1957 iđêan tuyệt đối của nhóm aben không xoắn

ISSN 1859 3100 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TẠP CHÍ KHOA HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ Tập 14, Số 3 (2017) 68 75 HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE NATURAL SCIEN[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TẠP CHÍ KHOA HỌC HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ NATURAL SCIENCES AND TECHNOLOGY ISSN: 1859-3100 Tập 14, Số (2017): 68-75 Vol 14, No (2017): 68-75 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website: http://tckh.hcmue.edu.vn IĐÊAN TUYỆT ĐỐI CỦA NHĨM ABEN KHƠNG XOẮN Phạm Thị Thu Thủy* Khoa Toán-Tin học – Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Ngày Tịa soạn nhận bài: 20-12-2016; ngày phản biện đánh giá: 19-02-2017; ngày chấp nhận đăng: 24-32017 TĨM TẮT Một nhóm A nhóm Aben G gọi iđêan tuyệt đối G A iđêan vành G Nhóm Aben gọi nhóm RAI xây dựng vành mà iđêan tuyệt đối Nhóm Aben gọi nhóm afi iđêan tuyệt đối nhóm hồn tồn đặc trưng Bài báo mơ tả nhóm RAI afi lớp nhóm Aben khơng xoắn hồn tồn phân rã đồng Từ khóa: nhóm Aben, iđêan tuyệt đối, nhóm hồn tồn phân rã ABSTRACT Absolute ideal of completely decomposable Abelian groups A subgroup A of an Abelian group G is called an absolute ideal of G if A is an ideal in every rings on G An Abelian group is called a RAI group if it admits a ring structure, in which every ideal is absolute An afi group is an Abelian group, whose every absolute ideal is a fully invariant subgroup In this work, RAI groups and afi groups are described in the class of isotype completely decomposable Abelian groups Keywords: Abelian group, absolute ideal, completely decomposable group Giới thiệu Bài báo nghiên cứu số toán Lí thuyết nhóm cộng vành, hướng nghiên cứu Lí thuyết nhóm Aben đại Trong báo, nhóm đề cập nhóm Aben Do đó, để đơn giản, từ "nhóm" mặc định hiểu "nhóm Aben" 1.1 Định nghĩa Một phép nhân nhóm G hàm song tuyến tính μ : G G  G Để đơn giản, ta thường dùng kí hiệu × cho phép nhân, nghĩa a  b  μ(a,b) Nhóm G với phép nhân × gọi vành nhóm G , kí hiệu (G,) Bài tốn nghiên cứu vành nhóm Aben lần xem xét Beaumont R.A [1], nghiên cứu vành tổng trực tiếp nhóm xyclic Từ đó, vành nhóm Aben thu hút quan tâm nhiều nhà toán học khác Các tốn cụ thể đặt vơ đa dạng Một vấn đề quan tâm nghiên cứu tìm nhóm nhóm Aben G thỏa tính chất vành * Email: ptthuthuy@gmail.com TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP Tập 14, Số (2017): 68- 1.2 Định nghĩa Nhóm A nhóm G gọi iđêan tuyệt đối G A iđêan vành G Iđêan tuyệt đối xem xét lần Fried E [2], Fried E chứng minh nhóm A iđêan tuyệt đối nhóm G A bất biến tác động iđêan F  Imϕ | ϕ Hom(G, End G) End G , nghĩa FA  A Tuy nhiên, việc áp dụng tiêu chuẩn để giải toán liên quan tới iđêan tuyệt đối cịn hạn chế việc mơ tả iđêan F khơng đơn giản Hai toán quan tâm nghiên cứu iđêan tuyệt đối tốn nhóm RAI nhóm afi Nhóm RAI nhóm Aben mà xây dựng vành iđêan iđêan tuyệt đối Vấn đề mô tả nhóm RAI đặt Fuchs L [3, vấn đề 93] Nhóm Aben gọi nhóm afi iđêan tuyệt đối A nhóm hồn tồn đặc trưng, nghĩa ϕ(A)  A với tự đồng cấu ϕ  End (G) Bài tốn mơ tả nhóm afi đưa Fried E [2] Các kết nhóm RAI nhóm afi chủ yếu tập trung lớp nhóm xoắn báo [4], [5] [6] Gần [7], Kompantseva E I Fomin A A mơ tả nhóm RAI lớp lớp nhóm khơng xoắn hồn tồn phân rã Bài báo mơ tả nhóm RAI afi lớp nhóm Aben khơng xoắn hồn tồn phân rã đồng Ta sử dụng số khái niệm kết sau [5] [6] 1.3 Định nghĩa [5] Iđêan tuyệt đối sinh g nhóm G , kí hiệu  g , iđêan tuyệt đối AI nhỏ chứa g Để phân biệt, ta kí hiệu iđêan sinh g vành (G,)  g 1.4 Định lí [5] Cho G nhóm Khi điều kiện sau tương đương: i Nhóm G nhóm RAI; ii Trên G tồn vành cho  iđêan tuyệt g  G ; (G,) g iii Trên G tồn vành (G,) cho  g   g với g  G AI 1.5 Định lí [6] Nhóm G nhóm afi  g AI nhóm hoàn toàn đặc trưng G với g  G Vành nhóm Aben hồn tồn phân rã 2.1 Định nghĩa TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP Tập 14, Số (2017): 68- Cho G nhóm Aben, p số nguyên tố g  G Khi số nguyên dương n lớn cho h (G) p pn∣ g G gọi p -cao độ phần tử g G kí hiệu (g ) ; số nguyên dương n không tồn ta nói h(G) (g)   p Để đơn giản, ta xét cao độ phần tử nhóm cố định, ta dùng kí hiệu h (g cho p -cao độ phần tử g p1, p2 , tất số nguyên tố p Cho ) xếp theo thứ tự tăng dần Khi dãy χ (g)  (h ( g), h (g), , h gọi p p p (g),) n dãy cao độ hay đặc trưng phần tử g nhóm G Như vậy, dãy cao độ chứa số nguyên kí hiệu ∞ Hai dãy cao độ gọi tương đương chúng có hữu hạn (hoặc khơng có) vị trí khác nhau, vị trí phải số nguyên Dễ thấy, quan hệ dãy cao độ thực quan hệ tương đương Ta gọi lớp tương đương dãy cao độ dạng Dạng phần tử g  G dạng chứa χ (g) kí hiệu t(g) Dễ thấy, G nhóm khơng xoắn hạng 1, phần tử khác phụ thuộc tuyến tính với có dãy cao độ tương đương Do đó, phần tử khác nhóm G khơng xoắn hạng có dạng, gọi dạng nhóm G khơng xoắn hạng kí hiệu t(G) Thực tế, hai nhóm khơng xoắn hạng đẳng cấu với chúng có dạng Mệnh đề sau dễ dàng có từ [3, Định lí 85.1] 2.2 Mệnh đề Cho G nhóm khơng xoắn hạng dạng t Nếu e phần tử khác   G G  với R   u s  h (e) , hiển nhiên, R có dạng t Ngược lại Re R   i pi si pi     nhóm hữu tỉ có dạng t  t(G) ta ln chọn G phần tử e cho G  Re  2.3 Định nghĩa Cho χ  (k , k , ) 1 Ta định nghĩa: χ2  (s1, s2 , ) hai dãy cao độ có dạng t1 t2 i Tích hai dãy cao độ: χ1χ2  (k1  s1, k2  s2 ,); ii Giao hai dãy cao độ: χ1  χ2  (min{k1 , s1}, min{k2 , s2},) ; iii Tích giao hai dạng: t1t2  t(χ1χ2 ) t1  t2  t(χ1  χ2 ) Dãy cao độ χ (dạng t ) gọi lũy đẳng χ  χ ( t2  t ) Dễ thấy TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP Phạm Thị Thu dãy cao độ χ lũy đẳng χ chứa ∞ Và dạng t lũy đẳng phần tử đại diện chứa hữu hạn (hoặc khơng có) số nguyên khác 2.4 Mệnh đề [3, Mệnh đề 85.3] Cho vành G Khi χ(a b)  χ(a)χ(b) với a,b G  (G,) TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP Tập 14, Số (2017): 68- 2.5 Định nghĩa Ta nói χ  (k , k , )  χ  (s , s , 1 2 ) ki  si với i  I Ta nói t1  t2 tồn χ  t χ2  t2 cho χ1  χ2 1 Dễ thấy, quan hệ so sánh dãy cao độ dạng quan hệ thứ tự khơng tồn phần 2.6 Định nghĩa Nhóm khơng xoắn hồn tồn phân rã nhóm biểu diễn dạng tổng trực tiếp nhóm khơng xoắn hạng 2.7 Mệnh đề [3, Mệnh đề 86.1] Cho nhóm khơng xoắn hồn tồn phân rã với Gi nhóm khơng G G i iI xoắn hạng Bộ dạng {ti  t(Gi )}iI bất biến nhóm G , nghĩa khơng phụ thuộc vào cách phân tích G thành tổng trực tiếp nhóm khơng xoắn hạng Nếu nhóm khơng xoắn hồn tồn phân rã G biểu diễn G G i iI dạng G  Gi  R e iI i i iI với Ri nhóm hữu tỉ dạng ti  t(Gi ) Tập hợp {ei }iI tạo thành hệ độc lập tuyến tính tối đại, gọi sở, nhóm G phần tử g  G biểu diễn dạng g  ri ei  ri ei  ri ei với ri  Ri 2.8 Định lí 1 2 n n k k Cho nhóm khơng xoắn hoàn toàn phân rã G  Ri ei Khi đó, với {ai }iI iI phần tử G thỏa χ (a )  χ (e )χ (e với i, j  I , tồn vành (G,) i i j ) G cho ei  e j  aij Chứng minh Cho {ai }iI phần tử G thỏa χ (ai )  χ (ei )χ (e j ) Ta xét quy tắc nhân TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP n sau: Cho x   ri ei , y   siei  G , với i1 ri ei , rjej  G Phạm Thị Thu n i, j  I ta có χ (aij )  χ (ei )χ (e j ) i1 nên ri s j∣ hay ri s j aij  G Ta đặt xy đồng n rs a i j ij Dễ thấy, × i, j 1 cấu song tuyến tính từ G  G vào G , nên (G,) vành G Hơn phần tử biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính ei , I  I phép nhân song tuyến tính G nên phép nhân ×  Iđêan tuyệt đối nhóm khơng xoắn hồn tồn phân rã đồng TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP Tập 14, Số (2017): 68- 3.1 Định nghĩa Nhóm khơng xoắn đồng nhóm khơng xoắn mà phần tử có dạng Dễ thấy, G nhóm khơng xoắn đồng dạng t lũy đẳng ta ln chọn hệ sở {ei }iI χ (ei lũy đẳng R nhóm ) cho G  Re , i iI hữu tỉ dạng t Bổ đề sau dễ dàng suy từ [3, Mệnh đề 85.4] 3.2 Bổ đề Cho G nhóm khơng xoắn hạng có dạng t  (k1, k2 ,, kn ,) Khi đó, quy tắc ϕ m tự đồng cấu G ϕ có dạng ϕ(x)  x m, n □ n không chia với n hết cho số nguyên tố p mà k  □  i i 3.3 Định lí (Nhóm đồng dạng khơng lũy đẳng) Nếu G nhóm khơng xoắn hồn tồn phân rã đồng dạng t với t không lũy đẳng i nhóm G iđêan tuyệt đối G nhóm RAI; ii G nhóm afi hạng G t không chứa ∞ Chứng minh i Giả sử vành G a,b hai phần tử khác G Vì G (G,) đồng t khơng lũy đẳng nên t(a)  t(b)  t  t Mặt khác t(a  b)  t(a)t(b)  t Vì G lũy đẳng dạng t nên a  b  Vậy G tồn vành tầm thường Hiển nhiên nhóm G iđêan tuyệt đối G nhóm RAI ii Giả sử G nhóm khơng xoắn hạng có dạng t khơng chứa ∞ Cho ϕ tự đồng cấu G a  G Vì t khơng chứa ∞ nên từ Bổ đề 3.2 suy ϕ(a)  ma với m □ Do ϕ (a)  a AI Vậy theo Định lí 1.5 nhóm G nhóm afi Giả sử r(G) 1 Khi G biểu diễn dạng G  Re1  Re2  A với R nhóm hữu tỉ dạng t Xét ánh xạ ϕ : G  G với ϕ(re1)  re2 ràng ϕ tự đồng cấu G ϕ(Re )  Re Ú Re , nên ϕ(x)  R e1 khơng nhóm hồn tồn đặc trưng G Mặt khác, theo chứng minh phần trên, ta có x  Re1 Rõ G Vậy G TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP Phạm Thị Thu khơng nhóm afi Re1 iđêan tuyệt đối Giả sử r(G)  1và t chứa ∞ Không tính tổng quát, giả sử ∞ đứng vị trí t Theo Bổ đề 3.2, quy tắc tương ứng ϕ : G  G với ϕ (x)  x tự đồng p1 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP cấu G Cho a  G Tập 14, Số (2017): 68- a  Khi rõ ràng ϕ (a)  a  a , a khơng nên p1 nhóm hồn tồn đặc trưng G Mặt khác, theo chứng minh phần trên, ta có a iđêan tuyệt đối G Vậy G khơng nhóm afi  3.4 Bổ đề Cho G nhóm khơng xoắn hồn tồn phân rã, χ , χ hai dãy đặc trưng tương đương Khi G(χ1  χ2 )  G(χ1 )  G(χ2 ) Chứng minh Cho g  G(χ1  χ2 ) χ1  (k1 , k2 , ) χ2  (l1, l2 , ) χ1 χ2 tương Vì đương nên tồn tồn hữu hạn giá trị i  □ * cho k  l , vị trí Đặt i ki , li □ Đặt p ki m  li ki p li Rõ ràng UCLN (m, n)  nên tồn u, v □ n  i i ki li i cho um   Khi g  (um)g  (vn)g Ta chứng minh g  G(χ1  χ2 ) i□* Nếu (um)g  G(χ1 ) Cho nên ki  hp (g )  hp (umg ) Nếu p ki∣ m , nên i  k i hp có (vn)g  G( χ ) i (umg ) Vậy χ (umg)  χ1 ki  li ki  li ki  min{ki , li } Mà từ cách xây dựng m ta có hay (um)g  G(χ1) Chứng minh tương tự ta i Vậy g  (um)g  (vn)g  G(χ )  G(χ ) , hay G(χ1  χ2 )  G(χ1 )  G(χ2 ) Chiều ngược lại hiển nhiên χ , χ  χ  χ Vậy G(χ  χ )  G(χ )  G(χ ) 2 2  3.5 Định lí (Iđêan tuyệt đối chính) Cho G nhóm khơng xoắn hồn tồn phân rã đồng dạng lũy đẳng {ei }iI sở G cho G  Rei iI n  g AI   ri G  G( χ (g )) i1 χ (ei lũy đẳng Cho g  r1e1  rnen  G Khi đó, ) TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP Phạm Thị Thu Chứng minh n Cho a   ri G Khi χ (ei lũy đẳng ) i 1 t(ai )  t(ei với i 1, ) n G cho a  r1a1  rn với a1,, an  G Vì an nên χ(ei )χ (e1 )  χ(ei )  χ(ai ) Do đó, tồn vành (G,) ei  e1  với i 1, n ei  ej  trường hợp lại Khi n n  n  ta có g  e   r e  e   r (e  e )   r a  a Suy a   g   g   i i  i i i i AI Do  i1  i1 i1 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP Tập 14, Số (2017): 68-  rGg n i 1 i AI Vì G(χ(g)) iđêan tuyệt đối G chứa g , nên  g AI  G(χ (g)) n Vì χ (g)  g  r1e1  rnen  G nên n G(χ (g))  G(∩ χ (riei ))  i 1 ri∣ a hay a  riG Do ∩χ (r e ) i i i1 Từ Bổ đề 3.4 ta suy n  G( χ (r e )) Hiển nhiên với i i a G , χ(a)  χ(riei ) i 1 G(χ ( g))  n ri G i1 n Vậy  g AI   ri G  G( χ (g ))  i1 Định lí 3.5 cho thấy iđêan tuyệt đối nhóm khơng xoắn hồn tồn phân rã nhóm hồn tồn đặc trưng Do đó, từ Định lí 1.5 ta có kết sau 3.6 Hệ Nhóm khơng xoắn hoàn toàn