Tự đồng cấu của nhóm aben chia được

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đặng Thanh Duy TỰ ĐỒNG CẤU CỦA NHÓM ABEN CHIA ĐƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đặng Thanh Duy TỰ ĐỒNG CẤU CỦA NHÓM ABEN CHIA ĐƯỢC Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS PHẠM THỊ THU THỦY Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các tài liệu kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tơi xin cam đoan thơng tin trích dẫn luận văn ghi rõ nguồn gốc phép công bố Học viên thực Đặng Thanh Duy Lời cảm ơn Trong trình thực luận văn tơi nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình TS Phạm Thị Thu Thủy, người giảng viên gợi cho ý tưởng hay lạ mà thân chưa nghĩ đến Trong trình làm việc, đưa lời góp ý lời khuyên quý báu mặt chuyên môn cách thức làm việc, nghiên cứu khoa học, giúp bù đắp thiếu sót thân tơi Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành lòng biết ơn sâu sắc đến cô Tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất thầy khoa Tốn - Tin học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, cảm ơn mà thầy dạy cho giảng đường Xin cảm ơn Ban lãnh đạo khoa Toán - Tin học, thầy Phịng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn gia đình tất bạn bè, người ủng hộ động viên lúc khó khăn Một lần xin cảm ơn tất cả, chúc tất thật nhiều sức khỏe thành cơng TP Hồ Chí Minh – Tháng năm 2016 Đặng Thanh Duy Mục lục Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Các ký hiệu Lời nói đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm 1.2 Vành số nguyên p - adic 1.3 Nhóm Aben chia 10 Chương TỰ ĐỒNG CẤU CỦA NHÓM ABEN CHIA ĐƯỢC 12 2.1 Tự đồng cấu nhóm Aben chia khơng xoắn 12 2.1.1 Cấu trúc  - không gian vectơ nhóm Aben chia khơng xoắn 12 2.1.2 Biểu diễn ma trận tự đồng cấu nhóm chia khơng xoắn 15 2.2 Tự đống cấu nhóm Aben chia xoắn 23 2.3 Điều kiện để nhóm Aben chia đẳng cấu với nhóm tự đồng cấu 30 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 Các ký hiệu Kí hiệu Ý nghĩa  Tập hợp số tự nhiên * Tập hợp số tự nhiên dương  Tập hợp số nguyên  Tập hợp số hữu tỉ o( g ) Cấp phần tử g a1 , a2 Vành số nguyên p-adic p ( Nhóm sinh phần tử a1 , a2 p ,+) Nhóm cộng vành số nguyên p-adic (m, n) = m n nguyên tố I Lực lượng tập hợp I LỜI NÓI ĐẦU Tự đồng cấu khái niệm quan trọng nghiên cứu nhóm Aben Nghiên cứu tự đồng cấu nhóm Aben khơng giúp hiểu thêm nhóm, cịn có giá trị hữu ích nghiên cứu vành nhóm Aben, hướng quan trọng Lý thuyết nhóm Aben Vành tự đồng cấu nghiên cứu cơng trình R Baer [1], L Fuchs [2-6] nhà