Mối quan hệ của một số lớp nhóm quan trọng trong lý thuyết nhóm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Long MỐI QUAN HỆ CỦA MỘT SỐ LỚP NHÓM QUAN TRỌNG TRONG LÝ THUYẾT NHĨM Chun ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường ĐHSP Thành Phố Hồ Chí Minh, hướng dẫn tận tình PGS TS Mỵ Vinh Quang Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS TS Mỵ Vinh Quang, người hướng dẫn tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả q trình học tập, hồn thành đề tài Xin chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn - Tin dạy dỗ giúp đỡ tác giả trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau đại học Trường ĐHSP Thành Phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành đề tài Xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè động viên giúp đỡ tác giả trình viết luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, giáo bạn đọc để luận văn hồn thiện Xin chân thành cảm ơn.! TP Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2015 Tác giả Nguyễn Văn Long MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Tích nửa trực tiếp 1.2 Điều kiện tối đại, tối tiểu 1.3 Giao hoán tử dãy dẫn xuất 1.4 Dãy aben dãy tâm 1.5 Nhóm giải 1.6 Nhóm lũy linh 11 1.7 Nhóm siêu giải 15 1.8 Nhóm polycyclic 17 Chương MỐI QUAN HỆ CỦA MỘT SỐ LỚP NHÓM QUAN TRỌNG TRONG LÝ THUYẾT NHÓM 20 2.1 Mối quan hệ số lớp nhóm quan trọng lý thuyết nhóm 20 2.2 Các ví dụ phản ví dụ mối quan hệ lớp nhóm quan trọng lý thuyết nhóm 23 2.3 Tích tổng nhóm 29 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 MỞ ĐẦU Các lớp nhóm: Nhóm giải được, nhóm lũy linh, nhóm siêu giải được, nhóm polycyclic,… có vai trị quan trọng lý thuyết nhóm Đã có nhiều kết thú vị lớp nhóm Với mong muốn tìm hiểu, khảo sát để hiểu rõ sâu sắc lớp nhóm đặc biệt mối quan hệ lớp nhóm với nhau, chúng tơi định chọn đề tài: “Mối quan hệ số lớp nhóm quan trọng lý thuyết nhóm” Mục tiêu luận văn: - Nghiên cứu, khảo sát, tìm tịi tính chất số lớp nhóm đặc biệt như: Nhóm giải được, nhóm lũy linh, nhóm siêu giải được, nhóm polycyclic,… - Nghiên cứu mối quan hệ lớp nhóm - Tìm ví dụ phản ví dụ minh họa cho lớp nhóm mối quan hệ chúng Nội dung luận văn gồm chương: Chương 1: Các kiến thức Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức lý thuyết nhóm đặc biệt là: Giao hốn tử, dãy nhóm dẫn xuất, dãy aben, dãy tâm dưới, dãy tâm trên,… Và ra, chúng tơi trình bày khái niệm chứng minh số tính chất lớp nhóm quan trọng nhóm giải được, nhóm lũy linh, nhóm siêu giải được, nhóm polycyclic,… Chương 2: Là chương luận văn