PHƯƠNG PHÁP vẽ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH học THCS

PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS Người thực hiện: Phạm Tiến Quyền Đơn vị: Trường THCS Đăk Mar, Đăk Hà, Kon Tum Phần I: PHẦN MỞ ĐẦU A 1.LÝ DO I Cơ sở lí luận Trước phát triển mạnh mẽ kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông tin nay, xã hội thông tin hình thành phát triển thời kỳ đổi nước ta đặt giáo dục đào tạo trước thời cơ, thách thức Để hòa nhập tiến độ phát triển giáo dục đào tạo đảm nhận vai trò quan trọng việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đề ra, “đổi giáo dục phổ thông theo Nghị số 40/2000/QH10 Quốc hội” Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, đường nâng cao chất lượng học tập học sinh từ nhà trường phổ thông Là giáo viên mong muốn học sinh tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư sáng tạo, rèn tính tự học, môn toán môn học đáp ứng đầy đủ yêu cầu Việc học toán học SGK, không làm tập Thầy, Cô mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề rút điều bổ ích Dạng toán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ dạng toán quan chương trình hình học bậc THCS, đáp ứng yêu cầu này, tảng, làm sở để học sinh có tầm nhìn cao việc phát tìm lời giải toán Tuy nhiên, lý sư phạm khả nhận thức học sinh đại trà mà chương trình đề cập đến dạng toán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ thông qua tập mà yếu tố đường phụ vẽ thêm đơn giản Vấn đề đặt làm để học sinh giải toán dạng toán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ, nhanh chóng đạt hiệu cao Để thực tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh kĩ quan sát, nhận xét, đánh giá toán, đặc biệt kĩ giải toán, kĩ vận dụng toán, tuỳ theo đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp sở phương pháp học cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt môn II Cơ sở thực tiễn Năm học 2011- 2012 nhà trường phân công giảng dạy môn toán ( Trường THCS Triệu Phước) qua thực tế giảng dạy kết hợp với dự giáo viên trường, đồng thời qua đợt kiểm tra, kì thi chất lượng thân nhận thấy em học sinh chưa có kỹ thành thạo làm dạng tập như: Chứng minh rằng: Trong tam giác, có đường cao Trường THCS Đăk Mar PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh chia góc đỉnh thành ba phần tam giác tam giác vuông Trong thực tế giảng dạy Toán trường THCS việc làm cho học sinh có kỹ giải toán Dạng toán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ toán liên quan công việc quan trọng thiếu Để làm điều người thầy phải cung cấp cho học sinh số kiến thức phương pháp giải toán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ III Mục đích - Trang bị cho học sinh lớp cách có hệ thống phương pháp dạng toán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ, nhằm giúp cho học sinh có khả vận dụng tốt dạng toán Thời gian - địa điểm Thời gian Đề tài nghiên cứu từ tháng năm 2011 tới tháng năm 2012 Địa điểm: Trường THCS Đăk Mar, Đăk Hà, Kon Tum Phạm vi :Trường THCS Đăk Mar, Đăk Hà, Kon Tum Giới hạn đối tượng nghiên cứu: PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS Giới hạn địa bàn Trường THCS ……………………………………………… Giới hạn khách thể: Học sinh lớp B Phương pháp nghiên cứu I.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết - Nghiên cứu tài liệu, giáo trình phương pháp dạy học Toán, tài liệu có liên quan đến sáng kiến kinh nghiệm - Nghiên cứu hệ thống kiến thức vẽ đường phụ giải toán hình học bậc THCS Cụ thể tài liệu thiết thực học sinh phổ thông sở như: + Sách giáo khoa lớp 6, 7, 8, + Sách giáo viên 7, 8, + Sách bồi dưỡng thường xuyên tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh I.4.2 Phương pháp chuyên gia Xin ý kiến đồng nghiệp có kinh nghiệm trình xây dựng, hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm I.4.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm Tổ chức thực nghiệp sư phạm nhằm đánh giá hiệu sáng kiến kinh nghiệm I.5 Đóng góp mặt lí luận thực tiễn Trường THCS Đăk Mar PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS - Về mặt lý luận: Rèn luyện khả tư sáng tạo, kỹ vẽ đường phụ giải toán hình học bậc THCS, tính cẩn thận xác, tính kiên trì cho học sinh Giúp em có hứng thú học tập, ham mê học Toán phát huy lực sáng tạo gặp dạng toán khó - Về thực tiễn: Giúp học sinh nắm vững phương pháp vẽ đường phụ giải toán hình học bậc THCS , phát vận dụng phương pháp giải phù hợp với toán cụ thể dạng khác PHẦN II NỘI DUNG Chương I: Các phương pháp vẽ yếu tố phụ giải toán hình học bậc THCS I.1.1 Lịch sử nghiên cứu Trong qúa trình giảng dạy môn Toán trường THCS nội dung nhiều giáo viên nghiên cứu mức độ khác họ thu kết định Song việc thực kết tùy thuộc vào nhiều yếu tố Bản thân tham vọng sâu nghiên cứu tất phương pháp hay dạng khó không phù hợp học sinh THCS I.1.2 Cơ sở lý luận Trong việc dạy học môn Toán giáo viên cần phải rèn cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo linh hoạt tự tìm tòi kiến thức mới, không với phương pháp bản, thông thường mà phải hình thành lên số phương pháp khó hơn, phải có thủ thuật riêng đặc trưng từ giúp em có hứng thú học tập, ham mê học Toán phát huy lực sáng tạo gặp dạng Toán khó Đây thuận lợi cho giáo viên học sinh đổi cách dạy học Chương II: Nội dung vấn đề nghiên cứu PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS II.2.1 Thực trạng Năm học 2005-2012 Tôi nhà trường phân công giảng dạy môn toán toán – 8, tự chọn toán , qua thực tế giảng dạy kết hợp kiểm tra, dự đồng nghiệp nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn giải toán có liên quan đến yếu tố phụ Một số ví dụ minh họa: Bài toán 1: Dựng tam giác biết độ dài ba cạnh a, b, c B Giải Cách dựng: c a a b b A Trường THCS Đăk Mar C x c PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS - Dựng tia Ax - Dựng đường tròn ( A;b) Gọi C giao điểm đường tròn (A;b) với tia Ax - Dựng đường ( A;c) đường tròn (C;a), gọi B giao điểm chúng Tam giác ABC tam giác phải dựng có AB = c; AC = b; BC = a - Chú ý: Nếu hai đường tròn ( A;c) (C;a) không cắt không dựng tam giác ABC Bài toán 2: Dựng góc góc cho trước Cách dựng: - Gọi xOy góc cho trước Dựng đường tròn (O,r) cắt Ox A cắt Oy B ta tam giác OAB - Dựng ∆O’A’B’ = ∆OAB ( c- c- c)như toán 1, ta Oˆ ' = Oˆ x A’ A O’ O B’ B y Bài toán 3: Dựng tia phân giác góc xAy cho trước Cách dựng: - Dựng đường tròn ( A,r) cắt Ax B cắt Ay C - Dựng đường tròn ( B,r) (C,r) chúng cắt D Tia AD tia phân giác xAy Thật vậy: ∆ABD = ∆ACD ( c- c- c) ⇒ Aˆ1 = Aˆ x B r A r D r r C y Bài toán 4: Dựng trung điểm đoạn thẳng AB cho trước Trường THCS Đăk Mar z PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS Cách dựng: - Dưng hai đường tròn (A;AB) (B;BA) chúng cắt C, D Giao điểm CD AB trung điểm AB C A B D trực đoạn thẳng cho trước * Chú ý: đay cách dựng đường trung Bài toán 5: Qua điểm O cho trước, dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng a cho trước Cách dựng: - Dựng đường tròn (O;r) cắt