Sự suy biến của đường cong chỉnh hình và các mặt hyperbolic p adic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trịnh Anh Tuấn SỰ SUY BIẾN CỦA ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VÀ CÁC SIÊU MẶT HYPERBOLIC P-ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trịnh Anh Tuấn SỰ SUY BIẾN CỦA ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VÀ CÁC SIÊU MẶT HYPERBOLIC P-ADIC Chuyên ngành : Hình học tơpơ Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN TRỌNG HỊA Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 LỜI CAM ĐOAN  Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi sở cơng trình GS.TSKH Hà Huy Khối Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực xác Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2012 Trịnh Anh Tuấn LỜI CẢM ƠN  Tôi vô biết ơn Tiến sĩ NGUYỄN TRỌNG HỊA định hướng tơi nghiên cứu suy biến đường cong chỉnh hình siêu mặt hyperbolic p-adic, vấn đề quan tâm ứng dụng nhiều lĩnh vực Tốn học; thầy người trực tiếp hướng dẫn thực luận văn Tôi gửi lời tri ân đến thầy cô giáo khoa Tốn – Tin hướng dẫn tơi nghiên cứu Toán học năm học trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh gia đình bạn bè chia sẻ động viên q trình tơi thực đề tài Một lần xin chân thành cảm ơn! Trịnh Anh Tuấn MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN .1 LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU NHỮNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN NỘI DUNG .9 Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Trường số phức p-adic: 1.2 Hàm chỉnh hình hàm phân hình trường số phức p-adic: 15 1.3 Độ cao hàm chỉnh hình đường cong chỉnh hình 1.4 Đường cong chỉnh hình n ( p n ( p ) 25 ) Định lý thứ thứ hai đường cong chỉnh hình: 32 1.5 Không gian hyperbolic, siêu mặt hyperbolic: 41 Chương 2: Sự suy biến đường cong chỉnh hình siêu mặt hyperbolic p-adic .45 2.1 Sự suy biến đường cong chỉnh hình 2.2 Các siêu mặt hyperbolic n   : .45 p   : 51 p KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .58 TÀI LIỆU THAM KHẢO .59 MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Một đường cong chỉnh hình đa tạp xạ ảnh X gọi suy biến chứa tập đại số thật X Vào năm 1979, M Green Ph Griffiths đoán đa tạp xạ ảnh phức dạng tổng quát, đường cong chỉnh hình suy biến Cho tới bây giờ, điều đoán chưa chứng minh hoàn toàn, nhiên có số bước tiến quan trọng Chẳng hạn, M Green chứng minh suy biến đường cong khả tích đa tạp Fermat với số chiều lớn Để có kết này, M Green sử dụng định lý Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình Và A M Nadel họ siêu phẳng xạ ảnh mà điều đốn Bằng cách sử dụng kết suy biến đường cong chỉnh hình, Nadel xây dựng số ví dụ chi tiết siêu mặt hyperbolic Các kỹ thuật Nadel dựa định lý Siu liên thơng phân hình Trong trường p-adic, suy biến đường cong chỉnh hình đa tạp Fermat có số chiều lớn trình bày chi tiết tài liệu tham khảo [2] Và viết [1], Hà Huy Khoái chứng minh “Nếu X nhiễu đa tạp Fermat n   có số chiều đủ lớn n với số hệ số khác p phương trình định nghĩa f  z  , đường cong chỉnh hình X suy biến” Chứng minh điều cung cấp đầy đủ thông tin xác vị trí đường cong X, thông tin hữu dụng cho ứng dụng sau Và hệ việc chứng minh này, Hà Huy Khoái đưa số ví dụ cụ thể mặt hyperbolic p-adic cong   đường p   với phần bù hyperbolic Bên cạnh cịn có ví dụ cụ p thể mặt hyperbolic với phần bù hyperbolic Nhắc lại, đa tạp X gọi hyperbolic p-adic ánh xạ chỉnh hình từ p vào X ánh xạ Các ví dụ khác với ví dụ tài liệu [2] (được cho cách sử dụng định lý Nevanlinna – Cartan p-adic) Trong số chiều mặt [2] chia số nguyên lớn 1, số chiều cho tốt tất ví dụ phổ biến mặt hyperbolic phức, số chiều d ví dụ viết [1] yêu cầu không nhỏ 50 cho mặt hyperbolic với phần bù hyperbolic Như [2], công cụ chủ yếu [1] hàm độ cao trình bày [2], [5], [6] [7] Hàm có vai trị tương tự đa thức đặc trưng Nevanlinna chứng minh Green Hơn nữa, độ cao hàm chỉnh hình p-adic f  z  cung cấp thông tin mật độ không điểm f điểm mơ tả cấp tăng f  z  Trong nhiều trường hợp, ta sử dụng độ cao để nghiên cứu hàm chỉnh hình p-adic tương tự sử dụng số chiều nghiên cứu đa thức phức Việc nghiên cứu tính suy biến đường cong chỉnh hình siêu mặt không gian xạ ảnh nhiều chiều vấn đề thời nhiều nhà toán học giới quan tâm Vì vậy, chúng tơi chọn việc nghiên cứu Sự suy biến đường cong chỉnh hình siêu mặt hyperbolic khơng gian xạ ảnh phức p-adic làm đề tài Ở đây, giới hạn nghiên cứu suy biến đường cong chỉnh hình khơng gian xạ ảnh ( p n ( p ) siêu mặt hyperbolic ) cơng bố cơng trình Hà Huy Khoái, W Cherry, K Masuda, J Noguchi A Nadel từ 1996 đến nay, sở đó, xây dựng ví dụ minh chứng lớp siêu mặt cụ thể MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu Sự suy biến đường cong chỉnh hình siêu mặt Hyperbolic khơng gian xạ ảnh ( p n ( p ) ) ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Đường cong chỉnh hình khơng gian xạ ảnh phức p-adic n chiều - Các siêu mặt hyperbolic p-adic Hà Huy Khoái, W Cherry, K Masuda, J Noguchi A Nadel - Cụ thể hóa kết số trường hợp đặc biệt PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Tổng hợp hồn thiện kết có từ báo, tài liệu khoa học có liên quan đến vấn đề cần nghiên cứu Đưa ví dụ minh họa cho kết trình bày Sử dụng phương pháp Nevanlinna p-adic CẤU TRÚC LUẬN VĂN Chương I: MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ Trường số phức p-adic Hàm chỉnh hình hàm phân hình trường số phức p-adic Độ cao hàm chỉnh hình đường cong chỉnh hình n ( p ) Đường cong chỉnh hình n ( p ) Định lý thứ thứ hai đường cong chỉnh hình Khơng gian hyperbolic, siêu mặt hyperbolic Chương 2: SỰ SUY BIẾN CỦA ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VÀ SIÊU MẶT HYPERBOLIC P-ADIC Sự suy biến đường cong chỉnh hình Các siêu mặt hyperbolic ( p ) n ( p ) NHỮNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN  trường; O   0,1  x   x  1 ;   A r    f  z  lim an r n  ;   A ( r    f  z  bán kính hội tụ   r ; A    A    tập hàm nguyên  ; f  đạo hàm bậc hàm f ; R  D  tập hàm hữu tỉ h khơng có cực điểm tập D ; H  D  đầy đủ hóa R  D  theo tôpô sinh chuẩn hội tụ D ; Hol  D  tập hàm giải tích địa phương D ; M  D  tập hàm phân hình D ; H  D  tập hàm giải tích D ; g  M   0;      g , h  A p   , h   ; h  M p    M   0;    ; M  tập hàm phân hình ; O 1 đại lượng giới nội; log hàm số logarit số e (log : ln) 46 M f M f k  Qk , f f nk1  k đó Qk hàm chỉnh hình n 1 h  Qk , t   k  h  f i , t   kt , i 1 với t đủ nhỏ Chứng minh: Ta chứng minh quy nạp theo k Với k  hiển nhiên Giả sử mệnh đề với k Để đơn giản ta đặt:   f1 f n1 Khi ta có: n 1 h  , t    h  fi , t  1 i 1 Theo giả thiết quy nạp ta có: M f k   Qk M  f k Khi đó: M  k 1 f M f  Qk 1  k 1 , Qk 1  Qk   Qk f   kQk   M f M 47 Chú ý hàm f  có cực điểm không điểm M f M f1 , , f n1 Do đó, hàm  f  chỉnh hình Suy Qk 1 hàm chỉnh hình M f M Mặt khác, từ Bổ đề 1.3.3 1.3.4 ta có:    h  , t   h Q  , t , k   h  Qk 1 , t   h  , t   h  Qk , t   h  M  v  k   h  Qk , t   h  , t     f  , t  h  M    f , t  ,    Khi đó, từ Bổ đề 1.3.2 ta có:  h  , t   h  Qk , t   t , h  , t   h  Qk , t   t ,   h  Qk 1 , t       v  k   h  Qk , t   h  , t   t   h  , t   h  Qk , t   t  2 Từ (1) (2) suy mệnh đề k  Vậy theo quy nạp ta có điều cần chứng minh Bổ đề 2.1.2 Gọi X nhiễu siêu phẳng Fermat số chiều d f đường cong chỉnh hình X Giả sử: d  n  1 s  1 s   Nếu M j f , j  1, , s  1 độc lập tuyến tính f ánh xạ Chứng minh: Để đơn giản, ta đặt: g j  z  cjM j f  z cs M s f , j  1, , s  n   p 48 Khi hàm phân hình g1 , , g s 1 thỏa: g1   g s 1  1 Ta chứng minh g1 , , g s 1 phụ thuộc tuyến tính Để chứng minh điều ta sử dụng kĩ thuật Wronski Nevanlinna: Ta có định thức Wronski logarit sau:    g1  g Ls  g       s 2  g1  g1 g 2 g2 g 2 g2 s 2   g s 1  g s 1  ,  s 2  g s 1   g s 1  Và Li  Li  g1 , , g s 1  xác định bởi: 1  0  L1  L1  g1 , , g s 1      0  g 2 g2 g 2 g2   g s 1  g s 1  ,  s 2  g s 1   g s 1  s 2 tương tự với i  2, , s  cột 1,0, ,0 cột thứ i Nếu  M1 g1, , gs1 độc lập tuyến tính ánh xạ xạ ảnh f , , M s f  L   L1 , L2 , , Ls  trùng Áp dụng Bổ đề 2.1.1 cho định thức Cụ thể, hạng tử thứ khai triển L1  g  viết dạng: Q1 Qs 2 R   s 1 s 2 s 2    49 Với   s 1 s 2 mẫu thức chung tất hạng tử khai triển định thức Li  g  Do ta có  M1 f , , M s f    L1 , , Ls    R1 , , Rs  , đó, theo Bổ đề 2.1.1, R j hàm chỉnh hình thỏa điều kiện sau (với t đủ nhỏ): s 2 h  R j , t    h  Qk , t  k 1 s2   h  , t   t   k k 1   s  1 s   h  , t   s  1 s   t     n  1 s  1 s   h 2  f ,t    s  1 s   t Do M1 f , , M s f khơng có chung khơng điểm nên từ Bổ đề 1.3.6 ta có: h  M j f , t   h  R j , t   1 1 j s j   n  1 s  1 s   h  f ,t    s  1 s   t   Do X nhiễu siêu phẳng Fermat số chiều d nên ta có: h  M j f , t   d h  f j , t   dh  f , t  1 j  n 1 1 j  n 1  3 Lại có: n 1 h  M j f , t    jk h  f k , t   dh  f , t  k 1 Từ đó, ta được: dh  f , t   Khi d   n  1 s  1 s   h  f ,t    s  1 s   t    n  1 s  1 s   ta có điều vơ lý t    4 50 Khi d   n  1 s  1 s   , từ (4) ta có: h  f , t    Nt  1 , N số dương Do đó, từ Bổ đề 1.3.4 ta có f ánh xạ Vậy Bổ đề 2.1.2 chứng minh Định lý 2.1.3 Cho X nhiễu siêu mặt Fermat số chiều d n   p gọi f đường cong chỉnh hình X Nếu d  n  1 s  1 s   ảnh f nằm tập thực X Nếu tồn fi  f suy biến, ta giả sử fi  0, i Chứng minh : Từ Bổ đề 2.1.2, ảnh f nằm tập thật X , với X xác định phương trình: a1 z1d  a2 z2d   an1znd1  an1M n2   as 1M s 1  , tồn a j  Ghi 2.1.1 Khơng có kết tương tự trường số phức 51 2.2 Các siêu mặt hyperbolic  : p Trong phần này, ta áp dụng Định lý 2.1.3 để đưa số ví dụ chi tiết mặt hyperbolic   p ví dụ đường cong   với phần bù hyperbolic ví dụ siêu mặt hyperbolic với phần p bù hyperbolic chúng Khơng tính tổng qt, ta giả sử phương trình X hệ số ci  1, i  1, , n  Sau trình bày phương pháp xây dựng siêu phẳng hyperbolic, trước tiên, ta nhắc lại kết sau: Bổ đề 2.2.1 Gọi f   f1 , , f n1  X siêu mặt Fermat số chiều d đường cong chỉnh hình X n  , p Giả sử fi  0, i  1, , n  Nếu d  n2  hoặc f đường cong hoặc tồn phân hoạch tập số 1, , n  1  I cho I chứa phần tử, i, j  I fi  f j số điểm (nếu n  tồn lớp) Định lý 2.2.2 Gọi X mặt   có phương trình: p X : z1d  z2d  z3d  z4d  cz11 z22 z33 z44  đó c  0,  i 1 i X hyperbolic 1  d , có i   j  1, j  i, j  1, 2,3, Khi đó, d  24 Chứng minh: Gọi f   f1 , f , f3 , f  : p  X đường cong chỉnh hình X 52 Giả sử tồn i cho fi  , chẳng hạn f  Nếu   ánh xạ  f1, f , f3  từ p vào   có ảnh nằm đường cong xạ ảnh giống p dương Từ Định lý Berkovich (xem [12]),  f1, f , f3  ánh xạ Kết hợp với 1 ta suy f ánh xạ Hiển nhiên, ta giả sử fi  Từ chứng minh Định lý 2.1.3 ta có  f1d , , f 4d  phụ thuộc tuyến tính Giả sử: a1 f1d   a4 f 4d  , không đồng thời Ta xét trường hợp sau: (i)  0, i  1,2,3,4 Từ Bổ đề 2.2.1, ta có f ánh xạ ta giả sử f1  c1 f , f3  c2 f  Và thay   vào 1 ta có f ánh xạ hằng, (ii) Có hệ số 0, khơng tính tổng qt ta giả sử a4  Khi đó, theo Bổ đề 2.2.1, ta có  f1 , f , f3  ánh xạ Và f ánh xạ hằng, (iii) Có hai hệ số 0, giả sử a1  a2  Khi ta có f3  c3 f Thay vào 1 ta được: f1d  f 2d  1 f3d   f1 f 2 f3  ,   Nếu 1  ảnh ánh xạ  f1 , f , f3  : đường cong xạ ảnh có giống dương f ánh xạ (Định lý Berkovich)  f1, f , f3  p    nằm p ánh xạ hằng, 53 Giả sử 1  ảnh  f1 , f , f3  nằm đường cong   sau: p Y : z1d  z2d   z1 z2 z3   Ta chứng minh theo giả thuyết Định lý 2.2.2, giống Y nhỏ 1, từ định lý Berkovich ta có điều cần chứng minh Ta có giống Y số điểm nguyên nằm tam giác với ba đỉnh  d ,0  ,  0, d   ,  , hiển nhiên     d Như vậy, dễ thấy tam giác chứa điểm nguyên, trừ trường hợp     d  Trường hợp loại từ giải thuyết Định lý 2.2.2 Vậy định lý chứng minh Ghi 2.2.1 Trong [2], cách sử dụng phương pháp K.Masuda J.Noguchi [8], ta có ví dụ sau siêu mặt hyperbolic z14 d   z44 d  t  z1z2 z3 z4   0, d   deg X  4d  24  , t  d  : p  p Trong đó, siêu mặt hyperbolic xây dựng theo Định lý 2.2.2 có số chiều lớn 24 (không thiết phải bội 4) Chú ý rằng, hầu hết siêu mặt hyperbolic trường số phức trước cho với số chiều d chia hết cho số lớn (chia hết cho ví dụ BrodyGreen, cho ví dụ Nadel, cho ví dụ Noguchi) Trong [8] trình bày thuật tốn để xây dựng siêu mặt hyperbolic có số chiều tùy ý đủ lớn d Ở ta có siêu mặt hyperbolic với số chiều d  24 Ghi 2.2.2 Ví dụ sau số mũ  i , hai chúng 0,1 X khơng thể hyperbolic Mặt: X : z125  z225  z325  z425  z1z224  54 chứa đường cong chỉnh hình  1  z 25 ,1,1  z 25 , z  Bây ta dùng Định lý 2.1.3 để đưa số ví dụ đường cong   với phần bù hyperbolic: p Định lý 2.2.3 Cho X đường cong   p xác định bởi phương trình: X : z1d  z2d  z3d  cz11 z22 z33  , đó d  24, d  i  0, i  d Khi đó phần bù X hyperbolic p-adic   p Chứng minh: Gọi f   f1 , f , f3  : p  đường cong giải tích có ảnh nằm phần bù X Khi đó, hàm số: f1d  f 2d  f3d  cf1 f 2 f3  với z  p , số a  Do đó, ảnh đường cong chỉnh hình sau:  f1, f2 , f3 ,1 : nằm mặt Y p  , với Y xác định phương trình: Y : z1d  z2d  z3d  az4d  cz11 z22 z33  Từ chứng minh Định lý 2.1.3,  f1d , f 2d , f3d ,1 phụ thuộc tuyến tính: c1 f1d  c2 f 2d  c3 f3d  c4  , ci không đồng thời Ta xét trường hợp sau: (i) ci  0, i Theo Bổ đề 2.2.1, có hàm f1 , f , f3 hàm Suy f ánh xạ hằng, 55 (ii) Tồn ci  Khi theo Bổ đề 2.2.1, ta có f ánh xạ hằng, (iii) Nếu có hai ci  f i hàm hằng, hàm thương hai hàm fi , f j hàm Trong hai điều trên, ta có f hàm Vậy Định lý 2.2.3 chứng minh Ghi 2.2.3 Ta chứng minh ánh xạ  f1 , f , f3 ,1 : p  Y ánh xạ Y không hyperbolic Bây ta dùng chứng minh Định lý 2.2.2 Định lý 2.2.3 để đưa số ví dụ cụ thể mặt hyperbolic   p với phần bù hyperbolic Định lý 2.2.4 Cho X siêu mặt   có số chiều d  50 xác p định bởi phương trình:  6 X : z1d   z4d  cz11 z22 z33 z44  đó c  có i   j cịn lại nhỏ Khi đó X hyperbolic phần bù X   hyperbolic p Chứng minh: Ta dùng Định lý 2.2.2 để chứng minh phần bù X hyperbolic Đặt f   f1 , , f  đường cong có ảnh nằm phần bù X Như chứng minh Định lý 2.2.3 tồn số a  cho ánh xạ  f1, f2 , f3 , f4 ,1 có ảnh nằm siêu mặt Y có số chiều d định phương trình:   p xác 56 Y : z1d  z2d  z3d  z4d  az5d  cz11 z22 z33 z44  Từ chứng minh Định lý 2.1.3 ta có d  f d 7   1  1    50 , f 2d , f3d , f 4d ,1 phụ thuộc tuyến tính Do đó:  i 1 f d  5  , i i  i không đồng thời Nếu   ta lặp lại phần chứng minh Định lý 2.2.2 ta có f ánh xạ Giả sử   , từ Bổ đề 2.2.1 ta suy f ánh xạ tồn f i , giả sử f , hàm Thay f số vào   , ta thấy ảnh ánh xạ  f1 , f , f3 ,1 nằm mặt phẳng xác định phương trình: Z : z1d  z2d  z3d  az4d  cz11 z22 z33 z44  , a, c  0, 4  d  1    3  Và từ Định lý 2.1.3,  f1d , f 2d , f3d ,1 phụ thuộc tuyến tính Do đó: 1 f1d   f 2d  3 f3d    Nếu   tương tự chứng minh Định lý 2.2.2, ta có f ánh xạ Để lý ta cần giả thuyết 1  số mũ cịn lại phải 2, ta xét trường hợp   Từ Bổ đề 2.1.1, ta có f ánh xạ tồn f i , chẳng hạn f , hàm Thay f3 , f số vào   ta f1   f , với  số Cuối cùng, ánh xạ  f1 , f , f3 , f ,1 có ảnh nằm Y nên ta có: 57 Af 2d  Bf 21 2  C  , A, B, C số B  Từ giả thuyết Định lý 2.2.4, 1    0, d nên ta có f hàm Vậy Định lý 2.2.4 chứng minh Ghi 2.2.4 Định lý 2.2.3 2.2.4 cho ta ví dụ siêu mặt hyperbolic với phần bù hyperbolic trường p-adic Trong trường số phức, tồn siêu mặt chứng minh M G Zaidenberg [10] A.Nadel [7]đã đưa ví dụ đường cong ví dụ cụ thể siêu mặt hyperbolic đưa K Masuda J Noguchi [8] Ghi 2.2.5 Ví dụ sau chứng tỏ tổng hai số số mũ  i không d phần bù X khơng hyperbolic Xét mặt X cho phương trình: X : z151  z251  z351  z451  z325 z426  Khi đó, X hyperbolic (Định lý 2.2.2), phần bù X   p chứa đường cong chỉnh hình sau: f   z,  z,1,1 Vậy, với chương 2, có phương pháp nghiên cứu suy biến đường cong chỉnh hình với phương pháp kiểm tra xây dựng siêu mặt hyperbolic (nhờ định lý 2.1.3, định lý 2.2.3 định lý 2.2.4 ) - 58 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn làm rõ kết Hà Huy Khối cơng trình ơng cơng bố năm 1997 tác giả có liên quan W Cherry, K Masuda, J Noguchi A Nadel Luận văn có đóng góp sau đây: - Đưa điều kiện đủ suy biến đường cong chỉnh hình n   (Định lý 2.1.3) Từ phương pháp xét suy biến p đường cong chỉnh hình n   p - Áp dụng Định lý 2.2.3, xây dựng số lớp siêu mặt hyperbolic cụ thể   p Vì lí thời gian khn khổ luận văn, chúng tơi khơng nêu chi tiết số khái niệm chứng minh số kết đường cong đại số, giống đường cong đại số số kết lý thuyết Nevanlinna mà tài liệu có trình bày chi tiết nội dung Hướng nghiên cứu đề tài: - Tìm vận dụng độ cao hàm chỉnh hình vào xét suy biến đường cong chỉnh hình n   Xây dựng phương pháp đơn giản p để xét suy biến nói - Tìm phương pháp xây dựng đưa ví dụ cụ thể siêu phẳng hyperbolic p-adic n   với n  p 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hà Huy Khoái (1997), p-adic Hyperbolic Surfaces, ACTA MATHEMATICA VIETNAMICA, Volume 22, Number 2, 501-514 [2] Hà Huy Khoái Mai Văn Tư (1995), p-adic Nevanlinna-Cartan Theorem, Internat, 719-731 [3] Hà Huy Khoái(1983), On p-adic meromorphic functions, Duke Math J 50, 695-711 [4] Hà Huy Khoái (1993), Height of p-adic holomorphic functions and applications, Diophantine Geometry and Related topics, RIMS Lect Notes Ser 819, Kyoto, 96-105 [5] Hà Huy Khoái and Mỵ Vinh Quang (1988),p-adic Nevanlinna theory, Lecture Notes in Math, 1351, 138-152 [6] Hà Huy Khối and Vũ Hồi An (2003), Value distribution for p-adic hypersurfaces, Taiwanese journal of mathematics, Vol 7, No 1, pp 5167 [7] A Nadel(1989), Hyperbolic surfaces in P , Duke Math J 58, 749771 [8] K Masuda and J Noguchi(1996), A construction of hyperbolic hypersurfaces of P n  [9]  , Math Ann 304, 339-362 M Green(1975), Some Picard theorems for holomorphic maps to algebraic varieties, Amer J Math 97, 43-75 60 [10] M G Zaidenberg (1993), Hyperbolicity in projective spaces, Diophantine Geometry and Relatedtopics, RIMS Lect, Notes Ser 819, Kyoto, pp 136-156 [11] Pei-Chu Hu and Chung-Chun Yang (1999), Meromorphic functions over Non-Archimedean fields, Kluwer Academic Publishers [12] R Brody and M Green(1977), A family of smooth hyperbolic hypersurfacesin P , Duke Math J 44, 873-874 [13] V Berkovich (1990), Spectral Theory and Analytic Geometry over Non-Archimedean Fields, AMS Surveys and Monographs 33 [14] William Fulton (2008), Algebraic curves -An introduction to algebraic geometry, January 28 [15] W A Cherry (1994), Hyperbolic p-adic analytic spaces, Math Ann 300, 393- 404 ... chỉnh hình n ( p ) 7 Đường cong chỉnh hình n ( p ) Định lý thứ thứ hai đường cong chỉnh hình Khơng gian hyperbolic, siêu mặt hyperbolic Chương 2: SỰ SUY BIẾN CỦA ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VÀ SIÊU MẶT... thể mặt hyperbolic p- adic cong   đường p   với phần bù hyperbolic Bên cạnh cịn có ví dụ cụ p thể mặt hyperbolic với phần bù hyperbolic Nhắc lại, đa t? ?p X gọi hyperbolic p- adic ánh xạ chỉnh hình. .. hai đường cong chỉnh hình: 32 1.5 Không gian hyperbolic, siêu mặt hyperbolic: 41 Chương 2: Sự suy biến đường cong chỉnh hình siêu mặt hyperbolic p- adic .45 2.1 Sự suy biến đường