Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phép tính vi phân trên không gian Banach

Mục tiêu đề tài là trình bày chi tiết và hệ thống các vấn đề cơ bản nhất của phép tính vi phân trong không gian Banach và trường hợp riêng của nó là các không gian như các khái niệm đạo hàm theo Gateaux, Frechet, các qui tắc tính đạo hàm, công thức số gia giới nội, đạo hàm bậc cao và công thức Taylor các định lí hàm ngược, hàm ẩn, ứng dụng vào bài toán cực trị, bài toán biến phân,... Mời các bạn cùng tham khảo.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH CHANTHAVONG Ladda TÌM HIỂU VỀ PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH CHANTHAVONG Ladda TÌM HIỂU VỀ PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Mã số: Toán Giải Tích 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜNG HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn thạc sĩ Toán học với đề tài “ Tìm hiểu về phép tính vi phân khơng gian Banach ” thực hiện với sự hướng dẫn của PGS TS Ngũn Bích Huy, khơng chép của bất cứ Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số thông tin, tài liệu từ các ng̀n sách, tạp chí được liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tôi xin hoàn toàn chịu mọi trách nhiệm về ḷn văn của Thành phớ Hờ Chí Minh, tháng 06 năm 2018 Học viên thực hiện CHANTHAVONG Ladda LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Ngũn Bích Huy, Thầy đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện tốt nhất để hoàn thành bài luận này Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới Thầy Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới các Thầy khoa Toán - Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phớ Hờ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tơi nâng cao trình đợ chun mơn śt quá trình học cao học Xin được gửi lời cảm ơn Ban giám hiệu, phịng Khoa học Cơng nghệ và phịng Sau đại học, phịng Tổ chức hành chính, phịng Kế hoạch - Tài Trường đại học Sư phạm TP Hờ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho suốt quá trình học tập và làm luận văn Và cảm ơn các bạn Học viên K26 đã chia sẻ với rất nhiều về kinh nghiệm học tập, rèn luyện và viết luận văn Xin gửi lời chúc sức khỏe, hạnh phúc và thành công tới quý thầy cô, anh chị và các bạn! CHANTHAVONG Ladda MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn MỞ ĐẦU .1 Chương ĐẠO HÀM 1.1 Sự khả vi .2 1.2 Định lý số giá giới nội và ứng dụng .9 1.2.1 Định lý số giá nội 1.2.2 Một số ứng dụng 11 1.3 Đạo hàm bậc cao, công thức Taylor 18 1.3.1 Ánh xạ đa tuyến tính 18 1.3.2 Đạo hàm bậc hai 20 1.3.3 Đạo hàm bậc cao 23 1.3.4 Công thức Taylor 26 1.3.5 Đạo hàm cấp cao của một số ánh 29 1.4 Ánh xạ ngược – ánh xạ ẩn 40 Chương CỰC TRỊ 46 2.1 Cực trị địa phương 46 2.2 Cực trị có điều kiện .50 2.2.1 Trường hợp riêng 50 2.2.2 Cực trị với ràng buộc phiếm hàm 53 2.2.3 Bài toán cực trị có điều kiện tổng quát 54 2.3 Bài toán biến phân 57 2.3.1 Trường hợp một biến Phương trình Euler 57 2.3.2 Trường hợp hàm nhiều biến Phương trình Euler – Lagrange 64 KẾT LUẬN 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO 73 MỞ ĐẦU Khái niệm đạo hàm là khái niệm sở nhất và quan trọng nhất của Toán học nói riêng và khoa học nói chung Nó có mặt những bài toán đơn gian nhất các bài toán phức tạp nhất Đạo hàm được định nghĩa ban đầu cho hàm số một biến số, sau đó cho hàm số nhiều biến số Do sự phát triển nội tại của Toán học đề nghiên cứu những bài toán mới phát sinh quá trình phát triển của khoa học – công nghệ mà khái niệm đạo hàm và các vấn đề liên quan đã được mở rộng cho các ánh xạ tác động các không gian Banach và rộng là các không gian tô pô tuyến tính Đến đã hình thành mợt lí thuyết hoàn chỉnh về phép tính vi phân khơng gian Banach Lí thuyết này tìm được những ứng dụng sâu sắc và bản lí thuyết phương tình vi phân, Giải tích phi tuyến, Lí thuyết điều khiển, Tới ưu hoá, Toán kinh tế, Việc tìm hiểu về phép tính vi phân khơng gian Banach giúp học viên bổ sung cho những kiến thức mới hiện đại; thấy được phương pháp hình thành và phát triển những khái niệm Toán học tổng quát sở những khái niệm cũ, riêng biệt Mục tiêu đề tài là trình bày chi tiết và hệ thớng các vấn đề bản nhất của phép tính vi phân không gian Banach và trường hợp riêng của nó là các không gian các khái niệm đạo hàm theo Gateaux, Frechet, các qui tắc tính đạo hàm, cơng thức số gia giới nội, đạo hàm bậc cao và cơng thức Taylor các định lí hàm ngược, hàm ẩn, ứng dụng vào bài toán cực trị, bài toán biến phân, Luận văn sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho các sinh viên Đại học và học viên cao học Khi học bợ mơn phép tính vi phân không gian hữu hạn chiều và không gian Banach 2 Chương ĐẠO HÀM 1.1 Sự khả vi Trong chương này, ta xét  E,  E  ,  F ,  F  là các không gian Banach một trường K ( K là R hoặc C ) Định nghĩa Cho E , F là hai không gian Banach, D là tập mở E chứa điểm x và f :D F 1) Ta nói f khả vi theo Frechet hay F  khả vi tại x tờn tại ánh xạ tuyến tính liên tục A : E  F cho với mọi h  E mà x  h  D thì: f  x  h  f  x  Ah  h E 1    h  , với  xác định một lân cận của 0E có giá trị F , im   h   0F h0E 2) Ta nói f khả vi theo Gateaux hay G  khả vi tại x tờn tại ánh xạ tuyến tính liên tục A : E  F cho im t 0 f  x  th   f  x   A  h  , h  E t  2 Mệnh đề 1.1 Cho E , F là hai không gian Banach, D là tập mở E và f : D  F 1) Ánh xạ tuyến tính liên tục A thoả mãn 1 hoặc   , tồn tại, sẽ nhất, đặt f '  x   A và gọi là đạo hàm của f tại x 2) Nếu f khả vi theo Frechet tại x  D f liên tục tại x Chứng minh 1) Ta chứng minh cho trường hợp là F  khả vi Giả sử A1 , A2 là ánh xạ tuyến tính liên tục thoả mãn 1 Với mọi u  E và t  cho x  tu  D, ta có: f  x  tu   f  x   A1  tu   tu E  1  tu   A2  tu   tu E  2  tu  , với im 1  h   im 2  h   0F h0E h0E Do A1 , A2 tuyến tính và t  nên: A1  tu   tu E  1  tu   A2  tu   tu E  2  tu   A1  u   A2  u   u E 2  tu   1  tu   Cho t  0, ta có: A1  u   A2  u  , u  E Vậy A1  A2 2) Từ 1 và tính liên tục của A suy ra: im f  x  h   f  x  h0E Vậy f liên tục tại x Từ 1 và A là tuyến tính, ta có: im t 0 f  x  th   f  x   im A  h   t 0 t  t t  h   th   A  h  Do đó f khả vi theo Gateaux tại x Định nghĩa Cho E , F là hai không gian Banach, D là tập mở E và f : D  F Nếu f khả vi tại mọi x  D , ta nói f khả vi D hay f khả vi Khi đó ánh xạ f ' : D  L  E, F  f '  x   L  E, F  biến mỗi x  D thành đạo hàm của f tại x , được gọi là ánh xạ đạo hàm của f Ghi chú Nếu E  R , mọi ánh xạ tuyến tính A: R  F có dạng A  t   tw, với w  F , w  A 1 Ta đờng nhất ánh xạ tuyến tính A với A 1  w là vectơ F Khi đó với I là khoảng mở R , f : I  F , f khả vi tại t  I tồn tại phần tử w  F cho với h  R, t  h  I thì: f  x  h   f  t   hw  h    h  , im   h   F hay h 0 im h 0 f  x  h  f t   w  f ' t  h Mệnh đề Cho E , F là hai không gian Banach, D là tập mở và f : D  F i) Nếu f là ánh xạ hằng f khả vi và f '  x   0L E ,F  , x  D ii) Nếu f là thu hẹp D của ánh xạ tuyến tính liên tục f khả vi và: f '  x   f , x  D Chứng minh i) Hiển nhiên ii) Do f tuyến tính liên tục nên f  x  h  f  x  f h  h E   h  , với   h   F , h  E Định lý 1.1 (Công thức đạo hàm của ánh xạ hợp) Cho E , F , G là không gian Banach, U là tập mở E , V là tập mở F và f : U  V , g : V  G Giả sử f khả vi Frechet tại x và g khả vi Frechet tại y  f  x  g f khả vi tại x và  g f   x   g '  f  x   f '  x  ' Chứng minh Đặt k  h   f  x  h   f  x  Với h  E cho x  h U và f  x  h   V Do g khả vi tại f  x  nên g  f  x  h    g  f  x    g '  f  x    k  h    k  h  F    k  , im   k   0G k 0F Do f khả vi tại x nên: k  h   f '  x  h   h E   h  , im  h   0F h0E Suy g  f  x  h    g  f  x     g '  f  x   f '  x    h   h E  g '  f  x     h    k  h  F    k  Ta cần chứng minh:   k  h F im  g '  f  x     h      k  h    0G h  E hE   Điều này suy từ các đánh giá: k  h F  f '  x  h E   h E   h Khi h  0E , im k  h   0F và h0E nên F k h h F  f '  x   h F bị chặn E im   k  h    0G h0E Vậy g f khả vi tại x và  g f   x   g '  f  x   f '  x  ' Nhận xét Nếu f khả vi Gateaux tại x và f khả vi theo Frechet tại y  f  x  g f khả vi Gateaux tại x và g f   x   g '  f  x  f '  x  ' Từ về sau không nói thêm, ta hiểu sự khả vi là theo Frechet Định nghĩa Cho F1 , F2 , , Fn là các không gian Banach Đặt F  F1  F2   Fn Mỗi y  F , y   y1 , y2 , , yn  , yi  Fi , i  1, 2, , n , Đặt y F  y1 F1  y2 F2   y n Fn Khi đó  F ,  F  là không gian Banach Cho E , Fi , i  1, n là các không gian Banach, D là tập mở E và f : D  F1  F2   Fn Khi đó f  x    f1  x  , f  x  , , f n  x   đó fi : D  Fi , i  1, 2, , n là ánh xạ thành phần thứ i của f Ánh xạ f là tuyến tính, liên tục và chỉ các ánh xạ fi là tuyến tính, liên tục i  1, n Định lý 1.2 Cho E, F1 , F2 , , Fn là các không gian Banach, D là tập mở E và f : D  F1  F2   Fn , f   f1 , f , , f n  Khi đó f khả vi tại x và chỉ các ánh xạ thành phần f1 , f2 , , fn khả vi tại x Hơn nữa: f '  x  h    f1'  x  h  , f 2'  x  h  , , f n'  x  h   , đó f '  x   L  E, F  với F  F1  F2   Fn , f i '  x   L  E , Fi  , i  1, 2, , n , nghĩa là f i '  x  là thành phần thứ i của f '  x  Chứng minh Giả sử f khả vi tại x Với i  1, 2, , n , đặt pi : F1  F2   Fn  Fi định bởi pi  y1 , y2 , , yn   yi , pi là phép chiều thành phần thứ i pi là ánh xạ tuyến tính liên tục và fi  pi f Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, fi khả vi tại x và f i '  x   pi'  f  x   f '  x   pi f '  x  Vậy f i '  x  là thành phần thứ i của f '  x  Ngược lại, giả sử f1 , f2 , , fn khả vi tại x Với h  E mà x  h  D ta có:  f1  x  h   f1  x    f1'  x  h   h E  1  h       f  x  h  f  x     '    f n  x  h   f n  x    f n  x  h   h E  n  h    f1'  x  h   1  h          h E    ,  f1'  x  h   n  h     với fi '  L  E, Fi  , im i  h   0Fi , i  1, 2, , n h0E Đặt:  fi '  x   1  h       A    ,   h     A  L  E , F  ,  xác định lân cận E  f n'  x    n  h     im   h   0F và h0E Vậy f khả vi tại x và f '  x   A   f1'  x  , f 2'  x  , , f n'  x   Ví dụ 1.1 Xét không gian Banach E  C  a, b , R  