Về dạng định lý cơ bản thứ 2 kiểu Cartan cho các đường cong chỉnh hình
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN TRƯỜNG GIANG VỀ DẠNG ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI KIỂU CARTAN CHO CÁC ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2008 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN TRƯỜNG GIANG VỀ DẠNG ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI KIỂU CARTAN CHO CÁC ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. TẠ THỊ HOÀI AN THÁI NGUYÊN – 2008 ▼ö❝ ❧ö❝ ▼ð ✤➛✉ ✷ ✶ ▲þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✻ ✶✳✶ ❍➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻ ✶✳✷ ▲þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽ ✶✳✷✳✶ ❈→❝ ❤➔♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✽ ✶✳✷✳✷ ▼ët sè ✈➼ ❞ö ✈➲ ❝→❝ ❤➔♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✶✳✷✳✸ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ✳ ✳ ✶✸ ✶✳✷✳✹ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ♥❤➜t ❝õ❛ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✶✳✷✳✺ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ❤❛✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✷ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ❤❛✐ ❦✐➸✉ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✲❈❛rt❛♥ ❝❤♦ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ✷✸ ✷✳✶ ❈→❝ ❤➔♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✲❈❛rt❛♥ ❝❤♦ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ✷✸ ✷✳✷ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ❤❛✐ ❝❤♦ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❝➢t ❝→❝ s✐➯✉ ♠➦t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻ ✷✳✷✳✶ ▼ët sè ❜ê ✤➲ q✉❛♥ trå♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻ ✷✳✷✳✷ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ❤❛✐ ❝❤♦ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ✶ ỵ tt ố tr ừ ữủ ởt tr ỳ t tỹ s s ừ t ồ tr t ữỡ ữủ t tứ ỳ ừ ừ t ỵ tt õ ỗ ố tứ ỳ ổ tr ừ r r õ ự ử tr ỹ ừ t ồ ỵ tt ố tr ờ sỹ tờ qt õ ỵ ỡ ừ số ỡ ỵ tt ự sỹ ố tr ừ tứ C C{} r t ừ ỵ tt ỗ ỵ ỡ ừ ỵ ỡ tự t ởt t ừ ổ tự Pss s ỵ õ r trữ T (r, a, f) ổ ử tở a t s ởt ữủ tr õ a ởt số ự tũ ỵ ỵ ỡ tự t ỳ t q t s s t ừ ỵ tt ố tr ỵ ữ r ố q ỳ trữ rt ự ỵ s f : C P n (C) ữớ ổ s t t H i i = 1, ., q s tr tờ qt ợ ộ > 0 t õ q j=1 m(r, H j , f) (n + 1 + )T (r, f), tr õ t tự ú ợ ồ r > 0 ởt t õ ở s ỳ t q tr ừ rt ổ tr t rở ỵ tt ữớ ỷ ử t q õ ổ ữ r ữợ ữủ số t ữớ ợ s tr tờ qt ổ tr ừ ổ ữủ t sự q trồ r ởt ữợ ự ợ t tr ỵ tt ỵ tt ữớ s ữủ t t ồ ờ t ừ t õ ỵ tt rt ỳ rở t q ừ rt trữớ ủ s t t út ữủ sỹ ú ỵ ừ t ồ ự tt ừ t r ử t ổ ự r f : C P n (C) ữớ ổ s số D j , j = 1, ., q, s t d j tr tờ qt õ (q (n + 1) )T (r, f) q j=1 d 1 j N (r, D j , f) + o(T (r, f)), tr õ t tự tr ú ợ ồ r ừ ợ ởt t õ ở s ỳ t q tr ữủ rở trữớ ủ t ở ỏ ồ ửt t q ữủ t ữ s sỷ f : C P n (C) ởt ổ s số D j 1 j q q s t tr P n (C) õ d j tữỡ ự tr tờ qt õ ợ ộ > 0 tỗ t ởt số ữỡ M s q (n + 1) )T (r, f) q j=1 d 1 j N M (r, D j , f) + o (T(r, f)) , tr õ t tự tr ú ợ ồ r ừ ợ ởt t õ ở s ỳ ự sỹ tỗ t ừ tổ q ữủ ừ s t ữớ t tữớ sỷ ử ỵ ỡ tự rt tổ q t ở r ỵ rt ỏ t t t s ừ ữớ ử t ừ tr t q ữủ ữ r ừ ợ ổ ử ự ừ ỵ tt rt tứ C P n (C). ữủ t ữỡ ũ ợ t ử t t ữỡ tr ởt số tự ỡ s t t ừ r ự ỵ ỡ tự ừ ữỡ tr ự ởt ỵ ỡ tự t s t tr tờ qt ữỡ ữủ t ỹ tr ổ tr ừ ữủ t ữợ sỹ ữợ ồ ừ tọ ỏ t ỡ t sỹ ú ù ồ t t ỳ t ủ t t t tr trồ ỡ t ổ trữớ ồ ữ tở ồ t r Pữỡ t ổ trữớ ồ ữ ở t ổ ồ ú ù t t õ ồ ụ t ỡ trữớ ổ t ổ t ồ t ủ t t tr q tr ồ t ữỡ ỵ tt r ữỡ ú tổ ởt số tự ỡ s ữủ sỷ ử tr s tự ừ ữỡ ữủ tr tứ D ởt tr t ự C f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ữủ ồ C t z 0 C tỗ t ợ ỳ lim h0 f(z 0 + h) f(z 0 ) h tr õ ữủ ồ ự ừ f(z) t z 0 f(z) ữủ ồ C tr D õ C t ồ z 0 D. f(z) ữủ ồ t z 0 C õ C tr ởt õ ừ z 0 f(z) ữủ ồ tr D õ t ồ z tở D tr D H(D) f(z) tr t t ự C ữủ ồ ỵ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) tr D u(x, y) v(x, y) R 2 tr D tr õ u(x, y) v(x, y) tọ tự u x = v y , u y = v x , (x, y) D. ỵ sỷ f(z) ởt tr ỳ D C õ tr ộ ừ ộ z D f(z) ữủ tr t ộ f(z) = f(z 0 ) + (z z 0 ) 1! f (z 0 ) + (z z 0 ) 2 2! f (z 0 ) + . . . ỡ ỳ ộ tr ở tử f(z) tr trỏ |z z 0 | tũ ỵ tr D. ộ ữủ ồ ộ ừ f(z) tr ừ z 0 . z 0 C ữủ ồ ổ m > 0 ổ m > 0 ừ f(z) f (n) (z 0 ) = 0, ồ n = 1, ., m 1 f (m) (z 0 ) = 0. f(z) ữủ ồ tr D C f = g h tr õ g, h tr D. D = C t t õ f(z) tr C ỡ f(z) z 0 ữủ ồ ỹ m > 0 ừ f(z) tr ừ z 0 f(z) = 1 (z z 0 ) m .h(z) tr õ h(z) tr ừ z 0 h(z 0 ) = 0 ỵ ổ tự Ps s sỷ f(z) 0 ởt tr trỏ {|z| R} ợ 0 < R < sỷ a à à = 1, ., M, ổ ở b , = 1, 2, ., N, ỹ ừ f tr trỏ õ ụ ở õ z = re i (0 < r < R), f(z) = 0, f(z) = t log |f(z)| = 1 2 2 0 log f(Re i ) R 2 r 2 R 2 2Rr cos( ) + r 2 d + M à=1 log R(z a à ) R 2 a à z N =1 log R(z b ) R 2 b z . ỵ tt sỷ f tr R r < R ỵ n(r, , f) tữỡ ự n(r, , f), số ỹ t ở tữỡ ự ổ t ở ừ f tr õ r. sỷ a C t n(r, a, f) = n r, , 1 f a , [...]... cừa f aj , j = 1, , q 22 Chữỡng 2 nh lỵ cỡ bÊn thự hai kiu Nevanlinna -Cartan cho cĂc ữớng cong chnh hẳnh 2. 1 CĂc hm Nevanlinna -Cartan cho ữớng cong chnh hẳnh Chúng tổi s nhưc lÔi mởt số khĂi niằm, kẵ hiằu chuân cừa Lỵ thuyát Nevanlinna - Cartan cho cĂc ữớng cong chnh hẳnh tứ C vo Pn (C) 2. 