Tính suy biến đại số của cặp ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược đối với họ siêu phẳng di động

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG TÍNH SUY BIẾN ĐẠI SỐ CỦA CẶP ÁNH XẠ PHÂN HÌNH CĨ CHUNG ẢNH NGƯỢC ĐỐI VỚI HỌ SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG LÊ NGỌC QUỲNH AN GIANG, - 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG TÍNH SUY BIẾN ĐẠI SỐ CỦA CẶP ÁNH XẠ PHÂN HÌNH CĨ CHUNG ẢNH NGƯỢC ĐỐI VỚI HỌ SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG LÊ NGỌC QUỲNH AN GIANG, - 2018 Đề tài nghiên cứu khoa học "Tính suy biến đại số cặp ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược họ siêu phẳng di động", tác giả Lê Ngọc Quỳnh, công tác Khoa Sư phạm thực Tác giả báo cáo nội dung Hội đồng Khoa học Đào tạo Trường thông qua ngày / / Thư ký Phản biện Phản biện Chủ tịch Hội đồng i LỜI CẢM TẠ Đề tài nghiên cứu thực trường Đại học An Giang Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ủy ban nhân dân tỉnh An Giang, Ban giám hiệu trường Đại học An Giang, Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm, Ban chủ nhiệm mơn Tốn phịng ban chức trường Đại học An Giang anh chị, bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành đề tài nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cơ phản biện dành thời gian đọc đóng góp ý kiến quý báu cho đề tài Lời cuối cùng, tác giả xin gửi lời tri ân sâu sắc đến gia đình, người thân ln tin tưởng, thương yêu, động viên giúp đỡ tác giả vượt qua khó khăn suốt q trình thực đề tài nghiên cứu Long Xuyên, tháng năm 2018 Tác giả TS Lê Ngọc Quỳnh ii TÓM TẮT Năm 1999, Fujimoto chứng minh tồn số nguyên dương l0 cho hai ánh xạ phân hình f g từ Cn vào PN (C) có chung ảnh ngược với (2N + 2) siêu phẳng vị trí tổng quát với bội ngắt l0 ánh xạ f × g suy biến đại số Ở đây, ánh xạ f × g từ Cn vào PN (C) × PN (C) xác định (f × g)(z) = (f (z), g(z)) ∈ PN (C) × PN (C), ∀z ∈ If ∪ Ig Ta nói ánh xạ phân hình vào đa tạp xạ ảnh suy biến đại số ảnh nằm tập đại số thực đa tạp Ngược lại nói khơng suy biến đại số Mục đích đề tài mở rộng kết H Fujimoto trường hợp hai ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược với họ siêu phẳng di động chậm Cụ thể, hai ánh xạ phân hình f g từ Cn vào +2 PN (C) có chung ảnh ngược với (2N + 2) siêu phẳng di động {ai }2N với bội i=1 2N +2 ngắt l0 ánh xạ f × g suy biến đại số R{ai }i=1 , +2 l0 = 3N (N + 1)q(q − 2) với q = 2N Kết mở rộng cho N +2 kết trước Fujimoto cho trường hợp họ siêu phẳng cố định, đồng thời phát triển kết Fujimoto việc ước lượng cụ thể bội bị ngắt l0 ABSTRACT In 1999, Fujimoto proved that there exists an integer l0 such that, if two meromorphic mappings f and g of Cn