Thác triển yếu hàm chỉnh hình trong không gian vô hạn chiều với điều kiện đa thức Leja

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VŨ THỊ MỪNG THÁC TRIỂN YẾU HÀM CHỈNH HÌNH TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU VỚI ĐIỀU KIỆN ĐA THỨC LEJA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VŨ THỊ MỪNG THÁC TRIỂN YẾU HÀM CHỈNH HÌNH TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU VỚI ĐIỀU KIỆN ĐIỀU KIỆN ĐA THỨC LEJA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hào Hà Nội, 2017 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cán phòng Sau đại học, giảng viên chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội tổ chức giảng dạy để em hoàn thành khóa học đào tạo chuyên ngành thạc sỹ toán học Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ tạo điều kiện thuận lợi cho em trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 07 năm 2017 Tác giả Vũ Thị Mừng Lời cam đoan Em xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào, luận văn thạc sĩ chuyên ngành toán giải tích với đề tài “Thác triển yếu hàm chỉnh hình không gian vô hạn chiều với điều kiện đa thức Leja” hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 07 năm 2017 Tác giả Vũ Thị Mừng Mục lục Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian lồi địa phương 1.2 Đối ngẫu tô pô yếu 14 1.3 Pôla 16 1.4 Đa thức không gian lồi địa phương 20 1.5 Ánh xạ chỉnh hình 27 1.6 Tô pô không gian ánh xạ chỉnh hình 32 1.7 Không gian mầm hàm chỉnh hình 35 Thác triển yếu hàm chỉnh hình 38 2.1 Điều kiện đa thức 38 2.2 Thác triển yếu hàm chỉnh hình với điều kiện đa thức Leja 39 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 Mở đầu Lý chọn đề tài Trong vấn đề quan tâm giải tích, người ta thường đề cập đến toán thác triển giải tích Một vấn đề phải kể đến toán thác triển chỉnh hình yếu sau: Cho U tập mở không gian lồi địa phương F A tập U Giả sử f ánh xạ từ tập A vào không gian lồi địa phương F Ta nói ánh xạ f thác triển chỉnh hình yếu lên U với hàm u ∈ F , không gian đối ngẫu F , tồn hàm chỉnh hình u ◦ f U cho u ◦ f |A = u ◦ f Quan tâm đến vấn đề này, trước hết phải kể đến công trình Leja [7] Năm 1933, ông đưa bổ đề sau gọi “Bổ đề đa thức” phát biểu sau: Giả sử A tập mặt phẳng phức C a điểm mặt phẳng phức C Nếu tồn số m > cho A ∩ {z ∈ C : |z − a| = t} = ∅; với t ∈ [0, m], A thỏa mãn điều kiện (L0 ) a Nghĩa là, với họ đa thức (Pi )i∈I bị chặn điểm A với ε > tồn số M > δ > cho |Pi (z)| ≤ M (1 + ε)deg Pi ; với i ∈ I z ∈ {ξ ∈ C : |ξ − a| < δ} Theo Siciak [12] ta nói tập A thỏa mãn điều kiện (L) điểm a Ar = {z ∈ C : |z − a| < r} ∩ A thỏa mãn điều kiện (L0 ) a với số r > Để hoàn thành khóa đào tạo Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích, em chọn đề tài luận văn “Thác triển yếu hàm chỉnh hình không gian vô hạn chiều với điều kiện đa thức Leja” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày hệ thống số kiến thức lý thuyết hàm chỉnh hình không gian vô hạn chiều Nghiên cứu toán thác triển yếu hàm chỉnh hình không gian vô hạn chiều với điều kiện đa thức Leja Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu hàm chỉnh hình không gian