Hạng của đường cong elliptic trên trường hữu tỉ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Ngọc Phúc HẠNG CỦA ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG HỮU TỈ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Ngọc Phúc HẠNG CỦA ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG HỮU TỈ Chuyên ngành : Hình học tơpơ Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS PHAN DÂN Thành phố Hồ Chí Minh - 2016 i LỜI CÁM ƠN Trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy TS Phan Dân, người đưa ý tưởng đề tài trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ với dẫn khoa học quý giá suốt trình thực hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn đến thầy Khoa Toán – Tin trường đại học Sư phạm TPHCM, đặc biệt thầy Bộ mơn Hình học trực tiếp giảng dạy truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm khoa học chuyên ngành cho suốt thời gian học trường Đồng thời xin gửi lời cám ơn đến BGH trường Đại Học Sư Phạm, phòng Đào tạo sau đại học phòng ban chức trường Đại Học Sư Phạm tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn Cuối cùng, xin cám ơn anh chị, bạn lớp chun ngành Hình học tơpơ khóa 24 ln giúp đỡ tơi q trình học tập hoàn thành luận văn Một lần tơi xin chân thành cám ơn Hồ Chí Minh, ngày 22 tháng 04 năm 2016 Nguyễn Ngọc Phúc ii MỤC LỤC TRANG PHỤ BÌA LỜI CÁM ƠN i  MỤC LỤC ii  DANH MỤC KÝ HIỆU v  MỞ ĐẦU 1  Chương KIẾN THỨC CƠ BẢN 6  1.1 Các định nghĩa định lí 6  1.1.1 Định nghĩa nhóm aben hữu hạn sinh 6  1.1.2 Định nghĩa nhóm xoắn 6  1.1.3 Định nghĩa tổng trực tiếp 6  1.1.4 Định lí 6  1.1.5 Định nghĩa nhóm Aben tự 7  1.1.6 Định lí 8  1.1.7 Định lí 8  1.1.8 Định lí 8  1.1.9 Định lí 10  1.2 Một số kết Đại số Lí thuyết số 10  1.2.1 Định nghĩa 10  1.2.2 Định nghĩa 11  1.2.3 Bổ đề 11  1.2.4 Định lí 12  1.2.5 Định lí Bezout 13  1.2.6 Định lí 13  1.2.7 Định nghĩa mở rộng trường 14  1.2.8 Định nghĩa mở rộng trường bậc hữu hạn 14  1.2.9 Định nghĩa nhóm Galois 14  1.2.10 Định nghĩa mở rộng Galois 14  iii 1.2.11 Kí hiệu Legrendre 14  1.2.12 Định nghĩa tính chất chuẩn 15  1.3 Các đa tạp xạ ảnh đa tạp affine 16  1.3.1 Định nghĩa đa tạp affine 16  1.3.2 Định nghĩa đa tạp xạ ảnh 18  1.4 Tổng quan đường cong elliptic trường K 19  1.4.1 Các khái niệm định nghĩa đường cong elliptic 19  1.4.2 Một số định lí 26  Chương CÁC ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC DẠNG WEIERSTRASS TRÊN  37  2.1 Tổng quan đường cong elliptic dạng Weierstrass  37  2.1.1 Định nghĩa đường cong elliptic trường hữu tỉ 37  2.1.2 Một số hình ảnh ví dụ đường cong elliptic 37  2.1.3 Các j – bất biến 39  2.1.4 Định lí tương đương đường cong elliptic 42  2.2 Các điểm đặc biệt hạng đường cong elliptic  42  2.2.1 Các điểm hữu tỉ đường cong elliptic  42  2.2.2 Các điểm xoắn đường cong