into PN (C) have the same inverse images for (2N + 2) hyperplanes in general position with counting multiplicities to level l0 , then the map f × g is algebraically degenerate Here, f × g is a mapping from Cn into CN (C) × PN (C) defined by (f × g)(z) = (f (z), g(z)) ∈ PN (C) × PN (C) for all z outside the union of the indeterminacy loci of f and g We also say that a meromorphic mapping into a projective variety is algebraically degenerate if its image is included in a proper analytic subset of the projective variety, otherwise it is algebraically non-degenerate The purpose of this paper is to generalize the result of H Fujimoto to the case where meromorphic mappings have the same inverse images of slowly moving hyperplanes In this thesis, we will show that if two meromorphic mappings f and g of Cn into PN (C) have the same inverse images for (2N +2) moving hyperplanes +2 {ai }2N with multiplicities counted to level l0 then the map f × g must be i=1 +2 algebraically degenerated over the fields R{ai }2N i=1 , where l0 = 3N (N +1)q(q−2) iii +2 with q = 2N Our results generalizes the previous result for fixed hyperplanes N +2 case of Fujimoto and also improves his result by giving an estimate for the number l0 iv LỜI CAM KẾT Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu cơng trình nghiên cứu có xuất xứ rõ ràng Những kết luận khoa học cơng trình nghiên cứu chưa cơng bố cơng trình khác Long Xun, tháng năm 2018 Tác giả TS Lê Ngọc Quỳnh v MỤC LỤC Chương Tổng quan vấn đề nghiên cứu Chương Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình 2.1 Một số toán tử vi phân 2.2 Công thức Jensen 2.3 Định lý thứ 2.4 Định lý thứ hai 11 Chương Lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh phức 12 3.1 Ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức 12 3.2 Phân thớ siêu phẳng không gian xạ ảnh phức 13 3.3 Dạng Fubini-Study không gian xạ ảnh phức 13 3.4 Hàm đặc trưng, hàm đếm, hàm xấp xỉ 14 Chương Tính suy biến đại số cặp ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược họ siêu phẳng di động với bội bị ngắt 17 4.1 Một số khái niệm kết bổ trợ 17 4.2 Tính suy biến đại số cặp ánh xạ phân hình 21 Tài liệu tham khảo 31 vi DANH MỤC KÝ HIỆU Trong toàn đề tài nghiên cứu, ta thống số kí hiệu sau • PN (C): khơng gian xạ ảnh phức N − chiều • z = |z1 |2 + · · · + |zn |2 1/2 với z = (z1 , , zn ) ∈ Cn • B(r) := {z ∈ Cn : z < r} hình cầu mở bán kính r Cn • S(r) := {z ∈ Cn : z = r} mặt cầu bán kính r Cn √ −1 • d = ∂ + ∂, dc := (∂ − ∂): tốn tử vi phân 4π • vn−1 := (ddc z )n−1 , σn := dc log z ∧ (ddc log z )n−1 : dạng vi phân • O(1): đại lượng bị chặn • O(r): đại lượng vô bé bậc với r r → +∞ • o(r): vơ bé bậc cao