toán học khác Trong [9] Wickless W.J đưa tốn mơ tả nhóm Aben mà tự đồng cấu phép nhân trái với phần tử vành G Một số nhóm lớp nhóm Aben G thỏa tính chất: G đẳng cấu với nhóm tự đồng cấu Trong lớp nhóm Aben quan trọng, nhóm Aben chia có cấu trúc mơ tả rõ ràng, điều kiện thuận lợi để tìm hiểu tự đồng cấu Mục tiêu luận văn mơ tả tự đồng nhóm Aben chia được, từ giải tốn “khi nhóm Aben đẳng cấu với nhóm tự đồng cấu nó?” lớp nhóm Aben chia Nội dung luận văn bao gồm: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhằm mục đích cung cấp kiến thức phục vụ cho chương sau Chương phân làm ba trình bày số khái niệm liên quan đến nhóm, vành số nguyên p-adic tính chia hết nhóm Aben Chương Tự đồng cấu nhóm Aben chia Chương nội dung luận văn, phân làm ba 2.1 Tự đồng cấu nhóm Aben chia khơng xoắn Trình bày cấu trúc  -khơng gian vectơ nhóm Aben chia khơng xoắn từ xây dựng mơ tả cấu trúc nhóm tự đồng cấu nhóm Aben chia khơng xoắn 2.2 Tự đồng cấu nhóm Aben chia xoắn Trình bày cấu trúc *p -khơng gian vectơ p-nhóm tựa cyclic từ xây dựng mơ tả cấu trúc nhóm tự đồng cấu nhóm Aben chia xoắn hạng hữu hạn 2.3 Nhóm Aben chia đẳng cấu với nhóm tự đồng cấu Đưa câu trả lời cho tốn “khi nhóm Aben đẳng cấu với nhóm tự đồng cấu nó” ? lớp nhóm Aben chia Cụ thể chứng minh nhóm Aben chia G đẳng cấu với nhóm tự đồng cấu End G G đẳng cấu với nhóm cộng số hữu tỉ  Trong toàn luận văn tất nhóm xét nhóm Aben Do để đơn giản, từ “nhóm” mặc định hiểu “nhóm Aben” Ta ln dùng ký hiệu “+” cho phép toán tất nhóm Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kiến thức thiết yếu phục vụ cho việc nghiên cứu chương sau 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Định nghĩa Cho tập G ≠ ∅ với phép tốn hai ngơi “ + ” gọi nhóm Aben (1) Phép tốn “ + ” có tính chất kết hợp, nghĩa x + ( y + z ) = ( x + y ) + z với x, y, z ∈ G (2) Tồn phần tử ∈ G cho x + = + x = x với x ∈ G (3) Mọi phần tử x ∈ G có phần tử đối, ký hiệu − x , nghĩa x + ( − x ) =0 (4) Phép toán “ + ” có tính giao hốn nghĩa x + y = y + x với x, y ∈ G Định nghĩa Cho G nhóm Tập H ≠ ∅ G gọi nhóm G (1) H ổn định phép toán G, nghĩa x + y ∈ H với x, y ∈ H (2) H với phép toán cảm sinh từ phép toán G nhóm Cho G nhóm Giao họ khơng rỗng nhóm nhóm G nhóm G Nếu M tập G nhóm nhỏ G chứa M gọi nhóm sinh tập M ký hiệu M Nhóm sinh tập có phần tử x gọi nhóm cyclic sinh x ký hiệu x Hơn nữa= x {nx | n ∈ } Định nghĩa Cho G nhóm g ∈ G Cấp phần tử g số nguyên dương n nhỏ thỏa ng = Nếu không tồn số nguyên dương để ng = ta nói g có cấp vô hạn Cấp phần tử g ký hiệu o ( g ) Cho