Mot so dinh ly thac trien hoi tu trong ly thuyetham Hinh hoc

Trong chương này trước tiên chúng tôi trình bày chứng minh định lý thác triển hội tụ của Noguchi bằng ngôn ngữ họ chuẩn tắc đều. Tiếp theo là một số kết quả gần đây của Đỗ Đức Thái về[r]

TƠ HẢI BÌNH

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ

TRONG LÝ THUYẾT HÀM HÌNH HỌC

L

LUUẬẬNN VVĂĂNNTTHHẠẠCC SSĨĨKKHHOOAA HHỌỌCC TTOOÁÁNNHHỌỌCC

Tơ Hải Bình

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ TRONG LÝ THUYẾT HÀM HÌNH HỌC

Chuyờn ngành : GIẢI TÍCH Mó số : 60.46.01

L

LUUẬẬNN VVĂĂNN TTHHẠẠCCSSĨĨKKHHOOAAHHỌỌCCTTOOÁÁNNHHỌỌCC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS PHẠM VIỆT ĐỨC

Trang

Lời nói đầu

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian phức hyperbolic

1.2 Không gian phức nhúng hyperbolic

1.3 Một số định lý thác triển ánh xạ chỉnh hình 11

Chương 2: Một số định lý thác triển hội tụ 19

2.1 Định lý thác triển hội tụ Noguchi 19

2.2 Một số định lý thác triển hội tụ qua siêu mặt 25

Kết luận 46

LỜI NÓI ĐẦU

Việc thác triển ánh xạ chỉnh hình tốn quan trọng giải tích phức Nhiều tác giả nghiên cứu tốn từ quan điểm giải tích phức hyperbolic kể từ S Kobayashi đưa khái niệm giả khoảng cách Kobayashi dùng để nghiên cứu lý thuyết hàm hình học Theo hướng nghiên cứu này, J Noguchi (xem [7] [10]) chứng minh định lý thác triển hội tụ sau:

“Cho X không gian phức compact tương đối nhúng hyperbolic không gian phức Y Giả sử M đa tạp phức A siêu mặt phức M với

giao chuẩn tắc Nếu { :fj M \ A X}j 1 dãy ánh xạ chỉnh hình hội tụ

đều tập compact M \ A tới ánh xạ chỉnh hình

: \

f M A X , { }fj j 1 hội tụ tập compact M tới f ,

trong fj :M Y f M: Y thác triển chỉnh hình

j

f f M ”

Luận văn chia làm hai chương

Chương trình bày kiến thức chuẩn bị, bao gồm khái niệm không gian hyperbolic, không gian nhúng hyperbolic số định lý thác triển ánh xạ chỉnh định lý M Kwack, K3-định lý

Chương nội dung luận văn Trong chương chúng tơi chứng minh số định lý thác triển hội tụ qua siêu mặt giải tích (khơng thiết có giao chuẩn tắc)

Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình nghiêm khắc PGS TS Phạm Việt Đức Nhân dịp này, em xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người bảo giúp đỡ em nhiều suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn

Em xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Viện Toán học Việt Nam giảng dạy giúp đỡ em hồn thành khố học Đồng thời xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Quảng Ninh, trường THPT Hoành Bồ tỉnh Quảng Ninh, gia đình bạn đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt suốt q trình tơi học tập nghiên cứu đề tài

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2008

Chương

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Nội dung chương trình bày số kiến thức chuẩn bị không gian phức hyperbolic, không gian phức nhúng hyperbolic số định lý thác triển ánh xạ chỉnh hình

1.1 Khơng gian phức hyperbolic

1.1.1 Định nghĩa. Không gian phức X gọi không gian hyperbolic

(theo nghĩa Kobayashi) giả khoảng cách Kobayashi dX khoảng cách X, tức

( , ) ,

X

d p q p q p q X

1.1.2 Một số tính chất khơng gian phức hyperbolic

1.1.2.1. Nếu X, Y khơng gian phức, X Y khơng gian hyperbolic X Y khơng gian hyperbolic

Chứng minh Vì phép chiếu :X Y X ánh xạ chỉnh hình nên

giảm khoảng cách giả khoảng cách Kobayashi X Y

X Tức ta có:

(( , ),( , )) ( , )

X Y X

d x y x y d x x

Lý luận tương tự với phép chiếu :X Y Y ta có

(( , ),( , )) ( , )

X Y Y

d x y x y d y y

Do dX Y(( , ),( , ))x y x y max{dX( , ),x x dY( , )}.y y

Như ta suy điều phải chứng minh ,

Chứng minh. Vì phép nhúng tắc i X: Y ánh xạ chỉnh hình, nên theo tính chất giảm khoảng cách giả khoảng cách Kobayashi ta có điều phải chứng minh

1.1.2.3 Ví dụ

+ Đĩa r đa đĩa mr hyperbolic

+ Một miền bị chặn m hyperbolic, tập mở tích đa đĩa

+ m khơng hyperbolic, dm

1.1.3 Định nghĩa. Giả sử X không gian phức với hàm khoảng cách d Một

cặp (X d, ) gọi tight họ Hol(M X, ) đồng liên tục d, với đa tạp phức M

1.1.4 Định lý. Giả sử X không gian phức H hàm độ dài X Khi

đó X hyperbolic với p X , có lân cận

U p số C 0 cho FX( )x CH( )x với x T Xx với

x U

Chứng minh

( ) Giả sử D đa đĩa quanh điểm p Vì X hyperbolic, ( ,X dX) tight (xem [2]) họ Hol( ,X) họ đồng Từ có đĩa quanh lân cận U p cho (0) x U ( ) D Nếu ánh xạ R vào X với (0) x U , ( R) D Vì với x U , ta có

( ) ( )

D x X x

F F

Ta giả sử U tập compact D Khi với x U, x T Xx ,

Theo giả thiết, *

( )

f CH ds với f Hol( ,X), ds2 metric Bergman-Poincaré

Từ ta có

( , ) ( , )

CH X

d x y d x y với x y, X

Điều kéo theo X hyperbolic ,

1.1.5 k-metric Kobayashi không gian phức

Giả sử X không gian phức, điểm x X vectơ k-mật tiếp Jk( )X x Ta định nghĩa

( , ) inf{1/

k X

K x r tồn ánh xạ chỉnh hình f : X

thỏa mãn f(0) x jk( )f x r }

Hàm KXk :J Xk( ) [0, ) xác định gọi k-metric Kobayashi không gian phức X Đối với k-metric Kobayashi ta có kết

quả sau ([16]):

(M1) KXk(0 )x 0, x X

(M2) KXk( ,x ) KXk( , ), x , Jk( ) X x (M3) Nếu F J X: k( ) [0, ) hàm tùy ý thỏa mãn

*

( (0), ( )) k(0, )

F f f K với f Hol( ,X) Jk( )0,

thì ( , )F x KXk( , ), x x X, J Xk( ) x

(M4) Cho trước hai không gian phức X Y, ánh xạ chỉnh hình

Hol( , )

f X Y ,

*

( ( ), ( )) ( , ), , ( )

k k

Y x X k x

K f x f K x x X J X

(M5) Với k  , k-metric Kobayashi

: ( ) [0, )

k

X k

K J X

Giả sử :[ , ]a b X, [ , ]a b , đường cong giải tích thực Với [ , ]

t a b tồn mầm hàm chỉnh hình t Hol( , X) cho

(0) ( )

t t (t s) t( )s với đủ nhỏ, s ( , ) Từ đó,

với k  ,

( ) ( )

( ) ( ) ( )

k k t t k t

j t j J X

ta định nghĩa

( ) b ( ( ), ( ))

k k

X X k

a

L K t j t dt

Tất định nghĩa mở rộng với đường cong liên tục, giải tích thực khúc

Nếu :[ , ]a b X đường cong giải tích thực khúc khơng gian phức X {LkX( )}k 1 dãy tăng bị chặn số thực không âm

