Xây dựng đường cong chỉnh hình với một tập vô hạn số khuyết

Header Page of 166 I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM TH HNG NGA XY DNG NG CONG CHNH HèNH VI MT TP Vễ HN S KHUYT LUN VN THC S TON HC THI NGUYấN 2008 Footer Page of 166 Header Page of 166 I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM TH HNG NGA XY DNG NG CONG CHNH HèNH VI MT TP Vễ HN S KHUYT Chuyờn ngnh: GII TCH Mó s: 60.46.01 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS T TH HOI AN THI NGUYấN 2008 Footer Page of 166 Header Page of 166 ụ ụ ụ ụ ế tứ ị ì ệ số ết ì ỉ ì ỉ ì số trị ết ết q ổ trợ í ụ ề ỉ ì số trị ết ết ệ t Footer Page of 166 Header Page of 166 ý tết r ữ ủ tế ỷ ợ q t ủ ề t ọ tr tế ý tết ổ ể ứ ố trị ủ ì f t T (f, a, r) t ủ ì ế N (f, a, r) ế số f trị a tr ĩ í r ỉ m(f, a, r) ộ ế a ủ f ị ĩ q tr rọ t ủ ý tết ị ý ị ý a C {} ị ý tứ ó r ết trị a ế N (f, a, r) trộ ỉ m(f, a, r) ề ế ị ĩ số ết ủ f t trị a s tứ t tể ệ ộ ủ tr ọ trị N (f, a, r) } T (f, a, r) (f, a) := lim inf {1 r trị a ợ ọ trị ết f ế (f, a) > ệ số ết ột t ể ủ ị ý tứ ủ ụ tể ứ r (f, a) aC{} t ị ý tứ t t t r số ết ủ ì t ột trị ó tr [0, 1] ữ t ứ ợ r t trị ết ế ợ ột ỏ tự ợ t r i N , sử s < i 1, i i Footer Page of 166 {i } số tự Header Page of 166 , số ệt tr C {} t ì f tr C tỏ (f, ) = i , (f, a) = ọ a / {ai }? sử ỏ tr ò ợ ết t ợ ủ ó ề t ọ ứ t ợ ủ ụ tể qết t ột số trờ ợ ệt ế ề tr ợ qết trọ ẹ rs tr r trì rs ỉ ét t ợ ủ số ết ò số ết rẽ t ề tồ t ủ ì ữ trị ết ợ ứ trọ ẹ t ết ì ó tể ợ ỉ ì từ C P (C) ó ệ rộ ý tết ổ ể n ỉ ì P (C) n ột ề tự rt ứ ị ý s ợ ọ ị ý rt ỉ ì t s f : C Pn (C) H1 , , Hq n s ị trí tổ qt tr P (C) ó ị ý ỉ ì q (Hj , f ) n + j=1 tự trờ ợ ì t ũ ứ tí t ủ số ết ủ ỉ ì n í ụ ề ỉ ì ữ trị ết ợ r ề t tr ó ệ ự ỉ ì ó trị ết ễ út ứ r í ụ ỉ ì ột t trị ết ụ í í ủ trì ữ ết q ó ủ ột ó ọ ọ t ố ụ r ủ t tr ột ỏ tr ợ t ế tứ ị ợ trì ụ í ế tứ tết ể ọ ễ t õ ứ ết q ủ s r ú t ột số tí t Footer Page of 166 Header Page of 166 ủ ý tết ì ỉ ì q ệ số ết ì ữ ế tứ q ứ r t ợ trị số ết ủ ột ì t ể a s a ế ợ ỉ ì số trị ết í ủ r ú t ự ỉ ì ó số số ết ợ t P tứ t ú t r ết q ổ trợ ự ệ ế ỉ tr số ết trị ết ỉ ì ột số tí t ễ t t ố q trọ ì ó ợ sử ụ ề ứ ữ ết q s ữ s P tứ trì í ụ ề ỉ ì số trị ết ết q í ủ ị ý ị ý ợ t t tì tú ủ ị ủ t q s tr ứ t t tỏ ò í trọ ết s s tớ tr trọ ọ P ệ ọ ệt t tr ị ế tứ t ề ệ t tr tờ ọ t ệt t r P ợ ế ệ ệ ủ t trờ P ế ị ọ ọ ú ỡ t rt ề tr q trì ọ t t ũ tớ ễ ú ỡ t rt ề tr q trì ứ ố ù t ợ tỏ ết tớ ì ố ẹ t ề ệ tốt t t ợ ọ t t Footer Page of 166 Header Page of 166 ế tứ ị r ú t ột số tí t ủ ý tết ữ ế tứ q ú ọ ễ t õ ệ ết q ủ ợ trí từ ì sử f ì tr ĩ í n(f, , r)), số ự ể tí ộ t ứ tí ộ ủ f tr ĩ ó í r sử a C t ị ĩ í ệ n(f, , r), R r < R