Thác triển yếu hàm chỉnh hình trong không gian vô hạn chiều với điều kiện đa thức Leja

Nguyễn Văn Hào, luậnvăn thạc sĩ chuyên ngành toán giải tích với đề tài “Thác triển yếu hàmchỉnh hình trong không gian vô hạn chiều với điều kiện đa thứcLeja” được hoàn thành bởi nhận thứ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VŨ THỊ MỪNG

THÁC TRIỂN YẾU HÀM CHỈNH HÌNH TRONG

KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU VỚI

ĐIỀU KIỆN ĐA THỨC LEJA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VŨ THỊ MỪNG

THÁC TRIỂN YẾU HÀM CHỈNH HÌNH TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU VỚI ĐIỀU KIỆN

ĐIỀU KIỆN ĐA THỨC LEJA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCChuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hào

Hà Nội, 2017

Lời cảm ơn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, người đãđịnh hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thànhluận văn này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các cán bộ phòng Sau đạihọc, các giảng viên chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2 đã tổ chức và giảng dạy để em hoàn thành khóa học đào tạochuyên ngành thạc sỹ toán học

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho emtrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 07 năm 2017

Tác giả

Vũ Thị Mừng

Lời cam đoan

Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, luậnvăn thạc sĩ chuyên ngành toán giải tích với đề tài “Thác triển yếu hàmchỉnh hình trong không gian vô hạn chiều với điều kiện đa thứcLeja” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 07 năm 2017

Tác giả

Vũ Thị Mừng

Mục lục

1.1 Không gian lồi địa phương 4

1.2 Đối ngẫu và tô pô yếu 14

1.3 Pôla 16

1.4 Đa thức trên không gian lồi địa phương 20

1.5 Ánh xạ chỉnh hình 27

1.6 Tô pô trên không gian các ánh xạ chỉnh hình 32

1.7 Không gian mầm các hàm chỉnh hình 35

2 Thác triển yếu các hàm chỉnh hình 38 2.1 Điều kiện đa thức 38 2.2 Thác triển yếu hàm chỉnh hình với điều kiện đa thức Leja 39

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài Trong những vấn đề được quan tâm của giải tích,người ta thường đề cập đến bài toán về thác triển giải tích Một trongnhững vấn đề đó cũng phải kể đến bài toán thác triển chỉnh hình yếu nhưsau: Cho U là tập con mở trong không gian lồi địa phương F và A là tậpcon của U Giả sử f là ánh xạ từ tập A vào không gian lồi địa phương F

Ta nói rằng ánh xạ f được thác triển chỉnh hình yếu lên U nếu với mọihàmu ∈ F0, không gian đối ngẫu của F, nếu tồn tại hàm chỉnh hình [u ◦ f

trên U sao cho [u ◦ f |A = u ◦ f

Quan tâm đến vấn đề này, trước hết phải kể đến công trình của Leja [7]

Năm 1933, ông đưa ra bổ đề sau này được gọi là “Bổ đề đa thức” phátbiểu như sau: Giả sử A là một tập con của mặt phẳng phức C và a là mộtđiểm trong mặt phẳng phức C Nếu tồn tại một số m > 0 sao cho

A ∩ {z ∈C : |z − a| = t} 6= ∅; với mọi t ∈ [0, m],

thì A thỏa mãn điều kiện (L0) tại a Nghĩa là, với mọi họ các đa thức

(Pi)i∈I bị chặn tại mọi điểm của A thì với mọi ε > 0 tồn tại hằng số

M > 0 và δ > 0 sao cho

|Pi(z)| ≤ M (1 + ε)deg Pi; với mọi i ∈ I và mọi z ∈ {ξ ∈ C : |ξ − a| < δ}

Theo Siciak [12] ta nói rằng tập A thỏa mãn điều kiện (L) tại điểm a nếu

Ar = {z ∈ C : |z − a| < r} ∩ A thỏa mãn điều kiện (L0) tại a với mọi số

r > 0

Để hoàn thành khóa đào tạo Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích, emchọn đề tài luận văn “Thác triển yếu hàm chỉnh hình trong khônggian vô hạn chiều với điều kiện đa thức Leja”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày hệ thống một số kiến thức lý thuyết căn bản về hàm chỉnh hìnhtrong không gian vô hạn chiều