phân rã đồng dạng lũy đẳng nhóm afi  3.7 Định lí Nhóm khơng xoắn hồn tồn phân rã đồng dạng lũy đẳng nhóm RAI Chứng minh Nếu G hạng 1, biểu diễn G dạng G  với χ(e) lũy đẳng Khi Re χ(e)χ(e)  χ(e) nên tồn vành (G,) Khi tồn b  se  G e  e  e Cho g  re G a  rG cho a  rb Khi a  r(se)  re se  g  b  g Vậy rG   g Chiều ngược lại hiển nhiên rG iđêan chứa g Do G (G,) nhóm RAI Nếu G có hạng ≥ 2, G biểu diễn dạng G  Re i iI có với χ (e ) lũy đẳng Khi ta xây dựng phép nhân G sau: i ei  ei  ei  e j  i  j ei với ei phần tử TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP Trước hết ta chứng minh e   i  G với i  I Cho Phạm Thị Thu a  r1e1  rnen  G Cho α  rα eα  rα (eα  ei )  (rα eα )  ei ei  α  i , G có α 1, n i Trường hợp Nếu hạng ≥ nên tồn β  I , rα eα  rα ei  rα ei  eβ  ei  (rα eβ ) ei  α Vậy a  r1e1  rnen ei  , ei   với i  I G TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP Cho Tập 14, Số (2017): 68- g  s1e1  snen Từ cách xây dựng phép nhân  trên, ta có g  en  s1e1  sn1en1 , nên g1  s1e1  sn1en1  g minh tương tự ta có sn1en1,, s1e1  g  Suy n n n snen  g  g1  g× Chứng n  s e  i i    g  Theo chứng i 1 minh ta có  s e  i i    si G Suy i 1 i1  s G   g i n  Mặt khác, i 1  sG i 1 n hồn tồn đặc trưng, iđêan (G,) iđêan tuyệt đối G Vậy theo Định lí 1.4 ta có G nhóm RAI [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] nhóm i n g   siG  g   Vậy siG i 1 i 1  TÀI LIỆU THAM KHẢO Beaumont R.A., “Rings with additive group which is the direct sum of cyclic groups,” Duke Math J., vol.15, pp 367 – 369, 1948 Fried E., On the subgroups of Abelian groups that are ideals in every ring, Proc Colloq Abelian Groups, Budapest, 1964, pp 51-55 Fuchs L., Infinite Abelian groups, Vol.2, Academic Press, New York and London, 1973 McLean K.R., “The additive ideals of a p-ring,” J London Math Soc., vol.2, pp.523-529 Thuy, P.T.T., “Torsion Abelian RAI-Groups,” J Math Sci, vol 197, Issue 5, pp 658–678, 2014 Thuy, P.T.T., “Torsion Abelian afi-Groups”, J Math Sci, vol 197, Issue 5, pp 679–683, 2014, Kompantseva E I., Fomin A A., Absolute ideals of almost completely decomposable abelian groups, Chebyshevskii Sb., 2015, Volume 16, Issue 4, pp 200–211  ... tới iđêan tuyệt đối cịn hạn chế việc mơ tả iđêan F khơng đơn giản Hai tốn quan tâm nghiên cứu iđêan tuyệt đối tốn nhóm RAI nhóm afi Nhóm RAI nhóm Aben mà xây dựng vành iđêan iđêan tuyệt đối Vấn... 1.2 Định nghĩa Nhóm A nhóm G gọi iđêan tuyệt đối G A iđêan vành G Iđêan tuyệt đối xem xét lần Fried E [2], Fried E chứng minh nhóm A iđêan tuyệt đối nhóm G A bất biến tác động iđêan F  Imϕ |...  Iđêan tuyệt đối nhóm khơng xoắn hồn tồn phân rã đồng TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP Tập 14, Số (2017): 68- 3.1 Định nghĩa Nhóm khơng xoắn đồng nhóm khơng xoắn mà phần tử có dạng Dễ thấy, G nhóm