vô hạn chiều vấn đề thác triển yếu hàm chỉnh hình với điều kiện Leja Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích tổng hợp, vận dụng kiến thức giải tích để phục vụ cho mục đích nghiên cứu Dự kiến đóng góp đề tài Đề tài hệ thống số kiến thức hàm chỉnh hình không gian vô hạn chiều Nghiên cứu toán thác triển yếu hàm chỉnh hình không gian vô hạn chiều liên quan đến điều kiện Leja Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian lồi địa phương Định nghĩa 1.1 Cho E không gian véc tơ A tập E Ta nói (i) Tập A gọi lồi với x, y ∈ A ta có λx + (1 − λ)y ∈ A; với λ ≥ (ii) Tập A gọi cân với x ∈ A ta có λx ∈ A; với |λ| ≤ (iii) Tập A gọi lồi tuyệt đối đồng thời lồi cân (iv) Tập hợp điểm có dạng n n λi xi ; với λi ≥ 0, i=1 λi = xi ∈ A i=1 gọi bao lồi A (v) Bao tuyệt đối lồi A tập tất tổ hợp tuyến tính hữu hạn n n λi xi với λi ≥ 0, i=1 λi ≤ với xi ∈ A (là tập tuyệt đối lồi nhỏ i=1 chứa A ) (vi) Tập A gọi hút với x ∈ A, tồn λ > cho x ∈ µA với µ mà |µ| ≥ λ Định nghĩa 1.2 Một không gian véc tơ có sở gồm lân cận cân lồi điểm gốc gọi không gian véc tơ lồi địa phương (không gian lồi địa phương) tô pô gọi tô pô lồi địa phương Định nghĩa 1.3 a) Giả sử E không gian véc tơ trường K (với K = R, C ) Một hàm p xác định E có giá trị thực không âm (hữu hạn) gọi nửa chuẩn với x, y ∈ E va λ ∈ K thỏa mãn điều kiện sau + p(x) ≥ + p(λx) = |λ| p(x) + p(x + y) ≤ p(x) + p(y) b) Một nửa chuẩn p tương đương với tập hợp tuyệt đối lồi hút A gọi hàm cỡ tập A Mệnh đề 1.1 Trong không gian lồi địa phương E nửa chuẩn p liên tục liên tục điểm gốc Chứng minh Nếu p liên tục điểm gốc ε > số cho trước tồn lân cận V cho p(x) < ε x ∈ V Do đó, với a điểm tuỳ ý E ta có p(x) − p(a) ≤ p(x − a) < ε; x ∈ a + V Định nghĩa 1.4 Không gian véc tơ E gọi khả định chuẩn tô pô xác định chuẩn p Mệnh đề 1.2 Không gian lồi địa phương E khả metric tách có sở lân cận điểm gốc đếm Tô pô không gian khả metric xác định metric, bất biến phép tịnh tiến Chứng minh Nếu E khả metric dĩ nhiên tách có sở đếm lân cận điểm gốc Ngược lại, Giả sử E có sở lân cận đếm Khi đó, lân cận chứa lân cận tuyệt đối lồi, nên tồn sở (un ) lân cận tuyệt đối lồi Gọi pn hàm cỡ un Đặt ∞ 2−n inf {pn (x), 1} f (x) = n=1 Thế f (x + y) ≤ f (x) + f (y), f (−x) = f (x) Hơn nữa, E tách nên f (x) = pn (x) = 0, với n x = Đặt d(x, y) = f (x − y) d metric p(f ) < c(V ) f V; với f ∈ H ∞ (V, F ) Nếu f ∈ H(V, F )\H ∞ (V, F ) f V = ∞ bất đẳng thức Do hạn chế p H(V, F ) nửa chuẩn τω liên tục mang tập compact K V Do p nửa chuẩn liên tục limind H(V, F ); τω Điều chứng tỏ hai tô pô trùng V ⊃K H(V, F ) Mệnh đề chứng minh Từ mệnh đề suy F không gian tuyến tính định chuẩn H(V, F ) không gian bornological Do không gian thùng F không gian Banach Nếu E không gian metric F không gian Banach, H(V, F ) giới hạn quy nạp đếm không gian Banach (DF ) không gian bornological 37 Chương Thác triển yếu hàm chỉnh hình 2.1 Điều kiện đa thức Định nghĩa 2.1 Cho E không gian lồi địa phương A tập E Ta nói A thỏa mãn điều kiện (L0 ) điểm a ∈ E dãy đa thức {Qk } nhận giá trị phức, liên tục E thỏa mãn |Qk (x)| ≤ M (x); với k ∈ N, M (x) số phụ thuộc x ∈ A, với ε > 0, tồn số C > lân cận