Nhóm con thuần túy của nhóm aben

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trịnh Thị Kim Phượng NHĨM CON THUẦN TÚY CỦA NHÓM ABEN Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS PHẠM THỊ THU THỦY Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn làm Các thông tin trích dẫn luận văn ghi rõ nguồn gốc phép cơng bố Các kết có luận văn trung thực, có sai phạm xin chịu trách nhiệm theo qui định pháp luật TP Hồ Chí Minh - Tháng năm 2016 Trịnh Thị Kim Phượng LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành với hướng dẫn giúp đỡ tận tình TS Phạm Thị Thu Thủy Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành lòng biết ơn sâu sắc đến cô Phạm Thị Thu Thủy, người đưa góp ý lời khuyên quý báu, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập suốt trình làm luận văn Qua xin gửi lời cảm ơn đến thầy khoa Tốn Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, cảm ơn mà thầy dạy cho tơi giảng đường sư phạm giúp đỡ tơi q trình học tập Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Cảm ơn gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, giúp đỡ tơi lúc khó khăn q trình viết luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, khơng tránh khỏi thiếu sót Do đó, tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy, bạn đọc để luận văn hồn thiện Xin chân thành cảm ơn tất chúc tất thật nhiều sức khỏe TP Hồ Chí Minh - Tháng năm 2016 Trịnh Thị Kim Phượng MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Bảng kí hiệu Lời nói đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số nhóm 1.2 Tính chia hết cho số nguyên phần tử nhóm Aben 1.3 Hạng tử trực tiếp nhóm aben Chương NHÓM CON THUẦN TÚY CỦA NHÓM ABEN .10 2.1 Tính túy nhóm nhóm Aben 10 2.1.1 Tính túy, p- túy điều kiện tương đương 10 2.1.2 Một số ví dụ nhóm túy p- nhóm túy 12 2.1.3 Mối quan hệ tính túy p- túy 13 2.2 Một số điều kiện đủ nhóm túy 15 2.3 Quan hệ nhóm túy hạng tử trực tiếp 19 2.3.1 Nhóm túy không hạng tử trực tiếp 19 2.3.2 Nhóm túy bị chặn 22 2.4 Một số kết khác 26 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 BẢNG KÍ HIỆU Kí hiệu Ý nghĩa  Tập hợp số tự nhiên  Tập hợp số nguyên  Tập hợp số hữu tỉ n Tập hợp số nguyên modulo n n | a , ( n /| a ) a chia hết (không chia hết) cho n ( m, n ) Ước chung lớn m n A≤ B A nhóm B A Nhóm thương A theo B B o( a ) Cấp phần tử a A Cấp nhóm A hp( ) (a ) , hp (a ) p - cao độ phần tử a A A a A≅ B Nhóm cyclic sinh phần tử a Nhóm A đẳng cấu với nhóm B LỜI NĨI ĐẦU Lý thuyết nhóm Aben nhánh đại số đại nghiên cứu nhóm giao hốn Trong nghiên cứu