với chuẩn x     sup x  t  : t   a, b Cho f :  a, b    a, b   R  R liên tục, f  f  t , s, x  Cho F : E  F định bởi: b với x  E và t   a, b , F  x  t    f  t , s, x  s  ds a a) Khi đó F liên tục E b) Nếu f (đạo hàm riêng theo biến thứ 3) liên tục  a, b    a, b   R x F khả vi và với x  E , F '  x   L  E , F  định bởi: với f t , s, x  s  h  s  ds, t  a, b  x a b h  E F  x  h  t    ' Chứng minh a) Cho trước x  E và   Do f liên tục đều  a, b   a, b    x  1, x  1 nên tồn tại   0,   1 cho:  t, s, u   t ' , s' , u '    , t , s, t ' , s' a, b và u, u '    x  1, x  1 thì: f  t , s , u   f  t ,' s ' , u '    b  a 1 Với t , t '   a, b , t  t '   ta có: b F  x  t   F  x   t '    f  t , s, x  s    f  t ' , s, x  s   ds  a  b  a  b  a 1  Vậy F  x  liên tục  a , b  và F  x   E Với h  E , h     1, ta có: t   a, b  , b F  x  h  t   F  x  t    f  t , s, x  s   h  s    f  t , s, x  s   ds  a  b  a  b  a 1  Suy ra: F  x  h   F  x     Vậy F liên tục tại x b) Cho trước x  E và   Do f x liên tục đều  a, b   a, b    x  1, x  1 nên tồn tại   0,   1 cho: t, s, u   t ' , s' , u'    , t, s, t ' , s' a, b và u, u '    x  1, x  1 thì: f f  với mọi t , s   a, b   t , s, u    t , s, v   x x b  a 1 Do định lí Lagrange tờn tại    0,1 , (  phụ thuộc vào s và t ) cho: f  t , s, x  s   h  s    f  t , s, x  s    f  t , s, x  s    h  s    h  s  x Khi đó với mọi t   a, b  , f t , s, x  s   h  s  ds  x a b F  x  h  t   F  x  t    f      f  t , s, x  s   h  s    f  t , s, x  s     t , s, x  s   h  s   ds x  a  b h  b  a  f  f      t , s, x  s    h  s     t , s, x  s   h  s   ds     h  x x b  a 1  a  b Từ a), ánh xạ A : E  E định bởi : Với h  E , f t , s, x  s  h  s  ds, t  a, b , là ánh xạ tuyến tính liên tục x a b A  h  t    Vậy F khả vi tại x  E , F '  x   L  E , F  định bởi: với h  E f t , s, x  s    h  ds, x a b F  x  h  t    ' t   a, b  Ví dụ 1.2 Cho D  R n là tập mở và f : D  Rm , f  x    f1  x  , , f m  x   với f i : D  R, i  1, m Khi đó f khả vi tại a và chỉ fi khả vi tại a , i  1, m Ánh xạ tuyến tính f '  a  : R n  R m có ma trận biểu diễn các sở tắc của R n , R m với hàng thứ i là f  a    fi  a  , , i   , i  1, m  x  x n   1  Chứng minh Do định lí 1.2, ta có f khả vi tại a và chỉ mà hàm fi khả vi tại a Giả sử fi khả vi tại a Ánh xạ fi '  a  : R n  R tuyến tính nên tờn tại a1 , , an  R cho: n f1'  a  h     k hk , h   h1 , , hn   R n k 1 và n fi  a  h   f i  a     k hk  h    h  , im   h    h  k 1 Rn Cho h  te j với e1 , , en  là sở tắc của Rn , ta có im fi  a  te j   fi  a  t 0 t j hay fi  a    j , j  1, n x j Do f '  a  h    f1'  a  h  , , f m'  a  h   , h  R n nên ta suy f '  a  là ma trận có hàng thứ là 1 1.2 Định lý số gia giới nội và ứng dụng 1.2.1 Định lý số gia giới nội Định nghĩa Cho E là không gian định chuẩn.Với a, b  E , ta kí hiệu  a, b  1  t  a  tb / t  0,1  a, b   1  t  a  tb / t   0,1 Định lý Cho E , F là các không gian định chuẩn, D là tập mở E , a, b  E cho  a, a  h   D Giả sử f : D  F thỏa mãn i) Thu hẹp của f  a, a  h  liên tục ii) f là G  khả vi tại mọi x   a, a  h  Khi đó 10 f  a  h  f  a  F  h E sup x a , a  h  f '  x Chứng minh Đặt y  f  a  h   f  a  ,ta có thể coi y   Áp dụng một hệ quả của định lý Hahn – Banach ta tìm được phiếm hàm G  F  cho G  1, G  y   y Xét phiếm hàm g : F  R, g  x   Re G  x  ; ta có g là phiếm hàm thỏa mãn g  x  y   g  x   g  y  , g   x    g  x  ,   R và g  G Xét phiếm hàm  :  0,1  R,   t   g  f  a  th   Ta có   liên tục  0,1 giả thiết i)   khả vi  0,1 và  '  t   g  f '  a  th  h  Áp dụng định lý Lagrange cho hàm   0,1 ta tìm được sớ c   0,1 cho  1       '  c   g  f '  a  ch  h   g  h  f '  a  ch   h sup x a , a  h  f '  x Vì  1      g  y   G  y   y nên ta có điều phải chứng minh Hệ quả Giả sử ta có các giả thiết của định lý số gia nội và A  L  E , F  Khi đó f  a  h  f  a   Ah F  h  sup x a , a  h  f '  x  A Chứng minh Xét ánh xạ g : D  F , g  x   f  x   A  x  Ta thấy các điều kiện của định lý số gia giới nội cho ánh xạ g Do đó g  a  h   g  a   h  sup x a , a  h  g'  x Chú ý rằng: g a  h  g a  f a  h  f a  Ah , g '  x  f '  x   A , điều phải chứng minh x   a, a  h  ta có 11 1.2.2 Một số ứng dụng a) Giới hạn của dãy ánh xạ khả vi Ta nhắc lại rằng tập D không gian E gọi là tập liên thông không tồn tại hai tập mở O1 , O2 E cho: D  O1  , D  O2  , D  O1  O2 , D  O1  O2   Mệnh đề 2.3 Cho E là không gian Banach và D là tập mở E Nếu D là tập liên thơng với mọi x, y  D , tờn tại một số hữu hạn quả cầu mở B1 , B2 , , Bk chứa D cho: x  B1 , Bi  Bi 1  , i  1, 2, , k  , y  Bk  4 Chứng minh: Ta định nghĩa quan hệ D sau: Với x, y  D , ta nói và chỉ tồn tại một số quả cầu mở B1 , B2 , , Bk thoả mãn   Khi đó là quan hệ tương đương D nghĩa là: và Với x  D , đặt là lớp tương đương của x Khi đó: x , với x, y  D x  y   hoặt x  y D xD Ta chứng minh x là tập mở Thật vậy; với y  x nên tồn tại một số hữu hạn quả cầu mở B1 , B2 , , Bk thoả mãn   Khi đó, với z  Bk hay z  x Suy ra: Bk  x nên Vậy x là tập mở Cố định x  D , ta khẳng định x  D và vậy mệnh đề được chứng minh Giả sử D \ x   Đặt O1  x và O2  y yD \ x y  D \ x   nên O2 là tập mở khác rỗng và ta có: D  O1  O2 , O1  O2   y mở với mọi 12 Ta gặp mâu th̃n với tính liên thơng của D Như vậy: x  D Hệ quả 2.2 Cho D là tập mở liên thông E Khi đó với mọi x, y  D tồn tại đường gấp khúc  gồm các đoạn  x, x1  ,  x1 , x2  , ,  xk 1 , y  chứa D , nối x và y Định lý 2.4 Cho E , F là hai không gian Banach, D là tập mở liên thông E và f :D F Giả sử f khả vi và f '  x   0L E , F  , với mọi x  D Khi đó f là ánh xạ hằng D Chứng minh Cố định x0  D Với x  D , Hệ quả 2.2, tồn tại đường gấp khúc  chứa D , nối x0 và x Gọi các đỉnh liên tiếp của  là x0 , x1 , , xk 1 , xk  x Trên đoạn  x0 , x1  áp dụng lý giá trị trung bình, ta có: f  x1   f  x0  F  x1  x0 E  sup f '  z  , z  x0 , x1   Suy ra: f  x0   f  x1  Làm tương tự với các đoạn  xi , xi 1  , i  1, 2, , k  , ta có: f  x0   f  x1    f  x  Vậy f là ánh xạ hằng Định lý 2.5 Cho E , F là hai không gian Banach, D là tập mở liên thông E Với mọi tập bị chặn K của D , dãy các ánh xạ đạo hàm f  ' n n , f n' : D  L  E , F  hội tụ đều về ánh xạ g : D  L  E , F  K và tồn tại a  D cho dãy các phần tử  f  a   hội tụ n n Khi đó tồn tại ánh xạ f : D  F khả vi D cho dãy  f n  n hội tụ về f D và f '  x   g  x  , với mọi x  D 13 Chứng minh: Do D mở và a  D , tồn tại r  cho quả cầu mở B  a, r   D Với mọi x  B  a, r  , đoạn  a, x   B  a, r  và dãy ánh xạ đạo hàm f  hội tụ đều về ' n n g B  a , r  Với mọi n, p  N , ta có:  f  x   f  a    f  x   f  a  n p n p n n F    x  a E sup f n' p  y   f n'  y  , y  a, x  Do  fn  a  n hôi tụ F và dãy  f n' n hội tụ đều về g B  a, r  nên  f  x  n n là dãy bản B  a, r  Do F là không gian Banach nên  f n  n hội tụ đều B  a, r  về ánh xạ ghi là f Do  f n  n liên tục B  a , r  nên f liên tục B  a , r  Ta chứng minh f khả vi và x  B  a, r  f '  x  g  x x  B  a, r  với mọi Với cố định và h  E cho x  h  B  a, r  , ta có: f  x  h   f  x   g  x  h  E  f  x  h   f  x   f n  x  h   f n  x   f n  x  h   f n  x   f n'  x  h  Với   cho trước, f  ' n n F F  f n'  x  h   g  x  h  F hội tụ đều về g B  a, r  nên tồn tại n0  N cho: với n  n0 và p  N thì: sup f ' n p  y   f n'  y  f n'  y   g  y    , y  B  a, r     và , y  B  a , r  Từ định lý giá trị trung bình, suy ra:  f  x  h   f  x    f  x  h   f  x  n p n p n n F  h E  sup f ' n p  y   f n'  y  Cho p   , ta có: f  x  h   f  x    fn  x  h   fn  x  Mặt khác, do: F    , y  B  a, r   h E , n  n0  h E 14 f n  x  h   f n  x   f n'  x  h  F  h F  n  h  với im n  h   0F h0E nên tồn tại   cho với h  E , h E   , ta có: f  x  h   f  x   g  x  h  F  h E Điều này chứng tỏ f khả vi tại x và f '  x   g  x  với mọi x  B  a, r  Với x  D bất kỳ, D là tập mở liên thông E nên tồn tại một số hữu hạn quả cầu mở B1 , B2 , , Bk chứa D thoả mãn   , a  B1 , x  Bk lấy x1  B1  B2 Lặp lại chứng minh bằng cách thay a bởi x1 và B  a, r  bởi B2  f n  n hội tụ đều B2 về ánh xạ vẫn là f (do giới hạn là nhất nên chúng bằng B1  B2 , Sau một số hữu hạn bước, ta có dãy  f n  n hội tụ đều về f Bk ), f khả vi và f '  x   g  x  Định lý được chứng minh b) Đạo hàm riêng và khả vi Định nghĩa Cho E1 , E2 , , En , f là không gian Banach Đặt: E  E1  E2   En với chuẩn định bởi: x E  x1 E1  x2 E2   xn En với x  E ,  x1 , x2 , , xn  , x1  Ei , i  1, 2, , n , Khi đó  E,  E  là không gian Banach Cho D là tập mở E và f : D  F Với a  D , a   a1 , a2 , , an  , xem ánh xạ i : Ei  E định bởi: Với x1  Ei , i  xi    a1 , , 1 , xi , 1 , , an  i liên tục , đơn ánh và i'  xi    O, , O, I ; O, , O  Ta có i liên tục i1  D  là tập mở Ei với I i là ánh xạ đồng nhất Ei Ánh xạ f i : i 1  D   F được gọi là ánh xạ riêng của f theo biến xi tại a f i  xi   f  a1 , , 1 , xi , 1 , , an  , xi  i1  D  15 Nếu ánh xạ riêng theo biến xi tại , f i khả vi tại , đạo hàm '  f i    được gọi là đạo hàm riêng của f theo biến xi tại a , ký hiệu Di f  a  Khi đó Di f  a   L  Ei , F  Mệnh đề 2.4 Cho E  E1  E2   En với Ei , i  1, 2, , n là không gian Banach, F là không gian Banach và D là tập mở E Cho f : D  F , a  D , a   a1 , a2 , , an  Nếu f khả vi tại a ánh xạ riêng f i khả vi tại với mọi i  1, 2, , n và với h  E , h   h1 , h2 , , hn  thì: n f '  a  h    Di f  a  hi  i 1 Chứng minh Với i  1, 2, , n , đặt pi : E  Ei định bởi: pi  x1 , , xi , , xn   xi , pi là phép chiếu lên Giả sử f khả vi tại a Do i khả vi Ei và i'  xi    0, , 0, I i , 0, ,  nên ánh xạ riêng f i khả vi tại và  f i     f '  a  i' ' Mặt khác ta có: n  i 1 ' i pi  I E ( ánh xạ đồng nhất E ) Suy n n i 1 i 1 ra: f '  a    f '  a  i' pi   Di f  a  pi Vậy: n f '  a  h    Di f  a  hi  i 1 16 Định lý 2.6 Cho D là tập mở E  E1  E2   En và f : D  F Giả sử các đạo hàm riêng Di f  x  , i  1, 2, , n tồn tại mọi x  D và các ánh xạ đạo hàm riêng Di f liên tục tại a  D Khi đó f khả vi tại a  D Chứng minh Với h  D, h   h1 , h2 , , hn  cho a  h  D , ta chứng n minh: f  a  h   f  a    Di f  a  hi   h E    h  với i 1 im   h   0F h0E Ta có: n f  