elliptic  44  2.2.3 Định nghĩa hạng đường cong elliptic 44  2.2.4 Luật cộng nhóm E    đường cong elliptic dạng y  x  px với p số nguyên tố 44  2.2.5 Luật cộng nhóm E    đường cong elliptic dạng y  x  x  p  x   với p số nguyên tố 45  2.3 Hạng đường cong elliptic y  x  px với p số nguyên tố thuộc lớp xác định 46  2.3.1 Nhận xét sơ hạng đường cong elliptic E : y  x3  px với p số nguyên tố thuộc lớp xác định 46  iv 2.3.2 Cơ sở lí thuyết việc tìm hạng đường cong elliptic y  x3  px với p số nguyên tố 46  2.3.3 Chứng minh hạng đường cong elliptic y  x  px với p số nguyên tố thuộc lớp xác định 52  2.4 Hạng đường cong elliptic dạng y  x  x  p  x   với p số nguyên tố 60  2.4.1 Loại 1: Khi p  7(mod8) ta có E      2   2 rank  E   60  2.4.2 Loại 2: Khi p   mod  ta có E      2   2 E        2   2 nên ta nhận rank  E   66  KẾT LUẬN 76  TÀI LIỆU THAM KHẢO 77  v DANH MỤC KÝ HIỆU T G  : Nhóm xoắn nhóm aben G L/K : L trường mở rộng trường K L : K  : Bậc mở rộng trường trường L trường K GL / K  : Nhóm Galois trường L trường K  : E1  E2 : Ánh xạ isogeny từ đường cong elliptic E1 vào đường cong elliptic E jE : j – bất biến đường cong elliptic E ˆ : E2  E1 : Ánh xạ dual isogeny ánh xạ isogeny  h : E    : Độ cao E     : Phép tốn nhóm đường cong elliptic E  : Nhóm điểm hữu tỉ đường cong elliptic E Etors    : Nhóm điểm hữu tỉ xoắn đường cong elliptic E Etors     m : Nhóm điểm hữu tỉ m - xoắn đường cong elliptic E f : Biệt thức đa thức f K  x : Trường đa thức biến x K a  p ; a p    : Kí hiệu Legrendre vp  x : Chuẩn p - adic x An  K  : Không gian affine n - chiều trường K hˆ : E       : Độ cao tắc E    vi * : Nhóm nhân phần tử hữu tỉ đơn vị   : Nhóm * bao gồm phần tử bình phương P *Q : Giao điểm đường thẳng  qua hai điểm P, Q * đường cong elliptic E O : Điểm vô đường cong elliptic E T   0;0  : Điểm gốc đường cong elliptic E  A : B : Chỉ số hai nhóm Aben A B K : Trường đóng đại số cố định K deg   : Cấp ánh xạ  gcd  a, b  : Ước chung nhỏ a, b MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong lịch sử phát triển Tốn học có nhiều giả thuyết nhiều toán mở mà tồn suốt thời gian dài làm cho nhiều hệ nhà Tốn học dồn nhiều cơng sức, niềm say mê nghiên cứu đặc biệt hầu hết tốn có cách đặt vấn đề mô tả đơn giản – chẳng hạn tốn chia ba góc thước compa, tốn tơ màu đồ, toán Hilbert, toán chứng minh Định lý lớn Fermat, …Riêng toán chứng minh Định lý lớn Fermat (cịn gọi Định lí Fermat-Wiles) vấn đề thời Toán học suốt ba kỷ qua giải trọn vẹn vào năm 1994 Wiles Taylor có lẽ vấn đề thuộc loại thú vị nhà khoa học quan tâm nhiều Đây Bài toán thuộc lĩnh vực Lý thuyết số thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học Điều đặc biệt trình tìm kiếm lời giải cho giả thuyết Fermat, người ta phải sử dụng tới nhiều kiến thức kỹ thuật phương pháp nghiên cứu nhiều ngành khoa học khác Lý thuyết số, Đại số giao hốn, Giải tích, Giải tích phức, Hình học, Hình học Đại số, Lý thuyết Galois,…, số có đóng góp quan trọng ngành Hình học Đại số Lý thuyết đa tạp, đường cong đại số điểm hữu tỷ chúng, hàm elliptic, dạng modular,… khái niệm quan trọng kết nghiên cứu có liên quan tiệm cận theo nhiều hướng khác lời giải tốn Fermat Đề tài thuộc lĩnh vực Hình học Đại số với ý tưởng tìm hiểu giới thiệu số kiến thức “Lý thuyết đường cong Elliptic” với việc mô tả phân bố nhóm điểm hữu tỷ chúng Trong phạm vi đề tài, nghiên cứu đường cong Elliptic trường số hữu tỷ mơ tả dạng Weierstrass Vì đề tài mang tên: “Hạng đường cong Elliptic trường hữu tỷ” Lịch sử vấn đề Cơ sở lý thuyết công cụ nghiên cứu vấn đề “Nhóm điểm hữu tỷ đường cong Elliptic trường hữu tỷ ” , phương pháp giải vấn đề nêu Luận văn dựa số kết sau đây: a) Một là: Các kết mô tả tập điểm hữu tỷ đường cong Elliptic Q , nhờ vào: - Định lí Mordell-Weil khẳng định tập điểm hữu tỷ đường cong elliptic  nhóm aben hữu hạn sinh - Định lí Mazur mơ tả cấu trúc nhóm điểm có cấp hữu hạn (nhóm xoắn) tập điểm hữu tỷ - Định lý Nagell-Lutz mô tả đặc trưng nhóm điểm xoắn hữu tỷ họ đường cong Elliptic dạng Weierstrass: y  x3  ax  b với a, b Từ kết ta nhận thuật toán xác định điểm xoắn hữu tỷ b) Hai là: Các kết phương pháp mơ tả luật nhóm nhóm điểm hữu tỷ đường cong Elliptic c) Ba là: Xuất phát từ kết thú vị tính chất tách trực tiếp nhóm aben hữu hạn sinh (nghĩa  -môđun hữu hạn sinh) thành phần xoắn khơng có xoắn nó, phần tổng trực tiếp nhóm aben cyclic khơng thể tách (Định lí Đại số) Về mặt lý thuyết, việc tiếp cận nghiên cứu điểm hữu tỷ đường cong tách thành hai phần Một lớp toán nghiên cứu cấu trúc phần tử xoắn Hai lớp tốn nghiên cứu phần tử khơng xoắn - gắn với vấn đề toán xét hạng 63  p,0    p, p   Còn cặp  b1 , b2  lại phải xác định liệu phương trình b1 z12  b2 z22  b1 z12  b1b2 z32  p có đồng thời có nghiệm  z1, z2 , z3   3 Điều này, tương đương với việc phải chứng minh: Thứ nhất, có    q (với  q phần bù q - adic  ) cho số nguyên q Vì phương trình khơng có nghiệm  q khơng có nghiệm  cặp  b1 , b2     S ,     S ,  Thứ hai, ánh xạ  đồng cấu,  b1 , b2   b1 ', b2 ' ảnh   b1b1 ', b2b2 ' ảnh   b1 , b2  ảnh   b1 ', b2 '  b1, b2  khơng ảnh   b1b1 ', b2b2 ' không ảnh  Nếu cặp làm cho hai phương trình vơ nghiệm  q ta gọi  b1 , b2   q - không tầm thường Chúng ta theo cách làm Silverman kết bảng phía sau Các phần tử bảng điểm  x, y   E    thõa mãn ảnh  x, y  qua ánh xạ   b1 , b2  trường hai phương trình xét vô nghiệm Nếu  z1 , z2 , z3  nghiệm hai phương trình nghịch ảnh  b1, b2    b1 z12  e1 , b1b2 z1 z2 z3 Mỗi ô bảng cung cấp thứ tự  n  tương ứng với lời giải thích bên dưới, thực giải thích phần bảng ý b1  b2  phương trình (1) vơ nghiệm, b1  b2  phương trình (2) vơ nghiệm Do đó, bảng kết xét ứng với b1  64 Bảng kết Nếu b1  b2  phương trình 1 khơng có nghiệm  Nếu b1  b2  phương trình   khơng có nghiệm  Giả sử tồn nghiệm Chúng ta có b1   mod  b2   mod  so sánh chuẩn - adic vế trái vế phải phương trình 1 dễ dàng suy z1 , z2   ta có b1 z12  b1b2 z32   mod  phương trình   suy p   mod  Bởi p lẻ nên điều mâu thuẫn phương trình 1   khơng có nghiệm  Thêm cặp điểm không tầm thường  từ  3 đến cặp điểm không tầm thường  tương ứng E  2 Nếu  b1 , b2    p,1  b1 , b2    p  p   ,1 lấy đồng dư theo chuẩn lần ta chứng minh nghiệm  z1 , z2 , z3  có z1 , z2   p 65 phương trình 1 trở thành z22  2  mod p  phương trình khơng có nghiệm p   mod  Thêm cặp từ   đến điểm điểm không tầm thường  p E  2 Nếu  b1 , b2    p  2,1 lần ta nhận z1 , z2  p 2 từ phương trình 1 suy z22  2  mod  p    phương trình khơng có nghiệm p    mod  Thêm cặp điểm từ   vào điểm không tầm thường  p2 Giả sử b2   mod p  b1   mod p  giả sử tồn nghiệm  z1, z2 , z3  Giả sử k  v p  z1  j  v p  z2  l  v p  z3  từ phương trình   suy    v p b1 z12  b2 z22  min2k ,1  j Điều suy k  nên mâu thuẫn Vì vậy, phương trình 1   khơng có nghiệm  p 10 Thêm cặp điểm từ   vào điểm không tầm thường  p E  2 11 Nếu  b1 , b2   1,   p    từ phương trình 1 suy z1 , z2   p 2 Trừ p vào hai vế phương trình 1 ta nhận z12   p   z22  p   p Lấy môđun hai vế phương trình ta nhận z12  p   mod  p    Nhưng ta có p    mod  khơng tồn z1 phương trình 1 khơng có nghiệm  p 2 12 Thêm cặp điểm từ 11 vào điểm không tầm thường  p2 E  2 66 13 Nếu  b1 , b2    p,   p     b1 , b2    p  p   ,   p    từ phương trình 1 suy z1 , z2   p  Thu gọn lại ta z22  1 mod p  Nhưng ta có p   mod  phương trình 1 khơng có nghiệm p 14 Thêm cặp điểm từ 13 vào điểm không tầm thường  p E  2 15 Nếu  b1 , b2    p  p   , 1 từ phương trình 1 suy z1 , z2   p Thu gọn lại ta z22   mod  p    Nhưng ta có p    mod  phương trình 1 khơng có nghiệm  p2 16 Thêm cặp điểm từ 15  vào điểm không tầm thường  p 2 E  2 Bảng giá trị thể phần tử   S ,     S ,  qua ảnh ánh xạ  mà nhận từ E  2 theo Bổ đề ta suy E    E       S ,     S ,     2  Bởi chứng minh trước Etors  E   E      r    2  Vì E    E       2  2 r Do đó, chứng minh rank  E   có E    2  2.4.2 Loại 2: Khi p   mod  ta có E      2   2 E        2   2 nên ta nhận rank  E   Trước chứng minh ta xét bổ đề sau: 67 Bổ đề 2: Cho hai đường cong elliptic E E ' trường hữu tỉ  định nghĩa sau:   E : y  x3  ax  bx E ': Y  X  2aX  a  4b X   : E  E ' định nghĩa   x, y   y x , y  b  x  x  isogeny cấp với Ker  E     O,T   0,0  , giả sử S tập hợp bao   gồm O ước 2b a  4b giả sử   S ,2  định nghĩa Bổ đề Khi đó, tồn dãy khớp ngắn  E '      E        S ,2   WC  E    Trong đó: O 1  0,0   a  4b d  Cd   X ,Y   X Với Cd  không gian đồng cấu E cho phương trình Cd : dq  d  2adz   a  4b  z Khi đó, nhóm  - Selmer nhận là: S   E   d    S ,2  : Cd   v   , v  S Bổ đề 3: Cho đường cong elliptic E : y  x   p   x  px E ' : y  x   p   x   p   x  y2 y  p  x2    Và isogeny  : E  E ' xác định   x, y    , x  x2   ta nhận nhóm Selmer S    1,1  Bây giờ, ta quay lại chứng minh toán: Chứng minh bổ đề 3: Theo giả thiết nhận được: 68 Ker    O,  0,0  E  2  O,  0,0  ,  2,0  ,  p,0  E ' 2  O,  0,0  Mặt khác 2b  a  4b   p  p   nên   S ,2   1, 2,  p,   p   ,  p  p   , 2 p, 2 p  p   , 2  p   Với d    S ,  cần kiểm tra không gian đồng cấu kết hợp Cd : d  d   p   dz   p   z Có hay khơng điểm trường địa phương  q với q  2, p, p  Theo Bổ đề 2, ta có: O,  0,0   d  1 S   phần lại cần kiểm tra phần tử d    S ,2  nằm nhóm Selmer Khi d   p xét đồng dư C p để chứng minh d  p khơng nằm nhóm Selmer, tương tự cho C p Ta có khơng gian đồng cấu sau Cd : p  p   p   pz   p   z Ta nhận chuẩn p – adic vế trái, kí hiệu v p  LHS  , lẻ Do chuẩn p – adic vế phải, kí hiệu v p  RHS  lẻ Nhưng có v p  RHS   2,1  2k , 4k  với k  v p  z  (ta có đẳng thức khơng thể lúc 2,1  2k 4k nhau) Nếu k  giá trị nhỏ 4k v p  RHS  chẳn Tương tự, k  giá trị nhỏ Trong hai trường hợp ta nhận v p  RHS   v p  LHS  , C p khơng có nghiệm hữu tỉ  p hay  p  S   69 Khi d  2 xét đồng dư C để chứng minh d  khơng nằm nhóm Selmer, tương tự cho C2 Ta có khơng gian đồng cấu sau Cd : 2  p  22  p   z   p   z Ta nhận chuẩn – adic vế trái lẻ Nhưng có v p  RHS   2,  2k , 4k  với k  v2  z  Bởi ta có v2  RHS  lẻ nên có hai ba số 2,2  2k 4k nhỏ điều xảy khơng có nghiệm  hay 2  S   Khi d  2 p lấy đồng dư với chứng minh 2 p  S   ý S  nhóm nên 2  p   , 2 p  p   ,  p  p    S   phần cịn lại kiểm tra Cd  có điểm  q với d  1,   p   q  2, p, p  2 Khi d  1 có không gian đồng cấu C1 :     p   z   p   z Chúng ta chứng minh C1 có điểm  q với q  2, p, p  2 1 S   (a) Với q  tìm nghiệm  sau, giả sử f  , z     p   z   p   z   2 f  2,1    p     p        8k     8k    14  16k   16k  mod 32   p   mod 8    mod 32  Bởi v2  f  2,1   mà f  f   2  , z  2,1  2v2  45     Do đó, theo bổ đề Hensel ta nhận nghiệm  70 (b) Với q  p tìm nghiệm  sau, giả sử f  , z     p   z   p   z   2 Lấy đồng dư hai vế ta có phương trình f  , z    z  z    mod p  ta có f 0 ,0    02  mod p  có nghiệm 0 p   mod  Mà p / 0 p số nguyên tố lẻ nên ta có: f  2  , z  ,0   mod p   Do đó, theo bổ đề Hensel ta nhận nghiệm  (c) Với q  p  tìm nghiệm  p 2 sau, giả sử f  , z     p   z   p   z   2 Lấy đồng dư hai vế ta có f  , z     p   z    mod  p     ta có phương trình f  ,0      mod  p    có nghiệm   p    1 mod  Và ta nhận được: f  2  , z  ,0   mod  p     Do đó, theo bổ đề Hensel ta nhận nghiệm  p 2 Vì vậy, có 1 S   chứng minh C p 2  khơng có điểm    p    S   mà S    p    S   , đến ta tính Khi d    p  2 chúng nhóm nên suy S  ta  có khơng gian C p   :   p      p     p   p   z   p   z 2 đồng cấu 71 Chúng ta chứng minh khơng gian khơng có nghiệm  Giả sử v2    k , v2  z   j , giả sử tồn nghiệm v2  LHS   2k v2  RHS   0,1  j ,4 j Khi đó, ta xét ba trường hợp:  Giả sử j  suy k   , z   với  lẻ z chẳn, f  , z    p     p      3  mod  Phương trình vơ nghiệm lấy đồng dư với nên phương trình khơng có nghiệm   Giả sử j  suy k  z ,    với z lẻ, lấy đồng dư hai vế f  , z  với ta có f  , z      mod  p   mod  Bởi z lẻ nên  chẳn, ta tiếp tục lấy đồng dư f  , z  với 24 ta có  p  2   mod   p  2 p  2  5 mod 24  ta viết z   2r,  2s p   8l Chúng ta có: f  , z    10 1  2r   1  2r     8l  s   mod 16    12 s  mod 16  Nếu f  , z    mod 16   3s   mod  mà phương trình vơ nghiệm nên f  , z    mod 16  vơ nghiệm hay vơ nghiệm   Giả sử j  điều suy k  j   22 j 0 z  2 j z0 với  z0 lẻ ta nhận phương trình sau:   p   24 j 02   p     p   p   22 j z02   p   24 j z04 2    p   02  24 j  p     p   p   22 j 1 z02   p   z04 2 72 Và lấy đồng dư với hai vế ta được: f  , z    p   z04   p   02  mod   z04  302  mod  Bởi  z0 lẻ nên ta có f  , z     mod  phương trình khơng có nghiệm đồng dư với hay phương trình khơng có nghiệm  Tóm lại   p  1  S  S   p    S   mà 1 S   nên ta có    1, 1   Bổ đề 4: Cho đường cong elliptic E ' : Y  X   p   X   p   X E : y  x   p   x  px  y p   x2    isogeny  : E '  E định nghĩa   X , Y    , y  x2 x  Thì nhóm Selmer S    1, 2, p, p  Chứng minh bổ đề 4: Đầu tiên ta nhận Ker   O,T   0,0  E  2  O, T ,  2,0  ,  p,0  E ' 2  O, T  Khi , tập hợp:   S ,2   1, 2,  p,   p   , 2 p, 2  p   ,  p  p   , 2 p  p   Với d    S ,  kiểm tra không gian đồng cấu kết hợp sau Cd : d  d   p   dz  pz Có hay điểm trường địa phương  q cho q  2, p, p  Theo Bổ đề ta có O  1;  0,0   p;  2,0   2;  p,0   p 73 Và 1, 2, p, p  S   điều lại chứng minh d   S ,2  nằm nhóm Selmer Chúng ta cần kiểm tra giá trị d 1, 2,  p,   p   , 2 p, 2  p   ,  p  p   , 2 p  p   Chúng ta kiểm tra tương tự phần cuối Bổ đề xét d    p   chứng minh C p 2 khơng có nghiệm  p2 tương tự cho d    p   Không gian đồng cấu là: C p2 :   p      p     p   p   z  pz Giả sử k  v p 2   j  v p 2  z  có v2  LHS    2k v2  RHS   2,1  j , j suy k  j   , z   p 2 trường hợp đặc biệt  p   khơng chia hết cho  ,v Khi đó, ta nhận hàm số f  , z    p     p   p   z  pz   p    2 Lấy đồng dư với  p   ta nhận phương trình đồng dư sau: f  , z   z  mod  p    khơng có nghiệm  , z  với  p   / z f  , z  khơng có nghiệm   p2 , có   p    S nên ta có S   S   có cấu trúc nhóm    1, 2, p, p   Bây giờ, ta quay lại tính hạng đường cong trên: Đầu tiên ta chứng minh Etors  E  2    2  Giả sử p  giống chứng minh loại 1, ta có số nguyên tố phép rút gọn tốt Bởi p   mod  , có p   2k  mod 3 với  k  Nhưng k  p   mod 3 p khơng số ngun tố (bởi p  ) Tương tự 74 k  p    mod 3 p  khơng số ngun tố (bởi p  nên p   ) Thì ta nhận E  F3   O;  0,0  ; 1,0  ;  2,0  mà Etors nhúng vào E  F3  E  2  Etors nên ta có Etors  E  2    2  Nếu p  nhận được: E  F7   O;  0,0  ; 1,2  ; 1,5 ;  2,0  ;  2,1 ;  3,6  ;  5,0     4     2  Và ta lấy đồng dư nhận kết Bây giờ, tính hạng, để tính hạng cần tính nhóm Selmer theo Bổ đề Bổ đề Để tính nhóm Selmer hạng E xét dãy khớp ngắn sau 0 0 E  S   E    E     3  E  E  S   E    E '          E  E      E  E  E 0 0     E  2   E  E  E   Bây giờ, tính S    2 S chứng minh điểm S  E    Từ dãy  4     2     ứng với điểm đường cong, suy E   E     2  có   E  2  E   E     E  2  Do đó, theo dãy   trở thành 0 Mà biết E E     2       E  2E   E    nên từ dãy  3 ta có 75 0 Do ta có E   2   E     E E E   2  So sánh với cấp nhóm  E  E   có rank  E   trường hợp rank  E   trường hợp thứ hai Chứng minh xong 76 KẾT LUẬN Trong luận văn đưa giải vấn đề về: - Các điểm hữu tỷ không xoắn đường cong Elliptic  , với số họ đường cong Elliptic cụ thể đưa mô tả chung luật nhóm, jbất biến chúng - Hạng đường cong thuộc họ y  x3  px p số nguyên tố thuộc lớp xác định - Hạng đường cong thuộc họ y  x  x  p  x   p số nguyên tố thuộc lớp xác định - Lược đồ chung giải vấn đề tổng quát 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Thế Phục, Các Điểm Hữu Tỉ Trên Các Đường Cong Eliptic Trên Trường Hữu Tỷ, Luận Văn Thạc Sĩ trường ĐHSP 2010, tr.11 – 16 Cassels, The rational selections of the Diophantine equation y  x3  D , Act a Arithmetica., Volume 82(1950), 243-273 Hatley J, On the rank of the Elliptic Curves y  x  x  p  x   , ArXIV:0909.1614VI Jell Achter On computing the Rank of Elliptic Curves, May 1992, pp.11 – 23 Kudo T and Motose K, On group structures of some elliptic curves , Math J Okayama Univ 47(2005) 81-84, pp.2 – 10 Pete L Clark Supplementary lecture notes on elliptic curves, Graduate course at UGA, Fall 2012 Rose H E, A course in Number Theory – second Edition, University of the Bristol, Clarendon Press Publication, 1995 Spearman B K Elliptic Curves y  x3  px of rank two Math J Okayama Univ 49(2007), 183-184 Silverman J H and Tate J Rational Points on Elliptic Curves Springer (1992), pp.42 -332 ... tương đương đường cong elliptic 42  2.2 Các điểm đặc biệt hạng đường cong elliptic  42  2.2.1 Các điểm hữu tỉ đường cong elliptic  42  2.2.2 Các điểm xoắn đường cong elliptic  ... quan đường cong elliptic trường K 1.4.1 Các khái niệm định nghĩa đường cong elliptic 1.4.1.1 Định nghĩa đường cong elliptic Trong không gian xạ ảnh 2 ta định nghĩa đường cong elliptic đường cong. .. dụ đường cong elliptic Ví dụ 1: Cho đường cong elliptic y  x3  x  Đồ thị đường cong cho bởi: 38 Ví dụ 2: Cho đường cong elliptic y  x3  x Đồ thị đường cong cho bởi: Ví dụ 3: Cho đường cong