t ứ n(f, a, r) = n , , r , f a n(f, a, r) = n , , r f a ị ĩ ế tí ộ tí ộ N (f, a, r) ủ f N (f, a, r), t trị t ứ ế a ợ ị ĩ s r n(f, a, t) n(f, a, 0) N (f, a, r) = n(f, a, 0) log r + Footer Page of 166 dt , t Header Page of 166 t ứ r dt ) t n(f, a, t) n(f, a, 0) N (f, a, r) = n(f, a, 0) log r + ì tế ế a = t ó N (f, 0, r) = (r+ f ) log r + (r+ z f ) log | zD(r) r |, z z=0 tr ó D(r) ĩ ó í r + rz f = max{0, rz f } ộ ủ ể ị ĩ ỉ m(f, a, r) ủ f t trị aC ợ ị ĩ s log+ m(f, a, r) = d , f (rei ) a log+ | f (rei ) | m(f, , r) = tr ó d , + log x = max{0, log x} m(f, , r) ộ tr ì ủ log |f | tr trò |z| = r ị ĩ tr T (f, a, r) ủ f t trị a C ợ ị ĩ s T (f, a, r) = m(f, a, r) + N (f, a, r), T (f, r) = m(f, , r) + N (f, , r) ét ề t ó tr ố ý tết ì ó trò t tự ủ tứ tr ý tết tứ ị ĩ tr t ó T (f, a, r) N (f, a, r) + O(1), tr ó O(1) ột ợ ị r Footer Page of 166 Header Page of 166 ị ĩ ủ ì (f ) = lim sup r ế (f ) = ợ ọ ó sử f tì ợ ọ ó ế < (f ) < tì f ữ < (f ) < t r ó ợ ị ĩ tứ log T (r, f ) log r C = lim sup ó f f ó tố í ụ ế ó ế f ữ tỷ tì f = ez tr ì ee C = z ó tr ì ế < C < , C = ế tố tể ế T (r, f ) r tì T (f, r) = O(log r), ó ữ tỷ T (f, r) = r/ + O(1) ó ez ó ó tứ Pss s f (z) 0, ị ý sử ột ì tr ì trò D = {|z| R} < R < sử aà , = 1, , M ủ f tr ể D, ỗ ể ợ ể ột số ộ ủ ó b , ( = 1, 2, , N ) ự ể ủ f tr tr D, ỗ ự ể ợ ể ột số ộ ủ ó ó ỗ z = rei D log |f (z)| = s f (z) = 0, f (z) = t ó R2 r log f (Re ) d+ R 2Rr cos( ) + r2 i M N R(z aà ) R(z b ) + log log 2a z 2b z R R à=1 =1 Footer Page of 166 Header Page 10 of 166 ứ ét trờ ợ s f (z) rờ ợ ó ể ự ể tr {|z| R} z = ó t ứ log |f (0)| = log f (Rei ) d f (z) = tr D log f (z) ỉ ì tr D ị ý t ó log f (0) = 2i dz log f (z) = z log f (Rei )d |z|=R tự ế t ó log |f (0)| = log f (Rei ) d rờ ợ {|z| R} z tỳ ý f (z) ó ể ự ể tr z = rei (0 < r < R) ét {|| R} { 1} z0 =z= R ( z) R2 z || = R t ứ || = ì || = Footer Page 10 of 166 R | z| |R2 z| Header Page 31 of 166 u(z) + wm1 (z) ak vm (z) vm (z) = |a ak | = i ik u(z) + wm1 (z) bk ak eze k ak vm (z) + bk ak eze = vm (z) u(z) + wm1 (z) bk ak eze ik ik + ak vm (z) bk ak eze |vm (z)| (S1 + Am1 + |ak | S2 )er cos k r cos 13 k b e k S1 + Am1 + |ak | S2 r(cos k cos k ) 3 e bk S1 + Am1 + |ak | S2 2r sin k sin k =2 e bk S1 + Am1 + |ak | S2 r 0, =2 bk e2r sin k sin k =2 sin k sin k > 0. ề t ề sử tứ ộ tế tí tr u(z) + wm1 (z) vm (z) C f := (f1 : : fn+1 ) ột ỉ ì s ệt ột số tỳ ý t P (z) = z p p ú t ét ỉ ì f P = (f1 P, , fn+1 P ) ú ý r tí tr f1 P, , fn+1 P ó ể ộ tế C ổ ề a Cn+1 {0} ó T (r, f P ) = T (rp , f ), m(r, a, f P ) = m(rp , a, f ), (a, f P ) = (a, f ) Footer Page 31 of 166 (f P ) = p(f ), Header Page 32 of 166 ứ ị ĩ ủ tr t tết f P (z) = f (z p ) = f (rp eip ) , t ó T (r, f P ) = log f (rp eip ) d log f (0) 2p = 2p log f (rp ei ) d log f (0) = log f (rp ei ) d log f (0) = T (rp , f ) t log T (r, f P ) log T (rp , f ) (f P ) = lim sup = lim sup p log r r r p log r log T (rp , f ) = p lim sup = p (f ) log rp r ị ợ ứ ứ ị t m(r, a, f P ) = a f (rp eip ) log d |(a, f (rp eip ))| 2p a f (rp ei ) log d |(a, f (rp ei ))| = 2p = Footer Page 32 of 166 a f (rp ei ) log d = m(rp , a, f ) p i |(a, f (r e ))| Header Page 33 of 166 t ó m(r, a, f P ) r T (r, f P ) m(rp , a, f ) = lim inf = (a, f ), r T (rp , f ) (a, f P ) = lim inf s r ự ứ í ụ ề ỉ ì số trị ết t ết t ề ì ữ trị ết ợ ứ trọ ẹ tr trì ủ rs r t ứ t ỉ ì tết n {v } {k } s {v } ột v > 0, v = 1, = , v=1 {k } ột t t k1 = 0, k = v , (k = 1, 2, ) v=0 Y = {ak = (a1k , , ank , 1) Cn+1 } ị (j = 1, , n) ữ số t trí tổ qt det (cjk ) = 0, (j, k = 1, , n), c1k = c2k = = cnk = ck , (k = n, n + 1, ), Footer Page 33 of 166 {cjk } k=1 , Header Page 34 of 166 cjk < , (j = 1, , n), Sj = k=1 n cjk |ajk |) < ( Sn+1 = j=1 k=1 t ik cjk eze j (z) = , (j = 1, , n) k=1 n n+1 (z) = ik cjk ajk )eze ( , j=1 k=1 ck eze (z) = ik , k=n j = hj , n1 tr ó hj (z) = ik cjk eze , (j = 1, , n) k=1 n j=1 ajk , (k = 1, 2, ), tì Y ị trí tổ qt {ak } t ề ệ ủ {ak } trớ ú ý r ế t t ak = ệ ề ó ệ ề s ệ ề |z| = r ó |j (z)| < Sj er , ứ số k z = rei t ó t ỳ i(k) ik eze ó (j = 1, 2, , n + 1) ere = er cos(k ) er ik cjk eze |j (z)| = k=1 Footer Page 34 of 166 Sj er , (j = 1, , n), Header Page 35 of 166 n |n+1 (z)| = ik cjk ajk )eze ( k=1 j=1 n ik cjk |ajk |) eze ( = k=1 Sn+1 er j=1 |j (z)| < Sj er , (j = 1, 2, , n + 1) ệ ề ứ , , n+1 ó ể ú t ỉ ứ , , n ó ể sử r ú ó ể t z = z0 tì từ n1 ik cjk eze j (z) = + (z), (j = 1, , n), k=1 t ó n1 cjk ez0 e 0= ik + (z0 ), (j = 1, , n) k=1 ỗ j = 1, , n n1 (cjk cnk )ez0 e 0= ik k=1 ó ọ {cjk } t ó = det(cjk ), (j, k = 1, , n) = cnn det(cjk cnk ), (j, k = 1, , n 1) cnn = từ t ó ez0 e ề ý Footer Page 35 of 166 ik = 0, (k = 1, , n 1) , , n+1 ó ể Header Page 36 of 166 ệ ề ứ , , n+1 ộ tế tí tr sử ợ tồ t số C i tờ s 1 + + n+1 n+1 = ó (h1 + ) + + n (hn + ) + n+1 n+1 = 0, é t h1 + + n hn + n+1 n+1 + (1 + + n )1 = t tí tổ qt t ó tể sử n+1 = 0, ó trì t n+1 ( h1 + + n hn + n+1 ) + (1 + + n )1 = n+1 ị ĩ ủ n+1 h1 , , hn u = n+1 , wm1 = ổ ề t ó C ó h1 + +n hn n+1 ệ tứ t ó tể m = n h1 + + n hn , = n+1 u(z) + wm1 (z) vm (z) ộ tế tí tr + n+1 ộ tế tí tr C n+1 = ề ý n+1 = t ó h1 + + n hn + (1 + + n )1 = sử + + n = ó t h1 + + n hn + = + + n Footer Page 36 of 166 Header Page 37 of 166 t tứ m = n = wm1 = h1 +ããã+n hn +ããã+n ó h1 + ã ã ã + n hn + = 0, + ã ã ã + n s r t + ã ã ã + n = s r n = ã ã ã n1 t