Nhóm là hợp của n nhóm con thực sự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ——————————————– Đỗ Thị Thanh Dung NHÓM LÀ HỢP CỦA N NHÓM CON THỰC SỰ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ——————————————– Đỗ Thị Thanh Dung NHÓM LÀ HỢP CỦA N NHÓM CON THỰC SỰ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan, đề tài "Nhóm hợp n nhóm thực sự" hồn tồn cơng trình nghiên cứu cá nhân Tôi không chép ai, tơi tự đọc, tìm hiểu, nghiên cứu, dịch tài liệu, tổng hợp thực Mọi hỗ trợ cho việc thực luận văn cảm ơn, kiến thức trích dẫn rõ ràng Các kết chưa cơng bố nghiên cứu khác Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm cho việc khơng có trung thực, minh bạch q trình sử dụng thơng tin Lời cảm ơn Luận văn này, tơi hồn thành trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh với hướng dẫn bảo tận tình PGS.TS Mỵ Vinh Quang Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến người thầy PGS.TS Mỵ Vinh Quang, thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi nhiều để tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn - Tin: PGS.TS Bùi Tường Trí, PGS.TS Trần Tuấn Nam, TS Trần Huyên, TS Phạm Thị Thu Thủy Các thầy cô trực tiếp đứng lớp giảng dạy hướng dẫn khoa học cho lớp Đại số lý thuyết số Khóa 29, nhiệt tình giảng, trang bị kiến thức để tơi vững tin nghiên cứu hồn thiện luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến cán phòng Sau đại học - Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, tạo điều kiện thuận lợi cho học tập, rèn luyện, hồn thành khóa học thạc sĩ Tơi xin gửi lời cảm ơn đến thành viên lớp Đại số lý thuyết số khóa 29, người anh người bạn tốt nhiệt tình giúp đỡ đồng hành suốt trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin gửi lời tri ân sâu sắc đến gia đình, bạn bè tơi, ln động viên tạo điều kiện tốt để học tập hồn thành luận văn, ln hậu phương vững để tơi có động lực vững tin bước đường chọn Tp.HCM, ngày 25 tháng 11 năm 2020 Tác giả Đỗ Thị Thanh Dung Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Lời mở đầu Một số kí hiệu Các kiến thức 1.1 Nhóm chuẩn tắc 1.2 Nhóm chuẩn tắc tối đại - tối tiểu 1.3 Định lý Sylow 1.4 Nhóm lũy linh 1.5 Nhóm nhị diện bậc 2n 1.6 Nhóm hốn vị bậc n 1.7 Nhóm thay phiên bậc n 3 10 11 16 Nhóm hợp n nhóm thực 20 2.1 Nhóm hợp n nhóm thực với n 20 2.2 Nhóm hợp nhóm thực 30 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 Lời mở đầu Lý thuyết nhóm nhánh đại số, nghiên cứu tính chất nhóm Các ứng dụng lý thuyết nhóm có ảnh hưởng đến nhiều khía cạnh đại số Nhóm ứng dụng hầu khắp toán học, cấu trúc đại số khác vành, trường khơng gian vectơ xét nhóm với tính chất tiên đề bổ sung Ta biết nhóm khơng thể biểu diễn thành hợp 2-nhóm thực Tuy nhiên, từ năm 1926, Scorza chứng minh tồn mơ tả tất tính chất nhóm hợp 3-nhóm thực Từ đó, cách tự nhiên nảy sinh câu hỏi thú vị sau: “Cho trước số tự nhiên n ≥ 3, liệu có tồn nhóm biểu diễn thành hợp n-nhóm thực hay khơng? Và có mơ tả nhóm có tính chất nào?” Đây vấn đề thú vị thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học Chính vậy, tơi định chọn “Nhóm hợp n nhóm thực sự” làm đề tài luận văn Nội dung luận văn có tham khảo kết báo [7],[9] số tài liệu khác Nội dung bao gồm chương: Chương 1: Các kiến thức Nội dung chương trình bày kiến thức lý thuyết nhóm, đặc biệt nhóm hữu hạn, định lí Sylow, nhóm tối đại, số lớp nhóm hữu hạn quan trọng nhóm nhị diện, nhóm hốn vị, nhóm thay phiên, Chương 2: Nhóm hợp n nhóm thực Chương chương luận văn Nghiên cứu số tính chất lớp nhóm mà biểu diễn thành hợp n nhóm thực (với n 6), vận dụng tính chất để mơ tả lớp nhóm mà nhóm biểu diễn thành hợp n nhóm thực Tuy nhiên, hiểu biết tơi cịn nhiều hạn chế nên trình nghiên cứu làm luận văn khơng thể tránh thiếu sót, tơi mong nhận đóng góp ý kiến quý báu quý thầy cô, độc giả quan tâm tới mảng kiến thức nghiên cứu luận văn Một số kí hiệu k|n k n A⊆B A⊂B H G H n (*) n n Hr Bρ = G ∩ Bρ = Ta có G = r=1 σ(Bρ ) Hr ∩ Bρ trừ Hr ∩ Bρ = Bρ , r=1 n (mâu thuẫn với (*)) 1, ∃r : Bρ Do đó, ρ Hr Mà i(Bρ ) = p Hr nhóm thực nên Bρ = Hr ⇒ (p − 1) giá trị khác ρ cho (p − 1) giá trị khác r n Như vậy, biểu diễn G = Hr có p nhóm khác nhau: H, B1 , B2 , , Bp−1 r=1 không chứa U Nên ta có σ(G) = n p + (2) Từ (1) (2), ta có σ(G) = n = p + G i(X) = p2 nên G/X ∼ = Cp × Cp σ(G/X) = p + nên Mà ta có X σ(G/X) = σ(G) (mâu thuẫn với giả thiết G nhóm n−hợp nguyên thủy) Vậy G khơng giao hốn |Z(G)| = Bổ đề 2.1.14 Nếu H nhóm tối đại G H có i(H) nhóm liên hợp G H G i(H) số nguyên tố Chứng minh Gọi NG (H) chuẩn hóa tử G chứa H Theo giả thiết, H nhóm tối đại G nên NG (H) = H NG (H) = G Nếu H nhóm G H có i(H) = i (NG (H)) nhóm liên hợp khác G Nếu H G, lấy x ∈ G mà x ∈ / H Khi đó, Hx nhóm G chứa H mà H nhóm tối đại nên Hx = G xH = Hx (vì H G) nên phần tử G biểu diễn dạng hxi , với h ∈ H, i ∈ Z Lấy ρ số nguyên dương nhỏ cho xρ ∈ H ρ Hxi ρ = i(H) Khi đó, G = i=1 Nếu ρ hợp số giả sử ρ = λµ Khi đó, ta có λ < ρ y = xλ y ∈ / H (do cách chọn ρ), suy H y sinh nhóm thực G chứa H , nhóm nhóm thực G (mâu thuẫn với giả thiết H nhóm tối đại G) Vậy i(H) = ρ số nguyên tố Bổ đề 2.1.15 Cho G nhóm có X, A nhóm con, X nhóm 27 tối đại A X nhóm chuẩn tắc G Khi đó, G/X ∼ = SG/A Chứng minh Với g ∈ G, xét tương ứng: fg : G/A → G/A t → gt Ta có t1 = t2 ⇔ t1 A = t2 A ⇔ (t1 )−1 t2 ∈ A ⇔ (t1 )−1 g −1 (gt2 ) ∈ A ⇔ (gt1 )−1 (gt2 ) ∈ A ⇔ gt1 A = gt2 A Do đó, fg ánh xạ đơn ánh, mà G/A hữu hạn nên fg song ánh, fg ∈ SG/A Xét ánh xạ: ϕ : G/X −→ SG/A g −→ fg : G/A → G/A t → gt · g1 = g2 ⇔ g1 g2−1 ∈ X (do X G) ⇔ g1 t.t−1 g2−1 ∈ X, ∀t ∈ G ⇔ (g1 t).(g2 t)−1 ∈ X ⊂ A ⇔ g1 t = g2 t Do đó, fg1 = fg2 Vậy ϕ đơn ánh · ∀fg ∈ SG/A , g ∈ G, t ∈ G: ∃g ∈ G/X : fg (t) = gt = gtA = gX = ϕ(g) (do X nhóm tối đại A) Vậy ϕ toàn ánh · ϕ(g1 g2 ) = ϕ(g1 g2 ) = fg1 g2 = g1 g2 t = g1 tg2 t = g1 t.g2 t = ϕ(g1 ).ϕ(g2 ) Vậy ϕ đồng cấu Do đó, ϕ đẳng cấu Định lý 2.1.16 (1) Khơng có nhóm 2−hợp (2) G nhóm 3−hợp G có tối thiểu hai nhóm có số Khi đó, nhóm 3−hợp ngun thủy C2 × C2 28 (3) G nhóm 4−hợp σ(G) = G có tối thiểu hai nhóm có số Khi đó, nhóm 4−hợp nguyên thủy C3 × C3 S3 (4) G nhóm 5−hợp σ(G) = {3; 4} G có nhóm tối đại có số Khi đó, nhóm 5−hợp nguyên thủy nhóm thay phiên A4 Chứng minh ⇒ i1 = i2 = (vô lý) Vậy (1) Nếu σ(G) = theo bổ đề 2.1.4, ta có i2 khơng có nhóm 2−hợp (2) Nếu σ(G) = theo bổ đề 2.1.4, ta có i2 nên i1 = i2 = Do đó, G có hai nhóm có số Ngược lại, G có hai nhóm H1 , H2 có số H1 , H2 nhóm chuẩn tắc G Đặt N = H1 ∩ H2 Khi đó, N nhóm chuẩn tắc G i(N ) = nên G/N ∼ = C2 × C2 Do đó, G nhóm 3−hợp nhóm 3−hợp ngun thủy C2 × C2 (3) Nếu σ(G) = 4, theo bổ đề 2.1.4, i2 Giả sử i2 = suy i1 = i2 = ⇒ G có hai nhóm số Do đó, G nhóm 3−hợp (mâu thuẫn với σ(G) = 4) nên i2 = Suy i1 i2 = i3 i4 Theo định lý 2.1.3, ta có |G| |Hr | = r=2 |G| |G| |G| + + ⇒ i3 i4 1 + i3 i4 Do đó, i3 = i4 = Vậy G có tối thiểu hai nhóm có số Ngược lại, σ(G) = G có hai nhóm A B có số Khi đó, A B hai nhóm chuẩn tắc G, có hai nhóm A, B khơng nhóm chuẩn tắc • Nếu A G, B G đặt X = A ∩ B Ta có X G/X ∼ = C3 × C3 • Nếu A G i(X) = nên suy G đặt X nhóm tối đại A X chuẩn tắc G Theo bổ đề 2.1.15, ta có G/X đẳng cấu với SG/A − nhóm nhóm hốn vị lớp kề phải A, tức nhóm nhóm S3 , Theo bổ đề 2.1.14, A có nhóm liên hợp G, X nhóm hai nhóm liên hợp khác A G/X nhóm khơng 29 cyclic (do G/X chứa nhóm bậc) Do đó, G/X ∼ = S3 Ta có σ(S3 ) = Thật vậy, S3 = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)} Ta có |S3 | = = 2.3 Gọi r3 , r2 số 3−nhóm Sylow, 2−nhóm Sylow S3 Theo định lý Sylow, ta có   r3 |6 r2 |6 ⇒ r3 = 1; ⇒ r2 = r3 ≡ 1( mod 3) r2 ≡ 1( mod 2) Suy 3−nhóm Sylow cấp 3: (1), (123), (132) ba 2−nhóm Sylow cấp 2: (1), (12) , (1), (13) , (1), (23) tạo thành S3 Do đó, σ(S3 ) = (4) Nếu σ(G) = 5, theo bổ đề 2.1.4, i2 Theo chứng minh (2), ta có i2 = Nếu i2 = theo định lý 2.1.3, ta có |G| |Hr | = r=2 |G| |G| |G| |G| + + + i2 