Một số định lý thác triển của các hàm chỉnh hình tách với kỳ dị đa cực

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THU HƯƠNG MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN CỦA CÁC HÀM CHỈNH HÌNH TÁCH VỚI KỲ DỊ ĐA CỰC Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Thị Tuyết Mai Thái nguyên -2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Nghiên cứu ánh xạ chỉnh hình tách biến hướng nghiên cứu quan trọng giải tích phức nhiều biến Các kết đạt theo hướng nghiên cứu ngày nhiều đẹp đẽ Ngày nhiều nhà toán học giới tiếp tục quan tâm đến vấn đề với cách tiếp cận khác Lịch sử phát triển việc nghiên cứu hàm chỉnh hình tách vô phong phú, đa dạng thu kết vô đẹp, có ứng dụng lớn giải tích đại Nó chia làm ba giai đoạn cụ thể sau Đầu tiên giai đoạn từ năm 1899 đến năm 1967 với đóng góp quan trọng nhà bác học tiếng như: Osgood, Hartogs, Hukuhara, Shimoda, Terada… Đặc trưng chủ yếu giai đoạn nghiên cứu chữ thập 2-lá Trước tiên vào năm 1899, Osgood khẳng định hàm chỉnh hình tách giới nội miền D chỉnh hình miền Tiếp vào năm 1906, Hartogs khẳng định hàm chỉnh hình miền D chỉnh hình tách miền Bước đột phá quan trọng nghiên cứu Hukuhara vào năm 1930 Ông khẳng định hàm chỉnh hình tách giới nội địa phương tập X(A1,A2; D1,D2) chỉnh hình D1  D2 (trong A1  D1 , A2  D2 ) với điều kiện A2 có điểm tụ D2 Nhưng ông lại mở rộng vấn đề câu hỏi: “Với điều kiện A2 khẳng định đúng” Và phải đến 30 năm sau Terada trả lời câu hỏi với điều kiện A2 không đa cực Giai đoạn từ năm 1969 đến năm 1997 với nghiên cứu nhà bác học Siciak năm 1969 P Zahariuta năm 1976 ông phát minh sở chung không gian Hilber Sau phương pháp Zahariuta Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn cải tiến Nguyễn Thành Vân Zeriahi công trình hai ông vào năm 1991, 1995 1997 Đến năm 2001 với định lý chữ thập cổ điển Alehyane Zeriahi đưa công thức tổng quát cho giải tích phức Giai đoạn thứ ba từ năm 1998 đến năm 2001 Đặc trưng giai đoạn nghiên cứu thác triển hàm chỉnh hình tách với kỳ dị giải tích, bắt đầu với nghiên cứu Oktem sau tổng quát hóa Siciak Kết tổng quát định lý thác triển hàm chỉnh hình tách với kỳ dị giải tích kỳ dị đa cực Jarnicki Pflug Với mục đích nghiên cứu vài kết thác triển hàm chỉnh hình tách, luận văn gồm nội dung sau: Chƣơng Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương chủ yếu trình bày khái niệm đa tạp phức, hàm đa điều hòa dưới, miền giả lồi, bao chỉnh hình, hàm cực trị tương đối, tập đa cực, đa cực địa phương, đa quy địa phương hàm chỉnh hình tách, tập kỳ dị Tiếp trình bày số kết bổ trợ thác triển hàm chỉnh hình tách tính chất tập đa cực, đa cực đóng tương đối, đa quy địa phương để chuẩn bị cho việc trình bày chương Chƣơng Định lý thác triển hàm chỉnh hình tách với kỳ dị đa cực Phần đầu chương trình bày sơ lược kết nghiên cứu hàm chỉnh hình tách qua giai đoạn phát triển hướng nghiên cứu Tiếp định lý thác triển hàm chỉnh hình tách với kỳ dị đa cực Phần cuối chương, trình bày chứng minh định lý trường