Nghiên cứu về bài toán thác triển yếu hàm chỉnh hình trong không gian

vô hạn chiều với điều kiện đa thức Leja

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về hàm chỉnh hìnhtrong không gian vô hạn chiều và vấn đề thác triển yếu hàm chỉnh hìnhvới điều kiện Leja

4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích và tổng hợp, vậndụng kiến thức về giải tích để phục vụ cho mục đích nghiên cứu

5 Dự kiến các đóng góp của đề tài Đề tài hệ thống một số kiến thứccăn bản về hàm chỉnh hình trong không gian vô hạn chiều

Nghiên cứu về bài toán thác triển yếu hàm chỉnh hình trong không gian

vô hạn chiều liên quan đến điều kiện Leja

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian lồi địa phương

Định nghĩa 1.1 Cho E là một không gian véc tơ và A là một tập concủa E Ta nói

(i) Tập A được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ A ta có

λx + (1 − λ)y ∈ A; với mọi λ ≥ 0

(ii) Tập A được gọi là cân nếu với mọi x ∈ A ta có

(v) Bao tuyệt đối lồi của A là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn

(vi) Tập A được gọi là hút nếu với mọi x ∈ A, tồn tại λ > 0 sao cho

x ∈ µA với mọi µ mà |µ| ≥ λ

Định nghĩa 1.2 Một không gian véc tơ có một cơ sở gồm những lân cậncân lồi của điểm gốc được gọi là không gian véc tơ lồi địa phương (khônggian lồi địa phương) và tô pô của nó gọi là tô pô lồi địa phương

Định nghĩa 1.3

a) Giả sử E là một không gian véc tơ trên trường K (với K = R,C ) Mộthàm p xác định trên E có giá trị thực và không âm (hữu hạn) được gọi lànửa chuẩn nếu với mọi x, y ∈ E va λ ∈ K thỏa mãn các điều kiện sau

+ p(x) ≥ 0+ p(λx) = |λ| p(x)+ p(x + y) ≤ p(x) + p(y)b) Một nửa chuẩn p tương đương với tập hợp tuyệt đối lồi và hút A đượcgọi là hàm cỡ của tập A

Mệnh đề 1.1 Trong một không gian lồi địa phương E một nửa chuẩn p

là liên tục khi và chỉ khi nó liên tục tại điểm gốc

Chứng minh Nếu p liên tục tại điểm gốc và ε > 0 là một số cho trướcthì tồn tại một lân cận V sao cho p(x) < ε khi x ∈ V Do đó, với a là một

điểm tuỳ ý của E ta có

p(x) − p(a)

≤ p(x − a) < ε; khi x ∈ a + V

Định nghĩa 1.4 Không gian véc tơ E được gọi là khả định chuẩn nếu tô

pô của nó có thể xác định được bởi một chuẩn p

Mệnh đề 1.2 Không gian lồi địa phương E là khả metric khi và chỉ khi

nó là tách và có một cơ sở lân cận của điểm gốc đếm được Tô pô của mộtkhông gian khả metric luôn có thể xác định được bởi một metric, bất biếnđối với các phép tịnh tiến

Chứng minh Nếu E là khả metric thì dĩ nhiên nó là tách và có một cơ

sở đếm được những lân cận của điểm gốc

Ngược lại, Giả sử E có một cơ sở lân cận đếm được Khi đó, bởi vì mỗi lâncận đều chứa một lân cận tuyệt đối lồi, nên tồn tại một cơ sở (un) nhữnglân cận tuyệt đối lồi Gọi pn là hàm cỡ của un Đặt

pn(x) ≥ 1, vậy f (x) ≥ 2−n Thành thử d xác định tô pô xuất phát của E.