nhóm Aben, việc tách nhóm thành tổng trực tiếp nhóm khơng giúp hiểu rõ cấu trúc chúng mà giúp đơn giản hóa nhiều tốn đặt nhóm Aben Tuy nhiên, việc xác định nhóm có hạng tử trực tiếp nhóm Aben khơng nhìn chung khơng đơn giản Nhóm túy cầu nối quan trọng nhóm hạng tử trực tiếp Khái niệm nhóm túy đưa Prufer [7] nghiên cứu Fuchs L [1], Szele T [5], Kulikov L.Ya [8], Khabbaz S.A [9] nhà toán học khác Tầm quan trọng nhóm túy thể chỗ chúng cơng cụ hữu ích để chứng minh tồn hạng tử trực tiếp Nhìn chung tính túy nhóm khơng q khó để xác định bổ sung số điều kiện, nhóm túy trở thành hạng tử trực tiếp nhóm Aben Luận văn trình bày hệ thống kết quan trọng liên quan tới nhóm túy tiêu chuẩn để chúng trở thành hạng tử trực tiếp Nội dung luận văn bao gồm hai chương sau: Chương Kiến thức chuẩn bị, giới thiệu tính chia hết cho số nguyên, cao độ phần tử, giới thiệu số nhóm, nhóm nhóm Aben Chương cung cấp kiến thức phục vụ cho chương sau Chương Nhóm túy nhóm Aben, nội dung luận văn 2.1 Tính túy nhóm nhóm Aben, trình bày định nghĩa nhóm túy, p - túy, mối quan hệ chúng số ví dụ nhóm túy 2.2 Một số điều kiện đủ nhóm túy, trình bày điều kiện, tiêu chuẩn để nhóm trở thành nhóm túy 2.3 Quan hệ nhóm túy hạng tử trực tiếp, trình bày mối quan hệ nhóm túy với hạng tử trực tiếp số tiêu chuẩn để nhóm túy trở thành hạng tử trực tiếp Định lý trung tâm 2.3 Định lý 2.3.5 Cho B nhóm túy bị chặn nhóm A Khi B hạng tử trực tiếp A 2.4 Một số kết khác, trình bày số kết chi tiết nhằm mục tiêu tìm hiểu sâu nhóm Các tốn câu hỏi [2] câu hỏi nảy sinh trình tìm hiểu đề tài luận văn Trong tồn luận văn này, nhóm xét nhóm Aben nên để đơn giản ta ghi “nhóm” thay “nhóm Aben” Ngồi ta ln dùng kí hiệu cộng cho phép tốn hai ngơi nhóm Phần tử đơn vị ln kí hiệu Nhóm {0} kí hiệu đơn giản Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kiến thức thiết yếu phục vụ cho việc nghiên cứu chương sau 1.1 MỘT SỐ NHÓM CƠ BẢN Định nghĩa 1.1.1 Một tập hợp A khác ∅ trang bị phép tốn cộng “+” gọi nhóm thỏa điều kiện sau: 1) Phép cộng có tính chất kết hợp, tức với a, b, c ∈ A ta có a + (b + c) = (a + b) + c 2) Tồn phần tử không, kí hiệu 0, cho với a ∈ A ta có + a = a + = a 3) Mọi phần tử a ∈ A có phần tử đối, kí hiệu −a , nghĩa a + (−a) = (−a) + a = Nhóm A gọi nhóm Aben hay nhóm giao hốn phép tốn cộng có tính chất giao hốn, nghĩa với a, b ∈ A ta có a + b = b + a Định nghĩa 1.1.2 Cho A nhóm, a ∈ A Cấp a, kí hiệu o(a) , số nguyên dương n nhỏ cho na = ; khơng tồn số ngun dương ta nói o ( a ) = ∞ Cấp nhóm A lực lượng tập hợp A, kí hiệu A Định lý 1.1.3 (Định lý