hợp chữ thập 2-lá trường hợp tổng quát Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình cô giáo TS Nguyễn Thị Tuyết Mai Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc cô Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Em xin chân thành cám ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên thầy cô giáo tận tình giảng dạy chúng em suốt khóa học Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Cao đẳng Kinh tế Tài Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Khoa Bộ môn Toán quan tâm giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn gia đình, đồng nghiệp bạn bè động viên khích lệ suốt trình hoàn thành, bảo vệ luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƢƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đa tạp phức 1.1.1 Ánh xạ chỉnh hình Giả sử X tập mở  n f : X   hàm số Hàm f gọi khả vi phức x0  X tồn ánh xạ tuyến tính  :  n   cho: lim f  x0  h   f  x0     h  h 0 h 0 1/2  n 2 h   h1 , , hn   h    hi   i 1  n Hàm f gọi chỉnh hình x0  X f khả vi phức lân cận x0 gọi chỉnh hình X f chỉnh hình điểm thuộc X Một ánh xạ f : X   m viết dạng f   f1, , f m  fi   i  f : X   , i  1, , m hàm tọa độ Khi f gọi chỉnh hình X fi chỉnh hình X với i=1,…,m Ánh xạ f : X  f  X    n gọi song chỉnh hình f song ánh, chỉnh hình f 1 ánh xạ chỉnh hình Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.2 Đa tạp phức Giả sử X không gian tô pô Hausdorff  Cặp U ,  gọi đồ địa phương X , U tập mở X  : U   n ánh xạ, điều kiện sau thỏa mãn: i)  U  tập mở  n ii)  :U   U  đồng phôi  Họ = U ,  i i iI đồ địa phương X gọi tập đồ giải tích (atlas) X điều kiện sau thỏa mãn: i) Ui iI ii) Với U i ,U j mà Ui  U j   , ánh xạ phủ mở X  j  i 1 : i U i  U j    j U i  U j  ánh xạ chỉnh hình Xét họ atlas X Hai atlas 1,2 gọi tương đương hợp 1  2 atlas Đây quan hệ tương đương tập atlas Mỗi lớp tương đương xác định cấu trúc khả vi phức X X với cấu trúc khả vi phức gọi đa tạp phức n chiều 1.2 Hàm đa điều hòa dƣới 1.2.1 Hàm điều hòa Giả sử D miền  Hàm u : D   ,   gọi điều hòa miền D u thỏa mãn hai điều kiện sau: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i) u nửa liên tục D, tức tập  z  D; u  z   s tập mở với số thực s ii) Với tập mở compact tương đối G D hàm h : X   điều hòa G liên tục G ta có: u  h G u  h G 1.2.2 Hàm đa điều hòa Giả sử G tập mở  n Một hàm  : G   ,   gọi đa điều hòa nếu: i)  nửa liên tục  không đồng với  thành phần liên thông G ii) Với z0  G a   n mà a  0, với ánh xạ  :    n ,   z   z0  az , hàm    thành phần liên thông  1  G  (là miền  )  điều hòa 1.2.3 Hàm đa điều hòa không gian phức Giả sử X không gian phức Một hàm đa điều hòa X hàm  : X   ,   thoả mãn: Với x  X tồn lân cận U mở x cho với ánh xạ song chỉnh hình h : U  V lên không gian phức đóng V miền G   m hàm đa điều hòa  : G   ,   cho  U    h Kí hiệu   X  tập tất hàm đa điều hòa X 1.3 Miền giả lồi Định nghĩa 1.3.1 G   n miền (tập mở liên thông) Ta nói G giả lồi tồn hàm đa điều hòa liên tục  G cho