Hơn ta có

1

,

k

( , ) inf {sup k( ( ), ( )) ; }

X p q KX t jk t dt p q

với p q, X, p q, ký hiệu tập tất đường cong liên tục giải tích thực khúc nối p với q

Giả sử X không gian phức {J Xk( )}k 1 họ phân thớ jet

X Khi có ánh xạ Jk 1( )X Jk( )X mà thớ khơng gian afin tuyến tính

Ta đặt ( )J X limproj ( ),J Xk

1

( ) { ( k k( ) )x k ( ); Hol( r, )

J X J X J X X

cho (0) x j, ( )k x k với k 1} Định nghĩa giả metric vi phân KX : ( )J X [0, ) xác định

( ) sup k( )

X X k

k

1.2 Không gian phức nhúng hyperbolic

1.2.1 Định nghĩa. Giả sử X tập compact không gian metric, Y không gian metric đầy C X Y( , ) tập ánh xạ liên tục từ X

vào Y với chuẩn sup Họ F C X Y( , ) gọi đồng liên tục điểm

x X với 0, tồn cho với x X d x x, ( , 0) ,

0

( ( ), ( ))

d f x f x với f F

Họ F gọi đồng liên tục trên X F đồng liên tục điểm x X

1.2.2 Định lý. (Định lý Ascoli họ đồng liên tục)

Giả sử X tập compact không gian metric, Y không

gian metric đầy Giả sử F tập tập ánh xạ liên tục C X Y( , )

Khi F compact tương đối C X Y( , ) hai điều kiện

sau thỏa mãn

i) F họ đồng liên tục X

ii) Với x X , tập hợp Fx { ( )f x f F} compact tương đối Y

1.2.3 Định nghĩa. Giả sử X không gian phức không gian phức Y X

được gọi nhúng hyperbolic Y với ,x y X x, y tồn lân cận mở U x V y Y cho

( , )

X

d X U X V

1.2.4 Định lý. Giả sử X không gian phức không gian phức Y Khi đó điều kiện sau tương đương

HI1. X nhúng hyperbolic Y

HI2 X hyperbolic { },{ }xn yn dãy X thỏa mãn

n

HI3 Giả sử { },{ }xn yn dãy X thỏa mãn

n

x x X , yn y X

Khi đó, dX( ,x yn n) 0 n x y

HI4. Cho hàm độ dài H Y, tồn hàm liên tục, dương Y cho

với f Hol( ,X) ta có

*

( ) ,

f H H

trong H chuẩn hyperbolic đĩa đơn vị

HI5 Tồn hàm độ dài H Y cho với f Hol( ,X) ta có

*

f H H

Chứng minh.

HI1 HI2. Với x y, X x, y, từ HI1 ta suy

( , )

X

d x y

Do X hyperbolic

Với x y, X, x y theo HI1 ta suy mâu thuẫn với giả thiết

( , )

X n n

d x y , n Vậy HI2 chứng minh

HI2 HI3. Giả sử HI2 thỏa mãn Nếu x y, X , tính liên tục giả khoảng cách Kobayashi dX ta có dX( , )x y Mà X hyperbolic nên suy

x y

Nếu x X y, X Vì y X nên tồn dX-cầu B( , )x s mà y B( , ).x s Do yn y nên yn B( , )x s với n đủ lớn Mặt khác, dX( , )x xn suy

B( , / 2)

n

x x s Điều mâu thuẫn với giả thiết dX( ,x yn n) Vậy trường

hợp không xảy Do HI3 chứng minh

HI3 HI4. Giả sử K tập compact Y Trước hết ta chứng minh tồn

*

( )

f CH H điểm

( )

f K

Giả sử ngược lại, suy tồn dãy { }fn Hol( ,X), tồn ( )

n n

z f K

sao cho df zn( )n Vì nhóm Aut( ), nên ta giả thiết zn 0, tức

(0)

n

df n

Do K compact, ta giả sử

(0)

n

f y K

Lấy U lân cận mở y Y, đồng U với khơng gian đóng m

r Khi đó, với k  , có zk nk  cho

zk

k fnk( )zk U (*)

Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn r cho fn( r) U với

0( )

n n r Theo định lý Ascoli, fn(0) y, tồn dãy { }

r

n

f hội

tụ tập compact r Điều mâu thuẫn với (0)

n

df Vậy (*) chứng minh

Đặt

(0), ( )

k k

k n k n k

y f x f z

Ta lấy zk cho xk nằm tập compact chứa U Từ đó,

bằng cách lấy dãy cần ta giả thiết xk x x, y Khi X( ,k k) (0, k)

d x y d z k

Điều mâu thuẫn với HI3

Bây giả sử K1 K2 dãy tập compact Y thỏa mãn

1

i i

K Y

trong Ui mở Ui Ui 1 Theo chứng minh trên, với Ki, tồn số Ci thỏa mãn

*

( i )

f C H H

Do đó, có hàm liên tục, dương Y thỏa mãn Ci Ki

Vậy, *

( )

f H H với hàm độ dài H Y

HI4 HI5. Hiển nhiên ta lấy hàm độ dài H

HI5 HI1. Giả sử ,x y X x y Lấy

B ( , ),H B ( , )H

U x s V y s

là hình cầu bán kính s ứng với khoảng cách sinh hàm độ dài H

Do H hàm độ dài x y, nên ta lấy s đủ nhỏ cho

B ( ,2 )H x s B ( ,2 )H y s Lấy x U X y V Y ta có

( , ) ( , )

X H

d x y d x y s

Thật vậy, từ HI5 suy dH có tính chất giảm khoảng cách với

( , )

f Hol X , theo tính chất lớn giả khoảng cách Kobayashi ta có

X H

d d Từ suy X nhúng hyperbolic Y

Vậy định lý chứng minh hoàn toàn ,

1.2.5 Nhận xét

i) Không gian phức X hyperbolic X nhúng hyperbolic

ii) Nếu không gian phức X1 nhúng hyperbolic Y1 X2 nhúng hyperbolic Y2 X1 X2 nhúng hyperbolic Y1 Y2 iii) Nếu có hàm khoảng cách X thỏa mãn

( , ) ( , ) ,

X

d p q p q p q X

1.3 Một số định lý thác triển ánh xạ chỉnh hình

1.3.1 Định lý Giả sử X không gian phức compact tương đối khơng gian phức Y Khi đó, X nhúng hyperbolic Y ánh xạ

chỉnh hình f : * X thác triển thành ánh xạ chỉnh hình

:

F Y

Để chứng minh định lý, trước hết ta xét điều kiện sau, với f : * X ánh xạ chỉnh hình,

KW1.X nhúng hyperbolic Y, tồn dãy { }zk Δ* thỏa mãn zk { ( )}f zk hội tụ tới điểm y X

Chú ý Điều kiện tồn dãy { }zk thỏa mãn X compact tương đối Y

KW2. X nhúng hyperbolic Y, tồn dãy số dương

{ }rk  thỏa mãn

( ( ))k

f S r y X ,

trong S r( )k S(0, )rk đường trịn bán kính rk

KW3. Ánh xạ chỉnh hình f : * X thác triển thành ánh xạ chỉnh hình

:

F Y .

