Nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quan trên trường

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TRƯƠNG HỮU DŨNG NHĨM CON CỦA NHĨM TUYẾN TÍNH TỔNG QT TRÊN TRƯỜNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TRƯƠNG HỮU DŨNG NHĨM CON CỦA NHĨM TUYẾN TÍNH TỔNG QT TRÊN TRƯỜNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI XUÂN HẢI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2011 Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn ii Bảng kí hiệu iii Lời mở đầu iv Chương : Kiến thức chuẩn bị Chương : Nhóm nhóm tuyến tính tổng qt trường 2.1 Lưới nhóm lưới 2.2 Lưới đồng dạng 2.3 Lưới tối đại 11 2.4 Lưới vành đơn 13 2.5 Ma trận chứa chuẩn hóa tử 17 2.6 Các bổ đề phép co sơ cấp 18 2.7 Nhóm chứa nhóm ma trận đường chéo 28 2.8 Chuẩn hóa tử nhóm D-lưới trường 31 Kết luận .36 Tài liệu tham khảo 38 Chỉ mục 39 Lời cảm ơn Trước tiên, xin gửi lời cám ơn đến tất thầy cô Khoa Toán - Tin, trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, thầy tổ mơn Tốn, người tận tình dạy dỗ chúng tơi suốt q trình học đại học cao học Chính kiến thức mà học từ thầy cô suốt năm qua tảng quan trọng để tơi có hoàn thành luận văn q trình nghiên cứu khoa học lâu dài sau Hơn hết, xin chân thành cám ơn thầy PGS.TS Bùi Xuân Hải người trực tiếp hướng dẫn khích lệ tơi suốt thời gian làm luận văn Thầy giúp tự tin trình tìm hiểu sâu nghiên cứu Tốn học Tơi khơng qn ủng hộ nhiệt tình bạn khóa giúp đỡ, cho lời khuyên tài liệu bổ ích việc học Tốn Xin gởi lời cám ơn đến người thân gia đình, người mẹ - người động viên, tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn người vợ - người bạn hỗ trợ tơi suốt q trình thực luận văn Bảng kí hiệu R vành có đơn vị GL(n,R)- nhóm tuyến tính tổng qt bậc n vành R K- trường GL(n,K)- nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trường K D(n,K)- nhóm ma trận đường chéo T(n,K)- nhóm ma trận tam giác δ ij - kí hiệu Kronecker e=e k - ma trận đơn vị có cấp k eij - đơn vị ma trận, có vị trí (i,j) vị trí khác tij (α )= e + α eij - phép co sơ cấp (transvection) [ε1, , ε n ] - ma trận đường chéo có ε i nằm vị trí (i,i) dij (ε ) - ma trận đường chéo với ε vị trí (i,i), ε −1 vị trí (j,j) vị trí cịn lại đường chéo d r ( ε )- ma trận đường chéo có ε vị trí (r,r) vị trí (i,i)khác [a,b]=a−1b −1ab -giao hốn tử a b N G (H) - chuẩn hóa tử H G σ = (σ ij ) - lưới ideal vành R M (σ ) - tập ma trận vuông