Định nghĩa 1.5 Một phiếm hàm dưới tuyến tính ϕ(x) (trong không gianthực hay phức) là một sơ chuẩn nếu ϕ(αx) = |α| ϕ(x) với mọi x ∈ X vàmọi số α ∈ K.

Mệnh đề 1.3 Một hàm p : X → R là sơ chuẩn khi và chỉ khi nó là hàm

cỡ của một tập lồi, cân, hút và không chứa trọn một đường thẳng nào

Chứng minh Nếu B là một tập lồi, cân và hút thì hàm cỡ pB của nóthỏa mãn đẳng thức

pB(x) với mọi α và pB là một sơchuẩn

Ngược lại, nếu p là một sơ chuẩn thì tập B = {x : p(x) < 1} lồi vì với

Mệnh đề 1.4 Trong một không gian tuyến tính X cho một họ sơ chuẩn

Γ tuỳ ý Trên X có một tô pô tương thích với cấu trúc đại số, trong đó mỗi

sơ chuẩn thuộc họ Γ đều liên tục Tô pô ấy lồi địa phương và nhận làm cơ

Chứng minh Cho B0 là họ tất cả các tập có dạng V = {x : p(x) < 1},

với p ∈ Γ Khi đó, các tập V lồi, cân, hút nên có một tô pô trên X tươngthích với cấu trúc đại số, mà trong đó mỗi tập V là một lân cận, tức làtheo mệnh đề 1.3, mỗi sơ chuẩn p ∈ Γ là liên tục Tô pô ấy lồi địa phương,với cơ sở lân cận là họ tất cả các tập có dạng

n

T

i=1

Vi; ε > 0, Vi ∈ B0 chính là các tập (1.1) Mặt khác, X

là không gian Hausdorrff khi và chỉ khi giao của tất cả các tập (1.1) là

{0} , mà điều này lại tương đương với: bất kỳ x 6= 0, tồn tại một tập (1.1)

không chứa x, tức là tồn tại một số ε > 0 và một p ∈ Γ sao cho p(x) > ε

Mệnh đề được chứng minh

Định nghĩa 1.6

a) Một không gian lồi địa phương mà tô pô được xác định bởi một họ sơchuẩn Γ hữu hạn hoặc đếm được và thoả mãn điều kiện tách (1.2), gọi làkhông gian đếm được chuẩn

b) Một không gian đếm được chuẩn và đầy đủ gọi là không gian Frechet.Như vậy mọi không gian Banach (Không gian định chuẩn đủ ) đều là khônggian Frechet.

c) Một tập lồi, cân đối, đóng và hấp thu trong một không gian lồi địaphương gọi là một thùng Một không gian lồi địa phương trong đó mọithùng đều là lân cận của điểm gốc gọi là không gian thùng với mọi khônggian Frechet là không gian thùng

Định nghĩa 1.7 Cho I là tập chỉ số định hướng tuỳ ý Với mỗi α ∈ I, và

υα : E → Eα là một ánh xạ tuyến tính từ không gian véc tơ E vào khônggian lồi địa phương Eα Tô pô xạ ảnh trên E là tô pô yếu nhất trên E saocho tất cảc các ánh xạ υα là liên tục

Tô pô xạ ảnh trên E là tô pô lồi địa phương và một ánh xạ tuyến tính

η : G → E của một không gian véc tơ G vào E là liên tục khi và chỉ khi

υα◦ η là liên tục với mọi α ∈ I

Định nghĩa 1.8 Cho I là tập chỉ số định hướng Với mỗi α ∈ I, cho Eα

là một không gian lồi địa phương và giả sử rằng với mỗi α ≤ β, tồn tạimột ánh xạ tuyến tính liên tục uαβ : Eα → Eβ sao cho