Lagrange) Cho A nhóm hữu hạn B nhóm A Khi B ước A  Định nghĩa 1.1.4 Cho A nhóm 1) Nếu phần tử A có cấp hữu hạn A gọi nhóm xoắn 2) Nếu phần tử khác A có cấp vơ hạn A gọi nhóm khơng xoắn 3) Nếu A chứa phần tử khác có cấp hữu hạn phần tử có cấp vơ hạn A gọi nhóm hỗn hợp 4) Nếu phần tử A có cấp lũy thừa số nguyên tố p A gọi p- nhóm Định nghĩa 1.1.5 Nhóm A gọi nhóm bị chặn tồn số nguyên dương n cho phần tử nhóm A có cấp nhỏ n Định nghĩa 1.1.6 Nhóm A gọi nhóm cyclic A sinh phần tử a ∈ A , nghĩa= A {na | n ∈ } Định lý 1.1.7 Cho A = a o ( a ) = n Khi với số nguyên m ta có o ( ma ) = n ( m, n )  Mệnh đề 1.1.8 Cho A = a o ( a ) = n Khi nhóm B A nhóm cyclic Hơn tồn ước m n cho B = ma  Định nghĩa 1.1.9 Cho p số ngun tố, nhóm p- tựa cyclic, thường kí hiệu Z ( p ∞ ) , nhóm sinh phần tử c1 , c2 , , cn , khác cho = pc1 0,= pc2 c1, , = pcn+1 cn , Khi c1 , c2 , , cn , gọi tựa sở nhóm p - tựa cyclic Mệnh đề 1.1.10 Cho A nhóm p - tựa cyclic với tựa sở c1 , c2 , , cn , Khi đó, 1) Nếu m ≥ n cn = p m−ncm 2) o(cn ) = p n với n ∈  * 3) Với a ∈ A tồn n ∈  * m ∈  cho a = mcn , a ≠ m, n chọn cho ( m, p ) =  Định nghĩa 1.1.11 Cho A nhóm Tập B khác ∅ nhóm A gọi nhóm A, kí hiệu B ≤ A, B thỏa hai điều kiện sau: 1) B ổn định với phép toán A , nghĩa với b, c ∈ B ta có b + c ∈ B 2) Tập hợp B với phép toán cảm sinh từ phép tốn A nhóm Để chứng minh nhóm B nhóm nhóm A , ta thường chứng minh định lý sau Định lý 1.1.12 Cho A nhóm B tập hợp khác ∅ A Khi đó, với a, b ∈ B ta có a − b ∈ B B gọi nhóm A  Trong luận văn ta thường xem xét số nhóm sau nhóm A 0} 1) Với số nguyên n , ta kí hiệu A[ n ] =∈ {a A | na = 21 Theo Mệnh đề 2.1.7 ta có B nhóm túy A Giả sử B hạng tử trực tiếp A , tức tồn nhóm khơng xoắn C ≤ A cho A= B ⊕ C Xét= a ) (= ( 0, pe ,0, p e ,0, p e ,0, ) ∈ A 2 nghĩa khi= i 2n + 0 =  n  p e2 n i = 2n Ta chứng minh hp ( p m a= ) 2m + với m Vì o ( ei ) = pi với i nên ta có p m a = ( 0, p m+1e2 , ,0, p m+ me2 m ,0, p m+ m+1e2 m+ ,0, ) = ( 0, ,0, p m+1e2 m+ ,0, p m+ 2e2 m+ ,0, ) Do đó, dễ thấy p m+1 | p m a p m+ /| p m a Vậy hp ( p m a= ) 2m + với m ∈  * Vì a ∈ A = B ⊕ C nên tồn b ∈ B, c ∈ C cho a= b + c Vì B nhóm xoắn nên tồn n ∈ N cho p nb = Khi n p= a p nc ∈ C Mà A= B ⊕ C nên theo Mệnh đề 2.1.6 ta có C nhóm túy A Do theo ý Định lý 2.1.8 ta có hp(C ) ( p n a ) = hp( A) ( p n a ) hp(C ) ( p n+1a ) = hp ( A) ( p a ) Mà theo chứng minh ta có n +1 hp( A) ( p n a= ) 2n + ) 2n + Do hp( A) ( p n+1a= hp(C ) ( p n a= ) 2n + hp(C ) ( p n+1a= ) 2n + Mà p n a ∈ C C không xoắn nên điều mâu thuẫn với Mệnh đề 1.2.6 Do B khơng hạng tử