Một số định lý thác triển hội tụ trong lý thuyết hàm hình học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TÔ HẢI BÌNH MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ TRONG LÝ THUYẾT HÀM HÌNH HỌC LUẬ N VĂ N T HẠC S Ĩ K HOA HỌ C TO Á N HỌC THÁI NGUYÊN - 2008 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Tơ Hải Bình MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ TRONG LÝ THUYẾT HÀM HÌNH HỌC Chuyờn ngành : GIẢI TÍCH Mó số : 60.46.01 LUẬN V ĂN TH ẠC S Ĩ K H OA H ỌC TO ÁN H ỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS PHẠM VIỆT ĐỨC THÁI NGUYÊN - 2008 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian phức hyperbolic 1.2 Không gian phức nhúng hyperbolic 1.3 Một số định lý thác triển ánh xạ chỉnh hình 11 Chương 2: Một số định lý thác triển hội tụ 19 2.1 Định lý thác triển hội tụ Noguchi 19 2.2 Một số định lý thác triển hội tụ qua siêu mặt 25 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 LỜI NÓI ĐẦU Việc thác triển ánh xạ chỉnh hình tốn quan trọng giải tích phức Nhiều tác giả nghiên cứu toán từ quan điểm giải tích phức hyperbolic kể từ S Kobayashi đưa khái niệm giả khoảng cách Kobayashi dùng để nghiên cứu lý thuyết hàm hình học Theo hướng nghiên cứu này, J Noguchi (xem [7] [10]) chứng minh định lý thác triển hội tụ sau: “Cho X không gian phức compact tương đối nhúng hyperbolic không gian phức Y Giả sử M đa tạp phức A siêu mặt phức M với giao chuẩn tắc Nếu {f j : M \ A X }j dãy ánh xạ chỉnh hình hội tụ tập compact M \ A tới ánh xạ chỉnh hình f :M \ A X , {f j } j f j : M hội tụ tập compact M tới f , Y f : M Y thác triển chỉnh hình f j f M ” Định lý Noguchi mở hướng nghiên cứu toán thác triển ánh xạ chỉnh hình Đó nghiên cứu định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi “Định lý thác triển kiểu Noguchi” định lý ánh xạ tương tự định lý Noguchi thác triển ánh xạ chỉnh hình mà giữ ngun tính hội tụ địa phương Gần đây, nhiều định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi siêu mặt giải tích đa tạp phức nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu (xem [4], [5], [7]) Mục đích luận văn trình bày số định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi siêu mặt giải tích Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Luận văn chia làm hai chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị, bao gồm khái niệm không gian hyperbolic, không gian nhúng hyperbolic số định lý thác triển ánh xạ chỉnh định lý M Kwack, K3-định lý Chương nội dung luận văn Trong chương chứng minh số định lý thác triển hội tụ qua siêu mặt giải tích (khơng thiết có giao chuẩn tắc) Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình nghiêm khắc PGS TS Phạm Việt Đức Nhân dịp này, em xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người bảo giúp đỡ em nhiều suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Em xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Viện Toán học Việt Nam