Xây dựng đường cong chỉnh hình với một tập vô hạn số khuyết .pdf

Xây dựng đường cong chỉnh hình với một tập vô hạn số khuyết .pdf

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ THỊ HỒNG NGA XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2008 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ THỊ HỒNG NGA XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. TẠ THỊ HOÀI AN THÁI NGUYÊN – 2008 ụ ụụ ụ ờ ở ế tứ ị ì ệ số ết ì ờ ỉ ì ờ ỉ ì ớ số trị ết ết q ổ trợ í ụ ề ờ ỉ ì ớ số trị ết ết ệ t ờ ở ý tết r ờ ữ ủ tế ỷ ợ sự q t ủ ề t ọ tr tế ớ ý tết ổ ể ứ sự ố trị ủ ì f tq tr T (f, a, r) t ủ ì ếN(f, a, r) ế số f trị a tr ĩ í r ỉ m(f, a, r) ộ ế a ủ f ị ĩ rọ t ủ ý tết ị ý ị ý tứ t tể ệ sự ộ ủ tr ớ ọ trị a C {}ị ý tứ ó r ớ ết trị a ế N(f, a, r)trộ ỉ m(f, a, r) ề ế ị ĩ số ếtủ f t trị a s(f, a) := lim infr{1 N(f, a, r)T (f, a, r)}. trị a ợ ọ trị ết f ế (f, a) > 0 ệ sốết ột t ể ủ ị ý tứ ủ ụ tể ứ raC{}(f, a) 2.t ị ý tứ t t t r số ết ủ ì t ột trị ó tr [0, 1]. ữ ờ t ứ ợ r t trị ết ế ợ ột ỏ tự ợ t r 1 i N , sử {i} số tự s 0 < i 1,ii 2. sử ai, số ệt tr C {}. ồ t ì f tr C tỏ (f, ai) = i, (f, a) = 0 ọ a / {ai}? ỏ tr ò ợ ết t ợ ủ ó ề t ọ ứ t ợ ủ ụtể qết t ột số trờ ợ ệt ế ề tr ợ qết trọ ẹ ở rs tr r trì rs ỉ ét t ợ ủ số ết ò số ếtrẽ t ề sự tồ t ủ ì ớ ữ trị ết ợ ứ trọ ẹ t ết ì ó tể ợ ờ ỉì từ C P1(C) ó ệ ở rộ ý tết ổ ể ờ ỉ ì Pn(C) ớ n 2 ột ề tự rt ứ ị ý s ợ ọ ị ý rt ờ ỉ ì t s ị ý ờ ỉ ì f : C Pn(C) H1, . . . , Hq s ở ị trí tổ qt tr Pn(C) óqj=1(Hj, f) n + 1. tự ớ trờ ợ ì ờ t ũ ứ tít ủ số ết ủ ờ ỉ ì ớ n 2 í ụ ềờ ỉ ì ớ ữ trị ết ợ r ở ềt tr ó ệ ự ờ ỉ ì ó trịết ễ út ứ r í ụ ờ ỉ ì ớ ột t trị ếtụ í í ủ trì ữ ết q ó ủ ột ó ọ ọ t ố ụ r ủ t tr ờ ột ỏ tr ợ t ế tứ ị ợ trì ớ ụ í ế tứ tết ể ờ ọ ễ t õ ứ ết qủ s r ú t sẽ ột số tí t ủ ý tết ì ờ ỉ ì q ệ số ết ì ữế tứ q ứ r t ợ trị a s số ết ủ ột ì t ể a ế ợ ờ ỉ ì ớ số trị ết í ủ r ú t sẽ ự ờ ỉ ì ó số số ết ợ t P tứ t ú t r ết q ổ trợ ự ệ ế ỉ tr số ết trị ết ờ ỉ ì ột số tí t ễ t t ốq trọ ì ó ợ sử ụ ề ứ ữ ết q s ở ữ sP tứ trì í ụ ề ờ ỉ ì ớ số trịết ết q í ủ ị ý ị ý ợ t ớ sự ớ t tì tú ủ ị ớ sự ớ ủ t ớ q s tr ứ t t tỏ ò í trọ ết s s tớ tr trọ ọP ệ ọ ệt t tr ị ế tứt ề ệ t tr tờ ọ t ệt t r P ợ ử ờ ế ệ ồ ệ ủt ở trờ P ế ị ọ ớ ọ ú ỡ t rt ề tr q trì ọ t t ũ ử ờ tớ ễ ú ỡ t rtề tr q trì ứố ù t ợ tỏ sự ết tớ ì ố ẹ t ề ệ tốt t t ợ ọ t t ế tứ ịr ú t sẽ ột số tí t ủ ýtết ữ ế tứ q ú ờọ ễ t õ ệ ết q ủ ợ trí từ ì sử f ì tr ĩ í R r < Rí ệ n(f, , r), t ứ n(f, , r)), số ự ể tí ộ t ứ tí ộ ủ f tr ĩ ó í r. sử a C t ị ĩn(f, a, r) = n1f a, , r,n(f, a, r) = n1f a, , r. ị ĩ ế tí ộ N(f, a, r), t ứ ế tí ộ N(f, a, r) ủ f t trị a ợ ị ĩ sN(f, a, r) = n(f, a, 0) log r +r0n(f, a, t) n(f, a, 0)dtt, t ứN(f, a, r) = n(f, a, 0) log r +r0n(f, a, t) n(f, a, 0)dtt).