Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn 1

Nhóm Abel hỗn hợp là nhóm Abel mà trong đó có chứa các phần tử cấp vô hạnvà các phần tử khác 0 cấp hữu hạn. Nhóm Abel hỗn hợp có thể xem là lớp nhóm tổngquát nhất trong các nhóm Abel. Đề tài nghiên cứu và trình bày có hệ thống những kết quả quan trọng về nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn 1.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH _ Lê Thái Sơn NHĨM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHƠNG XOẮN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH _ Lê Thái Sơn NHÓM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHÔNG XOẮN Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS PHẠM THỊ THU THỦY Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Luận văn thạc sĩ Tốn học với đề tài “Nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn 1” cá nhân thực hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Phạm Thị Thu Thủy, hồn tồn khơng chép Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số thông tin, tài liệu từ báo, tạp chí liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tôi xin chịu hồn tồn trách nhiệm luận văn TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2020 Học viên cao học Lê Thái Sơn LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, hướng dẫn khoa học TS Phạm Thị Thu Thủy Qua đây, tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến người Cảm ơn ln giúp đỡ tận tình suốt q trình tơi thực luận văn Đồng thời, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy khoa Tốn – Tin, đặc biệt thầy tổ Đại số tận tình dạy trang bị cho kiến thức vô q báu để tơi hồn thành luận văn Cảm ơn q thầy Phịng sau đại học tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập thực luận văn trường Sau cùng, không nhắc tới bạn học viên lớp cao học Đại số khóa 27, người học tập, nghiên cứu thời gian vừa qua Sự giúp đỡ, động viên bạn vô quý báu tơi Xin chân thành cảm ơn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn tránh khỏi thiếu sót hạn chế Rất mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn để tơi hồn thiện luận văn cách tốt TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2020 Học viên cao học Lê Thái Sơn MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục ký hiệu LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ NHÓM ABEL 1.2 MỘT SỐ NHÓM ABEL VÀ NHÓM CON ABEL QUAN TRỌNG .5 1.3 QUAN HỆ THỨ TỰ VÀ TỰ SỐ CHƯƠNG MA TRẬN CAO ĐỘ VÀ CẤU TRÚC CỦA NHĨM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHƠNG XOẮN 2.1 NHĨM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHƠNG XOẮN 2.2 CAO ĐỘ VÀ MA TRẬN CAO ĐỘ CỦA NHÓM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHÔNG XOẮN 10 2.3 BẤT BIẾN ULM-KAPLANSKY CỦA MỘT NHÓM ABEL HỖN HỢP THU GỌN 19 2.4 ĐỊNH