giảng dạy giúp đỡ em hồn thành khố học Đồng thời tơi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Quảng Ninh, trường THPT Hoành Bồ tỉnh Quảng Ninh, gia đình bạn đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt suốt trình tơi học tập nghiên cứu đề tài Thái Nguyên, tháng 10 năm 2008 Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chương trình bày số kiến thức chuẩn bị không gian phức hyperbolic, không gian phức nhúng hyperbolic số định lý thác triển ánh xạ chỉnh hình 1.1 Khơng gian phức hyperbolic 1.1.1 Định nghĩa Không gian phức X gọi không gian hyperbolic (theo nghĩa Kobayashi) giả khoảng cách Kobayashi d X khoảng cách X, tức d X ( p, q) p q p, q X 1.1.2 Một số tính chất khơng gian phức hyperbolic 1.1.2.1 Nếu X, Y khơng gian phức, X Y không gian hyperbolic X Y không gian hyperbolic Chứng minh Vì phép chiếu :X Y X ánh xạ chỉnh hình nên giảm khoảng cách giả khoảng cách Kobayashi X Y X Tức ta có: d X Y (( x, y),( x , y )) d X ( x, x ) Lý luận tương tự với phép chiếu :X Y Y ta có d X Y (( x, y),( x , y )) dY ( y, y ) Do d X Y (( x, y),( x , y )) max{d X ( x, x ), dY ( y, y )} Như ta suy điều phải chứng minh , 1.1.2.2 Giả sử X không gian phức không gian phức Y Nếu Y hyperbolic X hyperbolic Hay nói cách khác, khơng gian khơng gian hyperbolic hyperbolic Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Vì phép nhúng tắc i : X Y ánh xạ chỉnh hình, nên theo tính chất giảm khoảng cách giả khoảng cách Kobayashi ta có điều phải chứng minh 1.1.2.3 Ví dụ + Đĩa r đa đĩa m r hyperbolic + Một miền bị chặn  m hyperbolic, tập mở tích đa đĩa +  m khơng hyperbolic, d m 1.1.3 Định nghĩa Giả sử X không gian phức với hàm khoảng cách d Một cặp ( X , d ) gọi tight họ Hol( M , X ) đồng liên tục d, với đa tạp phức M 1.1.4 Định lý Giả sử X không gian phức H hàm độ dài X Khi X hyperbolic với p X , có lân cận U p số C cho FX ( x ) CH ( x ) với x Tx X với x U Chứng minh ( ) Giả sử D đa đĩa quanh điểm p Vì X hyperbolic, ( X , d X ) tight (xem [2]) họ Hol( , X ) họ đồng Từ có đĩa lân cận U p cho (0) ánh xạ ( R vào X với (0) x U , x U R ) ( ) quanh D Nếu D Vì với x U , ta có FD ( x ) FX ( x ) Ta giả sử U tập compact D Khi với x U , ta có FX ( x ) ( x Tx X , FD ( x ) CH ( x ) với số dương C ) Gọi dCH khoảng cách X sinh CH Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Theo giả thiết, f * (CH ) ds với f metric Bergman-Poincaré Hol( , X ) , ds Từ ta có dCH ( x, y) d X ( x, y) với x, y X Điều kéo theo X hyperbolic , 1.1.5 k-metric Kobayashi không gian phức Giả sử X không gian phức, điểm x X vectơ k-mật tiếp Jk ( X )x Ta định nghĩa K Xk ( x, ) inf{1/ r tồn ánh xạ chỉnh hình f : thỏa mãn f (0) Hàm K Xk : J k ( X ) x jk ( f ) x X r } [0, ) xác định gọi k-metric Kobayashi không gian phức X Đối với k-metric Kobayashi ta có kết sau ([16]): (M1) K Xk (0x ) 0, (M2) K Xk ( x, ) (M3) Nếu F : J k ( X ) x X K Xk ( x, ), F ( x, ) K Xk ( x, ), f Jk ( X )x [0, ) hàm tùy ý thỏa mãn F ( f (0), f0* ( )) K k (0, ) với f (M4) , Hol( , X ) x X, J k ( )0 , Jk ( X )x Cho trước hai không gian phức X Y, ánh xạ chỉnh hình Hol( X , Y ) , KYk ( f ( x), f x* ( )) K Xk ( x, ), x X, J k ( X ) x (M5) Với k  , k-metric Kobayashi K Xk : J k ( X ) [0, ) hàm Borel Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Giả sử :[a, b]  , đường cong giải tích thực Với X , [a, b] t [a, b] tồn mầm hàm chỉnh hình t (0) (t ) (t s) t (s) với t Hol( , X ) cho đủ nhỏ, s ( , ) Từ đó, với k  , jk (t ) jk ( t ) Jk ( X ) (t ) (t ) ta định nghĩa b LkX ( ) a K Xk ( (t ), jk (t ))dt Tất định nghĩa mở rộng với đường cong liên tục, giải tích thực khúc Nếu X đường cong giải tích thực khúc khơng :[a, b] gian phức X {LkX ( )}k dãy tăng bị chặn số thực khơng âm Hơn ta có inf {sup K Xk ( (t ), jk (t ))dt; X ( p, q) k với p, q X , p ,q p ,q } ký hiệu tập tất đường cong liên tục giải tích thực khúc nối p với q Giả sử X không gian phức {J k ( X )}k họ phân thớ jet X Khi có ánh xạ J k ( X ) J k ( X ) mà thớ khơng gian afin tuyến tính Ta đặt J ( X ) limproj J k ( X ), J(X ) { ( k J k ( X ) x )k J ( X ); cho (0) x, jk ( ) x Định nghĩa giả metric vi phân K X : J ( X ) K X ( ) sup K Xk ( k ) với Hol( r , X ) k với k 1} [0, ) xác định ( k ) J ( X ) k Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2 Không gian phức nhúng hyperbolic 1.2.1 Định nghĩa Giả sử X tập compact không gian metric, Y không gian metric đầy C ( X , Y ) tập ánh xạ liên tục từ X vào Y với chuẩn sup Họ F x0 X với C ( X , Y ) gọi đồng liên tục điểm 0, tồn cho với x X , d ( x, x0 ) , d ( f ( x), f ( x0 )) với f F Họ F gọi đồng liên tục X F đồng liên tục điểm x X 1.2.2 Định lý (Định lý Ascoli họ đồng liên tục) Giả sử X tập compact không gian metric, Y không gian metric đầy Giả sử F tập tập ánh xạ liên tục C ( X , Y ) Khi F compact tương đối C ( X , Y ) hai điều kiện sau thỏa mãn i) F họ đồng liên tục X ii) Với x X , tập hợp F x { f ( x) f F } compact tương đối Y 1.2.3 Định nghĩa Giả sử X không gian phức không gian phức Y X gọi nhúng hyperbolic Y với x, y X,x y tồn lân cận mở U x V y Y cho dX ( X U, X V) 1.2.4 Định lý Giả sử X không gian phức không gian phức Y Khi điều kiện sau tương đương HI1 X nhúng hyperbolic Y HI2 X hyperbolic {xn },{ yn } dãy X thỏa mãn xn x X , yn y X , d X ( xn , yn ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên x y http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 Chứng minh (i) Trước hết ta xét trường hợp Z H {0} Theo mệnh đề 2.2.5, M nhúng hyperbolic X Theo nhận xét 2.1.7, ta có f thác triển thành ánh xạ liên tục f : X X , { } compact hóa điểm X X Mặt khác, theo giả thiết, có dãy {zn } lim f ( zn ) x0 n X Từ f ánh xạ Giả sử f (0) * với lim zn n vào X f chỉnh hình M Gọi U lân cận f (0) X hàm đa điều hòa peak địa phương f (0) , tức là, U cho M , liên tục U đa điều hòa M thỏa mãn ( f (0)) ( x) x (U Vì f liên tục, ta tìm đủ nhỏ cho f ( Khi h hàm điều hịa  f h M ) \ { f (0)} ) U