Một số định lý về điểm bất động của ánh xạ kiểu geraghty trên không gian b metric mở rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ HẢI CHÂU MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KIỂU GERAGHTY TRÊN KHÔNG GIAN b–METRIC MỞ RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ HẢI CHÂU MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KIỂU GERAGHTY TRÊN KHÔNG GIAN b–METRIC MỞ RỘNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. HÀ TRẦN PHƯƠNG Thái Nguyên 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Hà Trần Phương. Các tài liệu trong luận văn là trung thực. Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận văn Thạc sĩ của các tác giả khác. Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, tháng 6 năm 2020 Người viết luận văn Phạm Thị Hải Châu i Lời cảm ơn Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Hà Trần Phương. Tôi xin cảm ơn Thầy về sự hướng dẫn tận tình, hỗ trợ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, tháng 6 năm 2020 Người viết luận văn Phạm Thị Hải Châu ii Mục lục Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Không gian b–metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Không gian bmetric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Không gian bmetric mở rộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Chương 2. Một số định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Geraghty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1. Định lý điểm bất động của Geraghty cho ánh xạ trên không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Trường hợp không gian bmetric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3. Trường hợp không gian bmetric mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 iii Lời mở đầu Các định lý điểm bất động đóng vai trò khá quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học. Những kết quả đầu tiên được biết đến đó là nguyên lý ánh xạ co Banach trên lớp các không gian metric đầy đủ. Về sau có rất nhiều tác giả mở rộng nguyên lý này với các điều kiện khác nhau về không gian và ánh xạ. Vào năm 1973, nhà toán học Michael A. Geraghty đã chứng minh một dạng định lý điểm bất động cho một lớp ánh xạ đặc biệt (thường gọi là ánh xạ kiểu Geraghty), là một mở rộng tự nhiên của nguyên lí ánh xạ co Banach. Trong vài năm trở lại đây, một số nhà Toán học đã nghiên cứu các trường hợp của định lý này trong các lớp không gian khác nhau, đồng thời mở rộng được một số kết quả của A. Geraghty. Để tìm hiểu, nghiên cứu nhằm làm rõ hơn về các vấn đề liên quan đến khái niệm, tính chất và một số định lý điểm bất động trong không gian bmetric, bmetric mở rộng, tôi đã thực hiện nghiên cứu luận văn của mình với tên gọi là: Một số định lý về điểm bất động của ánh xạ kiểu Geraghty trên không gian bmetric mở rộng. Các nghiên cứu trong luận văn này được chia ra thành 2 chương: • Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị: Trong chương này, tôi trình bày lại một số khái niệm, ví dụ về các không gian metric, bmetric, bmetric mở rộng; Các tính chất về sự hội tụ, một số tính chất khác của các không gian này. • Chương 2: Một số định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Geraghty. Đây là phần trọng tâm của luận văn, trong phần này trước tiên tôi sẽ giới thiệu định lý điểm bất động của Geraghty được nhà toán học Geraghty công bố vào năm 1973, đây được xem như định lý gốc, cổ điển để so sánh 1 với các kết quả công bố trong một số năm gần đây của các nhà toán học. Sau đó chúng tôi sẽ giới thiệu một số định lý điểm bất động cho ánh xạ kiểu Geraghty trên lớp không gian bmetric, đã được các tác giả, đặc biệt là A.Aghajani, M.ABBAS, J.R. Roshan (1) và Hamid Faraji, Dragana Savic, Stojan Radenovic (3) công bố vào các năm 2014, 2019. Đồng thời, chúng tôi sẽ giới thiệu một số định lý