LÝ VỀ CẤU TRÚC CỦA NHĨM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHƠNG XOẮN ĐẾM ĐƯỢC 24 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa Tập hợp số tự nhiên * Tập hợp số tự nhiên khác Tập hợp số nguyên Tập hợp số hữu tỉ n | a,  n | a  a chia hết (không chia hết) cho n  m, n  Ước chung lớn hai số nguyên m n A B A nhóm B A B A nhóm thực B A Nhóm thương A theo nhóm B B A B Nhóm A đẳng cấu với nhóm B A B Tổng trực tiếp nhóm A nhóm B A Cấp nhóm A oa Cấp phần tử a a1 , a2 , hp*  a  Nhóm sinh phần tử a1 , a2 , p-cao độ tổng quát a LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Nhóm Abel hỗn hợp nhóm Abel mà có chứa phần tử cấp vô hạn phần tử khác cấp hữu hạn Nhóm Abel hỗn hợp xem lớp nhóm tổng quát nhóm Abel Một hướng tiếp cận nghiên cứu cấu trúc nhóm Abel hỗn hợp G xem mở rộng phần xoắn T nhóm khơng xoắn G T Khơng khó để thấy trường hợp cần xem xét nhóm Abel hỗn hợp hạng khơng xoắn 1, nhóm thương G T nhóm khơng xoắn hạng Rotman J [1], Megibben C [2], Myshkin V.I [3] chứng minh nhóm đếm lớp này, bất biến nhóm xoắn T với lớp tương đương ma trận cao độ H(G) tạo thành hệ bất biến, tạo điều kiện thuận lợi để xem xét tốn liên quan tới lớp nhóm Mục đích đề tài Nghiên cứu trình bày có hệ thống kết quan trọng nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Một số tính chất liên quan tới tính chia hết, cao độ lý thuyết nhóm Abel - Các bất biến nhóm Abel xoắn - Ma trận cao độ nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn - Cấu trúc nhóm Abel hỗn hợp hạng khơng xoắn đếm Bố cục luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, kết luận tài liệu tham khảo Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, khái niệm nhóm Abel, số lớp nhóm Abel quan trọng trình bày sơ lược Thêm vào số khái niệm tự số quan hệ thứ tự tập hợp Chương 2: Ma trận cao độ cấu trúc nhóm Abel hỗn hợp hạng khơng xoắn Đây nội dung luận văn bao gồm phần Phần 2.1 trình bày định nghĩa, tính chất số khái niệm liên quan nhóm Abel hỗn hợp hạng khơng xoắn Phần 2.2 giới thiệu cao độ ma trận cao độ nhóm Abel hỗn hợp hạng khơng xoắn Phần 2.3 trình bày khái niệm bất biến Ulm-Kaplansky nhóm Abel hỗn hợp thu gọn Phần 2.4 tập trung chứng minh định lý cấu trúc nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn đếm CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ NHÓM Định nghĩa 1.1.1 Tập hợp A   với phép tốn hai ngơi “+” gọi nhóm nếu: (1) Phép tốn “+” có tính chất kết hợp, có nghĩa x   y  z    x  y   z với x, y, z  A (2) Tồn phần tử  A cho x    x  x với x  A (3) Mọi phần tử x  A có phần tử đối, ký hiệu  x có nghĩa x  x  Nếu phép tốn “+” có tính giao hốn, có nghĩa x  y  y  x với x, y  A A gọi nhóm Abel Trong luận văn này, nhóm ta xét nhóm Abel Vì để đơn giản, thay ghi “nhóm Abel” ta ghi “nhóm” Định nghĩa 1.1.2 