a  h   f  a    Di f  a  hi  i 1   f  a1  h1 , a2  h2 , , a n hn   f  a1 , a2 , h2 , , a n hn   D1 f  a  h1    f  a1 , a2  h2 , , an  hn   f  a1 , a2 , a3  h3 , , an  hn   Di f  a  h2      f  a1 , a2 , , an1 , an  hn   f  a1 , a2 , , an   Dn f  a  hn  n    f  a1 , , 1 ,  hi , , an  hn   f  a1 , , , 1  hi 1 , , an  hn  i 1 n  Di f  a1 , , , 1  hi 1 , , an  hn    hi     Di f  a1 , , , 1  hi 1 , , an  hn   Di f  a    hi  i 1 Với i  1, 2, , n , đặt: ai'   a1 , , , 1  hi 1 , , an  hn  và hi'   0, , 0, hi , 0, ,  , ai'  D, hi'  E Đẳng thức được viết lại: n f  a  h   f  a    Di f  a  hi  i 1    f  ai'  hi'   f  ai'   Di f  ai'  hi'      Di f  ai'   Di f  a    hi  i 1 i 1 n n Áp dụng định lý giá trị trung bình, ta có: f  ai'  hi'   f  ai'   Di f  ai'   hi  Do Di f liên tục tại F  hi Ei    sup Di f  y   Di f  ai'  , y  ai' , ai'  hi'  nên với   bất kỳ, tồn tại   cho: với 17 xD , x  a E  thì: Di f  x   Di f  a    4n , i  1, 2, , n Với h  D , h   , ta có: Di f  y   Di f  ai'   Di f  y   Di f  a   Di f  a   Di f  ai'     Suy ra: sup Di f  y   Di f  ai'  , y   ai' , ai'  hi'    2n  2n , y   ai' , ai'  hi'  với mọi i  1, 2, , n Do đó, với h  E , h   , ta có: n f  a  h   f  a    Di f  a  hi  i 1 F    n       hi   i 1 Ei   h E Như vậy, với h  E và a  h  D , ta có: n f  a  h   f  a    Di f  a  hi   h E    h  với i 1 im n  h   0F h0E Định lý được chứng minh c) Liên hệ khả vi Gateaux và khả vi Frechet Định lý 2.7 Cho E , F là không gian Banach, D là tập mở E và f : D  F là ánh xạ liên tục Giả sử f khả vi Gateaux tại x  D và u  x  là đạo hàm Gateaux của f tại x Như vậy u  x   L  E , F  cho với mọi y  E , u  x  y   im t 0 f  x  ty   f  x  t Giả sử thêm ánh xạ x  u  x  liên tục Khi đó f khả vi liên tục D và f '  x  u  x Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh f khả vi D và f '  x   u  x  với mọi x  D Với x  D , D là tập mở nên tồn tại r  cho B  x, r   D Với y  E , y E r, thì: g  t   f  x  ty  , t   1,1 , khả vi và: 18 g '  t   im f  x   s  t  y   f  x  ty  s 0 s  u  x  ty  y  , t   1,1 h  t   f  x  ty   u  x  ty  Với y cớ định, đặt h khả vi và h '  t   u  x  ty  y   u  x  y  , t   1,1 Áp dụng định lý giá trị trung bình cho h , ta có: h 1  h   F  f  x  y   f  x   u  x  y   sup u  x  ty  y   u  x  y  t0,1 F F   sup h' t  t0,1   y E  sup u  x  ty   u  x  , t  0,1 Đặt   y   sup  u  x  ty   u  x  , t 0,1 , ánh xạ x u  x liên tục nên im   y   y 0E Vậy ta đã chứng minh f  a  h   f  a   u  x  y  Do đó f khả vi tại F x  y E    y  với im   y   y 0E và f '  x   u  x  với mọi x  D Do u : D  L  E , F  liên tục nên f ' liên tục, nghĩa là f khả vi liên tục 1.3 Đạo hàm bậc cao, cơng thức Taylor 1.3.1 Ánh xạ đa tuyến tính Định nghĩa 1.3.1 1) Cho E1 , E2 , , En , F là không gian Banach Ánh xạ B : E1  E2   En  F gọi là n tuyến tính B tuyến tính theo mỡi biến n  biến cố định, nghĩa là: B  x1 , , xi  xi' , , xn   B  x1 , , xi , , xn   B  x1 , , xi' , , xn  B  x1 , , axi , , xn   aB  x1 , , xi , , xn  2) Ánh xạ song tuyến tính A  E  E gọi là đối xứng A  x, y   A  y, x  19 Tổng quát ánh xạ k tuyến tính A : E   E  F gọi là đối xứng : A  x1 , x2 , xk   A  x 1 , x  2 , x  k   đó  là phép hoán vị của tập 1, 2, , k Ví dụ: 1) Cho ánh xạ B : R n   R n  R (n lần) định bởi: Với xi  x1i , x2i , , xni  , i  1, 2, , n thì: B   x1 , x , , x n   det  x1 , x , , x n   Khi đó B là ánh xạ n  tuyến x11 x12 x12 x1n x22 xn2 xn2 xnn x1n tính 2) Cho A   aij  , i, j  1, 2, , n là ma trận vuông cấp n , xét ánh xạ B : R n  R n  R định bởi: Với x   x1 , x2 , xn  , y   y1 , y2 , , yn  thì:  y1  n B  x, y    x1 , x2 , xn  A     aij xi y j i , j 1  yn  Khi đó B là ánh xạ song tuyến tính Ngược lại, giả sử B : R n  R n  R là ánh xạ song tuyến tính Gọi e1 , , en  là sở chỉnh tắc của Rn Với x   x1 , x2 , xn  , y   y1 , y2 , , yn   n , ta có B là song tuyến tính n  n  n B  x, y   B   xi ei ,  x j e j    xi y j B  ei , e j  j 1  i 1  i , j 1 (1) Đặt aij  B  ei , e j  B có dạng 1 Vậy, cho một ánh xạ song tuyến tính B : R n   R n  R tương đương việc cho ma trận vuông cấp   n , A  aij và xác định B bởi công thức 1 20 3) Cho R n  R n  R p là ánh xạ song tuyến tính Khi đó B có thể viết ở dạng B  x, y    B1  x, y  , , Bp  x, y   x, y  Rn đó Bk : R n  R n  R là song tuyến tính, k  1, , p Do ví dụ 2) Bk được cho bởi ma trận  aij k  Do đó "ma trận ba chiều" a  k ij 1 i , j  n 1 k  n được cho bởi và xác định bởi: Với x   x1 , , xn  , y   y1 , , yn  và B  x, y   z   z1 , , zn  n zk   aijk xi y j , k  1, , p i , j 1 Mệnh đề 1.3.1 Cho E1 , E2 , , En , F là không gian Banach 1) Giả sử ánh xạ B : E1  E2   En  F là ánh xạ n tuyến tính Khi đó hai mệnh đề sau tương đương: a) B liên tục b) Tồn tại hằng số c  cho: B   x1 , x2 , , xn  F  c  x1 E1 x2 E2 xn 2) Đặt Ln  E1  E2   En , F  là không gian các ánh xạ En n tuyến tính liên tục với chuẩn định bởi:   A  Ln  E1  E2   En , F  , A  sup A  x1 , x2 , , xn  F , xi i  Khi đó  là chuẩn Ln  E1  E2   En , F  và:  Ln  E1  E2   En , F  ,   là không gian Banach 1.3.2 Đạo hàm bậc hai Định nghĩa 1.3.2 Cho E , F là không gian Banach, D là tập mở E và f : D  F khả vi D Khi đó ta có ánh xạ đạo hàm f ' : D  L  E , F  , x f '  x 21 1) Giả sử ánh xạ f ' khả vi tại x hay tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục B : E  L  E, F  cho với h  E , x  h  D , thì: f '  x  h  f '  x  B h  h E   h  của 0E có giá trị L  E , F  thỏa mãn đó y xác định một lân cận im   h   0L E , F  h0E Ánh xạ tuyến tính liên tục B  L  E , L  E , F   sẽ nhất, ghi là B  f  2  x  và gọi đạo hàm bậc hai của f tại x 2) Với B  L  E , L  E , F   và x, y  E B  x   L  E , F  nghĩa là B  x  là ánh xạ tuyến tính liên tục từ B và F Khi đó B  x  y   F Ta ghi B  x  y   B  x, y  Như vậy ta xem B là ánh xạ theo hai biến  x, y  từ E  E vào F thỏa mãn: với x cố định B tuyến tính liên tục theo y và cớ định y B tuyến tính liên tục theo x Do B  x, y   B  x  y nên B là ánh xạ song tuyến tính liên tục Ta nói đạo hàm cấp hai của f tại x là ánh xạ song tuyến tính liên tục B cho:   0,   : h   , k  f '  x  h  k   f '  x  k   B  h, k     h Mệnh đề 1.3.2 Cho A : E1  E2  F là ánh xạ song tuyến tính liên tục Khi đó A có đạo hàm bậc hai tại mọi  x1 , x2    E1 , E2  và A  là ánh xạ hằng Chứng minh Với  x1 , x2    E1 , E2  , ta có: A  x1  h1 , h2  x2   A  x1 , x2   A  x1 , h2   A  h1 , x2   A  h1 , h2  Ánh xạ biến  h1 , h2  A  x1 , h2   A  h1 , x2  tuyến tính liên tục Đặt 22  h1 , h2    h1 , h2   A  h1 , h2  hay   h1 , h2   A  h1 , h2   h1 , h2  Ta có   h1 , h2  F  c h1  h2 h1  h2 nên im   h1 , h2   0F h1 , h2  0,0 Vậy A khả vi tại  x1 , x2  và A'  x1 , x2  h1 , h2   A  x1 , h2    h1 , x2  , A' : E1  E2  L  E1  E2 , F  Do A song tuyến tính liên tục nên với  h1 , h2   E1  E2 cớ định, A'  x1 , x2  h1 , h2   A  x1 , h2   A  h1 , x2  tuyến tính theo  x1 , x2  Vậy ánh xạ đạo hàm A' : E1  E2  L  E1  E2 , F  ,  x1 , x2  A'  x1 , x2  , tuyến tính liên tục nên A 2   A'  là ánh xạ hằng ' Định lý 1.3.1 Cho E , F là không gian Banach, D là tập mở E và f : D  F khả vi bậc hai tại x0 Khi đó f  2  x0  là ánh xạ song tuyến tính liên tục, đới xứng nghĩa là, f  2  x0  h, k   f  2  x0  k , h  với mọi h, k  E Chứng minh: Xét ánh xạ F  t   f  x0  th  tk   f  x0  th   f  x0  tk   f  x0  , ( t  đủ nhỏ ) Ta sẽ chứng minh: im t 0 F t   B  h, k  t2 với B  f  2  x0  Đặt: g  x   f  x0  th  tx   f  x0  tx  , ta có F  t   g  k   g   và: g '  x    f '  x0  th  tx   f ''  x0  tx  t    t  f '  x0   B th  tx   th  tx   th  tx    f '  x0   B tx   tx   tx   t B  h   h  x   th  tx   x    tx  23 Do đó F t   B  h, k   g  k   g    t B  h  k  t t  sup g '  x   t B  h   k t x 0,k   sup h  x    th  tx   x    tx    t 0 t x 0,k  ( hệ quả định lý số gia giới nội )   Vậy im t 0 F t   B  h, k  t2 Đặt: g  x   f  x0  th  tx   f  x0  tx  và lặp lại lý luận ta có im t 0 F t   B  k, h t2 1.3.3 Đạo hàm bậc cao Định nghĩa 1.3.3 Cho E , F là không gian Banach, D là tập mở E và f : D  F khả vi bậc k D Với mọi x  D , đạo hàm bậc k tại , f  k   x  là ánh xạ k  tuyến tính liên tục từ E k vào F Ký hiệu Lk  E , F  là không gian Banach các ánh xạ k  tuyến tính liên tục từ E k vào F 1) Ta có ánh xạ đạo hàm bậc k , f  k  : D  Lk  E, F  biến mỗi Giả sử ánh xạ f  k  khả vi tại x  D tồn tại ánh xạ thành f  k   x  A : E  Lk  E , F  tuyến tính liên tục cho với h  E , x  h  D thì: f k   x  h  f k   x   A  h  h E   h  , với  xác định lân cận của 0E có giá trị Lk  E , F  thỏa mãn im   h   0L  E ,F  h0E k Ánh xạ tuyến tính liên tục A sẽ nhất, ký hiệu là A  f  k 1  x  và gọi là đạo hàm bậc k  của f tại x 24 2) Nếu A  L  E, Lk  E, F   , x  E , A  x   Lk  E , F  Với  x1 , x2 , , xk   E k , ta viết: A  x  x1 , x2 , , xk   A  x, x1 , x2 , , xk  A  Lk 1  E , F  A là ánh xạ  k  1  tuyến tính liên tục, Vậy đạo hàm bậc  k  1 của f tại x, f k 1  x  là phần tử thuộc Lk 1  E , F  3) Với k  p  r; k , p, r  N , A  Lk  E , F  và  u1 , , u p   E p ta có thể xem A  u1 , , u p  là phần tử của Lr  E , F  , định bởi: u p 1 , u p  , uk   E r A  u1 , , u p  u p 1 , , uk   A  u1 , u2 , , uk  Mệnh đề 1.3.3 Giả sử f : D  F khả vi bậc k D Với u2 , , uk  E cố định Đặt: g  x   f  k 1  x u2 , , uk  , g : D  F g khả vi D và g '  x  u   f  k   x  u2 , , uk  Chứng minh Xét ánh xạ A  Lk 1  E , F   F định bởi: A       u2 , u3 , uk  ,   Lk 1  E , F  A tuyến tính liên tục và g  A f  k 1 công thức đạo hàm của ánh xạ hợp,  g khả vi và g '  x   A f  k 1 g '  x  u   A   x  A ' f k  x  Hay với u  E thì:  f    x  u   f    x u u , , u   f    x u, u , , u  k k k k k Mệnh đề 1.3.4 Cho E , F , G là không gian Banach, D là tập mở E , f : D  F khả vi bậc k Cho  : F  G là ánh xạ tuyến tính liên tục Khi đó  f khả vi bậc k   và   f   x    f  k   x  k Chứng minh: Ta sẽ dùng phương pháp qui nạp Công thức với k  Giả sử công thức với k  1, tức là ta có: 25   k 1 f  x   f k 1  x  , x  D Xét ánh xạ g : D  L k 1  E, G  định bởi g    f  k 1 và ánh xạ  : Lk 1  E , F   Lk 1  E , G  xác định bởi vởi A  Lk 1  E , F  ,   A    A Khi đó  tuyến tính liên tục Thật