(i) uαα là ánh xạ đồng nhất, với mỗi α ∈ I

(ii) uαβ ◦ uβγ = uαγ; với mọi α ≤ β ≤ γ

Khi đó họ các không gian và các ánh xạ tuyến tính

n

Eα, uαβo được gọi làmột hệ xạ ảnh Không gian con

Mệnh đề 1.5 Mỗi không gian lồi địa phương là giới hạn xạ ảnh của một

họ không gian định chuẩn

Chứng minh Cho X là một không gian lồi địa phương bất kỳ, Γ là một

họ sơ chuẩn ứng với một cơ sở lân cận B của X Ta biết trong một khônggian lồi địa phương, họ các tập bị chặn yếu trùng với họ các tập bị chặnnên ta thấy rằng với mỗi p ∈ Γ tập p−1(0) là một không gian con của X

và p xác định một chuẩn trên không gian thương Xp = X/p−1(0) Khi ấy,gọi up là ánh xạ cho tương ứng với x ∈ X phần tử x ∈ X˜ p ( x˜ là lớp các

x0 ∈ X với p(x0 − x) = 0 ) và theo mệnh đề 1.4 ta thấy X chính là giớihạn xạ ảnh của các Xp đối với up

Mệnh đề 1.6 Giới hạn xạ ảnh của họ các không gian lồi địa phương đầy

Mệnh đề 1.8 Cho E là giới hạn xạ ảnh của các không gian lồi địa phương

Eα đối với các ánh xạυα Một tập M trong E bị chặn khi và chỉ khi υα(M )

cũng bị chặn

Định nghĩa 1.9 ChoI là một tập chỉ số định hướng tuỳ ý Với mỗiα ∈ I,

cho υα : Eα → E là một ánh xạ tuyến tính từ không gian lồi địa phương

Eα vào không gian véc tơ E = S

α

υα(Eα) Tô pô quy nạp trên E là tô pômạnh nhất trên E sao cho tất cả các ánh xạ υα là liên tục

Tô pô quy nạp trên E là tô pô lồi địa phương và một ánh xạ tuyến tính

η : E → C là liên tục khi và chỉ khi η ◦ υα là liên tục với mọi α ∈ I

Định nghĩa 1.10 Cho không gian véc tơ E là hợp của một họ các khônggian lồi địa phương {Eα} được định hướng bởi quan hệ bao hàm và mỗiánh xạ bao hàm Eα → Eβ là liên tục Khi đó, E được trang bị bởi tô pôquy nạp với các ánh xạ bao hàm Eα → E được gọi là giới hạn quy nạpcủa các không gian con Eα và được ký hiệu bởi

E = limind

α Eα

Ví dụ 1.1.1 Ví dụ đơn giản và quan trọng về giới hạn quy nạp là khônggian thương Cho X0 là một không gian lồi địa phương, M là một khônggian tuyến tính con của X0 và X = X0/M Gọi υ là ánh xạ chính tắc từ

X0 vào X (tức là ánh xạ cho tương ứng với mỗi x ∈ X0 lớp tương đương

˜

x chứa nó), thì dễ thấy rằng tô pô thương chính là tô pô lồi địa phương

mạnh nhất để η liên tục.

Định nghĩa 1.11 Cho E = limind

α Eα là giới hạn quy nạp của các khônggian con Eα Khi đó ta nói rằng

(i) E là giới hạn quy nạp chặt nếu Eα có tô pô cảm sinh của Eβ mỗi khi

Eα ⊂ Eβ

(ii) E là đầy đủ nếu mọi lưới Cauchy trong E là hội tụ

(iii) E là giới hạn quy nạp chính quy nếu mọi tập bị chặn của E là bịchứa và bị chặn trong Eα

(iv) E là giới hạn quy nạp chính quy Cauchy nếu cho trước B ⊂ E bịchặn thì tồn tại α sao cho B bị chứa và bị chặn trong Eα và ngoài ra mọilưới {xα} ⊂ B là E-Cauchy nếu và chỉ nếu nó là Eα-Cauchy

