SKKN một số phương pháp vẽ thêm yếu tố trong giải toán hình học lớp 7

Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, không có phương pháp chung nhất cho việcvẽ thêm các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo trong trong khi giải toán, bởi vì việc vẽthêm các yếu tố phụ cần

PHẦN I - ĐẶT VẤN ĐỀ

Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những người năng động sáng tạo, độc lập tiếp thu trithức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng và thực hiện các giải pháp hợp lý chonhững vấn đề trong cuộc sống xã hội và trong thế giới khách quan là một vấn đề mànhiều nhà giáo dục đã và đang quan tâm.Vấn đề trên không nằm ngoài mục tiêu giáodục của Đảng và Nhà nước ta trong giai đoạn lịch sử hiện nay

Trong tập hợp các môn học nằm trong chương trình của giáo dục phổ thông nóichung, trường THCS nói riêng, môn Toán là một môn khoa học quan trọng, nó là cầunối các ngành khoa học với nhau đồng thời nó có tính thực tiễn rất cao trong cuộcsống xã hội và với mỗi cá nhân

Đổi mới phương pháp dạy học được hiểu là tổ chức các hoạt động tích cực chongười học, kích thích, thúc đẩy, hướng tư duy của người học vào vấn đề mà họ cầnphải lĩnh hội Từ đó khơi dậy và thúc đẩy lòng ham muốn, phát triển nhu cầu tìm tòi,khám phá, chiếm lĩnh trong tự thân của người học từ đó phát triển, phát huy khả năng

tự học của họ Đối với học sinh bậc THCS cũng vậy, các em là những đối tượng ngườihọc nhạy cảm việc đưa phương pháp học tập theo hướng đổi mới là cần thiết và thiếtthực Vậy làm gì để khơi dậy và kích thích nhu cầu tư duy, khả năng tư duy tích cực,chủ động, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm của môn học đem lại niềm vui hứngthú học tập cho học sinh? Trước vấn đề đó người giáo viên cần phải không ngừng tìmtòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp các phươngpháp dạy học trong các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối tượng họcsinh, xây dựng cho học sinh một hướng tư duy chủ động, sáng tạo

Vấn đề nêu trên cũng là khó khăn với không ít giáo viên nhưng ngược lại, giảiquyết được điều này là góp phần xây dựng trong bản thân mỗi giáo viên một phongcách và phương pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có hướng tư duy mới trongviệc lĩnh hội kiến thức Toán

Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, không có phương pháp chung nhất cho việc

vẽ thêm các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo trong trong khi giải toán, bởi vì việc vẽthêm các yếu tố phụ cần đạt được mục đích là tạo điều kiện để giải được bài toán mộtcách ngắn gọn chứ không phải là một công việc tuỳ tiện Hơn nữa, việc vẽ thêm cácyếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơbản, nhiều khi người giáo viên đã tìm ra cách vẽ thêm yếu tố phụ nhưng không thể giảithích rõ cho học sinh hiểu được vì sao lại phải vẽ như vậy, khi học sinh hỏi giáo viên:Tại sao cô (thầy) lại nghĩ ra được cách vẽ đường phụ như vậy, ngoài cách vẽ này còn

có cách nào khác không? hay: tại sao chỉ vẽ thêm như vậy mới giải được bài toán? gặp phải tình huống như vậy, quả thật người giáo viên cũng phải rất vất vả để giảithích mà có khi hiệu quả cũng không cao, học sinh không nghĩ được cách làm khi gặpbài toán tương tự vì các em chưa biết các căn cứ cho việc vẽ thêm yếu tố phụ Từ thực

tế giảng dạy tôi thấy rằng: để giải quyết vấn đề này một cách triệt để, mặt khác lạinâng cao năng lực giải toán và bồi dưỡng khả năng tư duy tổng quát cho học sinh, tốtnhất ta nên trang bị cho các em nhưng cơ sở của việc vẽ thêm đường phụ và một sốphương pháp thường dùng khi vẽ thêm yếu tố phụ, cách nhận biết một bài toán hìnhhọc cần phải vẽ thêm yếu tố phụ, từ đó khi các em tiếp xúc với một bài toán, các em

có thể chủ động được cách giải, chủ động tư duy tìm hướng giải quyết cho bài toán,

như vậy hiệu quả sẽ cao hơn Đó là những động lực thúc đẩy để tôi chọn đề tài: “Một

số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7” để nghiên cứu

và thực hiện, trong chương trình dạy học sinh giỏi toán lớp 7

II/ NHỮNG CƠ SỞ CỦA VIỆC VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ.

1- Cơ sở lý luận:

==============================================

Việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và một sốbài toán dựng hình cơ bản Sau đây là một số bài toán dựng hình cơ bản trong chươngtrình THCS:

Bài toán 1: Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a; b; c.