U a E cho |Qk (x)| ≤ C(1 + ε)deg Qk ; với x ∈ U Ta nói A thỏa mãn điều kiện (L) điểm a ∈ E A ∩ U thỏa mãn điều kiện (L0 ) a với lân cận U a Chú ý: (i) Từ định nghĩa ta thấy điều kiện (L) kéo theo điều kiện (L0 ) 38 ¯ (ii) Nếu A thỏa mãn điều kiện (L) a a ∈ A Một số ví dụ điều kiện đa thức Ví dụ 2.1.1 Siciak [12] chứng minh tập compact E ⊂ C thỏa mãn điều kiện (L) điểm a E không mỏng điểm Ví dụ 2.1.2 N T Van – Siciak [13] chứng tỏ tập mở không rỗng không gian Baire thỏa mãn điều kiện (L) điểm 2.2 Thác triển yếu hàm chỉnh hình với điều kiện đa thức Leja Định nghĩa 2.2 Cho U tập mở không gian lồi địa phương F A tập U f ánh xạ từ tập A vào không gian lồi địa phương F Ta nói ánh xạ thác triển chỉnh hình yếu lên U với hàm u ∈ F , không gian đối ngẫu F, tồn hàm chỉnh hình u ◦ f U cho u ◦ f |A = u ◦ f Vấn đề thác triển hàm chỉnh hình từ tập mở nhiều nhà toán học quan tâm Khởi đầu cho hướng nghiên cứu này, tác giả xét toán với hàm 39 biến phức nhận giá trị không gian lồi địa phương Tiếp đó, Hirschowitz [6] tác giả chứng minh định lý thác triển hàm chỉnh hình có thác triển chỉnh hình yếu trường hợp E không gian Banach phức Năm 1975, Ligocka - Siciak [8] chứng tỏ A tập mở không gian véc tơ tô pô loại Barie ánh xạ f thác triển chỉnh hình yếu lên U, f thác triển chỉnh hình lên U Kết thuộc N T Van [14] , ông mở rộng kết Ligocka – Siciak tới trường hợp A tập tùy ý U (không thiết mở) thỏa mãn điều kiện đa thức Leja, kết ta phát biểu Tiếp tục kết N T Van [14], xét toán mức độ tổng quát Phương pháp sử dụng phép chứng minh N T Van [14] dựa vào khai triển Taylor lân cận điểm thác triển qua lân cận điểm Tuy nhiên, để thu hội tụ chuỗi khai triển Taylor tác giả phải cần tới giả thiết phụ điều kiện bị chặn ánh xạ u ◦ f miền U1 ⊂ U Mục đích bỏ giả thiết điều kiện bị chặn Để làm điều sử dụng phương pháp chứng minh hoàn toàn khác phương pháp chứng minh N T Van [14], phương pháp dựa định lý đồ thị đóng Grothendieck [4] Trước trình bày kết chứng minh kết cần đến điều kiện bị chặn 40 ánh xạ u ◦ f , không cần đến toàn điều kiện (L) mà tập A phải thỏa mãn điểm miền U1 U Đó kết sau Định lý 2.1 Cho f ánh xạ từ tập A tập mở U không gian Frechet E vào không gian Frechet F cho với u ∈ F , không gian đối ngẫu F , ánh xạ u ◦ f thác triển chỉnh hình lên U tới ánh xạ u ◦ f Khi đó, hai điều kiện sau thỏa mãn (i) ∈ A A ∩ sU1 thỏa mãn điều kiện (L0 ) với lân cận cân U1 U < s < 1; (ii) Với u ∈ F , ánh xạ u ◦ f bị chặn U1 , f thác triển chỉnh hình lên U Về mặt bản, phương pháp chứng minh định lý dựa định lý đồ thị đóng Grothendieck lớp (LF ) không gian loại (β) để xây dựng ánh xạ chỉnh hình có tính chất kết Ligocka – Siciak [8] Tuy vậy, để xây dựng ánh xạ cần tới kết sau Bổ đề 2.1 Nếu A tập mở không gian Frechet E A ∩ sU thỏa mãn điều kiện (L0 ) với lân cận cân U < s < đó, A có tính chất H ∞ (U ), nghĩa là: f ∈ H ∞ (U ) 41 f |A∩U = f = U Chứng minh Cho f ∈ H ∞ (U ) f |A∩U = Viết khai triển Taylor hàm f lân cận điểm ∈ E dạng f (z) = Pn f (z), n≥0 n 2πi Pn f (z) = f (λz) dλ λn+1 |λ|=1 Theo bất đẳng thức tích phân Cauchy, ta có Pn f (z) ≤ f z ; với n ≥ z U < 1, U giá trị phiếm hàm Minkowski liên kết