vậy, với u1 , u2 , , uk 1  E , ui E  , ta có   A u1 , u2 , , uk 1  G    A  u1 , u2 , , uk 1   G    A  u1 , u2 , , uk 1     A Suy ra:   A    A Vậy  liên tục Ta có  k 1 g  x   f   x     f  k 1  x    f  k 1  x    f  k 1 Vậy g   f  k 1 Do f  k 1 khả vi,  tuyến tính liên tục, áp dụng cơng thức của đạo hàm cho ánh xạ hợp, g khả vi và g '  x    f  k   x  định bởi: Với u  E , g '  x  u     f    x u    k f  k   x  u  Vậy g '  x     f    x    f  k   x  , x  D k Định lý 1.3.2 Cho E , F là không gian Banach, D là tập mở E và f : D  F có đạo hàm bậc k , f  k  liên tục Khi đó với mọi x  D , f  k   x  là ánh xạ k  tuyến tính liên tục, đới xứng Chứng minh: Ta dùng qui nạp Ta biết kết luận với k  Giả sử kết luận với mọi p ,  p  k Với u3 , u4 , , uk  E , xét g : D  F định bởi: g  x   f  k 2  x  u3 , u4 , , uk  26 Do Mệnh đề 1.3.3 g khả vi bậc hai liên tục và g  2  x  là ánh xạ song tuyến tính liên tục, đới xứng g  2  x  u1 , u2   g  2  x  u2 , u1  , với mọi u1 , u2  E Do đó f  k   x  u1 , u2 , u3 , u4 , , uk   f  k   x u2 , u1, u3 , u4 , , uk  Do giả thiết qui nạp, f  k 1  x  là ánh xạ  k  1  tuyến tính liên tục, đới xứng:  f  k 1  x  u2 , u3 , u4 , , uk   f  k 1  x  u  2 , u 3 , u  4 , , u  k   với  là phép hoán vị của tập 2,3, , k Do mỗi hoán vị của tập 1, 2,3, , k là hợp nối của phép hoán vị của 1, 2 và 2,3, , k nên kết luận với k 1.3.4 Công thức Taylor Mệnh đề 1.3.5 Cho E , F là không gian Banach, A  Lk  E , F  và A đối xứng Với x  E , đặt  x    x, , x  ( k lần ) và g  x   A  x  k k Khi đó g khả vi liên tục bậc k và  g   x   k ! A ( nghĩa là: k g  k   x  u1 , u2 , , uk   k ! A  u1 , u2 , , uk  với u1 , u2 , u3 , uk  E ) Chứng minh Do A là k  tuyến tính đới xứng nên với u1  E , ta có k A  x  u1    Cki A  x   u1  k i k 1 Cki  với i 1 ki i ! k  i  ! Suy k g  x  u1   g  x   A  x  u1   A  x    Cki A  x   u1  k k i 1  KA  x  k 1 k 2  u1    Cki A  x   u1  i 0 i k i i k i  Ax k 27  KA  x  k 1  u1   u1 E    u1  với   u1   u1 k 2  C A  x  u  E i 0 i i k k i Ta có k 2   u1  E   Cki A  x E  u1 i i 0 k i 1 E nên im   u1   0F u1 0E Vậy g khả vi và g '  x  u1   KA  x   u1  k 1 Cố định u1  E , ánh xạ  x1 , x2 , , xk 1  A  x1 , x2 , , xk 1  u1  là  k  1  tuyến tính liên tục, đới xứng Tương tự g ' khả vi và với u2  E thì: g 2  x  u1 , u2   k  k  1 A  x  u1 , u2  k 2 Vậy kết luận sau k bước Do g  k   x   k ! A là ánh xạ hằng nên g  k  liên tục Định lý 1.3.3 Cho E , F là không gian Banach, D là tập mở E và f : D  F khả vi liên tục bậc k Với x  D , u  E cho x  tu  D với mọi t   0,1 thì: f  x  u   f  x   f '  x  u    2 k k f  x  u    f    x  u   u 2! k! k E  u  với im   u   0F u 0F Chứng minh Do định nghĩa đạo hàm cấp , công thức với k  Giả sử công thức đến k và f có đạo hàm bậc  k  1 liên tục Đặt: g  u   f  x   f '  x  u    2 k 1 k 1 ( x cố định ) f  x  u    f    x  u  2!  k  1! Do mệnh đề 1.3.5, g có đạo hàm bậc  k  1 liên tục và g  r   0  f  r   x  , với mọi r  1, 2,3, , k  Đặt h  u   f  x  u   g  u  h khả vi liên tục bậc  k  1 và h  0  0, h r  0  0L  E,F  với mọi trung bình, ta có: r r  1, 2,3, , k  Khi đó, công thức giá trị 28 h u  F  h  u   h  0 F    u E  sup h' tu  , t  0,1 , kết hợp với   h'  tu   h'  tu   h'  0  u E  sup h''  su  , s  0,1 Ta có: h u  F  u 2E  sup h2  su  , s 0,1 Tương tự, ta có: h u  F  u   sup h k 1 E k 1  tu  , t  0,1   u k 1 E   u  với    u   sup h k 1  tu  , t   0,1 Do h k 1 liên tục, h k 1  0  0L k 1 Do f  x  u   g  u  F  u Định lý 1.3.4 k 1 E  E,F  nên im   u   u 0E   u  nên ta có điều phải chứng minh (Tính nhất) Cho E , F là không gian Banach, D là tập mở E , chứa 0E và f : D  F khả vi bậc k Giả sử f  x   g  x   x E    x  , với im   u   0F và k g  x   A0  A1  x   A2  x    Ak  x  k g  x   f    f '   x   u 0E với A0  F , Ai  Li  E , F  đối xứng Khi đó:  2 k k f   x    f     x  , 2! k! nghĩa là g  x  là phần khai triển Taylor của f lân cận của 0E Chứng minh Đặt h  x   f  x   g  x  h khả vi bậc k và: h  x   x E    x  với k im   u   0F u 0E Do mệnh đề 1.3.5 , ta suy ra: g  r   0  r ! Ar , r  1, 2, , k Ta cần chứng minh: 29 h  0E   0F , h r  0E   0L  E ,F  với mọi r r  1, 2, , k Ta có h  E   F Áp dụng công thức Taylor cho ánh xạ h lân cận của 0E , với x  D cố định, t  cho tx  D , ta có: h  tx  F  t h '   x   t  2 t k 1  k  k  2 k  h   x    h   x   t k 1  x E   tx   t k    tx  F  x 2! k! k E Chia hai vế cho t và cho t  , ta có h '   x   F với mọi x  D Vậy h'  0E   0L E , F  Tương tự ta có h r   0E   0Lr  E , F  với mọi r  1, 2, , k Vậy định lý được chứng minh 1.3.5 Đạo hàm cấp cao một số ánh xạ a Ánh xạ từ Rn vào R Mệnh đề 1.3.6 Cho D  R n là tập mở và ánh xạ f : D  R khả vi D Khi đó f có đạo hàm cấp hai tại a  D và chỉ các hàm đạo hàm riêng Di f  f , i  1, n khả vi tại a xi Nếu f có đạo hàm cấp hai tại trận, mà hàng thứ i là a f  2  a  là dạng song tuyến tính có ma  Di1 f  a  , , Din f  a   (nhắc lại Dij f  a   2 f  a  xi x j ) Chứng minh Ta biết   L  R n , R  tờn tại    a1 , , an   R n cho   x1 , , xn   a1 x1   an xn Ánh xạ J :   là song ánh tuyến tính, liên tục Ta có f '  x   L  R n , R  cho bởi n f '  x  h    Di f  x  hi , h   h1 , , hn   R n i 1 Do đó ta có ánh xạ J  f '  x     D1 f  x  , , Dn f  x   Xét ánh xạ 30 g : D  R n , g  x    D1 f  x  , , Dn f  x   , x  D ta có J f '  g Và f '  J 1 g Do định lý về sự khả vi của hàm hợp ta suy f có đạo hàm cấp hai tại a và chỉ g khả vi tại a , điều này lại tương đương với các hàm Di f khả vi tại a Giả sử f có đạo hàm cấp hai tại a và B  f  2  a  là dạng song tuyến tính, đới xứng Ta có: f ' a  h  f ' a  B h  h  h  2 với B  h  ,   h  thuộc L  R n , R  và him   u   Tác động các ánh xạ   lên ei ta có: Di f  a  h   Di f  a   B  h, ei   h   h  ei  Cho h  tei và cho t  ta suy ra: im t 0 Di f  a  tei   Di f  a   B  e j , ei  t Vậy Dij f  a   B  e j , ei  ,1  i, j  n và ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 1.3.7 Cho D  R n là tập mở và f : D  R 1) Nếu f có đạo hàm cấp f  k   a  u1 , , uk   tại a f  k   a  tính bởi f  a  ui1 , , uikk đó uijj là tọa độ thứ i j của vectơ  x , ,  x 1i j  n i1 ik  u j  R n , j  1, k 2) Giả sử f có đạo hàm cấp k D Khi đó f có đạo hàm cấp k  tại a và chỉ các đạo hàm riêng bậc k , k f ,1  i j  n,1  j  k , khả vi tại a xi1 , , xik Chứng minh Ta dùng qui nạp Điều phải chứng minh cho k  n f '  a  h    i 1 f  a  hi xi với mọi h   h1 , , hn   R n 31 Giả sử điều phải chứng minh đến k Xét h   h1 , , hn   R n cho a  h  D và cố định u1 , , un  R n , ta  k f  a  h k f  a   k  k  k    có:  f  a  h   f  a    u1 , , uk     ui1 , , uik 1 i j  n   xi1 , , xik xi1 , , xik  Cố định một bộ s   i1 , , in  với  i j  n và xét hàm k f  x  gs  x    g s'  a  h   h s  h  , xi1 , , xik im  s  h   h 0 Do g s khả vi tại a nên n g s  a   k 1 f  a  gs  a  h   gs  a    hi  h s  h    hi  h s  h  xi i 1 i 1 xi1 , , xik xi n Do đó    f  k   a  h   f  k   a    u1 , , uk    g s'  a  h  ui1 , , uik  h k   s   h  u , , u  s i1 k ik s  A  h  u1 , , uk   h   h  u1 , , uk  hay f k   a  h  f k   a   A  h   h   h  Từ biểu thức của tuyến tính theo h nên A  h  ,  h  Ah ta thấy chúng thuộc Lk  R n , R  Do g '  a  tuyến tính theo h Do s  h    s  h  nên s im  s  h    h  Vậy f  k  khả vi tại a hay f k 1  a  tồn tại và f k 1  a  h, u1 , , uk   A  h  u1 , , uk   k 1 f  a    hi ui11 , , ui1k 1i j  n xi1 , , xik xi Do đó công thức cho k  Ở ta đã chứng minh có đạo hàm riêng bậc k của f khả vi tại f k 1  a  tờn tại Ngược lại giả sử f k 1  a  tồn tại Khi đó a 32 f k   a  h  f k   a   A  h   h   h  ,  3 đó A  h  ,   h   Lk  R n , R  , A tuyến tính theo h và im   h    h 0 Tác động các ánh xạ   lên bộ  i , i  , và áp dụng công thức f k   a  , k ta được: k f  a  h k f  a    A  h   i1 , ,  ik  h   h   i1 , ,  ik  B  h   h 1  h  , xi1 , , xik xi1 , , xik     đó B  L  R n , R  , him 1  h   k f xi1 , , xik Do đó đạo hàm riêng khả vi tại a Mệnh đề được chứng minh b Ánh xạ Hammerstein Cho A là tập đóng, bị chặn R p ; B là tập đóng, bị chặn, Jordan đo được Rk Cho f : A  B  Rn  R liên tục,  t , s, x  f  t , s, x  ; t  A, s  B, x  R n Đặt E  C  B, R n  là không gian các ánh xạ x : B  R n ; x  s    x1  s  , x2  s  , , xn  s   2 liên tục với chuẩn x E  max  x  s  : s  B , đó là chuẩn Euclide Rn Đặt : F  C  A, R  là không gian các hàm y : A  R liên tục, y F  max  y  t  : t  A Khi đó E , F là không gian Banach Cho T : E  F định bởi với x  E , t  A ta có T  x  t    f  t , s, x  s  ds B T gọi là ánh xạ Hammerstein Mệnh đề 1.3.7 a) T liên tục E 33 f , i  1, n liên tục Khi đó T khả vi tại mọi x  E , xi b) Giả sử thêm T '  x : E  F định bởi :  n f  T '  x  h  t      t , s, x  s   hi  s  ds với h  E , t  A  xi  B  i 1 Hơn nữa , T ' liên tục từ E vào L  E , F  2 f ; i, j  1, n liên tục Khi đó T có xi x j c) Giả sử các đạo hàm riêng bậc hai đạo hàm bậc hai tại mọi x  E , T  2  x  : E  E  F định bởi:  n   2 f  T  2  x  h, k  t      t , s, x  s   hi  s  k j  s  ds ,   B i , j 1 xi x j h, k  E , h , k : B  n , h  s    h1  s  , h2  s  , , hn  s   , k  s    k1  s  , k  s  , , k n  s   , t  A Chứng minh Ta thống nhất một số ký hiệu sau: - B n  0, M  là quả cầu đóng tâm , bán kính M không gian R n - vB là độ đo Jordan của tập B Với x   x1 , x2 , , xn  , h   h1 , h2 , , hn   E , ta có:  f  f f f x'  t , s, x  s     t , s, x  s   , t , s, x  s   , , t , s, x  s       x2 xn  x1  n f x'  t , s, x  s   , h  x    i 1 f t, s, x  s  hi  s  xi Theo bất đẳng thức Schwartz ta có: f x'  t , s, x  s   , h  x   f x' t , s, x  s    h  x  a) Ta chứng minh x  E T  x   F ( nghĩa là T  x  liên tục theo t ) Do f liên tục tập compắc A  B  B n  0, x E  nên liên tục đều đó Do đó, với   cho trước, có   cho 34   t , s, u  ,  t ' , s ' , u '   A  B  B n  0, x E  mà 2  t , s, u    t ' , s ' , u '    t  t '  s  s '  u  u '  f  t , s, u   f  t ' , s ' , u '    v  B 1  Khi đó, với t , t '  A : t  t '   T  x  t   T  x   t '     f  t , s, x  s    f  t , s, x  s   ds   f t , s, x  s    f t , s, x  s   ds ' ' B B   v  B  ds   v  B 1  v  B 1 B Vậy T  x  liên tục theo t  A