1.1 nh nghắa gồi l trản nh xÔ f := (f0 : : fn ) : C Pn (C) ữủc ữớng cong chnh hẳnh trản C náu f0, , fn... trong lồc Ta kẵ hiằu số chiãu õ l (i) Kát hủp Bờ ã 2. 2 .2 v 2. 2.3 ta cõ bờ ã sau 2. 2.4 Bờ ã Tỗn tÔi mởt số nguyản dữỡng N0 ch phử thuởc vo r1 , , rn sao cho (i) := dim W(i) = dn , W(i ) vợi iãu kiằn d(i) < N N0 Hỡn nỳa, vợi cĂc bở (i) cỏn lÔi ta cõ W( ) dim l b chn bi dim VN W i 0 (i) 28 2. 2.5 Bờ ã Vợi ( ) ữủc nh nghắa nhữ trong Bờ ã 2. 2.4 Ta cõ i := (i) N n+1 (i) ij , d(n + 1)! trong õ... k d = max(p, q) 11 1 .2. 5 Vẵ dử Xt hm f (z) = ez Trong trữớng hủp ny, 2 2 i log+ ere m(r, f ) = d = 2 f l hm nguyản nản Vợi a = 0, , thẳ d r = 2 2 0 Do r cos N (r, , f ) = 0 f (z) = a v do õ T (r, f ) = r/ cõ nghiằm vợi chu ký 2t 2 nghiằm trong ắa cõ bĂn kẵnh t, 2i Do vêy, cõ v do õ r t dt r + O(log r) = + O(log r) t N (r, a, f ) = o m(r, a, f ) = O(log r) Do vêy, 1 .2. 6 Vẵ dử Vợi mồi a Xt... + N (r, D, f ) = dT (r, f ) + O(1), trong õ O(1) l mởt hơng số ởc lêp vợi r 2. 2 nh lỵ cỡ bÊn thự hai cho ữớng cong chnh hẳnh cưt cĂc siảu mt 2. 2.1 Mởt số bờ ã quan trồng Tiáp theo, chúng tổi trẳnh by mởt số bờ ã Ôi số ữủc sỷ dửng trong cĂc chựng minh cừa nh lỵ cỡ bÊn thự hai kiu Cartan cho cĂc Ănh xÔ chnh hẳnh 2. 2.1 nh nghắa (i) = (i1 , , im ) Nm Chúng ta nh nghắa (i1 , , im ) l 2 l cĂc số phực hỳu hÔn, riảng... im cĐp kv + 1 cừa hm f (z) Nhữ vêy b1 , b2 , , bN l cĂc cỹc lữủt l im cừa f (z) k log | N (r, f ) = k1 + 1, k2 + 1, , kN + 1 Nhữ N r N (r, f ) = (k + 1) log | | nản b =1 vợi cĐp lƯn lữủt l N =1 r | b v N r 2N (r, f ) N (r, f ) = 2k log | | b =1 N (2k (k + 1)) log | =1 R |= b N (k + 1) log | =1 N (2k 1)) log | =1 vêy r |= b r | 0 b Ta cõ nh lỵ sau Ơy 1 .2. 9 nh lỵ ( nh lỵ cỡ bÊn thự hai) Náu f... ắa bĂn kẵnh + r v ordz f = max{0, ordz f } l bởi cừa khổng im 1 .2. 2 nh nghắa Hm xĐp x aC m(r, a, f ) cừa hm f tÔi giĂ tr ữủc nh nghắa nhữ sau 2 log+ m(r, a, f ) = 0 d 1 , f (rei ) a 2 v 2 log+ | f (rei ) | m(r, , f ) = 0 trong õ Hm d , 2 + log x = max{0, log x} mf (r, ) o ở lợn trung bẳnh cừa |z| = r 9 log |f | trản ữớng trỏn 1 .2. 3 nh nghắa Hm c trững T (r, a, f ) aC cừa hm f tÔi giĂ tr ữủc . VỀ DẠNG ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI KIỂU CARTAN CHO CÁC ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 20 08. SƯ PHẠM NGUYỄN TRƯỜNG GIANG VỀ DẠNG ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI KIỂU CARTAN CHO CÁC ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH