Nhóm các điểm hữu tỷ của đường cong elliptic trên trường hữu tỷ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Ngọc Nga NHĨM CÁC ĐIỂM HỮU TỶ CỦA ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG HỮU TỶ Chun ngành: Hình học tơpơ Mã số: 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS PHAN DÂN Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 LỜI CÁM ƠN Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn khoa học TS Phan Dân Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy, Thầy giúp đ ỡ tạo điều kiện cho tiếp xúc với nguồn tài liệu quý, tài liệu nước ngoài, giảng giải bảo tận tình cho tơi suốt q trình làm luận văn Hơn thầy dành nhiều công sức, thời gian để đọc chỉnh sửa luận văn Tôi xin chân thành cám ơn Quý Thầy Cô khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, đặc biệt Q Thầy tổ Bộ mơn Hình học cung cấp kiến thức chun mơn cần thiết cho để làm tảng cho việc hoàn thành luận văn Chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phịng Tổ chức hành chính, phịng Khoa học Cơng nghệ Sau đại học, phịng Kế hoạch – Tài Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh toàn thể đồng nghiệp, bạn học viên gia đình đ ộng viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cám ơn! MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Bảng ký hiệu Bảng giải thuật ngữ khoa học Mở đầu Chương Các kiến thức 1.1 Các nhóm aben hữu hạn sinh 1.2 Một số kết quen biết lý thuyết số .9 1.3 Các đa tạp xạ ảnh – đa tạp afin 10 1.3.1 Các khái niệm 10 1.3.2 Các hàm ánh xạ 17 1.4 Đường cong elliptic 24 1.4.1 Hình học xạ ảnh 24 1.4.2 Xác định X(Q): phân chia bậc .25 1.4.3 Các đường cong elliptic 28 1.4.4 Cấu trúc E(K) trường K khác 30 1.4.5 Đường cong elliptic trường hữu tỷ 33 1.4.6 Phương pháp phân tích đường cong elliptic .39 1.4.7 Một số loại đường cong 44 Chương Các đường cong elliptic dạng Weierstrass Q 49 2.1 Tổng quan đường cong dạng Weierstrass 49 2.1.1 Đại cương đường cong elliptic 49 2.1.2 Các j-bất biến .53 2.1.3 Tương đương xạ ảnh 60 2.2 Các điểm hữu tỷ, xoắn hữu tỷ đường cong elliptic Q 61 2.2.1 Các điểm hữu tỷ đường cong elliptic Q 61 2.2.2 Các điểm xoắn hữu tỷ đường cong elliptic Q 65 2.3 Luật nhóm j-bất biến số họ .69 2.3.1 Luật nhóm 69 2.3.2 Họ y2 = x3 + nx với n số nguyên .72 2.3.3 Họ y2 = x3 + n với n số nguyên 73 2.4 Nhóm xoắn họ đường cong .74 Kết luận .85 Tài liệu tham khảo .86 BẢNG CÁC KÝ HIỆU T  A Nhóm xoắn nhóm aben A A B Tổng trực tiếp A B K Bao đóng đại số K X K  Tập hợp điểm K -hữu tỷ đường cong X X   Tập hợp điểm hữu tỷ đường cong X xác định  2 Mặt phẳng xạ ảnh n Không gian xạ ảnh n -chiều (trên trường K đóng đại số) EK  Đường cong E xác định trường K , với K  , , , q  C   tors Tập hợp điểm xoắn hữu tỷ đường cong C xác định  h P Hàm độ cao P n          Nhóm aben tự hạng n, không xoắn K  x1 , , xn  Vành đa thức trường K với n biến n Không gian afin n chiều trường K n laàn KX  Vành tọa độ X  X Vành hàm quy X I Căn ideal I KX  Trường hàm hữu tỷ X Div  X K  Nhóm K -số chia tập hợp tổng tự nhiên   điểm X K Div0  X K  Nhóm K -số chia có bậc Pic  X  Nhóm Picard hay nhóm lớp số chia X Spec0F Vành số nguyên F O Điểm vô cực   fm  Biệt thức f m m -đa thức chia  Biệt thức đường cong elliptic  X  Ideal triệt tiêu X Ga Nhóm cộng tính Gm Nhóm nhân Gm a  Nhóm xoắn q Trường hữu hạn q phần tử gcd   Ước số chung lớn BẢNG CHÚ GIẢI THUẬT NGỮ KHOA HỌC Thuật ngữ Trang Nhóm aben Đường cong phẳng Khơng gian afin  n 10 Đa tạp đại số afin 10 Vành Noether 7, 12 Không gian xạ ảnh n -chiều  n (hoặc  n  K ) K 14 Đa tạp đại số xạ ảnh 15 Ideal 15 Ánh xạ hữu tỷ 19 Đa tạp bất khả quy 19 Đa tạp tựa xạ ảnh 20 Điểm kỳ dị 28 Điểm K -hữu tỷ 28 Đường cong elliptic 28 Đường cong xạ ảnh 29 Định lý Mordell-Weil E    33, 37 Định lý Nagell-Lutz điểm hữu tỷ đường cong 37 Định lý Mazur tập hợp điểm hữu tỷ  (cấp 37 hữu hạn) Hàm độ cao 38 Đa thức chia 40 Dạng Weierstrass đường cong elliptic 49 Dạng đường cong elliptic 50 Định lý Nagell-Lutz điểm xoắn 66 Luật nhóm 68 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong Lịch sử phát triển Tốn học có nhiều giả thuyết nhiều toán mở mà tồn suốt thời gian dài làm cho nhiều hệ nhà Tốn học dồn nhiều cơng sức niềm say mê nghiên cứu đặc biệt hầu hết tốn có cách đặt vấn đề mô tả đơn giản – chẳng hạn tốn chia ba góc thước compa, tốn tơ màu đồ, tốn Hilbert, tốn chứng minh Định lí lớn Fermat,… Riêng tốn chứng minh Định lí lớn Fermat (cịn gọi Định lí Fermat-Wiles) vấn đề thời Toán học suốt ba kỷ qua giải trọn vẹn vào năm 1994 Wiles Taylor có lẽ vấn đề thuộc loại thú vị nhà khoa học quan tâm nhiều Đây Bài toán thuộc lĩnh vực Lý thuyết số thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học Điều đặc biệt trình tìm kiếm lời giải cho giả thuyết Fermat, người ta phải sử dụng tới nhiều kiến thức kỹ thuật p hương pháp nghiên cứu nhiều ngành khoa học khác Lý thuyết số, Đại số giao hốn, Giải tích, Giải tích phức, Hình học, Hình học Đại số, Lý thuyết Galois,… số có đóng góp quan trọng ngành Hình học Đại số Lý thuyết đa tạp, đường cong đại số điểm hữu tỷ chúng, hàm elliptic, dạng modular,… khái niệm quan trọng kết nghiên cứu có liên quan tiệm cận theo nhiều hướng khác lời giải tốn Fermat Chúng tơi lựa chọn đề tài thuộc lĩnh vực Hình học Đại số với ý tư ởng tìm hiểu giới thiệu số kiến thức “Lý thuyết đường cong elliptic” với việc mô tả phân bố nhóm điểm hữu tỷ chúng Trong phạm vi đề tài, xét đường cong elliptic trường số hữu tỷ mô tả dạng Weierstrass Vì đề tài mang tên: “Nhóm điểm hữu tỷ đường cong Elliptic trường hữu tỷ” Lịch sử vấn đề Cơ sở lý thuyết công cụ nghiên cứu vấn đề “Nhóm điểm hữu tỷ đường cong elliptic trường hữu tỷ  ”, phương pháp gi ải vấn đề nêu Luận văn dựa số kết sau đây: a) Một là: Các kết mô tả tập điểm hữu tỷ đường cong elliptic  , nhờ vào: - Định lí Mordell-Weil khẳng định tập điểm hữu tỷ đường cong elliptic  nhóm aben hữu hạn sinh - Định lí Mazur mơ tả cấu trúc nhóm điểm có cấp hữu hạn (nhóm xoắn) tập điểm hữu tỷ - Định lí Nagell-Lutz mơ tả đặc trưng nhóm điểm xoắn hữu tỷ họ đường cong Elliptic dạng Weierstrass: y  x  Ax  B với A, B số nguyên Từ kết ta nhận thuật toán xác định điểm xoắn hữu tỷ b) Hai là: Các kết phương pháp mơ tả luật nhóm nhóm điểm hữu tỷ đường cong Elliptic c) Ba là: Xuất phát từ kết thú vị tính chất tách trực tiếp nhóm aben hữu hạn sinh (nghĩa Z -mođun hữu hạn sinh) thành phần xoắn khơng có xoắn nó, phần tổng trực tiếp nhóm aben cyclic khơng thể tách (Định lí Đại số) Về mặt lý thuyết, việc tiếp cận nghiên cứu điểm hữu tỷ đường cong tách thành hai phần Một lớp toán nghiên cứu cấu trúc phần tử xoắn Hai lớp toán nghiên cứu phần tử khơng xoắn gắn với vấn đề toán xét hạng đường cong elliptic Trong đề tài tập trung mô tả khái niệm, số kết nghiên cứu nhóm điểm hữu tỷ cho số mô tả kết thuộc lớp toán thứ Một số kết nghiên cứu thuộc hướng tiếp tục phát triển thời gian gần nhiều tác giả nước 3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu mơ tả cấu trúc nhóm điểm hữu tỷ số họ đường cong elliptic dạng Weierstrass trường  (Định lí Mordell-Weil) - Xét số họ đường cong có phương trình dạng: y  x  nx, với n số ngun, nhằm mục đích mơ tả nhóm điểm xoắn hữu tỷ chúng - Phân loại xác định nhóm xoắn điểm hữu tỷ số họ đường cong có phương trình dạng: y  x  a, với a số nguyên - Xét đường cong dạng y  x  ax  bx giải tốn mơ tả nhóm điểm xoắn hữu tỷ số trường hợp Mục đích nghiên cứu - Mơ tả cấu trúc nhóm tập điểm hữu tỷ E    đường cong elliptic E  - Mơ tả nhóm xoắn E    số lớp đường cong elliptic - Sử dụng j -bất biến để phân lớp họ đường cong dựa dạng phương trình Weierstrass Xác định mối liên hệ kết phần với vấn đề tổng quát xét lớp đường cong elliptic  Phương pháp nghiên cứu Cơ sở xuất phát dựa kết hợp hai kết (đã trình bày trên) về: - Cấu trúc nhóm aben hữu hạn sinh - Cấu trúc nhóm điểm hữu tỷ (Định lí Mordell-Weil) sử dụng công cụ nghiên cứu Đại số - Lý thuyết số Hình học để nghiên cứu, phân loại đối tượng xét Kết hợp kết với Định lí Nagell-Lutz Định lí Mazur để xác định điểm xoắn số họ đường cong xét Tiếp theo việc đề cập đến j -bất biến họ đường cong Đây số hướng nghiên cứu phương pháp dùng phổ biến việc nghiên cứu đường cong elliptic Các hướng nghiên cứu sử dụng phát triển nhiều tác giả 73 Hình 2.4 Minh họa phép cộng đường cong elliptic y  x  x 2.3.3 Họ y  x3  n với n số nguyên Bằng tính tốn, ta dễ dàng tính họ y  x3  nx có j  Ví dụ 44: Cho E /  đường cong elliptic E : y  x  17 Bằng số tính tốn đơn giản, ta đưa vài điểm E có tọa độ sau: P1   3;1 , P2   1;4  , P3   2;5 , P4   4;9  , P5  8;23 , P6   43;282  , P7   52;375 , P8   5234;378661 Bằng thuật tốn luật nhóm, ta dễ dàng tính tốn P5   2 P1 , P4  P1  P3 , 3 P1  P3  P7 Hiển nhiên, có điểm có tọa độ hữu tỷ khơng ngun, chẳng hạn  2 P2   127 2651   109  ;  , P2  P3    ;   512   64  27  Ta khẳng định điều sau mà khơng chứng minh, điểm hữu tỷ P  E    viết dạng P   m  P1   n  P2 với m, n   , 74 từ đó, ta có E    đẳng cấu với    Thông tin thêm có 16 điểm có tọa độ nguyên E ,  P1 ;;  P8  Ví dụ 45: Cho E : y  x  73 P   2,9  Q   3,10  a) Bằng định nghĩa ta tìm đư ợc  P   2, 9  b) Độ dốc tiếp tuyến P   y  3xP2  , nên ta có phương trình tiếp tuyến yP 23 x  Gọi R   xR , yR  giao điểm thứ ba tiếp tuyến E Khi đó, ta 3 có xP  xR    xR   32 143 y R   Vì 27  32 143  P   R    xR , y R    xR ,  y R    ,  27   c) Độ dốc đường thẳng qua P Q   yQ  y P xQ  xP  1, nên phương trình c đường thẳng PQ y  x  Gọi R   xR , yR  giao điểm thứ ba đường thẳng PQ E Khi đó, ta có xP  xQ  xR    xR  4 yR  Vì P  Q   R   4; 3 2.4 NHÓM CON XOẮN CỦA CÁC HỌ ĐƯỜNG CONG Định lý 2.4.1 Cho E đường cong elliptic y  x  nx với n   n có bậc tự Khi E   tors     n bậc     n   n khác  Cho đường cong elliptic có phương trình y  x  nx, với n số hữu tỷ khác Đặt x  d X , y  d 3Y (với d số hữu tỷ khác 0) Khi đó, phương trình trở thành n   d 6Y  d X  nd X  d  X  X  d   75 Như vậy, ta chọn d hệ số n số nguyên Hơn nữa, n d4 phân tích thành lũy thừa có bậc lớn số nguyên đó, ta đưa số n lũy th ừa có bậc nhỏ số nguyên Do vậy, ta cần làm việc với đường cong y  x3  nx, với n số ngun khác n khơng thể phân tích thành lũy thừa có bậc lớn số nguyên Định lý 2.4.2 Cho E đường cong elliptic y  x  a với a   a có bậc tự Khi E   tors      0  a  a  432  2433 hoaëc a có bậc a  a có bậc a  a khác Cho đường cong elliptic có phương trình y  x3  a, với a số hữu tỷ khác Bằng cách đổi biến tương tự ta thu phương trình a   d 6Y  d X  a  d  X   d   Như vậy, ta chọn d hệ số a số nguyên Hơn nữa, a d6 phân tích thành lũy thừa có bậc lớn số ngun đó, ta đưa số a lũy thừa có bậc nhỏ số nguyên Do vậy, ta cần làm việc với đường cong y  x3  a, với a số nguyên khác a khơng thể phân tích thành lũy th ừa có bậc lớn số ngun Ví dụ 46: Tìm nhóm xoắn điểm hữu tỷ đường cong  E  có phương trình cho y  x3  26 x Đặt x  22 X , y  23Y Khi đó, phương trình trở thành 26 Y  26 X  26.2 X  Y  X  X Đường cong  E ' tồn điểm bậc  0,  Ta tìm ểm có bậc 4, tức điểm  X , Y  nghiệm phương trình 76  X , Y    0,     0,  Giả sử đường thẳng qua điểm  0,  có phương trình Y   X Hoành độ giao điểm đường thẳng đường cong nghiệm phương trình  X   X  4X Để đường thẳng tiếp xúc với đường cong phương trình X   X  X  có nghiệm kép, tức        4.4     2 Với   ta có điểm  2,  Với   2 ta có điểm  2, 4  Vậy ta có điểm bậc  2,  ;  2, 4  Dễ thấy, không tồn điểm hữu tỷ bậc phương trình  X , Y    2,   X , Y    2, 4  nghiệm  X , Y  Ta chứng minh đường cong không tồn điểm hữu tỷ bậc Thật vậy, giả sử tồn điểm hữu tỷ P có bậc 3, 3P  O  2 P  P Gọi Y   X   đường thẳng tiếp xúc với đường cong P Vì 2P  P nên đường thẳng gặp đường cong thêm hai lần P (P điểm uốn đường cong) Hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình  X     X  4X  X  2 X       X    Gọi r hồnh độ điểm P phương trình viết lại sau X  2 X       X     X  r  Đồng hệ số vế phương trình ta có 3r  2 , r   suy   6 , 27  4   4  3r   2           3 3 Không tồn số hữu tỷ  thỏa phương trình Vậy khơng tồn điểm hữu tỷ có bậc Suy khơng tồn điểm hữu tỷ có bậc 6, 9, 12 77 Vì đường cong tồn điểm hữu tỷ có bậc nên theo định lý Mazur khơng tồn điểm hữu tỷ có bậc nguyên tố p với p  (vì điểm có bậc hữu hạn có bậc khơng vượt q 12) Vậy TorsE '     O,  0,  ,  2,  ,  2, 4  Nhóm xoắn đường cong ban đầu TorsE     O,  0,  ,  8,32  ,  8, 32  Ví dụ 47: Cho E : y  x  x E    E     Theo định lý Nagell-Lutz E   tors  E     2  0,  0,0  ,  1,0  Từ định lý Mordell-Weil, ta viết E      2   E   tors   r    2  r Vì gấp đơi điểm có cấp vơ hạn điểm có cấp vơ hạn gấp đôi điểm xoắn điểm xoắn, ta thấy nhóm  r    2  2 E      2   E   tors   2   0 r r (Ta có điểm 2-xoắn) Do E    E       2     2     2  r 2 Như vậy, hạng đường cong E : y  x  x r  E       2     2  Ví dụ 48: Cho E : y  x  25 x #E    E     Các lớp cho P   4,6  điểm 2-xoắn Hơn nữa, theo định lý Nagell-Lutz E   tors  E     2  0,  0,0  ,  5,0  Từ định lý Mordell-Weil, ta viết E      r  E   tors   r    2  Do E    E       2     2     2  r Như vậy, hạng đường cong E : y  x  25 x r  E         2  78 Khi cho đường cong elliptic cụ thể, ta dễ dàng nhóm xoắn Vấn đề cịn lại tìm hạng đường cong, vấn đề phức tạp mà ta không đề cập Chúng ta tìm hiểu vấn đề tài liệu tham khảo khác Dưới đây, ta liệt kê số hạng có giá trị nhỏ đường cong elliptic có phương trình y  x3  nx, y  x3  a, bảng giúp mô tả cấu trúc nhóm điểm hữu tỷ số đường cong elliptic Bảng 2.1 Hạng đường cong có phương trình y  x3  nx r 0 r 1 r2 n 1 -1 n3 -2 n  14 10 -3 -4 -8 -9 -11 -5 -6 34 33 -13 12 22 -18 -19 15 18 19 20 -7 -10 -12 -14 -15 -20 39 46 -56 -65 -77 16 20 21 -10 -14 -432 r 3 13 11 -17 n  82 Bảng 2.2 Hạng đường cong có phương trình y  x3  a r 0 r 1 r2 r 3 a 1 13 -1 -3 -5 -6 -8 a2 10 11 12 18 -4 -7 -13 -15 -18 -19 -20 -21 24 37 -2 a  15 17 a  113 141 316 43 346 14 -9 -11 359 -26 -39 -47 -174 -307 -362 Định lý 2.4.3 (i) Có ánh xạ song tuyến tính b : E  K  mE  K   E  m   K *  K *  cho em  E  P  , T    K  b  P, T   (ii) Ánh xạ (i) không suy biến trái m 79 (iii) Cho S  M K hợp tập hợp place vô hạn, tập hợp số nguyên tố hữu hạn mà E có quy gọn khơng đẹp tập hợp số nguyên hữu hạn chia hết m Khi đó, ảnh ánh xạ (i) nằm nhóm sau K *  K *  : m  K  S, m  b  K * K  * m  : ord v  b    mod m  với moïi v  S (iv) Ánh xạ (i) tính sau: Với T  E  m , chọn hàm fT , gT  K  E  thỏa điều kiện div  fT   m T   m  O  fT   m  gTm Chứng minh (i) Định lý Hilbert chứng tỏ ánh xạ (i) định nghĩa t ốt Tính song tuyến tính suy từ tính song tuyến tính phép nhân Kummer Weil em -cặp (ii) Để chứng minh tính khơng suy biến trái, ta giả sử b  P, T   với T  E  m , nghĩa với T  E  m với   GK K em   P,   , T   Sự không suy biến cặp Weil suy   P,   0,  P  mE  K  (iii) Cho   b  P, T  m Ta thấy K    chứa trường   L  m  E  K  Hơn nữa, L K khơng phân nhánh bên ngồi S Nhưng dễ dàng thấy 1 v  M K place hữu hạn với v  m   K    K không phân nhánh v ord v   m    mod m    * (iv) Chọn Q  E K   K cho P   m  Q b  P, T    m Khi đó, với   GK K , ta có em   P   , T    K  b  P, T     , 80 em  Q  Q, T      , g T  X  Q  Q  g T  X      , gT  Q   gT  Q      đặt X  Q   Vì  K đẳng cấu, theo gT  Q    m mod  K *  (Lưu ý: gT  Q   fT  P  m m m K * ) Do fT  P   fT   m   Q   gT  Q    m  b  P, T  m  mod  K   * m ⧠ Sau trường hợp đặc biệt định lý Mệnh đề 2.4.4 Cho E K đường cong elliptic cho phương trình Weierstrass y   x  e1  x  e2  x  e3  với e1 , e2 , e3  K Lấy S  M K hợp hữu hạn vị trí K bao gồm archmedean places, tất vị trí đồng dư vị trí mà E có quy gọn khơng đẹp Hơn nữa, cho   K  S ,   b  K *  K *  : ord v  b    mod  , v  S Khi có cấu xạ E  K  2E  K   K  S , 2  K  S , 2 xác định  x  e1 , x  e2     e1  e3  e  e , e1  e2    P   x, y     e  e , e2  e3   e  e    1,1 Cho  b1 , b2   K  S ,   K  S ,  x  e1 , e2 , x  e1 , x  e2 , x  , tức P  O không ảnh ba điểm O,  e1 ,0  ,  e2 ,0  Khi  b1 , b2  ảnh điểm P   x, y   E  K  E  K  phương trình 81 b1 z12  b2 z22  e2  e1 b1 z12  b1b2 z32  e3  e1 có nghiệm  z1 , z2 , z3   K *  K *  K Nếu nghiệm tồn ta có P   x, y    b1 z12  e1 , b1b2 z1 z2 z3  Ví dụ 49: Ta dùng mệnh đề để tính E    E    cho đường cong E : y  x  12 x  20 x  x  x   x  10  Phương trình có biệt thức   409600  21452 , có quy gọn tốt trừ trường hợp Quy gọn phương trình mod 3, ta dễ dàng kiểm tra      Vì E  2  E    E    nội xạ vào E     nên #E tors tors 3 Etors     E  2 Lấy S  2,5,   M  Khi đó, tập hoàn chỉnh biểu diễn cho    S ,   b  *  *  : ord p  b    mod  , p  S  cho tập 1, 2, 5, 10 Ta đồng tập với   S ,  Bây giờ, xét ánh xạ E   2E      S , 2    S , 2 với e1  0, e2  e3  10 Có 64 cặp  b1 , b2     S ,     S ,  với cặp, ta phải kiểm tra xem có phần tử E    E    Chẳng hạn, dùng mệnh đề trên, ta tìm ảnh E  2   S ,     S ,  : O  1,1 ,  0,0    5, 2  ,  2,0    2, 1 , 10,0   10,  Với cặp  b1 , b2  khác, điều đ ể xác định phương trình b1 z12  b2 z22  2, b1 z12  b1b2 z32  10 (*) có nghiệm  z1 , z2 , z3    Chẳng hạn, b1  0, b2  (*) khơng có nghiệm hữu tỷ, phương trình đ ầu tiên khơng có nghiệm  82 Tiến hành cách hệ thống, ta liệt kê kết bảng 10.1 Khởi đầu cho cặp  b1 , b2  bao gồm điểm E    biến thành  b1 , b2  trường (địa phương) cho phương trình (*) vơ nghi ệm (Lưu ý r ằng  z1 , z2 , z3  nghiệm (*) điểm tương ứng E     b1 z12  e1 , b1b2 z1 z2 z3  ) Các số khoanh tròn bảng tương ứng với thích để giải tích khởi đầu Cuối cùng, ta ý ánh xạ E    E       S ,     S ,  đồng cấu, việc kiểm tra cặp  b1 , b2  không cần thiết Chẳng hạn,  b1 , b2   b1' , b2'  nằm E     b1b1' , b2b2'  n ằm E    Tương tự  b1 , b2  nằm E     b1' , b2'  khơng nằm E     b1b1' , b2b2'  không nằm E    Nhận xét làm giảm đáng kể số trường hợp (*) cần xem xét Nếu b1  b2  b1 z12  b2 z22  vô nghiệm  Nếu b1  b2  b1 z12  b1b2 z32  10 vô nghiệm  Bốn điểm 2-xoắn O,  0,  ,  2,  , 10,  biến thành bốn điểm 1,1 ,  2, 1 ,  5, 2  10,   b1 , b2   1, 1 : Bằng việc kiểm tra, phương trình z12  z22  z12  z32  10 có nghiệm 1,1,3 Điều cho ta điểm 1, 3  E    Bảng 2.3 Tính E    cho E : y  x3  12 x2  20 x 83 Nhân 1, 3  E    vào điểm 2-xoắn khơng tầm thường để có giá trị  b1 , b2  Điều cho ba cặp  5,  ,  2,1 10, 2    S ,     S ,  tương ứng biến thành ba điểm hữu tỷ  20,60  , 18, 48 10 9, 80 27  E    b1   mod 5 b2   mod 5 : Từ phương trình thứ (*) suy z1 , z2 phải tích phân 5-adic Khi phương trình thứ hai cho thấy z1   mod5 từ phương trình thứ ta có   mod5 Do (*) vơ nghiệm 5 Tám cặp (6)  -không tầm thường, tức (*) khơng có nghiệm 5 Nếu nhân tám cặp cặp  -tầm thường  5,  , ta có tám cặp  -không tầm thường  b1 , b2   1,  : Hai phương trình (*) z12  z22  z12  z32  10 Vì phi thặng dư bậc hai mod 5, từ phương trình thứ hai suy z1  z3   mod 5 Nhưng từ phương trình thứ hai có  10  mod 25 Do khơng có nghiệm 5 Lấy cặp  -không tầm thường 1,  từ (8) nhân với bảy cặp  -tầm thường bảng cho ta bảy cặp  -không tầm thường để điền vào mục lại bảng 84 Lời kết E        2   2 85 KẾT LUẬN “Nhóm điểm hữu tỷ đường cong elliptic trường hữu tỷ” đề tài rộng lớn, khuôn khổ hạn hẹp luận văn bao quát tất điều mẻ thú vị Tuy nhiên, qua luận văn thu số kết sau: - Các điểm xoắn hữu tỷ đường cong elliptic , với số họ đường cong elliptic cụ thể đưa mô tả chung luật nhóm, j -bất biến chúng - Nhóm xoắn họ y  x  nx, y  x  a - Nhóm xoắn y  x  ax  bx, n, a , b số ngun - Mơ tả cấu trúc nhóm tập điểm hữu tỷ E    đường cong elliptic E ; mơ tả nhóm xoắn E    số lớp đường cong elliptic; sử dụng j -bất biến để phân lớp họ đường cong dựa dạng phương trình Weierstrass Từ đó, xác định mối liên hệ kết phần với vấn đề tổng quát xét lớp đường cong elliptic  86 TÀI LIỆU THAM KHẢO Hartshorne, R Algebraic Geometry, Springer GTM 52, (1977) Knapp A, Elliptic Curves, Princeton University Press, Princeton NJ (1992) Mathematic Lecture Notes Series, (1974) Mazur B, Arithmetic on Curves, Bull.Amer.Math.Soc (NS), 14(1986), no.2, 207259 Serre J P, Lectures on the Mordell-Weil theorem Translated from the French and edited by Martin Brown from notes by Michel Waldschmidt, Aspects of Mathematic, E15 Friedr Vieweg & Sohn, Braunschweig (1989) Silverman J H, The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer (1986) Silverman J H and Tate J, Rational Points on Elliptic Curves, Springer (1992) J E Hopecroft and J D Ullman, Formal languages and their relation to automata Addition-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills,.Ont (1969) B Poonen, Computing rational points on cuvers, to appear in the Proceedings of the Millennial Conference on Number Theory, May 21-26, 2000, held at the University of Illinois at Urbana_Champaign N Koblitz, p-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-funtions Second edition Graduate Texts in Mathematics 58, Springer-Verlag, New YorkBerlin, (1984) 10 N D Elkies, Heegner point computations, Algorithmic number theory (Ithaca, NY, 1994), 122-133, Lecture Notes in Comput Sci 877, Spinger, Berlin, (1994) 11 R Martin and W McMillen, An elliptic curve over Q with rank at least 24, Janury 2000, electronic announcement on the NMBRTHRY list server (posted May 2, 2000) 12 J P Serre, A course in arithmetic Translated from the French.Graduate Texts in Mathematics 7, Springer-Verlag, New York-Heidelberg (1973) 13 L J Mordell, On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees, Proc Cambrige Phil Soc 21 (1922), 179-192 87 14 M.Hinry and Silverman, Diophantine geometry An introduction Graduate Texts in Mathematics 201, Springer-Verlag, New York, (2000) 15 Ian Connell, Elliptic Curve Handbook, Montreal (1999) ... 2.2 Các điểm hữu tỷ, xoắn hữu tỷ đường cong elliptic Q 61 2.2.1 Các điểm hữu tỷ đường cong elliptic Q 61 2.2.2 Các điểm xoắn hữu tỷ đường cong elliptic Q 65 2.3 Luật nhóm. .. toán liệu đường cong phẳng bậc ba có điểm hữu tỷ hay khơng tốn chưa giải Do ta ý đến đường cong phẳng bậc ba mà có điểm hữu tỷ Những đường gọi đường cong elliptic 1.4.3 Các đường cong elliptic. .. thuyết đường cong elliptic? ?? với việc mô tả phân bố nhóm điểm hữu tỷ chúng Trong phạm vi đề tài, xét đường cong elliptic trường số hữu tỷ mơ tả dạng Weierstrass Vì đề tài mang tên: ? ?Nhóm điểm hữu tỷ