trực tiếp A  22 2.3.2 Nhóm túy bị chặn Mệnh đề 2.3.3 [5] Cho nhóm A nhóm B tổng trực tiếp nhóm cyclic có cấp p k với k ≥ p số nguyên tố Khi phát biểu sau tương đương: 1) B nhóm p - túy A 2) B ∩ p k A = 3) B hạng tử trực tiếp A Chứng minh Đầu tiên, ta chứng minh 1) suy 2) Do B nhóm p túy A nên theo Mệnh đề 2.1.4 ta có p k B= B ∩ p k A Mặt khác B tổng trực tiếp nhóm cyclic có cấp p k nên p k B = Vậy B ∩ p k A = Tiếp theo ta chứng minh 2) suy 3) Giả sử B ∩ p k A = Khi đó, theo ghi sau Định nghĩa 1.3.8 , tồn C nhóm B - cao A chứa p k A Ta chứng minh A= B ⊕ C Giả sử a phần tử A thỏa pa= b + c với b ∈ B, c ∈ C Khi = p k a p k −1b + p k −1c Vì pk a ∈ pk A ≤ C nên p k −1b =p k a − p k −1c ∈ C Mặt khác, rõ ràng p k −1b ∈ B C ∩ B = C nhóm B - cao A Do p k −1b = Mà theo giả thiết nhóm B tổng trực tiếp nhóm cyclic có cấp p k nên tồn b′ ∈ B cho pb′ = b Khi theo Mệnh đề 1.3.9 ta có A= B ⊕ C Cuối cùng, giả sử B hạng tử trực tiếp A Khi đó, theo Mệnh đề 2.1.6 ta có B nhóm túy A Theo Định lý 2.1.8 ta có B nhóm p - túy A Vậy 3) suy 1) 23 Vậy ba khẳng định 1) 2) 3) tương đương  Hệ 2.3.4 Cho A nhóm p số nguyên tố Cho a ∈ A có o ( a ) = p hp ( a ) < ∞ Khi tồn hạng tử trực tiếp B A cho B cyclic a ∈ B Chứng minh Đặt hp ( A) ( a ) = k Khi tồn b ∈ A cho p k b = a Do p k +1b =p ⋅ p k b =pa = p k b= a ≠ nên o ( b ) = p k +1 Đặt B = b Ta chứng minh B ∩ p k +1 A = Giả sử B ∩ p k +1 A ≠ Khi tồn c ∈ B ∩ p k +1 A , c ≠ Vì c ∈ B =b ( u, p ) = Khi theo Mệnh đề 1.2.8 ta có nên c = upα b với ≤ α ≤ k , B h(p ) (c) = α Mặt khác, c ∈ p k +1 A nên tồn d ∈ A cho c = p k +1d Khi p k +1d = upα b hay p k +1 upα b Vì ( u, p ) = nên p k +1 pα b Suy k p k +1 p k −aa b ) p= b a (p= Suy hp( A) (a ) ≥ k + 1, mâu thuẫn với giả thiết hp (a ) = k Vậy B ∩ p k +1 A = Áp dụng Mệnh đề 2.3.3 ta có B hạng tử trực tiếp cyclic A  Định lý 2.3.5 [8] Cho B nhóm túy bị chặn nhóm A Khi B hạng tử trực tiếp A 24 Chứng minh Theo Hệ 1.3.7 ta có B tổng trực tiếp nhóm cyclic bậc lũy thừa nguyên tố.Vì B bị chặn nên bậc hạng tử cyclic bị chặn Bằng qui nạp theo n , ta chứng minh nhóm túy bị chặn B mà B tổng trực tiếp nhóm cyclic có bậc khơng vượt q n hạng tử trực tiếp nhóm chứa Với n = 1, ta có B = nên mệnh đề Cho n ≥ , giả sử mệnh đề với số nguyên ≤ n − , ta chứng minh mệnh đề với trường hợp n Đặt p k bậc cao hạng tử cyclic phân tích B thành tổng trực tiếp nhóm cyclic bậc lũy thừa nguyên tố Trường hợp 1: Nếu p k < n theo giả thiết quy nạp ta có B hạng tử trực tiếp A Trường hợp 2: Nếu p k = n đặt Bk tổng trực tiếp hạng tử cyclic có bậc p k C tổng trực tiếp hạng