ì tế ế a = 0 t óN(f, 0, r) = (r+0f) log r +zD(r)z=0(r+zf) log |rz|,tr ó D(r) ĩ ó í r r+zf = max{0, rzf} ộ ủ ể ị ĩ ỉ m(f, a, r) ủ f t trị a C ợị ĩ sm(f, a, r) =20log+1f(rei) ad2,m(f, , r) =20log+| f(rei) |d2,tr ó log+x = max{0, log x}. m(f, , r) ộ ớ tr ì ủ log |f| tr ờ trò |z| = r ị ĩ tr T (f, a, r) ủ f t trị a Cợ ị ĩ sT (f, a, r) = m(f, a, r) + N(f, a, r),T (f, r) = m(f, , r) + N(f, , r).ét ề t ó tr ố ớ ý tết ì ó trò t tự ủ tứ tr ý tết tứ ừ ịĩ tr t óT (f, a, r) N(f, a, r) + O(1),tr ó O(1) ột ợ ị r ị ĩ ủ ì f ợ ị ĩ ở tứ(f) = lim suprlog T (r, f)log r.ế (f) = tì f ợ ọ ó ế 0 < (f) < tì fợ ọ ó ữ sử 0 < (f) < tC = lim suprT (r, f)r. ó f ó tố ế C = ó tr ì ế 0 < C < ,ó tố tể ế C = 0. í ụ ế f ữ tỷ tì T (f, r) = O(log r), ó ữ tỷó ế f = eztì T (f, r) = r/ + O(1) ó ezó tr ì eez ó tứ Pss s ị ý sử f(z) 0, ột ì tr ì tròD = {|z| R} ớ 0 < R < sử aà, à = 1, ., M ểủ f tr D, ỗ ể ợ ể ột số ộ ủ ób, ( = 1, 2, ., N) ự ể ủ f tr tr D, ỗ ự ể ợể ột số ộ ủ ó ó ớ ỗ z = rei D s f(z) = 0, f(z) = t ólog |f(z)| =1220logf(Rei)R2 r2R2 2Rr cos( ) + r2d++Mà=1logR(z aà)R2 aàzN=1logR(z b)R2 bz. ứ ét trờ ợ srờ ợ f(z) ó ể ự ể tr{|z| R} z = 0 ó t ứ log |f(0)| =1220logf(Rei)d. f(z) = 0 tr D log f(z) ỉ ì tr D. ịý t ólog f(0) =12i|z|=Rlog f(z)dzz=1220log f(Rei)d. tự ế t ólog |f(0)| =1220logf(Rei)d.rờ ợ f(z) ó ể ự ể tr{|z| R} ớ z tỳ ý z = rei(0 < r < R) ét {|| R} { 1}z 0 = z =R ( z)R2 z || = R t ứ ớ || = 1 ì|| =R | z||R2 z| [...]... giá trị Chương 2 Đường cong chỉnh hình với vô số giá trị khuyết Trong Chương 1, ta đã chứng minh rằng tập hợp các giá trị hàm số khuyết của một hàm phân hình tại điểm a sao cho a dương là đếm được Trong chương này, chúng tôi sẽ xây dựng các đường cong chỉnh hình có vô số hàm số khuyết dương Trước hết ta đưa ra các kết quả dùng để hỗ trợ cho việc xây dựng các đường cong chỉnh hình như vậy 2.1 Các kết... minh 2.2 Các ví dụ về đường cong chỉnh hình với vô số giá trị khuyết Như ta đã biết, bài toán về hàm phân hình với hữu hạn hay vô hạn giá trị khuyết đã được nghiên cứu khá trọn vẹn trong các công trình của Le V T [11], D Drasin [3], Hayman [4], Trong phần này ta nghiên cứu bài toán này cho đường cong chỉnh hình Ta giả thiết Cho n 2 {v }và {k } là các dãy sao cho {v } là một dãy giảm với v > 0, v = 1,... Định lý Cho ánh xạ chỉnh hình a1 , , aq bất kỳ của X ở N f : C Pn (C) Với q phần tử - vị trí tổng quát Khi đó q 2N n + 1, (aj , f ) j=1 trong đó 2N n + 1 q Để xây dựng đường cong chỉnh hình có vô số giá trị khuyết, ta cũng cần các kết quả sau đây của lý thuyết dãy Cho {v } là một dãy giảm thoả mãn v > 0, v = 1, 0 = 1 v=1 Đặt k1 0 = 0, k = v , (k = 1, 2, 3, ) v=0 23 Khi đó {k } là một dãy tăng ngặt... Pn (C) là ánh xạ chỉnh hình, a Cn+1 {0} (f, a) = 1 lim sup r được gọi là số khuyết của f tại N (r, a, f ) m(r, a, f ) = lim inf r T (r, f ) T (r, f ) a 22 Nhận xét Từ công thức (2.1) ta có 0 (f, a) 1 Tương tự như đối với hàm phân hình, ta có các định nghĩa về giá trị khuyết như sau 