i3 i4 i5 |G| |G| +3· i3 1 +3· ⇒ i3 i3 Theo chứng minh (3), i3 = nên i3 = ⇒1 Vậy G có nhóm tối đại có số Ngược lại, giả sử σ(G) = {3; 4} G chứa nhóm tối đại B có số Theo bổ đề 2.1.14, B có nhóm liên hợp G Lấy X nhóm tối đại B mà X chuẩn tắc G Theo bổ đề 2.1.15, ta có G/X đẳng cấu với SG/B − nhóm nhóm hốn vị lớp kề phải B , tức nhóm nhóm S4 Ta có, B/X nhóm có số G/X nên |G/X| = 12 24 G/X nhóm khơng cyclic (do có chứa nhóm bậc với B/X ) • Nếu |G/X| = G/X 2−nhóm nên theo định lí 2.1.9 σ(G/X) = + = Khi đó, σ(G) (vơ lý) • Nếu |G/X| = 24 G/X ∼ = S4 Theo bổ đề 1.6.10, S3 nhóm thương S4 σ(S4 ) (vô lý) σ(S3 ) = (do bổ đề 2.1.5) nên σ(G/X) Suy ra, σ(G) 30 • Như vậy, |G/X| = 12 mà theo định lí 1.7.4, nhóm A4 nhóm bậc 12 nhóm S4 nên G/X ∼ = A4 Ta có σ(A4 ) = Thật vậy, A4 = {(1), (123), (124), (134), (234), (132), (142), (143), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} Ta có |A4 | = 12 = 22 Gọi r3 , r2 số 3−nhóm Sylow, 2−nhóm Sylow A4 Theo định lý Sylow, ta có  r3 |12  r2 |12 r3 ≡ 1( mod 3) r2 ≡ 1( mod 2) ⇒ r3 = 4; ⇒ r2 = Suy bốn 3−nhóm Sylow cấp 2−nhóm Sylow cấp tạo thành A4 Do đó, σ(A4 ) = 2.2 Nhóm hợp nhóm thực Bổ đề 2.2.1 σ(A5 ) = 10, σ(S5 ) = 16 Chứng minh Nhóm thay phiên A5 (có kí hiệu 1, 2, 3, 4, 5) bao gồm phần tử bậc 1: 5! = 60 phần tử: (1) 15 phần tử bậc 2: (12)(34), 20 phần tử bậc 3: (123), gồm 10 cặp phần tử cặp nghịch đảo 24 phần tử bậc 5: (12345), (13524), gồm tập sinh bốn phần tử nhóm cyclic: a1 = (12345), a1 = {e, a, a2 , a3 , a4 }, Ta có nhóm thực X A5 chứa phần tử bậc phần tử bậc 3, có |X| 15 (vơ lý định lí 1.7.3 A5 nhóm đơn) Tương tự, ta khơng có nhóm X chứa hai phần tử bậc khơng lũy thừa Do đó, có nhóm thực chứa tất phần tử bậc khơng có 31 nhóm chứa phần tử bậc Tuy nhiên, ta chọn để chúng chứa tất phần tử bậc (ví dụ chọn X1 nhóm sinh (12345) (13)(45) có bậc 10) Gọi Y nhóm thực chứa phần tử bậc Khi đó, |Y | = hoặc 12 Đặt n2 , n3 số 2−nhóm Sylow, 3−nhóm Sylow  n2 |3 • |Y | = 3, n2 ≡ 1( mod 2) ⇒ n2 = suy có 2−nhóm có 1.(3 − 1) = phần tử cấp • |Y | = = 2.3,  n2 |3 ;  n3 |2 n2 ≡ 1( mod 2) n2 ≡ 1( mod 3) ⇒ n2 = 1; n3 = suy có 2−nhóm Sylow, 3−nhóm Sylow có 1.(3 − 1) = phần tử cấp   n3 |4 n2 |3 ; • |Y | = 12 = 3, n2 ≡ 1( mod 2) n3 ≡ 1( mod 3) ⇒ n2 = 1; n3 = suy có 2−nhóm Sylow, bốn 3−nhóm Sylow có 4.(3 − 1) = phần tử cấp Do Y chứa phần tử bậc Các phần tử bậc Y bao gồm kí hiệu trên, Y chứa (123) (145) Y chứa (12345) bậc (vơ lý) Do đó, Y gồm 10 phần tử: (123), (124), (125), (134), (135), (145), (234), (235), (245), (345) ⇒ Có nhóm thỏa u cầu Ta kí hiệu nhóm thỏa yêu cầu: {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 4, 5}, {1, 3, 4, 5} Do đó, σ(A5 ) = 10 A5 nhóm đơn nên A5 nhóm 10−hợp ngun thủy Tương tự, nhóm hốn vị S5 có σ(S5 ) = 16 m Bổ đề 2.2.2 Nếu σ(G) = n, G = n Hr r=1 Kr với nhóm r=m+1 tối đại, Hr G tất nhóm Hr có số khác n |G| |Kr | r=m+1 Chứng minh Theo bổ đề 2.1.14, ta có ir = pr , (với pr số nguyên tố) theo giả thiết, 32 pr khác với r Theo định lí Lagrange 1.1.5, ta có |G| = |Hr |.ir = |Hr |.pr Ta lại có số giao tập nhóm Hr tích số tập m Nếu D = Hr D bao gồm r=1 |Hr | − |Hr ∩ Hs | + |Hr ∩ Hs ∩ Ht | − 1 + − = |G| p r ps pr ps pt m = |G| − 1− phần tử khác pr r=1 Bây giờ, ta đặt kr số phần tử Kr mà không nằm D − pr Do Hs G, Kr nhóm tối đại G nên ta có |Hs ∩ Kr | = |Hs ||Kr | |Kr | |Hs ||Kr | = = |Hs Kr | |G| ps Do Hs ∩ Ht ∩ Kr nhóm Hs ∩ Kr Ht ∩ Kr nên suy |Hs ∩ Ht ∩ Kr | ước |Kr | |K | |K | r ước r ps pt p s pt Mặt khác, Hs , Ht nhóm tối đại |Hs ||Ht | |Hs ||Ht | |Hs ∩ Ht | = = = |Hs Ht | |G| |Kr |.|Hs ∩ Ht | = |Hs ∩ Ht ∩ Kr | = |Kr (Hs ∩ Ht )| |Kr | ⇒ |Hs ∩ Ht ∩ Kr | = ps pt Do đó, kr = |Kr | − + pr Khi đó, G nên ta có |G||G| |G| = ps pt |G| ps pt |Kr |.|G| ps pt |Kr (Hs ∩ Ht )| − ps pt |Kr | ps pt m = |Kr | 1− ps r s=1 n |G| (số phần tử D) + kr r=m+1 m ⇒ |G| |G| 1− r=1 m ⇒ |G| r=1 1− pr 1− pr n n |Kr | + r=m+1 m |Kr | r=m+1 s=1 m 1− s=1 ps 1− ps n ⇒ |G| |Kr | (đpcm) r=m+1 Bổ đề 2.2.3 Nếu σ(G) = i1 = 5; ir = với 33 Chứng minh Do σ(G) = = 5, theo định lí 2.1.16 G có nhóm khơng tối đại số có tối đa nhóm tối đại số số 3, nên i3 · Nếu i1 = 2, giả sử i2 = 3, ta có H1 G, H2 G |G| Theo bổ đề 2.2.2, |G| |Hr | · = |G| (vô lý) 5 r=3 Vậy i2 = Do đó, ir = với r · Nếu i1 = 3, ir = với r Ta có H1 G, i(H1 ∩ H2 ) = i1 i2 = 15 nên H1 ∩ H2 = H2 ∩ H3 Theo định lí 2.1.3, ta có H2 ∩ H3 ⊂ H1 nên = i1 |i(H2 ∩ H3 ) = i2 |i(H2 ∩ H3 ) Mà ta có, i(H2 ∩ H3 ) = |G| |G| · |H2 H3 | = |H2 ∩ H3 | |H2 | · |H3 | |G| · |G| |H2 | · |H3 | 25 Do đó, i(H2 ∩ H3 ) = 15 Tương tự, H1 ∩ H2 = H2 ∩ H3 = H3 ∩ H4 = H4 ∩ H5 = H5 ∩ H6 = H6 ∩ H1 Đặt X giao cặp nhóm nhóm Khơng tính tổng qt, giả sử X = H1 ∩ H 2 , suy i(X) = 15 x ∈ H1 Lấy x ∈ X = H1 ∩ H2 nên x ∈ H2  h−1 xh2 ∈ H1 (do H1 G) ⇒ h−1 Với h2 ∈ H2 , xh2 ∈ H1 ∩ H2 = X h−1 xh2 ∈ H2 (do x ∈ H2 ) Do đó, X H2 Tương tự, X H3 , X G (vì H2 H3 sinh G) ⇒ G/X = Hr (vơ lý G/X nhóm cyclic bậc 15) Do đó, i1 = r=1 Như vậy, bổ đề chứng minh Bổ đề 2.2.4 Nếu G nhóm 6−hợp nguyên thủy i1 = G ∼ = D10 G∼ = W với D10 nhóm nhị diện bậc 10 nhóm W = a, b|a5 = b4 = e, ba = a2 b có bậc 20 Chứng minh Ta có G = Hr i1 = 2, ir = 5, với r=1 r (theo bổ đề 2.2.3) 34 Do i1 = nên H1 G Với r = 1, i(H1 ∩ Hr ) = i1 ir = 2.5 = 10; Với r = 1, s = 1, r = s, Hr ∩ Hs ⊂ H1 nên = i1 |i(Hr ∩ Hs ) = ir |i(Hr ∩ Hs ) Ta có i(Hr ∩ Hs ) = |G| |G| · |Hr Hs | = |Hr ∩ Hs | |Hr | · |Hs | |G| · |G| |Hr | · |Hs | 25 Do đó, i(Hr ∩ Hs ) = 10 20 Ta xét trường hợp sau: · Trường hợp 1: Giả sử tồn r, s: r = r = s : i(Hr ∩ Hs ) = 10 Đặt X = H1 ∩ Hr = Hr ∩ Hs = H1 ∩ Hs i(X) = 10 |G| |G| |G| = = = |Hr | nên X Hr i(X) 10 2.ir Tương tự, ta có X Hs nên X G (Vì Hr , Hs tối đại G) Ta có |X| = Do đó, |G/X| = 10 G/X nhóm khơng cyclic (vì có chứa hai nhóm khác Hr /X, Hs /X bậc 2) Như vậy, G/X ∼ = D10 Mà σ(D10 ) = G nhóm 6−hợp nguyên thủy nên G ∼ = D10 · Trường hợp 2: Với r = 1, s = 1, r = s, i(Hr ∩ Hs ) = 20 Theo định lý 2.1.3, ta có H2 ∩ H3 ⊂ H1 Đặt Br = H1 ∩ Hr X = B2 ∩ B3 Suy i(X) = 20 Khi đó, B2 có số H1 nhóm chuẩn tắc H1 X có số B2 nên X B2 Tương tự, X B3 nhóm tối đại khác H1 X H1 Gọi N (X) nhóm chuẩn tắc H1 chứa X Hiển nhiên, N (X) ⊃ H1 mà H1 tối đại nên N (X) = H1 G Giả sử N (X) = H1 , ⇒ X phải có liên hợp G X Y Vì X H1 X H2 (vì X H1 X H2 X G) hai nhóm H1 , H2 tối đại G ∃b ∈ H2 : bXb−1 = X bXb−1 = Y Do X ⊂ H2 Y ⊂ H2 , tương tự ta có Y ⊂ H3 nên Y ⊂ H2 ∩ H3 = X (vô lý) Vậy N (X) = G, tức X G |G/X| = 20 Đặt K = G/X , suy |K| = 20 K nhóm khơng cyclic K có nhóm H2 /X , H3 /X bậc Ta chứng minh σ(K) = K ∼ = W 35 Do bổ đề 2.1.5, ta có = σ(G) σ(G/X) = σ(K) nên σ(K) K chứa nhóm K1 = H1 /X i(K1 ) = i(H1 /X) = |K| |K| · |X| |K|.|G|/i(X) 20.2 = = = = |H1 /X| |H1 | |G|/i1 20 ⇒ K1 có số 2, bậc 10 K Theo định lý 2.1.16, K có nhóm số K1 Do đó, K1 bao gồm tất phần tử K mà có bậc bội Khi đó, 10 phần tử cịn lại K có bậc ước 2−nhóm Sylow Đặt số 2−nhóm Sylow, 5−nhóm Sylow K r2 , r5 Ta có, |K| = 20 = 22 Theo định lý Sylow:   r2 |20 r5 |20 ⇒ r2 = 5; ⇒ r5 = r2 ≡ 1( mod 2) r5 ≡ 1( mod 5) Suy K có 5−nhóm Sylow F có năm 2−nhóm Sylow Do đó, σ(K) Vậy σ(K) = Ta có F 5−nhóm Sylow K ⇒ F K 20 = nên K/F ∼ = C4 (vì K/F σ(K) = mâu thuẫn với σ(K) = 6) |K/F | = C4 K/F ∼ = C2 × C2 suy Đặt F = a K/F = F b với a5 = b4 = e Do F K, ba ∈ F b, ta có ba = b ba = ab (vì ba = b ba = ab K nhóm cyclic (mâu thuẫn)) Nếu ba = a4 b ta kiểm tra L = {e, b2 } K với K/L ∼ = D10 (theo trường hợp 1) Nếu ba = a2 b K = a, b|a5 = b4 = e, ba = a2 b = W Nếu ba = a3 b đặt c = b3 , ta có ca = b3 a = b2 ba = b2 a3 b = b.a3 b.a2 b = a3 b.a2 b.a2 b = a3 a3 b.ab.a2 b = a6 a3 b.b.a2 b = = a27 b3 = a2 c nên ca = a2 c, K = a, c|a5 = c4 = e, ca = a2 c = W Như vậy, G/X = W Mà G nhóm 6−hợp nguyên thủy nên G ∼ = W Vậy bổ đề chứng minh Bổ đề 2.2.5 Nếu G nhóm, khơng cyclic có bậc ước 24 σ(G) 36 Chứng minh Theo định lí 2.1.9, nhóm G có bậc 6, 12 24 Nếu |G| = nhóm khơng cyclic bậc S3 nhóm 4−hợp nên σ(G) = σ(S3 ) = Nếu |G| = 12 = 22 · Nếu 2−nhóm Sylow có số G khơng σ(G) (do định lý 2.1.16) · Giả sử 2−nhóm Sylow G Nếu 3−nhóm Sylow theo định lý 2.1.11, σ(G) = + = Ngược lại, tồn bốn 3−nhóm Sylow 2−nhóm Sylow tạo thành G nên σ(G) Nếu |G| = 24 = 23 G có 2−nhóm Sylow T bốn 3−nhóm Sylow khơng tối đại (do bổ đề 2.1.14) Đặt K nhóm tối đại G chứa 3−nhóm Sylow · Nếu i(K) = σ(G) (do định lí 2.1.16) · Nếu i(K) = G có nhóm khác K có số σ(G) = Nhưng K nhóm có số G T K bao gồm tất phần tử G có bậc 1, 2, 3, 8, không bao gồm tất phần tử G Do đó, tồn phần tử a ∈ G, a ∈ / K, a ∈ / T a có bậc 6, sinh nhóm L = a có số Nếu L nhóm tối đại σ(G) Nếu khơng L nằm nhóm tối đại số (khác K ), điều mâu thuẫn với nhóm K Bổ đề 2.2.6 Có nhóm 6−hợp nguyên thủy với i1 = C5 × C5 Chứng minh Đặt G = Hr nhóm hợp nhóm có số (ir = 5, r r=1 Đặt X = Hr ∩ Hs Theo định lý 2.1.3, ta có X = Hr ∩ Hs ⊂ H1 nên = i1 |i(Hr ∩ Hs ) Ta có i(Hr ∩ Hs ) = |G| · |Hr Hs | |G| = |Hr ∩ Hs | |Hr | · |Hs | |G| · |G| |Hr | · |Hs | 25 5) 37 Do i(X) = i(Hr ∩ Hs ) = 25 X không phụ thuộc vào r s Do G nhóm 6−hợp ngun thủy nên X khơng chứa nhóm chuẩn tắc G ngoại trừ {e} hay |X| = Đặt Yr nhóm lớn Hr chuẩn tắc G Do i1 = 5, |G/Y1 | 120 = 5! ⇒ |G| |H1 | |H1 |.i1 120 nên k = = ước 24 |Y1 | |Y1 | |Y1 | Đặt Z1 = X ∩ Y1 Lấy h2 ∈ H2 , Ta có Z1 = X ∩ Y1 = H1 ∩ H2 ∩ Y1 = H2 ∩ Y1 (do Y1 nhóm lớn −1 H1 ), h2 Z1 h−1 ⊂ H2 h2 Z1 h2 ⊂ Y1 −1 ⇒ h2 Z1 h−1 ⊂ H2 ∩ Y1 nên h2 Z1 h2 ⊂ Z1 Do đó, Z1 H2 Tương tự, Z1 H3 Mà H2 , H3 nhóm tối đại G nên Z1 G Z1 ⊂ X suy |Z1 | = |X|.|Y1 | |Y1 | = ⇒ |Y1 | = |XY1 | |XY1 | |XY1 | Mà XY1 nhóm H1 chứa nhóm thực X có số H1 Ta có = |Z1 | = |X ∩ Y1 | = ⇒ XY1 = H1 |Y1 | = Bây giờ, ta có k|24, |H1 | nên Y1 5−nhóm Sylow H1 Do Y1 G, Y1 H1 nên Y1 5−nhóm Sylow H1 Y1 có phần tử có bậc Tương tự nhóm Hr khác G G có 24 phần tử có bậc khơng phần tử bậc 25 (vì có a ∈ G |a| = 25 a ∈ Hr ⇒ a ∈ Yr vô lý |Yr | = 5) Do đó, 5−nhóm Sylow F G có dạng C5 × C5 nhóm chuẩn tắc G có số k (với k|24) Ta có, G/F ∼ = Ck (vì G/F Ck , |G/F ||24 theo bổ đề 2.2.5, σ(G) mâu thuẫn với σ(G) = 6) • Nếu k = G/F ∼ = C1 hay G = F = C5 ì C5 ã Nu k > giả sử Y1 = a , Y2 = b Y3 = ab , Y4 = ab2 , Y5 = ab3 , Y6 = ab4 với ba = ab a5 = b5 = e Đặt G/F = F c Khi đó, ck = e (vì ck = e G/F = F d|d = c5 dk = e ) Ta có Y1 G, ca = ar c, r tương tự cb = bs c c(ab) = (ab)t c Ta có (ab)t c = c(ab) = (ca)b = ar cb = ar bs c ⇒ r = s = t 38 · Nếu r = G ∼ = F × Ck Do đó, = σ(G) σ(G/F ) = σ(Ck ) (mâu thuẫn) · Nếu r = c2 a = c.ca = c.a4 c = ca.a3 c = a4 c.a3 c = a4 a4 c.a2 c = a4 a4 a4 cac = a4 a4 a4 a4 cc = a16 c2 = ac2 nên c2 a = ac2 tương tự ta có c2 b = bc2 ⇒ c2 ∈ Z(G) mâu thuẫn với định lý 2.1.13, trừ k = 2, nhóm A thỏa mãn A G G/A ∼ = D10 (mâu thuẫn với G nhóm 6−hợp nguyên thủy) · Nếu r = 3, tương tự ta có c4 ∈ Z(G) ⇒ mâu thuẫn định lý 2.1.13 trừ k = Do c2 a = a4 c2 nên k = Nếu k = ta tìm nhóm A G với G/A ∼ = W Từ kết ta thu được: Định lý 2.2.7 Nhóm 6−hợp nguyên thủy C5 × C5 , D10 W 39 Kết luận Luận văn trình bày số vấn đề lý thuyết nhóm, để phục vụ cho việc chứng minh số định lý tính chất nhóm hữu hạn Sau đó, tìm hiểu, tồn mô tả nhóm hợp n−nhóm thực (với n 6) Biết rằng, khơng có nhóm hợp 2−nhóm thực sự, nhóm nguyên thủy hợp 3−nhóm thực C2 × C2 , nhóm nguyên thủy hợp 4−nhóm thực C3 × C3 S3 , nhóm ngun thủy hợp 5−nhóm thực A4 Cuối cùng, mơ tả nhóm ngun thủy hợp 6−nhóm thực C5 × C5 , D10 , W Như vậy, ta biết nhóm hợp 2− nhóm thực tồn nhóm hợp n−nhóm thực (3 n 6) Ngồi ra, ta cịn tìm hiểu liệu có tồn nhóm hợp 7−nhóm thực khơng? Nếu có mơ tả chúng nào? Để có kết cụ thể nhóm này, tìm hiểu thời gian tới Tài liệu tham khảo [1] Bùi Xuân Hải - Trịnh Thanh Đèo, Đại số đại, Nhà xuất đại học quốc gia TP.HCM, 2013 [2] Bùi Xuân Hải, Trường lý thuyết Galois, Nhà xuất đại học quốc gia TP.HCM, 2013, tr.13-25 [3] Bùi Huy Hiển, Bài tập đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục, 2000 [4] Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 1994 [5] Nguyễn Viết Đông, Đại số đại cương, Nhà xuất đại học quốc gia TP.HCM, 2005 [6] Aschbacher, M (1986), Finite Group Theory, Cambridge University Press [7] Cohn, J.H.E, On n−sum groups, Mathematica Scandinavica, 1994, tr.44-58 Available: https://www.jstor.org/stable/24490967?seq=1 [8] Burnside, W, The Thoery of Groups of Finite Order, Cambridge University Press, 1911 [9] M Bruck, A.C Bryan and A Muir, Groups which are the union of three subgroups, Amer Math, Monthly 77, 1970, pp.52-57 [10] Joseph J Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4th edition, Springer-Verlag, 1995 ... Chương Nhóm hợp n nhóm thực 2.1 Nhóm hợp n nhóm thực với n Định nghĩa 2.1.1 Nhóm G gọi nhóm n? ? ?hợp G biểu di? ?n thành hợp n nhóm thực biểu di? ?n thành hợp nhỏ n nhóm thực Khi đó, ta kí hiệu σ(G) = n. .. thuyết nhóm, đặc biệt nhóm hữu h? ?n, định lí Sylow, nhóm tối đại, số lớp nhóm hữu h? ?n quan trọng nhóm nhị di? ?n, nhóm h? ?n vị, nhóm thay phi? ?n, Chương 2: Nhóm hợp n nhóm thực Chương chương lu? ?n v? ?n Nghi? ?n. .. Cho nhóm h? ?n vị Sn nhóm thay phi? ?n An với n đó, i) Nhóm An nhóm số Sn ii) Nhóm An có n! ph? ?n tử iii) Nhóm An có tâm tầm thường Khi 19 Chứng minh Theo tính chất tr? ?n, ta có nhóm An nhóm chu? ?n tắc