Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phép tính vi phân trên không gian Banach

Mục tiêu đề tài là trình bày chi tiết và hệ thống các vấn đề cơ bản nhất của phép tính vi phân trong không gian Banach và trường hợp riêng của nó là các không gian như các khái niệm đạo hàm theo Gateaux, Frechet, các qui tắc tính đạo hàm, công thức số gia giới nội, đạo hàm bậc cao và công thức Taylor các định lí hàm ngược, hàm ẩn, ứng dụng vào bài toán cực trị, bài toán biến phân,... Mời các bạn cùng tham khảo.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH CHANTHAVONG Ladda TÌM HIỂU VỀ PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH CHANTHAVONG Ladda TÌM HIỂU VỀ PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Mã số: Toán Giải Tích 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜNG HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn thạc sĩ Toán học với đề tài “ Tìm hiểu về phép tính vi phân khơng gian Banach ” thực hiện với sự hướng dẫn của PGS TS Ngũn Bích Huy, khơng chép của bất cứ Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số thông tin, tài liệu từ các ng̀n sách, tạp chí được liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tôi xin hoàn toàn chịu mọi trách nhiệm về ḷn văn của Thành phớ Hờ Chí Minh, tháng 06 năm 2018 Học viên thực hiện CHANTHAVONG Ladda LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Ngũn Bích Huy, Thầy đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện tốt nhất để hoàn thành bài luận này Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới Thầy Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới các Thầy khoa Toán - Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phớ Hờ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tơi nâng cao trình đợ chun mơn śt quá trình học cao học Xin được gửi lời cảm ơn Ban giám hiệu, phịng Khoa học Cơng nghệ và phịng Sau đại học, phịng Tổ chức hành chính, phịng Kế hoạch - Tài Trường đại học Sư phạm TP Hờ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho suốt quá trình học tập và làm luận văn Và cảm ơn các bạn Học viên K26 đã chia sẻ với rất nhiều về kinh nghiệm học tập, rèn luyện và viết luận văn Xin gửi lời chúc sức khỏe, hạnh phúc và thành công tới quý thầy cô, anh chị và các bạn! CHANTHAVONG Ladda MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn MỞ ĐẦU .1 Chương ĐẠO HÀM 1.1 Sự khả vi .2 1.2 Định lý số giá giới nội và ứng dụng .9 1.2.1 Định lý số giá nội 1.2.2 Một số ứng dụng 11 1.3 Đạo hàm bậc cao, công thức Taylor 18 1.3.1 Ánh xạ đa tuyến tính 18 1.3.2 Đạo hàm bậc hai 20 1.3.3 Đạo hàm bậc cao 23 1.3.4 Công thức Taylor 26 1.3.5 Đạo hàm cấp cao của một số ánh 29 1.4 Ánh xạ ngược – ánh xạ ẩn 40 Chương CỰC TRỊ 46 2.1 Cực trị địa phương 46 2.2 Cực trị có điều kiện .50 2.2.1 Trường hợp riêng 50 2.2.2 Cực trị với ràng buộc phiếm hàm 53 2.2.3 Bài toán cực trị có điều kiện tổng quát 54 