Đặt liên tục * Theo định lý khử kỳ dị hàm điều hòa dưới, h điều hòa Ta có h( z ) z * h(0) , h đạt cực đại gốc Điều vô lý (ii) Giả sử H khơng chứa điểm kỳ dị Khơng tính tổng qt ta giả sử m Z Với với {( n , n)} m m m H , xét ánh xạ chỉnh hình f : * * ( ,0) Vì z ( ,0) H , cho { f ( n , n )} khoảng cách ánh xạ chỉnh hình f : Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên M cho f ( ) tồn xz m {0} {( n , n )} f( , ) m *, X Theo nguyên lý giảm * M giả khoảng cách http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 Kobayashi, ta có dM ( f ( , n ), f ( n , n )) d m =d m * (( , n ),( ( , n ) n , n )) n Vì M nhúng hyperbolic X, ta nhận {f ( , n )} xz X Theo (i), f thác triển thành ánh xạ chỉnh hình f : ánh xạ f : M f ( , ) m M Định nghĩa f ( ) với ( , ) m Ta cần chứng tỏ f liên tục Lấy ( ,0) H {( n {( Chọn { n } dM ( f ( n dM ( f ( * cho { n } , n n m , n )} n , n cho ( ,0) )} Ta có ), f ( ,0)) , n ), f ( n , n )) dM ( f ( d M ( f n ( n ), f n ( n )) d M ( f ( d ( n , n ) d m ( n n n , n ), f ( , n )) dM ( f ( , n ), f ( ,0)) , n ), f ( , n )) d M (f ( n ), f (0)) , ) d ( n ,0) n Do f thác triển chỉnh hình f (iii) Giả sử H siêu mặt phức Z Theo (ii) f thác triển thành ánh xạ chỉnh hình f1 : Z \ S ( H ) Dễ dàng thấy với z0 cho { f1 ( zn )} hội tụ đến xz0 M S ( H ) , tồn {zn } Z \ S ( H ) hội tụ đến z0 X Từ đó, theo (ii), f thác triển thành ánh xạ chỉnh hình f : Z \ S (S ( H )) M Lặp lại trình ta nhận f thác triển thành ánh xạ chỉnh hình f : Z M Định lý chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên , http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 2.2.7 Định nghĩa Một không gian phức X gọi lồi đĩa yếu dãy Hol( , X ) hội tụ Hol( , X ) dãy { f n {f n } * } Hol( *, X ) hội tụ Hol( *, X ) Các định lý Montel Kiernan (xem [12]) khẳng định Hyperbolic đầy lồi đĩa yếu taut Các khẳng định ngược lại nói chung khơng (xem [12]) 2.2.8 Định nghĩa Giả sử X không gian phức không gian phức Y * \ {0} Khi X có tính chất chỉnh hình f : * * EP Y ánh xạ X có ánh xạ chỉnh hình f : Y thác triển chỉnh hình f 2.2.9 Định lý Cho X không gian phức giả lồi có tính chất * EP Giả sử A siêu mặt giải tích tùy ý đa tạp phức M Cho {fj :M \ A X }j dãy ánh xạ chỉnh hình hội tụ tập compact M \ A tới ánh xạ chỉnh hình f : M \ A thác triển chỉnh hình f j : M X f : M X Khi có X f j f M , { f j } j hội tụ tập compact M tới f Chứng minh i) Trước hết ta chứng minh X lồi đĩa yếu Thật vậy, giả sử { f k } Hol( , X ) dãy cho { f k tập compact tới ánh xạ f * } hội tụ Hol( *, X ) Giả sử { f k j } dãy tùy ý dãy { f k } Đặt K f kj ( s ) , s j Theo giả thiết theo nguyên lý mô đun cực đại, suy ( K ) PSH Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên X compact http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 f kj ( s ) ( K ) PSH X Vì X có tính chất * EP , nên X không chứa j đường thẳng phức (xem [13]) Do đó, theo định lý Brody [3], Urata [15], Zaidenberg [17], tồn