Cấu trúc (DN) và (DNφ) của đối ngẫu của không gian mầm các hàm chỉnh hình

LỜI CẢM ƠN Tác giả xin trân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng sau đại học; các Giáo sư, Tiến sĩ cùng toàn thể các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, đã động viên giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình học tập, thực hiện đề tài và nghiên cứu khoa học. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào đã định hướng chọn đề tài và tận tình chỉ bảo giúp đỡ em hoàn thành Luận văn này. Tác giả xin trân thành cảm ơn UBND tỉnh Vĩnh Phúc, Sở GD - ĐT tỉnh Vĩnh Phúc, BGH trường THPT Ngô Gia Tự huyện Lập Thạch tỉnh Vĩnh Phúc đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và hoàn thành luận văn. Do thời gian và kiến thức có hạn nên Luận văn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót nhất định.Tác giả xin chân thành cảm ơn đã nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên. Hà Nội, ngày 25 tháng 05 năm 2011 Tác giả Phạm Quốc Huy LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận văn tốt nghiệp “Cấu trúc (DN) và (DN ϕ ) của đối ngẫu của không gian mầm các hàm chỉnh hình” được hoàn thành bởi sự nhận thức của chính bản thân tác giả và không trùng với bất kỳ luận văn nào khác. Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, ngày 25 tháng 05 năm 2011 Tác giả Phạm Quốc Huy Mục lục MỞ ĐẦU 1 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1. Không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Đối ngẫu và tô pô yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Pôla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Tích tensor của các không gian lồi địa phương . . . . . . 16 1.4.1. Tích tensor xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5. Đa thức trên không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . 18 1.6. Ánh xạ chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.7. Tô pô trên không gian các ánh xạ chỉnh hình . . . . . . . 28 1.8. không gian mầm các hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . 30 2 CẤU TRÚC (D ¯¯ N ¯ ) CỦA ĐỐI NGẪU CỦA KHÔNG GIAN MẦM CÁC HÀM CHỈNH HÌNH 33 2.1. Khái niệm về bất biến tô pô tuyến tính (D ¯¯ N ¯ ) . . . . . . 34 2.1.1. Lưu ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2. Một số điều kiện tương đương . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ii iii 2.3.1. Không gian dãy K¨othe . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.2. Không gian các dãy giảm nhanh . . . . . . . . . . 46 2.3.3. Không gian các chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . 46 2.4. Cấu trúc (D ¯¯ N ¯ ) của không gian [H(O E )] ∗ . . . . . . . . . 47 2.5. Cấu trúc (D ¯¯ N ¯ ) của không gian [H(K)] ∗ . . . . . . . . . . 51 3 CẤU TRÚC (DN ϕ ) CỦA ĐỐI NGẪU CỦA KHÔNG GIAN MẦM CÁC HÀM CHỈNH HÌNH 55 3.1. Một số khái niệm và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2. Cấu trúc (DN ϕ ) của không gian [H(O E )] ∗ . . . . . . . . 56 3.3. Cấu trúc (DN ϕ ) của không gian [H(K)] ∗ . . . . . . . . 