Khi đó, định lý 1.3.1 trường hợp riêng định lý sau

1.3.2 Định lý Ta có

KW1 KW2 KW3 Chứng minh

KW1 KW2. Đặt rk zk , lấy U lân cận hyperbolic, compact

( ( ))k

f S r U

với k đủ lớn

Giả sử ngược lại, với k lớn tùy ý, tồn điểm zk S r( )k cho

( )k

f z U Vì tính liên tục khoảng cách dY xác định tô pô Y, ta giả thiết f z( )k U Mà U tập compact, bỏ qua việc lấy dãy con, ta giả sử f z( )k hội tụ tới điểm y X Khi ta có

y y f z( )k U

Mặt khác ta có

*

( ( ), ( )) ( , )

X k k k k

d f z f z d z z k

Mà X nhúng hyperbolic Y, theo định lý 1.2.4 HI3, ta nhận

y y Điều mâu thuẫn với

KW2 KW3. Giả sử U lân cận y, mà ta đồng với

không gian đa đĩa N

 , cho bao đóng U U Y

là compact chứa đa đĩa

Theo định lý thác triển Riemann, ta cần chứng minh tồn số c

sao cho

* ( c)

f U,

vì từ ta suy hàm tọa độ f bị chặn gần f thác triển chỉnh hình qua điểm thủng Giả sử không tồn số c vậy, tức với rk  0,

*

( )

k

r

f U

Theo KW2, sau đánh số lại dãy, ta giả thiết

( ( ))k

f S r U với k

Gọi ak,bk số dương, ak rk bk, cho

{ * }

k k k

là vành khuyên lớn có ảnh f A( k) nằm hoàn toàn U Ta đặt

2

( ) it

k t a ek

2

( ) it

k t b ek , t

là hai đường trịn biên vành khun mở Ak Khi ta có

( k)

f f( k) nằm U

Nhưng tính lớn vành khuyên Ak nên f( k) f( k) khơng nằm U, f( k) f( k) nằm U Vì độ dài hyperbolic đường trịn bán kính ak bk dần đến k f giảm khoảng cách từ d * tới dX, nên ta có dX-đường kính f( k)

( k)

f dần tới Theo định lý 1.2.4 HI5, ta có f *H H nên

( ( ), ( )) ( , ) ,

H

d f p f q d p q p q

Từ tính lớn giả khoảng cách Kobayashi ta có dH dX Vì dH-đường kính f ( k) f ( k) dần tới Vì U compact, cách lấy dãy ta giả thiết f( k) y f, ( k) y với

,

y y U Khi ta có y y y y Nếu lấy zk điểm

( )k

S r , f z( )k y k

Ta viết f ( , ,f1 fN) :U  N Khơng tính chất tổng quát ta

giả thiết

1

1

1

lim ( ) 0, lim ( ) 0, lim ( )

k k

k k

k k

f y

f y

f z y

Từ đó, với k k0 ta có

1( )k 1( k) 1( k)

f z f f

Vì ta tìm lân cận đơn liên f1( k) f1( k) mà không giao với đĩa tâm 0, bán kính đủ nhỏ 

Giả sử ( 1, , N) hàm tọa độ  N, f1 1 f Với cách chọn lân cận trên, với k đủ lớn ta có

1( ) 1 1

log( ( )) log( ( ))

k k k k

f d f z d  f f z ,

1( ) 1 1

log( ( )) log( ( ))

k k k k

f d f z d  f f z

Do đó,

log( 1 1( ))

k k k

d  f f z (*) Mặt khác, theo định lý Rouche [11], ta có

1

1

log( ( ))

2 k k k

d f f z N P

i  ,

trong N số khơng điểm P số cực điểm 1 f f z1( )k

trong vành khuyên Ak Rõ ràng P 0, N có khơng điểm zk Do đó, N P Điều mâu thuẫn với (*) Vậy định lý

chứng minh , Với kết Kwack Kobayashi, năm 1972 Kiernan ([6]) mở rộng định lý Picard lớn lên trường hợp nhiều chiều

K -định lý Để trình bày K3-định lý ta cần số khái niệm kết sau

1.3.3 Bổ đề Giả sử X không gian phức compact tương đối, nhúng

hyperbolic không gian phức Y Giả sử { : *fk X} dãy ánh xạ

chỉnh hình { },{ }zk zk dãy Δ* hội tụ tới 0 thỏa mãn

( )

k k

f z y Y

Khi

(ii) fk(0) y k

Chứng minh Theo tính chất giả khoảng cách Kobayashi, ta có ánh xạ

chỉnh hình fk: * X có thác triển chỉnh hình qua điểm Do fk(0)

cũng xác định

Như ta suy điều phải chứng minh ,

1.3.4 Định nghĩa Giả sử M đa tạp phức A divisor Ta nói A

có giao chuẩn tắc điểm, tồn hệ tọa độ phức z1, ,zm

M cho địa phương

*

\ r s

M A với r s m

Từ đó, địa phương A xác định phương trình z1 zr

Ta nói A có giao chuẩn tắc đơn sau biểu diễn A Aj tổng thành phần bất khả quy, tất Aj khơng có kỳ dị A có giao chuẩn tắc

1.3.5 Định lý (K3-định lý) Giả sử A divisor có giao chuẩn tắc đa

tạp phức M Giả sử X không gian phức compact tương đối, nhúng hyperbolic khơng gian phức Y Khi ánh xạ chỉnh hình

: \

f M A X

thác triển thành ánh xạ chỉnh hình f M: Y

Chứng minh Theo giả thiết ta giả sử

m

M M \ A *r s với r s m

Ta chứng minh quy nạp theo m dimM Ta chia thành bước Nếu M \ A * kết định lý 1.3.2

Ta viết

1

( , )t ( , , n, , , )t ts biến n s Giả sử

*

: n s

f X

là ánh xạ chỉnh hình

Với t ta đặt ft( ) f( , )t Theo giả thiết quy nạp, ta thác triển

t

f thành ánh xạ chỉnh hình n với t Theo hệ định lý thác

triển Riemann, ta cần chứng minh ánh xạ

( , )t  f( , )t liên tục

Giả sử ngược lại, f khơng liên tục điểm đó, giả sử ( ,0) Khi đó, tồn dãy điểm

* k

{( , )}tk n s

hội tụ ( ,0) mà

( k, )k ( ,0)

f t y f

Ta cần mâu thuẫn trường hợp s Định nghĩa ánh xạ : * ; ( ) ( , )

k k k

f X f z f z

Vì tk f tk( )k f( k, )tk y, theo bổ đề 1.3.3, ta có

(0) ( ,0)

k k

f f y

Nhưng ft liên tục với t, nên fk(0) f( k,0) f( ,0) y Điều vô lý Vậy f liên tục

Giả sử f có thác triển M \ A *n s với s Ta chứng minh f

thác triển *

\ n

M A

( ) ( , , z)

g z f z

thác triển lên toàn Ta định nghĩa

(0, ,0) (0)

f g

Theo định lý thác triển Riemann ta cần chứng minh f liên tục n 1 Giả sử f khơng liên tục Khi tồn dãy

1 *

( k, )tk ( k, , kn, )tk n

thỏa mãn

( k, )tk (0,0) f( k, )tk y f(0, ,0) Áp dụng bổ đề 1.3.3 cho dãy hàm số

( ) ( k , )

k k

k

z

f z f t dãy điểm zk k

ta có

( ) ( , )

k k k k

f z f t y k

Do

(0) (0, )

k k

f f t y k (*) Mặt khác, lại áp dụng bổ đề 1.3.3 cho dãy

( ) ( k , , k , )

k k

k k

zt zt

f z f t

t t dãy điểm zk tk

ta có

( ) ( , , ) (0, ,0)

k k k k

f z f t t f k

Do

(0) (0, ) (0, ,0)

k k

f f t f y k

Điều mâu thuẫn với (*) Vậy f liên tục ,

Chú ý Định lý chứng minh Kwack X Y

nhúng hyperbolic Y A khơng có kỳ dị Kết Kiernan chứng minh trường hợp A có giao chuẩn tắc Ví dụ sau Kiernan chứng tỏ X khơng compact điều kiện kỳ dị cần thiết

1.3.6 Ví dụ

Xét

1

( \ {1, 1}) P ( ) P ( )

X   

Vì  \ {1, 1} nhúng hyperbolic P ( )1  , nên X nhúng hyperbolic P ( ) P ( )1   Đặt