điểm bất động cho ánh xạ kiểu Geraghty trên lớp không gian bmetric mở rộng, đã được các tác giả Vahid Parvaneh, Zoran Kadelburg, R. J. Shahkoohi, Hasan Hosseinzadeh (5) và một số tác giả khác công bố trong những năm gần đây. Tôi đã cố gắng chọn lọc và sắp xếp để nội dung luận văn được ngắn gọn và phù hợp hơn, nhưng do thời gian và khuôn khổ của luận văn có hạn nên chắc rằng trong quá trình nghiên cứu không thể tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Chính vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến từ phía các thầy cô giảng viên, các nhà nghiên cứu và các anh chị học viên Cao học để luận văn được hoàn thiện hơn. Trong quá trình thực hiện luận văn này, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của thầy giáo Hà Trần Phương. Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy. Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo và anh chị học viên lớp Cao học Toán K26B trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên đã quan tâm, giúp đỡ, tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, tháng 6 năm 2020 Tác giả Phạm Thị Hải Châu 2 Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại khái niệm, đưa ra một số ví dụ cụ thể và tập trung nghiên cứu một số tính chất cơ bản của không gian metric, không gian bmetric, không gian bmetric mở rộng, được tham khảo từ các tài liệu 2, 3, 5, 6, 7 để làm cơ sở cho việc trình bày Chương 2. 1.1. Không gian b–metric 1.1.1. Không gian metric Định nghĩa 1.1.1. (Không gian metric) Cho X là một tập khác rỗng, trên X ta trang bị một hàm số d : X × X → R (x, y) 7→ d (x, y) thỏa mãn các điều kiện sau: 1. d (x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X; d (x, y) = 0 ⇔ x = y; 2. d (x, y) = d (y, x) với mọi x, y ∈ X; 3. d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) với mọi x, y, z ∈ X. Khi đó d được gọi là một metric hay khoảng cách trên X. Cặp (X, d) gọi là một không gian metric. Mỗi phần tử của X sẽ được gọi là một điểm, d (x, y) gọi là khoảng cách giữa hai điểm x và y của X. 3 Ví dụ 1.1.2. Cho X = R hoặc X = C, ta xác định metric trên X như sau: d (x, y) = |x − y| với x, y ∈ X. Theo định nghĩa trên, (X, d) là không gian metric. Định nghĩa 1.1.3. (Sự hội tụ trong không gian metric) Trong không gian metric (X, d), {xn} là một dãy các phần tử của X, ta nói {xn} hội tụ đến x0 ∈ X nếu: lim n→∞ d (xn, x0) = 0. Khi đó ta viết lim n→∞ xn = x0 hoặc xn → x0 khi n → ∞. Phần tử x0 gọi là giới hạn của dãy {xn}. 1. Giới hạn của một dãy nếu có là duy nhất. 2. Nếu lim n→∞ xn = a; lim n→∞ yn = b thì lim n→∞ d (xn, yn) = d (x, y). Tức là hàm khoảng cách là một hàm số liên tục đối với x và y. Định nghĩa 1.1.4. Giả sử (X, d) là một không gian metric. Dãy {xn} các phần tử của X được gọi là một dãy Cauchy (hay dãy cơ bản ) nếu: lim m,n→∞ d (xm, xn) = 0. Nghĩa là, với mọi ε > 0, tồn tại một số n0 ∈ N ∗ sao cho với mọi m, n ≥ n0 ta luôn có: d (xm, xn) < ε. Định nghĩa 1.1.5. Không gian metric X gọi là không gian metric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy các phần tử của X đều hội tụ. Định nghĩa 1.1.6. Giả sử (X, d) là không gian metric, x0 ∈ X và r > 0. Tập B (x0, r) = {x ∈ X : d (x0, x) < r} gọi là hình cầu mở tâm x0, bán kính r. 4 Định nghĩa 1.1.7. Cho không gian metric (X, d), T là một ánh xạ từ tập X vào chính nó. Ánh xạ T được gọi là có điểm bất động nếu tồn tại x0 ∈ X : T x0 = x0. Nếu X là không gian metric đầy đủ thì điểm bất động là duy nhất. Định nghĩa 1.1.8. Ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào chính nó được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số α ∈ 0, 1) sao cho: d (T x, T y) ≤ αd (x, y), với mọi x, y ∈ X. Định lý 1.1.9. (Nguyên lí ánh xạ co Banach) Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ và T co trên X, tồn tại α ∈ 0, 1) sao cho: d (T x, T y) ≤ αd (x, y) với mọi x, y ∈ X. T có duy nhất điểm bất động và với x0 ∈ X bất kì, dãy {T n (x0)} hội tụ đến điểm bất động. 1.1.2. Không gian bmetric Định nghĩa 1.1.10. (Xem 3) (Định nghĩa không gian bmetric) Giả sử X là tập khác rỗng và s ≥ 1 là số thực cho trước. Hàm d : X × X → 0; +∞) được gọi là bmetric trên X nếu với mọi x, y, z ∈ X các điều kiện sau đây được thỏa mãn: 1. d (x, y) = 0 ⇔ x = y; 2. d (x, y) = d (y, x); 3. d (x, y) ≤ s d (x, z) + d (z, y) (bất đẳng thức tam giác). Khi đó, tập X cùng với một bmetric trên X được gọi là không gian bmetric với tham số s, nói gọn là không gian bmetric và được kí hiệu bởi (X, d) hoặc X. 5

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ HẢI CHÂU MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KIỂU GERAGHTY TRÊN KHÔNG GIAN b–METRIC MỞ RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ HẢI CHÂU MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KIỂU GERAGHTY TRÊN KHÔNG GIAN b–METRIC MỞ RỘNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS HÀ TRẦN PHƯƠNG Thái Nguyên - 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn PGS TS Hà Trần Phương Các tài liệu luận văn trung thực Các kết luận văn chưa cơng bố luận văn Thạc sĩ tác giả khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực Luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn Luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2020 Người viết luận văn Phạm Thị Hải Châu i Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS TS Hà Trần Phương Tôi xin cảm ơn Thầy hướng dẫn tận tình, hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo - Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết, mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2020 Người viết luận văn Phạm Thị Hải Châu ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Lời mở đầu Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian b–metric 1.1.1 Không gian metric 1.1.2 Không gian b-metric 1.2 Không gian b-metric mở rộng 12 Chương Một số định lý điểm bất động ánh xạ kiểu Geraghty 15 2.1 Định lý điểm bất động Geraghty cho ánh xạ không gian metric 15 2.2 Trường hợp không gian b-metric 17 2.3 Trường hợp không gian b-metric mở rộng 32 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 iii Lời mở đầu Các định lý điểm bất động đóng vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực khác toán học Những kết biết đến nguyên lý ánh xạ co Banach lớp không gian metric đầy đủ Về sau có nhiều tác giả mở rộng nguyên lý với điều kiện khác không gian ánh xạ Vào năm 1973, nhà toán học Michael A Geraghty chứng minh dạng định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ đặc biệt (thường gọi ánh xạ kiểu Geraghty), mở rộng tự nhiên nguyên lí ánh xạ co Banach Trong vài năm trở lại đây, số nhà Toán học nghiên cứu trường hợp định lý lớp không gian khác nhau, đồng thời mở rộng số kết A Geraghty Để tìm hiểu, nghiên cứu nhằm làm rõ vấn đề liên quan đến khái niệm, tính chất số định lý điểm bất động không gian b-metric, b-metric mở rộng, thực nghiên cứu luận văn với tên gọi là: "Một số định lý điểm bất động ánh xạ kiểu Geraghty không gian b-metric mở rộng" Các nghiên cứu luận văn chia thành chương: • Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị: Trong chương này, tơi trình bày lại số khái niệm, ví dụ khơng gian metric, b-metric, b-metric mở rộng; Các tính chất hội tụ, số tính chất khác khơng gian • Chương 2: Một số định lý điểm bất động ánh xạ kiểu Geraghty Đây phần trọng tâm luận văn, phần trước tiên giới thiệu định lý điểm bất động Geraghty nhà toán học Geraghty công bố vào năm 1973, xem định lý gốc, cổ điển để so sánh với kết công bố số năm gần nhà tốn học Sau giới thiệu số định lý điểm bất động cho ánh xạ kiểu Geraghty lớp không gian b-metric, tác giả, đặc biệt A.Aghajani, M.ABBAS, J.R Roshan ([1]) Hamid Faraji, Dragana