Cho A nhóm Tập G   A gọi nhóm A x  y  G với x, y  G Định nghĩa 1.1.3 Cho A nhóm G nhóm A Với phần tử a  A , đặt a  G  a  x | x  G , A G  a  G | a  A với phép toán  a  G    b  G   a  b  G với b  A nhóm, gọi nhóm thương G A Định nghĩa 1.1.4 Cho A nhóm, B C nhóm A Ta nói A tổng trực tiếp B C A  B  C B  C  Mệnh đề 1.1.5 Nhóm A tổng trực tiếp hai nhóm B C với a  A , có có cách biểu diễn a  b  c với b  B c  C Định nghĩa 1.1.6 Cho A B nhóm Ta có định nghĩa sau: (1) Một ánh xạ f từ A đến B gọi đồng cấu nhóm f  x   f  y   f  x  y  với x, y  A Nếu A  B f gọi tự đồng cấu A (2) Nếu đồng cấu đơn ánh gọi đơn cấu (3) Nếu đồng cấu tồn ánh gọi tồn cấu (4) Một đồng cấu gọi đẳng cấu vừa đơn cấu, vừa toàn cấu (5) Nếu có đẳng cấu từ A đến B ta nói A B đẳng cấu với Định nghĩa 1.1.7 Cho A nhóm phần tử x  A Cấp phần tử x ký hiệu o  x  , số nguyên dương n nhỏ cho nx  Nếu khơng tồn số ngun dương ta nói cấp x vơ ký hiệu o  x    Cấp nhóm A lực lượng tập hợp A , ký hiệu A 18 Đặt m  p1 p2 pk  n  p1 p2  pk  với p1 , p2 , , pk số nguyên tố k k xếp từ bé đến lớn 1 ,  , ,  k , 1 ,  , ,  k số nguyên không âm Ta xét hàng thứ i H  a  H  b  Trường hợp 1: pi | mn Theo kết (2) mệnh đề 2.2.6 ta có hpi *  pi l a   hpi *  pi l ma   hpi *  pi l nb   hpi *  pi l b  Vậy hàng thứ i H  a  H  b  giống Do hầu hết pi không ước mn nên hầu hết hàng H  a  H  b  giống Trường hợp 2: pi | mn Vì A nhóm hỗn hợp hạng khơng xoắn nên tồn số nguyên u, v thỏa  u, pi   1;  v, pi   số nguyên không âm  ,  cho pi ua  pi  vb  c Suy pi  k ua  pi   k vb với k  Suy hp *  pi  k ua   hp *  pi   k vb  Mà i i  u, pi   1;  v, pi   nên hpi *  pi  k a   hpi *  pi   k b  Do đó, theo định nghĩa hai ma trận cao độ tương đương ta có H  a  ~ H  b  ▄ Từ chứng minh trên, ta thấy ma trận cao độ phần tử khác nhóm hỗn hợp hạng không xoắn A thuộc lớp tương đương Ta gọi lớp tương đương ma trận cao độ nhóm A ký hiệu H  A  19 2.3 BẤT BIẾN ULM-KAPLANSKY CỦA MỘT NHÓM HỖN HỢP THU GỌN Với A nhóm p  , ta ký hiệu A[ p ]  a  A | pa  0 Định nghĩa 2.3.1 Cho A nhóm hỗn hợp thu gọn p số nguyên tố  tự số Ta ký hiệu f  A   p A  p  p 1 A  p  gọi f  A  bất biến Ulm-Kaplansky thứ  A Với G nhóm A , ta ký hiệu G     p 1 A  G   p A  p  Khi nhóm p A  p  G   gọi bất biến Ulm-Kaplansky thứ  A theo G Định nghĩa 2.3.2 Cho A nhóm hỗn hợp, G nhóm A p số nguyên tố Phần tử a  A \ G gọi p-riêng theo G a có p-cao độ lớn lớp ghép a  G , nghĩa hp*  a   hp*  a  g  với g  G Mệnh đề 2.3.3 Cho A nhóm hỗn hợp, G nhóm A a  A \ G phần tử p-riêng theo G Khi với g  G , ta có hp*  a  g   hp*  a  ; hp*  g  Chứng minh Cho g  G , a phần tử p-riêng theo G nên hp*  a  g   hp*  a    Có trường hợp xảy ra: 20 Trường hợp 1: hp*  g   hp*  a  Khi theo mệnh đề 2.2.5 ta có hp*  a  g   hp*  a  ; hp*  g  Trường hợp 2: hp*  g   hp*  a  Khi theo mệnh