p số nguyên tố, tập hợp G p tất phần tử có cấp lũy thừa Gp = p gọi thành phần p-nguyên sơ G Dễ thấy { x ∈ G | ∃n ∈ } : p x = 0} nhóm G n Tập hợp T tất phần tử có cấp hữu hạn nhóm G gọi phần xoắn nhóm G Dễ thấy T = { x ∈ G | ∃n ∈ } : nx = 0} Mệnh đề 1.1.1 Cho G nhóm Khi phần xoắn T tổng trực tiếp tất thành phần p – nguyên sơ G Định nghĩa Nhóm xoắn nhóm mà phần tử có cấp hữu hạn Nhóm khơng xoắn nhóm mà phần tử khác có cấp vơ hạn Nếu phần tử nhóm G có cấp lũy thừa số nguyên tố p G gọi p-nhóm Định nghĩa Một ánh xạ từ nhóm G đến nhóm H gọi đồng cấu nhóm f ( x + y= ) f ( x ) + f ( y ) với x, y ∈ G Một đồng cấu từ nhóm G vào gọi tự đồng cấu G Một đồng cấu đơn ánh (toàn ánh, song ánh) gọi đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) Nhóm G gọi đẳng cấu với nhóm H, ký hiệu G ≅ H tồn đẳng cấu từ nhóm G vào nhóm H Định nghĩa Cho G H hai nhóm Khi tập hợp tất đồng cấu từ G vào H, ký hiệu Hom ( G, H ) , lập thành nhóm với phép tốn cộng định nghĩa 21 Chứng minh Đặt R = ( ri j ) Vì R ma trận suy rộng nên f R ánh xạ Với i , j∈I x , y ∈ G , ta có [ x + y ] = [ x] + [ y ] nên  f R ( x + y )  = R [ x += y] R ([ x ] + [ y ]) y) f R ( x ) + f R ( y ) Vậy f R = R [ x]= + R [ y ]  f R ( x ) +  f R ( y ) Do f R ( x += tự đồng cấu G Ngược lại, xét f : G  G tự đồng cấu nhóm G Theo mệnh đề 2.1.3 ta có f : G  G ánh xạ tuyến tính  - không gian vectơ G Gọi R = ( ri j )i , j∈I ma trận ánh xạ tuyến tính f Khi đó, theo mệnh đề 2.1.7 ta có  f ( x )  = R [ x ] với x ∈ G Vậy f = f R  Định lý 2.1.9 Cho G = ⊕ Gi = ⊕ei nhóm chia khơng xoắn Khi nhóm i∈I i∈I tự đồng cấu End G đẳng cấu với nhóm cộng ma trận suy rộng vuông cấp n= I Chứng minh Xét ánh xạ ϕ : Μ n → End G với ϕ ( R ) = f R Ta chứng minh ϕ đẳng cấu nhóm cộng Chứng minh ϕ đồng cấu Với R, S ∈ Μ n , ta chứng minh f R += fR + fS S Cho x ∈G , ta có R [ x] + S [ x]  f R + S ( x )  = ( R + S )[ x] = =  f R ( x )  +  f= x   f R ( x ) + f S ( x )  Do S ( ) f R += f R + f S hay ϕ ( R + S = ) ϕ ( R ) + ϕ ( S ) S f R += x f R ( x ) + f S ( x ) Vậy S ( ) 22 Chứng minh ϕ đơn cấu Giả sử R = ( ri j ) S = ( si j ) hai ma trận i , j∈I i , j∈I suy rộng thỏa ϕ ( R ) = ϕ ( S ) Ta chứng minh R = S Cho j0 ∈ I , ta có tọa độ phần tử sở e j e j  = ( x j ) j∈I với x j = x j = với j ≠ j0 Do đó, 0 R e j  = ( ri j 0 ) i∈I S e j  = ( si j 0 ) i∈I Mặt khác ta có ϕ ( R ) = ϕ ( S ) nghĩa f R = f S Do  f R ( e j )  =  f S ( e j )  hay R e j  = S e j  Suy ri j = si j , với i ∈ I 0 0 0 Do j0 ∈ I lấy nên R = S Chứng minh ϕ toàn cấu Với f ∈ End G , theo định lý 2.1.8 tồn ma