2.3 Bài toán biến phân 57 2.3.1 Trường hợp một biến Phương trình Euler 57 2.3.2 Trường hợp hàm nhiều biến Phương trình Euler – Lagrange 64 KẾT LUẬN 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO 73 MỞ ĐẦU Khái niệm đạo hàm là khái niệm sở nhất và quan trọng nhất của Toán học nói riêng và khoa học nói chung Nó có mặt những bài toán đơn gian nhất các bài toán phức tạp nhất Đạo hàm được định nghĩa ban đầu cho hàm số một biến số, sau đó cho hàm số nhiều biến số Do sự phát triển nội tại của Toán học đề nghiên cứu những bài toán mới phát sinh quá trình phát triển của khoa học – công nghệ mà khái niệm đạo hàm và các vấn đề liên quan đã được mở rộng cho các ánh xạ tác động các không gian Banach và rộng là các không gian tô pô tuyến tính Đến đã hình thành mợt lí thuyết hoàn chỉnh về phép tính vi phân khơng gian Banach Lí thuyết này tìm được những ứng dụng sâu sắc và bản lí thuyết phương tình vi phân, Giải tích phi tuyến, Lí thuyết điều khiển, Tới ưu hoá, Toán kinh tế, Việc tìm hiểu về phép tính vi phân khơng gian Banach giúp học viên bổ sung cho những kiến thức mới hiện đại; thấy được phương pháp hình thành và phát triển những khái niệm Toán học tổng quát sở những khái niệm cũ, riêng biệt Mục tiêu đề tài là trình bày chi tiết và hệ thớng các vấn đề bản nhất của phép tính vi phân không gian Banach và trường hợp riêng của nó là các không gian các khái niệm đạo hàm theo Gateaux, Frechet, các qui tắc tính đạo hàm, cơng thức số gia giới nội, đạo hàm bậc cao và cơng thức Taylor các định lí hàm ngược, hàm ẩn, ứng dụng vào bài toán cực trị, bài toán biến phân, Luận văn sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho các sinh viên Đại học và học viên cao học Khi học bợ mơn phép tính vi phân không gian hữu hạn chiều và không gian Banach Chương ĐẠO HÀM 1.1 Sự khả vi Trong chương này, ta xét  E,  E  ,  F ,  F  là các không gian Banach một trường K ( K là R hoặc C ) Định nghĩa Cho E , F là hai không gian Banach, D là tập mở E chứa điểm x và f :D F 1) Ta nói f khả vi theo Frechet hay F  khả vi tại x tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục A : E  F cho với mọi h  E mà x  h  D thì: f  x  h  f  x  Ah  h E 1    h  , với  xác định một lân cận của 0E có giá trị F , im   h   0F h0E 2) Ta nói f khả vi theo Gateaux hay G  khả vi tại x tờn tại ánh xạ tuyến tính liên tục A : E  F cho im t 0 f  x  th   f  x   A  h  , h  E t  2 Mệnh đề 1.1 Cho E , F là hai không gian Banach, D là tập mở E và f : D  F 1) Ánh xạ tuyến tính liên tục A thoả mãn 1 hoặc   , tồn tại, sẽ nhất, đặt f '  x   A và gọi là đạo hàm của f tại x 2) Nếu f khả vi theo Frechet tại x  D f liên tục tại x Chứng minh 1) Ta chứng minh cho trường hợp là F  khả vi Giả sử A1 , A2 là ánh xạ tuyến tính liên tục thoả mãn 1 Với mọi u  E và t  cho x  tu  D, ta có: f  x  tu   f  x   A1  tu   tu E  1  tu   A2  tu   tu E  2  tu  , với im 1  h   im 2  h   