tử lại (bậc bé n = p k ) Khi ta có B = Bk ⊕ C (1) Theo Mệnh đề 2.1.6 ta có Bk nhóm túy nhóm A Mà Bk tổng trực tiếp nhóm cyclic có bậc p k nên theo Mệnh đề 2.3.3 tồn nhóm D cho = A Bk ⊕ D (2) Đặt C=′ B ∩ D Ta chứng minh B = Bk ⊕ C ′ Thật vậy, = A Bk ⊕ D Bk ≤ B nên Bk ∩ C ′ = Bk ∩ ( B ∩ D ) = ( Bk ∩ B ) ∩ D = Bk ∩ D = (3) 25 Lấy b ∈ B, từ (1) suy tồn b1 ∈ Bk , c ∈ C cho b= b1 + c Từ (2) suy tồn b2 ∈ Bk , d ∈ D cho c= b2 + d Suy b = b1 + b2 + d Do d =b − ( b1 + b2 ) ∈ B Do d ∈ B ∩ D = C ′ Vậy b = ( b1 + b2 ) + d ∈ Bk + C′ Mà Bk , C ′ ⊂ B nên Bk + C ′ ⊂ B Suy = B Bk + C ′ (4) Từ (3), (4) suy B = Bk ⊕ C ′ Kết hợp (1), (5) với Mệnh đề 1.3.3 ta có C ′ ≅ B (5) Bk ≅ C nên C , nhóm C ′ tổng trực tiếp hạng tử cyclic có bậc không vượt n − Ta chứng minh C ′ hạng tử trực tiếp D Theo giả thiết quy nạp, ta cần chứng minh C ′ túy D Thật vậy, B= C ′ ⊕ Bk nên theo Mệnh đề 2.1.6 ta có C ′ túy B Mà B túy A nên theo ý Mệnh đề 2.2.1 ta có C ′ túy A Mặt khác C ′ ≤ D ≤ A nên áp dụng ý Mệnh đề 2.2.1 ta có C ′ túy D Vậy D = C′ ⊕ E (6) với E nhóm D Từ (2) (6) ta có A = Bk ⊕ D = Bk ⊕ ( C ′ ⊕ E ) = ( Bk ⊕ C ′ ) ⊕ E Mà từ (5) ta có B = Bk ⊕ C ′ nên A= B ⊕ E Vậy B hạng tử trực tiếp A  26 2.4 MỘT SỐ KẾT QUẢ KHÁC Phần trình bày số kết chi tiết nhằm mục tiêu tìm hiểu sâu nhóm Các toán câu hỏi [2] câu hỏi nảy sinh trình tìm hiểu đề tài luận văn Mệnh đề 2.4.1 Nếu G ∩ B G + B nhóm túy nhóm A G B nhóm túy nhóm A Chứng minh Cho G ∩ B G + B nhóm túy A , ta chứng minh G nhóm túy A Cho n ∈  , g ∈ G n | g A , nghĩa g = na với a ∈ A Mà G ⊂ G + B G + B nhóm túy g n( g1 + b) Khi g − ng1 = nb ∈ G ∩ B A nên tồn g1 ∈ G, b ∈ B cho= Do G ∩ B nhóm túy A nên tồn c ∈ G ∩ B cho g − ng1 = nc Suy ra= g n( g1 + c) Vì g1 ∈ G c ∈ G ∩ B ⊂ G nên g1 + c ∈ G Suy n | g G Vậy G nhóm túy nhóm A Chứng minh tương tự ta B nhóm túy nhóm A  Mệnh đề 2.4.2 Nếu nhóm G nhóm túy nhóm A n ∈  nhóm nG túy nA Chứng minh Lấy m ∈  ng ∈ nG cho m | ng nA Khi ng = m(na ) với a ∈ A Mà G túy A mn ∈  nên tồn b ∈ G ng (= mn)b m ( nb ) ∈ m ( nG ) Vì m | ng nG Vậy nG cho= túy nA  Mệnh đề 2.4.3 Nếu T phần xoắn A G nhóm túy A T + G nhóm túy A 27 Chứng minh Do T phần xoắn A nên theo Mệnh đề 2.1.7 ta có T nhóm túy nhóm A Hiển nhiên T + G nhóm A Cho n ∈ *, a ∈ T + G a = nx với x ∈ A Vì a ∈ T + G nên tồn t ∈ T , g ∈ G cho a = t + g Trường hợp 1: g ∈ T Khi a =t + g ∈ T Mà T túy A nên từ a = nx suy tồn b ∈ T cho a = nb Rõ ràng b = b + ∈ T + G Do n | a T + G Trường hợp 2: g ∉ T Khi g ∈ G có cấp vơ hạn Ta có t + g = nx nên = m(nx − t= ) mnx Vì = g nx − t Mà t ∈ T nên o(t )= m < ∞ Suy