luận văn thạc sĩ toán học nhóm con thuần túy của nhóm aben

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

2 Một số nhóm cơ bản
- 17 Một tập hợp A khác trên đó được trang bị phép toán cộng “+” được gọi là nhóm nếu thỏa các điều kiện sau:
- Định nghĩa 1.2.1.5.17. Cho là nhóm, . Cấp của a, kí hiệu là , là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho ; nếu không tồn tại số nguyên dương như vậy thì ta nói .
  - 14 (Định lý Lagrange) Cho A là nhóm hữu hạn và B là nhóm con của A. Khi đó là ước của . 
- 17 Cho A là một nhóm.
- Định nghĩa 1.2.1.5.18. Nhóm được gọi là nhóm bị chặn nếu tồn tại một số nguyên dương sao cho mọi phần tử của nhóm đều có cấp nhỏ hơn .
- Định nghĩa 1.2.1.5.19. Nhóm A được gọi là nhóm cyclic nếu sinh bởi một phần tử , nghĩa là .
  - 14 Cho và . Khi đó với mọi số nguyên ta có . 
  - 18 Cho và . Khi đó mọi nhóm con của đều là nhóm cyclic. Hơn nữa tồn tại duy nhất một ước của sao cho 
- 17 Cho p là số nguyên tố, nhóm p- tựa cyclic, thường kí hiệu là , là nhóm được sinh bởi những phần tử khác 0 sao cho . Khi đó được gọi là tựa cơ sở của nhóm - tựa cyclic.
  - 18 Cho là nhóm - tựa cyclic với tựa cơ sở . Khi đó,
- 17 Cho là nhóm. Tập con khác của nhóm A được gọi là nhóm con của A, kí hiệu nếu thỏa hai điều kiện sau:
  - 14 Cho là nhóm và là một tập hợp con khác của . Khi đó, nếu với mọi ta có thì được gọi là nhóm con của . 
1.3. Tính chia hết cho một số nguyên của các phần tử trong nhóm Aben
- 17 Ta nói phần tử a của nhóm A chia hết cho số nguyên n, kí hiệu , trong nếu tồn tại sao cho .
  - 18 Cho là phần tử thuộc nhóm và là các số nguyên bất kỳ. Khi đó
    - 8 Cho là một nhóm. Nếu thì 
- 17 Cho là phần tử thuộc và là số nguyên tố bất kỳ. Khi đó ta định nghĩa p- cao độ của a trong , kí hiệu là số nguyên dương lớn nhất sao cho trong . Nếu trong với mọi thì ta nói - cao độ của trong là
  - Mệnh đề 1.3.1.5.17.18. Cho là nhóm không xoắn, . Nếu trong ta có thì 
  - Mệnh đề 1.3.1.5.17.19. Cho A là nhóm, , là số nguyên tố và thì . 
  - Mệnh đề 1.3.1.5.17.20. Cho có cấp bằng hoặc là lũy thừa của số nguyên tố . Cho và với . Khi đó . 
- 17 Nhóm được gọi là nhóm chia được nếu mọi phần tử thuộc đều chia hết cho mọi số nguyên dương .
1.4. Hạng tử trực tiếp của nhóm aben
- 17 Nhóm A được gọi là tổng trực tiếp của các nhóm con , , kí hiệu là , nếu
- Định nghĩa 1.4.1.5.17. Cho là một họ không rỗng các nhóm. Tập tích Descartes cùng với phép toán hai ngôi tạo thành một nhóm và được gọi là tích trực tiếp của họ các nhóm .
  - 18 Cho là một nhóm và . Khi đó 
    - 14 Cho là nhóm xoắn. Khi đó với là - thành phần của nhóm và là tập hợp tất cả các số nguyên tố. 
    - Định lý 1.4.1.5.17.18.14. Một nhóm bị chặn là tổng trực tiếp của những nhóm cyclic. 
    - Định lý 1.4.1.5.17.18.15. Một nhóm Aben là hữu hạn khi và chỉ khi là tổng trực tiếp của hữu hạn nhóm cyclic có cấp là lũy thừa của số nguyên tố. 
      - 8 Một nhóm Aben bị chặn là tổng trực tiếp của các nhóm cyclic có cấp là lũy thừa của số nguyên tố. 
- 17 . Cho là nhóm con của . Nhóm con của được gọi là nhóm con B-cao của A nếu thỏa hai điều kiện sau:
  - 18 . Cho B là một nhóm con của nhóm A và C là một nhóm con B- cao của A. Khi đó nếu và chỉ nếu A thỏa tính chất:Với mọi , với mọi số nguyên tố p, nếu trong A thì trong B. 