r r → +∞ • log+ r = max{log r, 0}, r • “|| P ”: có nghĩa mệnh đề P với r ∈ [0, +∞) nằm tập Borel E [0, +∞) thoả mãn E dr < +∞ • S: lực lượng tập hợp S • Rf : Trường tất hàm phân hình nhỏ (tương ứng với hàm phân hình f ) C • R{ai }qi=1 : Trường nhỏ M (trường tất hàm phân hình Cn ) chứa C tất aik /ail với ail = = (ai0 : · · · : aiN ) (1 ≤ i ≤ q) ánh xạ phân hình từ Cn vào PN (C)∗ vii LỜI MỞ ĐẦU TÍNH CẦN THIẾT CỦA ĐỀ TÀI Lý thuyết Nevanlinna, hay thường gọi Lý thuyết phân bố giá trị, xây dựng R Nevanlinna vào năm 1926 cho trường hợp hàm phân hình biến phức Sau báo ông công bố, lý thuyết mở rộng nghiên cứu sâu sắc cho ánh xạ phân hình nhiều biến phức nhiều nhà toán học A Bloch, H Cartan, H J Weyles, L Ahlfors, W Stoll, J Noguchi số tác giả khác Cho đến nay, lý thuyết Nevanlinna trở thành lý thuyết quan trọng toán học thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới với nhiều kết đẹp đẽ sâu sắc công bố Những kết lý thuyết Nevanlinna ứng dụng việc nghiên cứu nhiều vấn đề hình học phức giúp cho việc hình thành lên nhiều hướng nghiên cứu nghiên cứu tính nhất, tính hữu hạn, phụ thuộc đại số tính suy biến đại số ánh xạ phân hình Tuy nhiên, kết đạt hầu hết liên quan đến tính hay hữu hạn ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược siêu phẳng cố định cần điều kiện 2N+2 siêu phẳng Việc nghiên cứu mối liên hệ đại số ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược siêu phẳng trường hợp siêu phẳng di động số siêu phẳng xét cịn vấn đề mẻ, có kết cơng bố Vì lí trên, chúng tơi lựa chọn đề tài “Tính suy biến đại số cặp ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược họ siêu phẳng di động” TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU TRONG VÀ NGỒI NƯỚC a) Tình hình nghiên cứu nước Liên quan đến vấn đề hữu hạn suy biến ánh xạ phân hình, có nhiều kết đưa D.D.Thai S.D.Quang (2005), S D Quang L.N.Quynh (2014) số tác giả khác Tuy nhiên, kết cần điều kiện 2N+2 siêu phẳng cố định, trường hợp nghiên cứu mối liên hệ ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược 2N+2 siêu phẳng di động vấn đề mẻ Kết gần với nội dung nghiên cứu đưa Luận án tiến sĩ vào năm 2016 tác giả Lê Ngọc Quỳnh suy biến đại số cặp ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược 2N+2 siêu phẳng động nhiên tác giả chưa đưa đánh giá cụ thể bậc ngắt bội giao Đây vấn đề tác giả trăn trở đặt để nghiên cứu đề tài CHƯƠNG TÍNH SUY BIẾN ĐẠI SỐ CỦA CẶP ÁNH XẠ PHÂN HÌNH CĨ CHUNG ẢNH NGƯỢC ĐỐI VỚI HỌ SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG VỚI BỘI BỊ NGẮT Như biết, việc nghiên cứu toán hữu hạn suy biến đại số ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh phức trường hợp siêu phẳng di động gặp