Trình bày mối quan hệ lớp nhóm giải được, nhóm lũy linh, nhóm siêu giải được, nhóm polycyclic,… Trình bày ví dụ phản ví dụ minh họa cho lớp nhóm mối quan hệ chúng Trình bày ví dụ phản ví dụ tổng tích nhóm Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Tích nửa trực tiếp 1.1.1 Định nghĩa: Cho G nhóm, N  G , H nhóm G Khi đó, G NH , N ∩= H G gọi tích nửa trực tiếp N H nếu= {e} , kí hiệu: G = N  H hay G = H  N 1.1.2 Nhận xét: Với N , H định nghĩa 1.1.1 thì: (i) G = N  H phần tử x ∈ G biểu diễn dạng x = nh với n ∈ N , h ∈ H (ii) Hai phần tử nói chung N H khơng giao hoán 1.1.3 Định nghĩa: Cho N H nhóm Và α : H → Aut ( N ) cho tương ứng h  α h đồng cấu nhóm bất kì, đó, với h ∈ H , Aut ( N ) kí hiệu nhóm tự đẳng cấu αh : N → N n  α h ( n) Khi đó, tích Decartes N × H ta định nghĩa phép tốn nhân sau (n1 , h1 )(n2 , h2 ) = (n1α h1 (n ), h1h2 ) , ∀n1 , n2 ∈ N , h1 , h2 ∈ H Ta kiểm tra tích N × H với phép toán nhân lập thành nhóm, với phần tử đơn vị (eN , eH ) , phần tử nghịch đảo (n, h) (α h−1 (n −1 ), h −1 ) 1.1.4 Định nghĩa: Nhóm mơ tả định nghĩa 1.1.3 gọi tích nửa trực tiếp ngồi N H theo đồng cấu α , kí hiệu: G = N α H hay G = H α N 1.2 Điều kiện tối đại, tối tiểu 1.2.1 Định nghĩa: (i) Nhóm G thỏa điều kiện tối đại tập khác rỗng nhóm G có phần tử tối đại (theo nghĩa bao hàm) (ii) Nhóm G thỏa điều kiện tối tiểu tập khác rỗng nhóm G có phần tử tối tiểu (theo nghĩa bao hàm) 1.2.2 Tính chất: (i) G thỏa điều kiện tối đại nhóm G nhóm hữu hạn sinh (ii) Cho G nhóm giao hốn Khi đó, G thỏa điều kiện tối đại G nhóm hữu hạn sinh (iii) G nhóm H ≤ G , G thỏa điều kiện tối đại (tối tiểu) H thỏa điều kiện tối đại (tối tiểu) (iv) G nhóm N  G , N G N thỏa điều kiện tối đại (tối tiểu) G thỏa điều kiện tối đại (tối tiểu) 1.3 Giao hoán tử dãy dẫn xuất 1.3.1 Định nghĩa: Cho G nhóm x1 , x2 , phần tử G , đó: (i) x1x2 = x2−1 x1 x2 gọi liên hợp x1 G −1 −1 (ii) = x1−1 x1x gọi hoán tử x1 x2 [ x1 , x2 ] x= x2 x1 x2 (iii) Một hốn tử có chiều dài n ≥ định nghĩa sau: [ x1 , , xn ] = [ x1 , , xn−1 ] , xn  1.3.2 Định lý: Nếu x, y, z phần tử nhóm thì: (i) x y = x [ x, y ] ; (ii) [ x, y ] = [ y , x ] (iii) [ xy, z ] = [ x, z ] [ y, z ] [ x, yz ] = [ x, z ][ x, y ] −1 ; y ( (iv)  x, y −1  = [ x, y ] (v) y −1 ) −1 y (  x −1 , y  = [ x, y ] z x −1 z ; ) −1 ; x −1 −1 −1  x, y , z   y, z , x   z , x , y  = 1.3.3 Định nghĩa: Cho X , X , tập khác rỗng nhóm G Định nghĩa nhóm hốn tử X X [ x1 , x2 ] | x1 ∈ X , x2 ∈ X [ X , X= 2] Tổng quát hơn, n ≥ [ X , , X n ] = [ X , , X n−1 ] , X n    1.3.4 Chú ý: [ X , nY ] =  X , Y, , Y   n   