a=(a ij ) với a ij ∈ σ ij G(σ ) - nhóm lưới GL(n,R) N (σ ) - chuẩn hóa tử G(σ ) GL(n,R) Lời mở đầu Năm 1976, Z.I Borevich nghiên cứu dàn nhóm nhóm tuyến tính tổng quát GL(n, K) trường K chứa nhóm D(n, K) ma trận đường chéo Một điều thú vị trường K thỏa |K| ≥ 7, dàn hữu hạn không phụ thuộc vào trường K Hơn nữa, tất trường hợp nhóm T(n, K), D(n, K) thỏa tính chất chung là: nhóm nhóm GL(n, K) nằm nhóm chuẩn hóa tử Trong luận văn này, chúng tơi trình bày lại cách chi tiết báo Borevich (xem [4]) Đây báo đầu tiên, đặt móng cho hướng nghiên cứu cấu trúc nhóm nhóm tuyến tính vành chứa nhóm ma trận đường chéo Cụ thể vành nửa địa phương (semilocal ring), vành qui Von Newman Từ việc trình bày chi tiết lại báo, chúng tơi mong muốn có thêm tài liệu tham khảo chi tiết cho vấn đề này, giúp cho việc hiểu rõ báo nhằm mục đích có hướng giải cho toán mở báo gốc Nội dung Luận văn gồm chương: Chương Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm nhóm tuyến tính tổng qt trường, định nghĩa phép co sơ cấp tính chất Chương Đây nội dung luận văn Chúng tơi đưa khái niệm lưới nhóm lưới, chứng minh đẳng thức G = (σ ) GL (n, K ) ∩ ( e + M (σ ) ) trường K, khái niệm lưới đồng dạng, lưới tối đại, lưới vành đơn Các khái niệm giúp cho việc chứng minh Định lý 2.8.1 việc mơ tả chuẩn hóa tử nhóm D-lưới trường Sau đó, chúng tơi mơ tả ma trận chứa chuẩn hóa tử qua Mệnh đề 2.5.1 mô tả phép co sơ cấp nhóm trung gian H qua Bổ đề 2.6.1 đến 2.6.5 Các mệnh đề bổ đề làm sở cho việc chứng minh Định lý 2.7.1: Cho K trường | K |= ≥ 7, G GL (n,= K ), D D(n, K ), H nhóm D ≤ H ≤ G Khi tồn D-lưới σ ideal K cho G(σ ) ≤ H ≤ N (σ ) , N (σ ) = NG (G(σ )) Cuối phần Kết luận đề nghị toán mở Chương : Kiến thức chuẩn bị Nhóm tuyến tính tổng quát trường Cho K trường K* = K \{0} M(n,K) vành ma trận vuông cấp n a = (a ij ) ∈ M(n,K) E ma trận đơn vị GL(n,K) gọi nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trường K, gồm tất ma trận vuông khả nghịch hệ số K Với i,j = 1, …, n, e ij ma trận có vị trí (i,j) tất vị trí khác, e ij gọi đơn vị ma trận Kiểm tra trực tiếp ta e neáu j = k  eijekl =  il  0 neáu j ≠ k Với a = (a ij ), ta có a =∑ aij eij =0 ⇔ aij =0, ∀i, j i, j Suy M(n,K) không gian vectơ K với sở {e ij } Phép co sơ cấp Với α ∈ K i ≠ j , ta đặt tij (α )= e + α eij gọi phép co sơ cấp (transvection) Với β ∈ K , ta có (e + α eij )(e + β eij ) tij (α )tij ( β ) = e + α eij + β eij + αβ eije ji = =e + (α + β )eij = tij (α + β ) Lấy β = −α , ta tij (α )tij (−α ) =tij (0) =e ⇒ (tij (α ))−1 =tij (−α ) Suy tij (α ) ∈ GL (n, K ) Bằng cách kiểm tra trực tiếp ta có mối quan hệ sau: ( E1) tij (α )tij= ( β ) tij (α + β ) ( E2 ) [tij (α ), tkl (β= )] e neáu j ≠ k , i ≠ l ( E3 ) [tij (α ), t jk ( β )] = tik (αβ ) neáu i, j, k , i số khác ( E4 ) σ t ji (α )σ −1 = tij (−εαε ), với ε ∈ R* ,σ = tij (ε )t ji (−ε −1 )tij (ε ) Nếu n ≥ (E ) suy từ (E )-(E ) Với phần tử ε1, , ε n ∈ R* , ký hiệu [ε1, , ε n ] ma trận đường chéo có ε i nằm vị trí (i,i) Ta thấy [ε1, , ε n ] phần tử GL(n,R) Với i ≠ j , ký hiệu dij (ε ) ma trận đường chéo có ε nằm vị trí (i,i), ε −1 nằm vị trí (j,j), vị trí khác Kiểm tra trực tiếp ta công thức sau: ( E5 ) d ji (ε ) =tij (ε )t ji (−ε −1 )tij (ε )tij (−1)t ji (1)tij (−1) ( E6 ) [ε1, , ε n ]t ij (α ) = tij (ε iαε −j )[ε1, , ε n ] ( E7 ) [η1, ,ηn ][ε1, ,ε n ] = [η1ε1, ,ηnε n ] Cho= a (aij ) ∈ M (n, K ) Việc nhân ma trận a bên trái với phép co sơ cấp tij (α ) tương đương với việc áp dụng phép biến đổi sau a: (E) Thay dòng thứ i ma trận a dòng thứ i cộng với α "lần" dòng thứ j ( α nhân bên trái) Tương tự, việc nhân ma trận a bên phải với phép co sơ cấp tij (α ) tương đương với việc áp dụng phép biến đổi sau ma trận a: (E') Thay cột thứ j ma trận a cột thứ j cộng với α "lần" cột thứ i ( α nhân từ bên phải) Nếu αr β s = (1) hiển nhiên Vậy ta giả sử αrα s βr β s ≠ Xét trường hợp xảy Trường hợp αr βr ≠ Ta có ξ2 α β (1 − αr βr ) := α arr a 'rr = 1+ 1+ ξ r r Vì | K |≥ nên tồn ξ ∈ K * cho α thỏa điều kiện Bổ đề 2.6.3, nghĩa α ≠ 0,α ≠ 1,2α ≠ Suy trs (ars ) ∈ H , ∀r ≠ s hay trs (ξα r β s ) ∈ H , ∀ξ ≠ Do trs (α r β s ) ∈ H Trường hợp α= r βr α= s β s Ta có = b adr (1 + η )a −1 ∈ H , ∀η ∈ K ,η ≠ 1, = b (b= ij ) (δ ij + ηα i β j ), α= i a= ir δ ir + ξα i βr , ξ β= α β = δ ij − j a 'rj 1+ ξ r j Ta suy ξ2 α s βs = − 1+ ξ Chọn ξ ≠ 0, ξ ≠ −1, ξ + ξ + ≠ α s β s ∉ {0,1} Và α1 β1 + + α n= β n a1r a 'r1 + + anr a= 'rn Theo chứng minh ta suy trs (α r β s ) ∈ H , ∀r ≠ s Hay trs (−ξα r β s ) ∈ H Suy trs (αr β s ) ∈ H Cho α1, ,α n ; β1, , β n ∈ K thỏa α1β1 + + α n β n = Với ξ ∈ K , đặt = a (a= ij ) (δ ij + ξα i β j ) Ta có det a = a-1 = (a' ij ), a '= ij δ ij − ξα i β Thật vậy, ta tính det a =1 + ξ (α1β1 + + α n β n ) Suy deta =1 Tiếp theo ta tính a-1 Ta có a (a= = ij ) (δ ij + ξα i β j ) Do α1β1 + + α n β n = nên ta đặt = = α= i 1, , n, i bi1, β i b '2i , ∀ b= K ), b (bij ), b −1 (b 'ij ) ∈ G GL (n,= = Khi a = bt12 (ξ )b −1 Từ đó, suy a −1 = b(t12 (ξ ))−1 b −1 = bt12 (−ξ )b −1 = (δ ij − ξα i β j ) Bổ đề 2.6.5 Nếu với ξ ∈ K , a ∈ H trs (α r β s ) ∈ H , ∀r ≠ s Chứng minh Nếu αr βr = tương tự phần chứng minh Bổ đề 2.6.4 trs (α r β s ) ∈ H Giả sử αr βr ≠ Khi đó, từ đẳng thức arr a 'rr = − ξ (αr βr )2 := α Vì | K |≥ nên ta chọn ξ ∈ K cho α thỏa điều kiện Bổ để 2.6.3, suy trs (ars ) ∈ H Hay trs (ξα r β s ) ∈ H Do trs (α r β s ) ∈ H 2.7 Nhóm chứa nhóm ma trận đường chéo Định lý 2.7.1 Cho K trường, | K |≥ ,G=GL(n,K), D=D(n,K), H nhóm G, D ≤ H ≤ G Khi tồn D-lưới σ ideal K cho G(σ ) ≤ H ≤ N (σ ), N (σ ) = NG (G(σ )) Chứng minh Cho σ = (σ ij ) xác định sau: với i=1,…,n, σ ii = K , với i ≠ j ,  K , tồn α ∈ K* cho t ij (α ) ∈ H σ ij =  0, ngược lại Ta chứng minh σ D-lưới Nếu σ ir = K ∃α ∈ K * cho tir (α ) ∈ H Nếu σ rj = K ∃β ∈ K * cho trj (β ) ∈ H Khi đó, ta có = tij (αβ ) [tir (α ),t rj (β )] ∈ H Suy σ ij = K Do σ irσ rj ⊆ σ ij Vậy σ D-lưới Ta chứng minh G(σ ) ≤ H Lấy a ∈ G(σ ), a = (aij ), aij ∈ σ ij , ta có tij (aij ) = e + aijeij ∈ G ∩ (e + M (σ )) =G(σ ) Giả sử tồn a r1 , r > Sử dụng phép biến đổi: thay d d + (1 – a 11 ) ar−11 d r ta làm cho vị trí (1,1) Với ≤ k ≤ n, ta làm phép biến đổi loại (E) sau: Thay dòng k dòng k trừ a k1 lần dịng Khi ta nhận ma trận mà cột thứ toàn ngoại trừ vị trí (1,1).Giả sử với r > 1, a r1 = ⇒ a11 ≠ Sử dụng phép biến đổi sau:  a −1  11 0   0  1 *     a →  *     0 *  *   *    *  Với phép biến đổi vừa áp dụng tính độc lập tuyến tính dịng ma trận bảo tồn, dịng ma trận nhận độc lập tuyến tính với Từ suy ra, ma trận vuông cấp n – nhận cách xóa dịng thứ cột thứ ma trận cuối ma trận khả nghịch Do ta áp dụng phép biến đổi loại (E) để làm cho tất vị trí cột thứ hai 0, ngoại trừ vị trí (2,2) Tiếp tục trình vậy, bước thứ n – ta nhận ma trận dạng  I n −1 *    µ   Từ dùng phép biến đổi loại (E) để đưa ma trận dạng  I n −1   , µ  0 ma trận khác ma trận đơn vị chỗ, vị trí (n,n) khơng phải 1, mà µ Suy G(σ ) ≤ H Tiếp theo ta chứng minh H ≤ N (σ ) Cho= a (aij ) ∈ H Ta chứng minh a thỏa hai điều kiện Mệnh đề 2.5.1 1) air a 'rj ∈ σ ij , ∀i ≠ j, ∀r Chọn ξ ∈ K \ {-1} Xét b = adr (1 + ξ )a −1 = (δ ij + ξ air a 'rj ) ∈ H Áp dụng Bổ đề 2.6.4 (với = αi a= ir , β j a 'rj ) ta tij (air a 'rj ) ∈ H , ∀i ≠ j Suy air a 'rj ∈ σ ij 2) airσ rs a 'sj ⊆ σ ij , ∀i ≠ j, r ≠ s Nếu σ rs = hiển nhiên Nếu σ rs = K , ∀ξ ∈ K , trs (ξ ) ∈ G(σ ) ⊂ H Do atrs (ξ )a −1 = (δ ij + ξ air a 'sj )ij ∈ H Áp dụng Bổ đề 2.6.5 (với = αi a= ir , β j a 'sj ) ta tij (air a 'sj ) ∈ H Suy air a 'sj ∈ σ ij Để chứng minh tính lưới σ ta có ý sau: Chú ý Cho R vành có chứa phần tử khả nghịch θ cho θ − khả nghịch σ D-lưới ideal R Khi phép co sơ cấp N (σ ) thuộc G(σ ) Thật vậy, giả sử tij (ξ ) ∈ N (σ ), i ≠ j ta có tij (ξ )d j (θ )tij (−ξ ) ∈ G(σ ) Mặt khác, tính toán trực tiếp ta tij (ξ )d j (θ )tij (−ξ= ) d j (θ − 1) + ξ (θ − 1)eij Suy ξ (θ − 1) ∈ σ ij nên ξ ∈ σ ij Vậy tij (ξ ) ∈ G(σ ) Bây giờ, ta chứng minh tính lưới σ Giả sử tồn D-lưới τ cho G(τ ) ≤ H ≤ N (τ ), ta chứng minh τ = σ Giả sử τ= rs K (r ≠ s), ta chứng minh σ rs = K Vì τ rs = K nên tồn ξ ∈τ rs , ξ ≠ Xét trs (ξ ), ta có trs (ξ ) ∈ G(τ ) ≤ H , suy σ rs = K (do cách xác định σ ) Ngược lại, giả sử σ= rs K (r ≠ s) ta chứng minh τ rs = K Vì σ rs = K nên tồn ξ ∈ K * cho trs (ξ ) ∈ H ≤ N (τ ) Theo ý ta có trs (ξ ) ∈ G(τ ) nên ξ ∈τ rs Do τ rs = K Vậy τ = σ 2.8 Chuẩn hóa tử nhóm D-lưới trường Định lý 2.8.1.Cho K trường nhiều hai phần tử σ D-lưới bậc n K Khi N (σ ) = P(σ )G(σ ) Chứng minh Từ Nhận xét 2.2.4 iv) phép π ∈ Sn hai đẳng thức N (σ ) = P(σ )G(σ ) N (σ π ) = P(σ π )G(σ π ) tương đương Do đó, để chứng minh định lý, ta lấy lưới tương đương với lưới σ Tiếp theo, ta giả sử σ D-lưới bậc thang Kí hiệu (k ,…,k m ) kiểu lưới σ , ta viết lưới σ dạng ma trận khối Trong dạng này, tất khối σ ij (i > j ) nằm phía đường chéo khối Do biểu diễn bậc n lưới σ có dạng tổng n = k +…+k m ma trận x ∈ GL (n, K ) xem ma trận dạng ma trận khối  x11  x x (= xij )1≤i, j ≤ m  21 =  x  m1 x12 x1m   x22 x2m  ,  xm2 xmm  xij ma trận chữ nhật k i dòng k j cột Đối với ma trận khơng suy biến x, ta có x ∈ G(σ ) với khối σ ij = lưới σ khối tương ứng x khối xij = Đặc biệt, ma trận x ∈ G(σ ) tất khối nằm bên đường chéo khối Hơn thế, D-lưới bậc thang σ , khối đường chéo σ ii gồm ideal đơn vị, nên ta lấy khối đường chéo x 11 ,…,x m ma trận x ∈ G(σ ) ma trận không suy biến cấp k ,…,k m Cho a ma trận N (σ ) ta có aG(σ ) = G(σ )a (2.7) Ta cần chứng minh tồn ma trận thích hợp b ∈ G(σ ) cho ab ma trận dạng Pπ với phép π ∈ Sn Khi Pπ= ab ∈ N (σ ) , theo Mệnh đề 2.2.3 kéo theo σ π = σ tức a Pπ b−1 ∈ P(σ )G(σ ) Pπ ∈ P(σ ) Suy= Sơ đồ chứng minh định lý sau: ma trận a, ta nhân bên phải liên tiếp với ma trận G(σ ) thu ma trận