hay T  x   F  C  A, R  Ta chứng minh T liên tục theo x : Với x  E cố định và   , f liên tục đều A  B  B n  0, x E  1 nên có   cho với  t , s, u  ,  t ' , s ' , u '   A  B  B n  0, x E  1 mà  t , s, u   t ' , s' , u '    thì:  t , s, u    t ' , s ' , u '    v  B 1 Lấy h  E , h E   ( chọn   ) ta có: T  x  h  t   T  x  t     f  t , s, x  s   h  s    f t , s, x  s   ds   t , s, x  s   h  s    f t , s, x  s   ds  v  B   ds    , t  A v  B   B v  B 1 B B Vậy   T  x  h   T  x  F  max T  x  h t   T  x t  : t  A   Do đó T liên tục tại x Vì x  E bấy kỳ nên T liên tục E 35 b) Ta chứng minh T khả vi tại x Với h  E ta có: T  x  h  t   T  x  t     f  t , s, x  s   h  s    f t , s, x  s   ds B f , i  1, n liên tục t , s cố định, ánh xạ xi Do các đạo hàm riêng f  t , s, x  khả vi theo biến ( x Áp dụng định lý giá trị trung bình có    0,1 cho: f  t , s, x  s   h  s    f  t , s, x  s    f x' t , s, x  s     h  s  , h  x  Suy ra: VT  T  x  h  t   T  x  t     f x'  t , s, x  s   , h  s   ds B Với   ,  0   1 f , i  1, n liên tục đều A  B  B n 0, x E  xi   nên có cho h E   thì: f x'  t , s, x  s     h  x   f x'  t , s, x  s     v  B 1 , t  A, s  B Khi đó:  v  B VT    f x'  t , s, x  s    h  s    f x'  t , s, x  s    h  x  ds  hE  v B    B Đặt  : E  F định bởi:   h  t     f x'  t , s, x  s   , h  x  ds B Nếu ta chứng minh được  tuyến tính liên tục do: VT  T  x  h  t   T  x  t     h  t   h E   T  x  h  T  x   h  h E  nên T  x  h   T  x     h   h E    h  với  v  B v  B 1  v  B , t  A v  B 1  h E im   h   0F h0E 36 Vây theo định nghĩa T khả vi tại x và T '  x    Ta chứng minh  tuyến tính: Lấy h, k  E , a  R ; ta có   h  k  t     f x'  t , s, x  s   , h  s   k  s  ds    f x'  t , s, x  s   , h  s  ds    f x' t , s, x  s   , k  s  ds B B B    h  t     k  t  , t  A Suy :   h  k     h     k    ah  t     f x'  t , s, x  s   , ah  s  ds  a   f x'  t , s, x  s   , h  s  ds B B  a  h  t  , t  A Suy ra:   ah   a  h  Do đó  tuyến tính Lấy h  E ; ta có   h  t     f x'  t , s, x  s   , h  s  ds    f x'  t , s, x  s   , h  s  ds B B    f x'  t , s, x  s    h  s  ds  h E   f x'  t , s, x  s   ds   B B Do các đạo hàm riêng f , i  1, n liên tục A  B  B n 0, x E xi   nên có N cho: f x'  t , s, x  s    N , t  A, s  B Khi đó:   h  t   h E  N  v  B  , t  A, h  E Suy ra:   h  F  max    h  t  : t  A  h E  N  v  B  , h  E Vậy  liên tục Chứng minh T ' liên tục Lấy x  E cố định,   cho trước Do f , i  1, n liên tục tập xi compắc A  B  B n  0, x E  1 nên có     1 cho u E   thì: 37 f x'  t , s, x  s    u  x   f x' t , s, x  s     v  B 1 , t  A, s  B Với mọi h  E t  A , ta có: T '  x  u  h  t   T '  x  h  t     f x'  t , s, x  s   u  s    f x'  t , s, x  s   h  s   ds B  v  B    f x'  t , s, x  s   u  s    f x'  t , s, x  s    h  s  ds  h E    v  B 1 B Vậy: T '  x  u  h   T '  x  h   F  v  B v  B 1  h E , h  E Suy ra: T '  x  u  T '  x  Vậy:  v  B v  B 1  im T '  x  u   T '  x  u 0E hay T ' liên tục tại x Do x bấy kỳ thuộc E nên T ' liên tục E c) Chứng minh T ' khả vi bậc hai Đặt  : E  L  E , F  với:   2 f t , s, x  s   hi  s  k j  s  ds   B i , j 1 xi x j n   h  k  t     h, k  t      Ta chứng minh  song tuyến tính liên tục ( x  E cố định ) Lấy k  E và cố định lại Khi đó h1 , h2  E, a, b    ta có:  2 f   t , s, x  s    ahi1  s   bhi2  s  , k j  s     ds    B i , j 1  xi x j    ah1 , bh , k   t       n 2      n   f   n   f   a    t , s, x  s   hi1  s  k j  s    ds  b     t , s, x  s   hi2  s  k j  s    ds       B B i , j 1  xi x j  i , j 1  xi x j   a  h1 , k   t   b  h2 , k   t  , t  A Suy ra: 38   ah1  bh2 , k   a  h1 , k   b  h2 , k  Vậy  tuyến tính theo h k cố định Hoàn toàn tương tự, ta có  tuyến tính theo k h cớ định Vậy  song tuyến tính Ta chứng minh  liên tục, ta có:  n 2 f   2 f    t , s, x  s   hi  s  k j  s   ds     t , s, x  s   hi  s  k j  s   ds    B B  i , j 1 xi x j  i , j 1 xi x j    n   h, k  t      1 2  n  2 f 2 n    n 2 2      t , s , x s h s k s        i      j    ds  x  x i , j    j 1     i 1  B   i j Do 2 f liên tục A  B  Bn  0, x E  , i, j  1, n nên tồn tại M  xi x j cho:  n  2 f     t , s, x  s         i , j 1  xi x j  M , t  A, s  B Vậy:   h, k   M h E  k E  v  B  , t  A, h, k  E Suy ra:   h, k  t  F  Mv  B  h E  k E , h, k  E Vậy  liên tục Lấy x  E cố định lại Do 2 f liên tục, i, j  1, n nên xi x j f khả vi xi i  1, n Áp dụng định lí giá trị trung bình ta có tờn tại i   0,1 ( i phụ thuộc t , s, x  s  ) cho: n f f 2 f t , s, x  s   h  s    t , s, x  s       t , s, x  s   i h  s  h j  s  , i  1, n xi xi i , j 1 xi x j 39 Ta có:  n 2 f  VT : T '  x  h  k  t   T '  x  k  t      t , s, x  s   hi  s  k j  s   ds   B i , j 1 xi x j  n 2 f   n  f   f      t , s, x  s   h  s    t , s, x  s   ki  s   ds     t , s, x  s   hi  s  ki  s   ds   xi    B B  i 1  xi i , j 1 xi x j  n  n  f    n 2 f       t , s , x s   h s h s k s ds  t , s, x  s   hi  s  k j  s   ds   i    j   i          B B   i , j 1 xi x j  i 1  j 1 xi x j  n   f   2 f     t , s, x  s    j h  s    t , s, x  s    hi  s  k j  s   ds   xi x j  B   i 1  xi x j Vậy:   2 f  n  f  VT     t , s , x s   h s  t , s, x  s    hi  s  k j  s   ds   j     xi x j B  i , j 1 xi x j  1 2  n  2 f    n 2 2 f       t , s, x  s    j h  s    x x t , s, x  s      hi  s  k j  s   ds xi x j    i , j 1 i j  B i , j 1    1 2 2  n  2 f n    n 2 2  2 f       t , s, x  s    j h  s    x x t , s, x  s      hi  s     k j  s   ds xi x j   j 1    i 1 i j  B i , j 1    2 f Với   cho trước, liên tục đều xi x j A  B  B n  0, x E  1 nên có     1 cho h E   thì:  n  2 f   2 f   t , s, x  s    j h  s    x x t , s, x  s        i j i , j 1  xi x j VT  T '  x  h  k  t   T '  x  k  t    h  k  t   Với h, k  E , h E   Đặt :  : E  L  E , F  với:   v  B 1  v  B v  B 1 , t  A, s  B hEk E 40   2 f t , s, x  s   hi  s  k j  s  ds   B i , j 1 xi x j n   h  k  t     h, k  t      Nếu ta chứng minh được  song tuyến tính liên tục do: VT  T '  x  h  k  t   T '  x  k  t    h  k  t   V  B  V  B 1 hE.k E, Suy : T '  x  h  k   T '  x  k    h  k   V  B  V  B 1 hE.k E với h, k  E , h E   Dần đến : T '  x  h   T '  x    h    v  B v  B 1  hE  hE với hE  Vậy: T '  x  h  T '  x  h  h E  h với im   h   0L E , F  u 0E Theo định ngĩa, T có đạo hàm bậc hai tại x và x bất kỳ nên T có đạo hàm bậc hai tại mọi x  E và n   2 f T  2  x  h, k  t     h, k  t      t , s, x  s   hi  s  k j  s  ds   B i , j 1   xi x j bổ sung lại phần đầu 1.4 Ánh xạ ngược – ánh xạ ẩn Định lý ánh xạ co Cho M là tập đóng không gian Banach và f : M  M Giả sử tồn tại k  0,1 cho f  x   f  y   k x  y , x, y  M Khi đó tồn tại nhất x0  M cho f  x0   x0 và im f n  x   x0 , x  M n  Chứng minh: Với mọi x  M , ta có f n1  x   f n  x   f  f n  x    f  f n1  x    k f n  x   f n1  x    k n f  x   x Suy ra: 41  n  p 1  f n p  x   f n  x     k i  f  x   x  i n  với mọi n, p  N Do   k  1,  k i  i 0  f  x  hội tụ nên 1 k là dãy bản, vậy hội tụ n n Đặt : im f n  x   x0 Do f liên tục nên im f  f n  x    f  x0   x0 n  n Vây x0 là điểm bất động của f Nếu có x1 thỏa mãn x0  x1  f  x0   f  x1   k  x0  x1 f  x1   x1 thì: và k  ta suy x1  x0 Suy : x là điểm bất động nhất Định nghĩa: Cho E là không gian Banach Đặt IsomE là tập hợp các ánh xạ tuyến tính khả đảo liên tục từ E lên E Định lý 1.4.1 Cho E là không gian Banach Ta có u  L  E, F  , u  1.) Nếu  1 I  u  khả đảo và:  I  u    u n , u  I 2.) IsomE là tập mở Chứng minh: 1.) Do L  E , F  là không gian Banach và u  nên:  u n hội tụ Đặt:  v   un Ta có: I  u Cho n  , I  u  u   u n    I  u  u   u n  ta có:  I  u  v  v  I  u  Vậy:  v   I  u    un 1 I u 42 2.) Xét u0  IsomE , với    1/ u01 và u  L  E , F  , u  u0   , ta có: uu01  I   u  u0  u01  u01 u  u0  Suy ra:   uu01  I   I  uu01  khả đảo hay u  u0  IsomE Vậy IsomE là tập mở Định lý 1.4.2 Ánh xạ  : IsomE  IsomE định bởi   u   u 1 khả vi vô hạn và  '  u  h   u 1  h  u 1 Chứng minh: Với u  IsomE , h  L  E , F  cho x  h  IsomE , ta có:  u  h 1  u 1   u  I  u 1h    u 1   I  u 1h  u 1   I  u 1h   I  u 1 1 Nếu u 1h  chuỗi: 1   u h  1 n hội tụ, đặt g  h  cho:  I  u h 1 1   I  u 1h  u 1h   g  h  hay g  h     1  u 1h  n n Khi đó g liên tục tại , g    I Suy ra:  u  h 1  u 1  u 1h  u 1h   g  h  u 1  u 1hu 1  u 1h   g  h  u 1     u 1h  g  h  u 1  c h 2 với c là hằng số Vậy  khả vi và  '  u  h   u 1hu 1 Do  ' là hợp nối của ánh xạ nghịch đảo và ánh xạ hợp nới ( song tuyến tính liên tục ) nên  khả vi vô hạn Định lý 1.4.3 ( Định lý ánh xạ ngược ) Cho E , F là không gian Banach, D là tập mở E và f : D  F khả vi liên tục Giả sử x0  D và f '  x0  có ánh xạ ngược liên tục Khi đó tồn tại tập mở U chứa x0 E , tập mở V chứa f  x0  1 F cho f : U  V là song ánh và ánh xạ ngược f khả vi liên tục Hơn nữa: 43  f   y    f  x  1 ' ' 1 , với y  f  x  V Chứng minh: Đặt   f '  x0   là ánh xạ tuyến tính liên tục khả đảo từ E vào F và  1 f : D  E ,  1 f '  x0   I Nếu chứng minh được  1 f khả đảo địa phương f khả đảo địa phương, f    1 f Như vậy ta có thể đưa bài toán về trường hợp f : D  E , f '  x0   I Đặt f  x0   y0 và f1  x   f  x  x0   y0 f1 xác định mợt tập mở chứa 0E và f1  E   E Như vậy, ta có thể coi f    0, x0  0, f '    I Đặt g  x   x  f  x  g '    Do g ' liên tục, tồn tại r  cho x  2r g'  x  Từ định lý giá trị trung bình suy g  x   x và g  B'  0, r    B'  0, r /  Ta khẳng định với mọi y  B '  0, r /  tồn tại nhất x  B '  0, r  cho f  x  y Xem g y  x   x  y  f  x  Với y  r / và x  r g y  x   r Như vậy: g y  B '  0, r    B '  0, r  Do g y  x   , áp dụng định lý trung bình, ta thấy: ' g y  x1   g y  x2   g  x1   g  x2   Nghĩa là g y là ánh xạ co hệ số x1  x2 với x1 , x2  B '  0, r  Do định lý ánh xạ co, g y có điểm bất động nhất là nghiệm của f  x  y 44 Đặt U  x  B  0, r  , f  x   r / 2 U mở Và V  f U  f : U  V là đơn ánh Đặt   f 1 : V  U Ta chứng minh V mở và   C V  Xét x1  U , y1  f  x1  y1  r / Nếu y  E , y  r / , tồn tại nhất x  B '  0, r  cho f  x   y Ta có: x  x1  f  x   f  x1   g  x   g  x1   f  x   f  x1   x  x1 x  x1  f  x   f  x1  Suy ra: 1  Dẫn