57 KẾT LUẬN 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Từ kết quả của Mujica [10], không gian mầm H(K) là chính quy, với tập compact K trong không gian Frechet E. Từ đó, ta suy ra rằng [H(K)] ∗ là một không gian Frechet. Không gian Frechet là một trường hợp điển hình của không gian lồi địa phương khả metric đầy với nhiều tính chất đặc trưng của giải tích phức vô hạn chiều. Việc nghiên cứu sâu về lớp không gian này có được nhờ vào các tính chất tô pô đặc trưng của nó. Các bất biến tô pô tuyến tính đã được đề xuất từ những năm 1980 và đến nay đã trở thành một hướng nghiên cứu được nhiều nhà Toán học quan tâm. Các bất biến tô pô tuyến tính đem lại những đặc trưng đẹp đẽ cho lớp không gian Frechet. Những kết quả đạt được về sự phân loại lớp các không gian này cũng đem lại nhiều áp dụng cho nhiều lĩnh vực của Toán học giải tích. Cấu trúc của không gian [H(K)] ∗ cũng đã được một số tác giả quan tâm nghiên cứu. Chẳng hạn, khi E = C n , Zaharjuta [16] đã chứng tỏ rằng [H(K)] ∗ có tính chất  Ω  khi và chỉ khi K là tập compact và L - chính quy. Kết quả của Meise -Vogt [9] về cấu trúc loại (Ω) đối với các không gian mầm các hàm chỉnh hình xác định trên các không gian Frechet hạch, đã được P. T. Danh – N. V. Khuê [3] mở rộng tới trường hợp đối với không gian Frechet. Các cấu trúc loại  Ω  và   Ω  của lớp không gian này cũng đã được N. V. Đông [6] nghiên cứu. Một số đặc trưng đối với cấu trúc (LB ∞ ), (DN) và   Ω  của lớp không gian mầm cũng thu được bởi L. M. Hải – P. H. Bằng [7]. Được sự định hướng của người hướng dẫn em chọn đề tài “CẤU TRÚC (DN) VÀ (DN ϕ ) CỦA ĐỐI NGẪU CỦA KHÔNG GIAN MẦM CÁC HÀM CHỈNH HÌNH” 2 Bố cục của luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo được trình bày trong ba chương. Chương 1. Chương này được bắt đầu bằng việc giới thiệu một số các khái niệm và đưa ra một số kết quả quan trọng về không gian lồi địa phương; các khái niệm về cặp đối ngẫu tô pô pôla; tích tensor; đa thức trên không gian lồi địa phương và một số khái niệm về ánh xạ chỉnh hình và tô pô trên không gian các ánh xạ chỉnh hình. Chương 2. Trình bày khái niệm về bất biến tô pô (DN) , đưa ra một số điều kiện tương đương và ví dụ về bất biến tô pô tuyến tính (DN) . Trình bày hai kết quả về cấu trúc (DN) của đối ngẫu của không gian mầm hàm chỉnh hình. Chương 3. Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm về bất biến tô pô tuyến tính (DN ϕ ) trên không gian Frechet. Hai kết quả chính trong chương này là để không gian [H(O E )] ∗ có tính chất (DN ϕ ) thì E là một không gian Frechet tiệm cận chuẩn có cơ sở tuyệt đối; đối với đối ngẫu của không gian mầm của các hàm chỉnh hình [H(K)] ∗ có tính chất (DN ϕ ) thì K phải là tập compact cân trong không gian Frechet Hilbert tiệm cận chuẩn. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu về cấu trúc (DN) và (DN ϕ ) của đối ngẫu của không gian mầm các hàm chỉnh hình. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về bất biến tô pô tuyến tính (DN), (DN ϕ ) trên không gian Frechet. Nghiên cứu cấu trúc (DN) và (DN ϕ ) của không gian [H(O E )] ∗ và không gian [H(K)] ∗ . 4. Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu. 3 Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 5. Dự kiến đóng góp luận văn Trình bày một cách hệ thống về bất biến tô pô tuyến tính trên lớp không gian Frechet cùng các điều kiện tương đương của nó thông qua hệ cơ sở lân cận hệ đếm được các nửa chuẩn xác định tô pô của nó. Đưa ra một số điều kiện tương đương của các tập compact K trong không gian Frechet E để từ đó xác định cấu trúc (DN) và (DN ϕ ) của các không gian Frechet [H(O E )] ∗ và [H(K)] ∗ . Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian lồi địa phương Định nghĩa 1.1.1. Cho E là một không gian véc tơ và A là một tập con của E i) Tập A được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ A ta có λx+ (1 −λ)y ∈ A, trong đó λ ≥ 0, ii) Tập A được gọi là cân nếu với mọi x ∈ A ta có λx ∈ A khi |λ| ≤ 1. iii) Tập A được gọi là lồi tuyệt đối nếu nó đồng thời lồi và cân. iv) Tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn n  i=1 λ i x i với λ i ≥ 0, n  i=1 λ i = 1, x i ∈ A là một tập lồi chứa A và được gọi là bao lồi của A. v) Bao tuyệt đối lồi của A là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn n  i=1 λ i x i với λ i ≥ 0, n  i=1 λ i ≤ 1 và với mọi x i ∈ A (là tập tuyệt đối lồi nhỏ nhất chứa A.) vi) Tập A được gọi là hút nếu với mọi x ∈ A, tồn tại λ > 0 sao cho x ∈ µA với mọi µ mà |µ| ≥ λ Định nghĩa 1.1.2. Một không gian véc tơ có một cơ sở gồm những lân cận cân lồi của điểm gốc được gọi là không gian véc tơ lồi địa phương 4 5 (không gian lồi địa phương) và tô pô của nó gọi là tô pô lồi địa phương. Định nghĩa 1.1.3. a) Giả sử E là một không gian véc tơ tô pô lồi địa phương trên K (K = C hoặc K = R). Một hàm p xác định trên E có giá trị thực và không âm (hữu hạn) được gọi là nửa chuẩn nếu với mọi x, y ∈ E và λ ∈ K ta có +) p(x) ≥ 0. +) p (λx) = |λ|.p (x) . +) p (x + y) ≤ p (x) + p (y) . b) Một nửa chuẩn p tương đương với tập hợp tuyệt đối lồi và hút A được gọi là hàm cỡ của tập A. Mệnh đề 1.1.1. Trong một không gian lồi địa phương E, một nửa chuẩn, p là liên tục khi và chỉ khi nó liên tục tại điểm gốc. Chứng minh. Nếu p liên tục tại điểm gốc và ε > 0 là một số cho trước thì tồn tại một lân cận V sao cho p (x) < ε khi x ∈ V. Do đó, với a một điểm tuỳ ý của E, ta có |p (x) − p (a)| ≤ p (x − a) < ε khi x ∈ a + V.  Định nghĩa 1.1.4. Không gian véc tơ E được gọi là khả định chuẩn nếu tô pô của nó có thể xác định được bởi một chuẩn p. Mệnh đề 1.1.2. Không gian lồi địa phương E là khả metric khi và chỉ khi nó là tách và có một cơ sở lân cận của điểm gốc đếm được. Tô pô của một không gian khả metric luôn có thể xác định được bởi một metric, bất biến đối với các phép tịnh tiến. Chứng minh. Nếu E là khả metric thì dĩ nhiên nó là tách và có một cơ sở đếm được những lân cận của điểm gốc. Ngược lại, giả sử E có một cơ sở lân cận đếm được. Khi đó, bởi vì mỗi lân cận đều chứa một lân cận tuyệt đối lồi, nên tồn tại một cơ sở (u n ) những lân cận tuyệt đối lồi. Gọi p n là hàm cỡ của u n . 