trận suy rộng R ∈ Μ n cho f = f R Do f = ϕ ( R ) Vậy ϕ toàn cấu Vậy End G ≅ Μ n  Trong trường hợp I = Μ1 ≅  nên ta có kết quen thuộc sau: Hệ 2.1.10 Nhóm tự đồng cấu End  đẳng cấu với  Cụ thể với r ∈ ánh xạ f r cho tương ứng x ∈  với phần tử rx xác định tự đồng cấu  Ngược lại, f tự đồng cấu  tồn r ∈ cho f = f r  23 2.2 TỰ ĐỒNG CẤU CỦA NHÓM ABEN CHIA ĐƯỢC XOẮN Cho p số nguyên tố Ta nhắc lại  p vành số nguyên p-adic ( p , + ) nhóm cộng số nguyên p-adic Ta quy ước phần tử vành số nguyên p-adic biểu diễn theo dạng mệnh đề 1.2.1 nghĩa viết r = {r } n n∈}* ∈  p ta ln có ≤ rn < p n rn ≡ rn +1 ( mod p ) với n ∈  * n Mệnh đề 2.2.1 Cho G p- nhóm tựa cyclic với tựa sở {ai }i∈} Khi G *  p -mơđun với phép nhân ngồi sau: Với = r {r } n n∈}* ∈  p x ∈ G , x = mai với m ∈  rx = mra i i Chứng minh Theo mệnh đề 1.1.2 x ∈ G biểu diễn dạng x = mai với m ∈  Ta chứng minh phép nhân ngồi xây dựng khơng phụ thuộc vào cách biểu diễn x Cho = r quát giả sử i ≥ j = Vì r {r } n n∈}* {r } n n∈}* x ma =i ka j Không tổng ∈  p và= ∈  p nên ri ≡ rj ( mod p ) Do j p j | ( ri − rj ) Mà o ( a j ) = p j nên ( ri − rj ) a j = rj ka j ri= hay Vậy = rj a j Suy = ( ka j ) rma i i i j quy tắc thật phép nhân Ta chứng minh G  p -môđun Cho r = {rn }n∈= , s } * = x mai ∈ G Ta chứng minh ( r + s ) x =rx + sx r ( sx ) = ( rs ) x {s } n n∈}* ∈  p 24 Đặt r + s = { zn }n∈} Theo định nghĩa phép toán cộng  p ta có * ( mod p ) zi ≡ ri + si ( r + s ) ma zi ma=i i i zi m ≡ ( ri + si ) m ( mod p i ) Do Do i z ma , (r + s) x = Mà i i i rx = rma i i o ( ) = p i nên sx = smai nên ( r + s ) x =rx + sx Tương tự đặt rs = {tn }n∈} Theo định nghĩa phép toán cộng  p ta có * ti ≡ ri si ( mod p ) Do i ti m ≡ ( ri si ) m ( mod p i ) Do o ( ) = p i nên r ( sx ) r= ti mai ≡ ( ri si ) mai Mà ( rs ) x = ti mai và= ( si mai ) ri si mai nên r ( sx ) = ( rs ) x {r } Cho r = n n∈}* ∈  p , x, y ∈ G Ta chứng minh r ( x + y ) = rx + ry Không tổng quát ta giả sử x y có biểu diễn x = mai y = kai với m, k ∈  , i ∈ * Ta có x + y = mai + kai = (m + k )a i Khi r ( x + y ) = ri ( m + k ) = rma + rka = rx + ry i i i i Với x ∈ G rõ ràng ta có 1x = x Vậy G với phép nhân  p -môđun  Mệnh đề 2.2.2 Cho G p- nhóm tựa cyclic với tựa sở {ai }i∈} Khi * với số nguyên p-adic = r {r } n n∈}* ∈  p , ánh xạ f r : G → G cho tương ứng phần tử x ∈ G với phần tử rx , tự đồng cấu G Ngược lại f tự đồng cấu nhóm G tồn r ∈  p cho f = f r Chứng minh Từ mệnh đề 2.2.1 ta có G  p -mơđun nên f r đồng cấu mơđun Do f r tự đồng cấu nhóm G Ngược lại xét f : G → G tự đồng cấu nhóm 25 tùy ý G Ta