a A,B - Dựng đường trung trực đoạn thẳng AB O Trên toán dựng hình bản, cần sử dụng mà không cần A B nhắc lại cách dựng Khi cần vẽ thêm yếu tố phụ để chứng minh phải vào đường dựng để vẽ thêm không nên vẽ thêm cách tùy tiện II.2 CƠ SỞ THỰC TẾ D Ta biết hai tam giác suy cặp cạnh tương ứng nhau, cặp góc tương ứng Đó lợi ích việc chứng minh hai tam giác Vì muốn chứng minh hai đoạn thẳng nhau( hay hai góc nhau) ta thường làm theo bước sau: Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng ( hay hai góc) hai cạnh ( hai góc ) thuộc hai tam giác nào? Trường THCS Đăk Mar PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS Bước 2: Chứng minh hai tam giác Bước 3: Từ hai tam giác nhau, suy cặp cạnh ( hay cặp góc) tương ứng Tuy nhiên thực tế giải toán lúc hai tam giác cần có cho đề mà nhiều phải tạo thêm yếu tố phụ xuất hiên tam giác cần thiết có lợi cho việc giải toán Vì yêu cầu đặt làm học sinh nhận biết cách vẽ thêm yếu tố phụ để giải toán hình học nói chung hình học nói riêng Qua thực tế giảng dạy tích lũy một số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản thiết thực Chương III: Một số phương pháp vẽ yếu tố phụ CÁCH 1: VẼ TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG, VẼ TIA PÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC Bài toán 1: Cho tam giác ABC có AB = 10cm; BC = 12cm, D trung điểm cạnh AB Vẽ DH vuông góc với BC ( H∈BC) DH = 4cm Chứng minh tam giác ABC cân A 1) Phân tích toán:Bài cho tam giác ABC có AB = 10cm; BC = 12cm, D trung điểm cạnh AB Vẽ DH vuông góc với BC ( H∈BC) DH = 4cm Yêu cầu Chứng minh tam giác ABC cân A 2) Hướng suy nghĩ: ∆ABC cân A ⇔ AB = AC Ta nghĩ đến điểm phụ K trung điểm BC Vậy yêu tố phụ phụ cần vẽ trung điểm BC 3) Chứng minh A ∆ABC; AB = 10cm; BC = 12 cm; GT KL D DA = DB = AB ; DH ⊥ BC DH = cm ∆ ABC cân A A B H Gọi K trung điểm đoạn thẳng BC, ta có: BK = KC = K BC = cm 2 Lại có : BD = AB = cm Xét ∆ HBD có: BHD = 900 ( gt) theo định lí Pitago ta có:DH2 + BH2 = BD2 ⇒ BH2 = BD2 - DH2 = 52 – 42 = ⇒ BH = ( cm) Trường THCS Đăk Mar C PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS Từ đó: BD = DA; BH = HK ( = cm) ⇒ DH // AK ( đường nối trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ 3) Ta có: DH ⊥ BC, DH // AK ⇒ AK ⊥ BC Xét ∆ ABK ∆ACK có: • BK = KC ( theo cách lấy điểm K) • AKB = AKC = 900 • AK cạnh chung ⇒ ∆ ABK = ∆ACK (c – g – c) ⇒ AB = AC ⇒ ∆ ABC cân A 4) Nhận xét: Trong cách giải toán ta chứng minh AB = AC cách tạo hai tam giác chứa hai cạnh AB AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việc chứng minh sử dụng thêm toán phụ là: Trong tam giác , đường thẳng qua trung điểm cạnh thứ cạnh thứ hai song song với cạnh thử ba, kiến thức đường trung bình học sinh nghiên cứu chương trình toán phạm vi kiến thức lớp chứng minh được, việc chứng minh dành cho học sinh giỏi, có sử dụng kết toán mà không chứng minh lại muốn nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu tố phụ Bài toán 2: Cho tam giác ABC có Bˆ = Cˆ ; chứng minh rằng: AB = AC?