Nhóm các mở rộng của nhóm abel

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đặng Ngọc Đăng Thư NHĨM CÁC MỞ RỘNG CỦA NHÓM ABEL LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đặng Ngọc Đăng Thư NHĨM CÁC MỞ RỘNG CỦA NHÓM ABEL Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS PHẠM THỊ THU THỦY Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn TS Phạm Thị Thu Thủy, luận văn chuyên ngành Đại số lý thuyết số với đề tài: “Nhóm mở rộng nhóm Abel” hồn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn TP Hồ Chí Minh, tháng 03 năm 2020 Tác giả Đặng Ngọc Đăng Thư Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn TS Phạm Thị Thu Thủy Nhân dịp này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc chân thành tới Cô Cô dẫn nhiều kỹ việc nghiên cứu khoa học Được làm việc hướng dẫn Cô, tơi thấy trưởng thành nhiều Cơ dành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn, kiểm tra giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy khoa Tốn – Tin học, trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh kiến thức điều tốt đẹp mà nhận suốt q trình đào tạo thạc sĩ Tơi khơng qn bày tỏ lịng biết ơn quý thầy cô Ban giám hiệu trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt q thầy phịng Sau Đại học tạo điều kiện thuận lợi để học tập làm việc suốt trình học Cao học Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, người thân bạn bè, người bên cạnh động viên ủng hộ vật chất tinh thần sống học tập Mặc dù có nhiều cố gắng suốt q trình thực đề tài, song cịn có mặt hạn chế, thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp dẫn quý thầy cô giáo bạn học viên Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 03 năm 2020 Học viên: Đặng Ngọc Đăng Thư Danh mục kí hiệu A, B, C, G, H : nhóm α, β, γ, δ, φ, µ, ν, : ánh xạ, đồng cấu ∪, ∩: Hợp, giao tập hợp A ≤ B: A nhóm B A/B: nhóm thương 1A : ánh xạ đồng A ×: tích Đề ⊕: tổng trực tiếp  : đẳng cấu Ker α: hạt nhân ánh xạ α Im α: ảnh ánh xạ α Ext: nhóm mở rộng e  e ' : hai mở rộng tương đương C : C  C  C : ánh xạ chéo  A : A  A  A : ánh xạ tựa chéo Mục Lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục kí hiệu Lời mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phạm trù 1.2 Dãy khớp 1.3 Cái kéo lại – Cái đẩy Chương Nhóm mở rộng nhóm Abel 10 2.1 Nhóm mở rộng 10 2.1.1 Xây dựng nhóm mở rộng từ hệ nhân tử 10 2.1.2 Quan hệ tương đương hệ nhân tử mở rộng 15 2.1.3 Hệ biến đổi mở rộng chẻ 19 2.1.4 Nhóm Ext 21 2.2 Mở rộng dạng dãy khớp ngắn 23 2.3 Dãy khớp Ext 34 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 Lời mở đầu Bài tốn mở rộng nhóm Abel tốn quan trọng lý thuyết nhóm Abel, cần xây dựng nhóm Abel từ nhóm nhóm thương tương ứng Nhóm B gọi mở rộng nhóm A nhóm C B chứa nhóm A đẳng cấu với A B / A đẳng cấu với C , nói cách khác, ta có dãy khớp     A   B   C   Khái niệm nhóm mở rộng Ext  C , A  đưa Baer trở thành công cụ quan trọng không việc nghiên cứu tốn mở rộng nhóm Abel mà nhiều hướng nghiên cứu khác, đặc biệt đại số giao hoán Nội dung luận văn nghiên cứu trình bày có hệ thống hai cách