Đặc trưng đại số và vấn đề chính qui hoá toán tử kì dị với dịch chuyển và liên hợp phức trong không gian banach

McP dàu Tron^ l y t h u y ^ t va ap dying, r a t nnièu b ? i t o a n cuo V^t l y t o a n , cuo co' hỗc va kv t h u ^ t du'ỗ'c dõn ve C3C phiPc^n^^ t r l n h t i c h phân ky dj vd'i dj-ch chuyén m [5] • Lc»p c ' c phu'o'ns t r l r h nhiT v ^ , d l n naj diPỗ'c n(^hien cim tu'o'n-:: d é i ho an chinh ve mgt d^nh t ỵ n h , Gy t b e l a da tlrn duằỗ^c c ' c t i u cbuan Noether va c h l se eu:: chuns f ^ Cac k é t qug t h w n : 0:^3 t r ê n nhû^n:^ phep b i e n d è i k i è u t u y é n t i n h '^ê &v?3 cac phiỵ'-^'rii^ t r i n h d? cho VG lo'p hỗ phu'o'nf;^ t r i n h co câu t r u c dc^n g i â n ho'n (khônc chu'a d}.ch c h u j ê n ) D\^'B t r ê n c ' c phTjPcm phap , ngy thu'ô'ng khôn^ t i m di:?ỗ'c t o a n tu' c h i n h quy d o i vo'i phu'o»ng t r i n h d i cho nỗt cgch hu'VL h i ỗ u ^ i vP^y, b a i t o a n c h ỵ n h qi::y hoa t o a n tu? t ỵ c h phân ky dj chu'a c'i.ch chuyén va l i e n hỗ^p phiợc t r o n ^ tru'o'ng :-ỗằp t o n g g u a t , dén vi>xi chJa d^j^ỗ'c :-^iai q u y ộ t U'.ỗt v i t r w n c hỗ*p r i e n ; ; r e d^ du'g»c x é t tronf^ C l l - C l ] Trons^ C163 da cho raỗt phiTo'ng phap c h m h quy -k^* v^ ^ « * *e^-è^ k i ê u Gèrlenan - Vela^a C l - T ỵ j t u y n h i ê n , m§t b i e n thu'c tu'o»ng minh cua t o a n tu: c h i n h quy vên chu'a dira r a '^An de chxn^ quy hoa v* bà:L t o a n xac àj.nh b i ê u thi'ï*c ciia t o a n tu' c h ỵ n h quy co -nÇt y ngạa l y t h u y ê t v? t b / c t i e n quan tri)nr^ Tru'o^c h e t , no cho phep t x n t i ê u chn Noether va chu'nỵ^ minh cac dj.nh l y Koether tifcn^ u'ng ve c h i s e , IMoâi r a , nho' c h m h cuy hoa raa t a co t h ê ^ i a i gl.n dun.^^ cac lo^) ph'fo'ti^ t r i n h chit'g dj-ch chuyờn va l i e n hỗ^ phit*c dgn^ tonp^ q u a t Tronj^ con^ t r i n h n y , chunr: t o i dg c h i nÇt l o g t cac phiPo'n£^ phap c h m h quy hoa khac d o i vd»i If^ t o a n tif t i c h phân ky dj chu'a dợ-ch chuyờn va l i e n hỗ^ phu'c t|io,r"^3n d i e u fciỗn Cgrleman ton^; q u a t , !T.:~;oài r a , da t i m du?