M A {( , )z z z }

Ta có A khơng phải có giao chuẩn tắc Xét ánh xạ

: \

f M A X f z( , ) ( ,z / )z

Chương

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ

Trong chương trước tiên chúng tơi trình bày chứng minh định lý thác triển hội tụ Noguchi ngôn ngữ họ chuẩn tắc Tiếp theo số kết gần Đỗ Đức Thái việc chứng minh định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi siêu mặt khơng thiết có giao chuẩn tắc

2.1 Định lý thác triển hội tụ Noguchi

2.1.1 Định lý (Noguchi [9]) Giả sử A divisor có giao chuẩn tắc đa

tạp phức m chiều M X không gian compact tương đối, nhúng hyperbolic không gian phức Y Giả sử

: \

n

f M A X

là dãy ánh xạ chỉnh hình, hội tụ tập compact M \ A

tới ánh xạ chỉnh hình

: \

f M A X

Giả sử f n, f thác triển chỉnh hình fn, f tương ứng, từ M vào Y Khi

( , )

n

f f Hol M Y Hol M Y( , )

Để chứng minh trước hết ta cần số khái niệm kết sau

2.1.2 Định nghĩa Giả sử X, Y không gian phức Họ F Hol( , )X Y gọi họ chuẩn tắc đều F Hol(M X, ) compact tương đối

( , )

C M Y với đa tạp phức M, Y Y { } compact hóa

điểm Y

và F C X Y( 0, 0) Ta ký hiệu [ , ,C X Y F tập ánh xạ ] g C X Y( , ) mà thác triển phần tử F

2.1.3 Định lý Nếu X, Y khơng gian phức họ F Hol X Y( , )

chuẩn tắc F Hol( ,X) compact tương đối

( , )

C Y

Chứng minh.

( ) Hiển nhiên, đa tạp phức

( ) Nếu F khơng chuẩn tắc có đa tạp phức M cho

Hol(M X, )



F không compact tương đối C M Y( , ) Theo định lý Ascoli, Y không gian compact nên F Hol(M X, ) khơng liên tục đồng Vì tính liên tục đồng tính chất địa phương, ta giả thiết

{ m; 1}

M p  p với m đó,

và F Hol(M X, ) không liên tục đồng từ M tới q Y

Chọn dãy { }fn F ;{pn} M \ {0} { }n Hol(M X, ) cho

0; (0)

n n n

p f  q fn  n(pn)½ q

Ta định nghĩa hàm n Hol( ,X), ( ) n

n n

n

zp z

p

Khi

(0) (0)

n n n n

f  f  q

và fn n( pn ) fn  n(pn)½ q

Suy F Hol( ,X) không liên tục đồng đều, khơng compact tương đối ( ,C Y ) Điều trái giả thiết ,

2.1.4 Định lý ([5]) Giả sử X không gian phức compact tương đối

i) X nhúng hyperbolic Y;

ii) Hol( ,X) compact tương đối C( ,Y ); iii) Hol( ,X) họ chuẩn tắc Hol( , )Y

2.1.5 Bổ đề Giả sử F Hol( * , )m Y họ chuẩn tắc Nếu { n} *m,

{ }fn F cho n 0 m fn( n) p Y với lân cận U

của p, tồn lân cận W 0 m cho

( * )m

n

f W U

Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo m

+ m định lý 2.1 [5]

+ Ta giả sử khẳng định với k không với k Lấy

Hol( * , )k Y

F họ chuẩn tắc Chọn dãy

k+1

n n n n

{ },{ } * ; , k ;{ }fn F

sao cho

( )

n n

f p fn( n)½ p

Giả sử U, V lân cận compact tương đối p cho V U giả sử

fn( n) V , fn( n) Y U\ (*) Đặt n ( , ),s tn n n ( , )s tn n 0 ( , )s t0 0 *k Δ* Gọi

1

1 { t Hol( * , * ); *, ( ) ( , )}

k k

t

t s s t

F ,

1

2 { s Hol( *, * ); * , ( ) ( , )}

k k

s

s t s t

F

Khi

Hol( * , )k Y

 1

Khi ta có:

0

{ } ,

n

n t n

f  F F1 s s ( ) ( , ) ( )

n

n t n n n n n n

f  s f s t f p

Theo giả thiết quy nạp, tồn lân cận N1 s0 cho

( * )

n

k

n t

f  N V ( )

n

n t n

f  s V

Từ đó, tồn dãy { ( )}

n

n t n

f  s mà ký hiệu { ( )}

n

n t n

f  s

sao cho

( )

n

n t n

f  s q V

Ta có

( ) ( , ) ( )

n n

n t n n n n n s n

f  s f s t f  t , với tn t0

Do đó, tồn lân cận N2 t0 cho

( *)

n

n s

f  N U

Vậy với n đủ lớn, tn N2 *, ta có ( )

n

n s n

f  t U

Tức

( , ) ( )

n n n n n

f s t f U

Điều mâu thuẫn với (*) Vậy định lý chứng minh , Sử dụng kết ta mở rộng K3-định lý định lý thác triển hội tụ Noguchi sau

2.1.6 Định lý Giả sử M đa tạp phức A divisor có giao chuẩn tắc

trong M Giả sử F Hol M( \ , )A Y họ chuẩn tắc F bao đóng

của F C M A Y( \ , ) Khi

i) Mỗi f F thác triển thành f C M Y( , )

Chứng minh. Để chứng minh i) ii) trước hết ta chứng minh với f F

đều thác triển thành f C M Y( , ) C M Y[ , ,F compact tương ] đối ( , )C M Y

Vì tốn địa phương nên ta giả thiết M m Hol( * , )m Y

F Do ta cần chứng minh f F có thác triển

( m, )

f C Y [C m,Y ,F compact tương đối (] C m,Y )

Theo định lý Ascoli, ta cần chứng minh C[ m,Y ,F liên tục đồng ] (C m,Y )

Giả sử ngược lại, tồn 0 m, dãy { n},{ n} *m hội tụ tới 0 có dãy { }fn F mà fn( n) p fn( n) q p Điều mâu thuẫn với bổ đề 2.1.5 Vậy ta có

[ m, , ] ( m, )

C Y F ÐC Y

Bây ta chứng minh tồn thác triển ánh xạ f

Giả sử 0 M p Y, { n} M A\ ; n 0 f( n) p Khi p

xác định nhất, với 0 p ta định nghĩa f( 0) p Rõ ràng

f f M \ A,

vì ta chọn dãy n M \ A với n, f( ) f( ) với

\

M A

Vậy theo định lý thác triển Riemann, để chứng minh f thác triển chỉnh hình f ta cần chứng minh f liên tục

trong M cho f W( \ A) V Khi

( )

f W V U

Nếu f( 0) , theo bổ đề 2.1.5, tồn lân cận mở W 0 M cho f W( \ )A U , tức tồn lân cận mở W 0 M cho

( )

f W U Từ ta có f liên tục

Để kết thúc chứng minh i) ta lấy f F Khi tồn dãy { }fn F

sao cho fn f n Do C M Y[ , ,F compact tương đối ]

( , )

C M Y nên tồn dãy { } { }

k

n n

f f cho ( , )

k

n

f g C M Y Rõ

ràng g f (vì chúng M \ A) Vậy i) chứng minh Để chứng minh ii) ta chứng minh

[ , , ]= [ , , ]

C M Y F C M Y F

Với g F ta chọn dãy { }fn F cho fn g Do tính compact tương đối [ ,C M Y ,F ] C M Y( , ) tồn thác triển i), suy

có dãy { } { }

k

n n

f f cho

k

n

f g, g C M Y[ , ,F ] Do

[ , , ] [ , , ]

C M Y F C M Y F

Ngược lại, với g C M Y[ , ,F ], tồn dãy

{ }fn C M Y[ , ,F ] mà fn g

Suy

n

f g M \ A với { }fn F Từ đó, g F Vậy

[ , , ]

g C M Y F

[ , , ] [ , , ]

C M Y F C M Y F

Vậy ii) chứng minh

iii) Giả sử { }fn F fn f Ta chứng minh

n

f f n Theo i) fn f tồn

Theo ii), { }fn C M Y[ , ,F ] compact (C M Y, ), nên dãy

{ }

k

n

f { }fn có dãy hội tụ tới f Do

n

f f n

Vậy iii) chứng minh ,

2.1.7 Nhận xét Theo hệ hệ ([4]) khẳng định rằng: Nếu X không gian phức, nhúng hyperbolic không gian phức Y A

divisor có giao chuẩn tắc đa tạp phức M f Hol M( \ ,A X)

đều thác triển thành f C M Y( , ) X compact tương đối

Y f Hol M Y( , ).