tiếp cận xây dựng nhóm mở rộng nhóm Abel, đồng thời nghiên cứu dãy khớp liên quan đến Ext Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: nhóm mở rộng nhóm Abel Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phạm trù Định nghĩa 1.1.1 Ta nói cho phạm trù P nghĩa là: Cho lớp phần tử P , phần tử ta gọi vật Với cặp vật A, B  P , cho tập  A, B  tập cấu xạ (các xạ) từ A tới B Nếu f   A, B  , ta kí hiệu f : A  B Với ba A, B, C  P , ta có ánh xạ: :  B, C    A, B    A, C   g, f   g, f   g f g f ta gọi tích (hợp thành) f g Phép hợp thành thỏa hai điều kiện i Có tính kết hợp: Với f : A  B, g : B  C , h : C  D , ta có h g f   h g  f ii Với vật AP , tồn 1A   A, A có tính chất: Với f : A  B, g : B  A , ta có f 1A  f , 1A g  g Xạ 1A có tính chất gọi xạ đồng vật A 1.2 Dãy khớp Định nghĩa 1.2.1 Dãy đồng cấu (hữu hạn vô hạn) f g   A   B   C   (1) gọi dãy khớp môđun B Im f  Ker g Vậy dãy khớp B ảnh đồng cấu vào hạt nhân đồng cấu Một môđun dãy đồng cấu gọi mơđun trung gian tạo vừa có đồng cấu vào vừa có đồng cấu Dãy đồng cấu (1) gọi dãy khớp khớp mơđun trung gian Ví dụ 1.2.2 Cho dãy xác định sau: i k p   Ker h   X     Y / Im h  0 i phép nhúng, p phép chiếu Dễ thấy đồng cấu h đẳng cấu Ker h  Y / Im h  Từ ta có tiêu chuẩn để đồng cấu đẳng cấu: Đồng cấu h đẳng cấu dãy h   X   Y  0 dãy khớp Định nghĩa 1.2.3 Dãy khớp ngắn Dãy khớp ngắn dãy khớp có dạng f g   A   B   C  0 (2) Để kiểm tra tính khớp dãy (2) ta cần kiểm tra đồng cấu f đơn cấu, đồng cấu g toàn cấu Im f  Ker g Định nghĩa 1.2.4 Dãy khớp ngắn chẻ Dãy khớp đồng cấu f g   A   B   C   gọi chẻ môđun B Im f hạng tử trực tiếp B , tức tồn môđun B1 cho B  Im f  B1 Một dãy khớp gọi chẻ, chẻ mơđun trung gian Áp dụng định nghĩa cho dãy khớp ngắn ta có: Dãy khớp ngắn f g   A   B   C  0 chẻ dãy chẻ B Các dãy khớp ngắn sau sinh tổng trực tiếp A  B xem ví dụ điển hình dãy khớp chẻ j1 p2   A   A  B   B  0 , j2 p1   B   A  B   A  0 f g  A   B   C   , ba phát Định lý 1.2.5 Đối với dãy khớp ngắn  biểu sau tương đương: i Dãy chẻ ii Đồng cấu f có nghịch đảo trái iii Đồng cấu g có nghịch đảo phải 1.3 Cái kéo lại – Cái đẩy Bổ đề 1.3.1 Cho đồng cấu  : A  C  : B  C Nhóm   G   a, b  a  A, b  B,  a   b Giả sử tồn đồng cấu  : G  A,  : G  B thỏa sơ đồ giao hoán    G  A     B C Khi           Ker    0, b  b  Ker  Ker    a,0 a  Ker  Chứng minh Ta có Ker    a, b   G a    0, b     b   0, b  b  Ker  Chứng minh tương tự ta Ker    a,0 a  Ker  Định lý 1.3.2 Cái kéo lại Cho đồng cấu  : A  C  : B  C Khi tồn nhóm G (sai khác đẳng cấu) đồng cấu  : G  A,  : G  B thỏa (i) sơ đồ sau giao hoán G     A  B    G    C Và (ii) có   B A     C 33 hai mở rộng A theo C Khi ta có mở rộng 1  1   e1  e2 :   A  A   B  B   C  C  0 Mở rộng  e1  e2   C mở rộng  A  e1  e2   C thể sơ đồ sau: e1  e2 : 1  1     A  A   B  B   C  C  0  e1  e2  C :     A  A   E1   C  0      A  e1  e2  C :   A   E2   C  0 Ta cần chứng minh f1 f hệ nhân tử mở rộng e1 e2 f1  f hệ nhân tử mở rộng  A  e1  e2   C Theo mệnh đề 2.2.5, F   u1 , u2  ,  v1 , v2   hệ nhân tử e1  e2 hệ nhân tử F  mở rộng  e1  e2   C F   C  u1  ,  C  v1   Với  u1 , v1   C  C , ta có F   C   C  u1 , v1   F   u1 , u1  ,  v1 , v1     f1  c1 , v1  , f  u1 , v1   Suy  f1  u1 , v1  , f  u1 , v1   hệ nhân tử mở rộng  e1  e2   C Tương tự ta có hệ nhân tử F  mở rộng  A  e1  e2   C  A F   u1 , v1  Với  u1 , v1   C  C , ta có  A F   u1 , v1    A  f1  u1 , v1  , f  u1 , v1    f1  u1 , v1   f  u1 , v1  Do  f1  u1 , v1   f  u1 , v1   hệ nhân tử  A  e1  e2   C Vậy f1  f hệ nhân tử mở rộng  A  e1  e2   C hay e1  e2   A  e1  e2   C 34 2.3 Dãy khớp Ext Bổ đề 2.3.1 Bổ đề rắn Cho sơ đồ giao hoán, với hai hàng tất cột khớp 0 0   Ker   Ker    Ker      A   B   C        A   B   C       Coker    Coker    Coker    0 0 Khi tồn ánh xạ 1 , 2 ,1 , để hàng đầu hàng cuối khớp ánh xạ  : Ker   Coker  đồng cấu nối để dãy sau khớp 1 1 2 2    Ker    Ker    Ker    Coker    Coker    Coker   0 Chứng minh Ta chứng minh dãy 1 1   Ker    Ker    Ker    khớp Xét 1 : Ker  a  1 : Ker   Ker  Ker  1  a     a  b 1 b    b   Lấy a  Ker 1 Khi 1a  hay  a  Mà  đơn cấu nên a  Do Ker 1  hay 1 đơn cấu  Với a  Ker  , ta có 11a  v1a  v a  Suy 11  Do Im 1  Ker  Lấy b  Ker1 Suy  1b  hay  b  Do b  Ker  Im  Khi tồn a  A cho 35 a  b Suy  a   b  Do   a  Mà   đơn cấu nên  a  Suy a  Ker  Vì b  Im 1 hay Ker  Im 1 Tóm lại Ker1  Im 1 Vậy ta chứng minh dòng đầu khớp Tiếp theo ta chứng minh 2 2    Coker    Coker    Coker   0 khớp Xét 2 : Coker  a  Im   Coker     a   Im  2 : Coker   b  Im   Ta có Im     Coker      A / Im        A   Im   / Im    Im    Im   / Im    Ker v  Im   / Im  Ker  b  Im    b  Im    Im   Lấy b  Im   Ker Khi   b  Im    Im  Suy    b   Im   Im  Do    b   Im     C     B      B  Suy    b      b  với b  B Hay    b    b    Suy b    b   Ker  hay b  Im   Ker  Do b  Im    Ker   Im   / Im  Coker     b   Im  36 Ta thấy lập luận thay tương đương Vậy Im  Ker  Ta có Im    Coker      B / Im       B   Im   / Im    Im   Im   / Im    C   Im   / Im   Coker  Do  toàn cấu Vậy ta chứng minh xong dòng cuối khớp Tiếp theo ta xác định đồng cấu nối  Lấy c  Ker  Vì  tồn cấu nên tồn b  B thỏa b  c Vì c  Ker  nên  c  Suy  b  hay   b  Suy  b  Ker   Im   Do tồn a  A cho  a   b Xây dựng  : Ker  c  Coker    c   a  Im  Ta chứng minh  ánh xạ Giả sử  a1   b1 với  b1  c ,  a2   b2 với  b2  c Ta cần chứng minh a1  Im  a2  Im Vì   b1  b2   nên b1  b2  Ker  Im  Khi tồn a  A cho b1  b2    a  Do    a1  a2     b1     b2     b1  b2    a    a 37 Mà   đơn cấu nên a1  a2   a Suy a1  a2  Im  hay a1  Im   a2  Im  Vậy  ánh xạ Ta chứng minh tính khớp Ker  , tức chứng minh Im1  Ker   Với b  Ker  , ta có   b     b  Vì b  Ker  nên  a   b  Mà   đơn cấu nên a  Do 1  b     b   hay 1  Suy Im1  Ker   Lấy c  Ker  Suy  c  hay a  Im  với a  A thỏa  a   b Do tồn a  A thỏa a   a Mà  b   a    a   a Suy b   a  Ker  Khi   b   a   v  b    a     b   c Suy c  Im1 hay Ker   Im Vậy Im1  Ker  Ta chứng minh tính khớp Coker  , tức chứng minh Im   Ker 2  Với c  Ker  , ta có 1  c     a  Im       a   Im  0 38 với a  A thỏa  a   b  Im  Do 2  Suy Im   Ker 2  Lấy a  Im   Ker 2  a  A  Suy 2  a  Im   hay  a  Im  Do tồn b  B thỏa  a   b Khi  b  c  Ker   