ỗ)*c mỗt SO dgc trirn^; d^ji s S cua lo*p t o a n ttf kf? t r e n Tri.t*o'ng hỗ^p r i n ^ , da chu'ng minh du^c rSng mpi t o a n tu' nhu? v^y, d i u I s nhi?ng t o a n tir dgng d a i se t r ê n - - càc t i ê u chuêû Noether cuag uh\^ c h i so cui* lû>p t o a s t u chûa nhôm hûm h^n cac d i c h chuyêii va l i e n hng I I l nhàm t h i e t Igip CdC d|[c tnfug d^i se cua t o a n t u t u y e n t i r : h vc;i paàii tu' d a i s e Trong d o , dZ dUa k h a i iai^m J(Eo da thuc d^c tru»ag t\?a ahM d3 t h u c dgc tru'ag cua ma trgL& l^hb k h a i ^liêm bo dàc tnrni^ «êft t r ê * éSt ahung vành t u y é û t i a h g i a o hoaa ( d a i se g i a o hoan) da g i a i qujilt dutfc b a i t o a » c h i a h quy wà tia*! tuc^ng d^tfag Noether cua n h i l u lo»p t o a n t u % o i ?ra, trorig § c u n chuo»ng ^^^7 co^^ "^^ c|lp to'i t i ê u chuõa lợioether simh bụ^i mỗt di-iah t h u c cac o a a t u vo?i phàn t u d o i ỗiằp t o a g q u a t Mot v i triPc^ng hỗ^) r i n g da duỗằc chung t o i x e t dén tru^OJc t r o n g C l ' Toaa b§ chUo»i:g I I I dàah cho v i ^ c xây dtfag cac t i ê u chuân kh^j nghj.ch va xây dy'og t o a n t u c h m h quy d o i vo'i mỗt da thUc chua t o a a t u d a i se va hàu d^ii s o Gaa i l u u y r â û ^ , CiC b a i toafi lo;3i di^ duvc x é t troiag mỗt lOiiit c^c cụiit^ t r i n h cua Przworska - Holewicz 13 (xem fô] [7] va t r i c h dân trorig d o ) , oong dac diêm c h i n h t r o n g cac côiig t r l f î h kê t r ê n l da g i a t h i é t t i a h b a t b i e n cûa iiỗ 30 ( t r o a g da thUc) d o i viyi t o a t û d # i so da c h o d â y ; cac g i a t h i ộ t duỗ'c chung t o i t h a y bô'i nhirïig gxa t h i é t yeu ho»» (xem s , c h I I I ) va cujag nh^Ja dUv'c cac b i ê u thu-c ttfoPag miah cua t o a a t u c h i n h quy tài^ u TroJig chUo^ng IV, chu: g t o i dành cho v i ^ c ap dïiiig c j c k e t qua ishõn duỗ?c t r o a g c ' c chuo'ng I - I I I cho ahu^iag ^ toaffl tïff cy t h ê khac Ghvir-g t o i x i n t|im l i $ t kê dUQ^i dây ahur.g k e t qua dl^ t h u duỗ'c t r o n g chUo'ng jftay ma chu«g t o i xem l mo'i so vo'i nhûag k é t quij d^ nh^H % ^ - duỗ?c truoằc Cua •thièu t ' i c g l a -%uv (^^ cac ï^ao trỵ), 1) Doi vo'i moi t o a a t u t i c h phân k l dj vo'i di.ch c h u y i a v*d l + ^ ' h ' p ï p h u c , dốu tốjK tgii mỗt toaii t\V t i c h phâa ky dj ( t r ê n cuag m§t khơ»s g i a n Banach) tud'ng dUo'Bg vd'i jao ( t h e o nghia N o e t h e r ) Luu y r^i>* > tn d ụ i mỗt cua phuo'eg t r i n h ^ Nhên x e t rang I s nhỷng nghiỗm khc i.hau -cỷag, i " ^ - • Kiii cKort U t: 1^; \ i= - ' Ky higu ^.