( Giải cách vận dụng trường hợp góc – cạnh – góc hai tam giác) !) Phân tích toán: Bài cho: tam giác ABC có Bˆ = Cˆ ; Yêu cầu: chứng minh rằng: AB = AC 2) Hướng suy nghĩ: A Đường phụ cần vẽ thêm tia phân giác AI BAC (I∈ BC) 3) Chứng minh: GT KL ˆ ˆ = C ∆ABC; B AB = AC Vẽ tia phân giác AI BAC (I∈ BC) Trường THCS Đăk Mar B I C PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS ˆ =A ˆ = BAC ⇒A ˆ I1 = I2 ⇒ ˆ ˆ ( gt) ˆ = C Mà B (1) (2) Xét ∆ ABI ∆ ACI ta có: • ˆ ˆ I1 = I ( theo (2)) • Cạnh AI chung ˆ =A ˆ ( theo (1)) • A ⇒ ∆ ABI = ∆ ACI ( g – c – g) ⇒ AB = AC (2 cạnh tương ứng) 4) Nhận xét: Trong cách giải trên, ta phải chứng minh AB = AC cách kẻ thêm đoạn thẳng AI tia phân giác góc BAC để tạo hai tam giác CÁCH 2: TRÊN MỘT TIA CHO TRƯỚC, ĐẶT MỘT ĐOẠN THẲNG BẰNG ĐOẠN THẲNG CHO TRƯỚC Bài toán 3: Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh huyền ( Bài 25/ 67- SGK toán tập 2) 1) Phân tích toán: Bài cho Tam giác ABC vuông A, AM đường trung tuyến ứng với cạng huyền, yêu cầu chứng minh: AM = BC ⇒2 AM = BC 2) Hướng suy nghĩ: Ta cần tạo đoạn thẳng 2.AM tìm cách chứng minh BC đoạn thẳng Như dễ nhận rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm điểm D cho M A trung điểm AD 3) Chứng minh: GT KL ˆ =900 ; ∆ABC; A AM trung tuyến AM = BC B M C Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho: MD = MA Xét ∆ MAC ∆ MDB ta có: • MA = MD ( theo cách lấy điểm D) Trường THCS Đăk Mar D PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS • M1 = M2 ( đối đỉnh) • MB = MC ( Theo gt) ⇒ ∆ MAC = ∆ MDB ( c - g - c) ⇒ AB=CD(2cạnhtươngứng) (1) ˆ =D ˆ (2 góc tương ứng) A ⇒ AB // CD ( có cặp góc so le nhau) Lại có: AC ⊥ AB ( gt) ˆ =C ˆ = 900 (2) ⇒ AC ⊥CD (Quan hệ tính song song vuông góc) hay A Xét ∆ ABC ∆ CDA có: • AB = CD ( Theo (1)) ˆ =C ˆ = 900 ( Theo (2)) • A • AC cạnh chung ⇒ ∆ ABC = ∆ CDA ( c – g – c) 2 ⇒ BC = AD (2 cạnh tương ứng) Mà AM = AD ⇒ AM = BC 4) Nhận xét: Trong cách giải tập trên, để chứng minh AM = BC ta vẽ thêm đoạn thẳng MD cho MD = MA, AM = AD Như phải chứng minh AD = BC Trên tia cho trước, đặt đoạn thẳng đoạn thẳng khác cách vẽ đường phụ để vận dụng trường hợp tam giác Bài toán 4: Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC So sánh BAM MAC ?( Bài 7/ 24 SBT toán tập 2) 1) Phân tích toán: Bài cho tam giác ABC có AB < AC, M trung điểm BC Yêu cầu : So sánh BAM MAC? 2) Hướng suy nghĩ: Hai góc BAM MAC không thuộc tam giác Do ta tìm tam giác có hai góc hai góc BAM MAC liên quan đến AB, AC có AB < Trường THCS Đăk Mar PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS AC Từ dẫn đến việc lấy điểm D tia đối tia MA cho MD = MA Điểm D yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải toán A 3) Lời giải: GT ∆ABC; AB < AC M trung điểm BC B KL M C So sánh BAM MAC? Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho: MD = MA Đ Xét ∆ MAB ∆ MDC ta có: • MA = MD ( theo cách lấy điểm D) • M1 = M2 ( đối đỉnh) • MB = MC ( Theo gt) ⇒ ∆ MAB = ∆ MDC ( c - g - c) ⇒AB=CD(2cạnhtươngứng) (1) ˆ =D ˆ (2góctươngứng) A (2) Ta có: AB = CD ( Theo (1)), mà AB < AC ( gt) ⇒CD < AC (3) Xét ∆ACD có: CD < AC ( theo (3)) ⇒ ˆ [...]... đề về vấn đề nghiên cứu (Vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học ) để giáo viên được dự giờ, nghiên cứu trao đổi học hỏi các đồng nghiệp, cùng tìm ra các biện pháp hay Trường THCS Đăk Mar PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS Đăk, Mar, ngày 4 tháng 4 năm 2012 Người viết: PHẠM TIẾN QUYỀN Trường THCS Đăk Mar PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS Phần IV: DANH MỤC TÀI... THCS 5) cách vẽ thêm yếu tố phụ trên nằm trong nhóm phương pháp chung gọi là phương pháp “ Tam giác bằng nhau ”, sau đây ta sẽ nghiên cứu thêm một phương pháp mới rất hay nhưng chưa được khai thác nhiều trong giải toán CÁCH 6: PHƯƠNG PHÁP “ TAM GIÁC ĐỀU” Đây là một phương pháp rất đặc biệt, nội dung của nó là tạo thêm được vào trong hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toán. ..PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS Bài toán 5: Cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD CMR: AB = CD, AC = BD? ( Bài 38/ 124 SGK Toán 7 tập 1) B A C D ( Bài toán còn được phát biểu dưới dạng: Chứng minh định lí: Hai đoạn thẳng song song bị chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau) 1) Phân tích bài toán: Bài cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD... này gợi ý cho ta vẽ tam giác đều BCM vào trong tam giác ABC Với giả thiết AD = BC thì Trường THCS Đăk Mar PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS vẽ tam giác đều như vậy giúp ta có mối quan hệ bằng nhau giữa AD với các cạnh của tam giác đều giúp cho việc chứng minh tam giác bằng nhau dễ dàng 2- Ta cũng có thể giải bài toán trên bằng cách vẽ tam giác đều kiểu khác: - Vẽ tam giác đều... đó bằng nhau là vận dụng được trường hợp bằng nhau Trường THCS Đăk Mar PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS góc – cạnh – góc Điều này thực hiện được nhờ vận dụng tính chất của hai đường thẳng song song CÁCH 4: TỪ MỘT ĐIỂM CHO TRƯỚC, VẼ MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG HAY VUÔNG GÓC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG Bài toán 6: Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng... Trong năm học qua tôi đã vận dụng sáng kiến trên vào dạy Vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học cho học sinh và thấy rằng các em rất hào hứng trong quá trình tìm tòi lời giải hay và hợp lý nhất Số học sinh nắm vững các phương pháp Vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học và vận dụng được vào các bài tập là 50% Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm này, tôi hy vọng giúp các em học sinh tự tin hơn khi làm các... bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toán được thuận lợi Ta hãy xét một bài toán điển hình: Bài toán 8: Cho tam giác ABC cân tại A, A = 20 0 Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC Chứng minh rằng DCA = 1) Phân tích bài toán: Trường THCS Đăk Mar 1ˆ A 2 PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS Bài cho ∆ABC cân tại A, A = 200 ; AD = BC ( D ∈AB) A 1 Yêu cầu chứng minh: DCA =... thứ ba đó A 3) Chứng minh: GT KL ∆ABC;AB < AC; MB = MC = 1 BC 2 E AH là tia phân giác BAC;DE ⊥ AH ; BD = CE B D Trường THCS Đăk Mar F H M C PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS Vẽ đường thẳng qua B và song song với AC, gọi F là giao điểm của đường thẳng này với đường thẳng DE Xét ∆ MBF và ∆ MCE có: MBF = MCE ( so le trong của BF // CE) MB = MC ( gt) BMF = CME ( đối đỉnh) ⇒ ∆ MBF... KIẾN NGHỊ III.1 Kết Luận Vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học là một vấn đề rộng và khó chương trình học của học sinh, nó liên quan kết hợp với các phương pháp khác, các dạng toán khác tạo lên sự lôgíc chặt chẽ của toán học Các phương pháp được nêu từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu hơn và phát triển có hệ thống các kỹ năng, kỹ xảo phân tích Qua đó giúp học sinh phát triển trí... Ngọc- Nhà xuất bản ĐHSP 7 – Giáo trình phương pháp dạy học các nội dung Toán - Phạm Gia Đức – Bùi Huy Ngọc - Phạm Đức Quang - Nhà xuất bản ĐHSP 8 – Vẽ thêm một số yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 7, 8, 9 – Nguyễn Đức Tấn – NXB GD 8 – Tạp chí toán học tuổi thơ 2, tạp chí toán học tuổi trẻ - Nhà xuất bản giáo dục Đăk Mar, ngày 4 tháng 04 năm 2012 Trường THCS Đăk Mar