tập Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  z  G :   z   x tập compact tương đối G với số thực x Bổ đề 1.3.2 [2, tr 73] Giả sử D   n miền giả lồi Khi tồn dãy miền giả  lồi compact tương đối Dk Ð Dk 1 Ð D với D   k 1 D k 1.4 Bao chỉnh hình, miền chỉnh hình  (đơn diệp không) gọi bao chỉnh hình Định nghĩa 1.4.1 Miền D miền D   n nếu: i)  chứa D D ii) Hàm f  H  D  tùy ý thác triển thành hàm chỉnh hình  D iii)    mà hạn chế  tùy ý, tồn hàm f  H D Đối với điểm z  D  ) không thác triển chỉnh đa tròn U  z , r  r   ( z ,  D hình đa tròn U  z , R  nào, R  r Định nghĩa 1.4.2 Miền trải  D,   gọi miền chỉnh hình tồn hàm f  H  D  cho có miền  D ,     D,   hàm f1  H  D1   - mở rộng hàm f  D1 ,   tương đương với  D,   (tức  đơn trị hai chiều D lên D1) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.5 Hàm cực trị tƣơng đối Định nghĩa 1.5.1 Giả sử    n h :    xác định bởi: h*  z   limsup h  w , w  w z gọi hàm quy hóa nửa liên tục h Định nghĩa 1.5.2 Giả sử    n tập mở A   Đặt hA, : sup { u : u    , u  trªn , u  trªn A } Hàm h* A, gọi hàm cực trị tương đối, kí hiệu * quy hóa nửa liên tục Định nghĩa 1.5.3 Ta định nghĩa: A, : klim h* A ,  k k  k k 1 dãy tập mở compact tương đối, k  k 1 Ð  với  k 1 k   Chú ý: i) Định nghĩa không phụ thuộc vào dãy vét cạn  k k 1  ii)  A,     iii) Nếu  giới nội A,  h* A, Mệnh đề 1.5.4 (Tính chất hàm cực trị tương đối) [2, tr 9] Giả sử 1   n    m miền A1  1 , A2  2 tập Khi đó: h* A  A ,    z1 , z2   max h* A ,   z1  , h* A ,  z2  ; 2 1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2  z , z     2 http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.6 Tập đa quy địa phƣơng Định nghĩa 1.6.1 Tập A   đa quy địa phương điểm a  A h* AU ,U  a   với lân cận mở U a Định nghĩa 1.6.2 Tập A gọi đa quy địa phương đa quy địa phương điểm a  A 1.7 Tập cực, tập đa cực Định nghĩa 1.7.1 Tập A  n ( n  ) gọi tập cực tồn hàm đa điều hòa khác u  n cho: A   x : u  x    Định nghĩa 1.7.2 Tập A gọi đa cực  tồn hàm đa điều hòa cho u không đồng  thành phần liên thông  A   z   : u  z    Định nghĩa 1.7.3 Tập A gọi đa cực địa phương  với z  A có lân cận mở V z cho A  V đa cực V Định lý 1.7.4 (Định lý Chirka) [9, tr 1254]  bao chỉnh hình D Giả sử S Giả sử D   n miền D tập đa cực đóng tương đối D Khi tồn tập đa  \ S bao chỉnh hình  cho S  D  S D cực đóng tương đối S D D \ S Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... cứu thác triển hàm chỉnh hình tách với kỳ dị giải tích, bắt đầu với nghiên cứu Oktem sau tổng quát hóa Siciak Kết tổng quát định lý thác triển hàm chỉnh hình tách với kỳ dị giải tích kỳ dị đa cực. .. bao chỉnh hình, hàm cực trị tương đối, tập đa cực, đa cực địa phương, đa quy địa phương hàm chỉnh hình tách, tập kỳ dị Tiếp trình bày số kết bổ trợ thác triển hàm chỉnh hình tách tính chất tập đa. .. kết nghiên cứu hàm chỉnh hình tách qua giai đoạn phát triển hướng nghiên cứu Tiếp định lý thác triển hàm chỉnh hình tách với kỳ dị đa cực Phần cuối chương, trình bày chứng minh định lý trường hợp