lân cận hyperbolic W ( K ) PSH Điều kéo theo họ { f k j * X X } đồng liên tục Mặt khác, { f k j ( )} compact tương s Ascoli họ { f k j : j 1} compact tương đối Hol( s , theo định lý , X ) Do tồn dãy { f k j } { f k j } hội tụ tập compact đến ánh xạ l F Hol( , X ) Theo đẳng thức F * f hạn chế F nhất, khơng phụ thuộc vào cách chọn dãy { f k j } dãy { f k } Suy dãy { f k } hội tụ tập compact đến ánh xạ F Hol( , X ) ii) Ta phải chứng minh ánh xạ chỉnh hình f : M \ A X thác triển chỉnh hình M Đầu tiên ta giả sử A khơng có kỳ dị, tức là, ta thác triển f lên M \ S ( A) sau lên M \ S ( S ( A)) tiếp tục vậy, S ( Z ) tập kỳ dị Z Bằng cách địa phương hóa ánh xạ f , ta giả sử M Với z m m m A m {0} , xét ánh xạ chỉnh hình fz : * xác định f z ( z ) f ( z , z ) với z X * Theo giả thiết trên, tồn thác triển chỉnh hình fz : X f z với z Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên m http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 Định nghĩa ánh xạ f: m X xác định f z ( z ) với ( z , z) f ( z , z) m Ta cần chứng minh f liên tục ( z ,0) Thật vậy, giả sử {( zk , zk )} Đặt m f zk với k k Khi dãy { k * m cho {( zk , zk )} ( z0 ,0) f z0 } hội tụ tới ánh xạ { * } Hol( *, X ) Do X lồi đĩa yếu, nên dãy { k } hội tụ đến ánh xạ Hol( , X ) Bởi vậy, { k ( zk ) f ( zk , zk )} f ( z0 ,0) , (0) f liên tục ( z0 ,0) iii) Giả sử { f k } Hol( M \ A, X ) cho f k Ta chứng minh { fk } f0 Hol( M \ A, X ) f0 Hol( M , X ) Như trên, ta giả sử A khơng có kỳ dị cách địa phương hóa ánh xạ, ta giả sử m M Giả sử {( zk , zk )} m m A {0} dãy tùy ý hội tụ tới ( z0 , z0 ) m m Ta phải chứng minh dãy f k ( zk , zk ) hội tụ tới f0 ( z0 , z0 ) Thật vậy, với k xét ánh xạ chỉnh hình k Khi { { k} k } * * ( z) k X xác định : f k ( zk , z) với z Hol( *, X ) Do X lồi đĩa yếu, ta có Hol( , X ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Hơn nữa, { k ( zk ) f k ( zk , zk )} ( z0 ) f0 ( z0 , z0 ) Định lý chứng minh , 2.2.10 Định lý Giả sử X không gian phức khơng gian phức hyperbolic Y cho X có tính chất * EP Y Cho A siêu mặt giải tích tùy ý đa tạp phức M Giả sử { f j : M \ A X }j dãy ánh xạ chỉnh hình hội tụ tập compact M \ A tới ánh xạ chỉnh hình f : M \ A fj :M X Khi có thác triển chỉnh hình Y f j f M , { f j } j Y f : M hội tụ tập compact M tới f Chứng minh a) Trước hết ta chứng minh ánh xạ chỉnh hình f : M \ A thác triển thành ánh xạ chỉnh hình F : M X Y Ta xét hai trường hợp Trường hợp Kỳ dị A có giao chuẩn tắc Theo giả thiết, ta giả sử M n l M \ A ( *)n l Ta chứng minh phương pháp quy nạp theo n Ta chứng minh theo ba bước (i) Nếu M \ A * khẳng định kết trực tiếp từ định nghĩa 2.2.8 (ii) Giả sử thác triển f với M \ A ( *)n với n Ta chứng minh f có thác triển với M \ A ( *)n Giả sử f : *n fu (t ) l l với l tùy ý X ánh xạ chỉnh hình Với u giả sử f (t , u) Theo giả thiết quy nạp, ta thác triển fu thành ánh xạ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 chỉnh hình F: n l fu : n với