0F h0E h0E Do A1 , A2 tuyến tính và t  nên: A1  tu   tu E  1  tu   A2  tu   tu E  2  tu   A1  u   A2  u   u E 2  tu   1  tu   Cho t  0, ta có: A1  u   A2  u  , u  E Vậy A1  A2 2) Từ 1 và tính liên tục của A suy ra: im f  x  h   f  x  h0E Vậy f liên tục tại x Từ 1 và A là tuyến tính, ta có: im t 0 f  x  th   f  x   im A  h   t 0 t  t t  h   th   A  h  Do đó f khả vi theo Gateaux tại x Định nghĩa Cho E , F là hai không gian Banach, D là tập mở E và f : D  F Nếu f khả vi tại mọi x  D , ta nói f khả vi D hay f khả vi Khi đó ánh xạ f ' : D  L  E, F  f '  x   L  E, F  biến mỗi x  D thành đạo hàm của f tại x , được gọi là ánh xạ đạo hàm của f Ghi chú Nếu E  R , mọi ánh xạ tuyến tính A: R  F có dạng A  t   tw, với w  F , w  A 1 Ta đờng nhất ánh xạ tuyến tính A với A 1  w là vectơ F Khi đó với I là khoảng mở R , f : I  F , f khả vi tại t  I tồn tại phần tử w  F cho với h  R, t  h  I thì: f  x  h   f  t   hw  h    h  , im   h   F hay h 0 im h 0 f  x  h  f t   w  f ' t  h Mệnh đề Cho E , F là hai không gian Banach, D là tập mở và f : D  F i) Nếu f là ánh xạ hằng f khả vi và f '  x   0L E ,F  , x  D ii) Nếu f là thu hẹp D của ánh xạ tuyến tính liên tục f khả vi và: f '  x   f , x  D Chứng minh i) Hiển nhiên ii) Do f tuyến tính liên tục nên f  x  h  f  x  f h  h E   h  , với   h   F , h  E Định lý 1.1 (Công thức đạo hàm của ánh xạ hợp) Cho E , F , G là không gian Banach, U là tập mở E , V là tập mở F và f : U  V , g : V  G Giả sử f khả vi Frechet tại x và g khả vi Frechet tại y  f  x  g f khả vi tại x và  g f   x   g '  f  x   f '  x  ' Chứng minh Đặt k  h   f  x  h   f  x  Với h  E cho x  h U và f  x  h   V Do g khả vi tại f  x  nên g  f  x  h    g  f  x    g '  f  x    k  h    k  h  F    k  , im   k   0G k 0F Do f khả vi tại x nên: k  h   f '  x  h   h E   h  , im  h   0F h0E Suy g  f  x  h    g  f  x     g '  f  x   f '  x    h   h E  g '  f  x     h    k  h  F    k  Ta cần chứng minh:   k  h F im  g '  f  x     h      k  h    0G h  E hE   Điều này suy từ các đánh giá: k  h F  f '  x  h E   h E   h Khi h  0E , im k  h   0F và h0E nên F k h h F  f '  x   h F bị chặn E im   k  h    0G h0E Vậy g f khả vi tại x và  g f   x   g '  f  x   f '  x  ' Nhận xét Nếu f khả vi Gateaux tại x và f khả vi theo Frechet tại y  f  x  g f khả vi Gateaux tại x và g f   x   g '  f  x  f '  x  ' Từ về sau không nói thêm, ta hiểu sự khả vi là theo Frechet Định nghĩa Cho F1 , F2 , , Fn là các không gian Banach Đặt F  F1  F2   Fn Mỗi y  F , y   y1 , y2 , , yn  , yi  Fi , i  1, 2, , n , Đặt y F  y1 F1  y2 F2   y n Fn Khi đó  F ,  F  là không gian Banach Cho E , Fi , i  1, n là các không gian Banach, D là tập mở E và f : D  F1  F2   Fn Khi đó f  x    f1  x  , f  x  , , f n  x   đó fi : D  Fi , i  1, 2, , n là ánh xạ thành phần thứ i của f Ánh xạ f là tuyến tính, liên tục và chỉ các ánh xạ fi là tuyến tính, liên tục i  1, n Định lý 1.2 Cho E, F1 , F2 , , Fn là các không gian Banach, D là tập mở E và f : D  F1  F2   Fn , f   f1 , f , , f n  Khi đó f khả vi tại x và chỉ các ánh xạ thành phần f1 , f2 , , fn khả vi tại x Hơn nữa: f '  x  h    f1'  x  h  , f 2'  x  h  , , f n'  x  h   , đó f '  x   L  E, F  với F  F1  F2   Fn , f i '  x   L  E , Fi  , i  1, 2, , n , nghĩa là f i '  x  là thành phần thứ i của f '  x  59 f y'  x, y   h, y '   h'   f y'  x, y, y '    b  a  Suy ra, với h  M , h   thì:  j  y  h   y  y     f y  x, y  x  , y '  x   , h  x   f y'  x, y  x  , y '  x   , h '  x  dx  h   a b b   f  x, y  x  , y  x   , h  x   f  x, y  x  , y  x   , h  x dx là ánh Ánh xạ A : h ' ' ' y' y a xạ tuyến tính liên tục từ M vào R Vậy j khả vi tại y và j '  y   A b  b Ta có: J '  y    l  a  max   f y  x, y  x  , y '  x   dx,  f y  x, y  x  , y '  x   dx  và ' a  a f y , f y liên tục nên J ' liên tục ' Mệnh đề 2.3.2 b Giả sử  , :  a, b   R n liên tục và     x  , h  x     x  , h'  x  dx  với a mọi h  M Khi đó  có đạo hàm liên tục và  '  x     x  , với mọi x   a, b  Chứng minh: x Đặt g  x      t dt  c , với c  R n là vectơ hằng được xác định sau Trong a đó,   t   1  t  , 2  t  , , n  t   x x x  a a a     t dt    1  t dt , ,  n  t dt  Khi đó g '  x     x  Dùng cơng thức tích phân từng phần, ta được: b    x  , h  x  dx  g  x  , h  x  a Do h  M nên g  x  , h  x  b b    g  x  , h '  x  dx a a b a 0 Suy 60 b b a a ra:     x  , h  x     x  , h'  x  dx     x   g  x  , h '  x  dx, h  M x Đặt h  x      t   g  t  dt h  a   R , h'  x     x   g  x  n a b Chọn vectơ hằng c  R n cho: h  b      x   g  x  dx Khi đó h  M và: a b b a a '     x  , h  x     x  , h  x  dx     x   g  x  dx  Vậy   x   g  x  , x   a, b  hay  '  x     x  , x   a, b  Định lý 2.3.1 ( phương trình Euler ) Cho f :  a, b   R n  R n  R có đạo hàm riêng bậc hai liên tục Cho phiếm hàm J và đa tạp tuyến tính M xác định Nếu J đạt cực trị địa phương tại y  M y thỏa mãn phương trình Euler: f y  x, y , y '   d f y '  x, y , y '   R n dx Chứng minh Áp dụng định lý 2.2.1 và mệnh đề 2.2.1, ta có J '  y  h   0, h  M , hay b   f  x, y  x  , y  x   , h  x  ' y a  f y'  x, y  x  , y '  x   , h  x   dx,  với mọi h  M  Do mệnh đề 2.3.2, ta suy ra: f y  x, y , y '   d f y '  x, y , y '   R n dx x   a , b  Ghi chú Nếu nhân vô hướng hai vế với y '  R và cộng f x vào hai vế, ta có dạng n khác của phương trình Euler: d  f  y ' , f y'   f x   dx 61 Ví dụ 1: Trong mặt phẳng đứng, cho hai điểm A  0,  , B  b,   ,   Tìm đường cong trơn  C  , y  y  x  nối A, B cho một chất điểm trượt theo đường cong  C  dưới tác dụng của trọng lực sẽ từ A đến B thời gian ngắn nhất mv  mgh Tại điểm  x, y  vận Do công thức động bằng năng: tốc của chất điểm là v  ds  gy với g là gia tốc trọng lực Vậy dt ds   y '2  dt    dx v  gy    y '2  Vậy ta cần tìm cực tiểu của phiếm hàm J  y      dx ( Bằng thời gy  a b gian chất điểm trượt từ A đến B )   