với U z Từ đó, U ta có Pn f (z) ≤ sn f ; với n ≥ z U < s U Đặt k Qk (z) = Pn f (z) n=0 Thì ta nhận đánh giá Qk (z) ≤ f (z) + Pn f (z) n≥k+1 sn f ≤ f (z) + n≥k+1 42 U sn = f (z) + sk f U n≥1 k = f (z) + C0 s f với z U U sn < s k ≥ Trong C0 = n≥1 Do Qk (z) ≤ C0 sk f ; với z ∈ A, z U < s với k ≥ U Vì A ∩ sU thỏa mãn điều kiện (L0 ) nên với ε > 0, tồn δ > C > cho Qk (z) ≤ C f sk ekε ; với z U < δ k ≥ U Khi đó, chọn < ε < log , ta có s Qk (z) ≤ C f Do f (z) = lim Qk (z) với z k→∞ (seε )k → 0; k → ∞ U < δ Do f = U U Bổ đề chứng minh Chứng minh định lí 2.1 Theo giả thiết định lý A ∩ sU1 thỏa mãn điều kiện (L0 ) với < s < Do đó, theo Bổ đề 2.1 ánh xạ tuyến tính S : Fbor → H ∞ (U1 ) xác định công thức S(u)(z) = u ◦ f (z); với u ∈ Fbor z ∈ U1 43 hoàn toàn xác định Hơn nữa, ta thấy ánh xạ S có đồ thị đóng Thật vậy, gọi Γs đồ thị ánh xạ S uα , S(uα ) ∈ ΓS mà uα , S(uα ) → (u, g) α → ∞, ta có g(z) = lim S(uα )(z) = lim uα ◦ f (z) = lim uα ◦ f (z) α α α = u ◦ f (z) = u ◦ f (z) = S(u)(z); với z ∈ A ∩ sU1 Lại theo Bổ đề 2.1 ta có g(z) = S(u)(z); với z ∈ U1 Tức S có đồ thị đóng Áp dụng định lý đồ thị đóng Grothendieck [4] ta suy S liên tục Ta xác định ánh xạ g : U1 → [F bor ] cho công thức g(z)(u) = S(u)(z); với z ∈ U1 u ∈ Fbor Từ ánh xạ Dirac δ : U1 → H ∞ (U1 ) xác định δ(z)(φ) = φ(z); với z ∈ U1 , φ ∈ H(U1 ) hàm chỉnh hình nên g ánh xạ chỉnh hình Mặt khác, ta lại có g(z)(u) = S(u)(z) = u ◦ f (z) = u ◦ f (z); với z ∈ A ∩ U1 Do đó, theo Bổ đề 2.1 44 g(z)(u) = u ◦ f (z); với z ∈ U1 Vậy g(U1 ) ⊂ F u ◦ f |U1 = u ◦ g; với u ∈ F Bởi u◦f :u∈F ⊂ H ∞ (U1 ) nên theo Ligocka-Siciak [8] hàm g hàm chỉnh hình U1 thác triển chỉnh hình yếu lên U Từ đó, ta suy g thác triển chỉnh hình lên U Do f thác triển chỉnh hình lên U Định lý chứng minh Trong kết tiếp theo, giả thiết tính bị chặn u ◦ f miền U1 bỏ Định lý 2.2 Cho f ánh xạ từ tập A tập mở U không gian Frechet E vào không gian Frechet F cho với u ∈ F hàm u ◦ f thác triển chỉnh hình tới hàm u ◦ f chỉnh hình U Khi A thỏa mãn điều kiện (L) điểm a ∈ A f thác triển chỉnh hình lên U Chứng minh Xét ánh xạ tuyến tính S : Fbor → limprojH(K) a∈K 45 U Được cảm sinh từ f định lý 2.1 (i) Trước hết ta chứng tỏ S liên tục Muốn ta cần chứng tỏ ánh xạ SK,n : Fn → H(K) liên tục với n ≥ tập compact K U chứa điểm a Ta viết H(K) = limindH ∞ (V ) V ⊃K Bởi định lý đồ thị đóng Grothedieck [4] , việc lại ta chứng tỏ SK,n có đồ thị đóng Thực vậy, cho {uk } ⊂ Fn với uk → u k → ∞ cho SK,n (uk ) → µ ∈ H(K) Vì H(K) = limind H ∞ (V ) quy V K [9], nên ta tìm lân cận V K cho SK,n (uk ) bị chứa bị chặn H ∞ (V ) Bởi tính Montel H ∞ (V ), không tính tổng quát ta giả sử SK,n (uk ) → µ H ∞ (V ) Ta có SK,n (u)(z) = u ◦ f (z) = lim uk ◦ f (z) = lim SK,n (uk )(z) = µ(z); k k với z ∈ A ∩ V Từ suy SK,n (u) = µ Vậy SK,n có đồ thị đóng Điều suy tính liên tục S (ii) Tiếp tục ta xét ánh xạ 46 f : U → [F bor ] ⊃ F Xác định f (z)(u) = S(u)(z); với u ∈ Fbor z ∈ U Đặt fn := f : U → Fn Ta thấy fn ánh xạ chỉnh hình với u ∈ Fn ánh xạ u ◦ fn chỉnh hình Từ suy f chỉnh hình (iii) Trước hết ta thấy f (z)(u) = S(u)(z) = u ◦ f (z); với z ∈ A Điều đó, chứng tỏ f (A) ⊂ F Lại tính A không gian hàm