1.3.5 Định nghĩa: X 1X = x1x2 | x1 ∈ X , x2 ∈ X 1.3.6 Nhận xét: (i) [ X1, X ] = [ X , X1 ] ; (ii) Nếu X tập H nhóm nhóm X ⊆ X H  X , H ; (iii) Nếu K  G; K ≤ H ≤ G [ H , G ] ≤ K ⇔ H K ≤ Z ( G K ) 1.3.7 Định lý: Nếu X tập hợp K nhóm nhóm thì: (i) X K = X ,[ X , K ] ; (ii) [X,K] K = [ X , K ]; (iii) Nếu K = Y [ X , K ] = [ X , Y ] K 1.3.8 Định lý: Cho H , K tập nhóm Nếu H = X K = Y [ H , K ] = [ X , Y ] HK 1.3.9 Định nghĩa: Nhóm = G' = , G ] [ x, y ] | x, y ∈ G [G gọi nhóm dẫn xuất nhóm G 1.3.10 Nhận xét: (i) G ' nhóm chuẩn tắc G (ii) G G ' nhóm aben (iii) Nếu H  G , G H nhóm aben G ' ⊆ H Điều có nghĩa G G ' nhóm thương aben lớn nhất, kí hiệu Gab (iv) G ' nhóm bất biến G 1.3.11 Định nghĩa: Dãy G = G (0) ≥ G (1) ≥ G (2) ≥ , với G (n +1) = (G (n) ) ' gọi dãy dẫn xuất G 1.3.12 Nhận xét: (i) Dãy dẫn xuất 1.3.11 gồm nhóm bất biến dãy không thiết phải tới hay dừng lại (ii) G ( n ) G ( n +1) nhóm aben 1.3.13 Định lý: Nếu G= = G dãy aben G  G1   Gn G (i) ≤ Gn −i , ∀i ≥ Đặc biệt G ( n ) = Độ dài dẫn xuất G độ dài dãy dẫn xuất G 1.4 Dãy aben dãy tâm 1.4.1 Định nghĩa: Một dãy aben G dãy nhóm = G, G=  G1   Gn Gi +1 Gi nhóm aben ∀= i 0, n − 1.4.2 Định nghĩa: Độ dài ngắn dãy aben G (nếu có) gọi độ dài dẫn xuất G 1.4.3 Nhận xét: (i) G có độ dài dẫn xuất G có cấp (ii) G có độ dài dẫn xuất lớn G nhóm aben 1.4.4 Định nghĩa: Cho G nhóm, tâm G kí hiệu là: {a ∈ G : ag = Z (G ) = ga, ∀g ∈ G} 1.4.5 Nhận xét: (i) Z (G )  G (ii) A C ⊂ Z ( B C ) ⇔ ∀a ∈ A, ∀b ∈ B : a.b =b.a ⇔ ∀a ∈ A, ∀b ∈ B : a −1b −1ab ∈ C 1.4.6 Định nghĩa: Cho G nhóm, dãy tâm dãy nhóm chuẩn tắc G : = G0 ≤ G1 ≤ ≤ Gn = G Gi +1 Gi ⊂ Z (G Gi ) , ∀= i 0, n − 1.4.7 Nhận xét: Nếu = G0 ≤ G1 ≤ ≤ Gn = G dãy tâm = G0 ≤ G1 ≤ ≤ Gn ≤ Gn+1 ≤ ≤ Gn+ p = G dãy tâm với Gn= Gn +1= = Gn + p= G 1.4.8 Định nghĩa: Độ dài dãy tâm ngắn G gọi lớp lũy linh nhóm G 1.4.9 Nhận xét: (i) Nhóm có lớp lũy linh nhóm {1} (ii) Nhóm có lớp lũy linh lớn nhóm aben 1.4.10 Định nghĩa: Dãy G = γ 1G ≥ γ 2G ≥ với = γ 1G G= , γ i +1G gọi dãy tâm G [γ i G , G ] 29 Vậy, nhóm G =  A nhóm giải hữu hạn sinh khơng nhóm polycyclic Ngồi mối quan hệ trực tiếp lớp nhóm quan trọng lý thuyết nhóm “tích tổng nhóm con” lớp nhóm có mối quan hệ đặc biệt, xét ví dụ phản ví dụ mối quan hệ mục 2.3 sau đây: 2.3 Tích tổng nhóm 2.3.1 Ví dụ: Nhóm lũy linh có lớp lũy linh số tự nhiên cho trước Cho G nhóm bất kỳ, đặt = γ (G ) G= , γ i +1 (G ) [γ i (G ), G ] Theo định nghĩa 1.4.10, ta có dãy G = γ (G ) ≥ γ (G ) ≥  gọi dãy tâm nhóm G Dãy tâm G tiến tới e (nghĩa là, tồn số tự nhiên n để γ n (G ) = e ) G nhóm lũy linh Khi đó, độ dài dãy tâm G lớp lũy linh nhóm G Giả sử K trường, m, n số tự nhiên, ≤ m ≤ n Ký hiệu UT m (n, K ) tập tập ma trận vuông cấp n tam giác trên, với phần tử thuộc K , phần tử thuộc đường chéo m − đường chéo nằm phía đường chéo Kiểm tra trực tiếp, UT m (n, K ) nhóm nhóm GL(n, K ) Xét ma trận co: tij (a ) = e + aeij (i ≠ j ) 30 đó, a ∈ K , e ma trận đơn vị, eij ma trận có phần tử ví trí (i, j ) , cịn vị trí khác Bằng cách kiểm tra trực tiếp dễ dàng nhận công thức sau: tij (a )tij (b) = tij (a + b), tij−1 (a ) = tij (−a ) (1) tij (a ), tkl (b)  = e j ≠ k i ≠ l (2) tij (a ), t jk (b)  = tik (ab) i, j , k đôi khác (3) Nhận xét với ma trận A ∈ M (n, K ) , phép nhân cột i với a cộng vào cột j ta ma trận Atij (a ) Mặt khác, A ∈ UT m (n, K ) phép nhân cột i với phần tử thích hợp, cộng vào cột i + m, , n ta đưa A ma trận đơn vị e Do đó, với A ∈ UT m (n, K ) phân tích thành tích hữu hạn ma trận tij (a) với a ∈ K , j − i ≥ m Có nghĩa là: UT m (= n, K ) tij (a ) | a ∈ K , j − i ≥ m (4) Áp dụng công thức (2), (3), (4), dễ dàng kiểm tra công thức UT r (n, K ),UT s (n, K )  = UT r + s (n, K ) (5) đó, ≤ r , s ≤ n quy ước UT m (n, K ) = e m > n Bây giờ, xét nhóm U = UT (n, K ), ta chứng minh U nhóm lũy linh có lớp n − Thật vậy, xét dãy tâm U , theo cơng thức (5) ta có: U , γ= γ= (U ) (U ) = γ i +1 (U ) [γ= i (U ),U ] ),U ] [U ,U ] = [γ (U= UT ( n, K ), UT i (n, K ),UT= (n, K )  UT i +1 (n, K ) , n đó, = γ n (U ) UT = (n, K ) e nên U nhóm lũy linh lớp n − 31 = U UT (k + 1, K ) Như vậy, cho trước số tự nhiên k , ta xây dựng nhóm có lớp lũy linh k 2.3.2 Ví dụ: Nhóm giải có bậc giải số tự nhiên cho trước Xét nhóm U = UT (n, K ) ví dụ 2.3.1, ta có: = ,U ] [U = U (1) UT ( n, K ), = U (2) = U (1) ,U (1)  UT (n, K ), …………… = U (i) = U (i −1) ,U (i −1)  UT (n, K ) i Đặt= k log ( n −1)] ≤ n − , 2k −1 2[ [ log (n − 1)] + Khi đó:= U ( k −1) = UT (n, K ) ≥ UT n−1 (n, K ) ≠ {e} k −1 log ( n −1) +1 2[ ] > 2log2 ( n−1) = n − , Mặt khác, 2k = U ( k ) = UT (n, K ) ≤ UT n (n, K ) = {e} k Vậy, bậc giải nhóm U là= k [ log (n − 1)] + Bây giờ, cho trước số tự nhiên k nhóm U = UT (n, K ) , = n 2k −1 + nhóm giải có bậc giải k 2.3.3 Ví dụ: Tích nửa trực tiếp nhóm lũy linh khơng nhóm lũy linh Đối với nhóm giải được, tích nhóm chuẩn tắc giải N với nhóm giải M nhóm G nhóm giải Thật vậy, ta có 32 MN N  M M ∩ N , M giải nên M M ∩ N giải được, MN N giải được, kết hợp với giả thiết N giải được, suy nhóm MN giải Từ kết này, ta có: tích nửa trực tiếp nhóm giải nhóm giải Tình hình hồn tồn tương tự nhóm polycyclic Tuy nhiên, lớp nhóm lũy linh nhóm siêu giải tình hình khơng phải Ví dụ sau tích nửa trực tiếp nhóm lũy linh khơng nhóm lũy linh Trong nhóm S3 , nhóm (12 ) (123) nhóm Abel đó, hiển nhiên nhóm lũy linh Ta cịn có: (123) ∩ (12 ) = {e} , (123)  S3 tích nửa trực tiếp nhóm S3 , khơng nhóm lũy linh (ví dụ 2.2.2) Nhận xét: Ví dụ 2.3.3 tích nhóm lũy linh với nhóm chuẩn tắc lũy linh khơng nhóm lũy linh Tuy nhiên ta có kết sau: Tích nhóm chuẩn tắc lũy linh nhóm lũy linh Chứng minh: Giả sử M , N nhóm chuẩn tắc G , đó, dãy tâm M , N dãy dừng, nghĩa tồn số tự nhiên m, n để γ m ( M ) = {e} γ n ( N ) = {e} Ta chứng minh dãy tâm L = MN dãy dừng Trước hết, từ đồng thức giao hốn tử, ta có [UV , W ] = [U , W ][V , W ] [U , V W ] = [U , V ][U , W ] 33 U , V , W  G Suy γ i +1L = [γ= [γ i L, M ][γ i L, N ] , i L, L ] từ công thức này, cách quy nạp theo i , dễ dàng chứng minh γ i L tích nhóm dạng [ X , , X i ] X j = M X j = N với j = 1, 2, ,i Bây giờ, đặt i = m + n − Khi đó, [ X , , X i ] , M xuất m lần N xuất n lần Nhận xét rằng, A  G [ A, G ] ≤ A Ta suy [ X , , X i ] chứa γ m ( M ) γ n ( N ) , hai nhóm {e} nên [ X ,, X i ] = {e} , γ i L = {e} Vậy, L nhóm lũy linh 2.3.4 Ví dụ: Tổng trực tiếp (vơ hạn) nhóm lũy linh khơng nhóm lũy linh Tổng trực tiếp hữu hạn nhóm lũy linh nhóm lũy linh Tuy nhiên, tổng trực tiếp vơ hạn nhóm lũy linh khơng nhóm lũy linh Ví dụ chứng tỏ điều Với số tự nhiên n , giả sử H n nhóm lũy linh có lớp lũy linh n (ví dụ 2.3.1), H = ⊕ n H n Khi đó, với số tự nhiên i , γ i ( H n ) ≠ {e} với số tự nhiên n > i, γ i (H ) = ⊕ γ i ( H n ) ≠ {e} n Vậy, H nhóm khơng lũy linh 2.3.5 Ví dụ: Tổng trực tiếp (vơ hạn) nhóm giải khơng nhóm giải Tổng trực tiếp hữu hạn nhóm giải nhóm giải Tuy nhiên, trường hợp tổng vơ hạn nhận xét khơng Dưới ví dụ 34 Với số tự nhiên n , giả sử Gn nhóm giải có bậc giải n (ví dụ 2.3.2), G = ⊕ n Gn Khi đó, với số tự nhiên i , Gn( i ) ≠ {e} với số tự nhiên n > i, G (i ) = ⊕ Gn(i ) ≠ {e} n Vậy, G nhóm khơng giải 2.3.6 Ví dụ: Tổng trực tiếp (vơ hạn) nhóm siêu giải (polycyclic) không siêu giải (polycyclic) Tổng trực tiếp hữu hạn nhóm siêu giải (polycyclic) nhóm giải (polycyclic) Tuy nhiên trường hợp tổng vô hạn khẳng định khơng cịn Sau ví dụ Xét nhóm G tổng trực tiếp vơ hạn nhóm cyclic  n Hiển nhiên,  n nhóm siêu giải polycyclic Tuy nhiên, G khơng nhóm siêu giải khơng nhóm polycyclic G khơng nhóm hữu hạn sinh 2.3.7 Ví dụ: Nhóm Fitting nhóm khơng nhóm lũy linh Cho G nhóm Nhóm G sinh nhóm chuẩn tắc lũy linh G gọi nhóm Fitting G , ký hiệu FitG Nếu G nhóm hữu hạn (hoặc rộng G thỏa điều kiện tối đại nhóm chuẩn tắc) FitG nhóm lũy linh, nhóm chuẩn tắc lũy linh lớn G Tuy nhiên trường hợp tổng quát, FitG khơng nhóm lũy linh Sau ví dụ Xét H = ⊕ n H n ví dụ 2.3.4 Ta chứng minh FitH = H Thật vậy, với n a ∈ H , tồn n đủ lớn để a ∈ ⊕ H i , H i nhóm chuẩn tắc lũy linh H i =1 n nên ⊕ H i nhóm chuẩn tắc lũy linh H , a ∈ FitH i =1 35 Vậy, FitH = H nhóm khơng lũy linh (theo ví dụ 2.3.4) 2.3.8 Ví dụ: p-nhóm khơng giải Mọi p-nhóm hữu hạn nhóm lũy linh (theo định lý 1.6.4), nhóm giải Trong trường hợp vơ hạn khẳng định khơng cịn Dưới ví dụ Với số tự nhiên n , ta đặt U n = UT (n,  p ) (xem ví dụ 2.3.1) Vì trường  p có p phần tử nên U n có p n ( n −1) phần tử, theo ví dụ 2.3.2, U n p-nhóm giải có bậc giải [ log (n − 1) ] + Xét nhóm G = ⊕Un n >1 Khi đó, G p-nhóm với số tự nhiên i , U n( i ) ≠ {e} với n > 2i −1 + , G (i ) = ⊕ U n(i ) ≠ {e} n >1 Vậy, G p-nhóm khơng giải 2.3.9 Ví dụ: p-nhóm giải có tâm tầm thường Mọi p-nhóm hữu hạn giải có tâm khơng tầm thường Ta xây dựng ví dụ p-nhóm giải lại có tâm tầm thường Trước hết, ta xây dựng tích bện nhóm Giả sử H , K nhóm, với a ∈ H , b ∈ K , định nghĩa ánh xạ: 36 f a ,b : H × K → H × K ˆ y≠b  ( x, y ) neu ( x, y )   ˆ y=b (a x, y ) neu b : H × K → H × K ( x, y )  ( x, b y ) Dễ thấy f a ,b , b song ánh −1 −1 f a−,b1 = f a−1 ,b , b = b nghĩa f a ,b , b ∈ S Z - nhóm đối xứng tập Z= H × K Tích bện nhóm H K , ký hiệu G = H  K , nhóm nhóm S Z xác định G= f a ,b ,cˆ | a ∈ H , b,c ∈ K Dễ thấy ánh xạ a  f a ,b với b ∈ K cố định c  cˆ đơn cấu từ H  Từ định nghĩa tích bện ta K vào G Ảnh chúng ký hiệu H (b) K có: −1 cˆ f a ,b cˆ −1 = f a ,bc cˆ H (b) cˆ = H (bc) B Ký hiệu, = (1) f a ,b ,cˆ | a ∈ H , b ∈ K Dễ thấy = B = ⊕ H (b) B ∩ K {e} b∈K  Như vậy, G tích nửa trực Mặt khác, (1) ta có B  G G = KB   B , G = K tiếp B K 37 Bây giờ, để xây dựng p-nhóm giải có tâm tầm thường, ta chọn H pnhóm aben vơ hạn tùy ý (chẳng hạn H ≅  p ) K p-nhóm aben vơ hạn tùy ý (chẳng hạn𝐾 ≅ ⊕ đếm  p )  ≅ K p-nhóm nên ∀g ∈ G , tồn Khi đó, G p-nhóm Thật vậy, G B ≅ K m để g p ∈ G Lại B tổng trực tiếp nhóm đẳng cấu với H nên B m p-nhóm, tồn n để ( g p ) p = e Vậy, G p-nhóm m n Hiển nhiên, G nhóm giải G có nhóm chuẩn tắc aben B G B aben Cuối chứng minh G có tâm tầm thường, giả sử ˆ a1 ,b1  f an ,bn ∈ Z (G ), với bi đôi khác = g cf Khi đó, ∀d ∈ K , dgdˆ −1 =g ; cơng thức (1), ta có f a1 ,b1d  f an ,bn d = f a1 ,b1  f an ,bn K nhóm vơ hạn, nên ta chọn d ≠ bi b −j , ∀i, j Khi đó, b j d ≠ bi , B = ⊕ H (b) nên ta có f a ,b = e với i Vậy, g = cˆ b∈K i i −1 ˆ a ,b cˆ= Ta lại có, cf f a ,b , ∀a ∈ H , b ∈ K Do cơng