Về dạng định lý cơ bản thứ hai kiểu cartan cho các đường cong chỉnh hình

Header Page of 166 I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM NGUYN TRNG GIANG V DNG NH Lí C BN TH HAI KIU CARTAN CHO CC NG CONG CHNH HèNH LUN VN THC S KHOA HC TON HC THI NGUYấN 2008 Footer Page of 166 Header Page of 166 I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM NGUYN TRNG GIANG V DNG NH Lí C BN TH HAI KIU CARTAN CHO CC NG CONG CHNH HèNH Chuyờn ngnh: GII TCH Mó s: 60.46.01 LUN VN THC S KHOA HC TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS T TH HOI AN THI NGUYấN 2008 Footer Page of 166 Header Page of 166 ử ỵ tt ỵ tt ởt số ởt số t t ỵ ỡ tự t ỵ ỡ tự ỵ ỡ tự rt ữớ rt ữớ ỵ ỡ tự ữớ t s t ởt số q trồ ỵ ỡ tự ữớ Footer Page of 166 Header Page of 166 ỵ tt ố tr ữủ ởt tr ỳ t tỹ s s t tr t ữỡ ữủ t tứ ỳ ừ t ỵ tt õ ỗ ố tứ ỳ ổ tr r r õ ự tr ỹ t ỵ tt ố tr sỹ tờ qt õ ỵ ỡ số ỡ ỵ tt ự sỹ ố tr tứ C C{} r t ỵ tt ỗ ỵ ỡ ỵ ỡ tự t ởt t ổ tự Pss s ỵ õ r trữ T (r, a, f ) ổ tở a t s ởt ữủ tr õ a ởt số ự tũ ỵ ỵ ỡ tự t ỳ t q t s s t ỵ tt ố tr ỵ ữ r ố q ỳ trữ rt ự ỵ s f : C Pn(C) ữớ ổ s t t Hi i = 1, , q s tr tờ qt ợ Footer Page of 166 Header Page of 166 ộ > t õ q m(r, Hj , f ) (n + + )T (r, f ), j=1 tr õ t tự ú ợ r > ởt t õ s ỳ t q tr rt ổ tr t rở ỵ tt ữớ ỷ t q õ ổ ữ r ữợ ữủ số t ữớ ợ s tr tờ qt ổ tr ổ ữủ t q trồ r ởt ữợ ự ợ t tr ỵ tt ỵ tt ữớ s ữủ t t t t õ ỵ tt rt ỳ rở t q rt trữớ ủ s t t út ữủ sỹ ú ỵ t ự tt t r f : C Pn(C) ữớ ổ s số Dj , j = 1, , q, s t dj tr tờ qt õ t ổ ự r q d1 j N (r, Dj , f ) + o(T (r, f )), (q (n + 1) )T (r, f ) j=1 tr õ t tự tr ú ợ r ợ ởt t õ s ỳ t q tr ữủ Footer Page of 166 Header Page of 166 rở trữớ ủ t ỏ ửt t q ữủ t ữ s sỷ f : C Pn(C) ởt ổ s số Dj j q q s t tr Pn(C) õ dj tữỡ ự tr tờ qt õ ợ ộ > tỗ t ởt số ữỡ M s q M d1 j N (r, Dj , f ) + o (T (r, f )) , q (n + 1) )T (r, f ) j=1 tr õ t tự tr ú ợ r ợ ởt t õ s ỳ ự sỹ tỗ t tổ q ữủ s t ữớ t tữớ sỷ ỵ ỡ tự rt tổ q t r ỵ rt ỏ t t t s ữớ t tr t q ữủ ữ r ợ ổ ự ỵ tt rt tứ C Pn (C) ữủ t ữỡ ũ ợ t t t ữỡ tr ởt số tự ỡ s t t r ự ỵ ỡ tự ữỡ tr ự ởt ỵ ỡ tự Footer Page of 166 Header Page of 166 t s t tr tờ qt ữỡ ữủ t ỹ tr ổ tr ữủ t ữợ sỹ ữợ tọ ỏ t ỡ t sỹ ú ù t t ỳ t ủ t t t tr trồ ỡ t ổ trữớ ữ tở t Pữỡ r t ổ trữớ ữ t ổ ú ù t t õ ụ t ỡ trữớ ổ t ổ t t ủ t t tr q tr t Footer Page of 166 Header Page of 166 ữỡ ỵ tt r ữỡ ú tổ ởt số tự ỡ s ữủ sỷ tr s tự ữỡ ữủ tr tứ D ởt tr t ự C f (z) = u(x, y) + iv(x, y) ữủ C t z0 C tỗ f (z0 + h) f (z0 ) t ợ ỳ lim h0 h tr õ ữủ ự f (z) t z0 f (z) ữủ C tr D õ C t z0 D õ C f (z) ữủ t z0 C tr ởt õ f (z) ữủ tr D õ t Footer Page of 166 z0 Header Page of 166 z tở D tr ự C ữủ f (z) D H(D) tr t t ỵ f (z) = u(x, y) + iv(x, y) tr D u(x, y) v(x, y) R2 tr D tr õ u(x, y) v(x, y) tọ tự u v u v = , = , (x, y) D x y y x ỵ sỷ f (z) ởt tr ỳ D C õ tr ộ ộ z D f (z) ữủ tr t ộ (z z0 ) (z z0 )2 f (z) = f (z0 ) + f (z0 ) + f (z0 ) + 1! 2! ỡ ỳ ộ tr tử |z z0 | tũ ỵ tr D ộ ữủ ổ n = 1, , m ộ f (z) tr f= g h z0 C m > DC tr trỏ z0 f (z) ữủ f (n) (z0 ) = 0, f (m) (z0 ) = tr õ f (z) g, h ữủ tr Footer Page of 166 f (z) ổ m > tr D Header Page 10 of 166 D = C t t õ f (z) tr C ỡ f (z) z0 ữủ ỹ h(z) (z z0 )m z0 h(z0 ) = m > f (z) tr z0 f (z) = tr õ h(z) tr ỵ ổ tự Ps s sỷ f (z) ởt tr trỏ {|z| R} ợ < R < sỷ aà = 1, , M, ổ b , = 1, 2, , N, ỹ f tr trỏ õ ụ õ z = rei (0 < r < R), f (z) = 0, f (z) = t log |f (z)| = log f (Rei ) M + R2 r d R2 2Rr cos( ) + r2 N log à=1 R(z aà ) R(z b ) log 2b z R aà z R =1 ỵ tt sỷ f ỵ tr r r < R n(r, , f ) tữỡ ự n(r, , f ), số ỹ t tữỡ ự ổ t R sỷ a C t n(r, a, f ) = n r, , Footer Page 10 of 166 f , f a tr õ Header Page 31 of 166 ợ ( ) ữủ ữ tr õ := () N n+1 () ij , d(n + 1)! tr õ tờ ữủ tr tt (n + 1) số ổ (i) ợ tờ ú N/d ự t ủ ợ t õ (i) dn (i) ij = n+1 dn = n+1 = n+1 (i) (i) dn N ij = n+1 d j=1 (i) n N d N/d + n N = d n+1 d n N (N + d) + + (N + nd) N n+1 (n + 1)!d d(n + 1)! õ ự ỵ ỡ tự ữớ ởt số t ỵ ỡ tự rữợ t t ỵ rt ữ s ỵ sỷ f ởt ổ s t t Hj j q q s tr Pn (C) tr tờ qt õ ợ ộ > t õ : C Pn (C) q m(r, Hj , f ) (n + + )T (r, f ), j=1 Footer Page 31 of 166 Header Page 32 of 166 tr õ t tự ú ợ r > ởt t õ s ỳ ỵ tr ữủ t ữợ tr ỵ sỷ f ởt õ ổ ự tr t ởt ổ t t H1, , Hq s t tr Pn(C) Lj j q t t H1 , , Hq W (f0 , , fn ) rs f0 , , fn õ ợ ộ > max log K jK = (f0 : : fn ) : C Pn (C) f (rei ) Lj d +NW (r, 0) (n+1+ )T (r, f )+o(T (r, f )), |Lj (f )(rei )| tr õ tờ tr tr tt t 1, , q s t t Lj j K t t f (z) tr ợ t |fj (z)| j n Lj tr ợ t tr tt ố số tr Lj ự ữủ ỵ ọ tự t s t tr tờ qt ỵ qt trồ tt ỵ sỷ f ởt ổ s số Dj j q q s t tr Pn(C) õ dj tữỡ ự tr tờ qt õ ợ ộ > t õ q j=1 : C Pn (C) d1 j m(r, Dj , f ) (n + + )T (r, f ), Footer Page 32 of 166 Header Page 33 of 166 tr õ t tự ú ợ r > ởt t õ s ỳ ỵ ữ t tố ổ t t s tr ự ởt ỵ ỡ tự õ q ửt ỵ ỵ sỷ f : C Pn(C) ởt ổ s số Dj j q q s t tr Pn(C) õ dj tữỡ ự tr tờ qt õ ợ ộ > tỗ t ởt số ữỡ M s q M d1 j N (r, Dj , f ) + o(T (r, f )), (q (n + 1) )T (r, f ) j=1 tr õ t tự tr ú ợ r ợ ởt t õ s ỳ rữợ ự ỵ ú t ự s sỷ f ởt ổ s số Dj j q q s t tr Pn(C) õ ữ d tr tờ qt õ : C Pn (C) q n m(r, Qj , f ) max i1 , ,in j=1 k=1 f (z) d + O(1) log |Qik f (z)| ự sỷ Q1, , Qq tự t t (n+1) ợ số tr C õ ữ Footer Page 33 of 166 d, s t Header Page 34 of 166 D1 , , Dq số i1 , , iq zC t õ tỗ t ởt s số 1, , q s |Qi1 f (z)| |Qi2 f (z)| Qiq f (z) Qj j n tr tờ qt t ỵ rts stst t õ ợ ộ số số ữỡ mk d k k n tỗ t ởt s n+1 k xm k = bjk (x0 , , xn )Qij (x0 , , xn ), j=1 tr õ bjk j n + k n số tr C õ mk d |fk (z)|mk c1 f (z) mk d t t ợ tữỡ ự ữ max |Qi1 f (z)| , , Qin+1 f (z) , tr õ f (z) := max {|f0 (z)| , , |fn (z)|} c1 số ữỡ tở số bjk j n + k n tở số Qj j n + ú ỵ r ú ợ f (z) mk k = 0, , n tự ữ = max |f (z)|mk k=0, ,n c1 f (z) mk d max |Qi1 f (z)| , , Qin+1 f (z) , t f (z) d c1 max |Qi1 f (z)| , , Qin+1 f (z) Footer Page 34 of 166 Header Page 35 of 166 t õ q n f (z) d = Qij f (z) j=1 k=1 f (z) d |Qik f (z)| n cqn k=1 q k=n+1 f (z) d |Qik f (z)| f (z) d |Qik f (z)| ữ t t s r q q f (z) dr m (r, Qj , f ) = log Qij f (z) j=1 j=1 n max {i1 , ,in } tr õ c1 k=1 r f (z) d log |Qik f (z)| + (q n) log c1 , số ữỡ tở số j n + k n bjk tự tở số Qj j n + ứ õ t õ ự sỷ ủ N số ữỡ õ s ỹ ởt ỡ s t , , M VN ữ s tr õ ợ ởt ổ t M := dim VN W( ) t ởt ỡ s t ý õ t tử ỹ q ữ s sỷ n t s ữủ ởt ỡ s tr õ W() d( ) d( ) N W( ) ứ t õ t ữủ tr õ ỹ trữợ tr W( ) VN d(i) W(i) /W(i ) rở ỡ s ữủ t õ t s t ữủ ỡ s ổ Footer Page 35 of 166 sỷ r t tỷ tr ổ tữỡ r1i1 rnin ( )>() W() q tr q Header Page 36 of 166 ữủ t tử W() = VN ữ t s t ữủ ởt ỡ s õ t ứ , , M VN ợ tt tr ỵ õ MN qd T (r, f ) ự õ , , M L1 , , LM sỷ q N (r, Qj , f ) NW (r, 0) + o (T (r, f )) j=1 , , M ởt ỡ s ố , , M ữ (1 (f ) : : M (f )) : C PM (C) t (f ) = Lt (F ) L1 , , LM ổ s M z C t ữợ ữủ log |Lt (F )(z)| = log t=1 f F = ổ s t t M ợ tr õ t t t t t r t tt F õ t ữủ ữợ tờ ủ t t số VN |t (f )(z)| t=1 ởt tỷ tr ỡ s ữủ ỹ tứ tỷ tr ỡ s W(i) /W(i ) õ = r1i1 rnin , tr õ VN d(i) ữ t õ ởt |(f )(z)| |r1 (f )(z)|i1 |rn (f )(z)|in |(f )(z)| c2 |r1 (f )(z)|i1 |rn (f )(z)|in f (z) tr õ c2 N d(i) ởt số ữỡ tở Footer Page 36 of 166 , ổ Header Page 37 of 166 tở f z õ ú (i) ữ t ữ log |t (f )(z)| i1 log |r1 (f )(z)| + + in log |rn (f )(z)| + (N d(i)) log f (z) + c3 d i1 log |r1 (f )(z)| log f (z) + in log |rn (f )(z)| log f (z) + d + N log f (z) + c3 f (z) d f (z) d i1 log in log |r1 (f )(z)| |rn (f )(z)| + N log f (z) + c3 , tr õ f tở c3 ởt số ữỡ tở z M |t (f )(z)| |Lt (F )(z)| = log log t=1 t=1 (i) (i) f (z) d f (z) d i1 log + + in log |r1 (f )(z)| |rn (f )(z)| + M N log f (z) + M c3 n d f (z) = log |rj (f )(z)| j=1 tr t M (i) ij + M N log f (z) + M c3 (i) tr õ tờ tr ữủ tr tt j ổ t M số ổ tở n n ợ ( ) N/d ợ ộ j tr t f (z) d log + M N log f (z) + M c3 |Lt (F )(z)| log |r (f )(z)| j t=1 j=1 Footer Page 37 of 166 Header Page 38 of 166 õ t n M f (z) d F (z) M log log log F (z) |r (f )(z)| |L (F )(z)| j t t=1 j=1 + MN M c3 log f (z) + õ ởt số ỳ r1 , , rn {Q1 , , Qq } ởt ỳ t t n max log {i1 , ,in } k=1 max K L1 , , Lu f (z) dr max log |gik (f )(z)|r K tr õ jK F : C PM (C) ứ t õ M MN T (r, F ) + T (r, f ) + c4 , t t ổ tở t õ F (z) r |Lj (F )(z)|r ữủ tr tt t Lj j K c4 K 1, , u s ởt số ữỡ r ỵ t t L1 , , Lu t ủ ợ t õ q n m(r, Qi , f ) max log {i1 , ,in } i=1 k=1 f (z) dr + (q c) log c1 |rik (f )(z)|r MN NW (r, 0) + T (r, f ) + o(T (r, F )) tr õ W rs F1 , , FM ợ tt tr ỵ õ q N (r, Qj , f ) NW (r, 0) j=1 q N M (r, Qj , f ) j=1 ự ợ ộ z C ổ t t tờ qt t õ t tt r Qj f trt t t z Footer Page 38 of 166 ợ j q1 Qj f ổ Header Page 39 of 166 trt t t z tờ qt ợ j > q1 q1 n Qj tr õ tỗ t ởt số ữỡ z tt q j kj ổ trt t tr ởt s Qj f = ( z)kj j , j = 1, , q ợ {Q1 , , Qn } {Q1 , , Qq } t õ t t ữủ ởt ỡ s , , M VN Lt (F ) tr õ kj = q1 < j q ợ t t L1 , , LM s t (f ) = t t tự rs t õ W = W (F1 , , FM ) = CW (L1 (F ), , LM (F )) =C (f ) ããã M (f ) (1 (f )) ããã (M (f )) (1 (f ))(M 1) ã ã ã (M (f ))(M 1) ởt tỷ tr ỡ s ữủ ỹ tứ ỡ s W() /W( ) t õ t t = Qi11 Qinn , VN d(i) õ (f ) = (Q1 (f ))i1 (Qn (f ))in (f ), tr õ i (Qj (f ))ij = ( z)ij kj jj , j = 1, , n ỡ ỳ t õ t tt r kj M t r õ (i) j q0 tỷ Footer Page 39 of 166 kj < M q0 < j q1 tr ỡ s ữ W tr Header Page 40 of 166 t t z ợ t t q0 q0 ij (kj M ) (i) = (i) j=1 (kj M ) ij (i) j=1 (i) q0 (kj M ) = j=1 ữ t õ ự t t s ự ỵ ự ỵ sỷ f = (f0 : : fn) : C Pn(C) ởt ổ s số Pn (C) s t tr tờ qt tr tự t t tr Dj t t ọ t ữỡ Qj õ C[x0 , , xn ] d/dj Qj dj D1 , , Dq dj tr õ Qj j q tữỡ ự d số dj s ự ợ ộ > tỗ t ởt số M s q d/dj M d1 j N (r, Qj (q (n + 1) )T (r, f ) , f ) + o(T (r, f ) j=1 ú ỵ r zC t ổ d/dj N M (r, Qj , f) ởt ổ Qj f ợ dj /d d/dj Qj f ợ õ t d d [M d/dj ] N (r, Qj , f ) N M (r, Qj , f ) dj dj ữ q d/dj M d1 j N (r, Qj (q (n + 1) )T (r, f ) j=1 Footer Page 40 of 166 , f ) + o(T (r, f )) Header Page 41 of 166 ổ t t tờ qt t õ t tt r tự Q1 , , Qq õ ữ d t s r q n m (r, Qj , f ) max {i1 , ,in } j=1 n tự t k=1 f (z) d log |Qik f (z)| r1 , , rn {Q1 , , Qq } + (q n) log c1 tt tr tờ qt ú ởt t õ số tr Pn (C) ổ tự t t s õ ởt trú W(i) VN (i) := dim ợ ộ n t M := dim VN t N ố ởt số ợ MN qd N s s VN C[x0 , , xn ] tr W(i) = dn W(i ) ( ) > ( ) ữ t t õ q T (r, f ) N (r, Qj , f ) NW (r, 0) + o (T (r, f )) j=1 t t q N (r, Qj , f ) NW (r, 0) j=1 q N M (r, Qj , f ) j=1 tử t s ữợ ữủ tr sỷ N t d õ M = N +n n n = (N + n)! = N + O N n1 N !n! n! Footer Page 41 of 166 Header Page 42 of 166 ợ m số ổ ợ tờ (m + 1) số ổ ợ tờ T +m t õ m T ú ú T Z N n+1 + O(N n ) MN n! n+1 = d(n + 1) + O(N ) N d(n + 1)! tự (qd MN )T (r, f ) d(q (n + 1) O(N ))T (r, f ) õ s r ợ ộ (qd t N >0 tr ỵ MN )T (r, f ) d(q (n + 1) )T (r, f ), ợ s O(N ) N t t ủ ổ tự t õ ợ ộ t số M d >0 s q (q (n + 1) )T (r, f ) j=1 ỵ ữủ ự Footer Page 42 of 166 M N (r, Qj , f ) + o(T (r, f )) d tỗ Header Page 43 of 166 t tr ởt số t t ỵ tt ữớ ự t q ỵ ỡ tự ữớ t s t tr tờ qt õ t tố Footer Page 43 of 166 Header Page 44 of 166 t tr t ự ự ố r s rs s ss rrs p ts rs s tt rt rtt r r r rs t tr t s r s trt r ts rrr rs rr rr rs tts rrr r P r r s q t r t rtsr r tr rrr r Footer Page 44 of 166 r ts t Header Page 45 of 166 rr ts r Prss r ttsst r r r rr t t t t tr rr rs t t s s r r r s t rt r r rs trst rsrs r r t r r t s tr rs r t r rs rr s rt s t Footer Page 45 of 166 ...Header Page of 166 I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM NGUYN TRNG GIANG V DNG NH Lí C BN TH HAI KIU CARTAN CHO CC NG CONG CHNH HèNH Chuyờn ngnh: GII TCH Mó s: 60.46.01 LUN VN THC S KHOA HC TON HC Ngi