chỉnh hình H ∞ (V ) nên ta suy f (U ) ⊂ F Hiển nhiên f |A = f Định lý chứng minh 47 Kết luận Luận văn trình bày số kết nghiên cứu sau Trình bày số kiến thức hàm chỉnh hình không gian vô hạn chiều Nghiên cứu toán thác triển yếu hàm chỉnh hình không gian vô hạn chiều gắn với điều kiện đa thức Leja 48 Tài liệu tham khảo [1] W M Bogdanowicz (1969), Analytic continuation of holomorphic function with values in a locally convex space, Proc Amer Math Soc 22, 660 - 666 [2] S Dineen (1981), Holomorphic germs on compact subsets of locally convex spaces, Functional Analysis, Holomorphy–Approximation Theory, Ed S Machado, Springer - Verlag Lecture Notes in Math 843, 247-263 [3] A Grothendieck (1954), Sur les espace (F ) et (DF ) , Summa Brasil Math 3, 57-122 [4] A Grothendieck (1958), Espaces vectoriels topologiques, 2nd ed., Soc Math Sao Paulo [5] N V Hao and B D Tac (1998), Weakly Holomorphic Extensions and the condition , Acta Mathematica Vietnamica, Volume 23, Number 2, pp 317–323 [6] A Hirschowits (1970), Bornologie des espace de fonctions analytiques en dimension infinie, Séminaire Lelong 1970, Springer - Verlag, Lecture Notes in Math 205, 21-33 [7] F Leja (1933), Sur les suites de polynômes borne’s Presque partout sur la frontière d’un domaine, Math Ann 108, 517-524 49 [8] E Ligocka and J Siciak (1972), Weak analytic continuation, Bull Acad Polon Sci Math 20 (6), 461-466 [9] J Mujica (1979), Space of germs of holomorphic functions, Studies in Analysis, Advanced in Math Sup Stud., Ed G C Rota, Academic Press, 1-41 [10] Ph Noverraz (1969), Fonctionsphurisoshamorniques et analytiques dans les espaces vectoriels topologiques, Ann Ints Forier 19, 419-494 [11] A P Robertson and W Robertson (1964), Topological Vector Spaces, Cambridge, University Press [12] J Siciak (1969), Separately analytic functions and envelopes of holomorphy of some lower dimensional subsets of C, Ann Polon Math 22, 145-171 [13] N T Van et J Siciak (1978), Condition polynomiale de Leja et Lemme de Hartogs dans les espaces vectoriels topologiques de Baire, C R A Sci Paris 287, 421-426 [14] N T Van (1975), Familles de polynômes ponctuellement bornées, Ann Polon Math 31, 83-90 [15] N T Van (1976), Fonctions separatement analytiques et prolongement an alytique faible en dimension infinie, Ann Polon Math 33, 71-83 [16] L Waelbroeck (1974), Weak analytic functions and the closed graph theorem, Proc Conf on Infinite Dimensional Homomorphy, Lecture Notes 50 in Math 364, 97-100 51 ... toán thác triển yếu hàm chỉnh hình không gian vô hạn chiều với điều kiện đa thức Leja Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu hàm chỉnh hình không gian vô hạn chiều vấn đề thác triển yếu hàm chỉnh. .. kiến thức hàm chỉnh hình không gian vô hạn chiều Nghiên cứu toán thác triển yếu hàm chỉnh hình không gian vô hạn chiều liên quan đến điều kiện Leja Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian. .. triển yếu hàm chỉnh hình không gian vô hạn chiều với điều kiện đa thức Leja Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày hệ thống số kiến thức lý thuyết hàm chỉnh hình không gian vô hạn chiều Nghiên