ó (h1 hn ) + ã ã ã + n1 (hn1 hn ) = 0, n1 tr ó hj (z) hn (z) = ik (cjk cnk )eze , (j = 1, , n 1), det(cjk k=1 cnk ) = < < ã ã ã < n1 < tế tí tr i1 eze in1 , , eze ộ C t ó = ã ã ã = n1 = n = , , n+1 ộ tế tí tr C ệ ề t t r ế := [1 , , n+1 ] tì ỉ ì s ế tế tí từ C Pn (C) ệ ề ó T (r, ) < r + O(1) ứ ệ ề t ó i (re ) = i |j (z)| < Sj er , (j = 1, 2, , n+1) i (re ) + + n+1 (re ) (S1 er )2 + + (Sn+1 er )2 Footer Page 37 of 166 2 n+1 Sj2 j=1 er Header Page 38 of 166 ị ĩ tr T (r, ) t ó T (r, ) = 2 log (rei ) d Sj2 = log Sj2 j=1 er d j=1 n+1 er = log Sj2 log n+1 n+1 + log er j=1 n+1 Sj2 = r + log = r + O(1) j=1 ệ ề t |z| = r ó n n+1 (z) + cjk ajk ik eze Sn+1 er cos k j=1 ik j (z) cjk eze r Sj er cos k , (j = 1, , n) ủ |j (z)| Footer Page 38 of 166 1 cjk er cos k , (j = 1, , n) Header Page 39 of 166 ị s r ứ n n+1 (z) + ik eze cjk ajk j=1 n = n cjk ajk e zeik + j=1 k=1 j=1 n n zeiv cjv ajv = v=k j=1 n e iv iv eze cjv ajv = j=1 v=k Sn+1 er cos k eze cjv |ajv | v=1 ik eze cjk ajk j=1 ị ợ é t từ i zeik = cjk eze k j (z) cjk e ik cjk eze k=1 = cjv e zeiv iv cjv eze v=1 v=k Sj er cos k , (j = 1, , n) |j (z)| = (j = 1, , n) cjk e zeik cjk eze ik r cos 13 k c e , jk k=m k=1 t t tứ ị ợ ứ ệ ề t ak (rei ) |(ak , (rei ))| z = rei ak (max1 r ủ r cos 31 k j n cjk ) e n |ajk | Sj Sn+1 + er cos k j=1 ứ ệ ề t ề t ó Footer Page 39 of 166 r (ak , (rei )) = t ỳ ak Y ủ t t tứ ủ ệ Header Page 40 of 166 (rei ) ak max j (rei ) ak j n ak max cjk er cos k j n t tứ ủ ệ ề t ó |(ak , (z))| = |a1k (z) + + ank n (z) + n+1 (z)| n = n+1 (z) + ajk j (z) j=1 n n = n+1 (z) + cjk ajk e zeik ajk j (z) + j=1 n j=1 n n+1 (z) + n cjk ajk ik eze ik eze j=1 n ajk j (z) + j=1 cjk ajk j=1 cjk ajk ik eze j=1 n 2 Sn+1 er cos k + |ajk | Sj er cos k j=1 n = |ajk | Sj Sn+1 + er cos k j=1 t ó ề ứ ệ ề r ủ m(r, ak , ) ứ ị ĩ ủ Footer Page 40 of 166 r + O(1) k m(r, ak , ) k = 31 k t ệ Header Page 41 of 166 ề t ó m(r, ak , ) = ak (rei ) d log |(ak , (rei ))| k +k ak (rei ) d log |(ak , (rei ))| k k k +k r 2 cos k cos k d + O(1) 3 k k r sin k sin k k + O(1) 2r k k k + O(1) 2 = rk3 + O(1), x x = t ó sin x ị ý s t ột ự ỉ ì ó số trị ết ị ý sử Y = {ak } k ự tr (ak , ) ứ k , (k = 1, 2, 3, ) ệ ề t ó r + O(1) T (r, ) < r + O(1) ệ ề t ó (ak , ) = lim inf r Footer Page 41 of 166 m(r, ak , ) T (r, ) k Header Page 42 of 166 ị ý s t ột ự ỉ ì ó p p số ó số trị ết ị ý sử Y = {ak } k ỗ số p t ỳ t P (z) = z p sử ự tr P = [1 P, , n+1 P ] ó t ó P k , (k (ak , P ) = 1, 2, 3, ) ứ ủ ị ý tr s r trự tế từ ị ý ổ ề Y1 = Y {bm = (m + 1)a1 |1 n m t ệ q P N m} N ột số ợ r ị ý t ó (ak , P ) , (k = 1, 2, 3, ), k , (m = 1, , N m) (bm , P ) tr trờ ợ ì t ó ệ q s ệ q 0