nhiều khó khăn Lý hiểu biết Lý thuyết phân bố giá trị trường hợp chưa sâu sắc trường hợp siêu phẳng cố định, cụ thể hiểu biết Định lý thứ hai (với bội ngắt) Năm 1991, M.Ru W.Stoll M Shirosaki chứng minh Định lý thứ hai cho trường hợp siêu phẳng di động không bị chặn bội Định lý thứ hai cho siêu phẳng di động với hàm đếm chặn bội đưa M Ru vào năm 2001 Kết sau D D Thai S D Quang chứng minh lại cho trường hợp nhiều biến vào năm 2005 Để giải vấn đề đặt ra, dựa vào Định lý thứ hai cho siêu phẳng di động (xem D.D.Thai S.D.Quang, 2008) sử dụng mở rộng bổ đề Borel cho trường hợp hàm phân hình để đưa đánh giá cần thiết dẫn đến kết cần chứng minh Chương gồm hai mục: mục thứ dành để trình bày số khái niệm kết bổ trợ; mục thứ hai chứng minh định lý suy biến đại số cặp ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược họ siêu phẳng di động Cụ thể, tồn số nguyên dương l0 cho hai ánh xạ phân hình f g từ Cn vào PN (C) có ảnh ngược +2 (2N + 2) siêu phẳng di động {ai }2N với bội ngắt đến l0 ánh xạ f × g i=1 2N +2 suy biến đại số R{ai }i=1 Kết mở rộng kết H.Fujimoto (1999), bậc l0 ước lượng l0 ≥ 3N (N + 1)q(q − 2) +2 q = 2N N +2 4.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ BỔ TRỢ Cho f : Cn → PN (C) ánh xạ phân hình có biểu diễn rút gọn f = (f0 : · · · : fN ) a siêu phẳng di động có biểu diễn rút gọn a = (a0 : · · · : aN ) 1/2 Đặt a = |a0 |2 + · · · + |aN |2 (f, a) := a0 f0 + · · · + aN fN , ta định nghĩa hàm xấp xỉ f tương ứng với a sau: 17 m(f,a) (r) = log ||f || · ||a|| σn − |(f, a)| S(r) log ||f || · ||a|| σn |(f, a)| S(1) Nếu (f, a) ≡ Định lý thứ cho siêu phẳng di động (xem J Noguchi T.Ochiai, 1990) cho sau T (r, f ) + T (r, a) = m(f,a) (r) + N(f,a) (r) Định lý 4.1 (xem M.Ru J.Wang (2004)) Giả sử f = (f0 : · · · : fN ) biểu diễn rút gọn ánh xạ phân hình f từ Cn vào PN (C) Giả sử fN +1 hàm chỉnh hình với f0 + · · · + fN + fN +1 = Nếu i∈I fi = với I {0, , N + 1}, N +1 [N ] || T (r, f ) ≤ Nfi (r) + o(T (r, f )) i=0 Định lý 4.2 (xem J.Noguchi T.Ochiai (1990)) Giả sử f hàm phân hình khác khơng Cn Khi m r, Dα (f ) = O(log+ T (r, f )) (α ∈ Zn+ ) f Định lý 4.3 (xem D.D.Thai S.D.Quang (2008)) Cho f : Cn → PN (C) ánh xạ phân hình a1 , · · · , aq (q ≥ n + 2) q siêu phẳng di động "chậm" (so với f ) từ Cn vào PN (C)∗ vị trí tổng quát Giả sử f khơng suy biến tuyến tính R{ai }qi=1 Khi q || T (r, f ) ≤ N +2 q [N ] N(fi ,ai ) (r) + o(T (r, f )) i=1 Ở đây, ánh xạ phân hình f = (f0 : · · · : fN ) gọi khơng suy biến tuyến tính R{ai }qi=1 hàm f0 , · · · , fN độc lập tuyến tính R{ai }qi=1 Cho V đa tạp xạ ảnh PN (C) Lấy hệ tọa độ (ω0 : · · · : ωN ) PN (C) Cho F ánh xạ phân hình từ Cn vào V với biểu diễn rút gọn F = (F0 : · · · : FN ) Kí hiệu M trường tất hàm phân hình Cn Định nghĩa 4.1 Ánh xạ phân hình F gọi suy biến đại số trường Q M tồn đa thức Q ∈ Q[ω0 , , ωN ] với biểu diễn Q(z)(ω0 , , ωN ) = aI (z)ω I , I∈Id 18 d số nguyên dương, Id = {(i0 , , iN ) ; ≤ ij ≤ d, iN aI ∈ Q ω I = ω0i0 · · · ωN với I = (i0 , , iN ), cho N j=0 ij = d}, (i) Q(z)(F0 (z), , FN (z)) ≡ Cn , (ii) Tồn z0 ∈ Cn với Q(z0 )(ω0 , , ωN ) ≡ V Cho f g hai ánh xạ phân hình từ Cn vào PN (C) với biểu diễn f = (f0 : · · · : fN ) g = (g0 : · · · : gN ) Ta xét PN (C) × PN (C) đa tạp xạ ảnh P(N +1) −1 (C) phép nhúng Segre Khi ánh xạ f × g vào PN (C) × PN (C) suy biến đại số trường Q M tồn đa thức không tầm thường aIJ (z)ω I ω J , Q(z)(ω0 , , ωN , ω0 , , ωN ) = +1 +1 J=(j0 , ,jN )∈ZN I=(i0 , ,iN )∈ZN + + i0 +···+iN =d j0 +···+jN =d d, d số nguyên dương, aIJ ∈ Q, cho Q(z)(f0 (z), , fN (z), g0 (z), , gN (z)) ≡ Tiếp theo, ta nhắc lại khái niệm hàm hữu tỉ với trọng ≤ d có biến đạo hàm logarit hàm đưa H Fujimoto (1999) sau Định nghĩa 4.2 Một đa thức Q( , Xjα , ) biến , Xjα , , j = 1, 2, α = (α1 , , αn ) với số nguyên không âm αl , có trọng d ˜ , t2 , ) := Q( , t|α| , ) Q(t j có bậc d theo biến t1 , t2 , Cho h1 , h2 , , hp hàm phân hình hữu hạn khác khơng Cn Theo định nghĩa hàm hữu tỉ có trọng ≤ d theo biến đạo hàm logarit hàm hj , có hàm phân hình khác khơng ϕ Cn có biểu diễn ϕ= P (· · · , Dα hj /hj , · · · ) Q(· · · , Dα hj /hj , · · · ) với đa thức P (· · · , X α , · · · ) Q(· · · , X α , · · · ) theo biến , Xjα , có trọng ≤ d Mệnh đề 4.1 (xem H.Fujimoto (1999)) Giả sử h1 , h2 , , hp (p ≥ 2) hàm phân hình khác khơng Cn với h1 + h2 + · · · + hp = Khi đó, tập hợp {1, , p} có phân hoạch {1, , p} = J1 ∪ J2 ∪ · · · ∪ Jk , Jα ≥ với α, Jα ∩ Jβ = ∅ với α = β 19 cho với α, (i) i∈Jα hi = 0, (ii) hi /hi (i, i ∈ Jα ) hàm hữu tỉ theo biến đạo hàm logarit hàm hj với trọng ≤ D(p), D(p) số phụ thuộc vào p Cho I = {1, , q} Với ≤ s ≤ q, ta đặt Iq,s := {(i1 , , is ); ≤ i1 < i2 < · · · < is ≤ q} R Định nghĩa 4.3 Một quan hệ ∼ Iq,s gọi quan hệ tiền tương đương thỏa mãn; R (i) I ∼ I với I ∈ Iq,s , R R (ii) I ∼ J, J ∼ I R Ta xét quan hệ tiền tương đương ∼ Iq,s Với I = (i1 , , is ) J = (j1 , , js ) thuộc Iq,s , ta đặt RI,J = δi1 + · · · + δis − δj1 − · · · − δjs ∈ Zq , i−th δi := (0, , 0, , , 0) ∈ Zq (1 ≤ i ≤ q) Ta kí hiệu R module R Zq sinh tất phần tử RI,J với I ∼ J Định nghĩa 4.4 (xem H.Fujimoto (1999)) Với hai phần tử I J Iq,s , ta kí hiệu I ∼ J tồn số nguyên dương m cho mRI,J ∈ R Mệnh đề 4.2 (xem H.Fujimoto (1999)) Có q số thực p1 , p2 , , pq thỏa điều kiện sau: (i) Với i = (i1 , , is ), J = (j1 , , js ) ∈ Iq,s , pi1 + · · · + pis = pj1 + · · · + pjs I ∼ J, (ii) Với ≤ i < j ≤ q, pi = pj có số ngun khác