-, >v^ la bỗ n so ty ahiờa du tien sõp theo thû ty? tâag dan va già su : (Ti^^ h , (r(ô),6"a)>- iCLy^)) Êl mỗt h^va v i n i o cua €^- Diah nghia 1.3 : Biộa d o i (^ duỗ'c g ỗ i l d i c h chuy^u cûa t^ néu no thoa man cac d i e u ki|ỵ^ sau 1) ^ ^ j ) « J t l j p f,A,,- i n - 2) rcO = i Nhan xét ris*'', néu dinh nghia 6' ^(>C€ va Sijâ£khong giafi tB) Û*ûg vûi càc toàn tu L^, L/- ^ M 4lôC')' ( ) , ta xét càc phucng t r i n h tuyén t i n h sau dây : M I -r F VC?1 troag \ ^ v * t s.i (*1> *)ằ~) K ) ô ^ I " *'* / - 12 - lõti trõa M duỗằc gỗi la ma trâ.^ tuc^ag ûag sinh bûi toàa tû Irf^ oc toa tu L: duỗằc gỗi l nhỷng ton tu kem theo cua L Dinh ly 1.2 : PhUOằng trinh (1.3) giai du^c (co aghiỗm) IB va chi phuo'ng trinh (1.5) giai duỗằc *B^ Chung minh ( fi ^ Gia su phutfng trinh (1.3) giai dug^c va { mỗt aghiờm no cua (1.3) • Khi la yi Tù dây suy - L ỵft- A K"" ^i"^ ^ ^ i i ; v= .-ôi-.^x Vờy vộctoằ =(lfiôf>fliif^-, Q f ^ se l asWỗm Dieu chUng to phUỷ'ng t n a h (1.5) giai duỗ?c cỷa (1.5 Nguỗ'c lai, gi su ^^3 i^+o tiợ > ^Tv) 1^ aghiỗm cua phUo^ng trinh (1.5) Ta se chûng minh (1.3) co aghi|m (B Truccc hét, bâng càch kiên tra trg?c tiép, ta co thê chi rang càc véctc sau âê^ cung se aghi|m ^ cûa (1.5) : • - *A \\» Ui,' ^.%\M >-' ^> U.,i-;.,1 j[x lu, ,-a - 159 - i D^c trung dai so tiêu chn Noether cua mơt 80 tồn tû tich Phân ky di lâp thành d-^i se hûu han chieu Trong & naj ta se xột uỗt vi lo'p ton tỷ tich phâa ky di vûi nhêo Logarit vi nhân Bergman DÔ nhung IP^) toia tû chûa phàa tû dai se (khàc déi hÇï)) vanh cac hàra lien tyc Càc toàn tu nuj tao thành mot dai se huu haa chiéu v^^nh càc hàm liêa tyc Cung giéng nhu cac i truûc , û dêj , ta cûng cho nhung d|c trung d«ii so doi vûi chûng v p dyag vo viỗc chinh quy hoa va xac dinh cac tiêu chuân Noether a* Toàn tû tich phân ky di lôr-?:3rit Gia sû ^ chu tuyén dông, do'n, Liapunụp va thụa mõn dieu kiỗn : Ta se xét lûp toàa tû sau : ^ a) cc-0 Toia tỷ T duỗ'c xụt khụag giôa ^-l^u), '^-^^< oo Khàc vûi toàn tû ky di Cauchy, toin tû ky di lơjgarit T^ -'>160 - • 60 ihUas tiah ckât aau dây f25] : Sà Ctl 4.1 ; 1) T^tợ-kT^ Ê'3CB) b ^ i-„ d" A* ^ 'ỵg ^,f.a ' Bât ^^ » S>-^T,+I , T, - A T , T - T^ T Khi se co : U-^) Chûh.2: minh Ta cô Sf.- ^ j T , l t ^ ± Tr+ r^ ' ^ - I T «-_ -( -r-2 •.^-:f;^oa.iT,)^- - 161 - Tuc^ag tvP : T,X, := i^^-^^oXC^t^.) ^-^X'Kr^-^O U:^ ^ Bo de duỗ?c cnunp; minh S dyng (4.6) ta thê viét : T^^-^t-i ^ ỵ^ ^ '^^-^ 'i Vây cô thê biéu diên toia tû T d^ag (4.1) nhu sau : ^^ (^^éo^T^ ^^-^a.^^ hay : Bô dé 4.5 : ^^-^^^^ Néu (14-0 att^ o • -b ^ r thl T la toan tu Noether v chinh quy Rm cua aụ duỗ>c cho bo'i côag thuc : Chûnf; minh TÛ tinh chat (4.2) ta suy : Vâj aêa R^T^ ( ^ T^-