích khác từ K đến  N ( K ) cho ảnh không chứa siêu mặt D1 , , Dq Khi với số thực dương r , ta có q m f ( r, D j ) j =1 deg D j ∑ ≤ NT f ( r ) + O (1) , O (1) số độc lập với r Chứng minh: Với j = 1, , q, cho Q j đa thức K [ x0 , , xN ] bậc d j xác định siêu mặt D j , d j = deg D j 46 ∆ d Gọi ∆ bội số chung nhỏ d j Khi đặt G j := Q j đa thức j bậc ∆ Cố định r ( < r < ∞ ) , xếp lại số ta giả sử G1  f r ≤ G2  f r ≤  ≤ Gq  f r Vì D1 , , Dq siêu mặt vị trí tổng quát nên Q1 , , Qq chấp nhận, G1 , , Gq họ đa thức chấp nhận Theo định lý 2.3.2.5 ta được: ∑ m ( r , G ) ≤ N ∆T ( r ) + O (1) q j =1 f j (1) f Theo cách đặt Gi định nghĩa hàm xấp xỉ ta có = m f ( r , Gi ) ∆ m f= ( r , Qi ) , ∀i 1, , q di (2) Kết hợp (1) (2) q m f ( r, Q j ) j =1 dj ∆∑ ≤ N ∆T f ( r ) + O (1) Chia hai vế bất đẳng thức cho ∆ thay d j = deg D j ta có điều cần chứng minh Từ định lý Ru kết hợp với định nghĩa số khuyết ta dễ dàng có hệ sau: Hệ 3.2.2 Cho D1 , , Dq siêu mặt thuộc  N ( K ) vị trí tổng quát 47 f : K → : N ( K ) đường cong giải tích khác cho ảnh không chứa siêu mặt D1 , , Dq Khi đó, ∑δ ( D ) ≤ N q j =1 f j Định lý Ru suy định lý sau: Định lý 3.2.3 Cho D1 , , Dq siêu mặt thuộc  N ( K ) vị trí tổng quát f : K → : N ( K ) đường cong giải tích Khi f ( K ) không cắt D j với ≤ j ≤ q q ≥ N + 1, f số Chứng minh Để chứng minh f số ta cần chứng minh: ∑δ ( D ) > N q j =1 f j Thật vậy, ảnh f không cắt D j nên Q j  f khơng có khơng điểm, với Q j đa thức xác định siêu mặt D j Từ đó, ta N= N= f ( r, D j ) f ( r, Q j ) Suy m f ( r, D j ) inf 1, với i = 1, , q = d f ( D j ) lim = r →∞ ( deg D j ) T f ( r ) Từ ta có 48 ∑δ f ( Dj ) = q q ∑1 = q ≥ N + > N =j =j Các kết cho đường cong giải tích f có ảnh thuộc không gian xạ ảnh  N ( K ) Tiếp theo ta vào kết chứng tỏ ảnh f chứa đa tạp n − chiều X , N vế bên phải bất đẳng thức định lý Ru thay số chiều n X Trước bắt đầu định lý ta cần tổng qt hóa định nghĩa “ở vị trí tổng qt” Định nghĩa 3.2.4 Cho X đa tạp xạ ảnh (không thiết trơn) n − chiều  N ( K ) Tập hợp q ≥ n + siêu mặt D1 , , Dq thuộc  N ( K ) gọi vị trí tổng quát với X với tập hợp {i0 , , in } {1, , q} lực lượng n + 1, {x ∈ X : Q ij 0, j = 0, , n} = ∅ ( x) = Định lý 3.2.5 (Định lý bản) Cho X ⊂  N ( K ) đa tạp xạ ảnh chiều n ≥ K D1 , , Dq siêu mặt thuộc  N ( K ) vị trí tổng quát với X Cho f : K → X ánh xạ giải tích khác có ảnh khơng chứa siêu mặt D1 , , Dq Khi đó, với số thực dương r , q m f ( r, D j ) j =1 deg D j ∑ ≤ nT f ( r ) + O (1) , 49 O (1) số độc lập với r Chứng minh Với i = 1, , q, cho Qi dạng bậc di K [ x0 , , xN ] xác định siêu mặt Di Đặt ∆ bội số chung nhỏ di Khi Gi := Qi∆ di đa thức bậc ∆ Cố định r , xếp lại số ta giả sử G1  f r ≤ G2  f ≤  ≤ Gq  f r (1) r Theo giả thiết Q1 , , Qq vị trí tổng quát với X nên G1 , , Gq vị trí tổng quát với X Vì