Từ theo định lý 2.1.4 định lý 2.1.6 ta suy kết định lý thác triển hội tụ Noguchi 2.1.1

2.2 Một số định lý thác triển hội tụ qua siêu mặt

2.2.1 Định nghĩa Một không gian phức X gọi siêu lồi X Stein tồn hàm đa điều hòa liên tục :X ( ,0) cho

{ ; ( ) }

c

X x X x c compact với c Một cách trực giác, điều

có nghĩa tiến đến “biên” X

X Giả sử có lân cận U M X cho U M siêu lồi Khi

đó ánh xạ chỉnh hình f Z H: \ M thác triển thành ánh xạ

chỉnh hình từ Z vào M

Hơn nữa, {fj:Z H\ M}j 1 dãy ánh xạ chỉnh hình mà hội tụ

đều tập compact Z H\ tới ánh xạ chỉnh hình

: \

f Z H M, { }fj j 1 hội tụ tập compact Z tới

f , fj :Z M f Z: M thác triển chỉnh hình f f j

trên Z

Chứng minh.

(i) Trước hết ta xét trường hợp Z H {0}

Theo định lý 1.3.2, ta cần chứng minh có dãy { }zn * hội tụ đến cho dãy { ( )}f zn hội tụ đến điểm M

Giả sử khẳng định sai Khi ta giả thiết với dãy

{ }zn * với zn 0, dãy { ( )}f zn hội tụ đến điểm M Do đó, ta tìm đủ nhỏ cho f( *) U Gọi hàm đa điều hòa

dưới vét cạn U Đặt h  f * Khi h hàm điều hòa *, với dãy { }zn * với zn 0, ( )h zn Điều kéo theo

h thác triển liên tục đến hàm h Theo định lý khử kỳ dị hàm điều hịa, ta có h điều hịa Ta có h z( )

*

z h(0) 0, h đạt cực đại gốc Điều vô lý (ii) Bây ta chứng minh ánh xạ chỉnh hình

: \

f Z H M

Ta giả thiết H khơng có kỳ dị, tức là, ta thác triển f lên Z S H\ ( )

sau lên Z S S H\ ( ( )) tiếp tục vậy, S Y( ) tập kỳ dị không gian phức Y

Bằng cách địa phương hóa ánh xạ f, ta giả thiết

1

m m

Z H m {0} Với z m 1, xét ánh xạ chỉnh hình

: *

z

f M cho fz( )z f z z( , ) với z *

Theo (i), tồn thác triển chỉnh hình fz : M fz với

m

z Định nghĩa ánh xạ f : m M f z z( , ) fz( )z với

( , )z z m Ta cần chứng minh f liên tục

0

( ,0)z m

Thật vậy, giả sử {( ,z zk k)} m cho

{( ,z zk k)} ( ,0)z Lấy dãy { }zk * cho lim ( ,k k)

k d z z

 Ta có

dM( ( ,f z zk k), ( ,0))f z0

0 0

( ( , ), ( , )) ( ( , ), ( , )) ( ( , ), ( ,0))

M k k k k M k k k M k

d f z z f z z d f z z f z z d f z z f z

0

0

( ( ), ( )) ( ( , ), ( , )) ( ( ), (0))

k k

M z k z k M k k k M z k z

d f z f z d f z z f z z d f z f

d z z( ,k k) d m-1( , )z zk 0 d z( ,0)k với k Từ

0

lim M( ( ,k k), ( ,0))

k d f z z f z ,

tức là,

0

{ ( ,f z zk k)} f z( ,0) k Điều kết thúc bước chứng minh

{ }fj f Hol( \Z H M, ) Hol( \Z H M, ) Ta chứng tỏ { }fj f Hol( ,Z M)

Trước hết ta giả thiết H khơng có kỳ dị khẳng định ta

trên Z S H\ ( ) sau Z S S H\ ( ( )) tiếp tục

Giả sử 0 điểm tùy ý H Ta giả thiết Z m

{0}

m

H 0 (0,0) Đặt a0 f( 0) Với điểm y M số thực

dương r, ta đặt

BM y r, y M d: M y y, r Tương tự, với điểm Z r 0, ta đặt

BZ ,r Z d: Z , r

Trước hết ta chứng tỏ với số bất kỳ, tồn lân cận V0

0 Z cho f V0 BM a0, f Vj BM a0, với

j j Thật vậy, lấy điểm

1 B ( 0, ) \

Z H

Ta có ( 1) B ( , )0

3

M

f a Có số nguyên j0 cho ( 1) B ( ,0 )

3

j M

f a với

mọi j j0 Vì ta có

1

(B ( , )) B ( , )

3

j Z M

f a

Đặt

0 B ( 0, ) B ( 1, )

3

Z Z

V

0 V0, f V( )0 B ( , )M a0 f Vj( )0 B ( , )M a0 với j j0 Lấy đủ nhỏ cho B ( , )M a0 chứa lân cận tọa độ

địa phương a0 M Chọn đủ bé cho m V0 Vì

( )

{fj m}

hội tụ đến

( )m

f , từ nguyên lý mô đun cực đại suy hội tụ

1

{fj m}j với giới hạn f m Định lý chứng minh ,

2.2.3 Định nghĩa Giả sử M miền không gian phức X, tức là, M

là tập khác rỗng, mở liên thông X

(i) Một hàm gọi đa điều hòa peak địa phương điểm

p M tồn lân cận U p cho đa điều hòa U M, tức liên tục U M thỏa mãn

( )

( ) 0, ( ) \ { }

p

z z U M p

(ii) Một hàm gọi đa điều hòa antipeak địa phương điểm p M có lân cận U p cho đa điều hòa U M, tức liên tục U M thỏa mãn

( )

( ) , ( ) \ { }

p

z z U M p

2.2.4 Bổ đề.Giả sử p điểm thuộc M Giả sử có hàm đa điều hịa

dưới peak antipeak địa phương p xác định lân cận V p

của p Khi với lân cận U p, tồn lân cận U p cho

mỗi ánh xạ chỉnh hình f : M thỏa mãn

1/

(0) ( )

Chứng minh. Vì hàm đa điều hòa peak địa phương p, tồn hai

lân cận U V p (U V Vp) hai số dương c c (c c) cho

inf{ ( ) : } , sup{ ( ) : }

z z M U c

z z M V c

Khi hàm  xác định M ˆ

( ) ( ) ne u ,

ˆ

( ) sup( ( ), ( )) ne u ( \ ),

2 ˆ

( ) ( ) ne u \

2

z z z M U

c c

z z z M V U

c c

z z M V

 



là hàm đa điều hịa peak tồn thể p

Lấy f đĩa giải tích M, tức f : M ánh xạ chỉnh hình Giả sử số âm tùy ý cho (  f)(0) Ký hiệu

mes(E ) độ đo tập hợp

{ [0,2 ]: ( )( i ) }

E   f e

Vì hàm   f điều hòa dưới, bất đẳng thức giá trị trung bình kéo theo

0

1

( )(0) ( )( )

mes([0, ] \ ) (2 mes( ))

i

f f e d

E E

 