thức (1) ta có f a ,b = f a ,bc Chọn a ≠ e, ta có b = bc nên c = e , g = e Vậy, p-nhóm G giải có tâm tầm thường 2.3.10 Ví dụ: p-nhóm giải khơng lũy linh Mọi p-nhóm hữu hạn nhóm lũy linh Trong trường hợp vơ hạn kết khơng cịn Thật vậy, xét nhóm G ví dụ 2.3.9 Ta có G nhóm giải được, G có tâm tầm thường, G khơng nhóm lũy linh ta biết nhóm lũy linh có tâm khơng tầm thường 38 2.3.11 Ví dụ: Tích nửa trực tiếp nhóm siêu giải khơng siêu giải Trong nhóm thay phiên A4 , xét nhóm chuẩn tắc: K = {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} Ta có, K ∩ (123) = {e} , đó, K (123) nhóm A4 có 12 phần tử Bởi vậy, K (123) = A4 A4 = (123)  K Rõ ràng, (123) K nhóm chuẩn tắc siêu giải cịn A4 khơng nhóm siêu giải (ví dụ 2.2.3) 2.3.12 Ví dụ: Tích nhóm chuẩn tắc siêu giải khơng siêu giải Ta có nhận xét tích trực tiếp nhóm siêu giải sau: Nhận xét: Tích trực tiếp nhóm siêu giải nhóm siêu giải Thật vậy, giả sử A, B hai nhóm siêu giải với dãy chuẩn tắc cyclic tương ứng là: e ≤ A1 ≤  ≤ Am = A , e ≤ B1 ≤  ≤ Bm = B ϕ ánh xạ chiếu tắc ϕ : A× B → B ( a, b)  b Khi đó, A × B nhóm siêu giải với dãy cyclic chuẩn tắc sau: e ≤ A1 ≤  ≤ Am = A ≤ ϕ −1 (e) ≤ ϕ −1 ( B1 ) ≤  ≤ ϕ −1 ( Bm ) = A × B 39 Ta có, tích nhóm chuẩn tắc giải (lũy linh, polycyclic) nhóm giải (lũy linh, polycyclic) Tuy nhiên, tích nhóm chuẩn tắc siêu giải lại khơng siêu giải Dưới ví dụ Trong nhóm GL(2,  ) - nhóm tuyến tính tổng quát ma trận vuông cấp khả nghịch trường  , xét phần tử 0 1  −1 = P = , Q    1     Kiểm tra trực tiếp ta có = Q −1 P= Q= I , P −1QP (1) Do đó, nhóm D = P, Q nhóm GL(2,  ) đẳng cấu với nhóm nhị diện D8 ( D ≅ D8 ) Nhóm D tác động lên nhóm X =  ⊕  cách tự nhiên, nghĩa với a = A   b1 a2  x ( x1 , x2 ) ∈ X  ∈ D= b2  thì, Ax = [ x1 , x2 ] At = (a1 x1 + a2 x2 , b1 x1 + b2 x2 ) ∈ X Giả sử G tích nửa trực tiếp D nhóm X , G = D  X , phép toán G xác định sau: ( A, x= )( B, y ) ( AB, Bx + y ) (2) ( A, x)(= B, y )( A, x) −1 ( ABA−1 , A−1 ( Bx − x + y )) (3) Đầu tiên, ta chứng minh G nhóm khơng siêu giải cách chứng minh G khơng chứa nhóm cyclic chuẩn tắc thực Thật vậy, giả sử ( B, y ) 40 nhóm cyclic chuẩn tắc thực G Khi đó, (2) (3), ta có B nhóm chuẩn tắc D , đó, B = Q B = Q Trường hợp 1: Nếu B = Q , ta có = (Q, y ) {I ,(Q, y),(Q , Qy + y),(Q , Qy)} ∀x ∈ X , ( I , x)(Q, y )( I , x= ) −1 (Q, Qx − x + y ) ∈ (Q, y ) y hay Qx = x với x ∈ X Điều khơng thể đó, Qx − x + y = Qx ≠ x với x = (1,1) Trường hợp 2: Nếu B = Q , ta có (Q , y ) = { I ,(Q , y )} với ≠ x ∈ X , ta có ( I , x)(Q , y )( I , x= ) −1 (Q , Q x − x += y ) (Q , x + y ) ∈ (Q, y ) Do