Phương pháp giải toán hình học giải tích trong không gian

Phương pháp giải toán hình học giải tích trong không gian Phương pháp giải toán hình học giải tích trong không gianPhương pháp giải toán hình học giải tích trong không gianPhương pháp giải toán hình học giải tích trong không gianPhương pháp giải toán hình học giải tích trong không gianPhương pháp giải toán hình học giải tích trong không gianPhương pháp giải toán hình học giải tích trong không gianPhương pháp giải toán hình học giải tích trong không gianPhương pháp giải toán hình học giải tích trong không gianPhương pháp giải toán hình học giải tích trong không gianPhương pháp giải toán hình học giải tích trong không gianPhương pháp giải toán hình học giải tích trong không gianPhương pháp giải toán hình học giải tích trong không gianPhương pháp giải toán hình học giải tích trong không gianPhương pháp giải toán hình học giải tích trong không gianPhương pháp giải toán hình học giải tích trong không gianPhương pháp giải toán hình học giải tích trong không gianPhương pháp giải toán hình học giải tích trong không gianPhương pháp giải toán hình học giải tích trong không gianPhương pháp giải toán hình học giải tích trong không gianPhương pháp giải toán hình học giải tích trong không gianPhương pháp giải toán hình học giải tích trong không gianPhương pháp giải toán hình học giải tích trong không gian

LÊ HỔNG ĐỨC - LÊ HỬU TRÍ

119 BÀI TOÁN CHỌN LỌ C

VÀ 218 BÀI TẬP ĐỄ NGHỊ

Giải hình không gian bằng

phương pháp tọa độ trong khôn? gian

LÊ HỔNG ĐỨC - LÊ HỮU TRÍ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

TRONG KHÔNG GIAN

BIỆN SOẠN THEO CHƯƠNG TRÌNH CHỈNH LÝ HỢP NHẤT

HIỆN HÀNH CỦA Bộ GIÁO DỤC VÀ DÀO TẠO

LẤY HỌC TRÒ l.ÀM TRUNG TÂM

T à i liệ u n à y x in d à n h tặ n g ngươi C ha đ á n g k ín h củ a các tá c g iả

LỜI GIỚI THIỆU

Xin trán trọng giới tihiộu tới l\ìti ítỉk lx) tiìi iiộu

P 1I I 0 \< , PHÁI* GIẢI T O Á N

T R lT iW H Ọ C P H Ổ T I I Ô M Ỉ

do Thạc s ĩ 7 (kín học Lô Hổm; Dứcchỉì Nôn Bỏ tài iiôu gồm 10 tập:

Tập 1 Phương phap giãi Toón LưỢng giác

Tâp 2 Phương pháp giài Toán Hình học Giai tích trong Măt phảng

Tâp 3 Phướng pháp giài Toán Hình học Giài tích trorg Khổng gian

Tâp 4 Phương pháp giài Toán Hình học Không gian

Tâp 5 Phương pháp giải Toán Véctơ

Tâp 6 Phương pháp giài Toán Dại số

Tâp 7 Phương pháp giài Toan Hàm sổ

Tảp 8 Phương pháp giài Toán Tích phân

Tập 9 Phương pháp giải Toán Tổ hợp

Tập 10 Ôn tập Toán thi Tốt nghiộp Trung học phổ thông

Với mục LĨ ích giúp các Thả V, Cổ giáo cỏ dược bài giiìng có hiệu quà hơn và các

em có dược cái nhìn tông quan, hiểu dược bàn chài cúđ môi vấn dề đặt ra, từ đó dưđ ra phương pháp giải mạch lạc phù hợp với nhừng đòi hỏi của một bài thi, nên mỗi trong m ôi tập tài liệu chúng tỏi sắp xếp, hộ thông các kiến thức dược d ề cập trong chương trình Toán Trung học Phô thông thành các Chủ dề Mỏi Chủ dể liươc chia thành ba mục:

I Kiến thức cơ bần: Gồm phương pháp giẩi cho mỗi dạng toán cơ bản

dược trình bày dưới dạng các bdi toán và các ví dụ vẻ giải toán.

II Các bài toán chọn lọc: Gồm các bài toán được tuyển chọn có chọn lọc từ

các bài tập trong cuốn Bộ dề thi tuyển sinh môn Toán và từ cấc Dề thi tuỵôn sinh môn Toán vào các trường Đại học kẽ từ năm 1994 tới nay.

III Bài tập để nghị

N hư vậy ở m ỗi chủ dề:

1 Với việc trình bày dưới íỉiìĩlỊĩ các bái toán cơ hìn óìng ví dụ minh hoạ ngay sau dó, sẽ giúp tăng chílt lượng bài giàng cho các Thày, Cô giáo và với cấc em học sinh sè hiểu và biết cách trình bày bài.

2 Tiếp dó tới các bài toán chọn lọc dược lây ra từ các dề thi vào các ưường Dại học, sè giúp các Thàv, Cô giảo dẫn dát các em học sinh tiếp cận nhanh chóng với những đòi hòi của thực tế

3 Đặc biột là nội dung của các chú ý sau một vài ví dụ h(Jăc bài toán chọn lọc

sè giúp các Thảy, Cô giáo củng cố những hiêu biết chưa thật thâu dáo, cùng với cách ruhìn nhận vấn dỏ dặt ra cho các em học sinh, đô trả lờ i m ột cách thoà dáng câu hòi " Tại sao Ịại nghĩ và làm ỉĩhư vậy ?

4 Ngoải ra có rât nhiều bài toán dược giải bắng nhiều cách khắc nhau sẽ giúp các học sinh trờ lên linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp giai.

Bộ tài liệu được viết trôn một tư tường hoàn toàn mới mè, có tính sư phạm , có tnh tông hợo cao, giai quvẽt tưitng dôi triệt LỈé các vấn đố cùa toán học sơ cấp Bộ

5

tải liệu này ('hắc chăn phù hợp với nhiều dôi tượng bạn dọc từ các Thcìỵ, Cô giáo đến cắc em Học sinh lớp 10, 11, 12 vả các em chuân bị dự thi môn Toán Tốt nghiệp PTTH hoăc vào cắc Trường Đại học.

KHÔNG GIAM được việt dựa trôn việc rút kinh nghiệm và tiếp thu ỷ kiến dórtg

góp của bạn dọc từcuôh Tuyên tập cấc Chuyên dề Luyện th i Đại học Môn Toắn - Hình học Giẩi tích của Lê'Hồng Đức và Trán Phương, dã được Nhà xuất bản Hà

N ội âh hành quý II năm 2002 Cuôh tài liệu dược chia ứìành 5 phần:

Phẩn I Mặt phăng

Phẩn II Đường thăng trong không gian

Phẩn III Các bải toán về điểm, đường thăng vả mặt phăng

Phần IV Mătcầu

Phẩn V Các bài toán hình học không gian giải bàng phương pháp toạ độ

trong không gian

bao gồm 36 chủ dề, miêu tả chi tiết phương pháp giải cho hơn 60 dạng toán hình học giải tích trong không gian thường gặp Và đ ể giúp bạn đọc tiện tra cứu, chúng tôi mạnh dạn tíìay dổi cách trình bày phần mục lục so với lề thói cù bằng việc liệt

kê các bài toán thay cho đáu mục.