Giải:

Cách dựng:

- Dựng tia Ax

- Dựng đường tròn(A; b) Gọi C là giao điểm của đường tròn ( A; b) với tia Ax

- Dựng đường tròn (A; c) và đường tròn (C; a), gọi B là giao điểm của chúng Tam giác ABC là tam giác phải dựng vì có AB = c; AC = b; BC = a

- Chú ý: Nếu hai đường tròn ( A; c) và ( C; a) không cắt nhau thì không dựng được tam giác ABC

Bài toán 2: Dựng một góc bằng góc cho trước.

B

b

ac

Thật vậy: ABD = ACD ( c- c- c)  Aˆ  1 Aˆ 2

Bài toán 4: Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước.

Cách dựng:

- Dựng hai đường tròn ( A; AB ) và ( B; BA )chúng cắt nhau tại C, D Giao điểm của

CD và AB là trung điểm của AB

*Chú ý: Đây cũng là cách dựng đường trung trực của đoạn thẳng cho trước.

B

C

Dr

r1

2

C

D

BA

Bài toán 5: Qua điểm O cho trước, dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng a cho trước.

Khi cần vẽ thêm đường phụ để chứng minh thì cũng phải căn cứ vào những đường

cơ bản đã dựng để vẽ thêm, không nên vẽ một cách tuỳ tiện

2- Cơ sở thực tiễn:

Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra được các cặp cạnh tương ứngbằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau Đó chính là lợi ích của việc chứng minhhai tam giác bằng nhau

Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai góc bằng nhau) tathường làm theo các bước sau:

Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng( hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc) thuộchai tam giác nào?

Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau

Bước 3: Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh ( hay cặp góc) tương ứngbằng nhau

Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần có cũngđược cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới xuất hiện đượccác tam giác cần thiết và có lợi cho việc giải toán Vì vậy yêu cầu đặt ra là làm thế nàohọc sinh có thể nhận biết cách vẽ thêm được các yếu tố phụ để giải toán hình học nóichung và toán hình học 7 nói riêng Qua thực tế giảng dạy tôi đã tích luỹ được một số

O

D

BA

Không tìm ra hướng

giải

3- Các biện pháp vẽ yêú tố phụ.

Bây giờ chúng ta cùng nghiên cứu một số cách đơn giản nhất, thông dụng nhất để

vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học 7:

Cách 1: Vẽ trung điểm của một đoạn thẳng, vẽ tia phân giác của một góc.

Bài toán 1: Cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh

AB Vẽ DH vuông góc với BC( H  BC) thì DH = 4cm

Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A

1) Phân tích bài toán:

Bài cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh AB Vẽ

DH vuông góc với BC( H  BC) và DH = 4cm

Yêu cầu chứng minh tam giác ABC cân tại A

2) Hướng suy nghĩ:

ABC cân tại A  AB = AC Ta nghĩ đến điểm phụ K là trung điểm của AB Vậy yếu

tố phụ cần vẽ là trung điểm của BC

3) Chứng minh:

GT ABC; AB = 10cm;

BC = 12 cm;

AB 2

1 DB

DH = 4 cm

KL  ABC cân tại A

Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta có: BK = KC = BC 6

vi kiến thức lớp 7 vẫn có thể chứng minh được, việc chứng minh dành cho học sinhkhá giỏi, trong bài này có sử dụng kết quả của bài toán mà không chứng minh lại vìchỉ muốn nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu tố phụ

Bài toán 2: Cho tam giác ABC có Bˆ Cˆ; chứng minh rằng: AB = AC?( Giải bằng cáchvận dụng trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc của hai tam giác)

1) Phân tích bài toán:

Bài cho: tam giác ABC có Bˆ Cˆ; Yêu cầu: chứng minh rằng: AB = AC

Trong cách giải trên, ta phải chứng minh AB = AC bằng cách kẻ thêm đoạn thẳng AI

là tia phân giác của góc BAC để tạo ra hai tam giác bằng nhau

Cách 2: Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước.

Bài toán 3: Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyềnbằng nửa cạnh huyền ( Bài 25/ 67- SGK toán 7 tập 2)

1) Phân tích bài toán:

Bài cho Tam giác ABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến ứng với cạng huyền,yêu cầu chứng minh: BC 2 AM BC

2

1

2) Hướng suy nghĩ:

Ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2.AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạn thẳng

đó Như vậy dễ nhận ra rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D sao cho M là trungđiểm của AD

 AC CD (Quan hệ giữa tính song song và vuông góc) hay Aˆ  Cˆ  90 0 (2)

Xét  ABC và  CDA có: AB = CD ( Theo (1)); Aˆ  Cˆ  90 0(Theo (2)); AC làcạnh chung   ABC =  CDA ( c - g - c)

D1

1

2

BAM và MAC� ?( Bài 7/ 24 SBT toán 7 tập 2)

1) Phân tích bài toán:

Bài cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của BC

Yêu cầu : So sánh BAM� và MAC� ?