y '2  Đặt M   y  C1  a, b , y    0, y  b     Khi đó: f  x, y, y '     có đạo  gy  hàm riêng cấp hai liên tục  y   , phương trình Euler cho phiếm hàm J là   d f  y ' f y'  f x  nên f  y ' f y'  c , c là hằng số dx Hay   y '2  y '2  c    gy   gy 1  y '2    Vậy y '2  Đặt y  ta có: c1  y y với c1  gc (3) c1 c 1  cos u  y '   u ' sin u  ( u là hàm theo x ).Thay vào 2 c1 1  cos u  du   dx  3 62 c Vậy: x   u sin u  c2 , y  c1 1  cos u  , u là tham số Thay điều kiện y    0, y  b    ta định được hai hằng số c1 , c2 Vậy đường cong phải tìm là đường Xycloit Các trường hợp đặc biết i.) Hàm f không phụ thuộc vào y : f  x, y, y '   f  x, y '  Khi đó f y  và phương trình Euler trở thành d f ' 0 dx y Vậy f y  c ( hằng số ) ' Ví dụ Một chất điểm chuyển động mặt phẳng từ A 1,  đến B  2,1 với vận tốc v  x Tìm đường cong để thời gian chuyển động bé nhất Gọi s là hoành độ cong của chất điểm đường cong Ta có:  y '2  y '2 ds v  dx  x , nên dt  dx dt dt x Phương trình Euler là f y  ' Suy ra: y  c2  c12  x y' x  y '2  ( hằng số ) hay: y '   x c1 c1  x hay  y  c2   x  c12 Thay y 1  , y    , ta được: c12  5, c2  Vậy đường cong phải tìm là y    x , x  1, 2 2i.) Hàm f không phụ thuộc vào x : f  x, y, y '   f  y, y '  Nhân phương trình Euler hay fy  d d f ' 0 f y '  cho y ' ta có y ' f y  y ' dx y dx d   y ' f y  y '' f y   y '' f y  y ' f y'   dx   Do f không phụ thuộc x nên d f  y ' f y  y '' f y' Ngoài ta có: dx 63   d ' d y f y'  y '' f y'  y ' f' dx dx y Do đó phương trình Euler trở thành:   d f  y ' f y'  hay f  y ' f y'  c dx ( hằng số ) Ví dụ Trong các đường cong nối hai điểm  x1 , y1  và  x2 , y2  , tìm đường cong  C  cho quay quanh trục x ,  C  sinh mặt cong có diện tích bé nhất Diện tích mặt trịn xoay sinh bởi y  y  x  , x   x1 , x2  quay quanh trục x cho bởi: x2 I  y   2  y  y '2 dx x1 Phương trình Euler là: y  y '2  y y '2 1 y '2  c1 hay y  c1  y '2  y y Tích phân ta được : n      x  c2 Hay y  c1ch  x  c2  c1  c1  Hằng số c1 , c2 xác định bởi hệ phương trình: y1  c1ch  x  c2  , y2  c1ch  x  c2  Hệ có thể có một, hai, hoặc vô nghiệm 3i.) Hàm không phụ thuộc vào y ' : f  x, y, y '   f  x, y  Phương trình Euler trở thành : f y  Đây không là phương trình vi phân Ví dụ Tìm cực trị của phiếm hàm J  x     x  y  dx y    0, y 1  Phương trình f y  có nghiệm y  x thỏa mãn điều kiện y    0, y 1  Nếu điều kiện biên không là , J khơng đạt cực trị địa phương 64 4i.) Cho p, p' , q, f liên tục  a, b  , p  x   0, q  x   Nếu là điểm dừng của phiếm hàm b J  y     p  x  y '2  q  x  y  fy  x  dx , với điều kiện y  a    , y  b    J đạt a cực tiểu tại y Chứng minh Gọi y  y  x  là điểm dừng của J Phương trình Euler trở thành: d py '   qy  f   dx a Với h  M , ta có: b 2 J  J  y  h   J  y     p  y '  h '   q  y  h    y  h  f dx   a b b b    py  qy  yf dx  2  py h  qyh  fh dx    ph '2  qh dx '2 a ' ' a a Tích phân từng phần ta có: b b b d d ' ' ' b ' py h dx  py h  h py dx   h  py '  dx   a   a a dx dx a d  J  2  qy   py '   dx a  b vào J :  f  h dx    qh'2  qh dx  a b b Thế  a  vào: J    qh'2  qh dx Do p  0, q  nên J  a Vậy J đạt cực tiểu tại y 2.3.2 Trường hợp hàm nhiều biến Phương trình Euler – Lagrange Cho D là tập đóng Jordan đo được Rk , đặt E  C1  D, Rn  là không gian các ánh xạ khả vi liên tục từ D vào Rn Với y  E , y   y1 , y2 , , yn   y  x   y '  x   L  R k , R n  có ma trận biểu diễn là y '  x    i  , i  1, 2, , n, j  1, 2, , k  x j  65 Chuẩn E định bởi y  max  y  x   y'  x  , x  D Cho f : D  Rn  Rnk  R là hàm khả vi liên tục.Với y  E xét phiếm hàm J  y    f  x, y  x  , y '  x  dx ( tích phân bội R k ) D Cho  : D  Rn , cho V là lân cận của biên D , đặt M   y  E , y  x     x  , x  D và M   y  E , y  x   0, x  V  M là đa tạp tuyến tính và M là không gian song song với M Do f  x, y, y '  là hàm theo ba biến x  Rk , y  Rn , y '  Rnk nên các đạo hàm riêng của f theo y, y ' là:  f f f  f y  x, y, y '   L  R n , R  , f y'  x, y, y '    ' , ' , , '   L  R nk , R  với yn   y1 y2 f  L  R n , R  , i  1, 2, , n ' yi Với h : D  R n , h  M và x  D , ta có: h'  x    h1'  x  , h2'  x  , , hn'  x    L  R k , R n  và hi'  L  R k , R  , i  1, 2, , n Ta có: f y  x, y  x  , y '  x    h  x     n i 1 f x, y  x  , y '  x   hi  x   f y  x, y  x  , y '  x   , h  x   yi f y '  x, y  x  , y '  x    h '  x     n i 1 f x, y  x  , y '  x   hi'  x  '  yi Mệnh đề 2.3.3 Cho f : D  Rn  Rnk  R là hàm khả vi liên tục Khi đó phiếm hàm J  y    f  x, y  x  , y '  x  dx khả vi liên tục và với y  M , h  M thì: D J '  y  h     f y  x, y  x  , y '  x   , h  x   f y'  x, y  x  , y '  x   , h '  x  dx   D 66 Chứng minh: Với x  D cố định và y  M , h  M ta có: f '  x, y  x  , y'  x   h, h'   f y  x, y  x  , y '  x   , h  x   f y  x, y  x  , y '  x    h  x   ' Từ định lý giá trị trung bình, ta có: f  x, y  x   h  x  , y '  x   h'  x    f  x, y  x  , y '  x    f '  x, y  x  , y '  x    h  x  , h'  x    h sup  f  x, z, z   f  x, y, y  , z   y, y  h , ' ' ' ' đó:  y, y  h   y  th, t  0,1  M Với y  E cố định, ánh xạ đạo hàm f ' liên tục đều D  B1  0, r   B2  0, r  với r  y  , nên với   cho trước, tồn tại   cho với mọi h  M , h   ta có: J '  y  h   J  h    f '  x, y  x  , y '  x    h  x  , h '  x   dx  h  s  D  , s  D  là diện tích D của D Ánh xạ h  f  x, y  x  , y  x    h  x  , h  x   dx ' ' ' là ánh xạ tuyến tính liên tục D Vậy J khả vi tại y và với h  M : J '  y  h     f y  x, y  x  , y '  x   , h  x   f y'  x, y  x  , y '  x   ,  h '  x    dx   D Sự kiện đạo hàm J ' liên tục suy từ tính liên tục của các đạo hàm riêng f y , f y' Chú ý Ta sẽ tìm biểu thức đầy đủ của J '  y  h   yi  x    , i  1, 2, , n, j  1, 2, , k , ta ký hiệu  x j  Ta có: y '  x    y1'  x  , y2'  x  , , yn'  x    yij'   f f f yi Khi đó: f yi'  x, y, y '    ' , ' , , ' yik x j  yi1 yi2   nên  67 h f x, y , y '   i  