u Định nghĩa ánh xạ chỉnh hình Y fu (t ) , Y sau F (t , u ) n (t , u ) l Theo định lý thác triển Riemann, ta cần chứng minh F liên tục Thật vậy, giả sử dãy {(t k , u k )} n l hội tụ tới điểm (0, u ) Lấy vài dãy {t k } Δ*n thỏa mãn lim d n (t k , t k ) n Ta có dY ( F (t k , u k ), F (0, u ) dY ( F (t k , u k ), F (t k , u k )) dY ( F (t k , u k ), F (t k , u )) dY ( F (t k , u ), F (0, u )) dY ( fuk (t k ), fu k (t k )) dY ( f (t k , u k ), f (t k , u )) dY ( fu0 (t k ), fu0 (0)) d n (t k , t k ) d l (u k , u ) d n (t k ,0) với k Từ lim dY ( F (t k , u k ), F (0, u )) , n tức là, {F (t k , u k )} F (0, u ) k Điều kết thúc bước chứng minh (iii) Giả sử thác triển f với M \ A ( *)n l với l tùy ý Ta phải chứng minh f thác triển với M \ A *n Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, f thác triển thành ánh xạ chỉnh hình f1 : Ánh xạ chỉnh hình g : * n \ {(0,0, ,0)} Y X , xác định g ( z) f ( z , , z ) với z thác triển thành ánh xạ chỉnh hình g : Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên *, Y http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 Định nghĩa ánh xạ F : Y xác định n F (0,0, ,0) g (0) F n \{(0,0, ,0)} f1 Theo trên, ta cần phải chứng minh F liên tục Giả sử dãy {(t1k , t2k , tnk )} n hội tụ tới (0,0, ,0) Không tính tổng qt, ta giả sử t1k với k Khi dY ( F (t1k , t2k , , tnk ), F (0,0, ,0)) dY ( F (t1k , t2k , , tnk ), F (t1k , t1k , , t1k )) dY ( F (t1k , t1k , , t1k ), F (0,0, ,0)) dY ( f1 (t1k , t2k , , tnk ), f1 (t1k , t1k , , t1k )) dY ( g (t1k ), g (0)) d * ((t1k , t2k , , tnk ),(t1k , t1k , , t1k )) dY ( g (t1k ), g (0)) max d (t kj , t1k ) d (t1k ,0) j= 2,n+1 max (d (t kj ,0) d (t1k ,0)) d (t1k ,0) j= 2,n+1 max d (t kj ,0) 2d (t1k ,0) với k j= 2,n+1 Do dãy dãy chứa dãy hội tụ tới F (0,0, ,0) Vậy dãy {F (t1k , t2k , , tnk )} hội tụ đến F (0,0, ,0) Trường hợp A tập giải tích đóng tùy ý M Theo định lý khử kỳ dị Hironaka, tồn ( Z , B , ) với B tập giải tích có giao chuẩn tắc đa tạp phức Z lên M cho B ánh xạ chỉnh hình riêng ( A) Ta định nghĩa g : Z \ B triển chỉnh hình G : Z cách định nghĩa F X g f  Theo trường hợp 1, g có thác Y Khi f thác triển phân hình lên tồn M G M Theo định lý Kodama [8] (xem [7, Định lý 6.3.19, tr 288]), F chỉnh hình Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 b) Giả sử { f j } Hol(M \ A, X ) cho { f j} f Hol(M \ A, X ) Hol(M \ A, X ) Ta chứng minh { f j } f Hol(M , Y ) Trước hết ta giả sử A khơng có kỳ dị, tức là, ta thác triển f lên M \ S ( A) sau lên M \ S ( S ( A)) tiếp tục vậy, S ( Z ) tập kỳ dị Z Giả sử z0 điểm tùy ý A Ta giả sử m M Đặt a0 A m {0} z0 (0,0) f ( z0 ) Với điểm y Y số thực dương r, ta đặt BY ( y, r ) { y Y : dY ( y, y ) r} Tương tự, với điểm z M số thực dương r, ta đặt BM ( z, r ) {z M : d M ( z, z ) r} Trước hết ta chứng minh với số tùy ý, tồn lân cận V0 z0 M cho f (V0 ) BY (a0 , ) f j (V0 ) BY ( a0 , ) với j j0 Thật vậy, lấy điểm z1 BM ( z0 , / 3) \ A Khi f ( z1 ) BY (a0 , / 3) Do có số nguyên j0 cho f j ( z1 ) BY (a0 ,2 / 3) với j j0 Từ ta có f j (BM ( z1 , / 3)) BY ( a0 , ) Đặt V0 BM ( z0 , / 3) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên BM ( z1, / 3) http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 Khi z0 V0 f (V0 ) Lấy BY ( a0 , ) với j BY (a0 , ) , f j (V0 ) j0 đủ nhỏ cho BY (a0 , ) chứa lân cận tọa độ địa phương a0 Y Chọn đủ nhỏ cho m V0 Vì { f j )m ( }j hội tụ tới f theo nguyên lý mô đun cực đại kéo theo hội tụ { f j hạn f m m }j ( )m , tới giới Định lý chứng minh , 2.2.11 Định lý Cho X không gian phức lồi đĩa yếu Giả sử M đa tạp phức với số chiều m, A tập không đâu trù mật không gian phức B f :M \ A M với số chiều m Khi ánh xạ chỉnh hình X thác triển thành ánh xạ chỉnh hình F : M X Chứng minh Đầu tiên ta giả sử B khơng có kỳ dị Lấy điểm tùy ý a A Bằng cách địa phương hóa ánh xạ f , ta giả sử m M m , A A {0}, A tập không đâu trù mật m , a (t0 ,0) A {0} Với điểm z m , ký hiệu (t , u ) với t z Giả sử dãy {a j (t j , u j )} ( m \ A) m u hội tụ tới điểm a Xét ánh xạ chỉnh hình fj : X , u  f j (u) f (t j , u) với j , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 X , u  ft0 (u) ft0 : * f (t0 , u) Dễ dàng thấy {fj * ft0 Hol( *, X ) } Vì X lồi đĩa yếu, nên dãy { f j } hội tụ tới ánh xạ chỉnh hình g Hol( , X ) , g Đặt g (0) * f t0 p Khi { f j (u j )} g (0) , tức là, { f (a j )} p Do vậy, dãy { f (a j )} hội tụ đến p với dãy {a j } ( m hội tụ đến a \ A) (*) Chọn lân cận compact tương đối V p p X cho V p chứa lân cận tọa độ chỉnh hình p Y Theo (*) tồn lân cận mở T0 U a (t0 ,0) thỏa mãn m f ((T0 \ A ) U ) Vp Với điểm u U \ {0}, xét ánh xạ chỉnh hình fu : Vì fu (T0 \ A ) Do m X , t  fu (t ) Vp kéo theo fu (T0 \ A ) f (T0 (U \ {0})) fu (T0 ) f (t , u) Vp Vp Theo định lý thác triển Riemann, ánh xạ f thác triển chỉnh hình T0 U Định lý chứng minh , 2.2.12 Hệ ([7, Định lý 6.2.3, tr 281]) Giả sử X không gian phức hyperbolic đầy Giả sử M đa tạp phức với số chiều m, A tập không đâu trù mật không gian phức B M với số chiều m Khi ánh xạ chỉnh hình f : M \ A thác triển thành ánh xạ chỉnh hình F : M Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên X X http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 2.2.13 Hệ ([10, Định lý 1.6.28, tr 35]) Giả sử X không gian phức hyperbolic đầy, M đa tạp phức A tập giải tích với đối chiều M Khi ánh xạ chỉnh hình từ M \ A vào X thác triển thành ánh xạ chỉnh hình toàn M Hơn nữa, { f j } j f Hol (M \ A, X ) , { f j } j f Hol (M , X ) , f j f thác triển chỉnh hình từ M vào X f j f tương ứng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu số định lý thác triển hội tụ lý thuyết hàm hình học đạt số kết sau: Trình bày định lý thác triển ánh xạ chỉnh hình M Kwack, S Kobayashi K3-định lý Trình bày chứng minh định lý thác triển hội tụ Noguchi ngôn ngữ họ chuẩn tắc Trình bày số định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi siêu mặt giải tích (khơng thiết có giao chuẩn tắc) đa tạp phức Đó định lý 2.2.2, 2.2.6, 2.2.9, 2.2.10 2.2.11 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Việt Đức (2005), Mở đầu lý thuyết không gian phức hyperbolic, Nhà xuất Đại Học Sư Phạm, Hà Nội [2] T J Barth (1970), Taut and tight complex manifolds, Proc Amer Math Soc., 24, pp 429-431 [3] R Brody (1978), Compact manifolds and hyperbolicity, Trans Amer Math J., 235, pp 213-219 [4] J E Joseph and M H Kwack (1994), Hyperbolic imbedding and spaces of continuous extensions of holomorphic maps, The journal of Geometric Analysis, 4, pp 361-378 [5] J E Joseph and M H Kwack (1997), Extension and convergence theorems for families of normal maps in several variables, Proc Amer Math Soc., 125, pp 1675-1684 [6] P Kiernan (1972), Extensions of holomorphic maps, Trans Amer Math Soc., 172, pp 347-355 [7] S Kobayashi (1998), Hyperbolic Complex Spaces, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 318 [8] A Kodama (1979), On bimeromorphic automorphisms of hyperbolic complex spaces, Nagoya Math J., pp 1-5 [9] J Noguchi (1985), Moduli spaces of holomorphic mappings into hyperbolically imbedded complex spaces and locally symmetric spaces, Invent Math., 93, pp 15-34 [10] J Noguchi and T Ochiai (1990), Geometric Function Theory in Several Complex Variables, Translation of Math Monographs, Amer Math Soc., 80 [11] B Shabat (1979), Introduction to Complex Analysis, Part I: Functions of Several Variables, Transl Math Monogr Amer Math Soc., Providence Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 [12] B Shabat (1992), Introduction to Complex Analysis, Part II: Functions of Several Variables, Transl Math Monogr Amer Math Soc., Providence [13] D D Thai (1991), On the D*-extension and the Hartogs extension, Ann della Scuo Nor Super di Pisa, Sci Fisi e Mate., Ser 4, 18, pp 13-38 [14] D D Thai and P N Mai (2003), Convergence and extension theorems in geometric function theory, Kodai Math J., 26, pp 179-198 [15] T Urata (1982), The hyperbolicity of complex analytic spaces, Bull Aichi Univ Educ 31 (Natural Sci.), pp 65-75 [16] S Venturini (1996), The Kobayashi metric on complex spaces, Math Ann., 305, pp 25-44 [17] M G Zaidenberg (1983), Picard’s theorem and hyperbolicity, Siberian Math J., pp 858-867 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... 1.3 Một số định lý thác triển ánh xạ chỉnh hình 11 Chương 2: Một số định lý thác triển hội tụ 19 2.1 Định lý thác triển hội tụ Noguchi 19 2.2 Một số định lý thác triển hội tụ qua... toán thác triển ánh xạ chỉnh hình Đó nghiên cứu định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi ? ?Định lý thác triển kiểu Noguchi” định lý ánh xạ tương tự định lý Noguchi thác triển ánh xạ chỉnh hình mà... ) thác triển thành f C ( M ,Y ) X compact tương đối Y f Hol ( M ,Y ) Từ theo định lý 2.1.4 định lý 2.1.6 ta suy kết định lý thác triển hội tụ Noguchi 2.1.1 2.2 Một số định lý thác triển hội