đến x U và vậy y  V , nghĩa là V mở Bất đẳng thức 1 chứng tỏ   f 1 liên tục, ta chứng minh  khả vi Do g '  x   với mọi x  B  0, r  nên f '  x1  khả đảo, ta có: f  x   f  x1   f '  x1  x  x1   x  x1   x  x1  với im   h   0F h0E Do đó f 1  y   f 1  y1    f '  x1    c  f  x  '  f  x  ' 1 1 1  y  y1   x  x1  f '  x1   1  f  x   f  x   x  x1    x  x1   2c y  y1    y    y1  với Do  liên tục f 1 khả vi tại y1 và:  f   y    f  x  1 ' ' 1 1   f '   y1   1 Suy ra:  f 1  liên tục ' Định lý 1.4.4 Cho E , F , G là không gian Banach, D là tập mở E  F và f : D  G khả liên tục Giả sử  a, b   D, f  a, b   0G và D2 f  a, b   L  F , G  khả đảo liên tục Khi đó tồn tại tập mở A  E , chứa a , tập mở B  F chứa b thỏa mãn 45 A B  D và nhất ánh xạ g : A  B khả đảo liên tục cho: g  a   b, f  x , g  x    G g '  x    D2 f  x, g  x   ( Ánh xạ 1 với mọi x  A và: D1 f  x, g  x   được gọi là ánh xạ ẩn suy từ phương trình ) Chứng minh: Xét ánh xạ  : D  E  G định bởi   x, y    x, f  x, y   Ta có   a, b    a,  IE   '  '  a, b     ,   a, b  h, k    h, D1 f  a, b  h   D2 f  a, b  k   D f a , b D f a , b       Do D2 f  a, b   Isom  F , G  nên  '  a, b   Isom  E  F , E  G  và  khả vi liên tục D Do định lý ánh xạ ngược, tồn tại tập mở V E  G chứa  a,  cho: 1  : A  B  V có ánh xạ ngược khả vi liên tục,  :V  A  B có dạng  1  x, z    x, k  x, z   đó k là ánh xạ khả vi liên tục Đặt p2 : E  G  G định bởi: p2  x, z   z p2 tuyến tính liên tục và p2   f và ta có: f  x, k  x, z    f  1  x, z    p2    1  x, z   p2  x, z   z Như vậy f  x, k  x,    0G với mọi x  A Đặt g  x   k  x,  g khả vi liên tục, g  a   b và f  x, g  x    0G với mọi x  A Ánh xạ ngược '  a, b  cho 1  bởi:  '  a, b    u, v   u,  D2 f  a, b   v    D2 f  a, b  1 g '  a     D2 f  a, b  g '  x    D2 f  x, g  x   1 1 1 1 D1 f  a, b  Tương tủ D1 f  x, g  x   với mọi x  A  D1 f  a, b u  46 Chương CỰC TRỊ 2.1 Cực trị địa phương Định nghĩa 2.1.1 Cho E là không gian Banach, D là tập mở E và f : D  R Ta nói: 1) Ta nói  f đạt cực tiểu ( cực đại ) địa phương tại a  D tồn tại r  cho: f  a   f  x   f  a   f  x   với mọi x  B  a, r  \ a x  D 1  f đạt cực tiểu nghiêm ngặt ( cực đại nghiêm ngặt ) địa phương f  a   f  x   f  a   f  x  với mọi x  B  a, r  \ a x  D  f đạt cực trị địa phương tại a f đạt cực đại hoặc cực tiểu địa phương tại a 2) Nếu 1 x  D ta nói f đạt cực tiểu ( cực đại) tuyệt đối D Định lý 2.1.1 ( Điều kiện cần thứ ) Nếu f đạt cực trị địa phương tại a và f khả vi Gateaux tại a thì: f '  a   L E , R  Chứng minh: Với h  E, h  0E , đặt g  t   f  a  th  , t nhỏ, g là hàm số thực theo một biến số thực và g '    f '  a  h  Do g đạt cực trị địa phương tại nên g ' 0  Suy f '  a  h   , với mọi h  E Vậy f '  a   0L E , R Định nghĩa 2.1.2 Cho E là không gian Banach,  : E  E  R là dạng song tuyến tính đới xứng 1) Dạng toàn phương  tương ứng với  định bởi:   x     x, x  , với mọi 47 xE Ta có:   x, y     x  y     x     y   , với mọi x, y  E 2) Dạng toàn phương  được gọi là xác định dương   x   , với mọi x  E Khi đó dạng song tuyến tính tương ứng  được gọi là xác định dương Thí dụ: 1) Cho E là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng , , đặt   x, y   x, y   x   x, x  x 2) Cho A   aij  , i, j  1, 2, , n là ma trận vuông cấp n , đối xứng aij  a ji ,   x, y   xt Ay  n a x y i , j 1 ij i j ( x t là ma trận chuyển vị của x ) thì: n   x     x, y    aij xi y j i , j 1 Mệnh đề 2.1.1 Nếu  là dạng toàn phương xác định dương thì:   x, y     x     y  với mọi x, y  E Chứng minh: Với   R , ta có:    x   y     x   y, x   y     x   2  x, y    2  y  Tam thức bậc hai theo  không âm nên   x, y     x     y   Định lý 2.1.2 ( Điều kiện cần thứ hai ) Nếu f : D  R khả vi liên tục cấp hai và đạt cực tiểu địa phương tại a  D f '  a   0L E , R  và f  2  a  x, x   Chứng minh: Do định lý 2.1.1 ta có f '  a   0L E , R Áp dụng công thức Taylor ta có: 48 f a  h  f a   2 f  a  h, h   h E   h  với Do f đạt cực tiểu địa phương tại a nên h E im   h   h 0 nhỏ, ta có: f  a  h, h   h E   h    f  a  h   f  a    Với x  E , t  đủ nhỏ, ta có: 0 1 2 f  a  tx, tx   tx E   tx    f  a  x, x   x E   tx    t Cho t  , ta có: f  a  x, x   Định nghĩa 2.1.3 Cho E là không gian Banach,  là dạng song tuyến tính đới xứng, liên tục E Với x  E cớ định   x,  tuyến tính liên tục từ E vào R nghĩa là   x,   L  E, R   E  ( không gian đối ngẫu của E ) Như vậy ta có thể xem  là ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào E  ,   L  E, E   Ta nói dạng toàn phương liên tục   x     x, x  là không suy biến  là đẳng cấu từ E vào E  ,   Isom  E, E   Mệnh đề 2.1.2 Nếu  là dạng toàn phương liên tục không suy biến E tờn tại   cho:   x   x E với mọi x  E Chứng minh: 1 Do  đẳng cấu từ E lên E  nên  tồn tại, liên tục Suy ra: x E   1   x,    1    x,  , với mọi x  E   Mặt khác,   x,   sup   x, y  , y E  nên tồn tại y  E , y E  cho   x, y     x,   49 Suy x E 1 2    x, y  Suy x E 4  1    x, y    1   x    y  Do  liên tục nên   y     y, y    , với mọi y  E , y E  Dẫn đến x E 4    1    x  hay   x    x E với   4  2 Định lý 2.1.3 ( Điều kiện đủ ) Cho E là không gian Banach, D là tập mở E và f : D  R khả vi cấp hai liên tục Nếu a  D , f '  a   0L E , R và f  a  xác định dương khơng suy biến f đạt cực tiểu địa phương nghiêm ngặt tại a Chứng minh: Áp dụng công thúc Taylor ta có: f a  x  f a   2 f  a  x, x   x E   x  với im   x   x 0E Do f  a  xác định dương liên tục, không suy biến nên tồn tại   cho f  2  a  x, x    x E Do im   x   nên tồn tại   cho: x  E, x E x 0E  Suy ra: với x  E , x E     x     f a  x  f a     x 2 4 Vậy f đạt cực tiểu nghiêm ngặt địa phương tại E   x E  a Định lý 2.1.4 Cho E là không gian Banach, D là tập mở E và phiếm hàm lồi, nghĩa là: f :D R là 50 f  1  t  x  ty   t  f  y   1  t  f  x  , với mọi x, y  D, t   0,1 Giả sử f khả vi tại x0 và f '  x0   0L E , R f đạt cực tiểu tụt đới tại x0 Chứng minh: Từ bất đẳng thức của hàm lồi f  1  t  x0  ty   1  t  f  x0   t f  y  Suy với x0 , y  D, t   0,1 , ta có : Với t  , f  x0  t  y  x0    f  x0   t  f  y   f  x0   hay f  x0  t  y  x0    f  x0  t  f  y   f  x0  Do f khả vi tại x0 , cho t  0 , ta có: f '  x0  y  x0   im f  x0  t  y  x0    f  x0  t 0t t  f  y   f  x0  Do f '  x0   0L E , R nên f  y   f  x0   với mọi y  D Vậy f đạt cực tiểu tuyệt đối tại x0 2.2 Cực trị có điều kiện 2.2.1 Trường hợp riêng Định nghĩa 2.2.1 Cho E là không gian Banach thực, tập M  E được gọi là một đa tạp tuyến tính với mọi x, y  M  x  1    y  M , với mọi   R Tập  x  1    y,   M  là đường thẳng qua hai điểm x, y (nếu x  y ) Mệnh đề 2.2.1 Cho E là không gian Banach thực, tập M  E i.) Nếu M là đa tạp tuyến tính và 0E  M M là khơng gian vec tơ của E ii.) M là đa tạp tuyến tính và chỉ nếu: M  x0  M   x0  u , u  M  , đó M là không gian vectơ E và x0  M 51 Hơn nữa, không gian M không phụ thuộc x0  M M được gọi là không gian song song với đa tạp M Chứng minh: i.) Do M là đa tạp tuyến tính và 0E  M nên với x  M  x   x  1    E  M ,   R Với x, y  M , chọn   1  x  y   M Suy x  y  M 2 Vậy M là không gian vec tơ của E ii.) Giả sử M là đa tạp tuyến tính và x0  M Đặt M  M  x0   x  x0 , x  M  , 0E  M Xét u, v  M , u  x  x0 , v  y  x0 , x, y  M và Do  x  1    y  M nên u  1    u   x  1    y  x0  M Suy ra: M là đa tạp tuyến tính Theo i.) M là khơng gian của E Khi đó M  x0  M Ngược lại, giả sử M là không gian vec tơ và M  x0  M M là đa tạp tuyến tính và 0E  M nên x0  M Giả sử M  M1  x1  x0  M với x1 , x0  M , và M , M1 là không gian của E Khi đó, tồn tại u0  M cho x1  x0  u0 Suy ra: x1  x0  u0  M Với u1  M1 , tồn tại u  M cho u1  x1  u  x0 Suy ra: u1  u   x0  x1   M Vậy M1  M Tương tụ ta có M  M1 Vậy M1  M Nhận xét Với x0  M cố định, đặt   x   x  x0  là đồng phôi từ E lên E và  M0   M Vậy M đóng và chỉ M là tập đóng 52 Suy ra: Nếu M là đa tạp tuyến tính đóng của E và M là không gian song song với M M là khơng gian Banach của E Định nghĩa 2.2.2 Cho E là không gian Banach thực, M là đa tạp tuyến tính đóng, M  x0  M Với x0  M cố định và M là không gian Banach con, song song với M Cho f : M  R Với x  M , tồn tại nhất u  M cho x  u  x0 Ta lập ánh xạ f0 : M  R xác định sau, với u  M , f  u   f  x  u  u0  Ta nói: i.) f khả vi tại x  M tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục từ M vào R , ( ghi là f '  x   L  M , R  và gọi là đạo hàm của f tại x ), cho với h  M : f  x  h   f  x   f '  x  h   h E   h  với im   h   h0E ii.) f đạt cực tiểu địa phương ( cực đại địa phương ) tại x  M tồn tại   cho với h  M , h E  f  x  h   f  x   f  x  h   f  x   Nhận xét Giả sử M là đa tạp tuyến tính và M là khơng gian song song với M , x  M , x  u  x0 với u  M Khi đó  f khả vi tại x  M và chỉ f khả vi tại  f đạt cực tiểu địa phương tại tại x u và f '  x   f 0'  u  và chỉ f đạt cực trị địa phương u Áp dụng định lý 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, ta có kết luận Định lý 2.2.1 Cho E là không gian Banach thực, M là đa tạp tuyến tính đóng và f :M  R 53 Điều kiện cần để f đạt cực trị địa phương tại a  M : i.) Nếu f khả vi tại a f '  a   0L M , R ii.) Nếu f khả vi liên tục bậc hai và f đạt cực tiểu ( cực đại) địa phương tại a   f  2  a  h, h   f  2  a  h, h   , với mọi h  M Điều kiện đủ Nếu f khả vi liên tục bậc hai, f '  a   0L M , R và có c   cho: f  2  a  h, h   c h E , f  2  a  h, h   c h 2 E  f đạt cực tiểu ( cực đại) địa phương tại a  M 2.2.2 Cực trị với ràng buộc phiếm hàm: Định nghĩa 2.2.3 Cho phiếm hàm g : X  R , gọi G là tập các g  x  x thỏa điều kiện 1  Giả sử M  X là đa tạp tuyến tính với không gian tương ứng M Ta nói hàm f : M  R tại x0  M  G đạt cực đại ( cực tiểu ) địa phương với ràng buộc 1 có lân cận U của x0 để f  x   f  x0   f  x   f  x0   x U  E  G Định lý 2.2.2 Giả sử 1.) x0 là điểm cực trị của f M với ràng buộc 1 và x0 không là điểm dừng của g 2.) f khả vi tại x0 , g có đạo hàm liên tục lân cận của x0 Khi đó tồn tại số  cho: f '  x0  h    g '  x0  h   h  M Chứng minh: Giả sử k  M cho g '  x0  k   và h  M tùy ý 54  Xét hàm hai biến   t , s   g  