xây dựng số nguyên p-adic r = {ri }i∈} sau: với số nguyên * n dương n ∈ * , ta có o ( an ) = p n nên p n f = an ) f= ( an ) f ( p= ( ) Từ hệ 1.1.3 suy tồn số nguyên rn , ≤ rn < p n cho f ( an ) = rn an Xét {r } n n∈}* Cho n ∈ * , ta chứng minh rn ≡ rn +1 ( mod p ) n pan +1 = an Vì nên f ( an ) = pf ( an +1 ) Do rn an = prn +1an +1 hay rn an = rn +1an Suy ( rn − rn +1 ) an = Mà o ( an ) = p n nên rn ≡ rn +1 (mod p n ) Vậy r = {r } n n∈}* ∈ p Ta chứng minh f = f r Từ cách xây dựng số p-adic r theo định nghĩa phép nhân ngồi với số p-adic ta có f ( a= rn= an ran với n ∈ * Cho x ∈ G n) ta biểu diễn x dạng x = man với m ∈  , n ∈ * Vì f đồng cấu nhóm nên = f ( x ) f= = ( an ) mrn an Mặt khác ta lại có f r ( x=) rx= r ( man ) ( man ) mf = rn man Vậy f ( x ) = f r ( x ) s Ta chứng minh r Giả sử tồn = {s } n n∈}* ∈  p thỏa f= f= f r Cho n ∈ * ta có f s ( an ) = f r ( an ) nên san = ran hay sn an = rn an Vì s o ( an ) = p n nên sn ≡ rn ( mod p ) Do ≤ s , r n n n < p n nên sn = rn Vậy s = r  Cho X, Y hai p-nhóm tựa cyclic với tựa sở {ai }i∈} {bi }i∈} Rõ * * ràng, quy tắc θ : X → Y với  bi , i ∈ * mở rộng thành đẳng cấu nhóm Khi từ mệnh đề 2.2.2 ta dễ dàng suy hệ sau đồng cấu hai p-nhóm tựa cyclic: 26 Hệ 2.2.3 Cho X Y hai p- nhóm tựa cyclic θ : X → Y đẳng cấu Khi với số nguyên p-adic r ∈  p , ánh xạ rθ : X → Y cho tương ứng phần tử x ∈ X với phần tử r ⋅ θ ( x ) ∈ Y , đồng cấu từ X vào Y Ngược lại f : X → Y đồng cấu tồn r ∈  p cho f = rθ  Ta nhắc lại (  p , + ) ký hiệu nhóm cộng vành số nguyên p-adic p Định lý 2.2.4 Cho G p- nhóm tựa cyclic với tựa sở {ai }i∈} Ánh xạ * ϕ : (  p , + ) → End G cho tương ứng số nguyên p-adic r ∈  p với f r ∈ End G đẳng cấu nhóm Do ta có (  p , + ) ≅ End G Chứng minh Từ mệnh đề 2.2.2 ta dễ dàng thấy ϕ song ánh Ta chứng minh ϕ đồng cấu nhóm Cho số nguyên p-adic r = {rn }n∈= , s } {s } x man ∈ G với m ∈  , n ∈ * , ta có r+s= {tn }n∈} Cho = f r + s ( x ) = f r + s ( man ) * * = tn man Theo định nghĩa phép tn ≡ rn + sn ( mod p ) n cộng hai số n n∈}* ∈  p Đặt nguyên p-adic ta có Vì o ( an ) = p n nên tn man = rn man + sn man Mà ( rn + sn ) man = fr ( x ) + = fs ( x ) f r ( man ) + f s ( ma= rman + sma = rn man + sn man nên f r + s ( x ) n) n = f r ( x ) + f s ( x ) Vậy f r += f r + f s hay ϕ ( r + s = ) ϕ ( r ) + ϕ ( s ) Do ϕ đẳng s cấu nhóm  Mệnh đề 2.2.5 Cho G = ⊕ Gi Khi End G ≅ ⊕ Hom ( Gi , G j ) i =1 m m i , j =1 Chứng minh 27 Cho pi : Gi → G phép nhúng π j : G → G j phép chiếu biến phần tử= x m ∑ x ∈G i =1 thành x j ∈ G j Khi i, j = 1, m f ∈ End G , ánh xạ i f i j = p j fpi m ∑ x ∈G đồng cấu từ Gi vào G j Hơn nếu= x m m    = f ( x ) f= pi ( xi )   ∑ xi  f  ∑= =i  =i  m m m fp ( x ) ∑∑ p ∑= =i i f ( x) = i m ∑ i , j =1 =i =j j i i =1 với xi ∈ Gi  fpi ( xi )  Do f i j ( xi ) Xét ánh xạ Φ : End G → ⊕ Hom ( Gi , G j ) cho tương ứng đồng cấu m i , j =1 f ∈ End G với ( f i j )i , j =1,m ∈ ⊕ Hom ( Gi , G j ) Dễ thấy Φ đồng cấu m i , j =1 Ta chứng minh Φ đơn cấu Cho f , g ∈ End G cho Φ ( f ) = Φ( g) m nghĩa f i j = g ij với i, j = 1, m Cho x ∈ G , x = ∑ xi với xi ∈ Gi Do i =1 f i j ( xi ) = g ij ( xi ) với i, j = 1, m Mặt khác ta có g ( x) = m ∑ g (x ) j i , j =1 i i f ( x) = m ∑ i , j =1 f i j ( xi ) nên f ( x ) = g ( x ) Ta chứng minh Φ toàn cấu Cho xạ f : G → G sau: nếu= x m (f ) j i ∈ ⊕ Hom ( Gi , G j ) Ta xét ánh i , j =1, r ∑ xi ∈ G f ( x ) = i =1 m i , j =1 m ∑ i , j =1 f i j ( xi ) Do f i j đồng 28 cấu nên dễ thấy f tự đồng cấu G, Φ ( f ) = ( fi j )i , j =1,m Do Φ tồn cấu Vậy Φ đẳng cấu nhóm Do End G ≅ ⊕ Hom ( Gi , G j )  m i , j =1 Hệ 2.2.6 Nếu A hạng tử trực tiếp G End A đẳng cấu với hạng tử trực tiếp End G  Nhắc lại Gi G j p-nhóm tựa cyclic ta ký hiệu θi j : Gi → G j đẳng cấu biến tựa sở Gi thành tựa sở G j ghi trước hệ 2.2.3 Định lý 2.2.7 Cho G = ⊕ Gi Gi p-nhóm tựa cyclic Cho R = ( ri j ) i , j =1, m i =1 m m số nguyên p-adic Khi quy tắc f R : G → G cho tương ứng m m i =1 i =1 = x ∑ xi ∈ G với phần tử y = ∑ yi với  y1   r11θ1  y   r θ1   =  21          ym   rm1θ m r12θ12  r1mθ1m   x1   r22θ 22  r2 mθ 2m   x2          rm 2θ m2  rm mθ mm   xm  tự đồng cấu G Ngược lại f : G → G tự đồng cấu tồn R = ( ri j )i , j =1,m với ri j số nguyên p-adic cho f = f R Chứng minh Dễ thấy f R ánh xạ, đồng cấu 29 Ngược lại, cho f ∈ End G ,= x m m ∑ x ∈ G Đặt f ( x ) = ∑ y i =1 i j =1 j Tương tự chứng minh mệnh đề 2.2.5 ta đặt f i j = p j fpi Khi f i j ∈ Hom ( Gi , G j ) f ( x) = m ∑ i , j =1 m f i j ( xi ) Do y j = ∑ f i j ( xi ) với j = 1, m hay i =1  y1   y    =         ym   f11 f 21  f m1 f12  f 22    f m2  f1m   x1    f 2m   x2        f mm   xm  Theo hệ 2.2.3 với f i j tồn số nguyên p-adic ri j cho f i j = ri jθ i j Khi Đặt R = ( ri jθi j ) i , j =1, m  y1   r11θ1  y   r θ1   =  21          ym   rm1θ m Vậy f = f R  r12θ12 r22θ 22  rm 2θ m2  r1mθ1m   x1    r2 mθ 2m   x2          rm mθ mm   xm  30 2.3 ĐIỀU KIỆN ĐỂ NHÓM ABEN CHIA ĐƯỢC ĐẲNG CẤU VỚI NHÓM TỰ ĐỒNG CẤU CỦA NÓ Mơ tả tự đồng cấu nhóm chia cho phép ta trả lời câu hỏi: Nhóm chia đẳng cấu với nhóm tự đồng cấu (định lý cuối cho nhóm bất kỳ) Bổ đề 2.3.1 2.3.2 kết quen thuộc Lý thuyết