khơng m0 cho j−th i−th (0, , 0, m0 , 0, , 0, −m0 , 0, , 0) ∈ R Mệnh đề 4.3 (xem H.Fujimoto (1999)) Cho G nhóm Abel khơng xoắn Cho số thực p1 , p2 , , pq thỏa điều kiện Mệnh đề 4.2 q phần tử g1 , , gq G Khi đó, pi = pj với i, j đó, ≤ i < j ≤ q, có số R ngun dương m0 I1 , J1 , , Ik0 , Jk0 ∈ Iq,s với Il ∼ Jl (1 ≤ l ≤ k0 ) cho k0 (gi /gj ) m0 = GIl /GJl , l=1 GI := gi1 · · · gis với I = (i1 , , is ) ∈ Iq,s , số k0 bị chặn số k(q) phụ thuộc vào q 20 Ở đây, ta nhắc lại rằng, với (G, ) nhóm abel G gọi không xoắn phần tử đơn vị phần tử G có cấp hữu hạn 4.2 TÍNH SUY BIẾN ĐẠI SỐ CỦA CẶP ÁNH XẠ PHÂN HÌNH Để chứng minh Định lý 1.1, trước hết cần mệnh đề đại số sau Cho H1 , , H2N +1 (2N + 1) siêu phẳng PN (C) vị trí tổng quát cho Hi : xi0 ω0 + xi1 ω1 + · · · + xiN ωN = (1 ≤ i ≤ 2N + 1) Ta xét ánh xạ hữu tỉ Φ : PN (C) × PN (C) → P2N (C) sau: Với v = (v0 : v1 · · · : vN ), w = (w0 : w1 : · · · : wN ) ∈ PN (C), ta định nghĩa Φ(v, w) = (u1 : · · · : u2N +1 ) ∈ P2N (C) ui = xi0 v0 + xi1 v1 + · · · + xiN vN xi0 w0 + xi1 w1 + · · · + xiN wN Mệnh đề 4.4 (xem H.Fujimoto (1999)) Ánh xạ Φ ánh xạ song hữu tỉ từ PN (C) × PN (C) vào P2N (C) Cho b1 , , b2N +1 (2N + 1) siêu phẳng di động PN (C) vị trí tổng quát với biểu diễn rút gọn bi = (bi0 : bi1 : · · · : biN ) (1 ≤ i ≤ 2N + 1) Cho f g hai ánh xạ phân hình từ Cn vào PN (C) với biểu diễn rút gọn f = (f0 : · · · : fN ) g = (g0 : · · · : gN ) Ta định nghĩa hi = (f, bi )/(g, bi ) (1 ≤ i ≤ 2N + 1) hI = I {1, , 2N + 1} Đặt i∈I hi với tập I = {I = (i1 , , iN ) ; ≤ i1 < · · · < iN ≤ 2N + 1} +1 Cho R{bi }2N trường nhỏ M chứa C {bil /bis ; bis ≡ 0, ≤ i=1 i ≤ 2N + 1, ≤ l, s ≤ N } +1 Mệnh đề 4.5 Nếu tồn hàm AI ∈ R{bi }2N (I ∈ I), không đồng thời i=1 không, cho AI hI ≡ 0, I∈I +1 ánh xạ f × g vào P (C) × P (C) suy biến đại số R{bi }2N i=1 N N 21 Chứng minh: Bằng cách đổi hệ tọa độ PN (C), ta giả sử bi0 ≡ (1 ≤ i ≤ 2N + 1) Vì b1 , , b2N +1 vị trí tổng quát, ta có det(bij k )0≤j,k≤N ≡ với ≤ i0 < · · · iN ≤ 2N + Do đó, ta đặt {z ∈ Cn ; AI (z) = 0} ∪ S= I∈I {z ∈ Cn ; det(bij k (z))0≤j,k≤N = 0} 1≤i0 l0 (r) + o(T (r, g)) i=1 n1 q(2N + 2) T (r, g) + o(T (r, g)) ≤ 2(l0 + 1) q(q − 2)(N + 1) T (r, g) + o(T (r, g)) ≤ l0 + q = 2N +2 N +1 Với j ∈ / S(N + 2), S(j) ≥ N + nên tồn l ∈ S(j) ∩ S(N + 2) Khi đó, theo chứng minh ta có T (r, hj hN +2 ) ≤ T (r, hj hl q(q − 2)(N + 1) ) + T (r, )≤2 T (r, g) + o(T (r, g)) hl hN +2 l0 + Mệnh đề chứng minh Bây giờ, ta chứng minh tiếp định lý 1.1 Chúng ta thấy tồn hàm +2 bij ∈ R{ai }2N (N + ≤ i ≤ 2N + 2, ≤ j ≤ N + 1) cho i=1 N +1 a ˜i = bij a ˜j j=1 Bởi (4.1), ta có det (˜ ai0 , , a ˜iN , a ˜i0 hi , , a ˜iN hi ; ≤ i ≤ 2N + 2) ≡ 26 Từ suy N +1 det a ˜i0 hi − N +1 bij a ˜j0 hj , , a ˜iN hi − bij a ˜jN hj ; N + ≤ i ≤ 2N + j=1 ≡ j=1 Do đó, ma trận N +1 Ψ= a ˜i0 hi − N +1 bij a ˜j0 hj , , a ˜iN hi − j=1 bij a ˜jN hj ; N + ≤ i ≤ 2N + j=1 có hạng lớn N Giả sử rankΨ < N , ta có định thức ma trận vng N +1 a ˜i1 hi − N +1 bij a ˜j0 hj , , a ˜iN hi − j=1 bij a ˜jN hj ; N + ≤ i ≤ 2N + j=1 đồng thời triệt tiêu Bởi Mệnh đề 4.5, ta suy f × g suy biến đại số R{ai }2n+2 i=1 Điều mâu thuẫn Vậy rankΨ = N Không tính tổng qt, ta giả sử định thức ma trận vuông N +1 a ˜i1 hi − N +1 bij a ˜j0 hj , , a ˜iN hi − j=1 bij a ˜jN hj ; N + ≤ i ≤ 2N + j=1 Ψ không đồng thời triệt tiêu Mặt khác, với N + ≤ i ≤ 2N + 1, ta có N +1 a ˜i0 hi − N +1 bij a ˜j0 hj g0 + · · · + a ˜iN hi − j=1 bij a ˜jN hj gN = j=1 Vậy nên hi a ˜i0 − h1 N +1 j=1 hj bij a ˜j0 h1 g0 + ··· + gN = −˜ aiN hi a ˜iN − h1 hi + h1 N +1 bij a ˜j(N −1) j=1 N +1 bij a ˜jN j=1 hj h1 gN −1 gN hj (N + ≤ i ≤ 2N + 1) h1 Ta xem đẳng thức hệ gồm N phương trình với biến g0 /gN , , gN −1 /gN giải chúng ta gi /gN (0 ≤ i ≤ N − 1) có dạng gi Pi = , gN Qi 27 Pi and Qi đa thức theo biến hj /h1 (1 ≤ j ≤ 2N + 1) +2 có bậc N với hệ số R{aj }2N j=1 Theo Định lý 4.1 ta có N −1 T (r, g) ≤ T i=0 r, gi gN N −1 = T r, i=0 Pi Qi 2N +1 ≤ N2 T r, j=1 hj h1 + o(T (r, g))    ≤ N2    q(q − 2)(N + 1) q(q − 2)(N + 1) T (r, g) + T (r, g)  l0 + l0 + 2≤j≤2N +1 2≤j≤2N +1 j ∈S(1) / j∈S(1) + o(T (r, g)) ≤ 3N q(q − 2)(N + 1) T (r, g) + o(T (r, g)) l0 + bất đẳng thức xảy với nhiều n số j ∈ / S(1) Cho r → +∞, ta ≤ 3N q(q − 1)(N + 1) (l0 + 1) Vậy l0 + ≤ 3N (N + 1)q(q − 2) +2 Điều mâu thuẫn Vậy, f × g suy biến đại số R{ai }2N i=1 Định lý chứng minh 28 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Đề tài đạt kết Định lý suy biến đại số cặp ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược (2N + 2) siêu phẳng di động với bội bị ngắt Kết đạt tốt hẳn so với kết tác giả đạt Luận án tiến sĩ tác giả đề tài tác giả tồn bậc ngắt l0 mà đánh giá cụ thể bậc ngắt bội Điều đưa đến vấn đề nghiên cứu cụ thể tìm cách giảm bậc ngắt bội giao hay giảm số siêu phẳng di động tham gia Hơn nữa, so với kĩ thuật chứng minh Luận án tiến sĩ tác giả kĩ thuật chứng minh đề tài khơng sử dụng q nhiều đánh giá trung gian việc chứng minh trở nên tường minh, sáng sủa bớt nặng nề, cồng kềnh Kiến nghị Từ trình nghiên cứu vấn đề đề tài, chúng tơi có suy nghĩ hướng nghiên cứu sau: Đối với toán đặt đề tài, hướng nghiên cứu chúng tơi tìm cách cải tiến kĩ thuật chứng minh tìm kĩ thuật chứng minh để giảm số siêu phẳng di động tham gia gây suy biến giảm bậc ngắt bội giao Ngồi ra, chúng tơi cịn quan tâm đến tốn cải tiến kết định lý thứ hai cho siêu phẳng cố định siêu phẳng di động để từ đưa đánh giá kết tốt cho vấn đề nhất, hữu hạn