Do mes(E ) (1) Lấy đủ nhỏ cho

1

2

inf{( )( ) : } 0, sup{( )( ) : }

z z M U c

z z M V c c

1

1

ˆ

( ) ( )( ) ne u ,

ˆ

( ) sup(( )( ), ( )) ne u ( \ ),

2 ˆ

( ) ( ) ne u \

2

z z z M U

c c

z z z M V U

c c

z z M V

là hàm đa điều hòa liên tục, âm M thỏa mãn

( ) p

Dùng tích phân Poisson, với điểm 1/ 2 ta có

2

1

( )( ) Re( )( )( )

i

i i

e

f f e d

e

 

Theo nguyên lý cực đại, ta có

1/ 1

2 2 1 2 2

min Re( ) Re( ) Re( )

1

Re( ) Re( )

4

1

Re( ) Re( )

1 1 Re

i i

i i i

i i

z z

e e

e e e

e e

z

z z z

2

Re 1

1 ( ) 2( )

5 Re 3

z

z z

Từ đó, ta nhận

2 ( )( ) ( )( ) i

f f e d

  với 1/2 (2)

Vì  hàm peak p q thỏa mãn ( )p nên với n tồn số âm n cho với điểm z M bất đẳng thức

( )z n

 kéo theo ( )z n Từ 1( ) { }p , ta có họ

1 { : ( ) } n n

là sở lân cận p M Gọi Un lân cận p M định nghĩa

{ : ( ) }

n n

U z M  z

Gọi f : M đĩa giải tích M cho f(0) Un Khi

( (0))f n

 vậy, theo (1), ta có mes(E ) Từ (2) hàm âm

nên với 1/2, ta có

[0,2 ]\

( )( ) ( )( ) ( )( )

6

1 1

( ) mes( )

6 6

n n

n n

i i

E E

E

f f e d f e d

n d n E n

  

Vì f( 1/ 2) Un Bổ đề chứng minh ,

2.2.5 Mệnh đề. Giả sử M miền hyperbolic không gian phức X

Giả sử với p M , có hàm peak địa phương antipeak đa điều hòa

dưới p, hai định nghĩa lân cận p X Khi M là nhúng hyperbolic X

Chứng minh. Lấy hai điểm p q, M cho p q Gọi H hàm độ dài

trên X Theo định lý 1.1.4, tồn lân cận U p X số dương C cho q U F zU( , ) C H z ( , ) Với z U

z

T M Theo bổ đề 2.2.4, có lân cận U p X thỏa mãn:

U Ð , U

Với đĩa giải tích f M

1/

(0) ( )

f U f U

Đặc biệt, với z U M T Mz ta có

( , ) ( , )

2

M U

F z F z

( , ) ( , )

M

C

F z H z với z U M T Mz

Lấy lân cận U W, p,q X, tương ứng, cho U ÐU

W U=

Lấy U M W M điểm tùy ý Gọi ( )t đường cong liên tục, giải tích thực khúc M thỏa mãn (0)

(1) Khi tồn số cực tiểu r s cho ( )r U

( )s U Ta có

1

1

0 ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( ))

s s

M r M r M

K t j t dt K t j t dt F t t dt

1

( ( )) dist( , )

2

s r

C C

H t dt U U C

Do

1

1

sup Mk ( ( ), k ( ))

k

K t j t dt C

Theo 1.1.5, ta nhận

,

0

( , ) inf sup k ( ( ), ( )) :

M M k

k

d K t j t dt C

Điều kéo theo dM(U M W, M) C1 M nhúng hyperbolic X Mệnh đề chứng minh , 2.2.6 Định lý. Giả sử M miền hyperbolic không gian phức X

thỏa mãn với điểm p M , có hàm peak địa phương antipeak đa

điều hòa p, hai xác định lân cận p X Giả

sử Z đa tạp phức H siêu mặt phức Z f Z H: \ M

là ánh xạ chỉnh hình Giả sử với z H tồn dãy

{ }zn Z H\ hội tụ đến z cho dãy { ( )}f zn hội tụ đến xz X

Chứng minh

(i) Trước hết ta xét trường hợp Z H {0}

Theo mệnh đề 2.2.5, M nhúng hyperbolic X Theo nhận xét 2.1.7,

ta có f thác triển thành ánh xạ liên tục f : X , { }

X X compact hóa điểm X

Mặt khác, theo giả thiết, có dãy { }zn * với lim n

n z

cho

lim ( )n

n f z x X Từ f ánh xạ vào X f chỉnh hình

Giả sử (0)f M Gọi U lân cận f(0) X hàm đa điều hòa peak địa phương (0)f , tức là, đa điều hòa

trên U M, liên tục U M thỏa mãn

( (0))

( ) ( ) \ { (0)}

f

x x U M f

Vì f liên tục, ta tìm đủ nhỏ cho (f ) U Đặt

h  f Khi h hàm điều hòa * liên tục Theo định lý khử kỳ dị hàm điều hòa dưới, h điều hòa Ta có h z( ) z * h(0) 0, h đạt cực đại gốc Điều vô lý

(ii) Giả sử H không chứa điểm kỳ dị Không tính tổng qt ta giả sử

1

m m

Z H m {0}

Với m 1, xét ánh xạ chỉnh hình

: *

f M cho f ( ) f( , )

với * Vì z ( ,0) H, tồn {( n, n)} m *,

n

{( , n)} ( ,0) cho { (f n, n)} xz X Theo nguyên lý giảm

khoảng cách ánh xạ chỉnh hình

: m *

Kobayashi, ta có

1 *

( ( , ), ( , )) m (( , ),( , ))

M n n n n n n

d f f d

=d m1( , n) n Vì M nhúng hyperbolic X, ta nhận

{ ( ,f n)} xz X

Theo (i), f thác triển thành ánh xạ chỉnh hình f : M Định nghĩa

ánh xạ

: m

f M f( , ) f ( ) với ( , ) m Ta

chỉ cần chứng tỏ f liên tục

Lấy ( ,0) H {( n, n)} m cho

n

{( , n)} ( ,0) Chọn { }n * cho { }n Ta có

dM( (f n, n), ( ,0))f

( ( , ), ( , )) ( ( , ), ( , )) ( ( , ), ( ,0))

M n n n n M n n n M n

d f f  d f  f  d f  f

( ( ), ( )) ( ( , ), ( , )) ( ( ), (0))

n n

M n n M n n n M n

d f f  d f  f  d f  f

d ( n, n) d m 1( n, ) d (n, 0) n

Do f thác triển chỉnh hình f (iii) Giả sử H siêu mặt phức Z

Theo (ii) f thác triển thành ánh xạ chỉnh hình

1: \ ( )

f Z S H M

Dễ dàng thấy với z0 S H( ), tồn { }zn Z S H\ ( ) hội tụ đến z0 cho { ( )}f z1 n hội tụ đến

0

z

x X Từ đó, theo (ii), f thác triển thành ánh xạ chỉnh hình f2:Z S S H\ ( ( )) M

2.2.7 Định nghĩa Một không gian phức X gọi lồi đĩa yếu dãy

{ }fn Hol( ,X) hội tụ Hol( ,X) dãy

*

{fn } Hol( *,X)

hội tụ Hol( *,X)

Các định lý Montel Kiernan (xem [12]) khẳng định Hyperbolic đầy taut lồi đĩa yếu

Các khẳng định ngược lại nói chung khơng (xem [12])

2.2.8 Định nghĩa Giả sử X không gian phức không gian phức Y

và * \ {0} Khi X có tính chất * EP Y ánh xạ chỉnh hình f : * X có ánh xạ chỉnh hình f : Ylà thác triển chỉnh

hình f

2.2.9 Định lý Cho X không gian phức giả lồi có tính chất * EP Giả sử A siêu mặt giải tích tùy ý đa tạp phức M Cho