Thay m ặt nhóm tác giả, tôi xừỉ bày tỏ tại đđỵ lời cảm ơn đến người học trò của

m ình là Lẽ Bích Ngọc đã vui lòng nhận kiêm tra lại từng phán của bản thảo cùng với việc cộng tác viết cuốn " Phương pháp giãi Toán Tích phân " Xùi dược bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới sự giúp dờ động viên từìh thấn của những người Thảy mà tôi hàng km h trọng, gồm: GS TS Trần Mạnh Tuâh nguyên Phó Giấm Đốc Trung Tâm KHTN & CNQG, Nhà Giáo ưu tú Đào Thiện Khải nguyên H iệu Trưởng Trường PTTH Hà N ội - Amsterdam, PCS TSKH Đinh Quang Lưu, GS TSK tì

N guyễn Văn Thu và người Thày thủa thiếu thời của tôi Bấc Ngô Lâm.

Cuối cùng, cho dù đả rđt cổ gắng bằng việc tham khảo m ột lượng rât lớn các tài liệu hiện naỵ đ ể vừa viết, vừa mang đ ì giảng dạy ngay cho các học sinh của

m ình từ đó kiêm nghiệm và bô’xung thiếu só t cùng với việc tiếp thu có chọn lọc ý kiến của các bạn dồng nghiệp đ ể hoàn thiện bộ tài liệu này.; nhưng thát khó tránh

khỏi nhùng thiêu sót bởi nhùng hiểu biết và kừứi nghiệm cỏn hạn chế, tác giả Tất

m ong nhận dược nhùng ý kiến dóng góp quý báu của bạn đọc gần xa.

M ọi ý kiến xin liên hệ trực tiếp hoặc gử i về theo địa chỉ:

Nhóm tác giả Cự Mồn

Số 20 - Ngõ 86 - Đường Tô Ngọc Vân - Quận Tây Hò - Hà Nội

Điện thoại: (04) 7196671

E-maiỉ: cumon@)hn.vnn.vn hoặc lehongduc39(&yahoo.com

Website: www.toanpt.cumon.edu (sẽ khai trương vào ngày 31/10/2004)

Hà nội, ngày 1 ữiắng 1 năm 2003

LÊ HỔNG ĐỨC

MỤC LỤC

LỜIGIỚI THIỆU

MỞ DẦU 1

PHẨN I MẶT PHẢNG Chủ đế 1 Phương trình măt phăng .15

Bài toán 1 Phương trình măt phăng đi qua 1 điếm cỏ vtpt n 16

Bài toán 2 Phưưng trình mặt phảng đi qua 1 điểm có vtcp ă và b 17

Bài toán 3 Phương trình mặt phăng đi qua 3 điêYn khỏng thăng hàng 18

Bải toán 4 Phương trình măt phăng theo đoạn chán 19

Chủ để 2 Chuyển dạng phương trình măt phăng 21

Bầi toán 1 Tìm một căp vtcp của măt phăng 21

Bài toán 2 Tìm một vtpt của mặt phăng 22

Bải toán 3 Chuyển phương trình tổng quát của măt phăng về dạng tham số 23

Bài toán 4 Chuyển phương trình tham sô của mặt phăng vẻ dạng tông quát 24

Chủ đế 3 Vị trí tương đối của hai măt phăng 31

Chù để 4 Chùm mặt phăng 35

Chủ để 5 Khoảng cách từ một diêm đến một mặt phăng 49

Bải toán 1 Khoảng cách hình học từ một điểm đến một măt phăng 49

Bài toán 2 Viết phương trình mảt phăng cách mặt phăng (p) một khoảng băng h vầ thoả mản điểu kiện K 50

Bài toán 3 Viết phương trình mặt phăng phân giác của góc tạo bởi (Pj), (Pị) chứa điêm Mfl hoặc của góc đối đỉnh với nó 51

Bài toán 4 Viết phương trình mặt phăng phân giác của góc nhị diện 52

PHẨN II ĐƯỜNG THẢNG t r o n g k h ô n g g i a n Chủ để 1 Phương trình đường thăng .55

Chủ đế 2 Chuyển dạng phương trình đường thăng 59

Bài toán 1 Tim một vtcp của đường thâng (d) cho trước 59

Bàỉ toán 2 Chuyển dạng phương trinh tổng quát của đường thăng sang dạng phương trình tham số hoặc chính tắc 60

Bài toán 3 Cách chuyển dạng phương trình tham số của đường thăng sang dạng phương trình tổng quát 61

Chủ để 3 Vị trí tương đối của đường thăng và mặt phăng 67

Bài toán 1 Vị trí tương đối của đường thăng và mặt phăng 67

Bài toan 2 Giả sử (d)r\(P)={A| Lâp phương trình đường tháng (d,))

qua A vuông góc với (d) và năm trong mẫt phing (P) 75

Bài toán 3 Bải toán về họ đường thăng (đm) 71

Chủ đê 4 Vị trí tương đối của hai đường thăng 77

Bàỉ toán 1 ứng dụng tích hổn tạp xét vị trí tương đôi của hai đườnjg thăng 77 Bàỉ toán 2 Xét vị trí tương đô'i của hai đường thăng 78

Bài toản 3 Viết phương trình măt phăng (P) song song và cách đểu hai đường thảng (đ,), (dj) chéo nhau 79

Bài toán 4 Viết phương trình đường thăng (d) song song, cách đéu hai đường thăng song song (dj), (dj) và thuộc măt phăng chiứa hai đường thăng (dị), ( d j 79

Bài toán 5 Viết phương trình đường phân giác của hai đường thăn$ cắt nhau (dị), (cU) 80

Chủ để 5 Hai đường thăng đổng phăng và các bài toán lièn quan 83

Bài toán 1 Xác định toạ độ giao điôm của hai đường thăng 83

Bài toán 2 Viết phương trình mặt phăng (P) chứa hai đường tháng đổng phảng (dt) và (dj) 84

Chủ để 6 Hai đường thăng chéo nhau vả các bài toán liên quan 93

Bài toán 1 CMR hai đường thăng chéo nhau 93

Bài toán z Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thăng chéo nhau 94

Bài toán 3 Tính khoảng cách giừa hai đường thăng chéo nhau 98

PHẦN IU ĐIỂM, ĐƯỜNG THĂNG VÀ MẶT PHĂNGw • Chủ để 1 Đường thăng đi qua một điểm cắt cả hai dường thăng cho trướtc 109

Chủ đế 2 Đường tháng đi qua một điôm vuông góc với hai đường thăng cho trước 119

Chủ để 3 Đường thăng đi qua một điôm vuông góc với một đường thãng vả cắt một đường tháng khác 123

Chủ để 4 Hình chiêu vuông góc của điểm lên mặt phăng 129

Bài toán 1 Tim toạ độ hình chiếu của một điểm lên một măt phăng 129

Bài toán 2 Tìm điểm đối xứng của điểm A qua măt phăng (P) 129

Bài toán 3 Xác định phương trinh đường thăng đối xứng với một đường thing cho trước qua một mặt phăng cho trước 130

Chủ đ í 5 Hình chỉéíi vuông góc của đường thing lén măt phăng 137

Chủ để 6 Hình chiếu vuổng góc cùa điểm lên đường thăng 147

Bái toán 1 Tim toạ độ hình chiếu của một điểm lén một đường thăng; 147

Bái toán 2 Tìm điểm đôì xứng của điểm A qua đường thing (d ) 147

Bài toán 3 Xác định phương trình đường thảng đối xứng với một đường thăng cho trước qua một đường thăng cho trước 147

Chúi đề 7 DiCrn và một phàn>; .159

Chúi đế 8 Diổm và đườn^ t h c l n ^ lf>7 Bài toán 1 Tìm trOn đưnin^ thãnp, (li) vliõm M(xN„ VM, /A1) thoti mãn tính chất K 167

Bai toán 2 Tim tròn đường tilling (li) đh'm \1(xM, yu, /v.,) sao cho xịt + V\1 + nhỏ nhát .168

Bai toán 3 Cho htii điốm A, B vá đưỏng thàng (lỉ) Tim itiôm Me(d) sao cho MA+MB nho nhát 168

C h ủ đê 9 Góc trong không gian 173

Bài toán 1 Xác định góc giữa hai đưỡnj; thăn^ 173

Bài toán 2 Góc giữa đường thân}' va mặt phănj; 174

Bài toán 3 Xác dinh góc giữa 2 măt piling 175

Chủ để 10 Tam giác trong không gian 181

PHẦN IV M Ặ T C Ầ U Chủ đế 1 Phương trình một cẩu 189

C hủ đê 2 Mặt cầu tiếp xúc với mặt p h ă n g 197

Chủ đê 3 Măt cầu cắt mặt phàng 203

Chủ để 4 Măt cầu tiếp xúc với đường tháng 207

Bài toán 1 Lập phương trình mặt cầu (S) cỏ tâm I(a, b, c) và tiếp xúc với đường thăng (đ) cho trước 207

Bài toán 2 Lâp phương trình mặt cấu (S) tiỏp xúc voi dường thăng (d) tại điỏm H(x(l/ V(í/ /-(») và thoả mán điều kiên K 208

Bài toán 3 Lâp phương trình măt câu (S) tiêp xúc với 2 đường thăng cắt nhau (đj), (d2) cho trướr và thoa mãn điổu kiộn K 209

Bải toán 4 Lập phương trình mặt cảu (S) tiếp xúc với 2 đường thăng (đ ,) , ( d j song song với nhau cho trước và thoà mân điểu kiện K 210

Bài toán 5 Lâp phương trinh mặí c ầu (S) tiôp xúc vơi 2 dường thăng chéo nhau ( đ |) , (d:) cho trước và thoà màn điõu kiộn K 2i2

Chủ để 5 Mặt cầu cắt đường thỉỉng 219

Chu để 6 Mặt cầu ngoại tiếp khỏi đa diện 223

Chủ đê 7 Măt cầu nội tiếp khối đa điện 231

Chủ đê 8 Vị trí tương đối cùa diêm và mặt c ầ u 237

Bài toán 1 Xác định vị trí tương đỏi cùa mạt câu (S) và điôm A cho trước .237 Bài toán 2 Cho mặt cầu (S) và đỏm A khồng trùng với tâm ỉ của (S) Tìm toạ độ đi ỏm M thuộc (S) sao cho khoảng cách MA đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 237

Chù đế 9 Vị trí tương đối của đường thăng và măt c ầ u 239

Bài toán 1 Xae định vị trí tương đối của mặt cầu (í- 'à đường thăng (đ) 239

0

Báỉ toán 2 Tìm toạ độ điếm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đỏn

(d) đạt giá trị lớn nhâ't, nhỏ nhất 241

Chủ đế 10 Vị trí tương đối của mặt phăng vả mặt c ầu 245

Bái toán 1 Xác định vị trí tương đối của măt cầu (S) và mặt pháng ( P) 245

Bài toán 2 Tìm toạ độ điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách tử M <đẻn (P) đạt giá trị lớn nhâ*t, nhỏ nhâ't 246

Bài toán 3 Chùm măt cầu dạng 1 248

Chủ đ í 11 Vị trí tương đối của hai măt c ầ u 253

Bảỉ toán 1 Xác định vị trí tương đối của hai mặt cầu (S,) và (Sj) 253

Bài toán 2 Chùm mặt cầu dạng 2 254

Chủ để 12 Tiếp tuyến của mặt cầu, tiếp diện của măt cầu 257

PHẦN V CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Chù đế 1 Giải bải toán định lượng trong hình học không gian 263

Chủ để 2 Giải bài toán định tính trong hình học không gian 279

Chủ để 3 Giải bài toán về điểm và quỹ tích trong hình học không gian 287

Chủ đế 4 Giải bài toán cực trị trong hình học khổng gian 291

TÀI LIỆU THAM KHẢO 302

đ ộ của M được xác định bởi:

Các Em hoc smh hãv tham gia hoc tâp theo phưưng pháp" LJv hoc trò lit unetim "

Dưới sự hỗ trợ cùa NhómCựlvtòn doThs Lê Hổng Đúc và Nhà giáo ưu tú Đào Thiớn Khái phụ trach.

11

Hình hoc Giài tích troiift Mionfi friian

Côsin chĩ phương Côsin của các góc giừa vectơ V (x, y, z) và hướng dương

của các trục Ox, Oy, Oz được gọi ỉà Côsin chĩ phương cosax, cosay/ cosa, được xác định bởi:

(4.3) (4-4)

Ba đ iểm th ăn g hàng Ba diêm A(x„ y„ Z j ), B(x-,, Vj, z2) và C(xv yv Z j) thăng hàng nếu (điểu kiện cần và đủ) AC = kAB

Bốn điếm đ ổ n g p h ỉn g Bốn điêrn A(x„ y„ Z | ), B(xj, y y Z j ) và C(xv yv Z j ) và

D(x4, Ỵị, z4) đồng phăng nếu (diều kiện cần và đủ)

(iv) [ Vj # v2 ]=-[ v2 , Vj ].

( v i ) [ V , V, + v 3 ] = [ V, Vj J + l \

D ỉẽn t í c h tam giác Diện t í c h cù tì tam 1.11 < ì < M cỉii.lì A(a,, y,, Z |), B(x., y2, z2)

và C(xv Vv z 0 được cho bởi công thm

Tích hổn tap của ba vectcl Vj (Xị, V, , Zị), V (x:, y:, z:) và V, (xv Vv z ì) được kí

hiệu là D( Vị, V,, v3) được xác định bời:

(a) Thể tích V của tứ diện có các đỉnh A ( X ị , y„ Z ị ) , B(x2, y2, Z2)/ C ( xv y> zj)

và D(x4/ y4/ z4) được cho bởi công thức:

Các Em hcx' sinh hãy tham gia học tập theo phưttng pháp" U y hoc trò làm trung tám "

^•rới sư hỗ trợ cùa Nhóm Cư Môn do Tlìs Ịjô Ị ỉóny; Dm và Nhíì £Ìáo Ifu tú Đao Thiên Khtìi phu trai h

và v3 (X3, Ỵy, Zy) được cho bởi cổng thức:

V = |D (Ã B ,Ã C ,Ã D )| =

Hình hoc Giải tích trong Khổng gian

*1 yi *1x2 y2 z2

*5 y 3

(14)

1 CẶP VECTƠCHỈ PHƯƠNG VÀ VECTƠ PHÁP TUYẾN

Đ ịnh nghĩa 1: Hai vectơ ấ , b gọi là cặp vectơ c h ỉ p h ư ơ n g (vtcp) c ủ a m ăt phăng (P) nếu chúng không cộng tuyến và các đường thăng chứa chúng đểu song song với (P) (hoăc nằm trẽn (P))

Các tính chất của căp vectơ chỉ phương của măt p h ăn g

(i) Mỗi m ặt phăng có nhiều cặp vectơ chỉ phương

(ii) Hai m át phăng phân biệt có cùng một cặp vectơ chỉ phương thì song song với nhau

(iii) Một m ặt phăng (P) được hoàn toàn xác định nếu biết m ột điẽm M

và cặp vectơ chỉ phương ( ã , b ) của nó

Đ ịnh nghĩa 2: Vectơ n là vtpt của mặt phăng (P)

Ị n l ( P )

N hân x é t fi là vtpt của (P) thì mọi vectơ k n với k*0 đều là v tp t của m ăt

phăng đó

C hú ý Toạ độ của vectơ fi vuông góc với hai vectơ không cùng phương

ă (a,, a->, a3) và b (b|, b2, bj) cho trước, được xác định bời:

Cic Em học sóih hảy tham gia học tậổ ứieo phương pháp" Lầy hoe ệứ lim ừvrur Um"

r ưóí sư tó trơ cùa Nhóm Cự Mòn <ỉ> Ths Lê Hổng Đúc và Nhà gi4o ưu tú Đào Thiện Khải phụ trách.

15

Phcìn 1: Mat phàntt

2 PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẢNG

Măt phăng (P) trong không gian Oxyz có phướng trình tông q u á t :

nhận vectơ n (A, B, C) làm vtpt

M ồ t s ố trư ờng h ơ p đăc b iê t của p h ư ơ n g trìn h (1)

• Nếu D=0, m ặt phăng (P) đi qua gốc toạ độ

• Nếu A=0, B*0, o o , m ăt phăng (P) có dạng (P): By+Cz+D=0 sẽ chứa hoăc song song với trục x'Ox Thật vây, vtpt của (P) trong trường hdp này là

n (0, B, C), do đó: n ĩ =0 <=> n -L ĩ <=> n vuông góc với trục x'Ox

Vậy (P) song son^ với trục x'Ox

Tương tự, mặt phăng ^P) có dạng (P): Ax+Cz+D=0 sẽ chứa hoặc song song

với trục y'Oy, m ặt phăng (P) có dạng (P): Ax+By +D=0 sè chứa hoăc song song với trục z'Oz

• Nếu A=0, B=0, o o , m ặt pháng (P) có dạng (P): Cz+D=0 sè chứa hoăc song song với trục x'Ox và y'Oy nên nó song song hoặc trùng với m ặt phăng xOy

Tương tự, m ặt phăng (P) có dạng (P): Ax+D=0 sè song song hoặc trùng với m ặt phăng yOz, m ăt phăng (P) có dạng (P): By +D=0 sè song song hoặc trùng với m ặt phăng xOz

Đặc biệt các phương trình x=0, y=0, z=0 theo thứ tự là phương trình của các m ặt phăng toạ độ yOz, xOz, xOy

• Nếu A*0, B*0, o o , D*0 thì bằng cách đăt a=- — , b=- — , c=- — ta đươc:

a b c

Phương trình (2) gọi ià p h ư ơ n g trình đoạn chăn của m ăt phăng (p).

• Chia hai v ế của phương trình (1) cho M= V a: + B2 + c2 Khi đó, đặt

A A n B _ c ^ DA0- — Ị Bn3 — /C0- — fD()= —

ta được: (P): AoX+B0y+CoZ+Do= 0 với Aổ + Bổ + C5 =1 (3)

Phương trình (3) được gọi là p h ư ơ n g trình p h á p dạng cùa m ặt phăng (P).

( hu lie I Phương t nnh mjit plì.^n^

Ví dụ 2: Láp phương trình tồng quát của mặt phăng (P) biết:

a (P) đi qua điểm M (l, 3, -2) và nhận ri (2, 3, 1) làm vtpt

b (P) đi qua điểm M (l, 3, -2) và song song với (Q): x+y+z+l=0

Giãi.

a Ta có:

jquaM (U -2) 2(x-l)+3(y-3)+z+2=0 <=> (P): 2x+3y+z-9=0

Ịvtpt n(2,3,l)Vậy phường trình tổng quát cùa mặt phăng (P) là: (P): 2x+3y+z-9=0

b Ta có:

íquaM (U ,-2)' ; [(P )//(Q ):x + y + z + l = 0

• Vì (P )//(Q ): x+y+z+1=0, có dạng: x+y+z+E=0

• Vì M (í, 3,-2) e(P), ta có 1 +3+2.(-2)+E=0 Cv E=0

Vậy phương trình tông quát của mặt phăng (P) có dạng: x+y+z=0

Bài toán 2 Lập pluíiTg trình măt ỊÌiàng (F) đi qua điêm M, , y,> và oó ựip vtLp la ă (&i,AyA^

Phương trình (1) chính là phương trình tham sốcủa mặt phăng (P)

Ngược lại: nếu (P) có pỉhương trình (1), ta có nhận xét:

• Măt phăng (P) đi qua điêỉn Mofxjv y0/ z0)

• Măt phăng (?) có căp vtcp ă (alr a2, a3) và b (bị, b2/ by).

Ví d u 3: Lập phương trìr\h tham số của măt phăng (?) đi qua điểm M (l, 3, 2)

Phần 1: MAI phủny

Ví dụ 4: Lập phương trình tham sô của mạt phăng đi qua hai điếm A(4, -1, 1),

B (3,1, -1) và cùng phương với trục Ox

Ta có thẽ lựa chọn m ột trong ba cách trình bày sau:

Cách 1: Áp dụng bài toán 2, thực hiện theo các bước:

Bước ĩ: Ta có AB, AC là một cặp vtcp của m ặt phăng (P), ta được:

AB(x2 ~ x l ,y 2 - y 1/z2 - z 1)AC(x5 - x 1/y3 - y 1/z3 - z 1)

Bước 2 Khi đó phương trÌẳih m ặt phăng (P) được cho bởi:

m í q u a Ă í x , , ^ )

(p):r —

[2 vtcp AB k AC

Cách 2 Áp dụng bài toán 1, thực hiện theo các hước:

Bước 1: Gọi ĩị là v tp t của m ặt phăng (P), ta được: n =[ AB, AC ].

B ước2 Khi đó phương trình m ặt phăng (P) được cho bởi:

(P víqua

(vtpt n

Cách 2 Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Giả sử (P ): Ax+By+Cz+D=0

B ước2 Vì A, B, C e(P), ta được:

AX| + Byị +CZ| + D = 0 A = k|D

A x 2 ♦ By2 + Cz2 ♦ D = 0 => - B = k2D Ax* + By^ + Czj + D = 0 c = k

Bước 3: Khi đó:

(P): k1Dx+k2Dy+k:iDz+D,BS0 « (P): l^x+k-iy+kjZ+lK)

Chủ ỷ.