Savic, Stojan Radenovic ([3]) công bố vào năm 2014, 2019 Đồng thời, giới thiệu số định lý điểm bất động cho ánh xạ kiểu Geraghty lớp không gian b-metric mở rộng, tác giả Vahid Parvaneh, Zoran Kadelburg, R J Shahkoohi, Hasan Hosseinzadeh ([5]) số tác giả khác công bố năm gần Tôi cố gắng chọn lọc xếp để nội dung luận văn ngắn gọn phù hợp hơn, thời gian khuôn khổ luận văn có hạn nên q trình nghiên cứu khơng thể tránh khỏi thiếu sót định Chính vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến từ phía thầy cô giảng viên, nhà nghiên cứu anh chị học viên Cao học để luận văn hoàn thiện Trong trình thực luận văn này, nhận hướng dẫn, giúp đỡ tận tình thầy giáo Hà Trần Phương Tơi xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm khoa Tốn, thầy giáo anh chị học viên lớp Cao học Toán K26B trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2020 Tác giả Phạm Thị Hải Châu Chương Các kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại khái niệm, đưa số ví dụ cụ thể tập trung nghiên cứu số tính chất không gian metric, không gian b-metric, không gian b-metric mở rộng, tham khảo từ tài liệu [2], [3], [5], [6], [7] để làm sở cho việc trình bày Chương 1.1 Không gian b–metric 1.1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 (Không gian metric) Cho X tập khác rỗng, X ta trang bị hàm số d:X ×X →R (x, y) → d (x, y) thỏa mãn điều kiện sau: d (x, y) ≥ với x, y ∈ X ; d (x, y) = ⇔ x = y ; d (x, y) = d (y, x) với x, y ∈ X ; d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) với x, y, z ∈ X Khi d gọi metric hay khoảng cách X Cặp (X, d) gọi không gian metric Mỗi phần tử X gọi điểm, d (x, y) gọi khoảng cách hai điểm x y X Ví dụ 1.1.2 Cho X = R X = C, ta xác định metric X sau: d (x, y) = |x − y| với x, y ∈ X Theo định nghĩa trên, (X, d) không gian metric Định nghĩa 1.1.3 (Sự hội tụ không gian metric) Trong không gian metric (X, d), {xn } dãy phần tử X , ta nói {xn } hội tụ đến x0 ∈ X nếu: lim d (xn , x0 ) = n→∞ Khi ta viết lim xn = x0 xn → x0 n → ∞ Phần tử x0 gọi n→∞ giới hạn dãy {xn } Giới hạn dãy có Nếu lim xn = a; lim yn = b lim d (xn , yn ) = d (x, y) Tức hàm n→∞ n→∞ n→∞ khoảng cách hàm số liên tục x y Định nghĩa 1.1.4 Giả sử (X, d) không gian metric Dãy {xn } phần tử X gọi dãy Cauchy (hay dãy ) nếu: lim d (xm , xn ) = m,n→∞ Nghĩa là, với ε > 0, tồn số n0 ∈ N∗ cho với m, n ≥ n0 ta có: d (xm , xn ) < ε Định nghĩa 1.1.5 Không gian metric X gọi không gian metric đầy đủ dãy Cauchy phần tử X hội tụ Định nghĩa 1.1.6 Giả sử (X, d) không gian metric, x0 ∈ X r > Tập B (x0 , r) = {x ∈ X : d (x0 , x) < r} gọi hình cầu mở tâm x0 , bán kính r Định nghĩa 1.1.7 Cho không gian metric (X, d), T ánh xạ từ tập X vào Ánh xạ T gọi có điểm bất động tồn x0 ∈ X : T x0 = x0 Nếu X không gian metric đầy đủ điểm bất động Định nghĩa 1.1.8 Ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào gọi ánh xạ co tồn số α ∈ [0, 1) cho: d (T x, T y) ≤ αd (x, y) , với x, y ∈ X Định lý 1.1.9 (Nguyên lí ánh xạ co Banach) Cho (X, d) không gian metric đầy đủ T co X , tồn α ∈ [0, 1) cho: d (T x, T y) ≤ αd (x, y) với x, y ∈ X T có điểm bất động với x0 ∈ X bất kì, dãy {T n (x0 )} hội tụ đến điểm bất động 1.1.2 Không gian b-metric Định nghĩa 1.1.10 (Xem [3]) (Định nghĩa không gian b-metric) Giả sử X tập khác rỗng s ≥ số thực cho trước Hàm d : X × X → [0; +∞) gọi b-metric X với x, y, z ∈ X điều kiện sau thỏa mãn: d (x, y) = ⇔ x = y ; d (x, y) = d (y, x); d (x, y) ≤ s [d (x, z) + d (z, y)] (bất đẳng thức tam giác) Khi đó, tập X với b-metric X gọi không gian b-metric với tham số s, nói gọn khơng gian b-metric kí hiệu (X, d) X Từ định nghĩa M (x, y) giới hạn trên, ta có: lim sup M (xmi , xni −1 ) i→∞ = lim sup max{d (xmi , xni −1 ) , i→∞ d (xmi , T xmi ) d (xmi , T xni −1 ) + d (xni −1 , T xni −1 ) d (xni −1 , T xmi ) , + s [d (xmi , T xmi ) + d (xni −1 , T xni −1 )] d (xmi , T xmi ) d (xmi , T xni −1 ) + d (xni −1 , T xni −1 ) d (xni −1 , T xmi ) } + d (xmi , T xni −1 ) + d (xni −1 , T xmi ) = lim sup max{d (xmi , xni −1 ) , i→∞ d (xmi , xmi +1 ) d (xmi , xni ) + d (xni −1 , xni ) d (xni −1 , xmi +1 ) , + s [d (xmi , xmi +1 ) + d (xni −1 , xni )] d (xmi , xmi +1 ) d (xmi , xni ) + d (xni −1 , xni ) d (xni −1 , xmi +1 ) } + d (xmi , xni ) + d (xni −1 , xmi +1 ) ≤ ε Từ (1.3) bất đẳng thức trên, ta có ε ≤ lim sup d (xmi +1 , xni ) s i→∞ ≤ lim sup β (M (xmi , xni −1 )) lim sup M (xmi , xni −1 ) i→∞ i→∞ ≤ ε lim sup β (M (xmi , xni −1 )) , i→∞ ≤ lim sup β (M (xmi , xni −1 )) Mà β ∈ B nên {xn } dãy Cauchy s i→∞ Vì X đầy đủ nên {xn } hội tụ đến điểm u ∈ X suy Bước 3: Chứng minh u điểm bất động T Vì T liên tục nên ta có: u = lim xn+1 = lim T xn = T u n→∞ n→∞ Bây giả sử (II) thỏa mãn Dùng giả thiết X , ta có xn Bổ đề 1.1.15, d (u, T u) ≤ lim sup d (xn+1 , T u) s n→∞ ≤ lim sup β (M (xn , u)) lim sup M (xn , u) , n→∞ n→∞ 28 u Theo = 0, lim M (xn , u) = lim max{d (xn , u) , n→∞ n→∞ d (xn , T xn ) d (xn , T u) + d (u, T u) d (u, T xn ) , + s [d (xn , T xn ) + d (u, T u)] d (xn , T xn ) d (xn , T u) + d (u, T u) d (u, T xn ) } + d (xn , T u) + d (xn , T u) = max {0, 0} = Vậy d (u, T u) = nên u = T u Cuối cùng, giả sử tập điểm bất động T tập thứ tự tốt Ta chứng minh T có điểm bất động Thật vậy, giả sử ngược lại u v hai điểm bất động T cho u = v Do (1.3) nên ta có: d (u, v) = d (T u, T v) ≤ β (M (u, v)) M (u, v) = β (d (u, v)) d (u, v) < d (u, v) , s d (u, T u) d (u, T v) + d (v, T v) d (v, T u) , + s [d (u, T u) + d (v, T v)] d (u, T u) d (u, T v) + d (v, T v) d (v, T u) } + d (u, T v) + d (v, T u) = max{d (u, v) , 0, 0} M (u, v) = max{d (u, v) , = d (u, v) nên ta thu được: d (u, v) < d (u, v) s 29 Điều mâu thuẫn Vậy u = v điểm bất động T Ngược lại, T có điểm bất động tập điểm bất động T nên thứ tự tốt Định lý 2.2.5 (Xem [7]) Giả sử (X, ) tập thứ tự phần giả sử tồn b-metric d X cho (X, d) không gian b-metric đầy đủ (với tham số s > 1) Giả sử T : X → X ánh xạ tăng cho tồn phần tử x0 ∈ X với x0 T (x0 ) Giả sử T ánh xạ co Geraghty dạng hữu tỉ loại III Nếu T liên tục (I) {xn } dãy không giảm X cho xn → u ∈ X , ta có xn (II) u với n ∈ N, T có điểm bất động Hơn nữa, tập điểm bất động T thứ tự tốt T có điểm bất động Chứng minh Đặt xn = T n (x0 ) Bước 1: Ta lim d (xn , xn+1 ) = Từ xn n→∞ xn+1 với n ∈ N (1.4) ta có: d (xn , xn+1 ) = d (T xn−1 , T xn ) ≤ β (M (xn−1 , xn )) M (xn−1 , xn ) ≤ β (d (xn−1 , xn )) d (xn−1 , xn ) < d (xn−1 , xn ) s ≤ d (xn−1 , xn ) , M (xn−1 , xn ) = max{d (xn−1 , xn ) , d (xn−1 , T xn−1 ) d (xn , T xn ) , + s [d (xn−1 , xn ) + d (xn−1 , T xn ) + d (xn , T xn−1 )] d (xn−1 , T xn ) d (xn−1 , xn ) } + sd (xn−1 , T xn−1 ) + s3 [d (xn , T xn−1 ) + d (xn , T xn )] 30 = max{d (xn−1 , xn ) , d (xn−1 , xn ) d (xn , xn+1 ) , + s [d (xn−1 , xn ) + d (xn−1 , xn+1 ) + d (xn , xn )] d (xn−1 , xn+1 ) d (xn−1 , xn ) } + sd (xn−1 , xn ) + s3 [d (xn , xn ) + d (xn , xn+1 )] d (xn−1 , xn ) s [d (xn , xn−1 ) + d (xn−1 , xn+1 )] ≤ max{d (xn−1 , xn ) , } s [d (xn−1 , xn ) + d (xn−1 , xn+1 ) + d (xn , xn )] = d (xn−1 , xn ) Do {d (xn , xn+1 )} dãy giảm Lập luận tương tự Định lý 2.2.3, ta được: lim d (xn−1 , xn ) = n→∞ Bước 2: Tiếp theo ta chứng minh {xn } dãy Cauchy Giả sử ngược lại, {xn } khơng dãy Cauchy Khi đó, tồn ε > 0, ta tìm hai dãy {xmi } {xni } {xn } cho ni số nhỏ cho: ni > mi > i, d (xmi , xni ) ≥ ε Điều có nghĩa d (xmi , xni −1 ) < ε Lập luận tương tự Định lí 2.2.3, ta có ε ≤ lim sup d (xmi +1 , xni ) s i→∞ Từ định nghĩa M (x, y) giới hạn trên, ta có: lim sup M (xmi , xni −1 ) ≤ ε i→∞ Từ (1.4) bất đẳng thức trên, ta có ε ≤ lim sup d (xmi +1 , xni ) s i→∞ ≤ lim sup β (M (xmi , xni −1 )) lim sup M (xmi , xni −1 ) i→∞ i→∞ ≤ ε lim sup β (M (xmi , xni −1 )) , i→∞ ≤ lim sup β (M (xmi , xni −1 )) Mà β ∈ B nên {xn } dãy Cauchy s i→∞ Vì X đầy đủ nên {xn } hội tụ đến điểm u ∈ X suy 31 Bước 3: Chứng minh u điểm bất động T Vì T liên tục nên ta có: u = lim xn+1 = lim T xn = T u n→∞ n→∞ Bây giả sử (II) thỏa mãn Dùng giả thiết X , ta có xn u Theo Bổ đề 1.1.15, d (u, T u) ≤ lim sup d (xn+1 , T u) s n→∞ ≤ lim sup β (M (xn , u)) lim sup M (xn , u) , n→∞ n→∞ = 0, lim M (xn , u) = lim max{d (xn , u) , n→∞ n→∞ d (xn , T xn ) d (u, T u) , + s [d (xn , u) + d (xn , T u) + d (u, T xn )] d (xn , T u) d (xn , u) } + sd (xn , T xn ) + s3 [d (u, T u) + d (u, T xn )] = max{(0, 0)} = Vậy d (u, T u) = nên u = T u Cuối cùng, giả sử tập điểm bất động T tập thứ tự tốt Ta chứng minh T có điểm bất động Thật vậy, giả sử ngược lại u v hai điểm bất động T cho u = v Do (1.4) lập luận tương tự Định lý 2.2.3, ta thu u = v điểm bất động T Ngược lại, T có điểm bất động tập điểm bất động T nên thứ tự tốt 2.3 Trường hợp không gian b-metric mở rộng Giả sử BΩ lớp hàm β : [0; ∞) → 0; Ω−1 (1) thỏa mãn điều kiện: 32 lim sup β(tn ) = Ω−1 (1) tức tn → n → ∞ n→∞ Định lý 2.3.1 (Xem [5]) Cho (X, d, ) không gian b-metric mở rộng, đầy đủ, thứ tự phần Cho T : X → X ánh xạ không giảm cho tồn phần tử x0 ∈ X với x0 T (x0 ) Giả sử T ánh xạ co Geraghty dạng hữu tỉ loại I Nếu (I) (II) T liên tục (X, d, ) có tính chất s.l.c, T có điểm bất động Hơn nữa, tập điểm bất động T thứ tự tốt T có điểm bất động Chứng minh Đặt xn = T n (x0 ) với n ≥ Từ x0 T (x0 ) T ánh xạ không giảm, phép quy nạp ta thu được: x0 T (x0 ) T (x0 ) T n (x0 ) T n+1 (x0 ) Nếu xn−1 = xn với n ∈ N điều hiển nhiên Chúng ta giả sử d (xn−1 , xn ) > với n ∈ N Ta thực chứng minh theo bước sau Bước 1: Ta lim d (xn , xn+1 ) = n→∞ xn+1 với n ∈ N T ánh xạ co Geraghty dạng hữu tỉ loại Từ xn I, ta có: d (xn , xn+1 ) = d (T xn−1 , T xn ) ≤ Ω (d (T xn−1 , T xn )) ≤ β (M (xn−1 , xn )) M (xn−1 , xn ) , d (xn−1 , T xn−1 ) d (xn , T xn ) , + d (xn−1 , xn ) d (xn−1 , T xn−1 ) d (xn , T xn ) } + d (T xn−1 , T xn ) d (xn−1 , xn ) d (xn , xn+1 ) = max{d (xn−1 , xn ) , , + d (xn−1 , xn ) M (xn−1 , xn ) = max{d (xn−1 , xn ) , 33 (2.15) d (xn−1 , xn ) d (xn , xn+1 ) } + d (xn , xn+1 ) ≤ max {d (xn−1 , xn ) , d (xn , xn+1 )} Nếu max {d (xn−1 , xn ) , d (xn , xn+1 )} = d (xn , xn+1 ) từ (2.15), ta có d (xn , xn+1 ) ≤ β (d (xn , xn+1 )) d (xn , xn+1 ) < Ω−1 (1) d (xn , xn+1 ) < d (xn , xn+1 ) , điều mâu thuẫn Do đó, max {d (xn−1 , xn ) , d (xn , xn+1 )} = d (xn−1 , xn ) Khi từ (2.15), d (xn , xn+1 ) ≤ β (d (xn−1 , xn )) d (xn−1 , xn ) < d (xn−1 , xn ) (2.16) Khi {d (xn , xn+1 )} dãy giảm, tồn r ≥ cho lim d (xn , xn+1 ) = r n→∞ Ta chứng minh r = Giả sử ngược lại r > Từ (2.16) cho n → ∞, ta được: r ≤ lim β (d (xn−1 , xn )) r n→∞ Suy Ω−1 (1) ≤ ≤ lim β (d (xn−1 , xn )) Mà β ∈ BΩ nên n→∞ d (xn−1 , xn ) → r = (mâu thuẫn) Vậy lim d (xn−1 , xn ) = n→∞ (2.17) Bước 2: Tiếp theo ta chứng minh {xn } dãy Cauchy Giả sử ngược lại, tồn ε > 0, ta tìm hai dãy {xmi } {xni } {xn } cho ni số nhỏ cho: ni > mi > i, d (xmi , xni ) ≥ ε Điều có nghĩa d (xmi , xni −1 ) < ε 34 (2.18) Từ (2.17) áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: ε ≤ d (xmi , xni ) ≤ Ω [d (xmi , xmi +1 ) + d (xmi +1 , xni )] Bằng cách lấy giới hạn trên, cho i → ∞, ta được: Ω−1 (ε) ≤ lim sup d (xmi +1 , xni ) i→∞ Từ định nghĩa M (x, y) giới hạn trên, ta có: lim sup M (xmi , xni −1 ) i→∞ d (xmi , T xmi ) d (xni −1 , T xni −1 ) , + d (xmi , xni −1 ) i→∞ d (xmi , T xmi ) d (xni −1 , T xni −1 ) } + d (T xmi , T xni −1 ) d (xmi , xmi +1 ) d (xni −1 , xni ) = lim sup max{d (xmi , xni −1 ) , , + d (xmi , xni −1 ) i→∞ d (xmi , xmi +1 ) d (xni −1 , xni ) } + d (xmi +1 , xni ) ≤ ε = lim sup max{d (xmi , xni −1 ) , Từ (1.6) bất đẳng thức trên, ta có ε = Ω Ω−1 (ε) ≤ Ω lim sup d (xmi +1 , xni ) i→∞ ≤ lim sup β (M (xmi , xni −1 )) lim sup M (xmi , xni −1 ) i→∞ i→∞ ≤ ε lim sup β (M (xmi , xni −1 )) i→∞ Suy Ω−1 (1) ≤ ≤ lim sup β (d (xmi , xni −1 )) Mà β ∈ BΩ nên i→∞ d (xmi , xni −1 ) → Vì d (xmi , xni ) ≤ Ω [d (xmi , xni −1 ) + d (xni −1 , xni )] → 0, mâu thuẫn với (2.18) Do {xn } dãy Cauchy Vì X đầy đủ nên {xn } hội tụ đến điểm u ∈ X Bước 3: Chứng minh u điểm bất động T Vì T liên tục nên ta có 35 u = lim xn+1 = lim T xn = T u n→∞ n→∞ Bây giả sử (II) thỏa mãn Dùng giả thiết X , ta có xn u Theo Bổ đề 1.2.3, Ω−1 [d (u, T u)] ≤ lim sup d (xn+1 , T u) n→∞ ≤ lim sup β (d (xn , u)) lim sup M (xn , u) , n→∞ n→∞ d (xn , T xn ) d (u, T u) , n→∞ + d (xn , u) d (xn , T xn ) d (u, T u) } + d (T xn , T u) = lim M (xn , u) = lim max{d (xn , u) , n→∞ Vậy d (u, T u) = nên u = T u Cuối cùng, ta chứng minh T có điểm bất động Thật vậy, giả sử ngược lại u v hai điểm bất động T cho u = v Do giả sử u v (1.6) nên ta có: d (u, v) = d (T u, T v) ≤ β (M (u, v)) M (u, v) < Ω−1 (1) M (u, v) Trong M (u, v) = max d (u, v) , d (u, u) d (v, v) + d (u, v) = d (u, v) , ta thu d (u, v) < Ω−1 d (u, v) Điều mâu thuẫn Vậy u = v điểm bất động T Ngược lại, T có điểm bất động tập điểm bất động T nên thứ tự tốt Định lý 2.3.2 (Xem [5]) Cho (X, d, ) không gian b-metric mở rộng, đầy đủ, thứ tự phần Giả sử T : X → X ánh xạ không giảm cho tồn phần tử x0 ∈ X với x0 Geraghty dạng hữu tỉ loại II Nếu 36 T (x0 ) Giả sử T ánh xạ co T liên tục (I) (II) (X, d, ) có tính chất s.l.c, T có điểm bất động Hơn nữa, tập điểm bất động T thứ tự tốt T có điểm bất động Chứng minh Lập luận tương tự Định lý 2.2.4 định lý Định lý 2.3.3 (Xem [5]) Cho (X, d, ) không gian b-metric mở rộng, đầy đủ, thứ tự phần Giả sử T : X → X ánh xạ không giảm đối cho tồn phần tử x0 ∈ X với x0 với T (x0 ) Giả sử T ánh xạ co Geraghty dạng hữu tỉ loại III Nếu T liên tục (I) (II) (X, d, ) có tính chất s.l.c, T có điểm bất động Hơn nữa, tập điểm bất động T thứ tự tốt T có điểm bất động Chứng minh Đặt xn = T n (x0 ) Bước Ta lim d (xn , xn+1 ) = Từ xn n→∞ xn+1 với n ∈ N từ (1.8), ta có d (xn , xn+1 ) = d (T xn−1 , T xn ) ≤ Ω (d (T xn−1 , T xn )) ≤ β (M (xn−1 , xn )) M (xn−1 , xn ) ≤ β (d (xn−1 , xn )) d (xn−1 , xn ) < Ω−1 (1) d (xn−1 , xn ) ≤ d (xn−1 , xn ) , M (xn−1 , xn ) d (xn−1 , T xn−1 ) d (xn , T xn ) , + Ω [d (xn−1 , xn ) + d (xn−1 , T xn ) + d (xn , T xn−1 )] d (xn−1 , T xn ) d (xn−1 , xn ) } + Ω (d (xn−1 , T xn−1 )) + Ω3 [d (xn , T xn−1 ) + d (xn , T xn )] = max{d (xn−1 , xn ) , 37 d (xn−1 , xn ) d (xn , xn+1 ) , + Ω [d (xn−1 , xn ) + d (xn−1 , xn+1 ) + d (xn , xn )] d (xn−1 , xn+1 ) d (xn−1 , xn ) } + Ω (d (xn−1 , xn )) + Ω3 [d (xn , xn ) + d (xn , xn+1 )] d (xn−1 , xn ) [d (xn , xn−1 ) + d (xn−1 , xn+1 )] ≤ max{d (xn−1 , xn ) , Ω [d (xn−1 , xn ) + d (xn−1 , xn+1 ) + d (xn , xn )] = d (xn−1 , xn ) = max{d (xn−1 , xn ) , Khi {d (xn , xn+1 )} dãy giảm Chứng minh tương tự Định lí 2.3.1, ta có: lim d (xn−1 , xn ) = n→∞ (2.19) Bước 2: Tiếp theo ta chứng minh {xn } dãy Cauchy Giả sử ngược lại, tồn ε > 0, ta cần tìm hai dãy {xmi } {xni } {xn } cho ni số nhỏ cho ni > mi > i, d (xmi , xni ) ≥ ε (2.20) Điều có nghĩa d (xmi , xni −1 ) < ε (2.21) Từ (2.20) áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: ε ≤ d (xmi , xni ) ≤ Ω [d (xmi , xmi +1 ) + d (xmi +1 , xni )] Bằng cách lấy giới hạn trên, cho i → ∞, ta được: Ω−1 (ε) ≤ lim sup d (xmi +1 , xni ) i→∞ Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có d (xmi , xni ) ≤ Ω [d (xmi , xni −1 ) + d (xni −1 , xni )] Trong bất đẳng thức cho i → ∞ sử dụng (2.19) (2.21), ta lim sup d (xmi , xni ) ≤ Ω (ε) i→∞ Lại dùng bất đẳng thức tam giác, ta có 38 (2.22) d (xmi , xni ) ≤ Ω [d (xmi , xmi +1 ) + Ω [d (xmi +1 , xni −1 ) + d (xni −1 , xni )]] Cho i → ∞ bất đẳng thức dùng (2.21), ta thu lim sup d (xmi +1 , xni −1 ) ≥ Ω2 −1 (ε) i→∞ Từ định nghĩa M (x, y) giới hạn trên, ta có: lim supM (xmi , xni −1 ) i→∞ = lim sup