c   b    b    a  Suy a  Im  Im hay Ker 2  Im  Vậy Im   Ker 2 Bổ đề 2.3.2 Cho    A1   A2   A3  0 dãy khớp, toàn cấu   i : F1  Ai i  1,3 với Fi tự Nếu  : F3  A2 thỏa   3 1  : F1  F3  A2 toàn cấu Ker 1    Ker 1  Ker 3 Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh 1  : F1  F3  A2 toàn cấu Cho a  A2 , suy   a   A3 Vì 3 toàn cấu nên tồn x3  F3 cho   a   3  x3     x3  Suy a   x3   Ker     F3   Im j    F3   j  A1     F3   j1  F1   Im 1   Tiếp theo ta chứng minh Ker 1    Ker 1  Ker 3 Xét sơ đồ sau: 39 0 j    Ker 1   Ker 1     Ker 3     F1  F1  F3   F3   1   1 3 j    A1   A2    A3  Ta chứng minh dòng đầu khớp chẻ Xét ánh xạ j  : Ker 1   : Ker 1   Ker 1     x1 , x3   x1 ,  x1  Ker 3 x3  j  ánh xạ với x1  Ker 1 , ta có 1   x1 ,   1  x1   Suy  x1 ,   Ker 1      ánh xạ với  x1 , x3   Ker 1   , ta có 1   x1 , x3   Suy j1  x1     x3   hay   x3    j1  x1  Từ suy 3  x3     x3    j1  x1   Khi x3  Ker 3  Ta chứng minh dòng đầu khớp Dễ thấy j  đơn cấu   toàn cấu Mặt khác Ker     x , x   Ker      x , x   0 1   x , x   Ker    x   x ,0    x ,0  0 1 1 3  0 40   x ,0   x   0   x ,0 x  Ker    Im j 1 1 1   Ker 3   F3   A3   1 dãy khớp mà F3 tự nên Ker 3  Vì  tự Do Ker 3 xạ ảnh Ker 3    Ker 1     Ker 3 Suy  khả trái nghịch Khi dãy (1) khớp chẻ hay Ker 1    Ker 1  Ker 3 Bổ đề 2.3.3 Cho e mở rộng nhóm A theo C  : A  A,  : C  C  đồng cấu C     e :   A   B  C     A Khi đó: e mở rộng chẻ tồn đồng cấu  : C   B thỏa     e mở rộng chẻ tồn đồng cấu  : B  A thỏa    u Chứng minh Giả sử tồn đồng cấu  : C   B thỏa    Khi ta chứng minh sơ đồ sau giao hoán e : j p   A   A  C    C     e:       A   B   C   với j: a p :  a, u    a,  u 41  :  a, u    a   u Thật với a  A, u  C ta có  j  a     a,     a         a    a, u        a     u       a    u    v  u      u   p  a, u   Vậy sơ đồ giao hốn Do theo Mệnh đề 2.2.3, ta có a  e nên e mở rộng chẻ A theo C Ngược lại giả sử e mở rộng chẻ A theo C e : j p   A   B   C     e:       A   B   C   Đặt g : C   A  C  với g : u   0, u Khi pg  1C Đặt    g Với u  C ta có   u    v g  u     pg  u      u   Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta ý Bổ đề 2.3.4 Cho phép giải tự nhóm C 1 1 e1 :   A   F   C  0 phép giải nội xạ nhóm A 2 2 e2 :   A   D   C   0 Khi Tồn ánh xạ tự nhiên  * : Hom  A, A   Ext  C , A  để dãy sau khớp 1 1    Hom  C, A   Hom  F , A   Hom  A, A   Ext  C , A  0 * 42 Tồn ánh xạ tự nhiên  * : Hom  C , C    Ext  C , A  để dãy sau khớp 1 1    Hom  C , A   Hom  C , D    Hom  C , C     Ext  C, A  0   Chứng minh Cho ánh xạ   : Hom  A,    Ext  C ,   sau: với hai nhóm G , H ,   Hom  G, H  ta xét sơ đồ   Hom  A, G    Hom  A, H  Hom i ,  H  G 1  Ext  C , G    Ext  C , H   Hom  i,   : f f  : e e  G* : f fe1  H* : g ge1 Khi với f  Hom  A, G  ta có  H* Hom  i,   f    f  e1  G  f     fe1  Mà dễ thấy  f  e1    fe1  nên sơ đồ (1) giao hoán, ánh xạ  * ánh xạ tự nhiên Xét  A : Hom  A, A   Ext  C , A  Để đơn giản ta ký hiệu  A  * Ta chứng minh  * toàn cấu Cho e mở rộng A theo C   e :   A   B   C  0    A   F   C   phép giải tự C nên tồn đồng Vì e1 :  1 cấu 1 , 1 để sơ đồ sau giao hoán e1 : 1 1   A   F   C  0 1 e : 1     A   B   C  0 43 Do từ Định lý 2.2.6 ta có e  1e1 hay e   * 1  Vậy  * toàn cấu, ta có dãy khớp  Hom  A, A   Ext  C, A  0 * Ngoài ra, từ tính khớp trái Hom  , A  e1 dãy khớp ngắn, ta có dãy khớp v1  1    Hom  C , A    Hom  F , A   Hom  A, A  Cuối cùng, ta chứng minh Im 1  Ker   Điều suy trực tiếp từ bổ đề 2.3.3, theo mở rộng   e :   A   B   C  0 chẻ tồn ánh xạ  : F  A để sơ đồ sau giao hoán 1 1   A   F   C  0 e1 : 1 e :  1     A   B   C  0 Điều tương đương với việc 1  1  Im 1 Vậy dãy 1 1    Hom  C, A   Hom  F , A   Hom  A, A   Ext  C, A  0 * khớp Chứng minh tương tự ta có dãy 1 1    Hom  C , A   Hom  C , D    Hom  C , C     Ext  C, A  0   khớp Định lý 2.3.5 Định lý Cartan - Eilenberg    A   B   C   dãy khớp Khi dãy Cho    Hom  C , G    Hom  B, G    Hom  A, G       Ext  C, G    Ext  B, G    Ext  A, G   0    dãy   Hom  G, A    Hom  G, B    Hom  G, C       Ext  G, A   Ext  G, B    Ext  G, C   0  dãy khớp với nhóm G , tất ánh xạ tự nhiên 44 Chứng minh Lấy phép giải tự A C :  H1  F1  A   H  F2  C  Áp dụng bổ đề 2.3.2, suy  H1  H  F1  F2  B  phép giải tự Theo bổ đề 2.3.4, ta có dãy khớp  Hom  B, G   Hom  F1  F2 , G   Hom  H1  H , G   Ext  B, G   0  Hom  C , G   Hom  F2 , G   Hom  H , G   Ext  C , G   0  Hom  A, G   Hom  F1 , G   Hom  H1 , G   Ext  A, G   Hơn ta có  F2  F1  F2  F1  dãy khớp chẻ nên suy dãy sau khớp  Hom  F2 , G   Hom  F1  F2 , G   Hom  F1 , G   0  Hom  H , G   Hom  H1  H , G   Hom  H1 , G   Xét sơ đồ giao hốn có hai dịng khớp, cột khớp 1 1   Hom  C , G    Hom  B, G    Hom  A, G      Hom  F2 , G   Hom  F1  F2 , G    Hom  F1 , G          Hom  H , G    Hom  H1  H , G    Hom  H1 , G    2 2 Ext  C , G    Ext  B, G    Ext  A, G   Áp dụng Bổ đề 2.3.1 (Bổ đề rắn), ta   Hom  C , G    Hom  B, G    Hom  A, G       Ext  C, G    Ext  B, G    Ext  A, G   0  dãy khớp   45 Chứng minh tương tự, ta   Hom  G, A    Hom  G, B    Hom  G, C       Ext  G, A    Ext  G, B    Ext  G, C   0 khớp 46 Kết luận Trong luận văn thực số công việc sau: Trình bày chi tiết có hệ thống việc tiếp cận xây dựng nhóm mở rộng nhóm Abel theo hai cách thồn qua hệ nhân tử thông qua dãy khớp ngắn (Định lý 2.1.7, Định lý 2.1.11, Mệnh đề 2.2.3, Mệnh đề 2.2.4) Trình bày chi tiết có hệ thống việc nghiên cứu dãy khớp liên quan đến Ext (Định lý 2.3.5) 47 Tài liệu tham khảo [1] L Fuchs, Abelian groups Spinger Monographs in Mathematics, 2015 [2] Nguyễn Viết Đông Trần Huyên, Đại số đồng điều Nhà xuất Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2006 ... 47 Lời mở đầu Bài tốn mở rộng nhóm Abel tốn quan trọng lý thuyết nhóm Abel, cần xây dựng nhóm Abel từ nhóm nhóm thương tương ứng Nhóm B gọi mở rộng nhóm A nhóm C B chứa nhóm A đẳng cấu...  tồn cấu 10 Chương Nhóm mở rộng nhóm Abel 2.1 Nhóm mở rộng Định nghĩa 2.1.1 Cho hai nhóm A, C Nhóm B gọi mở rộng A theo C B chứa nhóm A đẳng cấu với A B / A  C Mở rộng biểu diễn thơng... Chương Nhóm mở rộng nhóm Abel 10 2.1 Nhóm mở rộng 10 2.1.1 Xây dựng nhóm mở rộng từ hệ nhân tử 10 2.1.2 Quan hệ tương đương hệ nhân tử mở rộng 15 2.1.3