vậy, 0, , Gn +1 = 0} = X ∩ {G1 = ∅ Áp dụng Hilbert’s Nullstellensatz cho iđêan sinh dạng xác định X G1 , , Gn +1 Với số nguyên k , ≤ k ≤ N , có số nguyên mk ≥ ∆ cho n +1 xkmk = ∑ bik ( x0 , , xN ) Gi ( x0 , , xN ) X , i =1 bik , với ≤ i ≤ N , ≤ k ≤ N , dạng với hệ số thuộc K bậc mk − ∆ Do fk mk r ≤C f mk −∆ r f r , , Gn +1 f max { G1 aa r }, C số dương phụ thuộc vào hệ số bik Như vậy, f ∆ r ≤ C max { G1 aa f r , , Gn +1 f r } (2) 50 Tiếp tục cố định r , m f ( r, Q j ) ∆ r = ∑ m f ( r , G j ) = ∑ log Q deg G f  j =j =j = j j q ∆∑ q q f ∑ log G = j= n ≤ ∑ log [từ (1) (2)] f n j =1 j r ∆ + r f f ∆ r Gj  f r + O (1) r Gj  f ∑ j= n +1 r ∆ f q r ∑ m ( r , G ) + O (1) m = j =1 f j ≤ n∆T f ( r ) + O (1) [theo Định lý thứ nhất] Vế bên phải bất đẳng thức không phụ thuộc vào xếp số (1) số hạng O (1) độc lập với r , nên chia hai vế cho ∆ ta định lý với số thực dương r  Kết hợp ký hiệu số khuyết Định lý ta có hệ Hệ 3.2.6 Cho X ⊂  N ( K ) đa tạp xạ ảnh chiều n ≥ K D1 , , Dq siêu mặt thuộc  N ( K ) vị trí tổng quát với X Cho f : K → X ánh xạ giải tích khác có ảnh khơng chứa siêu mặt D1 , , Dq Khi dim X ∑δ ( D ) ≤ n = q j =1 Hệ 3.2.7 f j 51 Cho X ⊂  N ( K ) đa tạp xạ ảnh chiều n ≥ K D1 , , Dq siêu mặt thuộc  N ( K ) vị trí tổng quát với X Cho f : K → X ánh xạ giải tích khác có ảnh khơng chứa siêu mặt D1 , , Dq Khi đó, số siêu mặt D j thỏa ( ) mãn δ f D j > lớn n Chứng minh: Giả sử hệ khơng đúng, n + siêu mặt có số khuyết lớn khơng Không với j 1, 2, , n + Theo định nghĩa tồn tính tổng quát, ta giả sử δ f ( D j ) > = ε > cho với r đủ lớn, m f ( r , D j ) > e ( deg D j ) T f ( r ) với j 1, , n + = Đặt G j chứng minh Định lý bản, với r đủ lớn, ta có m f ( r , D j ) > εDT f ( r ) với = j 1, , n + Vì vậy, với r đủ lớn = j 1, , n + 1, Gj  f < f r ∆ (1−ε ) r Do f số khác không nên điều mâu thuẫn với (2) theo ứng dụng lý luận Nullstellensatz chứng minh định lý 3.2.5 cho G1 , , Gn +1 3.3 Mở rộng Trước tiên ta mở rộng kết cho ánh xạ giải tích nhiều biến  N ( K ) Định lý 3.3.1 52 Cho X ⊂  N ( K ) đa tạp xạ ảnh chiều n ≥ K D1 , , Dq siêu mặt thuộc  N ( K ) vị trí tổng quát với X f : K m → X ánh xạ giải tích khác mà ảnh khơng chứa siêu mặt D1 , , Dq Khi với số thực dương r , q m f ( r, D j ) j =1 deg D j ∑ ≤ nT f ( r ) + O (1) , O (1) số độc lập với r Trong [18], Cherry xét ánh xạ từ K \ {0} từ K Một ánh xạ giải tích f ( z ) K \ {0} biểu diễn chuỗi Laurent ∞ ∑az j = −∞ j j , với r > 0, định nghĩa { = f r sup = a j r j sup f ( z ) : z ∈ K với z = r} j Đường cong giải tích khác f : K \ {0} → : N ( K ) xác định phép biểu diễn thu gọn ( f0 , , f N ) , f j giải tích K \ {0} f j không Ký hiệu f r = max { f r , , f N r } Tuy nhiên thay đổi phép biểu diễn thu gọn f thay đổi f số nhân Với hàm Nevanlinna, ta xét r ≥ Hàm đặc trưng r bậc r 53 T f ( r ) =log f r + log f r −1 − log f , độc lập với cách chọn phép biểu diễn thu gọn f Với Q dạng đa thức xác định siêu mặt D bậc d , định nghĩa hàm giá trị N= N= f ( r, D ) f ( r, Q ) ∑ r −1 ≤ z ≤ r ord a ( Q a f ) ( log r − log z ), hàm xấp xỉ m f ( r, D ) = m f ( r, Q ) = log f d + log r Q f r f d r −1 Q f r − log −1 f d Q f Định lý 3.3.2 Cho X ⊂  N ( K ) đa tạp xạ ảnh chiều n ≥ K D1 , , Dq siêu mặt thuộc  N ( K ) vị trí tổng quát với X f : K \ {0} → X ánh xạ giải tích khác mà ảnh không chứa siêu mặt D1 , , Dq Khi với số thực r > 1, q m f ( r, D j ) j =1 deg D j ∑ ≤ 2nT f ( r ) + O (1) , O (1) số độc lập với r Chứng minh Chứng minh chất giống với Định lý Chỉ có điều khác biệt ta nghiên cứu bán kính r r −1 Trong chứng minh Định lý Cơ bản, ta xếp theo thứ tự tăng dần (1) sử dụng số thứ tự cho Gj  f r Gj  f r −1 Như trường hợp xấu nhất, ta cần dùng 2n hàm xấp xỉ phân biệt 2n thay cho n vế bên phải bất đẳng thức 54 KẾT LUẬN Nội dung luận văn trình bày khái niệm làm rõ kết Tạ Thị Hoài An Min Ru cơng trình tác giả Lý thuyết phân phối giá trị Nevanlinna cho hàm phân hình đường cong chỉnh hình Từ xây dựng mối quan hệ số khuyết hai trường hợp Đầu tiên quan hệ số khuyết cho hàm biến, hàm phân hình, hàm nguyên Sau mối quan hệ số khuyết với đường cong giải tích xạ ảnh trường khơng Acsimet, kết luận văn Cụ thể luận văn nêu kết sau: - Định nghĩa hàm đặc trưng Nevanlinna cho hàm chỉnh hình hàm phân hình - Phát biểu chứng minh hai định lý thứ thứ hai Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình, từ đưa mối quan hệ số khuyết với hàm biến, hàm phân hình - Tương tự cho Lý thuyết Nevanlinna cho đường cong giải tích với mối quan hệ số khuyết sau: + Với f đường cong giải tích khác khơng chứa siêu mặt xạ ảnh D, số khuyết ≤ δ f ( D ) ≤ Và δ f ( D ) = ảnh f không cắt D + Phát biểu chứng minh Định lý bản, từ suy kết cho f đường cong giải tích khơng Acsimet đa tạp xạ ảnh X nhúng vào  N D1 , , Dq siêu mặt vị trí tổng quát với X ∑ d ( D ) ≤ dim X , q j =1 j ∑ δ ( D ) > lớn n = dim X q số siêu mặt thỏa f j =1 f j 55 Những kết hy vọng đóng góp quý báu làm phong phú thêm ứng dụng Lý thuyết phân phối giá trị Nevanlinna, đồng thời công cụ cần thiết để nghiên cứu Định lý thứ hai cho đường cong giải tích khơng Acsimet lên đa tạp tùy ý, có bất đẳng thức chứa số hạng nhánh hay phát triển hàm Nevanlinna miền dạng K \ {a1 , , am } , tổng qt hóa trường hợp K \ {0} Vì lý thuyết Nevanlinna cho hàm nhiều biến vấn đề khó, liên quan đến nhiều lĩnh vực khác Tốn học, trình độ tác giả cịn hạn chế thời gian tiếp cận lĩnh vực cịn nên chắn luận văn nhiều khiếm khuyết, chưa nghiên cứu đầy đủ mối quan hệ số khuyết với đường cong giải tích xạ ảnh trường khơng Acsimet có điều kiện hội tơi tiếp tục nghiên cứu phát triển đề tài Trong luận văn chắn không tránh