2.1.7 Định nghĩa a Cn+1 {0}, Cho của đường cong chỉnh hình khuyết cực đại 2.1.8 Định nghĩa Cho số nguyên thoả mãn... là q Giả sử f (z) là hàm phân hình trong số phức phân biệt Khi đó, q (q 2)T (f, r) N (f, ai , r) Nram (f, r) + O log T (r, f ) , i=1 cho r bên ngoài tập hợp có độ đo Lebesgue hữu hạn và Nram (f, r) = N (f , 0, r) + 2N (f, , r) N (f , , r) 1.2 Quan hệ số khuyết cho hàm phân hình Quan hệ số khuyết là một dạng phát biểu khác của Định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna Số khuyết liên quan chặt chẽ đến... hàm nguyên không có (f0 , f1 , , fn ) được gọi là biểu diễn rút gọn f f : C Pn (C) là đường cong chỉnh hình Giả sử f = (f0 , , fn ) diễn rút gọn của f , trong đó f0 , , fn là các hàm nguyên trong C Giả sử là biểu Pn , Ta có Pn = (C )n+1 / là một lớp và đơn giản là P đường cong chỉnh hình của đường cong Pn P = (x0 : ã ã ã : xn ) của điểm Ta có thể viết ký hiệu là không có không điểm chung... f ) log r, t r 0 n(t, Q, f ) n(0, Q, f ) dt n(0, Q, f ) log r) t Tương tự như đối với hàm phân hình, ta cũng có hai định lý cơ bản cho các đường cong chỉnh hình 1.3.3 Định lý (Định lí cơ bản thứ nhất) cong chỉnh hình và Q Giả sử f : C Pn (C) là đa thức thuần nhất bậc d trong là đường Pn (C) Giả sử Q f (C) 0, thì với mọi 0 < r < m(r, Q, f ) + N (r, Q, f ) = dT (r, f ) + O(1), trong đó O(1) là đại... sin k > 0.) 6 2 Điều này mâu thuẫn Vậy điều giả sử không, tức là độc lập tuyến tính trên Cho u(z) + wm1 (z) và vm (z) C f := (f1 : : fn+1 ) là một đường cong chỉnh hình siêu việt; một số nguyên dương tuỳ ý, đặt P (z) = z p , p là chúng ta xét đường cong chỉnh hình f P = (f1 P, , fn+1 P ) Chú ý rằng tính trên f1 P, , fn+1 P không có không điểm chung và độc lập tuyến C 2.1.14 Bổ đề Cho a Cn+1 {0}... miền Ta có số không điểm và cực điểm của hàm hữu hạn Thật vậy, giả sử compact, do đó zkj f (z) trên biên hội tụ đến {zk } , là điểm bất thường; vì điểm nghĩa là trong một lân cận của tại đó f zkj z0 có cực điểm là zk0 {|| = R} và f (zkj ) = 0, do đó f = 0 Giả sử có vô hạn không điểm ra vô lý vì {|z| = R} f (z) có vô hạn không điểm {zk } , khi đó {|| = R} trên một tập hợp có điểm giới hạn Điều này... cơ bản thứ hai của Nevanlinna Số khuyết liên quan chặt chẽ đến bài toán ngược của Nevanlinna trong [9] Trước hết ta nhắc lại định nghĩa số khuyết 14 1.2.1 Định nghĩa Số khuyết của hàm f tại điểm (f, a) = lim inf 1 r Số khuyết rẽ nhánh của hàm f (f, a) = lim inf r Số khuyết bị chặt của hàm f tại điểm a được định nghĩa bởi N (f, a, r) T (f, r) a được định nghĩa bởi N (f, a, r) N (f, a, r) T (f, r) . XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: . NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ THỊ HỒNG NGA XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VỚI MỘT TẬP VÔ HẠN SỐ KHUYẾT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN