Cấu trúc của không gian mầm các hàm chỉnh hình

LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, người thầy tận tình giúp đỡ trình hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Sau đại học, trường Đại học sư phạm Hà Nội toàn thể thầy cô giáo trường tạo điều kiện thuận lợi trình học tập nghiên cứu Trong trình thực công tác nghiên cứu không tránh khỏi hạn chế thiếu sót, xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn học viên Hà Nội, tháng 10 năm 2010 Tác giả LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào, khóa luận tốt nghiệp"Cấu trúc không gian mầm hàm chỉnh hình"được hoàn thành, không trùng với khóa luận khác Trong trình làm khóa luận, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 10 năm 2010 Tác giả Đặng Thị Bích Thảo Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian véc tơ tô pô 1.2 Đa thức không gian lồi địa phương 12 1.3 Hàm chỉnh hình 18 1.4 Không gian mầm hàm chỉnh hình 23 Chương Cấu trúc không gian mầm hàm chỉnh hình 26 2.1 Tính quy không gian mầm hàm chỉnh hình 26 2.2 Tính quy Cauchy không gian mầm hàm chỉnh hình 31 2.3 Một số ví dụ phản ví dụ điều kiện (B) 34 2.4 Tính đầy không gian mầm hàm chỉnh hình 37 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong giải tích phức, vấn đề lớn đặt lý thuyết hàm chỉnh hình tính chỉnh hình địa phương tập K không gian lồi địa phương Điều dẫn đến khái niệm mầm hàm chỉnh hình H(K) tập K Ý nghĩa quan trọng khái niệm địa phương hóa khái niệm phần tử, thay cho việc xét phần tử cố định người ta xét lớp tất phần tử tương đương phần tử Trong khái niệm mầm ta phân đặc điểm chung liên kết phần tử tương đương lại với Tập mầm hàm chỉnh hình H(K) tập compact K xét theo hai khía cạnh Một là, mặt đại số ta xem vành Các tính chất vành H(K) nghiên cứu rộng rãi, xem: Bănică-Stănilă [2], Siu [7], Mặt khác, H(K) xem không gian véc tơ tô pô trang bị tô pô lồi địa phương tự nhiên cách kết hợp tô pô không gian hàm chỉnh hình lân cận K Theo hướng nghiên cứu phải kể đến công trình S B Chae [3], A Grothendieck [10] A Martineau [14, 15], Việc nghiên cứu cách trực tiếp tô pô lớp không gian hàm chỉnh hình tiến hành cách dễ dàng Trong không gian mầm hàm chỉnh hình lại nghiên cứu cách thuận lợi Trên H(K) người ta thường quan tâm đến tính quy tính đầy lớp không gian Theo hướng nghiên cứu đó, S B Chae [9] chứng tỏ tính quy H(K) với K tập compact không gian Banach Để nghiên cứu cấu trúc không gian mầm hàm chỉnh hình H(K), với K tập compact không gian lồi địa phương metric chọn đề tài: "Cấu trúc không gian mầm hàm chỉnh hình" Luận văn chia làm chương (ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo) Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương bắt đầu việc giới thiệu số khái niệm đưa số kết quan trọng không gian véc tơ tô pô, cần thiết cho trình sử dụng sau Tiếp theo cách tiếp cận ngắn gọn giới thiệu khái niệm không gian mầm hàm chỉnh hình mà mục đích luận án nghiên cứu tính chất tô pô lớp không gian Chương 2: Cấu trúc không gian mầm hàm chỉnh hình Với mục tiêu trọng tâm nghiên cứu vấn đề quy lớp không gian mầm hàm chỉnh hình tập compact không gian lồi địa phương metric tính đầy lớp không gian mầm hàm chỉnh hình tập compact cân không gian lồi địa phương metric, chương trình bày cách có hệ thống số kết tính quy tính đầy lớp không gian Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu tính quy tính đầy đủ không gian mầm hàm chỉnh hình H(K) với K tập compact không gian lồi địa phương metric Nhiệm vụ nghiên cứu Việc nghiên cứu luận văn với nhiệm vụ hệ thống, làm rõ lý thuyết không gian mầm hàm chỉnh hình cấu trúc Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Tính quy không gian mầm hàm chỉnh hình H(K) - Tính quy Cauchy không gian H(K) - Tính đầy không gian H(K) với K tập compact không gian lồi địa phương metric Phương pháp nghiên cứu - Đọc sách, nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo - Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu Những đóng góp đề tài Trình bày cách có hệ thống số kết tính quy tính đầy đủ dãy không gian mầm hàm chỉnh hình H(K) với K tập compact không gian lồi địa phương Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian véc tơ tô pô Trong phần này, trình bày số khái niệm tính chất sử dụng sau Định nghĩa 1.1.1 Cho E không gian véc tơ A tập E i) Tập A gọi lồi với x, y ∈ A ta có: λx + µy ∈ A, λ ≥ 0, µ ≥ λ + µ = ii) Tập A gọi cân với x ∈ A λx ∈ A | λ |≤ iii) Tập A gọi tuyệt đối lồi đồng thời lồi cân iv) Tập tất tổ hợp tuyến tính hữu hạn n n λi = 1, xi ∈ A λi · xi với λi ≥ 0, i=1 i=1 tập lồi chứa A gọi bao lồi A v) Bao tuyệt đối lồi A tập tất tổ hợp tuyến tính hữu n n λi · xi với hạn i=1 | λi |≤ với xi ∈ A (là tập hợp tuyệt đối lồi i=1 nhỏ chứa A) vi) Tập A gọi hút với x ∈ E, tồn λ > cho x ∈ µA với µ thỏa mãn: | µ |≥ λ Định nghĩa 1.1.2 Một không gian véc tơ tô pô có sở gồm lân cận lồi điểm gốc gọi không gian véc tơ tô pô lồi địa phương (không gian lồi địa phương) tô pô gọi tô pô lồi địa phương Định nghĩa 1.1.3 a) Giả sử E không gian véc tơ trường K (K = C K = R) Một hàm p xác định E có giá trị thực không âm (hữu hạn) gọi nửa chuẩn +) p(x) ≥ 0, +) p(λx) =| λ | p(x), +) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), với x, y ∈ E, λ ∈ K b) Một nửa chuẩn p tương ứng với tập hợp tuyệt đối lồi hút A gọi hàm cỡ tập A Mệnh đề 1.1.4 Trong không gian lồi địa phương E, nửa chuẩn p liên tục liên tục điểm gốc Chứng minh Nếu p liên tục điểm gốc ε > số cho trước tồn lân cận V cho p(x) < ε x ∈ V Do đó, với a điểm tùy ý E, ta có: | p(x)−p(a) |≤ p(x−a) < ε x ∈ a+V Định nghĩa 1.1.5 Không gian véc tơ E gọi khả định chuẩn tô pô xác định chuẩn p Mệnh đề 1.1.6 Không gian lồi địa phương E khả metric tách có sở lân cận điểm gốc đếm Tô pô không gian khả metric luôn xác định metric, bất biến phép tịnh tiến Chứng minh Nếu E khả metric dĩ nhiên tách có sở đếm lân cận điểm gốc Ngược lại, E có sở lân cận đếm được, lân cận chứa lân cận tuyệt đối lồi, nên tồn sở (un ) lân cận tuyệt đối lồi Gọi pn hàm cỡ un Đặt ∞ 2−n inf{pn (x), 1} f (x) = n=1 Thế f (x + y) ≤ f (x) + f (y) , f (−x) = f (x) f (x) = pn (x) = 0, với n Bởi E tách nên x = Đặt d(x, y) = f (x − y) d metric d(x + z, y + z) = d(x, y) Như d bất biến phép tịnh tiến Trong tô pô metric, tập hợp Vn = {x : f (x) < 2−n } lập thành sở lân cận Nhưng Vn mở tô pô xuất phát pn f liên tục Hơn Vn ⊂ Un x ∈ / Un pn (x) ≥ 1, f (x) ≥ 2−n Thành thử d xác định tô pô xuất phát E Định nghĩa 1.1.7 a) Một hàm thực ϕ(x) không gian tuyến tính X gọi tuyến tính, +) ϕ(x1 + x2 ) ≤ ϕ(x1 ) + ϕ(x2 ), với x1 , x2 ∈ X +) ϕ(αx) = αϕ(x), với x ∈ X số α ≥ b) Một phiếm hàm tuyến tính ϕ(x) (trong không gian thực hay phức) sơ chuẩn ϕ(αx) = |α|ϕ(x) với x ∈ X số α∈K Mệnh đề 1.1.8 Một hàm p : X → R sơ chuẩn hàm cỡ tập lồi, cân, hút; chuẩn hàm cỡ tập lồi, cân, hút không chứa trọn đường thẳng Chứng minh Thật vậy, B tập lồi, cân, hút dễ thấy hàm cỡ pB nghiệm pB (−x) = pB (x), với α < : pB (αx) = −αpB (−x) = −αpB (x), pB (αx) =| α | pB (x) với α pB sơ chuẩn Ngược lại, p sơ chuẩn tập B = {x : p(x) < 1} lồi với x ∈ B, y ∈ B, < α < ta có p(αx+(1−α)y) ≤ αp(x)+(1−α)p(y) < Hơn B cân đối p(x) < kéo theo p(−x) = p(x) < 1, B hút x ∈ X λ > p(x) p(x/λ) = p(x)/λ < Dễ thấy p(x) = inf{λ > : x ∈ λB} p(x) = pB (x) Sau cùng, p chuẩn với x = 0, p(x) > p(αx) = αp(x) ≥ (với α đủ lớn), tức αx = B, chứng tỏ B không chứa trọn đường thẳng qua x Mệnh đề 1.1.9 Trong không gian tuyến tính X cho họ sơ chuẩn Γ tùy ý Trên X có tô pô tương thích với cấu trúc đại số, sơ chuẩn thuộc họ Γ liên tục Tô pô lồi địa phương nhận làm sở lân cận gốc họ tất tập có dạng {x : sup pi (x) < ε} (ε > 0, pi ∈ Γ) (1.1) 1≤i≤n Nó tô pô Hausdorff (∀x = 0)(∃p ∈ Γ)p(x) > (1.2) Chứng minh Cho Bo họ tất tập có dạng V = {x : p(x) < 1}, với p ∈ Γ Khi đó, tập V lồi, cân, hút nên có tô pô X tương hợp với cấu trúc đại số, mà tập V lân cận, tức theo mệnh đề 1.1.8, sơ chuẩn p ∈ Γ liên tục Tô pô lồi địa phương, với sở lân cận họ tất tập có dạng n Vi (ε > 0, Vi ∈ Bo ) ε i=1 29 với λ, µ ≥ λ0 Từ ta suy sup|(fλ − fµ ) (x)| ≤ , x∈L với λ, µ ≥ λ0 Như (*) chứng minh Bây giờ, cho f ∈ H(K) bao đóng B Khi tồn lưới {fλ } ⊂ B với fλ → f H(K) Vậy {fλ } H(K)-Cauchy theo (*) fλ − fµ hội tụ tập compact Kα,s Ta định nghĩa g Kα,s giới hạn theo điểm {fλ } Hàm g hoàn toàn xác định fλ → g tập compact Kα,s Do đó, g ∈ B Kết thúc chứng minh, ta chứng tỏ f = g lân cận K Nó đủ để chứng tỏ dˆm f (ξ) = dˆm g(ξ), với ξ ∈ K, m ∈ N Cố định h ∈ E chọn ρ > cho {ξ + ζh : ζ ∈ C, |ζ| ≤ ρ} ⊂ Kα,s Thế thì, sử dụng công thức tích phân Cauchy, ta có dˆm (fλ − g)(ξ)(h) ≤ m! sm sup |(fλ − g)(ξ + ζh)| |ζ|=ρ vế phải tiến tới tập {ξ + ζh : |ζ| = ρ} compact Do đó, ta có: dˆm fλ (ξ)(h) → dˆm g(ξ)(h) Từ fλ → f H(K) Từ bổ đề 2.1.2 ta suy dˆm fλ (ξ)(h) → dˆm f (ξ)(h) Định lý 2.1.4 Cho E không gian lồi địa phương khả metric K tập compact E Khi đó, giới hạn quy nạp H(K) = 30 lim ind H ∞ (Kα,s ) giới hạn quy nạp quy nghĩa tập bị U ⊃K chặn H(K) bao hàm bị chặn H ∞ (Kα,s ) Chứng minh Theo mệnh đề 2.1.1 có H(K) giới hạn quy nạp dãy tăng không gian Banach H(K) = lim ind H ∞ (Kαn ,sn ) U ⊃K Bởi theo mệnh đề 1.1.24, cho trước X tập bị chặn H(K), tồn n k cho X bao hàm bao đóng H(K) kBn , Bn kí hiệu hình cầu đơn vị đóng H ∞ (Kαn ,sn ) Theo bổ đề 2.1.3, kBn đóng H(K) Do X ⊂ kBn Đặc trưng tập bị chặn H(K) qua họ nửa chuẩn liên tục không gian này, nghiên cứu lần Hirchowitz [12] [13] Chae [3] Phương pháp họ mô tả họ nửa chuẩn liên tục H(K) sinh tô pô τ1 H(K) xác định ∞ p1 (f ) = sup p n=0 x∈K dm f (x) ; f ∈ H(K) m! p chạy họ nửa chuẩn liên tục H(0) Từ kết trên, chứng tỏ H(K) không gian không khả metric K tập compact không gian lồi địa phương khả metric Để có kết ta cần bổ đề sau Bổ đề 2.1.5 Với α ≤ β s > t, ta có H ∞ (Kα,s ) ⊂ H ∞ (Kβ,t ) = Chứng minh Cố định α, β, s, t với α ≤ β s > t Chắc chắn ta có: Kα,s ⊂ Kβ,t , Kβ,t kí hiệu bao lồi, cân, đóng, Kβ,t Chọn x0 ∈ Kα,s cho x0 ∈ / Kβ,t Theo định lý Hahn- Banach tồn φ ∈ E với φ(x0 ) = 1, |φ(x)| ≤ δ < với x ∈ Kβ,t 31 Ta định nghĩa f ∈ H ∞ (Kβ,t ) ∞ f (x) = = [φ(x)]m − φ(x) m=0 Bởi vì, f không thác triển chỉnh hình tới x0 , nên f ∈ / H ∞ (Kα,s ) Hệ 2.1.6 Cho E không gian lồi địa phương khả metric K tập compact E H(K) không không gian metric Chứng minh Ta viết H(K) = lim ind H ∞ (Kαn ,sn ), n đây, αn ≤ αn+1 sn > sn+1 , với n Theo bổ đề 2.1.5, ta tìm dãy {fn } ⊂ H(K) cho fn ∈ / H ∞ (Kαn ,sn ), fn ∈ H ∞ (Kαn+1 ,sn+1 ) (2.1) Nếu H(K) metric, theo điều kiện tính đếm Mackey ([6],tr 116, mệnh đề 3), ta tìm dãy {λn }, λn > cho {λn fn } bị chặn H(K) Khi đó, theo định lý 2.1.4, ta tìm j cho {λn fn } ⊂ H ∞ (Kαj ,sj ) Từ đó, {fn } ⊂ H ∞ (Kαj ,sj ) Điều mâu thuẫn với (2.1) nên H(K) không không gian metric 2.2 Tính quy Cauchy không gian mầm hàm chỉnh hình Trong phần ta chứng tỏ tính quy H(K) K tập compact không gian lồi địa phương metric E Tuy nhiên, ta chứng minh tính quy Cauchy trường hợp Để có tính quy Cauchy ta cần áp đặt thêm điều kiện (B) E Điều kiện (B) giới thiệu Barroso [8] 32 Cho không gian lồi địa phương E bất kỳ, ta có P (m Eα ), P (m E) = α P (m Eα ) không gian Banach P (m E) trang bị tô pô giới hạn quy nạp P (m E) = lim ind P (m Eα ) α Định nghĩa 2.2.1 Một không gian lồi địa phương E gọi thỏa mãn điều kiện (B) tô pô xác định họ định hướng nửa chuẩn {α} cho với P (m Eα ) có tô pô cảm sinh P (m E), với m ∈ N Bổ đề 2.2.2 Nếu γ ∈ cs[P(m E)], p(f ) = supξ∈K γ[dˆm f (ξ)] xác định nửa chuẩn liên tục H(K) Chứng minh Ta chứng tỏ hạn chế p tới H ∞ (Kα,s ) liên tục Bởi hạn chế γ tới P (m Ea ) liên tục, nên tồn Cα > cho γ(P ) Cα P α; với P ∈ P(m Eα ) Do đó, với f ∈ H ∞ (Kα,s ) ta có p(f ) = sup γ[dˆm f (ξ)] ξ∈K Cα sup dˆm f (ξ) α ξ∈K (Cα m!/sm ) sup | f (x) | x∈Kα,s Bổ đề 2.2.3 Giả sử E thỏa mãn điều kiện (B) Khi đó, với lưới H(K)− Cauchy {fλ } ⊂ H ∞ (Kα,s ) ta có sup ξ∈K dˆm (fλ − f µ)(ξ) α→ 0; với m ∈ N 33 Chứng minh Bởi E thỏa mãn điều kiện (B), nên tồn γ ∈ cs[P(m E)] cho P Do đó, supξ∈K γ(P ), với P ∈ P(m Eα ) α dˆm (fλ − f µ)(ξ) α supξ∈K γ[dˆm (fλ − f µ)(ξ)] Theo bổ đề 2.2.2, vế phải tiến đến nên ta có điều phải chứng minh Bổ đề 2.2.4 Cho E không gian lồi địa phương thỏa mãn điều kiện (B) Giả sử K tập compact E X ⊂ H ∞ (Kα,s ) tập bị chặn Khi đó, lưới H(K)−Cauchy {fλ } nằm X H ∞ (Kα,s )−Cauchy với t < s Chứng minh Bởi X tập bị chặn H ∞ (Kα,s ) nên tồn C > cho sup | fλ (x) |≤ C, x∈Kα,s với λ Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có supξ∈K (1/m!)dˆm fλ (ξ) C/sm , với λ (2.2) α Mặt khác, theo bổ đề 2.2.3, ta có supξ∈K (1/m!)dˆm (fλ − fµ )(ξ) →0 (2.3) α Từ (2.2) ta có ∞ sup (1/m!)dˆm (fλ − fµ )(ξ) sup |(fλ − fµ )(x)| x∈Kα,s m=0 ξ∈K k ≤ ˆm d (fλ − fµ )(ξ) m! sup ξ∈K, với k ∈ N Cho > 0, ta chọn k ∈ N cho ∞ k+1 2C sm ∞ m t = 2C k+1 (t/s)m ≤ tm α ∞ m t + α k+1 2C sm tm , 34 Theo (2.3), ta tìm λ0 cho k sup ξ∈K ˆm d (fλ − fµ )(ξ) m! tm ≤ , với λ, µ ≥ λ0 α Từ sup |(fλ − fµ )(x)| ≤ với λ, µ ≥ λ0 x∈Kα,s Từ định lý 2.1.4 bổ đề trên, ta nhận tính quy Cauchy sau Định lý 2.2.5 Cho E không gian lồi địa phương khả metric thỏa mãn điều kiện (B) cho K tập compact E Khi đó, H(K) = lim ind H ∞ (Kα,s ) giới hạn quy nạp quy Cauchy α,s nghĩa là, cho X tập bị chặn H(K) tồn α ∈ cs(E) s > cho (a) X bị chứa bị chặn H ∞ (Kα,s ) (b) Mọi lưới {fλ } ⊂ X H(K)− Cauchy H ∞ (Kα,s )− Cauchy 2.3 Một số ví dụ phản ví dụ điều kiện (B) Trước trình bày vấn đề này, đưa thêm khái niệm điều kiện (A) Định nghĩa 2.3.1 Một không gian lồi địa phương E gọi thỏa mãn điều kiện (A) tô pô xác định họ định hướng nửa chuẩn {α} cho với α tồn tập bị chặn Bα E mà ảnh lân cận E/α 35 Mối quan hệ điều kiện (A) điều kiện (B) khẳng định mệnh đề Mệnh đề 2.3.2 Cho E không gian lồi địa phương tùy ý, điều kiện (A) kéo theo điều kiện (B) Chứng minh Giả sử E thỏa mãn điều kiện (A) α, m cố định Khi đó, tồn tập bị chặn Bα ⊂ E mà ảnh πα (Bα ) lân cận E/α Ta giả sử sau πα (Bα ) ⊃ {x ∈ E/α; α(x) 1} (2.4) Cho P ∈ P(m Eβ ), ta xác định γ(P ) = sup |P (x)|; x∈Bα với Bα tập bị chặn E Cβ = sup β(x) < ∞ với β Do đó, x∈Bα m với P ∈ P( E) γ(P ) sup P m β [β(x)] x∈Bα = Cβm P β Khi đó, γ nửa chuẩn liên tục P(m E) = lim ind P(m Eβ ) β Cho x ∈ E với α(x) 1, theo (2.4) ta có πα (x) ∈ πα (Bα ) nghĩa πα (x) = πα (y) với y ∈ Bα Do α(x − y) = P (x) = P (y), với P ∈ P(m E) Từ suy P α = sup |P (x)| α(x) sup |P (y)| = γ(P ) y∈Bα Như vậy, P(m Eα ) có tô pô cảm sinh P(m E) Ví dụ 2.3.3 Tích họ tùy ý không gian nửa chuẩn thỏa mãn điều kiện (A) thỏa mãn điều kiện (B) 36 Chứng minh Cho E = γ∈Γ Eγ , Eγ không gian chuẩn sinh nửa chuẩn γ Khi α1 (x) = sup γ(xγ ) (I ⊂ Γ hữu hạn) γ∈I xác định tập định hướng nửa chuẩn sinh tô pô E Nếu B = {x ∈ E : γ(xγ ) 1, với γ ∈ Γ } B tập bị chặn E παt (B) hình cầu đơn vị đóng E/α1 Ví dụ 2.3.4 Cho X không gian tô pô quy đầy E = C(X) không gian tất hàm liên tục X, với tô pô mở compact Khi E thỏa mãn điều kiện (A) thỏa mãn điều kiện (B) Chứng minh Tô pô E xác định họ định hướng nửa chuẩn αk : f → supx∈K |f (x)|, với K tập compact X Cho B = {f ∈ E : |f (x)| 1, với x ∈ X} Khi (B) tập bị chặn E Cố định tập compact K X cho πk : E → E/αk phép chiếu tắc Khi ta có πk (B) ⊃ f ∈ E/αk : αk (f ) K Giả sử U tập mở chứa K với |f | U Bởi X quy đầy nên tồn φ : X → [0, 1] liên tục, Cho f ∈ E với |f | với φ = K φ = U \K Cho g = φ · f g = f K, |g| |f | U g = U \K Vì vậy, αK (f − g) = g ∈ B Do đó, πK (f ) = πK (g) ∈ πK (B) 37 Ví dụ 2.3.5 Cho U tập mở liên thông C n H(U ) trang bị tô pô mở compact Khi đó, H(U ) không gian Fréchet với chuẩn liên tục Bởi H(U ) không khả chuẩn nên H(U ) không thỏa mãn điều kiện (A) điều kiện (B) Chứng minh Giả sử K tập compact U có phần khác rỗng Khi f → sup |f (x)|, x∈K xác định chuẩn liên tục H(U ) Bởi H(U ) không gian Montel nên đối ngẫu mạnh Eβ không gian Montel Do không gian Fréchet 2.4 Tính đầy không gian mầm hàm chỉnh hình Tính đầy không gian mầm hàm chỉnh hình đề xuất lần L.Nachbin [5] Khi E không gian Banach, tính đầy H(K) chứng minh Dineen [4] Sau đó, Dineen chứng tỏ tính đầy H(K) E tích đếm không gian Banach Nhớ lại DF − không gian tựa đầy đầy nên trường hợp không gian metric ta cần nghiên cứu tính đầy tập đóng, bị chặn Để chứng minh tính đầy H(K) ta cần số kết sau Định nghĩa 2.4.1 i) Một phép phân tích không gian véc tơ tô pô E dãy không gian khác rỗng (En )∞ n=1 E cho với x ∈ E ∞ xi , xi ∈ Ei với biểu diễn cách dạng x = i=1 i = 1, 2, 38 ii) Một phép phân tích không gian véc tơ tô pô E gọi Schauder tồn dãy phép chiếu trực giao liên tục (Qn )∞ n=1 ∞ cho Qn (E) = En x = Qn (x) i=1 Ta kí hiệu S tập tất dãy số phức (αn )∞ n=1 cho lim sup |αn |1/n ≤ n→∞ Nếu {En }n phân tích Schauder (E, τ ) ta nói {En }n ∞ phân tích S-Schauder xn ∈ E (αn )∞ n=1 ∈ S kéo theo n=1 ∞ αn x n ∈ n=1 E Phép phân tích phép phân tích S tuyệt đối với p ∈ cs(E) (αn )∞ n=1 ∈ S nửa chuẩn ∞ p˜( ∞ |αn |p(xn ) xn ) = n=1 n=1 liên tục Mệnh đề 2.4.2 Cho U tập mở cân không gian lồi địa phương E τ tô pô lồi địa phương H(U ) cho {P(n E), τ } phép phân tích S tuyệt đối H(U ) Khi H(U ) đầy đủ (P(n E), τ ) đầy đủ Chứng minh Cho (fa )a∈Γ lưới Cauchy (H(U ), τ ) Khi đó, dˆn fα (0) lưới Cauchy (P(n E), τ ) với n n! α∈Γ dˆn fα (0) → Pn ∈ P(n E), α → ∞ với n Cho p nửa chuẩn τ n! ∞ ∞ dˆn f (0) dˆn f (0) liên tục H(U ), giả sử p(f ) = p ∈ với f = n! n! n=0 n=0 H(U ) Khi đó, với ε > ta tìm αo ∈ Γ cho ∞ p n=0 dˆn fα (0) dˆn fβ (0) − n! n! ≤ ε, 39 với α, β ∈ Γ, α ≥ αo , β ≥ αo Do k p n=0 dˆn fα (0) − Pn n! ≤ε với α ≥ αo k nguyên dương Đặc biệt k k p(Pn ) ≤ n=0 p n=0 dˆn fαo (0) n! ∞ + ε với k ∞ p(Pn ) < ∞ Từ kéo theo f = nên n=0 Pn ∈ H(U ) n=0 Cũng với chứng minh ta chứng tỏ ∞ p n=0 dˆn fα (0) − Pn n! ≤ε với α ≥ αo fα → f với α → ∞ Định lý chứng minh Mệnh đề 2.4.3 Cho E không gian lồi địa phương metric n số nguyên dương Khi đó, P(n E) tô pô τω tô pô thùng liên kết với τ0 Nghĩa τω = τ0,t Chứng minh (P(n E), τω ) DF -không gian bornological với hệ tập bị chặn Bm = {P ∈ P(n E) : ||P ||Vm ≤ 1} , Vm hệ lân cận E gồm tập cân, lồi, đóng Theo ([4], hệ 3.38) Bm tập compact (P(n E), τ0 ) Bởi τω tô pô thùng nên τω ≥ τ0,t Từ suy τω = τ0,t Hệ 2.4.4 Nếu E không gian lồi địa phương khả metric (P(n E), τω ) không gian lồi địa phương đầy với số nguyên dương n 40 Chứng minh Theo ([4], mệnh đề 3.5) không gian (P(n E), τ0 ) đầy nên P(n E) trang bị tô pô thùng liên kết đầy Áp dụng mệnh đề ta nhận điều phải chứng minh Định lý 2.4.5 Nếu K tập compact cân không gian lồi địa phương khả metric E H(K) không gian lồi địa phương đầy Chứng minh Theo hệ 2.4.3 không gian (P(n E), τω ) đầy với n Nếu dãy (Pn )∞ n=0 dãy đa thức cho ∞ n=0 p (Pn ) < ∞ với nửa chuẩn p H(K), dãy (Pn )∞ n=0 bị chặn H(K) Bởi H(K) giới hạn quy nạp quy nên tồn lân cận V K λ > cho sup ||Pn ||λV = M < ∞ n Do ∞ ∞ ||Pn ||V ≤ M n=0 n=0 < ∞, λn ∞ Pn ∈ H(K) Từ mệnh đề 2.4.1 ta nhận tính đầy H(K) n=0 KẾT LUẬN Luận văn đóng góp số kết sau 1) Hệ thống hóa số kiến thức hàm chỉnh hình không gian mầm hàm chỉnh hình H(K) 2) Trình bày tính quy tính quy Cauchy H(K) K tập compact không gian lồi địa phương khả metric 3) Trình bày tính đầy H(K) K tập compact cân không gian lồi địa phương khả metric 4) Đưa số ví dụ, phản ví dụ điều kiện (B) đảm bảo cho tính quy Cauchy tính đầy không gian mầm hàm chỉnh hình Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Anh [1] A Baerstein II (1971), "Representation of holomorphic functions by boundary intergrals", Trans Amer Math Soc, (160), 27-37 [2] C Bănică and O Stăcsilă (1976), Algebraic Methods in the global of complex spaces, John Wiley, London - NewYork - Sydney - Toronto [3] S B Chae (1971), "Holomorphic germs on Banach spaces", Ann Inst Fourier Grenoble, (21), 107-141 [4] S Dineen (1971), "Holomorphy types on a Banach space", Studia Math, (39), 241-288 [5] L Nachbin (1967), "On the topology of the space of all holomophic functions on a given open subset", Indag Math,(29), 366-368 [6] H H Schaefer (1971), Topological Vector Spaces, Springer-Verlag, Berlin and NewYork [7] Y T Siu (1969), " Noetherianness of rings of holomorphic function on Stein compact subsets", Prc Amer Math Soc, (21), 483-489 [B] Tài liệu tiếng Pháp [8] J A Barroso (1971), "Topologias nos espacos de aplicacoes holomorfas entre espacos localmente convexos", Anais Acad Brasil Ciencias, (43), 527-546 [9] S B Chae (1970), "Sur les espaces localement convexes de germes holomorphes", C R Acad Sci Paris,, (271), 990-991 43 [10] A Grothendieck (1955), Produits tensoriels topologiques et spaces nucléaires, Amer Math Soc, Providence, Rhode Island, (16) [11] A Grothendieck (1958), Espaces vectoriels topologiques, 2nd ed, Soc Mat Sao Paulo [12] A Hirschowitz (1971), "Bornologie des espaces de fonctions analytiques en dimension infinie", Seminaire Pierre Lelong 1969/70, (205), 21-33 [13] A Hirschowitz (1972), "Prolongement analytiques en dimension infinie", Ann.Inst.Fourier, (22), 255-292 [14] A Martineau (1963), "Sur les fonctionnelles analytiques et la transformation de Fourier- Borel", J Anal Math, (11), 1-164 [15] A Martineau (1966), "Sur la topologie des espaces de fonctions holomorphes", Math Ann, (163), 62-68 [16] Ph Noverraz (1973), Pseudo-convexité, convexité polinomiale et domains d’holomorphie en dimension infinie, North-Holland Publ, Amsterdam