đề 2.2.5 ta có hp*  a  g   hp*  a  ; hp*  g   hp*  a  Mà a phần tử p-riêng theo G nên   hp*  a  g   h p*  a  Suy hp*  a  g   hp*  a   hp*  a  ; hp*  g  Bổ đề 2.3.4 [6, 104.1] Cho A nhóm hỗn hợp hạng khơng xoắn thu gọn, G nhóm hữu hạn sinh A p số nguyên tố Khi với phần tử a  A \ G cho p m a  G với m  , lớp ghép a  G chứa phần tử priêng theo G Chứng minh Ta có G nhóm hữu hạn sinh nên theo định lý 1.2.6 G  H  T  G  với H tổng trực tiếp nhóm cyclic vơ hạn Vì G nhóm A A có hạng khơng xoắn nên theo mệnh đề 2.1.2 G có hạng khơng xoắn H  g với o  g    Mặt khác theo định lý 1.2.4 nhóm xoắn T  G  G đẳng cấu với tổng trực tiếp thành phần p- nguyên sơ G p G Vậy   G  g   Gp p với g  G g có cấp vơ hạn G p p-nhóm Vì a  G p hữu hạn a  G  a ' G với a '  a  G p , nên khơng tính tổng quát ta giả sử a có cao độ lớn a  G p tức hp*  x  a   hp*  a  với x  G p 1  21 Ta chứng minh lớp ghép a  g , G p tồn phần tử có cao độ lớn Giả sử ngược lại, tồn dãy vô hạn phần tử ln g  en  g  G p (ln  , en  G p ) cho: hp*  a   hp*  a  ln g  en   hp*  a  ln 1 g  en 1  với n  2 Vì G p nhóm hữu hạn ei  G p nên có hữu hạn giá trị ei phân biệt Suy dãy   có phần tử e  G p lặp lại vơ hạn lần Khi thay xét dãy (2), ta xét dãy bao gồm phần tử chứa ei  e Do đó, ta giả sử tất ei (2) e hp*  a   hp*  a  l1 g  e   h p*  a  l2 g  e   Đặt a '  a  e  a  G p , ta có hp*  a '  hp*  a ' l1 g   hp*  a ' l2 g    3 Mặt khác, ta có p m a  G nên pm a  pu sg  y với y  G p  p, s   Suy m p m a '  p m a  p me  pu sg   y  p me  Vì y  p e  G p nên với p v  o  y  p m e  , ta có p mv a '  pu v sg  p v  y  p me   pu v sg Đặt m  v  t, u  v  r ta pt a '  p r sg với t  m Khi h*p  ln g   h*p  a ' ln g  a '   h*p  a ' ln g  ; h*p  a '   h*p  a ' Vì vậy, tồn số k  cho ln  p k sn ;  sn , p   với n 22 Khi đó,  sn , p   nên hp*  ln g   hp*  p k g  Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1, r  k  t với w   r ; k  t  , ta có: h*p  a ' ln g   h*p  a ' p k sn g   h*p  p t a ' p k t sn g   h*p  p r sg  p k t sn g   h*p  p w g  Suy dãy   bị chặn Mà h*p   ln 1  ln  g   h*p   a  ln 1 g    a  ln g    h*p  a  ln g  dẫn đến lũy thừa cao p mà ln1  ln chia tăng n tăng Điều mâu thuẫn với việc dãy   bị chặn Trường hợp 2, r  k  t , ta có pt  a ' p k sg   pt a ' p k t sg  p r sg  p r sg  Vì vai trị a ' a ' p k sg a  g , G p nên ta xem p t a '  Khi hp*  a ' p k sn g   hp*  pt a ' p k t sn g   hp*  p k t g  tức dãy   bị chặn Tương tự trường hợp trên, điều dẫn đến mâu thuẫn Vậy a  g , G p có phần tử có cao độ lớn Gọi a  g0  g p phần tử p-riêng theo g  G p Ta chứng minh trong a  G có phần tử p-riêng theo G Lấy c  a  G , c  a  g '0  g ' p   g 'q q p g '  g ; g ' p  G p  , ta có:   hp*  c   hp*  a  g '0  g ' p   g 'q  q p        hp*  a  g '0  g ' p  ; hp*   g 'q     q p    hp*  a  g '0  g ' p   