1

{fj :M \ A X}j dãy ánh xạ chỉnh hình hội tụ tập

compact M \ A tới ánh xạ chỉnh hình f M: \ A X Khi có

các thác triển chỉnh hình fj :M X f M: X f j f M ,

và { }fj j 1 hội tụ tập compact M tới f

Chứng minh

i) Trước hết ta chứng minh X lồi đĩa yếu

Thật vậy, giả sử { }fk Hol( ,X) dãy cho {fk *} hội tụ tập compact tới ánh xạ f Hol( *,X)

Giả sử { }

j

k

f dãy tùy ý dãy { }fk Đặt

1

( )

j

k s

j

K f , s

và

( ) ( )

j

k s PSH X

j

f K

 Vì X có tính chất * EP, nên X khơng chứa

đường thẳng phức (xem [13]) Do đó, theo định lý Brody [3], Urata [15], Zaidenberg [17], tồn lân cận hyperbolic W ( )K PSH X X

Điều kéo theo họ { *}

j

k

f đồng liên tục

Mặt khác, { ( )}

j

k

f compact tương s, theo định lý

Ascoli họ { : 1}

j

k

f j compact tương đối Hol( s,X) Do tồn

một dãy { }

jl

k

f { }

j

k

f hội tụ tập compact đến ánh xạ

F Hol( ,X)

Theo đẳng thức F * f hạn chế F nhất, khơng phụ thuộc vào cách chọn dãy { }

j

k

f dãy { }fk Suy dãy { }fk hội tụ tập compact đến ánh xạ F Hol( ,X)

ii) Ta phải chứng minh ánh xạ chỉnh hình f M: \ A X thác triển chỉnh hình M

Đầu tiên ta giả sử A khơng có kỳ dị, tức là, ta thác triển f lên

\ ( )

M S A sau lên M S S A\ ( ( )) tiếp tục vậy, S Z( )

tập kỳ dị Z

Bằng cách địa phương hóa ánh xạ f , ta giả sử

m m

M A m {0}

Với m

z , xét ánh xạ chỉnh hình

: *

z

f X

xác định fz( )z f z z( , ) với z * Theo giả thiết trên, tồn thác triển chỉnh hình

:

z

Định nghĩa ánh xạ

1

: m

f X

xác định

( , ) z( )

f z z f z với

( , )z z m

Ta cần chứng minh f liên tục

( ,0)z m

Thật vậy, giả sử {( ,z zk k)} m cho {( ,z zk k)} ( ,0)z0 Đặt

k

k fz với k fz0

Khi dãy { k *} hội tụ tới ánh xạ { 0 *} Hol( *,X) Do X lồi đĩa yếu, nên dãy { k} hội tụ đến ánh xạ 0 Hol( ,X)

Bởi vậy,

0

{ k( )zk f z z( ,k k)} (0) f z( ,0), f liên tục ( ,0)z0

iii) Giả sử { }fk Hol(M \ ,A X) cho fk f0 Hol(M \ ,A X) Ta chứng minh { }fk f0 Hol(M X, )

Như trên, ta giả sử A khơng có kỳ dị cách địa phương hóa ánh xạ, ta giả sử

1

m m

M A m {0}

Giả sử

{( ,z zk k)} m dãy tùy ý hội tụ tới ( ,z z0 0) m Ta phải chứng minh dãy f z zk( ,k k) hội tụ tới f z z0( ,0 0)

Thật vậy, với k xét ánh xạ chỉnh hình k: X xác định

( ) ( , )

k z f z zk k với z

Khi { k *} 0 * Hol( *,X) Do X lồi đĩa yếu, ta có

Hơn nữa,

0 0 0

{ ( )k zk f z zk( ,k k)} ( )z f z z( , )

Định lý chứng minh ,

2.2.10 Định lý Giả sử X không gian phức không gian phức

hyperbolic Y cho X có tính chất * EP Y Cho A siêu mặt giải

tích tùy ý đa tạp phức M Giả sử {fj :M \ A X}j 1 dãy ánh xạ

chỉnh hình hội tụ tập compact M \ A tới ánh xạ chỉnh

hình f M: \ A X Khi có thác triển chỉnh hình

:

j

f M Y f M: Y f j f M , { }fj j 1 hội tụ

các tập compact M tới f

Chứng minh

a) Trước hết ta chứng minh ánh xạ chỉnh hình f M: \ A X thác triển thành ánh xạ chỉnh hình F M: Y

Ta xét hai trường hợp

Trường hợp 1. Kỳ dị A có giao chuẩn tắc

Theo giả thiết, ta giả sử

n l

M M A\ ( *)n l

Ta chứng minh phương pháp quy nạp theo n Ta chứng minh theo ba

bước

(i) Nếu M A\ * khẳng định kết trực tiếp từ định nghĩa 2.2.8 (ii) Giả sử thác triển f với M A\ ( *)nvới n Ta chứng minh f có thác triển với M A\ ( *)n l với l tùy ý

Giả sử f : *n l X ánh xạ chỉnh hình Với u giả sử

( ) ( , )

u

chỉnh hình fu: n Y với u Định nghĩa ánh xạ chỉnh hình

: n l

F Y sau F t u( , ) f tu( ), ( , )t u n l

Theo định lý thác triển Riemann, ta cần chứng minh F liên tục Thật vậy, giả sử dãy {( , )}k k n l

t u hội tụ tới điểm (0,u0) Lấy vài

dãy { } Δ*k n

t thỏa mãn lim n( , )

k k

n d t t



Ta có

0 ( ( ,k k), (0, )

Y

d F t u F u

0 0

( ( ,k k), ( ,k k)) ( ( ,k k), ( ,k )) ( ( ,k ), (0, ))

Y Y Y

d F t u F t u d F t u F t u d F t u F u

0

0

( k( ), k( )) ( ( , ), ( , )) ( ( ), (0))

k k k k k k

Y u u Y Y u u

d f t f t d f t u f t u d f t f

0

( , ) ( , ) ( ,0)

n l n

k k k k

d t t d u u d t với k

Từ

0 lim Y( ( ,k k), (0, ))

n d F t u F u ,

tức là,

0

{ ( ,F t uk k)} F(0,u ) k Điều kết thúc bước chứng minh

(iii) Giả sử thác triển f với

\ ( *)n l

M A với l tùy ý

Ta phải chứng minh f thác triển với M \ A *n

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, f thác triển thành ánh xạ chỉnh hình

1: \ {(0,0, ,0)}

n

f Y

Ánh xạ chỉnh hình g: * X , xác định

( ) ( , , )

g z f z z với z *,

Định nghĩa ánh xạ

: n

F Y xác định

(0,0, ,0) (0)

F g 1

\{(0,0, ,0)}

n

F f

Theo trên, ta cần phải chứng minh F liên tục

Giả sử dãy {( , , t t1k 2k tnk1)} n hội tụ tới (0,0, ,0)

Khơng tính tổng qt, ta giả sử t1k với k Khi

1

( ( , , ,k k k ), (0,0, ,0))

Y n

d F t t t F

1 1 1 1

( ( , , ,k k k ), ( , , , ))k k k ( ( , , , ), (0,0, ,0))k k k

Y n Y

d F t t t F t t t d F t t t F

1 1 1 1

( ( , , ,k k k ), ( , , , ))k k k ( ( ), (0))k

Y n Y

d f t t t f t t t d g t g

* (( , , ,1 2 1),( , , , ))1 1 1 ( ( ), (0))1

k k k k k k k

n Y

d t t t t t t d g t g

1

j= 2,n+1ax ( , ) ( ,0)

k k k

j

m d t t d t

1

j= 2,n+1ax ( ( ,0) ( ,0)) ( ,0)

k k k

j

m d t d t d t

1

j= 2,n+1ax ( ,0) ( ,0)

k k

j

m d t d t với k

Do dãy dãy chứa dãy hội tụ tới F(0,0, ,0) Vậy dãy

1

{ ( , , ,F t tk k tnk )} hội tụ đến F(0,0, ,0)

