Nửa nhóm liên tục đều trong không gian Banach xác suất

Bài viết giới thiệu khái niệm nửa nhóm liên tục đều trong không gian Banach xác suất và chứng minh tính chất đặc trưng của toán tử sinh của nửa nhóm liên tục đều.

TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 NỬA NHĨM LIÊN TỤC ĐỀU TRONGKHƠNG GIAN BANACH XÁC SUẤT Lê Thị Oanh1 TÓM TẮT Trong báo này, chúng tơi xin giới thiệu khái niệm nửa nhóm liên tục không gian Banach xác suất chứng minh tính chất đặc trưng tốn tử sinh nửa nhóm liên tục Từ khóa: Khơng gian Banach xác suất, tốn tử ngẫu nhiên, nửa nhóm liên tục đều, toán tử sinh ĐẶT VẤN ĐỀ Lý thuyết tốn tử ngẫu nhiên khơng mở rộng ngẫu nhiên lý thuyết toán tử tất định mà cịn có nhiều áp dụng quan trọng lĩnh vực khác nhƣ phƣơng trình tiến hóa ngẫu nhiên, điểm bất động… lý thuyết toán tử ngẫu nhiên đƣợc nghiên cứu theo nhiều hƣớng khác [1-5] Gần tài liệu số [1-4,6] tác giả đƣa khái niệm nửa nhóm ngẫu nhiên liên tục mạnh không gian Banach xác suất chứng minh số tính chất Trong báo này, chúng tơi giới thiệu khái niệm nửa nhóm liên tục không gian Banach xác suất chứng minh tính chất đặc trƣng NỘI DUNG 2.1 Tốn tử ngẫu nhiên khơng gian Banach xác suất Giả sử  , F,  không gian xác suất đầy đủ, ký hiệu không gian biến ngẫu nhiên thực Trong báo này, hội tụ hội tụ theo xác suất Nếu dãy ∈ hội tụ tới ta viết Với ∈ thỏa mãn hầu chắn ta viết Ký hiệu { ∈ } ‖ ‖ đƣợc gọi không gian định chuẩn xác Định nghĩa [6] Một cặp suất modul trái đại số ‖ ‖ ánh xạ từ đến cho tính chất sau thỏa mãn ‖ ‖ với phần tử không ‖ ‖ ‖+‖ ‖ với ‖ ∈ ‖ ‖ với ∈ ‖ ‖ ∈ ‖ ‖ Ánh xạ gọi chuẩn ngẫu nhiên X Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức 127 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Định nghĩa Giả sử không gian định chuẩn xác suất ‖ hội tụ đến Một dãy  hội tụ tới ∈ ‖ ‖ ‖ Một dãy với  dãy Cauchy đƣợc gọi không gian Banach xác suất dãy Cauchy  hội tụ Định nghĩa [4] Giả sử không gian định chuẩn xác suất Ánh xạ  : D     X đƣợc gọi toán tử ngẫu nhiên miền xác định (  ) không gian định chuẩn xác suất với , ta có:  1u1  2u2   , ∈ (  ) ∈  Một toán tử ngẫu nhiên  : X  X đƣợc gọi toán tử ngẫu nhiên Một toán tử ngẫu nhiên  : D     X đƣợc gọi chặn theo xác suất ∈ {‖  ‖ } { ∈ ( ) ‖ ‖ với } hình cầu đơn vị (  ) Một toán tử ngẫu nhiên  : D     X đƣợc gọi bị chặn hầu chắn (viết tắt: a.s) tồn biến ngẫu nhiên ∈ cho u ‖ ‖ với ∈ (  ) Một toán tử ngẫu nhiên  : D     X đƣợc gọi đóng dãy  un   D    cho lim un  u , lim un  g , g  u n  n   : D   X Một toán tử ngẫu nhiên đƣợc gọi liên tục dãy  un   D    cho lim u  u  D    , lim u  u n n n  n  Định lý [4] Giả sử X không gian Banach xác suât giả sử ta có  : D   X toán tử ngẫu nhiên Các mệnh đề sau tƣơng đƣơng:  bị chặn a.s (i)  bị chặn theo xác suất (ii)  liên tục (iii) 2.2 Nửa nhóm liên tục toán tử ngẫu nhiên Định nghĩa [4] Cho X không gian Banach xác suất T  t t 0, họ  tốn tử ngẫu nhiên khơng gian Banach xác suất X Khi T  t  đƣợc gọi nửa nhóm X nếu: 128 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 T  0  I T  s  t   T  s  T  t  t , s  