khỏi sai sót, mong q thầy bạn đóng góp ý kiến để tơi hồn thiện luận văn Xin chân thành cảm ơn 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO Cherry, W (1994), A survey of Nevanlinna theory over Non-Archimedean fields, Bull Hong Kong Math Soc., 235-249 Cherry, W (1994), Non-Archimedean analytic curves in Abelian varieties, Math Ann., 300, 393-404 Cherry, W and Ye, Z (1997), Non-Archimedean Nevaninna theory in several variables and the non-Archimedean Nevanlinna inverse problem, Trans Amer Math Soc 394 Corrales-Rodriganez, C (1992), Nevanlinna Theory in the p − Adic Plane, Annales Polonici Math-ematici LVII, 135-147 Evertse, J.-H and Ferretti R G., A generalization of the Subspace Theorem with polynomials of higher degree Ha Huy Khoai (1983), On p − adic meromorphic functions, Duke Math J 50, 695-711 Ha Huy Khoai and Mai Van Tu (1995), p − adic Nevanlinna-Cartan theorem, Internat J Math 6, 719-731 Ha Huy Khoai and My Vinh Quang (1988), On p − adic Nevanlinna theory, Lecture Notes in Math, 146-158 Ha Huy Khoai and Vu Hoa An (2003), value distribution for p − adic hypersurfaces, Taiwanese J.Math 7, 51-67 10 Hu, P C and Yang, C.C., The Cartan conjecture for p − adic meromorphic functions, J Contemp Math Anal 57 11 Hu, P C and Yang, C.C., Value distribution theory of p − adic meromorphic functions, J Contemp Math Anal 12 Lang, S (1991), Number Theory III, Encyclopedia of Mathematical Sciences 60, Springer-Verlag 13 Min Ru (2001), A note on p − adic Nevanlinna theory, Steven R Bell, Proc Amer Math Soc 129 14 Neal Koblitz (1948), p − adic Numbers, p − adic Analysis, and Zeta-Functions 15 Pei-Chu Hu and Chung-Chun Yang (2000), Meromorphic functions over nonArchimedean fields, Kluwer Academic Publishers 16 Tạ Thị Hoài An (2008), A defect relation for non-Archimedean analytic curves in arbitrary projective varieties, Ken Ono 17 Van Der Waerden, B L (1991), Algebra, Vol 2, 7th ed., Springer-Verlag, New York 18 William Allen Cherry (May 1993), Hyperbolic p − adic analytic spaces, Ph.D.thesis, Yale University 19 W W Adam and E G Straus (1971), Non-Archimedean analytic functions taking the same values at the same points, Illinois J.Math 15, 418-424 ... Chương MỐI QUAN HỆ CỦA SỐ KHUYẾT VỚI ĐƯỜNG CONG GIẢI TÍCH XẠ ẢNH TRÊN TRƯỜNG KHƠNG ACSIMET 43 3.1 Định nghĩa kí hiệu 43 3.2 Mối quan hệ số khuyết với đường cong giải tích xạ ảnh. .. MỐI QUAN HỆ CỦA SỐ KHUYẾT VỚI ĐƯỜNG CONG GIẢI TÍCH XẠ ẢNH TRÊN TRƯỜNG KHƠNG ACSIMET 3.1 Định nghĩa ký hiệu 3.2 Mối quan hệ số khuyết với đường cong giải tích xạ ảnh trường khơng Acsimet 3.3 Mở... tùy ý không gian xạ ảnh chứng minh trường đại số đóng đầy đủ với chuẩn tuyệt đối khơng Acsimet Mục đích đề tài Nghiên cứu Mối quan hệ số khuyết với đường cong giải tích xạ ảnh trường không Acsimet