1 s ử dụng cách 1 ta nh ận được phương trình tham số của mặt phăng (P)

2 s ử dung cách 2, 3 ta n h ận được phương trình tổng q u át của mặt phăng (P)

3 P hương trìn h m ặ t p h ă n g th eo các đoạn chắn M ặt phăng (P) cắt trục Ox

tại A(a, 0, 0), trục Oy tại B(0, b, 0), trục Oz tại C(0, 0, c) có phương trình

( P ) : Ị + J Ù 4 - 1

a b c

Ví d u 5: Lập phương t r ì n h mạt pỉuiiy, đi LỊUcì bcì đk‘111

a A(l, l! 0), B(l, 0, 0) vã c ( 0 , 1, 1)

b A(1,0, 0), B(0,2,0) v à ( Ịiựi.h)

Chìị

a Cáclì /: Ta có AB,AC la một v/.ìp v k p của mật pluìn^ (ĩ>), ta được:

b Nhện xét ràng A, B, c theo thứ tư thuộc b c ì trục toa độ, do đó:

(ABC): - + X + - =1 <=> (ABC): 6x+3v+7.-f»=0

1 2 6

II.CÁC BÀI TOÁN C H Ọ N LOC

Bài 1 Gv> hai điẩìi A(l, z3); B((3,4> -1) ktàìg gian G<vz

a Vỉét Ị^iufclT£ hình Iiiăit phảng (T) là tiling tnl' của AB

b Viêt phuttig mặt phảng (Q Ljua A, vuông $óc với (ĩ^ và vuồ! Ìg $ x với (yQz)

c Viêt phưtlig nứt phăỉng (R) LỊua A và sang saig với (ư).

ả Ta có:

Gọi I là trung điểm AB Khi đó I có toạ độ 1(2, 3, 1)

Vlàt phăng (P) là trung trực của AB, khi đó:

Vlăt phăng (yO z)=>nhận fi| (1, 0, 0) làm một vtpt

vlạt phăng (Q) vuông góc với (yOz) nhận iĩ I (1, 0, 0) làm một vtcp.vlăt phảng (Q) vuông góc với (P) => nhân AB (2, 2, 4) làm một vtcp

"bây ràng n Ị, AB không cùng phương Vậy

!Khi đó phương trình mặt phăn^ (P) được cho bời:

Đó chính là phương trình tông quát của (R) /

Bài2 (ĐHCĐ/chua phân ban-99): ViêtphutlTg trình mặt phăng tnnTgtnxcủdđoạntììăpg AB vớiA£l,4);B(-l,A5)

Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm toạ độ trung điểm I là trung điểm của AB, bởi công thức:

_ XA + * B „ Y a + Y b T _ * A + * B

XI = — 2— / yI - — 2— / ZI - — 2—

Bước 2: Gọi (P) là m ặt phăng trung trực đoạn AB, k h i đó:

qua I(P): <=> (P): 6x+8y-2z+ll=0

Bài tâp 2 Lập phương trình tham số của m ặt phăng (P) đi qua M (l, 1,1) và

a Song song với các trục Ox và Oy

b Song song với các trục Ox và Oz

c Song song với các trục Oy và Oz

Bài tập 3 Lập phươne trình tham số của các m ặt phăne đi qua hai điêm

A (l,-1 ,1 ),B (2 ,1 ,1 ) và:

a Cùng phương với trục Ox

b Cùng phương với trục Oy

c Cùng phương với trục Oz

Bài tập 4 Xác định toạ độ của vectơ ii vuông góc với 2 vectơ ã (6, -1, 3) và

b (3,2,1)

Bàỉ tâp 5 Tìm m ột v tp t của m ật phăng (P), biết (P) có căp vtcp là ẳ (2, 7, 2),

6 (3/2* 4)

Bài tâp 6 Lập phương trình tổng quát của m ặt phăng (P) biết:

a (P) đi qua điểm M (-l, 3, -2) và nhận n (2, 3, 4) làm vtpt

b (P) đi qua điểm M (-l, 3, -2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0

Bài tập 7 Lập phương trình tổng quát của các m ặt phăng đi qua 1(2, 6, -3)

và song song với các m ặt phăng toạ độ

Bài tập 8 (ĐHL-99): Trong không gian Oxyz cho điểm A (-l, 2, 3) và hai mặtphăng (P): x-2=0; (Q): y-z-l=0 Viết phương trình m ặt phăng (R) đi qua A và vuông góc với hai m ặt phăng (P), (Q)

CHUYÊN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHĂNG

I K IẾN m ứ c C ơ BẢN

PHƯONíỉ PHAP( III N<»

a N ôít ĩĩh ỉtp h ă n g (P) cho d ư ớ i íỉiìỉịíỊ thiìiìì sỏ

Vậy ta có một cặp vtcp của (P) là: ã (a,, a2, a,) và b (bị, b2, b3).

Chú ý Ta có thê chọn ba điểm không thăng hàng A, B, c thuộc (P) Khi đó,

Các Em hoc sinh hãy tham gia học tập theo phương pha p " U y hoc trò làm truns tâm "

Dưổi sự hỏ trơ cùa Nhóm Cự Môn do Ths Lê Hổng Đúc và Nhà giáo ưu tú Đao Thiôn Khải phụ trách.

Phàn I Mat ph á n g

b Mặt phăng (P) có m ột vtpt là: n (1, 2, 3)

Gọi ẩ (a„ a-,, a*) là một vtcp của (P), ta có: ã n =0 <r> a l+2a: +3aì=0

■ Ta đi tìm bộ ba thứ nhất (a„ a2, a 3) thoà m ãn (1)

Cho a3=0 thì (1) có dạng aị+2a*>=0

C ho aj*2 thì từ (2) ta có a2*-l

Ta được vtcp th ứ nhât ã (2, -1, 0)

■ Ta đi tìm bộ ba thứ hai (a|, a-V a 3) thoả m àn (1)

Cho a,=0 thì (1) có dạng a!+3a3=0 Cho a,=3 thì từ (3) ta có a3=-l

n = [ ã , b ] '

/ a-, a J « 3 a l a, a2\

Vbị b j / *>3 b, 9

bj b2/

( hi! do 2 Chuvi/n v-ỉan^ phưi<n^ tunh miU |2hA0iI

unisô

ị Bài hxín\ í huyổiphutlhgtrìiihtcỉ^qiutalì (FKu>;đạiì£th

PHI o m ; PHAP niUN(i Gici sứ m ặt phăng (P) có p hương trin lì tong quát d ư ớ i dcing:

(P): A x + B y + C z + D = 0 VỚI V * B :+( *>() (1)

Đ ê c h u v é n p h ư ơ n g trình cu LÌ (p) Ncin^ LỈạng tham ' íd ch ọ n m ộ t tro n g

c á c c á c h s a u :

Cách Ị Thực hiện theo các bưỏv sau

Bước /: Chọn ba điểm thuộc mạt phảng (ỉ5) bcHng várh:

Cho x=v=(), Um /., ta có đièm A

C h o x=z=(), tìm V, ta có điểm B.

Cho y=z=0, tim X, ta có điếm c

Bước 2 Kiểm tra lạ i:" AB không cùng phương với AC

Bước 3: Viết phương trình tham số của (P) đi qua A và nhận AB, AC

làm cặp vtcp

Cách 2 Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1\ Tìm một điểm A thuộc (P).

Bước 2 Dựa vào bài toán 3 /b tìm một cặp vtcp của (P) Từ đó suy ra

được phương trình tham sô của (p)

Cách 3 Đặt x=f(t1), y=g(t2), thay vào (1), suy ra z=h(tj, t2).

Tập X, y, z chính là phương trình tham số của (P)

Ví d ụ 3: Chuyển dạng phương trình của (P): x+2y+3z-6=0 sang dạng tham số

G iả i.

Cách 1\ Chọn ha điêm A, B, c mặt phăng (P) băng cách:

- Cho x^y^o, suy ra z=2, ta cỏ điòni A(0, 0, 2)

- Cho x=z=0, suy ra y=3, ta có điỏm B(0, 3, 0)

- Cho y=z=0, suy ra x=6, ta có điểm C(6, 0, 0)

■ Ta có: AB (0,3, -2) và AC (6, 0, -2) —r* AB, AC không cùng phương.

\ = 6t->

z = 2 - 2t ị - 2t3

Đó chính là phương trình tham số của mặt phăng (P)

Cách 2 Lấy điểm A(0, 0, 2)e(P).

Mặt phăng (P): x+2y+3 z-6=0 có một vtpt là: n (1, 2, 3)

Gọi ã (aj, a 2/ a^) là một vtcp của (P), ta có: ẫ n = 0 o a|+2a2+3aý=0 (1)

■ Ta đi tìm bộ ba th ứ nhất (aj, a2/ a^) thoả màn (1)

Cho aj=2 thì tử (2) ta có a,=-l

Phán 1: MtV phÃn^Ị

■ Ta đi tìm bộ ba thứ hai (aj, a2, a3) thoả m ân (1)

Cho av=0 thì (1) có dạng aj+3a^=0 Cho aj=3 thì từ (3) ta có a3= -l

Đó chính là phương trình tham số của m ặt phăng (P)

Cách 3: Đăt x=3tj, y=3t>, thay vào (1), suy ra z=2-tr 2t> Ta được:

hai vtcp a(2 -1,0) & 0(3,0 -1)

Bài toán4: Chuyên phưttTg trình tham sốcủa mặt phăng (P) về dạng lớng quát

PHƯƠNG PHÁP CHUNG Giả sử m ặt phăng (P) có phương trình tham số dưới dạng:

x = x0 + a 1t 1+ b 1t 2 (P): - y = y0 + a,tJ + b ,to , tj, t2eR

z = z0 + a3t Ị + b3t 2Đế’ chuyển phương trình của (P) sang dạng tham số, ta lựa chọn Iĩìột trong các cách sau:

Cách 1: Khử các tham số t|, t2 giữa các phương trình tham số trên.

Cách 2 Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Ta có ã (aỉ7 ay a3) và b (bj, bj) là m ột cặp vtcp của (P)

Bước 2 vtpt n của (P) đươc xác đinh bởi: fi = *2 t 1 ' L1 ti

Bước 3: Lập phương trình của (P): đi qua M(xo, Ỵo, zo) có v tp t i ĩ

Ví d ụ 4: Cho m ặt phăng (P) có phương trình tham số:

( h u dó 2 ( IniNvn J iid : [ 'hư' 'lit; tnnh W.M p lU n n

Đó chính là phương hình tông quát của mặt phăng (P)

Bài 2Trong không gian Ocyz, cho hi điẢm A(1 AU); Bfl2ífcC(2ft2)

& Vỉêt phưciTg trình tham sỏ mặt (ABC),

Đó chính là phương trình tham số của mặt phàng (ABC),

b Phương tổng quát của mặt phăng (ABC)

■ Thay phương trình 2, 3 vào 1, ta đươc x=l- — y + - z o 2x+y-z-2=0

2 L.

Đó chính là phương trình tổng quát của (ABC).

25

ĐÓ chính là phương trình tông quát của mặt phăng (ABC).

■ Vì A, B, c nằm trẽn (P) nên ta có hệ:

a + d = 0 a = —li

2b + d = 0 => « b = - d / 2

2a + 2c + đ = 0 [c = d / 2

Thay a, b, c vào (1) được: 2x+y-z-2=0

Đó chính là phương trình tông quát của (ABC).

Đó chính là phương trình tổng quát của (ABC)

Bài 3 Viáphưt*E trình tham sốvà 4ỐỈng quát của mặtphẳng (P)

a Mặt phăng (P) chứa Ox => O e(P) và (P) có một vtcp là ã (1,0, 0) v7ậj:

■ P hương trìiĩỉĩ thà 111 sô '

'x = t , + t 2 (1)

y = -2 ụ (2) , t „ t 2€R

7 = 312 (3)

Đó chính là phương trình tham số của m ặt phăng (P)

Cách 1: Khử các tham số tj, t2 giửa các phương trình tham số trên.

Từ (2), (3), ta được 3y+2z=0

Đó chính là phương trình tông quát của (P)

Gọi r i I là vtpt của (Q) => n I (1, 2, 3) củng là một vtcp của (P).

N hận thấy rằng AB, lì Ị klìồng cùng phương

P hương trìiìh tlicim sÔ L Ucì (P)

Cách h Khử các tham số t„ t: giửd c ác phương tỉ ình tham sô của (P)

Lây (4)-(5) suy ra x-2v+z=2 o x-2y+z-2=0.

Đó chính là phương t r ìn h tông quát của (P)

Ciich 2 Gọi n là vtpt của (P) Khi đó:

Đó chính là phương trình tông quát của (P).

Bài £ (ĐHDLr97):Viêt phuttTg trình đìtim số và tâng quát của mặt phăng (P) chúa gốc taạ độ và vuông góc với hai mặt phàng cỏ plutohg trình (PJ: x-y+z-7=0 và (R): 3x+2y-12z^3=€

Gọi fi| # ÍÌ2 theo thứ tự là vtpt của m ặt phăng (Pj), (PJ, ta có:

n | ( l , - l , l ) ; n2 (3, 2, -12)

Gọi (P) là m ặt phăng chứa gốc toạ độ và vuông góc với (Pj) và (P2)

Phương trình tham sô

Cách 1: Klìử các tham số tj, t2 giữa các phương trình tham số trên

Láy (l)+(2) suy ra x+y=5t2

Lấy (2)+(3) suy ra x+z=-10t2

Thay (4) vào (5), ta được x+z=-2(x+y) o 3x+2y+z=0

Đó chính là phương trình tổng quát của (P)

Cách 2 Gọi fi là vtpt của (P) Khi đó:

(4) (5)

c h u lir 2 ( _hu\vn J.mj,: p liưưne trin h mat phflnt!

III T ổ N G KẾT PH Ư Ơ N G PHÁP 'MKT m ư ơ N C T R ÌN H M Ặ T 1’H Ả N G t r o n g k h ô n c; C !A N

Bài tnán: Lập phudhg trình niặtỊÌVÍI

K<n-PHI ONC PllÃlM III N(i

a Dờ Xcíc dịiìh phương trình thcìm Sí3 cùiì lìhìt /ì/hĩm; (Pỳ. nêu (P) đ ã cho

d ư ớ i d ạ n g tô n g q u át thì chu yên (P) về ilọni; tinim số con k h ô n g thì thực hiện

theo các bước sau:

Bước 1: Xác định một điếm Mj)(x0, v0< 7,,)e(p).

Bước 2 Xác định một cặp vtxp ả (a,, ả2' a^) va b (bị, b2, K) của (P).

Bước 3: Ap đung bài toán 2.

C hủ ỷ Một m ặt phăng sè co vô sỏ phường trình tham số, bởi nó đi qua vô sổ

điếm và có vô sỏ cặp vtcp

b Đ è x á c đ ịn h p h ư ơ n g tỉhìJì tỏỉìL; iỊLLit cùcì m ậ t phÀiiíỊ (P)\ n ếu (P) đà cho

dưới dạng tham số thì chuyên (P) về dạng tông quát còn không thì thực hiện

■ Một m ặt phàng có duy nhất một phương trình tổng quát

■ Trong trường hợp biẽt cặp vtcp ã, bcủa (P) muốn có phương trình tổng quát của (P) td sừ dụng tích hỗn tạp:

Từ (2) ta có được phương trình tông quát của (P)

c P hương tà n h m ặ t p hăng (P) tỉi LỊUcì 3 diêm : A(xj, y Ịt Z,) , B(x2, y:, z2) và

d P hương trình m ặ t p hăng theo Ciiy (loạn íihín: mặt phăng (P) cắt trục Ox tại A(a, 0, 0), trục Oy tại B(0, b, 0), trục Oz tại C(0, 0, c) có phương trình

e Phương trình chuân tắc Ctỉcì m ật phăng: Giả sử p>0 là chiều đài đường

vuông góc OH hạ từ gốc toạ độ lên mặt phăng (P); giả sử cosax/ coscty, cosaz

là cosin chỉ phương của vectơ O H , khi đó phương trình chuẩn tắc của m ặt phăng (P) có dạng:

(P): x.cosax+ y.cosav+ zcosaz-p=0

29

a Lập phương trình tổng quát của (P).

b Lập phương trình tông quát của mặt phăng (Q) đi qua điếm A (l, 2, 3)

và song song với (P)

Bài tập 6 Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của m ặt phăng (P) trong các trường hợ p sau:

a Đi qua điêYn A(0, -1,4) và có cặp vtcp lả ã (3, 2,1) và b (-3, 0,1)

b Đi qua hai điểm B(4, -1,1), C (3 ,1, -1) và cùng phương với trục Ox.Bài tập 7 Cho tứ diện A BCD CO A(5, 1, 3); B(l, 6, 2); C(5,0,4), D(4, 0, 6)

a Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát các mặt phăng (ABC), (ACD), (ABD), (BCD)

b Viổ't phương trình tham số và phương trình tổng quát m ặt phăng (P)

đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD

Bàỉ tâp 8 Viết phương trình tham số và tổng quát của m ặt phăng (P)

a Đi qua ba điểm A (l/0,0); B(0,2,0); 0(0,03)

b Đi qua A (l, 2, 3), B(2, 2, 3) và vuông góc với (Q): x+2y+3z+4=0

c Chứa Ox và đi qua A(4, -1, 2)

d Chứa Oy và đi qua B(l, 4, -3)

Bài tập 9 Cho hai điểm A(3, 2, 3y, B(3, 4,1) trong không gian Oxyz.

a Viết phương trình m ăt phăng (P) là trung trực của AB

b Viết phương m ặt phăng (Q) qua A, vuông góc với (P) và vuông góc với (yOz)

c Viết phương m ặt phăng (R) qua A và song song với (P)

C H Ư D Ẻ 3

VỊ TRÍ TƯƠNG DỔI CỦA ỈỈAI MẢT PHẢNG

K IẾ N T H Ứ C c ơ BẨN

Bài ti Ú n Vị hí tudlTg đỏì ciki 1 ui niàt \iVII yr

p n r o M i |>HAIM ỈU \<;

Cho hai một phăng

(I\): A :x + B->y+C\z+D.=0 co mót \’tpt 111 (A., B,, c ).

O n c ữ v a o sỏ đ ư ờ n g thăm ; V iunu; i'll tì (P|), (p ) tcì co 3 truoiu; h ọ p sau:

a (Pj) và (py UiôiìíỊ có LỶitoni! t/hhiiỊ chum?, til nói (Pị)// (P-).

V ậy ( P , ) / / ( Pj) o ^ ^ = C-:: (ti.v la n / / m và (P ,)n ( I\) = 0 )

b H ải m ặ t p/hìiHỊ ( P ị ) V*1 (P-J chi có m ột tỉiĩửmĩ thiim; clìunq ( có hai

d iê m c h u n g ): ta nói (Pi) va (ĩ\) càt nhau Đường thăng c h u n g đ ư ợ c gọi

Khi đó số đo góc' ư (Oíat 1 ) tạo bcVi hfii nifit phảng (Pj) và (P2)

được tính theo công tluiv:

I A.An + B,B, 4 c , ( \ I

+ H| + c Ị yjA ’ + Bĩ + c i

Trường hợp đặc biệt (P|) 1( P:)

o ĩ ì l r h <=> 11.111 =0 cr> Aị +B,B^ +C |C :=0.

H ai m ặ t p h ă n g (Pj) Vtì (PJ có /h ì ỉ íỉườníỊ thầm ; i hun g phân b iệt (có ba

điểm chung không tháng hàng): ta nói (p|)=( P;)

Vậy (P,)=( p:) o ^ - = -^- = -ặ- = D|

A : B: C: D;

(tức là iì / / rh và (Pj), (P.) cỏ một điểm chung)

Các Em học sinh hày tham gicì học tip tJu\> phương pháp" Ư V Ỉ U K trò Ị.im tn m ẹ tâm "

rưởi sự hổ trợ của Nhóm Cư Môr do Ths 1JÙ Hổng Dức va Nhà fliáo ưu tú Dào TI ì lên Khái phụ trách

31

Phần ỉ: M at phảng

đ MỜ rộng.

(i) Nếu ba m ặt phăng

(P1): AjX+Bjy+Qz+D^O, (P2): A2x+B2y+C:z+D2=0, (Pi): A^x+B3y+C3z+Dỹ=0

di qua cùng m ột đường thăng, thì:

A=

A| B| C|

=0.

A 2 B: C2 A~ b Ị c ’

(ii) Giao điểm (nếu có, tức A*0) của ba mặt phăng

(Pj): A ^+ BjY+CjZ+D^O,(Pn): A2x+B^y+C^z+D2=0/

đi qua cùng m ột điểm , thì:

1

x=- — A

P h ư ơ iig p lìấ p 1 Thực hiện theo các bước:

Bước T C huyển phương trình (P2) vể dạng tổng quát.

Bước 2 Kết luận.

P hư ơ iig p h á p 2 Thực hiện theo các bước:

Bước T Thay phương trình tham số của (P2) vào (Pj), ta được:

Bước 2 Xét các khả năng sau:

■ N ếu A=B=C=0 o (1) luôn đúng o (Pj)=(P2)

■ N ếu A=B=0 & C^O <=> (1) vô nghiêm o ( P j ) / / (P2)

■ N ếu A:+B2>0 o (Pj)n(P2)=(d)

N hân x é t: Với các bài toán chứa tham số cần giải và bện luận thông tlhường ta

chọn phương pháp 2

G iải

Cách 1 Chuyên phương trình (P2) vể dạng tông quát.

• Gọi n là vtpt của (Po), ta có:

1 1

2 - 1

1 1 -1 1 «(1,-3, 2).

1 1

1 2

■ Khi đó:

(qua A (l,-l,l)(P ^ 1 -V <=> (p 2): x-l-3(y+l)+2(z-l)«0 o (P:): x-3y+2z-6=0 [vtpt n(l,-3,2)

Với m =l, khi đó : (1) luôn đúng o (Pi)s(P:).

Với m * -l, khi đó : (1) » 2t2+6=0 o (Pị) và (P2) cắt nhau

c h u /m i íìỉclt p h ă n g (Pị) vả ( P J Ccìt n/iciu t/ic(> í^iiìo tu vt'ii (d) Tập h ợ p t í t I\ì

các mẠt pluĩng cùng di lịiuì lĩ ườn tỉ tlh)n£ (J) ÍỊỌÌ Lì một chùm m ặt phàng, dường tỉhhig (d) gọi ! à true i ùcì chùm, Í CÌL lìiủt pĩhỉniỊ (P ị ) Vcì (PJ g ọ i Lì htìi nụỉt pitting cơ SỜ củd chùm.

N hặn xét:

Nếu x=0 |>1*0, (1) chính là phương trình măt phăng (P2)

Nếu ^1==0 => (1) chính là phương trình mặt plìăng (Pị)

Nếu và Ị.1^0, (1) cho phương trình của một mặt phăng khác hai mặt phảng (Pị) và (P-,) Trong trường hợp nàv, có thể đạt m = ~ và (1) trởthành: AjX+Djy+CjZ+Dj* m(A2x+B:y+C2Z+D2)=0 (2)

hoặc (Aị+ mA‘»)x+(Bl+mB«.)v+(C|+mC2)z+(D|+mD-,)=0 (2 )Khi đó ta có vtpt n (Aj+ m A :, Bj+mB:, C ẳ+niC2)

C hú ý N hư vậy để xác định phương trình của chùm mặt phảng xác định bởi:

a Hai m ặt phăng cơ sở (Pj) và (P:), thì nhât tlìiêt phái đưa phương trình của (P,) và (P^) vể dạng tổng quát

b Trục (d), thì nhất thiết phải đưa phương trình của (đ) vể dạng tổng quát

Ví dụ 1: Lâp phương trình chùm mặt phăng xác định bởi (P), (Q) biết:

Cái Em h<x' sinh hảy tham gia học tập theo phương pháp" U y hoc trò làm trunự tầm "

Ditfi su hồ tnf cùa Nhóm Cự Món di) Ths Lỏ Hổng Dúc và Nhà giáo ưu tú Dào Thiỏn Khài phu bách

35

Phần ỉ: Mat phcìng

b Chuyên phương trình (Q) về dạng tông quát băng cách khử c á c thaim sô

tị, t2 từ hệ phương trình tham số của (?) ta được x+y-4=0

b Chuyên phương trình (d) vể dạng tổng quát:

Khi đó chùm m ãt phăng xác định bởi trục (d) có dạng:

Khi đó chùm m ặt phăng xác định bởi trục (d) có dạng:

n^x+y-SJ+m ix-z-S)^ o (P): (Zn+mJx+ny-mz-Sn-Sm^O

3 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Bai toán 1 Onmnìătphỉngủxyă iránđiỀu kiện Kcho trước

Đê xác định môt m ặt phảng của chùm cho bởi (2) hoăc (2'), ta cần xác định giá trị tham 9Ố m dựa vào một giả thiết nào đó được thiết lập cho m ặt phăng

Các giả thiết thường gãp:

3.1 M ăt p h ỉn g c ủ i chủm đỉ qua m ột điếm M cho trưởc

Khi đó, thay toạ đô của M vào (2) hoặc (2') ta nhận được m

X = 2 + t (1)

c (d): y = l - 2 t (2),(teR )

z = t - 3 (3)

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Chu lỊo 4 I hum mjjt phan}'.

Ví dụ ì: Lập phương trình niăt pỉnìiH' đi LỊUcì M(l, 0, 1) va I hứa đường tháng (ti) cho bíỉi:

Thay m = -— vào (1), ta được (P): 5x-4v+6z-13=0

b C huyên phương trình (d) về dạng tông quát:

Thay m =-l vào (2), ta được (P): x-3y-z=0

Đó chính là phương trình tổng quát của đường thăng (đ)

Mặt phăng (P) chứa đường thăng (d) => (P) thuộc chùm m ặt phăng xác

đ n h bởi true (đ) có dạng:

2x+y-5+m(x-z-5)=0 CO (P): (2+m)x+y-mz-5-5m=0 (4)Điểm M (l, 0, l)e(P ) o (2+m).l+0-m.l-5-5m=0 o ITĨ=- —

Thay m=- — vào (4), ta được (P): 7x+5v+3z-10=0

37

Phán I: M ot 1'ì làng

3.2 Măt phăng của chùm song song vởỉ môt măt phăng (Q) cho trưởc

Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1:Xác định một v tp t n j(A, B, C) của (Q)

Bước 2 Mặt phăng của chùm song song với m ặt phăng (Q)

Thay m =-l vào (1), ta được (P): x-3y-z=0

b Gọi n là vtpt của (Q) Khi đó:

n = n (10,15, 5), chọn n (2, 3,1)-1 1

Vậy không tồn tại m ặt phăng chứa (d) và song song với (Q)

3.3 Măt phăng của chùm vuông góc với môt măt phăng (Q) cho trước

Khi đó, thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định một v tp t n j(A, B, C) của (Q).

Bước 2 Mặt phăng của chùm vuông góc với m ăt phảng (Q)

o n f i !=() (với n là vtpt của m ặt phăng (2'))

<=> (Aj+ m AiJA+iBj+m B^B+fQ +m C^O O,

từ đây ta nhận được m

3.4 Mặt phăng của chùm song song với một đường thăng (A) cho trước

Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước h Xác định một vtcp ã (aj, a2, a5) của (A).

Bước 2 Mặt phăng của chùm song song với một đường thăng (A)

Thay iri* -— vào (1), ta được (P): 10x+6y-z-18=0 *

3.5 Mặt p»hăng của chủm vuông góc vởi môt đường thăng (A) cho trưởc

Khi đó,, ta thực hiện theo các bước sau:1 • •

Bước 1: Xác định một vtcp ã (a1# a2, a 3) của (A).

Bước 2 iVlăt phăng của chùm vuông góc với đường thăng (A)

Aj + mA, _ B, + mBi C| + mC,

từ đây ta nhận được m

( 111 ! ilo 4 c hum miU plu’im:

Thay m=-2 vào (1), ta được (P): x-2y+5z-3=0

3.6 M ăt phăng của chùm tao với m ột m ăt phăng (Q) m ôt góc a bất kỳ

Khi đó, thực hiện theo các bước sau:

Bước 1\ Xác định một v tp t n j(A, B, C) của (Q).

Bước 2 Mặt p h ă n g của chùm tạo với m ặt phăng (P) một góc a