hp*  a  g0  g p  23 Từ ta suy a  g0  g p phần tử p-riêng theo G Suy a  G có chứa phần tử p-riêng theo G 24 2.4 ĐỊNH LÝ VỀ CẤU TRÚC CỦA NHĨM HỖN HỢP HẠNG KHƠNG XOẮN ĐẾM ĐƯỢC Định nghĩa 2.4.1 Cho A C nhóm hỗn hợp, G H nhóm A C Một đẳng cấu  : G  H gọi đẳng cấu bảo toàn cao độ với g  G số nguyên tố p , ta có: h p *   g    h p *  g  , cao độ lấy C A Bổ đề 2.4.2 [6, 104.2] Cho A C nhóm hỗn hợp thu gọn có bất biến Ulm-Kaplansky với số nguyên tố p cho trước G H tương ứng nhóm hỗn hợp hạng khơng xoắn hữu hạn sinh A C Khi đó,  : G  H đẳng cấu bảo toàn cao độ a  A \ G cho pa  G  mở rộng thành đẳng cấu bảo toàn cao độ  ' : G, a  H , c với c  C thích hợp Chứng minh Vì A nhóm thu gọn G nhóm hữu hạn sinh A có hạng khơng xoắn nên theo bổ đề 2.3.4, với a  A \ G cho pa  G a  G chứa phần tử p-riêng theo G Khơng tính tổng qt, giả sử a phần tử p-riêng theo G Ta tìm phần tử c  C đồng thời thỏa mãn điều kiện c  H , pc  H ,   pa   pc , hp*  a   hp*  c  c có cao độ lớn c  H Đặt   hp*  a  ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1, hp*  pa     Đặt x    pa   H Suy hp*  x     Ta chọn c  C cho pc  x hp*  c    25 Nếu c  H tồn g  G cho c    g  Khi ta có h p*  g    pg  p 1  c    1  pc   pa , suy p a  g   Vì a phần tử p-riêng theo G nên hp*  a  g   hp*  a  ; hp*  g    , suy a  g phần tử p-riêng theo G Mặt khác hp*  p  a  g        mẫu thuẫn với cách chọn a Vì cH Nếu c phần tử p-riêng theo H hp*  c  h    với h  H hp*  h   hp*  c  h  c   hp*  c  h  ; hp*  c    Lúc    hp*  pc  ph   hp*  pa  p 1h  Vì a phần tử p-riêng theo G nên hp*  a   1h   hp*  a  ; hp*  1h    Suy a   1h phần tử p-riêng theo G Mặt khác    hp*  pa  p 1h  nên điều mâu thuẫn với cách chọn a Vậy c phần tử p-riêng theo H Trường hợp 2, hp*  pa     Khi tồn b  p 1 A cho pb  pa 1  Khi hp*  a  b    hp*  a  ; hp*  b     Suy a  b phần tử p-riêng theo G tồn g  G cho hp*  a  b  g    , điều dẫn đến mâu thuẫn   hp*  a  g  b    hp*  a  g  ; hp*  b    hp*  a  g  hp*  a  g   hp*  a    Từ 1 ta có 26 p a  b  Khi theo giả thiết A C có bất biến Ulm-Kaplansky với số nguyên tố p cho trước nên tồn đẳng cấu  : p A  p  p 1 A  p   p C  p  p 1C  p  Đặt   a  b  p 1 A p   u  p 1C  p  với u  p C  p  Suy hp*  u    Vì  : G  H đẳng cấu bảo toàn cao độ nên tồn d  p 1C cho pd    pa   H Đặt c  d  u Suy pc  pd    pa   H , c phần tử p-riêng theo H hp*  c   hp*  d  u    hp*  d  ; hp*  u     Xét ánh xạ  ' : G, a  H , c cho  '  ka  g '  kc   g ' với số k thỏa  k , p   g '  G Ta chứng minh  ' đẳng cấu bảo toàn cao độ Ta có  '  ka  g '    '  la  g ''   kc   g ' lc   g ''   k  l  c    g ' g ''   '  k  l  a   g ' g ''     '  ka  g '    la  g ''   với  k , p   1;  l , p   g ', g ''  G Vậy  ' đồng cấu Ta chứng minh  '  ka  g '   '  la  g '' ka  g '  la  g '' Thật vậy, từ  '  ka  g '    '  la  g ''  ta kc   g '  