tập hợp [8] Bổ đề 2.3.1 Nếu I tập vơ hạn I × I = I P ( I ) tập tất tập I có lực lượng lớn I  Bổ đề 2.3.2 Nếu I tập vơ hạn tập tất tập hữu hạn I đẳng lực với I  Bổ đề 2.3.3 Nếu nhóm G = ⊕ Gi với Gi nhóm vơ hạn đếm I tập i∈I vơ hạn G = I Chứng minh Đặt X = G ( Gi \ {0} ) Vì Gi \ {0} = Gi ≤ I nên X ≤ I × I = I i∈I Đặt P ( X ) tập hợp tất tập hữu hạn X Theo bổ đề 2.3.2 ta có P ( X ) = X Do P ( X ) = I Ta chứng minh G ≤ P ( X ) Xét quy tắc f : G → P ( X ) sau: g ∈ G g biểu diễn dạng g = g i + + g i với g i ∈ Gi , n k k f ( g ) = { g i , , g i } Rõ ràng f đơn ánh nên G ≤ P ( X ) Suy G ≤ I Mặt n khác dễ thấy I ≤ G Do G = I  31 Bổ đề 2.3.4 Cho n số Khi tập M n ma trận suy rộng vng cấp n có lực lượng lớn hẳn n Chứng minh Ta xét trường hợp sau  Trường hợp 1: Nếu n ∈  hiển nhiên ta có M n ≥ n > n  Trường hợp 2: Nếu n số vô hạn Chọn tập hợp I cho I = n Chọn i0 ∈ I Với J tập I, đặt AJ ma trận suy rộng có phần tử j = với j ∈ J tất phần tử vị trí khác Rõ ràng, J ≠ J ' AJ ≠ AJ ' nên {A } J J ⊂I = P ( I ) Suy M n ≥ P ( I ) Mặt khác n Do M n > n  P(I ) > I = Bổ đề 2.3.5 Cho G = ⊕ Gi = ⊕ei nhóm chia khơng xoắn Khi đó, i∈I i∈I End G ≅ G I = Chứng minh Đặt I = n Hiển nhiên, n = G ≅  nên từ hệ 2.1.10 suy G ≅ End G Xét n > Theo định lý 2.1.9 ta có End G ≅ M n Ta xét hai trường hợp sau  Trường hợp 1: Nếu n ∈  , M n nhóm ma trận thơng thường lấy hệ tử  ) Dễ thấy M n khơng gian vectơ có số chiều là n , G không gian vectơ có số chiều n nên M n khơng đẳng cấu với G Do End G khơng đẳng cấu với G 32  Trường hợp 2: Nếu n vơ hạn Theo bổ đề 2.3.3 ta có G= I= n Mặt khác theo bổ đề 2.3.4 ta có M n > n Do M n khơng đẳng cấu với G hay End G không đẳng cấu với G  Bổ đề 2.3.6 Nếu G p- nhóm tựa cyclic End G khơng nhóm chia Do G khơng đẳng cấu với End G Chứng minh Ta có G ≅  ( p ∞ ) nên G nhóm chia Theo định lý 2.2.4 ta có End G ≅ (  p , + ) Ta chứng minh = r {r } n n∈}* p , + ) khơng nhóm chia Chọn ∈  p rn = với n ∈ * Ta chứng minh r không chia hết cho p Với = s ( ps = {tn }n∈} * ≤ t1 < p nên từ {s } n n∈}* ∈  p Giả sử ps có biểu diễn mệnh đề 1.2.1 với tn ≡ psn ( mod p ) n ≤ tn < p n , với n ∈ * Do t1 ≡ ps1 ≡ ( mod p ) suy t1 = Mặt khác ta có r1 = nên r ≠ ps Vậy (  p , + ) khơng nhóm chia Ta có G nhóm chia nên từ hệ 1.3.6 ta suy G không đẳng cấu với J p Do G khơng đẳng cấu với End G  Hệ 2.3.7 Nếu nhóm chia G có hạng tử trực tiếp nhóm tựa cyclic G khơng đẳng cấu với End G Chứng minh Giả sử G= A ⊕ H với A ≅  ( p ∞ ) Theo hệ 2.2.6 ta có End A đẳng cấu với hạng tử trực tiếp End G Vì A ≅  ( p ∞ ) nên từ bổ đề 2.3.6 