đó, x + y = y x = trái giả thiết Vậy G khơng có nhóm cyclic chuẩn tắc thực sự, đó, G khơng siêu giải Tiếp theo, xét nhóm = K = P, Q {I , P, Q , PQ }  D 2 với= y1 (1,1) ∈ X , ta có Py1 = y1 , Q y1 = − y1 , Ay1 ∈ y1 với A ∈ K Kết hợp với công thức (3), ta có với A ∈ K −1 ( A, x)( I , y= ( I , A−1 ( y1 )) ∈ ( I , y1 ) )( A, x ) Vậy, ( I , y1 )  KX 41 Mặt khác, X  G = DX , Q  K K  D , nên ta có Q X  KX KX  DX = G Nhóm chuẩn tắc KX siêu giải ta có dãy chuẩn tắc sau: I ≤ ( I , y1 ) ≤ X ≤ Q X ≤ KX Dãy cyclic X ( I , y1 ) ≅  , Q X X = Q ≅  , KX Q X ≅ K Q ≅  Tương tự, xét nhóm = L Với y1 = (1, 0) , ta có = PQ, Q ( PQ ) y2 = {I , PQ, Q , PQ }  D y2 , Q y2 = − y2 , Ay2 ∈ y2 với A ∈ L , đó, ta có ( I , y2 )  LX dãy cyclic chuẩn tắc sau: I ≤ ( I , y2 ) ≤ X ≤ Q X  KX Như vậy, ta có nhóm chuẩn tắc siêu giải G KX LX Tuy nhiên, KX LX = KLX = DX = G lại khơng nhóm siêu giải 42 KẾT LUẬN Luận văn làm điều sau: - Chứng minh số tính chất lớp nhóm quan trọng nhóm giải được, nhóm lũy linh, nhóm siêu giải được, nhóm polycyclic,… trình bày mối quan hệ chúng - Trình bày ví dụ phản ví dụ minh họa cho lớp nhóm mối quan hệ chúng - Trình bày ví dụ phản ví dụ tổng tích nhóm Mặc dù cố gắng hồn thiện khơng thể tránh khỏi thiếu sót, mong q thầy bạn đọc góp ý để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO Baer, R (1940), Nilpotent groups and their generalizations, Trans Amer Math Soc 47, 393-434 Baer, R (1949), Groups with descending chain condition for normal subgroups, Duke Math J 16, 1-22 Beachy John A (1995), Abstract Algebra, Northern Illinois University Gruenberg, K.W (1961), The upper central series in soluble groups, Illinois J Math 5, 436-466 Hall, P (1928), A note on soluble groups, J London Math Soc 3, 98-105 Hall, P (1937), A characteristic property of soluble groups, J London Math Soc 12, 198-200 Robinson D.J.S (1996), A course in the theory of Groups, Springer-Verlag Rotman J (1994), An introduction to the theory of Groups, SpringerVerlag ... LÝ THUYẾT NHÓM 20 2.1 Mối quan hệ số lớp nhóm quan trọng lý thuyết nhóm 20 2.2 Các ví dụ phản ví dụ mối quan hệ lớp nhóm quan trọng lý thuyết nhóm 23 2.3 Tích tổng nhóm ... sắc lớp nhóm đặc biệt mối quan hệ lớp nhóm với nhau, định chọn đề tài: ? ?Mối quan hệ số lớp nhóm quan trọng lý thuyết nhóm? ?? Mục tiêu luận văn: - Nghiên cứu, khảo sát, tìm tịi tính chất số lớp nhóm. .. Gi nhóm cyclic Khi dãy = G= G N=  N1   N n  G1   Gm dãy cyclic G Vậy, G nhóm polycyclic 20 Chương MỐI QUAN HỆ CỦA MỘT SỐ LỚP NHÓM QUAN TRỌNG TRONG LÝ THUYẾT NHÓM 2.1 Mối quan hệ số lớp