2) Hướng suy nghĩ:

Hai góc BAM và MAC không thuộc về một tam giác Do vậy ta tìm một tam giác cóhai góc bằng hai góc BAM và MAC và liên quan đến AB, AC vì đã có AB < AC Từ

đó dẫn đến việc lấy điểm D trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA Điểm D là yếu

tố phụ cần vẽ thêm để giải được bài toán này

Đ

1

1 2

và Aˆ1  Dˆ (2 góc tương ứng) (2)

Ta có: AB = CD ( Theo (1)), mà AB < AC ( gt)  CD < AC (3) Xét ACD có:

Cách 3: Nối hai điểm có sẵn trong hình hoặc vẽ thêm giao điểm của hai đường thẳng.

Bài toán 5: Cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD CMR: AB = CD, AC = BD? ( Bài38/ 124 SGK Toán 7 tập 1)

( Bài toán còn được phát biểu dưới dạng: Chứng minh định lí: Hai đoạn thẳng song song bị chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau)

1) Phân tích bài toán:

Bài cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD

Yêu cầu chứng minh: AB = CD, AC = BD

2) Hướng suy nghĩ:

BA

để chứng minh AB = CD, AC = BD cần tạo ra tam giác chứa các cặp cạnh trên, yếu

tố phụ cần vẽ là nối B với C hoặc nối A với D

kề cạnh đó bằng nhau là vận dụng được trường hợp bằng nhau góc- cạnh- góc Điềunày thực hiện được nhờ vận dụng tính chất của hai đường thẳng song song

Cách 4: Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song hay vuông góc với một đường thẳng

Bài toán 6: Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành bagóc bằng nhau

Chứng minh rằng  ABC là tam giác vuông và  ABM là tam giác đều?

1) Phân tích bài toán:

Bài cho  ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằngnhau Yêu cầu ta chứng minh  ABC là tam giác vuông và  ABM là tam giác đều 2)Hướng suy nghĩ:

==============================================

BA

Muốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần kẻ thêm đường thẳng vuông gócvới AC và chứng minh đường thẳng đó song song với AB, từ đó suy suy ra AB  AC

2

1 BM 2

1 MH

21

đó càng thấy rõ vai trò của việc vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học.

Bài toán 7: Cho tam giác ABC ( AB < AC) Từ trung điểm M của BC kẻ đường vuônggóc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC tại E Chứngminh rằng: BD = CE

1) Phân tích bài toán:

Bài cho  ABC ( AB < AC) Từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với tiaphân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC tại E

Yêu cầu chứng minh: BD = CE

2) Hướng suy nghĩ:

Muốn chứng minh BD = CE, ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng thứ ba,rồi chứng minhchúng bằng đoạn thẳng thứ ba đó Đường phụ cần vẽ thêm là đường thẳng qua B vàsong song với AC cắt DE ở F, BF chính là đoạn thẳng thứ ba đó

Mặt khác  ADE có AH  DE và AH cũng là tia phân giác của góc DAE ( gt)

Do đó:  ADE cân tại A  BDF�  �AED

5 cách vẽ thêm yếu tố phụ trên nằm trong nhóm phương pháp chung gọi là phươngpháp “ Tam giác bằng nhau ”, sau đây ta sẽ nghiên cứu thêm một phương pháp mới rấthay nhưng chưa được khai thác nhiều trong giải toán

Cách 5: Phương pháp: “Tam giác đều”:

Đây là một phương pháp rất đặc biệt, nội dung của nó là tạo thêm được vàotrong hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toán đượcthuận lợi Ta hãy xét một bài toán điển hình:

Bài toán 8: Cho tam giác ABC cân tại A, �A = 200 Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho

AD = BC Chứng minh rằng �DCA = Aˆ

2

1.1) Phân tích bài toán:

Bài cho ABC cân tại A, �A = 200 ; AD = BC ( D AB)

Yêu cầu chứng minh: DCA� = Aˆ

2

1.2) Hướng suy nghĩ:

đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 200,

suy ra góc ở đáy là 800

Ta thấy 800 - 200 = 600 là số đo mỗi góc của

tam giác đều  Vẽ tam giác đều BMC

Ta có: ABC; AB = AC; �A = 200 ( gt)

Suy ra: 0 0 80 0

2

20 180 Cˆ

M

1- đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 20 , suy ra góc ở đáy là 80 Ta thấy