6 Đặt f (x) = ∞  n=1 2 −n inf {p n (x) , 1}. Thế thì f (x + y) ≤ f (x) + f (y) , f (−x) = f (x) . Hơn nữa bởi vì E là tách nên nếu f (x) = 0 thì p n (x) = 0, với mọi n và x = 0. Đặt d (x, y) = f (x − y) thì d là một metric và d (x + z, y + z) = d (x, y) Như vậy d là bất biến đối với các phép tịnh tiến. Trong tô pô metric, các tập hợp V n =  x : f (x) < 2 −n  lập thành một cơ sở lân cận. Nhưng V n là mở đối với tô pô xuất phát bởi mỗi p n và cả f liên tục. Hơn nữa V n ⊂ U n , bởi vì nếu x /∈ U n thì p n (x) ≥ 1, vậy f (x) ≥ 2 −n . Thành thử d xác định một tô pô xuất phát của E.  Định nghĩa 1.1.5. Một phiếm hàm dưới tuyến tính ϕ (x) (trong không gian thực hay phức) là một sơ chuẩn nếu ϕ (αx) = |α|ϕ (x) với mọi x ∈ X và mọi số α ∈ K. Mệnh đề 1.1.3. Một hàm p : X → R là sơ chuẩn khi và chỉ khi nó là hàm cỡ của một tập lồi, cân, hút; nó là một sơ chuẩn khi và chỉ khi nó là một hàm cỡ của một tập lồi, cân, hút và không chứa trọn một đường thẳng nào. Chứng minh. Nếu B là một tập lồi, cân, hút thì hàm cỡ p B của nó nghiệm đúng đẳng thức p B (−x) = p B (x) . Do đó p B (αx) = −αp B (−x) , với mọi α < 0. [...]... là không gian đếm được chuẩn b) Một không gian đếm được chuẩn và đủ gọi là không gian Frechet Như vậy mọi không gian Banach (Không gian định chuẩn đủ) đều là không gian Frechet c) Một tập lồi, cân đối, đóng và hấp thu trong một không gian lồi địa phương gọi là một thùng Một không gian lồi địa phương trong đó mọi thùng đều là lân cận của điểm gốc gọi là không gian thùng với mọi không gian Frechet là không. .. 1 A và do đó ta có λ = 1 1+ λ n P β,A Không gian véc tơ của tất cả các đa thức n thuần nhất liên tục từ không gian lồi địa phương E vào không gian lồi địa phương F được ký hiệu bởi P (n E; F ) Không gian véc tơ tất cả các đa thức liên tục từ không gian lồi địa phương E vào không gian lồi địa phương F được ký hiệu bởi P (E; F ) Mệnh đề 1.5.1 Cho E và F là hai không gian lồi địa phương trên C và P... xạ chỉnh hình và ánh xạ bị chặn địa phương được phản ánh trong kết quả sau Mệnh đề 1.6.1 [17] Giả sử f là ánh xạ từ tập con mở U trong không gian lồi địa phương E vào không gian lồi địa phương F Khi đó các điều kiện sau là tương đương i) f là chỉnh hình ii) f là G - chỉnh hình và liên tục iii) f là G - chỉnh hình và bị chặn địa phương 26 Bổ đề 1.6.1 Giả sử E và F là các không gian lồi địa phương và. .. trong không gian lồi địa phương F được gọi là Gateaux chỉnh hình hoặc G chỉnh hình nếu với mỗi a ∈ U, b ∈ E và φ ∈ F thì hàm một biến phức f : λ → φ ◦ f (a + λb) chỉnh hình trong một lân cận nào đó của điểm 0 Ta ký hiệu HG (E, F ) là tập tất cả các hàm G chỉnh hình từ E vào F Định lý Hartogs trong trường hợp nhiều chiều nói rằng các hàm chỉnh 25 hình tách trên U × V với U ⊂ Cn , V ⊂ Cm là chỉnh hình Do... chất đối ngẫu đại số của nó là không gian các dạng song tuyến tính trên E × F Mệnh đề 1.4.1 [1] Giả sử E, F, G là các không gian trên véc tơ trên trường K và ϕ là ánh xạ chính tắc từ E × F vào E ⊗ F Khi đó mỗi ánh xạ tuyến tính f : E ⊗ F → G tương ứng với ánh xạ song tuyến tính f ◦ ϕ : E × F → G Tương ứng đó xác định một đẳng cấu của không gian véc tơ các ánh xạ tuyến tính của E ⊗ F vào G lên không gian. .. cả các tập con compact của U và β chạy trên tất cả các nửa chuẩn liên tục trên F 29 Ta ký hiệu τ0 là tô pô mở compact trên không gian các ánh xạ chỉnh hình Tô pô τ0 là tô pô tự nhiên nhất được xét trên không gian các hàm chỉnh hình H(U, F ) Tuy nhiên, tô pô ấy không có được các tính chất mong muốn và vì lý do đó người ta đã đề xuất tô pô τδ Định nghĩa 1.7.2 Giả sử U là tập con mở trong không gian. .. đó, ánh xạ f :U ⊂E→F là G chỉnh hình nếu và chỉ nếu φ ◦ f |U ∩H là hàm nhiều biến chỉnh hình với mỗi φ ∈ F và không gian con hữu hạn chiều H trong E Từ đó suy ra ta có thể sử dụng các kết quả trong trường hợp nhiều chiều như: khai triển chuỗi Taylor, phương trình Cauchy-Riemann, đối với các ánh xạ G chỉnh hình Định nghĩa 1.6.3 Giả sử E và F là các không gian lồi địa phương và U là tập con mở hữu hạn... chỉnh hình nếu nó G chỉnh hình và với mỗi ξ ∈ U thì hàm ∞ dm f (ξ) (y) y→ m! m=0 hội tụ và xác định một hàm liên tục trong một lân cận của điểm gốc Tập các ánh xạ chỉnh hình từ U vào F được ký hiệu là H (U, F ) Định nghĩa 1.6.4 Một ánh xạ f từ tập con mở U trong không gian lồi địa phương E vào không gian lồi địa phương F được gọi là bị chặn địa phương nếu với mọi ξ ∈ U thì tồn tại một lân cận Vξ của. .. cặp đối ngẫu thì dạng (u, x) → x, u xác định cặp đối ngẫu F, E Ví dụ 1.2.2 Giả sử E là không gian véc tơ và E ∗ là đối ngẫu đại số của nó Khi đó dạng (x, u) → u (x) , x ∈ E, u ∈ E ∗ xác định cặp đối ngẫu E, E ∗ 12 Ví dụ 1.2.3 Giả sử E là không gian lồi địa phương Hausdorff với đối ngẫu tô pô E Khi đó dạng (x, u) → u (x) , x ∈ E, u ∈ E cho ta cặp đối ngẫu E, E Định nghĩa 1.2.2 Giả sử E, F là cặp đối. .. tuyến tính f của E ⊗ F với tô pô ấy vào không gian lồi địa phương G là liên tục khi và chỉ khi ánh xạ song tuyến tính f ◦ ϕ của E × F vào G là liên tục Mệnh đề 1.4.3 [1] Nếu E và F là các không gian lồi địa phương Hausdorff thì E ⊗ F cũng là không gian lồi địa phương Hausdorff π Mệnh đề 1.4.4 [1] Giả sử E và F là hai không gian lồi địa phương ˆ khả metric, khi đó E ⊗ F là không gian Frechet và với mỗi . (D ¯¯ N ¯ ) của không gian [H(O E )] ∗ . . . . . . . . . 47 2.5. Cấu trúc (D ¯¯ N ¯ ) của không gian [H(K)] ∗ . . . . . . . . . . 51 3 CẤU TRÚC (DN ϕ ) CỦA ĐỐI NGẪU CỦA KHÔNG GIAN MẦM CÁC HÀM CHỈNH HÌNH. chỉnh hình . . . . . . . 28 1.8. không gian mầm các hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . 30 2 CẤU TRÚC (D ¯¯ N ¯ ) CỦA ĐỐI NGẪU CỦA KHÔNG GIAN MẦM CÁC HÀM CHỈNH HÌNH 33 2.1. Khái niệm về bất biến. lớp không gian mầm cũng thu được bởi L. M. Hải – P. H. Bằng [7]. Được sự định hướng của người hướng dẫn em chọn đề tài “CẤU TRÚC (DN) VÀ (DN ϕ ) CỦA ĐỐI NGẪU CỦA KHÔNG GIAN MẦM CÁC HÀM CHỈNH HÌNH” 2 Bố