Nửa nhóm T  t  đƣợc gọi liên tục mạnh u  X ánh xạ: t  T t  u từ  0,   vào X liên tục Nửa nhóm T  t t 0, đƣợc gọi bị chặn  L  biến ngẫu nhiên    L  L0    phụ thuộc L cho T  t  u   L u , u  X Định nghĩa [3] Cho T  t  nửa nhóm liên tục mạnh không gian X Ta định nghĩa: T t  u  u   D  A  u  X :  lim  t 0 t   Au  lim t 0 T t  u  u t Thì ánh xạ A : D  A  X đƣợc gọi toán tử sinh nửa nhóm T  t  Định nghĩa Một nửa nhóm T  t t 0 đƣợc gọi nửa nhóm liên tục nếu: lim T  t  h   T  t   t  t 0 Nhận xét: Một nửa nhóm liên tục nửa nhóm liên tục mạnh Định lý Nửa nhóm liên tục lim T  t   I  t 0 Chứng minh Điều kiện cần Cho T  t  nửa nhóm liên tục đều, hiển nhiên ta có: lim T  t   I  t 0 Điều kiện đủ Cho T  t  nửa nhóm thỏa mãn lim T  t   I  ta t 0 T  t  nửa nhóm liên tục Thật vậy, với h  ta có: P T  t  h   T  t   T  t  T  h   I   T t  T  h   I  t T  h   I  0 P T  t  h   T  t   T t  h   I  T  h    T t  h  T  h   I  t T  h   I  0 Ví dụ: Cho A tốn tử tuyến tính liên tục khơng gian Banach xác suất V  Khi T  t   e :  tA n 0  tA n n! nửa nhóm liên tục  Chứng minh:1) Chuỗi  k 0 t k Ak k! chuỗi dƣơng hội tụ theo dấu hiệu D’Alembert suy etA tồn 129 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 2) T  t  tốn tử tuyến tính, bị chặn X Ta chứng minh T  t  s   T  t  T  s  hay et  s  A  etA esA Thật vậy:  t n An  s m Am =  n 0 n ! m0 m! etA e sA     t n An s m Am t n An s k n Ak n   n!m!   n  k ! n 0 k 0 n ! m,n 0  ( k  m  n, m  0,0  k  n )   t  s  An  et  s  A  n n !t n k An k s k Ak    n ! n 0 k 0  n  k  ! k ! n! n 0 n  T  t  bị chặn vì: T  t    n 0 t n An  etA n! 3) T  t  nửa nhóm T  t  tốn tử tuyến tính T    e0 A  I 4) T  t  liên tục t0  0,   , tức là: lim etA  et0 A t t0 Thật vậy: etA  et0 A  e t t t0  A  et0 A  et0 A e t t0  A   et0 A  et0 A e t t0  A   I  et0 A e t t0  A I Đặt h  t  t0  Ta chứng minh lim ehA  I h 0  k k  h A hk Ak h  e Thật vậy: e  I   k! k 1 k ! k 1 hA A 1 Định lý T  t t 0 đƣợc gọi nửa nhóm liên tục Khi đó, M  L    ,   L   cho : T  t   M et Chứng minh: Chọn M  Max 1,  L  nên M  L    , M  , T t   M , t  0, L  Bằng phƣơng pháp quy nạp, ta có: T  nt   M n , t  0, L , n  N Cố định t  , tồn n  N cho nT  t   n  1 T Khi đó: ln M nT ln M  t   n 1 n ln M T  L0    T  t   T   n  1  M  M e  M e  M et với    n 1  T  Định lý Toán tử A toán tử sinh nửa nhóm tốn tử liên tục không gian Banach xác suất X A toán tử bị chặn Chứng minh: Điều kiện đủ, A tốn tử bị chặn A toán tử sinh  t n An nửa nhóm tốn tử liên tục Xét nửa nhóm T  t     etA n ! n 0 Ta chứng minh T  t  nửa nhóm liên tục 130 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 Xét T  x x  x t T  x x  x  t   t k 0 tk A 2 k   tA x t A2 x A x tA2 x t A3 x3  Ax       A x      A x t  1! 2! 1! 2! 3!  A2 x tA3 x tA2 x t A3 x    t  Ax     t 2! 3! 2! 3! x   k !   tM x  0(t  0) ( M   k 0 tk A t k A2 k x  k 0   k !  