dạng Pπ Từ (2.7), với ma trận x ∈ G(σ ) tồn ma trận y ∈ G(σ ) cho ax = ya (2.8) Đồng thời, (2.8) ta xem y ma trận G(σ ) (khi x phụ thuộc vào y) Ta viết ma trận a, x,y (2.8) dạng ma trận khối kiểu (k ,…,k m ) Tức a=(a ij ) y=(yij ) a ij yij khối gồm k i dòng k j cột Ta giả sử với t (1 ≤ t ≤ m), t – cột khối ma trận a chứa khối khác 0, tất khối khác ma trận đơn vị cấp thích hợp Đó vị trí (i1,1), ,(it −1, t − 1) Các số i ,…,i t-1 khác Ta chứng minh cách nhân vế bên phải ma trận a ma trận thích hợp G(σ ) , đưa cột khối thứ t dạng t – cột đầu tiên, tức cột khối thứ t có khối khác khối khối đơn vị Trước tiên ta chứng minh r = i s ( ≤ s ≤ t − ) khối σ st ≠ ma trận a ta dễ dàng thay a rt khối giữ nguyên tất khối khác khơng đổi Với mục đích vậy, ta nhân a bên phải “phép co dạng ma trận khối” b=(b ij ) kiểu (k ,…,k m ), khối b ij =0 i ≠ j (i, j ) ≠ (s, t ) Ta thấy tích ab khác ma trận a khối vị trí (r,t) Cụ thể, ab vị trí ma trận thay a rt Ma trận b ∈ G(σ ) , theo giả thiết, khối σ st ≠ theo Hệ 2.4.3, gồm tất ideal đơn vị Vì vậy, ta giả sử a it =0 i=i s ( ≤ s ≤ t − ) σ st ≠ Bây ta chọn số r ( ≤ r ≤ m ) cho khối art ≠ tất khối bên a r+1,t ,…,a mt Khi theo (2.8) ta có art xtt = yrr art , (2.9) r ≠ i1, , it −1, a rs x st + a rt x tt = yrr a rt , (2.10) r=i s ( ≤ s ≤ t − ) Nhưng trường hợp thứ hai, art ≠ nên khối σ st phải (do chứng minh trên) x st = ma trận x ∈ G(σ ) Vì (2.10) trở thành (2.9) nghĩa trường hợp ta có (2.9) Trong ta chọn tùy ý ma trận vuông không suy biến x tt yrr Việc chọn hai ma trận xác định ma trận lại qua (2.8) Tiếp theo, từ (2.9) ta thu a rt ma trận không suy biến cấp k r = k t Bây ta chuyển khối a rt sang ma trận đơn vị cách nhân a bên phải với ma trận khối đường chéo [b 11 ,…,b mm ] −1 b ma trận đơn vị kiểu (k ,…,k m ) b tt = art i ≠ t Phép nhân b ii chấp nhận b ∈ G(σ ) Ta xác định thêm giả thiết giả thiết liên quan đến ma trận a, khối a rt ma trận đơn vị Ta quay lại vơi (2.8), ta chọn ma trận y ma trận khối đường chéo [y11 ,…,ymm ] Từ (2.8) khối cột thứ t, ta thu hệ phương trình a it x tt =yii a it (i = 1,…,r), (2.11) [Ở cần ý phương trình a is x st + a it x tt =yii a it với i = i s ≤ s ≤ t − khơng khác ngồi (2.11) x st = σ st = a it =0 σ st ≠ ] Trong hệ phương trình (2.11) yii ma trận khơng suy biến Lấy θ phần tử K khác Ta lấy ma trận yrr ma trận vô hướng với phần tử θ đường chéo yrr =[ θ ,…, θ ] yii ma trận đơn vị với i