800 - 200 = 600 là số đo mỗi góc của tam giác đều Chính sự liên hệ này gợi ý cho ta vẽtam giác đều BCM vào trong tam giác ABC Với giả thiết AD = BC thì vẽ tam giácđều như vậy giúp ta có mối quan hệ bằng nhau giữa AD với các cạnh của tam giác đềugiúp cho việc chứng minh tam giác bằng nhau dễ dàng

2- Ta cũng có thể giải bài toán trên bằng cách vẽ tam giác đều kiểu khác:

- Vẽ tam giác đều ABM ( M và C cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB)

- Vẽ tam giác đều ACM ( M và B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AC)

- Vẽ tam giác đều ABM(M và C thuộc hai nửanửa mặt phẳng đối nhau bờ AC)

Ngoài ra còn những cách vẽ tam giác đều khác cũng giúp ta tính được góc DCAdẫn tới điều phải chứng minh, các cách khác còn tuỳ thuộc vào sự sáng tạo của mỗingười và bắt nguồn từ việc yêu thích môn Hình học

Bài toán 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, Cˆ = 150 Trên tia BA lấy điểm O sao cho

BO = 2 AC Chứng minh rằng tam giác OBC cân

1) Phân tích bài toán:

Bài cho tam giác ABC vuông tại A, Cˆ = 150 Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO = 2

AC

Yêu cầu chứng minh  OBC cân tại O

2) Hướng suy nghĩ:

Ta thấy Cˆ = 150 suy ra Aˆ = 750 - 150 = 600 là số đo của mỗi góc trong tam giác đều 

sử dụng phương pháp tam giác đều vào việc giải bài toán

3) Chứng minh:

GT ABC; Aˆ= 900; Cˆ = 150

O  tia BA: BO = 2AC

KL  OBC cân tại O

Trong bài toán trên ta đã sử dụng phương pháp tam giác đều vào việc giải toán

vì phát hiện thấy Cˆ = 150 suy ra Aˆ = 750 - 150 = 600 là số đo của mỗi góc trong tamgiác đều, điều này gợi ý cho ta vẽ tam giác đều BCM như trên Nhờ có các cạnh củatam giác đều bằng nhau, các góc của tam giác đều là 600, ta chứng minh được

HMB=ABC ( c - g - c); MOB = MOC ( c - g - c) dẫn tới  OBC cân tại O, đóchính là tác dụng của “phương pháp tam giác đều”

4 Kết quả đạt được:

Trong thực tế giảng dạy việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi môn toán, với cáchlàm trên đây đã mang lại hiệu quả cao trong việc rèn luyện năng lực sáng tạo toán chohọc sinh Hầu hết các em học sinh đã thực sự có hứng thú học toán, phấn đấu để trởthành học sinh khá giỏi, đã tự độc lập tìm tòi ra nhiều cách giải khác nhau mà khôngcần sự gợi ý của giáo viên

Cụ thể, sau khi dạy chuyên đề: “Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ tronggiải toán Hình học lớp 7”, học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi khối 7làm một bài toán hình học có sử dụng vẽ thêm yếu tố phụ, đã có kếtquả như sau:

Đội tuyển HSG khối 7:

5 em

Tìm ra hướng và giải hoàn chỉnh

Không tìm ra hướng

giải

==============================================

Kết quả trên tuy chưa hẳn có tác dụng đối với tất cả đối tượng học sinh, song nócũng thể hiện được rõ nét tính ưu việt của việc học tập chuyên đề: “Một số phươngpháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học” đối với học sinh khá, giỏi.

* Bài học kinh nghiệm:

Qua việc nghiên cứu đề tài trên, để dạy học sinh, đặc biệt là học sinh khá,giỏi với phương pháp tích cực, hiệu quả, tôi rút ra một số bài học kinh nghiệmsau:

Một là: GV cần xác định đúng yêu cầu nhiệm vụ, trách nhiệm về vấn đề

bồi dưỡng học sinh giỏi, và vấn đề chất lượng học môn toán, chất lượng họcsinh giỏi toán

Hai là: GV cần có tinh thần trách nhiệm cao, luôn chăm lo đến chất lượng học

sinh đặc biệt là học sinh giỏi

Ba là: GV có kế hoạch phấn đấu cụ thể cho từng đối tượng học sinh, có thời gian bồi

dưỡng cụ thể, có chương trình bồi dưỡng phù hợp với từng đối tượng học sinh

Bốn là: GV cần nắm vững kiến thức toán học, nội dung chương trình

SGK, nắm vững phương pháp giảng dạy môn toán, phương pháp bồi dưỡng họcsinh giỏi

Năm là: HS luôn có động cơ học tập để từ đó có ý thức tìm tòi phương

Chính vì vậy mỗi giáo viên nói chung và bản thân tôi nói riêng cần hiểu rõ khảnăng tiếp thu bài của từng đối tượng học sinh để đưa ra các bài tập và phương pháp giải