Mệnh đề 1.9 ([10], p.58-59, proposition 6.4) Cho E = limind

n En là giớihạn quy nạp chặt của một dãy các không gian con En thì

(i) Mỗi En có tô pô cảm sinh của E

(ii) Nếu En là đóng trong En+1 với mọi n thì E = limind

n En là giới hạnquy nạp chính quy Cauchy

(iii) Nếu mỗi En là Hausdorff và đầy thì E cũng Hausdorff và đầy

1.2 Đối ngẫu và tô pô yếu

Định nghĩa 1.12 Một cặp đối ngẫu là bộ ba (E, F ; h•i) hoặc viết (E, F )

trong đó

(i) E và F là hai không gian véc tơ trên cùng một trường vô hướng

(ii) h•i : E × F → K là dạng song tuyến tính thoả mãn

(DE) nếu hx, ui = 0 với mọi u ∈ F thì x = 0

(DF) nếu hx, ui = 0 với mọi x ∈ E thì u = 0

Ta có h•i : E × F → K là song tuyến tính nếu

a) Với mọi u ∈ F ánh xạ x 7→ hx, ui là dạng tuyến tính trên E

b) Với mọi x ∈ E ánh xạ u 7→ hx, ui là dạng tuyến tính trên F

Một số ví dụ

Ví dụ 1.2.1 Nếu hE, F i là cặp đối ngẫu thì dạng (u, x) 7→ hx, ui xácđịnh cặp đối ngẫu hF, Ei

Ví dụ 1.2.2 Giả sử E là không gian véc tơ và E∗ là đối ngẫu đại số của

nó Khi đó dạng (x, u) 7→ u(x); x ∈ E, u ∈ E∗ xác định cặp đối ngẫu

hE, E∗i

Ví dụ 1.2.3 Giả sử E là không gian lồi địa phương Hausdorff với đốingẫu tô pô E0 Khi đó dạng (x, u) 7→ u(x); x ∈ E, u ∈ E0 cho ta cặp đốingẫu hE, E0i

Định nghĩa 1.13 Giả sử hE, F ilà cặp đối ngẫu Với mọi u ∈ F xác địnhnửa chuẩn pu trên E

pu(x) =

h|t| x, ui

≤ 1; với mọi x ∈ A

Thật vậy do M ⊂ M0 và M00 là σ (E, F )- đóng ta có c`σ(E,F )M ⊂ M00.

Mặt khác nếu a /∈ c`σ(E,F )M nên tồn tại dạng song tuyến tính

ha, f i

≤ 1; với mọi x ∈ M

Hay f ∈ M00 và

ha, f i

> 1 Do đó

a /∈ M00 ⇒ M00 ⊂ c`σ(E,F )M

M00 = c`σ(E,F )M

Mệnh đề 1.13 Giả sử ξ là tô pô của cặp đối ngẫu (E, F ) trên E Khi đó

(i) U0 = UE0# với mọi lân cận U của 0 ∈ E đối với ξ

(ii) F = U U0 : U ∈ u ở đây u là cơ sở lân cận bất kỳ của 0 ∈ E

Chứng minh

(i) Do F ⊂ E#, ta có U0 ⊂ U0

E # Mặt khác với mọi f ∈ UE0# ta có

... data-page="14">

b) Một không gian đếm chuẩn đầy đủ gọi không gian Frechet.Như không gian Banach (Không gian định chuẩn đủ ) khônggian Frechet.

c) Một tập lồi, cân đối, đóng hấp thu không gian lồi địaphương... thùng Một khơng gian lồi địa phương mọithùng lân cận điểm gốc gọi không gian thùng với khônggian Frechet không gian thùng

Định nghĩa 1.7 Cho I tập số định hướng tuỳ ý Với α ∈ I,

υα... một

họ không gian định chuẩn

Chứng minh Cho X không gian lồi địa phương bất kỳ, Γ

họ sơ chuẩn ứng với sở lân cận B X Ta biết khônggian lồi địa phương, họ tập bị chặn yếu trùng với họ