mg mg ∈ G G túy A nên tồn g1 ∈ G cho mg = mng1 Do đó, Mà mn ≠ nên mnx = mng1 Suy mn ( x − g1 ) = x − g1 ∈ T Suy x = x − g1 + g1 ∈ T + G Do n | a T + G Vậy T + G nhóm túy nhóm A  Mệnh đề 2.4.4 Tổng trực tiếp nhóm nhóm túy tích trực tiếp nhóm Chứng minh Cho A = ∏ Gi G = ⊕ Gi có Gi ≠ với ≤ i ≤ k Cho i∈I i∈I n ∈ , g ∈ G g = na với a ∈ A Đặt a = ( a1 , a2 , , ak , ak +1 , ) với ∈ Ai Vì g ∈ G nên g ∈ G có dạng g = ( g1 , g , , g k ,0, ) với gi ∈ Gi Khi ( g1 , g , , g k ,0,0, ,) = n(a1 , a2 , , ak , ak +1 , ) Khi đó, rõ ràng ( g1 , g , , g k ,0,0, ) = n(a1 , a2 , , ak ,0,0, ) 28 Mặt khác, rõ ràng (a1 , a2 , , ak ,0,0, ) ∈ G nên n | g G Vậy G nhóm  túy A = ∏ Gi i∈I Ta nói số nguyên n có ước bình phương tồn số ngun k > mà k n Rõ ràng n khơng có ước bình phương n = n = p1 p2 pk với pi số nguyên tố phân biệt Mệnh đề 2.4.5 Nhóm cyclic A có nhóm nhóm túy A có cấp hữu hạn khơng có ước bình phương Chứng minh Cho A = a có nhóm nhóm túy Giả sử o ( a ) = ∞ Khi đó, theo Mệnh đề 1.2.8 có h2( A) ( 2a ) = h2( 2a ) ( 2a ) = Từ Định lý 2.1.8 suy 2a khơng nhóm túy A , mâu thuẫn giả thiết Vậy o ( a ) hữu hạn Giả sử o ( a ) có ước bình phương Khi o ( a ) = p s m với p nguyên tố, ( p, m ) = s ≥ Khi đó, A có nhóm pma khác Theo Định lý 1.1.7 o ( pma ) = p s −1 Do đó, theo Mệnh đề 1.2.8 ta có h(p A) h(p ( pma ) ≥ pma ) ( pma ) = Mặt khác Từ Định lý 2.1.8 suy pma không nhóm túy A , mâu thuẫn với giả thiết Vậy o ( a ) khơng có ước bình phương Ngược lại, giả sử o ( a ) hữu hạn khơng có ước bình phương Trường hợp 1: o ( a ) = Khi A = Hiển nhiên, nhóm A nhóm túy 29 Trường hợp 2: o ( a ) = p1 p2 pk với pi số nguyên tố phân biệt Khi đó, n theo Định lý 1.3.4 ta có A = ⊕ Ai với Ai pi - thành phần A Với i = 1, n , i =1 Ai pi - nhóm nên theo Định lý 1.1.3 (Định lý Lagrange) ta có Ai ước o ( a ) = p1 p2 pk nên Ai = pi Gọi B nhóm A Vì B ≤ A nên theo Định lý 1.1.3 ta có B ước o ( a ) = p1 p2 pk Khơng tính tổng qt, giả sử B = p1 p2 ps s với s ≤ k Khi B = ⊕ Bi với Bi pi - thành phần B Cũng từ Định lý i =1 1.1.3 ta có Bi = pi p=i Bi nên với i ≤ s Rõ ràng với i ≤ s ta có Bi ≤ Ai , mà A= i Bi = Ai Khi s B = ⊕ Ai i =1 nên B hạng tử trực tiếp A Theo Mệnh đề 2.1.6., B nhóm túy nhóm A  Định nghĩa 2.4.6 Một nhóm khơng có nhóm túy khơng tầm thường gọi nhóm túy đơn Mệnh đề 2.4.7., Mệnh đề 2.4.8., Mệnh đề 2.4.9 cho ta số ví dụ nhóm túy đơn Mệnh đề 2.4.7 Nhóm cộng số hữu tỉ  nhóm túy đơn 30 Chứng minh Cho A nhóm túy  , ta chứng minh A = A =  Giả sử A ≠ Khi tồn a ∈ A a ≠ Gọi x phần tử thuộc  Vì a ≠ nên x = a ⋅ x m m x phân số tối giản ∈  = a ⋅ với n a a n = am ∈ A Do A túy  nên tồn b ∈ A m ∈ , n ∈  * Khi nx cho nb = nx Mặt khác,  nhóm không xoắn n ≠ nên x= b ∈ A Vậy A =   Mệnh đề 2.4.8 Nếu nhóm cyclic A có cấp lũy thừa số ngun tố p A nhóm túy đơn Chứng minh Cho A = a o ( a ) = p n Cho G nhóm túy A Giả sử G ≠ , ta chứng minh G = A Vì G ≠ A p - nhóm cyclic bậc p n nên tồn k ∈  * , ≤ k ≤ n − cho G = p k a Ta chứng minh k = Theo Mệnh đề 1.2.8 ta có hp( A) ( p k a ) = k Vì G nhóm túy A nên theo Định lý 2.1.8 ta có hp(G ) ( p k a ) = hp( A) ( p k a ) Do hp(G ) ( p k a ) = k Mặt khác, từ Định lý 1.1.7 ta có G = p k a có bậc p n−k Theo Mệnh đề 1.2.8 ta có G G h(p ) ( p k a ) = Suy k = Vậy = p 0= a = a A  Mệnh đề 2.4.9 ( p ∞ ) nhóm túy đơn Chứng minh Cho ( p ∞ ) = < c1 , c2 , | pc1 = 0, pc2 == c1 , , pcn+1 cn , > G nhóm túy khác ( p ∞ ) Ta chứng minh G = ( p ∞ ) Ta cần chứng minh ck ∈ G với k ∈  * Cho k ∈  * Vì G ≠ nên tồn a ≠ a ∈ G Theo Mệnh đề 1.1.10., a biểu diễn dạng a = mcn 31 với n ∈  * , (m, p ) = Khi a = cn  ( p ∞ ) p - nhóm a Trường hợp 1: k ≤ n Khi ck = p n−k cn nên ck ∈ cn = Trường hợp 2: k > n Khi cn = p k −nck Vì G nhóm túy a mc = mp k −nck nên tồn x ∈ G cho a = p k −n x Vì Z ( p ∞ ) = n o= ( cn ) p n nên dễ thấy o ( x ) = p k Theo Mệnh đề 1.1.10 ta biểu ( a ) o= diễn x = ucs với (u , p ) = Khi o= ( cs ) p s Suy s = k ( x ) o= x = uck với ( u , k ) = Suy x = ck ck ∈ x ⊆ G Vậy ck ∈ G với k ∈  * Suy G = Z ( p ∞ )  Định nghĩa 2.4.10 Cho A nhóm, a ∈ A Khi đó, End ( a ) = {ϕ ( a ) | ϕ tự đồng cấu từ A vào A} gọi tập hợp ảnh tự đồng cấu a Định nghĩa 2.4.11 Cho A nhóm p số nguyên tố Khi đó, ( χ ( a ) = h(pA) ( a ) h(pA) ( pa ) h(pA) ( p a ) h(pA) ( p k a ) ) gọi dãy p- cao độ a A Mệnh đề 2.4.12 Cho A p - nhóm Nếu a ∈ A , o ( a ) = p k dãy cao độ a = A χ ( a ) (0 k − ∞ ∞ .) End ( a ) = A  p k  = 0} {b ∈ A | p k b = Chứng minh Cho ϕ tự đồng cấu thuộc End ( A ) Khi k p kϕ= a ) ϕ= ( a ) ϕ ( p= ( ) Vậy ϕ ( a ) ∈ A  p k  hay End ( a ) ≤ A  p k  32 Trước hết, ta chứng minh a hạng tử trực tiếp A Ta có o ( a ) = p k nên a nhóm bị chặn p k Do đó, theo Định lý 2.3.5., ta cần chứng minh a nhóm túy A Cho c ∈ a Trường hợp 1: c = Khi h pa ( c ) = h pA ( c ) = ∞ Trường hợp 2: c ≠ Khi c ∈ a nên ta biểu diễn c = p mua với ≤ m < k ( u, p ) = Theo Mệnh đề 1.2.8 ta có h a ( c ) = m Mặt khác, p χ (a) = (0 k − ∞ ∞ A ) m < k nên= h pA ( c ) h= ( pma ) m p Do h pA ( c ) = h pa ( c ) Vậy h pA ( c ) = h pa ( c ) với c ∈ a Theo Định lý 2.1.8 ta có a nhóm p- túy A Mà A p - nhóm nên theo Hệ 2.1.10 ta có a A nhóm túy A Vậy = a ⊕ B với B nhóm A A Cho d ∈ A  p k  Khi o ( d ) ≤ p k Vì = a ⊕ B nên phần tử x ∈ A biểu diễn thành = x ma + b với m ∈ , b ∈ B Xét quy tắc tương ứng ψ : A → A cho ψ ( x ) = md Quy tắc thực ánh xạ Thật vậy, giả sử x biểu diễn hai dạng m1a + b1 ma2 + b2 với m1 , m2 ∈  b1 , b2 ∈ B Ta chứng minh A m1d = m2 d Thật vậy, = a ⊕ B nên m1a = m2 a Suy ( m1 − m2 ) a = hay hay m1d = m2 d = p k o ( a ) ( m1 − m2 ) Vì d ∈ A  p k  nên ( m1 − m2 ) d = Hơn cho = x1 m1a + b1 , x2= m2 a + b2 ∈ A với m1 , m2 ∈  , b1 , b2 ∈ B Ta có x1 + x2 = ( m1 + m2 ) a + ( b1 + b2 ) Do 33 ψ ( x1 + x2 ) = ( m1 + m2 ) d = m1d + m2 d = ψ ( x1 ) + ψ ( x2 ) Vậy ψ tự đồng cấu A Mà rõ ràng, d = ϕ ( a ) nên d ∈ End ( a ) Vậy A  p k  ≤ End ( a ) Vậy End ( a ) = A  p k   34 KẾT LUẬN Luận văn hoàn thành với số kết sau: - Trình bày có hệ thống kết quan trọng liên quan tới nhóm túy - Đưa số ví dụ nhóm túy phản ví dụ chứng tỏ nhóm túy khơng ln hạng tử trực tiếp - Chứng minh số kết khác giúp tìm hiểu sâu nhóm túy 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh Fuchs L (1970), Infinite Abelian groups, Vol I, Academic Press, New York Fuchs L (1973), Infinite Abelian groups, Vol II, Academic Press, New York Gratzer G., Schmidt E (1961), A note on a special type of fully invariant subgroups of Abelian groups, Ann Univ Sci Budapest 34, pp.85-87 Irwin J.M., Walker E.A (1961), On N-high subgroups of Abelian groups, Pacific J Math 11, pp.1363-1374 Szele T (1953), On direct decompositions of abelian groups, J London Mafh Soc 28, pp.247-250 Tiếng Đức Baer R (1934), Der Kern, eine charakteristische Untergruppe, Compositio Math 1, pp.254-283 Prufer H (1923), Untersuchungen uber die Zerlegbarkeit der abzahlbaren primaren abelschen Gruppen, Math Z 17, pp.35-61 Tiếng Nga Kulikov L.Ya (1941), On the theory of abelian groups of arbitrary cardinality, Mat Sb 9, pp.165-182 Tiếng Pháp Khabbaz S.A (1961), On a theorem of Charles and ErdClyi, Bull Soc Math, France 89, pp.103-104 ... nhóm túy nhóm A B C nhóm túy nhóm A C 3) Nếu C nhóm túy nhóm A B C nhóm túy nhóm A C B nhóm túy nhóm A 4) Nếu C nhóm t nhóm A C nhóm túy nhóm B Chứng minh Cho p số nguyên tố 1) Cho C nhóm túy. .. 2.1.10 Nhóm p - túy p - nhóm túy  2.2 MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN ĐỦ CỦA NHÓM CON THUẦN TÚY Mệnh đề 2.2.1 Cho B, C nhóm nhóm A C ≤ B ≤ A Khi ta có: 1) Nếu C nhóm túy nhóm B B nhóm túy nhóm A C nhóm túy nhóm. .. 1.1 Một số nhóm 1.2 Tính chia hết cho số nguyên phần tử nhóm Aben 1.3 Hạng tử trực tiếp nhóm aben Chương NHÓM CON THUẦN TÚY CỦA NHĨM ABEN .10 2.1 Tính túy nhóm nhóm Aben