Chương 2. NHÓM CON THUẦN TÚY CỦA NHÓM ABEN

2 Tính thuần túy của nhóm con của nhóm Aben
- 1 Tính thuần túy, p- thuần túy và các điều kiện tương đương
  - 17 Một nhóm con G của nhóm A gọi là thuần túy trong A nếu G thỏa điều kiện: Với mọi số nguyên n, nếu phương trình có nghiệm trong A thì cũng có nghiệm trong G.
  - Định nghĩa 2.2.1.5.17. Cho p là một số nguyên tố. Một nhóm con của nhóm được gọi là p- thuần túy nếu G thỏa điều kiện: Với mọi số nguyên dương , nếu phương trình có nghiệm trong thì có nghiệm trong .
    - 18 Cho là nhóm con của nhóm . Khi đó các phát biểu sau là tương đương:
    - Mệnh đề 2.2.1.5.17.18. Cho là nhóm con của nhóm , p là số nguyên tố. Khi đó các phát biểu sau là tương đương:
- 2.2.2. Một số ví dụ của nhóm con thuần túy và p- nhóm con thuần túy
  - 18 Trong một nhóm bất kì, nhóm và nhóm là nhóm con thuần túy của . 
  - Mệnh đề 2.2.2.5.17.18. Mọi hạng tử trực tiếp của nhóm đều là nhóm con thuần túy của .
  - Mệnh đề 2.2.2.5.17.19. Phần xoắn và các - thành phần của nhóm là các nhóm con thuần túy của .
- 2.2.3. Mối quan hệ giữa tính thuần túy và p- thuần túy
  - 14 Cho là nhóm và là nhóm con của . Khi đó, các điều kiện sau tương đương:
  - Định lý 2.2.3.5.17.18.14. Trong nhóm , nếu nhóm con là - nhóm và là - thuần túy trong thì là nhóm con thuần túy của nhóm .
    - 8 Nhóm con - thuần túy của - nhóm thì thuần túy. 
2.3. Một số điều kiện đủ của nhóm con thuần túy
- 18 Cho là nhóm con của nhóm và . Khi đó ta có:
- Mệnh đề 2.3.1.5.17.18. Cho A là nhóm, G là nhóm con của A. Nếu là nhóm không xoắn thì nhóm con thuần túy trong .
- Mệnh đề 2.3.1.5.17.19. Trong nhóm không xoắn , giao của một họ các nhóm con thuần túy của là một nhóm con thuần túy của nhóm .
  - 8 Trong nhóm không xoắn , với mỗi tập con của , tồn tại nhóm con thuần túy nhỏ nhất của chứa . Cụ thể
- Cho là nhóm con thuần túy của và chứa Ta chứng minh Lấy Khi đó tồn tại sao cho . Đặt . Vì chứa nên . Suy ra trong Mà là nhóm con thuần túy của nên ta có trong Do đó tồn tại sao cho . Như vậy Mặt khác là nhóm không xoắn và nên Vậy 
  - 18 Cho là một chuỗi các nhóm con thuần túy của nhóm và cho . Khi đó G là nhóm con thuần túy của nhóm .
2.4. Quan hệ giữa nhóm con thuần túy và hạng tử trực tiếp
- 1 Nhóm con thuần túy không là hạng tử trực tiếp
- 2.4.2. Nhóm con thuần túy bị chặn
  - 18 Cho nhóm A là tổng trực tiếp của các nhóm cyclic có cùng cấp với và là số nguyên tố và B là nhóm con của nhóm A. Khi đó các phát biểu sau tương đương:
    - 8 Cho là một nhóm và là một số nguyên tố. Cho có và . Khi đó tồn tại hạng tử trực tiếp của sao cho cyclic và .
    - 14 Cho là nhóm con thuần túy bị chặn của nhóm . Khi đó là một hạng tử trực tiếp của .
2.5. Một số kết quả khác
- 18 Nếu và là nhóm con thuần túy của nhóm thì và cũng là nhóm con thuần túy của nhóm .
- Mệnh đề 2.5.1.5.17.18. Nếu nhóm là nhóm con thuần túy của nhóm và thì nhóm thuần túy trong .
- Mệnh đề 2.5.1.5.17.19. Nếu là phần xoắn của và nếu là nhóm con thuần túy của thì là nhóm con thuần túy của .
- Mệnh đề 2.5.1.5.17.20. Tổng trực tiếp của các nhóm là nhóm con thuần túy trong tích trực tiếp của các nhóm đó.
- Mệnh đề 2.5.1.5.17.21. Nhóm cyclic có mọi nhóm con đều là nhóm con thuần túy khi và chỉ khi có cấp hữu hạn và không có ước bình phương.
- 17 Một nhóm không có nhóm con thuần túy không tầm thường được gọi là nhóm thuần túy đơn.
  - 18 Nhóm cộng các số hữu tỉ là nhóm con thuần túy đơn.
  - Mệnh đề 2.5.1.5.17.22. Nếu nhóm cyclic có cấp là lũy thừa của số nguyên tố thì là nhóm thuần túy đơn.
  - Mệnh đề 2.5.1.5.17.23. là nhóm thuần túy đơn.
- 17 Cho là một nhóm, . Khi đó,
- Định nghĩa 2.5.1.5.18. Cho là một nhóm và là một số nguyên tố. Khi đó,
  - 18 Cho là một - nhóm. Nếu , và dãy cao độ của trong là thì

luận văn thạc sĩ toán học nhóm con thuần túy của nhóm aben

Nhóm con thuần túy bị chặn