2 k   k ! ) chuỗi dƣơng hội tụ Điều kiện cần, T  t  nửa nhóm liên tục Khi tốn tử sinh toán tử bị chặn t t t 1 I   T  s  ds    I  T  s   ds   I  T  s  ds t0 t0 t0 A Do tính liên tục lim I  T  s    t0 cho: I  T  s   M  1, s  0, t0  s 0 t0   I  T  s  ds  M  1, t  0, t0  t0 1  1t     I   T  s  ds  , t   0, t0  t0   1  t0  Ta chứng minh: A  T  t0   I    T  s  ds   l  X    0  t t t  1 Thật vậy, vì: A   T  h   I   T  s ds    T  s  h  ds   T  s  ds  h h0 0  t s T h   t h  1    T  s  ds   T  s  ds     T  s  ds   T  s  ds  h h 0  h t  t h h s h  1  1   T  s  ds   T  s  ds     T  t  s  ds   T  s  ds  h t 0  h0  1  h h h  1 s  T s ds  T s ds  T t  s ds  T  s  ds          t 0   h0  h h h  1   T  t   T  s  ds   T  s  ds    T  s  ds T  t   I  h 0  h0 t h 1 Lấy giới hạn hai vế: lim T  h   I   T  s  ds  lim  T  s  ds T  t   I  h 0 h x  h 0 t h T  A T  s  ds  I T  t   I   T  t   I 1 T  A  T  t   T  t   I    T  s  ds   l  X  0  131 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 51.2020 KẾT LUẬN Trong báo này, chúng tơi trình bày khái niệm nửa nhóm liên tục khơng gian Banach xác suất chứng minh tính chất đặc trƣng tốn tử sinh nửa nhóm liên tục gần nhóm chúng tơi đƣa khái niệm nửa nhóm ngẫu nhiên liên tục mạnh không gian Banach xác suất chứng minh số tính chất TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] D.H Thang and T.N Anh (2010), On random equations and applications to random point theorems, Random Oper Stochastic Equations 18, pp 199-212 [2] D.H Thang, T.C Son (2016), On the convergence of the product of independent random operators, Stochas.Int J.Prob, Stochas Process 88,927-945 [3] D.H Thang, T.C Son N Thinh (2019), Semigroups of continuous module Homomorphisms on complex complete random normed modules, Lithuanian Mathematical Journal, 59(2): 229 - 250 [4] D.H Thang, N Thinh, Tr.X Quy (2016), Abstract random linear operators on probabilistic unitary spaces, J.Korean Math Soc 53,2 347-362 [5] T.X Guo (1996), Module homomorphisms on random normed modules, China Northeast Math J., 12 (1): 102-114 [6] D.H Thang (1987), Random Operator in Banach spaces, Probab Math Statist 8,155-157 UNIFORMLY CONTINUOUS SEMIGROUPS IN PROBABILITY BANACH SPACES Le Thi Oanh ABSTRACT In this paper, we introduce the notion of uniformly continuous semigroups in probability Banach spaces and prove the common properties of the generator operator of a uniformly continuous semigroup Keywords: Probability Banach spaces, random operators, uniformly continuous semigroup, generator operators * Ngày nộp bài:30/6/2020; Ngày gửi phản biện: 14/7/2020; Ngày duyệt đăng: 28/10/2020 * Bài báo kết nghiên cứu từ đề tài cấp sở mã số ĐT-2019-18 Trường Đại học Hồng Đức 132 ... theo xác suất (ii)  liên tục (iii) 2.2 Nửa nhóm liên tục toán tử ngẫu nhiên Định nghĩa [4] Cho X không gian Banach xác suất T  t t 0, họ  toán tử ngẫu nhiên khơng gian Banach xác suất. .. nghĩa Một nửa nhóm T  t t 0 đƣợc gọi nửa nhóm liên tục nếu: lim T  t  h   T  t   t  t 0 Nhận xét: Một nửa nhóm liên tục nửa nhóm liên tục mạnh Định lý Nửa nhóm liên tục lim T ... KẾT LUẬN Trong báo này, trình bày khái niệm nửa nhóm liên tục khơng gian Banach xác suất chứng minh tính chất đặc trƣng tốn tử sinh nửa nhóm liên tục gần nhóm chúng tơi đƣa khái niệm nửa nhóm ngẫu