suy biến ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức Với vấn đề đặt trên, chưa thu nhiều kết hi vọng tiếp tục giải thời gian tới 29 CƠNG TRÌNH CƠNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU Duc Quang Si and Ngoc Quynh Le (2016) Two meromorphic mappings having the same inverse images of moving hyperplanes Complex Variables and Elliptic Equations, Vol 61, No.11, 1554-1565 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO D D Thai and S D Quang (2005) Uniqueness problem with truncated multiplicities of meromorphic mappings in several complex variables for moving target Internat J Math 16 (2005), 903-939 D D Thai and S D Quang (2008) Second main theorem with truncated counting function in several complex variables for moving targets Forum Math 20 (2008), 163-179 G Dethloff and T V Tan (2006) Uniqueness problem for meromorphic mappings with truncated multiplicities and moving targets Nagoya J Math 181 (2006), 75-101 H Fujimoto (1975) The uniqueness problem of meromorphic maps into the complex projective space Nagoya Math J 58 (1975), 1-23 H Fujimoto (1999) Uniqueness problem with truncated multiplicities in value distribution theory, II Nagoya Math J 155 (1999), 161-188 J Noguchi and T Ochiai (1990) Geometric function theory in several complex variables Transl Math Monogr 80, American Mathematical Society, Providence, RI,1990 L N Quynh (2016) Luận án Tiến sĩ Toán học Đại học Sư phạm Hà Nội M Ru (2001) A uniqueness theorem with moving targets without counting multiplicity Proc Amer Math Soc 129 (2001), 2701-2707 M Ru and W Stoll (1991) The Second Main Theorem for moving targets J Geom Anal, 99-138 M Ru and J Wang (2004) Truncated second main theorem with moving targets Trans Amer Math Soc 356 (2004), 557-571 M Shirosaki (1991) Another proof of the defect relation for moving targets Tohoku Math J, 43, 355-360 S D Quang and L N Quynh (2014) Two meromorphic mappings sharing 2n + hyperplanes regardless of multiplicity J Math Anal Appl 410 (2014), 771-782 31 ... hàm phân hình Chương III Lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh phức Chương IV Tính suy biến đại số cặp ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược họ siêu phẳng di động với. .. SỐ CỦA CẶP ÁNH XẠ PHÂN HÌNH CĨ CHUNG ẢNH NGƯỢC ĐỐI VỚI HỌ SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG VỚI BỘI BỊ NGẮT Như biết, việc nghiên cứu toán hữu hạn suy biến đại số ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức... có chung ảnh ngược với họ siêu phẳng di động chậm Cụ thể, hai ánh xạ phân hình f g từ Cn vào +2 PN (C) có chung ảnh ngược với (2N + 2) siêu phẳng di động {ai }2N với bội i=1 2N +2 ngắt l0 ánh xạ