x  '  x j j 1 yij ' f y'  x, y, y '  , hi'  x    k Suy : n k  f  h f J '  y  h       x, y, y '  hi  x    '  x, y, y '  i  x  dx x j i 1 D  j 1 yij   yi Định lý 2.3.2 ( Phương trình Euler – Lagrange ) Cho f : D  Rn  Rnk  R là hàm khả vi liên tục và đạo hàm riêng f y'  x, y, y '  khả vi liên tục theo biến x Khi đó J đạt cực trị địa phương M tại y  M y thỏa mãn phương trình Euler – Lagrange: k f  ' x , y , y     yi j 1 x j  f  '  '  x, y, y   0  yij  i  1, 2, , n Chứng minh Với j  1, 2, , k  ,   f    f   hi   x j  yij'  x j  yij'     j 1 x j k J '  y  h     D  f hi  hi  nên:  yij' x j  n  k  f  f   hi  dx        y '  y j 1 x j D i 1   ij    f   y '  ij    hi  dx   Đặt D j là hình chiếu của D không gian thẳng góc với vec tơ e j   0, , 0,1, 0, ,   R k và P, Q là giao điểm của D và đường thẳng song song với e j , áp dụng cơng thức tích phân lặp ta có:  Do  x j P Q  f  Q f  hi  dx j  hi  ( hi  P   hi  Q   )  y '  yij' P  ij  Vậy n  k f  J '  y  h       y x D i 1   i j 1 j  f   y '  ij    hi  dx, h  M   68 hay J  y  yi  k f   f   yi j 1 xi  yij '      Do J đặt cực đại địa phương M tại y nên J  y  0 yi Vậy k f   f     0, i  1, 2, , n  yi j 1 x j  yij '    Định nghĩa Phần tử y  M thỏa mãn phương trình Euler hoặc phương Euler – Lagrange được gọi là điểm dừng của phiếm hàm J hay J '  y  h   với mọi h  M0 Ví dụ Khảo sát sự rung của sợi dây, chiều dài l , hai đầu x  0, x  cố định Giả sử sợi dây rung mặt phẳng và mọi điểm đều chuyển động thẳng góc với trục x Phương trình chuyển đợng là u  u  x, t  , với t là biến thời gian  thỏa mãn: u  0, t   u 1, t   Động của dây là T   ut'2  x, t  dx , đó  là mật độ khối lượng của sợi dây,  là hằng số Thế tại t của dây là k u1   u x'2  x, t  dx , với k là hệ số căng của dây, k là hằng số Công của ngoại lực tác động lên sợi dây, tại t là u2   ufdx với f  x, t  là ngoại lực Ta khảo sát diễn tiến khoảng thời gian t0 , t1  Xét cực tiểu của phiếm hàm 69 k  J  u      ut'2  ux'2  uf 2 t0  t  dxdt  Đây là trường hợp điều kiện biên: u  x, t   với  x, t     0,1  t0 , t1  Phiếm hàm J đạt cực tiểu tại hàm u   x, t  thỏa mãn phương trình Euler – Lagrange:  t     ut'    ku x'    t t  2u  u Đặt a , ta được phương trình:  a  f  x, t   t x k Đây là phương trình rung của dây Ví dụ Phương trình rung của màn g mỏng: Xem màn X mỏng G mặt phẳng xy , có biên G cố định Giả sử mọi điểm của màn X đều chuyển đợng thẳng góc với vị trí cân bằng Đặt u  u  x, y , t  là độ lệch của điểm  x, y  màn X tại thời điểm t và f  x, y, t  là ngoại lực một đơn vị khới lượng, thẳng góc với vị trí cân bằng Cho  là mật độ khối lượng và k là độ dãn,  và k là hằng số Động của màn ở thời điểm t cho bởi: T    ut'2 dxdy G Công tiêu hao sự biến dạng của màn là: U1   k  ux'2  u '2y  dxdy G Chuyển động kéo dài khoảng thời gian t0 , t1  Xét cực trị của phiếm hàm k   J  u      ut'2   ux'2  u '2y   uf  dxdydt 2  t0 G  t1 Điều kiện biên là: u  x, y, t   với  x, y   G, t  t0 , t  t1 Nếu J đạt cực trị tại hàm u  u  x, y , t  thỏa mãn phương trình Euler – Lagrange: k  2u  2u  2 u  a   f  x, y, t  , với a   2  t y    x 70 Ví dụ Xét phiếm hàm:   z    z   J  z       zt x , y dxdy      x   y    G   6 Hàm z  z  x, y  thỏa mãn điều kiện biên: z  x, y     x, y  với  x , y   G 7 Nếu J đạt cực trị địa phương tại z  z  x, y  z thỏa mãn phương trình Poisson: 2 z 2 z   f  x, y  x2 y 8 Định lý 2.3.3 Giả sử f : G  R,  : G  R liên tục Khi đó: hàm z  z  x, y  là nghiệm của bài toán        và chỉ phiếm hàm   với điều kiện   đạt cực tiểu tại z  z  x, y  Chứng minh: Nếu phiếm hàm J với điền kiện   đạt cực tiểu tại z  z  x, y  z thỏa mãn        Ta chứng minh chiều ngược lại Giả sử z  z0  x, y  là nghiệm của bài toán        Với h  x, y  khả vi liên tục thỏa mãn h  x, y   với  x, y   G , ta có: J  J  z0  h   J  z0  2  z h 2  z h 2   z0   z0  0          f  z0  h      fz dxdy     x  x  y  y  x  y           G   h 2  h 2   z0 h z0 h   2    f  h  dxdy        dxdy  I1  I ,  x  x  y  y  G  G   x   y   71  h 2  h 2  đó I        dxdy  h  x, y  không là hằng số G   x   y    z h z h  I1        f  h dxdy x x y y  G   z h  2 z 2 z   z z h 2 z      h 20   h 20 dxdy    20  20  f h.dxdy x x x y y y  x y  G  G  Do z0  x, y  thỏa mãn   nên:    z    z   I1     h    h  dxdy x  x  y  y   G  Áp dụng định lý Green và sự kiện h  x, y   với  x, y   G , ta có: I1  z0 z0  h x dx  h x dy  G Suy ra: J  Vậy J đạt cực tiểu tại z  z0  x, y  72 KẾT ḶN Ḷn văn đã trình bày tương đới chi tiết về phép tính vi phân khơng gian Banach và ứng dụng vào bài toán tìm cực trị tổng quát vào bài toán biến phân Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho các học viên cao học học mơn phép tính vi phân không gian Banach Qua việc thực hiện luận văn, học viên đã hiểu sâu các kiến thức đã học chương trình Thạc sĩ, biết vận dụng chúng học tập và nghiên cứu các lĩnh vực mới và làm quen với Nghiên cứu khoa học 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO S.Lang, snalysis II, Addison - Wesley, Massachusetts M Spivak, Giải tích tốn học đa tạp, Nxb Đại học và Trung học chuyên nghiệp Hoàng Tụy(2003), Hàm thực Giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, Lê Hoàn Hóa, Giáo trình phép tính vi phân khơng gian Banach (Lưu hành nội bộ) ... biến phân, Luận văn sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho các sinh vi? ?n Đại học và học vi? ?n cao học Khi học bợ mơn phép tính vi phân không gian hữu hạn chiều và không gian Banach. .. ánh xạ tác động các không gian Banach và rộng là các không gian tô pô tuyến tính Đến đã hình thành mợt lí thuyết hoàn chỉnh về phép tính vi phân khơng gian Banach Lí thuyết này tìm... đề bản nhất của phép tính vi phân không gian Banach và trường hợp riêng của nó là các không gian các khái niệm đạo hàm theo Gateaux, Frechet, các qui tắc tính đạo hàm, cơng