PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS

PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS II.2.1 Thực trạng Năm học 2005-2012 Tôi nhà trường phân công giảng dạy môn toán toán – 8, tự chọn toán , qua thực tế giảng dạy kết hợp kiểm tra, dự đồng nghiệp nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn giải toán có liên quan đến yếu tố phụ Một số ví dụ minh họa: Bài toán 1: Dựng tam giác biết độ dài ba cạnh a, b, c Giải Cách dựng: a B - Dựng tia Ax b c c ( A;b) Gọi Ca giao điểm đường tròn - Dựng đường tròn (A;b) với tia Ax - Dựng đường ( A;c) đường tròn (C;a), gọi B giao điểm chúng Tam A giác ABC blà tam giácCphải dựng có AB = c; AC x = b; BC = a - Chú ý: Nếu hai đường tròn ( A;c) (C;a) không cắt không dựng tam giác ABC Bài toán 2: Dựng góc góc cho trước Cách dựng: - Gọi xOy góc cho trước Dựng đường tròn (O,r) cắt Ox A cắt Oy B ta tam giác OAB - Dựng ∆O’A’B’ = ∆OAB ( c- c- c)như toán 1, ta Oˆ ' = Oˆ x A’ A O O’ B y Bài toán 3: Dựng tia phân giác góc xAy cho trước B’ Cách dựng: - Dựng đường tròn ( A,r) cắt Ax B cắt Ay C - Dựng đường tròn ( B,r) (C,r) chúng cắt D Tia AD tia phân giác xAy Thật vậy: ∆ABD = ∆ACD ( c- c- c) ⇒ Aˆ1 = Aˆ Trường THCS Đăk Mar PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS x B r r D A r r Bài toán 4: Dựng trung điểm đoạn thẳng AB cho C trước y Cách dựng: - Dưng hai đường tròn (A;AB) (B;BA) chúng cắt C, D Giao điểm CD AB trung điểm AB C A B D trực đoạn thẳng cho trước * Chú ý: đay cách dựng đường trung Bài toán 5: Qua điểm O cho trước, dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng a cho trước Cách dựng: - Dựng đường tròn (O;r) cắt a A,B - Dựng đường trung trực đoạn thẳng AB O Trên toán dựng hình bản, khiAcần sử dụng mà không cần B nhắc lại cách dựng Khi cần vẽ thêm yếu tố phụ để chứng minh phải Trường THCS Đăk Mar D z PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS vào đường dựng để vẽ thêm không nên vẽ thêm cách tùy tiện II.2 CƠ SỞ THỰC TẾ Ta biết hai tam giác suy cặp cạnh tương ứng nhau, cặp góc tương ứng Đó lợi ích việc chứng minh hai tam giác Vì muốn chứng minh hai đoạn thẳng nhau( hay hai góc nhau) ta thường làm theo bước sau: Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng ( hay hai góc) hai cạnh ( hai góc ) thuộc hai tam giác nào? Bước 2: Chứng minh hai tam giác Bước 3: Từ hai tam giác nhau, suy cặp cạnh ( hay cặp góc) tương ứng Tuy nhiên thực tế giải toán lúc hai tam giác cần có cho đề mà nhiều phải tạo thêm yếu tố phụ xuất hiên tam giác cần thiết có lợi cho việc giải toán Vì yêu cầu đặt làm học sinh nhận biết cách vẽ thêm yếu tố phụ để giải toán hình học nói chung hình học nói riêng Qua thực tế giảng dạy tích lũy số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản thiết thực Chương III: Một số phương pháp vẽ yếu tố phụ CÁCH 1: VẼ TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG, VẼ TIA PÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC Bài toán 1: Cho tam giác ABC có AB = 10cm; BC = 12cm, D trung điểm cạnh AB Vẽ DH vuông góc với BC ( H∈BC) DH = 4cm Chứng minh tam giác ABC cân A 1) Phân tích toán:Bài cho tam giác ABC có AB = 10cm; BC = 12cm, D trung điểm cạnh AB Vẽ DH vuông góc với BC ( H∈BC) DH = 4cm Yêu cầu Chứng minh tam giác ABC cân A A 2) Hướng suy nghĩ: ∆ABC cân A ⇔ AB = AC Ta nghĩ đến điểm phụ K trung điểm BC Vậy yêu tố phụ phụ cần vẽ trung điểm BC D 3) Chứng minh GT ∆ABC; AB = 10cm; Trường THCS Đăk Mar B A H K C PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS BC = 12 cm; DA = DB = AB ; DH ⊥ BC KL DH = cm ∆ ABC cân A Gọi K trung điểm đoạn thẳng BC, ta có: BK = KC = BC = cm 2 Lại có : BD = AB = cm Xét ∆ HBD có: BHD = 900 ( gt) theo định lí Pitago ta có:DH2 + BH2 = BD2 ⇒ BH2 = BD2 - DH2 = 52 – 42 = ⇒ BH = ( cm) Từ đó: BD = DA; BH = HK ( = cm) ⇒ DH // AK ( đường nối trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ 3) Ta có: DH ⊥ BC, DH // AK ⇒AK ⊥ BC Xét ∆ ABK ∆ACK có: • BK = KC ( theo cách lấy điểm K) • AKB = AKC = 900 • AK cạnh chung ⇒ ∆ ABK = ∆ACK (c – g – c) ⇒AB = AC ⇒ ∆ ABC cân A 4) Nhận xét: Trong cách giải toán ta chứng minh AB = AC cách tạo hai tam giác chứa hai cạnh AB AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việc chứng minh sử dụng thêm toán phụ là: Trong tam giác , đường thẳng qua trung điểm cạnh thứ cạnh thứ hai song song với cạnh thử ba, kiến thức đường trung bình học sinh nghiên cứu chương trình toán phạm vi kiến thức lớp chứng minh được, việc chứng minh dành cho học sinh giỏi, có sử dụng kết toán mà không chứng minh lại muốn nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu tố phụ Trường THCS Đăk Mar PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS Bài toán 2: Cho tam giác ABC có Bˆ = Cˆ ; chứng minh rằng: AB = AC?( Giải cách vận dụng trường hợp góc – cạnh – góc hai tam giác) !) Phân tích toán: Bài cho: tam giác ABC có Bˆ = Cˆ ; Yêu cầu: chứng minh rằng: AB = AC 2) Hướng suy nghĩ: A Đường phụ cần vẽ thêm tia phân giác AI BAC (I∈ BC) 3) Chứng minh: ˆ ˆ = ∆ABC; B C AB = AC GT KL Vẽ tia phân giác AI BAC (I∈ BC) ˆ =A ˆ = ⇒A BAC ˆ ⇒ˆ I1 = I2 B ˆ ( gt) ˆ = Mà B C (1) I C (2) Xét ∆ ABI ∆ ACI ta có: • ˆ ˆ I1 = I ( theo (2)) • Cạnh AI chung ˆ =A ˆ ( theo (1)) • A ⇒ ∆ ABI = ∆ ACI ( g – c – g) ⇒AB = AC (2 cạnh tương ứng) 4) Nhận xét: Trong cách giải trên, ta phải chứng minh AB = AC cách kẻ thêm đoạn thẳng AI tia phân giác góc BAC để tạo hai tam giác CÁCH 2: TRÊN MỘT TIA CHO TRƯỚC, ĐẶT MỘT ĐOẠN THẲNG BẰNG ĐOẠN THẲNG CHO TRƯỚC Bài toán 3: Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh huyền ( Bài 25/ 67- SGK toán tập 2) 1) Phân tích toán: Bài cho Tam giác ABC vuông A, AM đường trung tuyến ứng với cạng huyền, yêu cầu chứng minh: AM = BC ⇒2 AM = BC Trường THCS Đăk Mar PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS 2) Hướng suy nghĩ: Ta cần tạo đoạn thẳng 2.AM tìm cách chứng minh BC đoạn thẳng Như dễ nhận rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm điểm D cho M A trung điểm AD 3) Chứng minh: GT KL ˆ =900 ; ∆ABC; A AM trung tuyến M B AM = BC C Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho: MD = MA Xét ∆ MAC ∆ MDB ta có: • MA = MD ( theo cách lấy điểm D) • M1 = M2 ( đối đỉnh) D • MB = MC ( Theo gt) ⇒ ∆ MAC = ∆ MDB ( c - g - c) ⇒AB=CD(2cạnhtươngứng) (1) ˆ =D ˆ (2 góc tương ứng) A ⇒AB // CD ( có cặp góc so le nhau) Lại có: AC ⊥ AB ( gt) ˆ =C ˆ = 900 (2) ⇒AC ⊥CD (Quan hệ tính song song vuông góc) hay A Xét ∆ ABC ∆ CDA có: • AB = CD ( Theo (1)) ˆ =C ˆ = 900 ( Theo (2)) • A • AC cạnh chung ⇒ ∆ ABC = ∆ CDA ( c – g – c) 2 ⇒ BC = AD (2 cạnh tương ứng) Mà AM = AD ⇒ AM = BC 4) Nhận xét: Trường THCS Đăk Mar PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS Trong cách giải tập trên, để chứng minh AM = BC ta vẽ thêm đoạn thẳng MD cho MD = MA, AM = AD Như phải chứng minh AD = BC Trên tia cho trước, đặt đoạn thẳng đoạn thẳng khác cách vẽ đường phụ để vận dụng trường hợp tam giác Bài toán 4: Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC So sánh BAM MAC ?( Bài 7/ 24 SBT toán tập 2) 1) Phân tích toán: Bài cho tam giác ABC có AB < AC, M trung điểm BC Yêu cầu : So sánh BAM MAC? 2) Hướng suy nghĩ: Hai góc BAM MAC không thuộc tam giác Do ta tìm tam giác có hai góc hai góc BAM MAC liên quan đến AB, AC có AB < AC Từ dẫn đến việc lấy điểm D tia đối tia MA cho MD = MA Điểm D yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải toán A 3) Lời giải: ∆ABC; AB < AC GT M trung điểm BC B KL M C So sánh BAM MAC? Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho: MD = MA Xét ∆ MAB ∆ MDC ta có: • MA = MD ( theo cách lấy điểm D) • M1 = M2 ( đối đỉnh) • MB = MC ( Theo gt) ⇒ ∆ MAB = ∆ MDC ( c - g - c) ⇒AB=CD(2cạnhtươngứng) ˆ =D ˆ (2góctươngứng) A Trường THCS Đăk Mar (1) (2) Đ PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS Ta có: AB = CD ( Theo (1)), mà AB < AC ( gt) ⇒CD < AC (3) Xét ∆ACD có: CD < AC ( theo (3)) ⇒ ˆ