lc   g '' , suy  k  l  c    g '' g '  Vậy  k  l  c  H k  l  pm với m Suy  1  k  l  c    g ' g ''   1 pmc   g ' g ''  Khi pma  g ' g ''  hay ka  g '  la  g '' Vậy  ' đơn cấu Với x  H , c , ta có x  kc  h với  k , p   h  H Luôn tồn g '   1  h   G , cấu x  kc   g '   '  ka  g ' với ka  g '  G , a Vậy  ' toàn 27 Ta chứng minh hq*  ka  g '  hq*  kc   g ' với số nguyên tố q Giả sử q  p Khi hq*  ka  g '   hq*  pka  pg '   hq*  pkc  p g '   hq*  kc   g '  Giả sử q  p Khi hq*  ka  g '   hq*  ka  ; hq*  g     hq*  kc  ; hq*  g    hq*  kc   g  a c phần tử p-riêng theo G H Vậy  ' đẳng cấu bảo toàn cao độ từ G , a lên H , c Mệnh đề 2.4.3 Cho A nhóm hỗn hợp hạng khơng xoắn G nhóm hữu hạn sinh A sinh phần tử có cấp vơ hạn Khi đó, có phần tử a  A có cấp vơ hạn cho a  G ln tồn số nguyên tố p cho pa  G Chứng minh Vì A nhóm hỗn hợp hạng không xoắn nên tồn số nguyên m , n cho mg  na với g  G Khi đó, ln tồn số ngun tố p cho n  pn ' với n ' số ngun thích hợp Nói cách khác p (n ' a )  G nên không tính tổng qt, ta xem pa  G Bổ đề 2.4.4 Cho nhóm A khơng nhóm xoắn G nhóm A Nếu G chứa tất phần tử có cấp vơ hạn A G  A Chứng minh 28 Lấy phần tử x  A có cấp hữu hạn phần tử g  A có cấp vơ hạn Vì g có cấp vơ hạn nên x  g có cấp vơ hạn Suy g  G x  g  G Khi x   x  g   g  G Suy G chứa phần tử cấp hữu hạn A Vậy G  A Mệnh đề 2.4.5 Cho A nhóm hỗn hợp hạng khơng xoắn nhóm xoắn T  A  nhóm thu gọn Nếu A khơng nhóm thu gọn A  T  A   Chứng minh Theo định lý 1.2.13 A  D  E với D nhóm chia lớn A Theo mệnh đề 1.2.11 D  T  D  D T  D T D Vì D chia nên hạng tử trực tiếp D , tức T  D không xoắn, chia nên D T  D  (các nhóm xét có hạng khơng xoắn 1) Suy A  T  D    E Tuy nhiên T  A nhóm thu gọn nên T  D   Suy A  E  chọn E  T  A  T  A   0 Theo định lý 1.2.12 ta Nếu E  T  A  tồn  x  E \ T  A  có nghĩa x không phần tử xoắn Điều mâu thuẫn A nhóm có hạng khơng xoắn Vậy A  T  A  Định lý 2.4.6 [6, 104.3] Cho A C nhóm hỗn hợp hạng khơng xoắn đếm Khi A C đẳng cấu với khi: i Các nhóm xoắn T  A  T  C  A C đẳng cấu với ii Ma trận cao độ H  A  H  C  A C tương đương với Chứng minh Theo định lý 1.2.13 ta có T  A   D1  E1 với D1 nhóm chia lớn T  A  E1 nhóm thu gọn Khi D1 nhóm chia A nên theo định lý 1.2.12 A  D  E1 ' Vì E1 nhóm T  A  nên suy 29 E1  T  E1 '  Với C ta có điều tương tự vậy, T  C   D2  E2 C  D2  E2 ' , suy E2  T  E2 ' Vì T  A   T  C  nên D1  D2 E1  E2 Khi ta cần chứng minh E1 '  E2 ' với T  E1 ' , T  E2 ' nhóm thu gọn ma trận cao độ bảo toàn Do đó, ta đưa giả thiết tốn T  A  , T  C  nhóm thu gọn mà khơng bị tính tổng quát Giả sử T  A  T  C  nhóm thu gọn Nếu A khơng nhóm thu gọn theo mệnh đề 2.4.5 ta có A  T  A   Vì H  A  ~ H  C  nên suy C  T  C   Suy A  C Do đó, giả sử A C nhóm thu gọn Vì H  A  ~ H  C  nên tồn phần tử có cấp vơ hạn g  A h  C cho H  g  ~ H  h  Suy tồn đẳng cấu bảo toàn cao độ  : g  h Vì T  A  T  C  đẳng cấu với nên A C có bất biến UlmKaplansky với số nguyên tố Gọi S tập tất đẳng cấu bảo toàn cao độ  : G  H với G H nhóm có hệ sinh phần tử cấp vô hạn A C Trên S ta định nghĩa quan hệ thứ tự “  ” sau: Với  : G  H  ' : G '  H ' phần tử S ta có def    '  G  G '  ' G   Ta chứng minh S tập quy nạp Vì   S nên S   Lấy chuỗi    i : Gi  H i i 1,2, ta chứng minh  bị chặn   Lấy x  Gi i : Gi  Hi suy tồn i0 cho x  Gi0 Khi   x    i0  x  Vậy theo bổ đề Zorn, tồn  max : Gmax  H max cực đại S 30 Tiếp theo ta chứng minh Gmax  A H max  C cách chứng minh mệnh đề sau: Nếu phần tử a  A có cấp vơ hạn a  Gmax Thật vậy, giả sử tồn a '  A có cấp vơ hạn a '  Gmax Khi theo mệnh đề 2.4.3 ta có pa '  Gmax với p số ngun tố thích hợp Vì A C nhóm hỗn hợp hạng khơng xoắn có bất biến Ulm-Kaplansky theo số nguyên tố p nên theo bổ đề 2.4.2 tồn đẳng cấu bảo toàn cao độ  'max : Gmax , a '  H max , c với c  C thích hợp Điều mâu thuẫn với  max phần tử cực đại S Vậy ta chứng minh Gmax chứa tất phần tử cấp vô hạn A Theo bổ đề 2.4.4 Gmax  A Lập luận tương tự ta có H max  C Vậy A C đẳng cấu với 31 KẾT LUẬN Luận văn trình bày có hệ thống số kết liên quan đến nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn 1, cụ thể sau: (1) Trình bày định nghĩa tính chất cao độ tổng quát phần tử nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn ma trận cao độ nhóm Abel hỗn hợp hạng khơng xoắn (2) Định nghĩa bất biến Ulm-Kaplansky ứng dụng vào việc chứng minh định lý cấu trúc nhóm Abel hỗn hợp hạng khơng xoắn 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J Rotman, “Torsion-free and mixed abelian groups”, Ill.J.Math, vol 5, no 1, pp 131-143,1961 [2] C Megibben, “On mixed groups of torsion-free rank one”, Ill.J.Math, vol 11, no 1, pp 134-144, 1967 [3] V I Myshkin, “Countable abelian groups of rank 1”, Mat Sb, vol 76, no 3, pp 435-448, 1968 [4] T J Pepper, “Structure of Finitely Generated Abelian Groups”, Lake Forest College Senior Thesis, pp 9-17, 2015 [5] L Fuchs, “Infinite Abelian groups”, Academy Press, vol 1, 1970 [6] L Fuchs, “Infinite Abelian groups”, Academy Press, vol 2, 1973 ... đề 2 .1. 2 Nhóm hỗn hợp nhóm hỗn hợp hạng khơng xoắn nhóm hạng không xoắn 10 2.2 CAO ĐỘ VÀ MA TRẬN CAO ĐỘ CỦA NHĨM HỖN HỢP HẠNG KHƠNG XOẮN Định nghĩa 2.2 .1 Cho A nhóm hỗn hợp, p số nguyên tố Nhóm. .. 1. 2 MỘT SỐ NHÓM VÀ NHÓM CON QUAN TRỌNG Nhóm xoắn, nhóm khơng xoắn, nhóm hỗn hợp Mệnh đề 1. 2 .1 Cho T tập hợp tất phần tử có cấp hữu hạn nhóm A , T nhóm A gọi nhóm xoắn A Định nghĩa 1. 2.2 (1) ... tử nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn ma trận cao độ nhóm Abel hỗn hợp hạng khơng xoắn (2) Định nghĩa bất biến Ulm-Kaplansky ứng dụng vào việc chứng minh định lý cấu trúc nhóm Abel hỗn hợp hạng