x0  th  sk  với t , s đủ nhỏ Ta có:   0,   ,  s'  t , s   g '  x0  th  sk  k  liên tục,  s'  0,   g '  x0  k   Do định lý hàm ẩn, tồn tại hàm s  t  khả vi lân cận t  thỏa mãn: s    0, t , s  t    s t  ' t 0   t' t , s  t    s' t , s  t  t 0 g '  x0  h   ' g  x0  k   Xét hàm   t , s   f  x0  th  sk  Ta có x0 là cực trị của f với ràng buộc 1 nên F  t    t , s  t  đạt cực trị tại t  Do đó  g '  x  h    F '    t'  0,   s'  0,   s '    f '  x0  h   f '  x0  k     '   g  x0  k   Vậy số    f '  x0  k  g '  x0  t  cần tìm Nhận xét Như vậy điểm có thể là cực trị của f với ràng buộc g  x   được tìm sớ điểm dừng của họ phiếm hàm f   x   f  x    g  x  2.2.3 Bài toán cực trị có điều kiện tổng quát Định nghĩa 2.2.4 Cho E , F là không gian Banach thực, D là tập mở E Cho f : D  R và H : D  F khả vi liên tục Đặt C  x  D : H  x   0F  Ta nói x0 là điểm cực đại ( cực tiểu ) địa phương của phiềm hàm f với điều kiện ràng buộc H  x   F x0  c và r  cho: f  x   f  x0   f  x   f  x0   x  B  x0 , r   C Mệnh đề 2.2.2 Giả sử f đạt cực trị địa phương với ràng buộc H  x   F tại x0 và x0 là điểm qui của H theo nghĩa H '  x0  là toàn ánh từ E lên F Khi đó f '  x0  h   với mọi h thỏa mãn H '  x0  h   F 55 Chứng minh: Đặt E1  ker H '  x0  E1 là khơng gian đóng của E Phân tích E thành tổng trực tiếp tơ pơ E  E1  E2 Khi đó mọi x  E được viết dưới dạng nhất: x  x1  x2 , x1  E1 , x2  E2 Ta xem H là ánh xạ theo hai biến H  x   H  x1 , x2  Gọi D2 H là đạo hàm riêng theo biến x2 của H Ta có H '  x0   0 D2 H  x20  , đó x0   x10 , x20   x10  x20 Do x0 là điểm qui của H nên D2 H  x20  khả đảo liên tục từ E2 lên F Do định lý ánh xạ ẩn tồn tại tập mở A E1 , x10  A Tập mở B E2 , x20  B, A  B  D ( đó A  B   x1  x2 / x1  A, x2  B ) và ánh xạ g : A  B khả vi liên tục thỏa mãn g  x10   x20 , H  x1 , g  x1    0F với mọi x1  A Giả sử f đạt cực tiểu địa phương với ràng buộc H  x   F tại x0 Nếu tồn tại h  E1  H '  x0  h   0F  mà f '  x0  h   Xem hàm   t   f  x0  th  với t  cho x10  th  A Ta có  khả vi liên tục,  '    f '  x0  h   Vậy tồn tại t0 , t0   cho   t0      hay f  x0  t0 h   f  x0  Do x10  t0 h  A nên H  x10  t0h, g  x10  t0h   hay x0  t0 h  C Điều này mâu thuẫn với sự kiện f đạt cực tiểu địa phương tại x0 Mệnh đề được chứng minh Định nghĩa 2.2.5 Cho E , F là không gian Banach, T : E  F tuyến tính liên tục Gọi E  , F  là không gian đối ngẫu của E , F theo thứ tự Xét ánh xạ liên hợp T  : F   E  định bởi T   y   y T với mọi y  F  56 Mệnh đề 2.2.3 i.) Nếu T : E  F là đẳng cấu T  là đẳng cấu và T    T 1  1  ii.) Giả sử ánh xạ T : E  F tuyến tính liên tục và song ánh và f  E  thỏa mãn: f  x   với mọi x  ker T Khi đó tồn tại y  T  cho T   y   f Chứng minh: i.) Ta có:  T  T 1   x   xT 1T  x với mọi x  E và  T  T 1   y   yT 1T  y , y  E  Vậy: T 1   T    1 ii.) Đặt E1  ker T E1 là khơng gian đóng Phân tích E thành tổng trực tiếp tô pô E  E1  E2 Khi đó mọi x  E , x  x1  x2 , ta có: T  x   T  x1  x2   T  x2  Xem T là ánh xạ từ E2 vào F T đẳng cấu Xét f  E  thỏa mãn f  x1   với mọi x1  E Khi đó, với x  E , x  x1  x2 f  x   f  x1  x2   f  x2  Vậy ta xem f  E2 Do T là đẳng cấu từ E2 vào F nên theo ( i ), T  là đẳng cấu từ F  lên E2 Vậy tồn tại y  E  cho T   y   f Định lý 2.2.3 (Nhân tử Lagrange) Cho E , F là không gian Banach, D là tập mở E cho f : D  R và H : D  F khả vi liên tục Giả sử f đạt cực trị địa phương với ràng buộc H  x   0F tại x0 Khi đó tồn tại z0  F  cho: 57 f '  x0   z0 H '  x0   0E Vậy x0 là điểm dừng của phiếm hàm L  x   f  x   z0 H  x  Phần từ z0  F  định lý 4.11 được gọi là nhân tử Lagrange của bài toán cực trị địa phương của f với ràng buộc H  x   F Chứng minh: Do mệnh đề 2.2 ta có f '  x0  h   với mọi h  ker H '  x0  Áp dụng mệnh đề 2.2 ii.) tờn tại z0  F  cho: f '  x0     H '  x0     z0  hay f '  x0   z0 H '  x0   0E  2.3 Bài toán biến phân 2.3.1 Trường hợp mợt biến Phương trình Euler Cho Rn với tích vơ hướng ,  thơng thường và  là chuẩn Eudide Đặt E  C1  a, b , R n  là không gian Banach các ánh xạ từ  a, b  vào Rn , có đạo hàm liên tục với chuẩn y  max  y  x   y'  x  , x a, b Cho f :  a, b   R n  R n  R có đạo hàm liên tục Xét phiếm hàm j : E  R định bởi: b j  y    f  x, y  x  , y '  x  dx , y  E 1  a Với  ,   Rn cho trước, xét cực trị địa phương của j với y thỏa mãn: y  a    , y b    Đặt M   y  E , y  a    , y  b     M là đa tạp tuyến tính đóng và M   y  E, y  a   y  b   0Rn  là không gian Banach song song với M Mệnh đề 2.3.1 Nếu hàm f :  a, b   R n  R n  R có đạo hàm liên tục phiếm hàm b j  y    f  x, y  x  , y '  x  dx a khả vi liên tục và với y  M , h  M thì: 58 b j '  y  h     f y  x, y  x  , y '  x   , h  x   f y'  x, y  x  , y '  x   , h '  x  dx   a Lưu ý: Do f là hàm theo ba biến f  x, y, y '  , x   a, b  , y, y '  R n , f y , f y là đạo hàm ' riêng của f y  x, y, y '  là một vectơ y, y ' theo thứ tự Đạo hàm riêng f theo Rn  f f f  ' f y  x, y , y '    , , ,   x, y, y  y   y1 , , yn   y  y  y n   Trong đó h :  a, b   R n , h  x    h1  x  , h2  x  , , hn  x   và h'  x    h1'  x  , h2'  x  , , hn'  x   Dưới dấu tích phân ở vế phải f y , h , f y'' h là tích vơ hướng Chứng minh: f y'  x, y  x    h  x  , y '  x    h '  x    f y'  x, y  x  , y '  x   , h '  x  Áp dụng định lý giá trị trung bình, tồn tại    0,1 , (  phụ thuộc x   a, b  và h  M ) cho: b j  y  h   y  y     f y  x, y  x  , y '  x   , h  x   f y'  x, y  x  , y '  x   , h '  x  dx   a b    f y  x, y  x    h  x  , y '  x    h '  x    f y  x, y  x  , y '  x   , h  x  dx   a b    f y'  x, y  x    h  x  , y '  x    h'  x    f y'  x, y  x  , y '  x   , h '  x  dx   a ( Do f  x, y  h, y '  h'   f  x, y, y '   f y  x, y   h, y '   h '  , h  f y'  x, y   h, y '   h '  , h ' ) Do f y , f y liên tục đều  a, b   y 1, y  1 ' x   a, b  2n nên với   và thì: f y  x, y   h, y '  x    h'   f y  x, y, y '    b  a  , 59 f y'  x, y   h, y '   h'   f y'  x, y, y '    b  a  Suy ra, với h  M , h   thì:  j  y  h   y  y     f y  x, y  x  , y '  x   , h  x   f y'  x, y  x  , y '  x   , h '  x  dx  h   a b b   f  x, y  x  , y  x   , h  x   f  x, y  x  , y  x   , h  x dx là ánh Ánh xạ A : h ' ' ' y' y a xạ tuyến tính liên tục từ M vào R Vậy j khả vi tại y và j '  y   A b  b Ta có: J '  y    l  a  max   f y  x, y  x  , y '  x   dx,  f y  x, y  x  , y '  x   dx  và ' a  a f y , f y liên tục nên J ' liên tục ' Mệnh đề 2.3.2 b Giả sử  , :  a, b   R n liên tục và     x  , h  x     x  , h'  x  dx  với a mọi h  M Khi đó  có đạo hàm liên tục và  '  x     x  , với mọi x   a, b  Chứng minh: x Đặt g  x      t dt  c , với c  R n là vectơ hằng được xác định sau Trong a đó,   t   1  t  , 2  t  , , n  t   x x x  a a a     t dt    1  t dt , ,  n  t dt  Khi đó g '  x     x  Dùng công thức tích phân từng phần, ta được: b    x  , h  x  dx  g  x  , h  x  a Do h  M nên g  x  , h  x  b b    g  x  , h '  x  dx a a b a 0 Suy 60 b b a a ra:     x  , h  x     x  , h'  x  dx     x   g  x  , h '  x  dx, h  M x Đặt h  x      t   g  t  dt h  a   R , h'  x     x   g  x  n a b Chọn vectơ hằng c  R n cho: h  b      x   g  x  dx Khi đó h  M và: a b b a a '     x  , h  x     x  , h  x  dx     x   g  x  dx  Vậy   x   g  x  , x   a, b  hay  '  x     x  , x   a, b  Định lý 2.3.1 ( phương trình Euler ) Cho f :  a, b   R n  R n  R có đạo hàm riêng bậc hai liên tục Cho phiếm hàm J và đa tạp tuyến tính M xác định Nếu J đạt cực trị địa phương tại y  M y thỏa mãn phương trình Euler: f y  x, y , y '   d f y '  x, y , y '   R n dx Chứng minh Áp dụng định lý 2.2.1 và mệnh đề 2.2.1, ta có J '  y  h   0, h  M , hay b   f  x, y  x  , y  x   , h  x  ' y a  f y'  x, y  x  , y '  x   , h  x   dx,  với mọi h  M  Do mệnh đề 2.3.2, ta suy ra: f y  x, y , y '   d f y '  x, y , y '   R n dx x   a , b  Ghi chú Nếu nhân vô hướng hai vế với y '  R và cộng f x vào hai vế, ta có dạng n khác của phương trình Euler: d  f  y ' , f y'   f x   dx 61 Ví dụ 1: Trong mặt phẳng đứng, cho hai điểm A  0,  , B  b,   ,   Tìm đường cong trơn  C  , y  y  x  nối A, B cho một chất điểm trượt theo đường cong  C  dưới tác dụng của trọng lực sẽ từ A đến B thời gian ngắn nhất mv  mgh Tại điểm  x, y  vận Do công thức động bằng năng: tốc của chất điểm là v  ds  gy với g là gia tốc trọng lực Vậy dt ds   y '2  dt    dx v  gy    y '2  Vậy ta cần tìm cực tiểu của phiếm hàm J  y      dx ( Bằng thời gy  a b gian chất điểm trượt từ A đến B )   y '2  Đặt M   y  C1  a, b , y    0, y  b     Khi đó: f  x, y, y '     có đạo  gy  hàm riêng cấp hai liên tục  y   , phương trình Euler cho phiếm hàm J là   d f  y ' f y'  f x  nên f  y ' f y'  c , c là hằng số dx Hay   y '2  y '2  c    gy   gy 1  y '2    Vậy y '2  Đặt y  ta có: c1  y y với c1  gc (3) c1 c 1  cos u  y '   u ' sin u  ( u là hàm theo x ).Thay vào 2 c1 1  cos u  du   dx  3 62 c Vậy: x   u sin u  c2 , y  c1 1  cos u  , u là tham số Thay điều kiện y    0, y  b    ta định được hai hằng số c1 , c2 Vậy đường cong phải tìm là đường Xycloit Các trường hợp đặc biết i.) Hàm f không phụ thuộc vào y : f  x, y, y '   f  x, y '  Khi đó f y  và phương trình Euler trở thành d f ' 0 dx y Vậy f y  c ( hằng số ) ' Ví dụ Một chất điểm chuyển động mặt phẳng từ A 1,  đến B  2,1 với vận tớc v  x Tìm đường cong để thời gian chuyển động bé nhất Gọi s là hoành độ cong của chất điểm đường cong Ta có:  y '2  y '2 ds v  dx  x , nên dt  dx dt dt x Phương trình Euler là f y  ' Suy ra: y  c2  c12  x y' x  y '2  ( hằng số ) hay: y '   x c1 c1  x hay  y  c2   x  c12 Thay y 1  , y    , ta được: c12  5, c2  Vậy đường cong phải tìm là y    x , x  1, 2 2i.) Hàm f không phụ thuộc vào x : f  x, y, y '   f  y, y '  Nhân phương trình Euler hay fy  d d f ' 0 f y '  cho y ' ta có y ' f y  y ' dx y dx d   y ' f y  y '' f y   y '' f y  y ' f y'   dx   Do f không phụ thuộc x nên d f  y ' f y  y '' f y' Ngoài ta có: dx 63   d ' d y f y'  y '' f y'  y ' f' dx dx y Do đó phương trình Euler trở thành:   d f  y ' f y'  hay f  y ' f y'  c dx ( hằng số ) Ví dụ Trong các đường cong nối hai điểm  x1 , y1  và  x2 , y2  , tìm đường cong  C  cho quay quanh trục x ,  C  sinh mặt cong có diện tích bé nhất Diện tích mặt trịn xoay sinh bởi y  y  x  , x   x1 , x2  quay quanh trục x cho bởi: x2 I  y   2  y  y '2 dx x1 Phương trình Euler là: y  y '2  y y '2 1 y '2  c1 hay y  c1  y '2  y y Tích phân ta được : n      x  c2 Hay y  c1ch  x  c2  c1  c1  Hằng số c1 , c2 xác định bởi hệ phương trình: y1  c1ch  x  c2  , y2  c1ch  x  c2  Hệ có thể có một, hai, hoặc vô nghiệm 3i.) Hàm không phụ thuộc vào y ' : f  x, y, y '   f  x, y  Phương trình Euler trở thành : f y  Đây khơng là phương trình vi phân Ví dụ Tìm cực trị của phiếm hàm J  x     x  y  dx y    0, y 1  Phương trình f y  có nghiệm y  x thỏa mãn điều kiện y    0, y 1  Nếu điều kiện biên khơng là , J khơng đạt cực trị địa phương 64 4i.) Cho p, p' , q, f liên tục  a, b  , p  x   0, q  x   Nếu là điểm dừng của phiếm hàm b J  y     p  x  y '2  q  x  y  fy  x  dx , với điều kiện y  a    , y  b    J đạt a cực tiểu tại y Chứng minh Gọi y  y  x  là điểm dừng của J Phương trình Euler trở thành: d py '   qy  f   dx a Với h  M , ta có: b 2 J  J  y  h   J  y     p  y '  h '   q  y  h    y  h  f dx   a b b b    py  qy  yf dx  2  py h  qyh  fh dx    ph '2  qh dx '2 a ' ' a a Tích phân từng phần ta có: b b b d d ' ' ' b ' py h dx  py h  h py dx   h  py '  dx   a   a a dx dx a d  J  2  qy   py '   dx a  b vào J :  f  h dx    qh'2  qh dx  a b b Thế  a  vào: J    qh'2  qh dx Do p  0, q  nên J  a Vậy J đạt cực tiểu tại y 2.3.2 Trường hợp hàm nhiều biến Phương trình Euler – Lagrange Cho D là tập đóng Jordan đo được Rk , đặt E  C1  D, Rn  là không gian các ánh xạ khả vi liên tục từ D vào Rn Với y  E , y   y1 , y2 , , yn   y  x   y '  x   L  R k , R n  có ma trận biểu diễn là y '  x    i  , i  1, 2, , n, j  1, 2, , k  x j  65 Chuẩn E định bởi y  max  y  x   y'  x  , x  D Cho f : D  Rn  Rnk  R là hàm khả vi liên tục.Với y  E xét phiếm hàm J  y    f  x, y  x  , y '  x  dx ( tích phân bợi R k ) D Cho  : D  Rn , cho V là lân cận của biên D , đặt M   y  E , y  x     x  , x  D và M   y  E , y  x   0, x  V  M là đa tạp tuyến tính và M là khơng gian song song với M Do f  x, y, y '  là hàm theo ba biến x  Rk , y  Rn , y '  Rnk nên các đạo hàm riêng của f theo y, y ' là:  f f f  f y  x, y, y '   L  R n , R  , f y'  x, y, y '    ' , ' , , '   L  R nk , R  với yn   y1 y2 f  L  R n , R  , i  1, 2, , n ' yi Với h : D  R n , h  M và x  D , ta có: h'  x    h1'  x  , h2'  x  , , hn'  x    L  R k , R n  và hi'  L  R k , R  , i  1, 2, , n Ta có: f y  x, y  x  , y '  x    h  x     n i 1 f x, y  x  , y '  x   hi  x   f y  x, y  x  , y '  x   , h  x   yi f y '  x, y  x  , y '  x    h '  x     n i 1 f x, y  x  , y '  x   hi'  x  '  yi Mệnh đề 2.3.3 Cho f : D  Rn  Rnk  R là hàm khả vi liên tục Khi đó phiếm hàm J  y    f  x, y  x  , y '  x  dx khả vi liên tục và với y  M , h  M thì: D J '  y  h     f y  x, y  x  , y '  x   , h  x   f y'  x, y  x  , y '  x   , h '  x  dx   D 66 Chứng minh: Với x  D cố định và y  M , h  M ta có: f '  x, y  x  , y'  x   h, h'   f y  x, y  x  , y '  x   , h  x   f y  x, y  x  , y '  x    h  x   ' Từ định lý giá trị trung bình, ta có: f  x, y  x   h  x  , y '  x   h'  x    f  x, y  x  , y '  x    f '  x, y  x  , y '  x    h  x  , h'  x    h sup  f  x, z, z   f  x, y, y  , z   y, y  h , ' ' ' ' đó:  y, y  h   y  th, t  0,1  M Với y  E cố định, ánh xạ đạo hàm f ' liên tục đều D  B1  0, r   B2  0, r  với r  y  , nên với   cho trước, tồn tại   cho với mọi h  M , h   ta có: J '  y  h   J  h    f '  x, y  x  , y '  x    h  x  , h '  x   dx  h  s  D  , s  D  là diện tích D của D Ánh xạ h  f  x, y  x  , y  x    h  x  , h  x   dx ' ' ' là ánh xạ tuyến tính liên tục D Vậy J khả vi tại y và với h  M : J '  y  h     f y  x, y  x  , y '  x   , h  x   f y'  x, y  x  , y '  x   ,  h '  x    dx   D Sự kiện đạo hàm J ' liên tục suy từ tính liên tục của các đạo hàm riêng f y , f y' Chú ý Ta sẽ tìm biểu thức đầy đủ của J '  y  h   yi  x    , i  1, 2, , n, j  1, 2, , k , ta ký hiệu  x j  Ta có: y '  x    y1'  x  , y2'  x  , , yn'  x    yij'   f f f yi Khi đó: f yi'  x, y, y '    ' , ' , , ' yik x j  yi1 yi2   nên  67 h f x, y , y '   i  x  '  x j j 1 yij ' f y'  x, y, y '  , hi'  x    k Suy : n k  f  h f J '  y  h       x, y, y '  hi  x    '  x, y, y '  i  x  dx x j i 1 D  j 1 yij   yi Định lý 2.3.2 ( Phương trình Euler – Lagrange ) Cho f : D  Rn  Rnk  R là hàm khả vi liên tục và đạo hàm riêng f y'  x, y, y '  khả vi liên tục theo biến x Khi đó J đạt cực trị địa phương M tại y  M y thỏa mãn phương trình Euler – Lagrange: k f  ' x , y , y     yi j 1 x j  f  '  '  x, y, y   0  yij  i  1, 2, , n Chứng minh Với j  1, 2, , k  ,   f    f   hi   x j  yij'  x j  yij'     j 1 x j k J '  y  h     D  f hi  hi  nên:  yij' x j  n  k  f  f   hi  dx        y '  y j 1 x j D i 1   ij    f   y '  ij    hi  dx   Đặt D j là hình chiếu của D không gian thẳng góc với vec tơ e j   0, , 0,1, 0, ,   R k và P, Q là giao điểm của D và đường thẳng song song với e j , áp dụng cơng thức tích phân lặp ta có:  Do  x j P Q  f  Q f  hi  dx j  hi  ( hi  P   hi  Q   )  y '  yij' P  ij  Vậy n  k f  J '  y  h       y x D i 1   i j 1 j  f   y '  ij    hi  dx, h  M   68 hay J  y  yi  k f   f   yi j 1 xi  yij '      Do J đặt cực đại địa phương M tại y nên J  y  0 yi Vậy k f   f     0, i  1, 2, , n  yi j 1 x j  yij '    Định nghĩa Phần tử y  M thỏa mãn phương trình Euler hoặc phương Euler – Lagrange được gọi là điểm dừng của phiếm hàm J hay J '  y  h   với mọi h  M0 Ví dụ Khảo sát sự rung của sợi dây, chiều dài l , hai đầu x  0, x  cố định Giả sử sợi dây rung mặt phẳng và mọi điểm đều chuyển đợng thẳng góc với trục x Phương trình chuyển động là u  u  x, t  , với t là biến thời gian  thỏa mãn: u  0, t   u 1, t   Động của dây là T   ut'2  x, t  dx , đó  là mật độ khối lượng của sợi dây,  là hằng số Thế tại t của dây là k u1   u x'2  x, t  dx , với k là hệ số căng của dây, k là hằng số Công của ngoại lực tác động lên sợi dây, tại t là u2   ufdx với f  x, t  là ngoại lực Ta khảo sát diễn tiến khoảng thời gian t0 , t1  Xét cực tiểu của phiếm hàm 69 k  J  u      ut'2  ux'2  uf 2 t0  t  dxdt  Đây là trường hợp điều kiện biên: u  x, t   với  x, t     0,1  t0 , t1  Phiếm hàm J đạt cực tiểu tại hàm u   x, t  thỏa mãn phương trình Euler – Lagrange:  t     ut'    ku x'    t t  2u  u Đặt a , ta được phương trình:  a  f  x, t   t x k Đây là phương trình rung của dây Ví dụ Phương trình rung của màn g mỏng: Xem màn X mỏng G mặt phẳng xy , có biên G cố định Giả sử mọi điểm của màn X đều chuyển đợng thẳng góc với vị trí cân bằng Đặt u  u  x, y , t  là độ lệch của điểm  x, y  màn X tại thời điểm t và f  x, y, t  là ngoại lực một đơn vị khới lượng, thẳng góc với vị trí cân bằng Cho  là mật độ khối lượng và k là độ dãn,  và k là hằng số Động của màn ở thời điểm t cho bởi: T    ut'2 dxdy G Công tiêu hao sự biến dạng của màn là: U1   k  ux'2  u '2y  dxdy G Chuyển động kéo dài khoảng thời gian t0 , t1  Xét cực trị của phiếm hàm k   J  u      ut'2   ux'2  u '2y   uf  dxdydt 2  t0 G  t1 Điều kiện biên là: u  x, y, t   với  x, y   G, t  t0 , t  t1 Nếu J đạt cực trị tại hàm u  u  x, y , t  thỏa mãn phương trình Euler – Lagrange: k  2u  2u  2 u  a   f  x, y, t  , với a   2  t y    x 70 Ví dụ Xét phiếm hàm:   z    z   J  z       zt x , y dxdy      x   y    G   6 Hàm z  z  x, y  thỏa mãn điều kiện biên: z  x, y     x, y  với  x , y   G 7 Nếu J đạt cực trị địa phương tại z  z  x, y  z thỏa mãn phương trình Poisson: 2 z 2 z   f  x, y  x2 y 8 Định lý 2.3.3 Giả sử f : G  R,  : G  R liên tục Khi đó: hàm z  z  x, y  là nghiệm của bài toán        và chỉ phiếm hàm   với điều kiện   đạt cực tiểu tại z  z  x, y  Chứng minh: Nếu phiếm hàm J với điền kiện   đạt cực tiểu tại z  z  x, y  z thỏa mãn        Ta chứng minh chiều ngược lại Giả sử z  z0  x, y  là nghiệm của bài toán        Với h  x, y  khả vi liên tục thỏa mãn h  x, y   với  x, y   G , ta có: J  J  z0  h   J  z0  2  z h 2  z h 2   z0   z0  0          f  z0  h      fz dxdy     x  x  y  y  x  y           G   h 2  h 2   z0 h z0 h   2    f  h  dxdy        dxdy  I1  I ,  x  x  y  y  G  G   x   y   71  h 2  h 2  đó I        dxdy  h  x, y  không là hằng số G   x   y    z h z h  I1        f  h dxdy x x y y  G   z h  2 z 2 z   z z h 2 z      h 20   h 20 dxdy    20  20  f h.dxdy x x x y y y  x y  G  G  Do z0  x, y  thỏa mãn   nên:    z    z   I1     h    h  dxdy x  x  y  y   G  Áp dụng định lý Green và sự kiện h  x, y   với  x, y   G , ta có: I1  z0 z0  h x dx  h x dy  G Suy ra: J  Vậy J đạt cực tiểu tại z  z0  x, y  72 KẾT ḶN Ḷn văn đã trình bày tương đới chi tiết về phép tính vi phân khơng gian Banach và ứng dụng vào bài toán tìm cực trị tổng quát vào bài toán biến phân Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho các học viên cao học học mơn phép tính vi phân không gian Banach Qua việc thực hiện luận văn, học viên đã hiểu sâu các kiến thức đã học chương trình Thạc sĩ, biết vận dụng chúng học tập và nghiên cứu các lĩnh vực mới và làm quen với Nghiên cứu khoa học 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO S.Lang, snalysis II, Addison - Wesley, Massachusetts M Spivak, Giải tích tốn học đa tạp, Nxb Đại học và Trung học chuyên nghiệp Hoàng Tụy(2003), Hàm thực Giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, Lê Hoàn Hóa, Giáo trình phép tính vi phân khơng gian Banach (Lưu hành nội bộ)  ... biến phân, Luận văn sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho các sinh vi? ?n Đại học và học vi? ?n cao học Khi học bợ mơn phép tính vi phân không gian hữu hạn chiều và không gian Banach. .. ánh xạ tác động các không gian Banach và rộng là các không gian tô pô tuyến tính Đến đã hình thành mợt lí thuyết hoàn chỉnh về phép tính vi phân khơng gian Banach Lí thuyết này tìm... đề bản nhất của phép tính vi phân không gian Banach và trường hợp riêng của nó là các không gian các khái niệm đạo hàm theo Gateaux, Frechet, các qui tắc tính đạo hàm, cơng