Trường hợp 2.A tập giải tích đóng tùy ý M

Theo định lý khử kỳ dị Hironaka, tồn ( , , )Z B với B tập giải tích có giao chuẩn tắc đa tạp phức Z ánh xạ chỉnh hình riêng lên M cho B 1( )A

Ta định nghĩa g Z B: \ X g f  Theo trường hợp 1, g có thác triển chỉnh hình G Z: Y Khi f thác triển phân hình lên tồn M

bằng cách định nghĩa

F G M Theo định lý Kodama [8] (xem [7,

b) Giả sử { }fj Hol(M A X\ , ) cho

{ }fj f Hol(M A X\ , ) Hol(M \ ,A X) Ta chứng minh { }fj f Hol(M Y, )

Trước hết ta giả sử A khơng có kỳ dị, tức là, ta thác triển f lên

\ ( )

M S A sau lên M S S A\ ( ( )) tiếp tục vậy, S Z( )

tập kỳ dị Z

Giả sử z0 điểm tùy ý A Ta giả sử

m

M A m {0} z0 (0,0)

Đặt a0 f z( )0 Với điểm y Y số thực dương r, ta đặt

B ( , ) {Y y r y Y d: Y( , )y y r} Tương tự, với điểm z M số thực dương r, ta đặt

B ( , ) {M z r z M d: M( , )z z r}

Trước hết ta chứng minh với số tùy ý, tồn lân cận V0

z M cho

0

( ) B ( , )Y

f V a f Vj( )0 B ( , )Y a0 với j j0 Thật vậy, lấy điểm z1 B ( , / 3) \M z0 A

Khi

1

( ) B ( , / 3)Y

f z a

Do có số nguyên j0 cho

1

( ) ( ,2 / 3)

j Y

f z B a với j j0

Từ ta có

1

(B ( , / 3)) B ( , )

j M Y

f z a

Đặt

0 B ( , / 3)M B ( , / 3).M

Khi z0 V0 f V( )0 B ( , )Y a0 , f Vj( )0 B ( , )Y a0 với j j0 Lấy đủ nhỏ cho B ( , )Y a0 chứa lân cận tọa độ địa phương a0 Y

Chọn đủ nhỏ cho m 0

V Vì 1

( )

{fj m}j hội tụ tới

( )m

f ,

theo nguyên lý mô đun cực đại kéo theo hội tụ {fj m}j 1 tới giới hạn f m

Định lý chứng minh ,

2.2.11 Định lý Cho X không gian phức lồi đĩa yếu Giả sử M đa tạp phức với số chiều m, A tập không đâu trù mật không gian

phức B M với số chiều m 1 Khi ánh xạ chỉnh hình

: \

f M A X thác triển thành ánh xạ chỉnh hình F M: X

Chứng minh Đầu tiên ta giả sử B khơng có kỳ dị

Lấy điểm tùy ý a A Bằng cách địa phương hóa ánh xạ f , ta giả sử

1

m m

M , A A {0},

trong A tập khơng đâu trù mật m 1,

( ,0) {0}

a t A

Với điểm m

z , ký hiệu

( , )

z t u với t m u

Giả sử dãy

{aj ( ,t uj j)} ( m \ A) hội tụ tới điểm a Xét ánh xạ chỉnh hình

: , ( ) ( , )

j j j

f X u f u f t u với j 1,

0 : * , 0( ) ( , )0

t t

f X u f u f t u

Dễ dàng thấy

0

*

{fj } ft Hol( *,X)

Vì X lồi đĩa yếu, nên dãy { }fj hội tụ tới ánh xạ chỉnh hình

Hol( , )

g X ,

0

* t

g f

Đặt g(0) p Khi { ( )}f uj j g(0), tức là, { ( )}f aj p Do vậy, dãy { ( )}f aj hội tụ đến p với dãy

{ }aj ( m 1\ A) hội tụ đến a (*) Chọn lân cận compact tương đối Vp p X cho Vp chứa lân cận tọa độ chỉnh hình p Y Theo (*) tồn

lân cận mở T0 U0 a ( ,0)t0 m thỏa mãn

0

(( \ ) ) p

f T A U V

Với điểm u U0 \ {0}, xét ánh xạ chỉnh hình

1

: m , ( ) ( , )

u u

f X t  f t f t u

Vì f Tu( 0 \ A) Vp kéo theo f Tu( 0 \ A) f Tu( )0 Vp

Do f T( 0 (U0 \ {0})) Vp Theo định lý thác triển Riemann, ánh xạ f thác triển chỉnh hình T0 U0

Định lý chứng minh ,

2.2.12 Hệ quả. ([7, Định lý 6.2.3, tr 281])

Giả sử X không gian phức hyperbolic đầy Giả sử M đa tạp phức với

số chiều m, A tập không đâu trù mật không gian phức

B M với số chiều m 1 Khi ánh xạ chỉnh hình f M: \ A X

2.2.13 Hệ quả. ([10, Định lý 1.6.28, tr 35])

Giả sử X không gian phức hyperbolic đầy, M đa tạp phức A M

là tập giải tích với đối chiều 2 Khi ánh xạ chỉnh hình từ

\

M A vào X thác triển thành ánh xạ chỉnh hình toàn

M Hơn nữa, { }fj j 1 f Hol M( \ ,A X), { }fj j 1 f

( , )

Hol M X , fj f thác triển chỉnh hình từ M vào X

KẾT LUẬN

Luận văn nghiên cứu số định lý thác triển hội tụ lý thuyết hàm hình học đạt số kết sau:

Trình bày định lý thác triển ánh xạ chỉnh hình M Kwack, S Kobayashi K3-định lý

Trình bày chứng minh định lý thác triển hội tụ Noguchi ngôn ngữ họ chuẩn tắc

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phạm Việt Đức (2005), Mở đầu lý thuyết không gian phức

hyperbolic, Nhà xuất Đại Học Sư Phạm, Hà Nội

[2] T J Barth (1970), Taut and tight complex manifolds, Proc Amer Math Soc., 24, pp 429-431

[3] R Brody (1978), Compact manifolds and hyperbolicity, Trans Amer Math J., 235, pp 213-219

[4] J E Joseph and M H Kwack (1994), Hyperbolic imbedding and spaces

of continuous extensions of holomorphic maps, The journal of Geometric

Analysis, 4, pp 361-378

[5] J E Joseph and M H Kwack (1997), Extension and convergence

theorems for families of normal maps in several variables, Proc Amer Math

Soc., 125, pp 1675-1684

[6] P Kiernan (1972), Extensions of holomorphic maps, Trans Amer Math Soc., 172, pp 347-355

[7] S Kobayashi (1998), Hyperbolic Complex Spaces, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 318

[8] A Kodama (1979), On bimeromorphic automorphisms of hyperbolic

complex spaces, Nagoya Math J., pp 1-5

[9] J Noguchi (1985), Moduli spaces of holomorphic mappings into

hyperbolically imbedded complex spaces and locally symmetric spaces,

Invent Math., 93, pp 15-34

[10] J Noguchi and T Ochiai (1990), Geometric Function Theory in Several

Complex Variables, Translation of Math Monographs, Amer Math Soc., 80

[12] B Shabat (1992), Introduction to Complex Analysis, Part II: Functions of Several Variables, Transl Math Monogr Amer Math Soc., Providence [13] D D Thai (1991), On the D*-extension and the Hartogs extension, Ann della Scuo Nor Super di Pisa, Sci Fisi e Mate., Ser 4, 18, pp 13-38

[14] D D Thai and P N Mai (2003), Convergence and extension theorems

in geometric function theory, Kodai Math J., 26, pp 179-198

[15] T Urata (1982), The hyperbolicity of complex analytic spaces, Bull Aichi Univ Educ 31 (Natural Sci.), pp 65-75

[16] S Venturini (1996), The Kobayashi metric on complex spaces, Math Ann., 305, pp 25-44