max{d (xmi , xni −1 ) , i→∞ d (xmi , T xmi ) d (xni −1 , T xni −1 ) , + Ω [d (xmi , xni −1 ) + d (xmi , T xni −1 ) + d (xni −1 , T xmi )] d (xmi , T xni −1 ) d (xmi , xni −1 ) } + Ω (d (xmi , T xmi )) + Ω3 [d (xni −1 , T xmi ) + d (xni −1 , T xni −1 )] = lim sup max{d (xmi , xni −1 ) , i→∞ d (xmi , xmi +1 ) d (xni −1 , xni ) , + Ω [d (xmi , xni −1 ) + d (xmi , xni ) + d (xni −1 , xmi +1 )] d (xmi , xni ) d (xmi , xni −1 ) } + Ω (d (xmi , xmi +1 )) + Ω3 [d (xni −1 , xmi +1 ) + d (xni −1 , xni )] ≤ ε Từ (1.8) bất đẳng thức trên, ta có ε = Ω Ω−1 (ε) ≤ Ω lim sup d (xmi +1 , xni ) i→∞ ≤ lim sup β (M (xmi , xni −1 )) lim sup M (xmi , xni −1 ) i→∞ i→∞ ≤ ε lim sup β (M (xmi , xni −1 )) i→∞ Suy Ω−1 (1) ≤ lim sup β (M (xmi , xni −1 )) Mà β ∈ BΩ nên {xn } dãy i→∞ Cauchy Vì X đầy đủ nên {xn } hội tụ đến điểm u ∈ X Tiếp theo lập luận tương tự Định lí 2.3.1 39 Kết luận Với mục đích tìm hiểu, nghiên cứu số vấn đề liên quan đến khái niệm, tính chất số định lý điểm bất động không gian b-metric, bmetric mở rộng, luận văn này, chúng tơi trình bày số kết sau: Giới thiệu số kiến thức không gian metric, b-metric, b-metric mở rộng giới thiệu số ví dụ minh họa Nhắc lại số tính chất khơng gian metric, b-metric, b-metric mở rộng thơng qua định lí, mệnh đề, hệ Giới thiệu trình bày chứng minh số định lí điểm bất động ánh xạ kiểu Geraghty không gian b-metric, b-metric mở rộng Cụ thể, kết điểm bất động ánh xạ kiểu Geraghty không gian b-metric Định lý 2.2.1, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5 không gian b-metric mở rộng Định lý 2.3.1, 2.3.3, 2.3.4 Trong thời gian tiếp theo, tiếp tục nghiên cứu số dạng khác định lý điểm bất động kiểu Geraghty không gian khác để mở rộng số kết cho luận văn 40 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] Aghajani, A., ABBAS, M., Roshan, J R., (2014), Common fixed point of generalized weak contractive mappings in partially ordered b-metric spaces, Math Slovaca, Vol 64: Issue 4, 941–960 [2] Czerwik, S., (1993), Contraction mappings in b-metric spaces, Acta Math Inform Univ Ostraviensis., 5–11 [3] Faraji, H., Savíc, D., Radenovic, S., (2019), Fixed point Theorems for Geraghty Contraction Type Mappings in b-Metric Spaces and Applications, axioms 2019, 8, 34, MDPI, 1–12 [4] Geraghty, M A., (1973), On contractive mappings, Froceedings of the American mathematical Society, Vol 40, 604–608 [5] Parvaneh, V., Kadelburg, Z., Shahkoohi, R J., Hosseinzadeh, H., (2018), Fixed point results for generalized rational geraghty contractive mappings in extended b–metric spaces, Cogent mathematics and statistics, https://doi.org/10.1080/25742558.2018.1511238, 1–17 [6] Subashi, L., (2017), Some topological properties of extended bmetric space, Department of Mathematics, Faculty of Natural Sciences, https://www.researchgate.net/publication/318930713, 1–6 [7] Shahkoohi, R J., Razani, A., (2014), Some fixed point theorems for rational Geraghty contractive mappings in ordered b–metric spaces, J Inequal Appl 2014, 373 (2014), Springer 41 [8] Zabihi, F., and Razani, A., (2014), Fixed point theorems for hybrid rational Geraghty contractive mappings in ordered b-metric spaces, J.Appl Math., pages 42 ... Chương Một số định lý điểm b? ??t động ánh xạ kiểu Geraghty Trong Chương luận văn, giới thiệu định lý điểm b? ??t động Geraghty trình b? ?y số định lý điểm b? ??t động ánh xạ kiểu Geraghty không gian b- metric. .. tính chất số định lý điểm b? ??t động không gian b- metric, b- metric mở rộng, thực nghiên cứu luận văn với tên gọi là: "Một số định lý điểm b? ??t động ánh xạ kiểu Geraghty không gian b- metric mở rộng" ... số định lý điểm b? ??t động không gian b- metric, bmetric mở rộng, luận văn này, chúng tơi trình b? ?y số kết sau: Giới thiệu số kiến thức không gian metric, b- metric, b- metric mở rộng giới thiệu số