suy End A 33 khơng nhóm chia Do từ hệ 1.3.6 suy End G khơng nhóm chia Mà G nhóm chia nên G khơng đẳng cấu với End G  Định lý 2.3.8 Cho G nhóm chia Khi đó, G đẳng cấu với End G G ≅  Chứng minh Ta có hai trường hợp sau:  Trường hợp 1: G nhóm khơng xoắn Khi đó, theo bổ đề 2.3.5 ta có G ≅ End G G ≅   Trường hợp 2: G có phần xoắn T ≠ {0} Khi đó, theo định lý cấu trúc nhóm chia G có hạng tử trực tiếp nhóm tựa cyclic Theo hệ 2.3.7 ta có G khơng đẳng cấu với End G Vậy G ≅ End G G ≅   34 KẾT LUẬN Luận văn hoàn thành với số kết đạt sau: - Mô tả tự đồng cấu nhóm Aben chia khơng xoắn - Mơ tả tự đồng cấu nhóm Aben chia xoắn hạng hữu hạn - Chứng minh “nhóm Aben chia G đẳng cấu với nhóm tự đồng cấu G đẳng cấu với nhóm cộng số hữu tỉ  ” Với kết trên, người viết mong muốn tiếp tục nghiên cứu sâu hơn, cụ thể đạt mơ tả tự đồng cấu nhóm Aben chia ứng dụng kết đạt để giải nhiều toán khác lý thuyết nhóm Aben, lý thuyết vành tự đồng cấu nhóm Aben lĩnh vực liên quan 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO Baer R (1940), “Abelian groups that are direct summands of every containing abelian group”, Bull Amer Math Soc., 46, pp.219-234 Fuchs L (1970) Infinite Abelian groups, Vol I, Academic Press, New York Fuchs L (1973) Infinite Abelian groups, Vol II, Academic Press, New York Fuchs L (1959), On character groups of discrete Abenlian groups, Acta Math Acad Sci Hungar, 10, pp.133-140 Fuchs L (1959), Note on Abealian groups, I, Ann Univ Sci Budapest 2, pp.523 Fuchs L (1960), Note on Abealian groups, II Acta Math Acad Sci Hungar, 11, pp.117-125 Fuchs L (1964), Some generalizations of the exact sequences concerning Hom and Ext, Froc Colloq Abelian Groups, Budapest, pp.57-76 Vereshchangin N.K., Shen A (2002), Basic set theory, Povindence, R.I ; [Great Britian]: American Mathematical Society Wickless W.J (1976), Abelian groups in which every endomorphism is a left multiplication, Pacific journal of mathematics, 63 (1), pp 301-307 ... tả cấu trúc nhóm tự đồng cấu nhóm Aben chia xoắn hạng hữu hạn 2.3 Nhóm Aben chia đẳng cấu với nhóm tự đồng cấu Đưa câu trả lời cho tốn “khi nhóm Aben đẳng cấu với nhóm tự đồng cấu nó” ? lớp nhóm. .. ĐIỀU KIỆN ĐỂ NHÓM ABEN CHIA ĐƯỢC ĐẲNG CẤU VỚI NHÓM TỰ ĐỒNG CẤU CỦA NĨ Mơ tả tự đồng cấu nhóm chia cho phép ta trả lời câu hỏi: Nhóm chia đẳng cấu với nhóm tự đồng cấu (định lý cuối cho nhóm bất kỳ)... 1.3 Nhóm Aben chia 10 Chương TỰ ĐỒNG CẤU CỦA NHÓM ABEN CHIA ĐƯỢC 12 2.1 Tự đồng cấu nhóm Aben chia khơng xoắn 12 2.1.1 Cấu trúc  - khơng gian vectơ nhóm Aben chia khơng