Tiểu luận giải tích phức một số khái niệm cơ bản của giải tích phức trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN TIỂU LUẬN GIẢI TÍCH PHỨC ĐỀ TÀI MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH PHỨC TRONG KHÔNG GIAN BANACH ĐẮK LẮK, NĂM 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN TIỂU LUẬN GIẢI TÍCH PHỨC ĐỀ TÀI MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH PHỨC TRONG KHÔNG GIAN BANACH CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS THÁI THUẦN QUANG ĐẮK LẮK, NĂM 2015 DANH SÁCH HỌC VIÊN THỰC HIỆN 1q 2q 3q 4q 5q 6q 7q 8q 9q Trương Văn Đại (Nhóm Trưởng) Dương Thế Dũng (Nhóm Phó) Phan Hữu Thế Nguyễn Hữu Hải Cù Thị Kim Dung Lê Đình Sơn Nguyễn Đình Toản Nguyễn Thị Thu Thuỷ Nguyễn Thị Phượng i MỤC LỤC Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt iv Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số định lí giải tích hàm 1.1.1 Định lí Hanh-Banach 1.1.2 Nguyên lí ánh xạ mở 1.1.3 Định lí đồ thị đóng 1.1.4 Nguyên lí bị chặn 1.2 Một số kết giải tích phức 1.2.1 Nguyên lí Maximum 1.2.2 Công thức tích phân Cauchy 1.2.3 Định lí Liouville 1.3 Đa thức chuỗi không gian Banach 1.3.1 Đa thức 1.3.2 Chuỗi lũy thừa 2 2 3 3 4 6 6 7 10 10 Ánh xạ chỉnh hình 2.1 Ánh xạ chỉnh hình 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Nhận xét 2.1.3 Ví dụ 2.1.4 Ví dụ 2.1.5 Ví dụ 2.1.6 Mệnh đề 2.1.7 Mệnh đề 2.1.8 Mệnh đề ii cổ điển 2.2 2.3 2.4 2.1.9 Định lí Ánh xạ G- chỉnh hình 2.2.1 Định nghĩa: 2.2.2 Định lý : Hàm chỉnh hình theo biến 2.3.1 Bổ đề: 2.3.2 Mệnh đề: Chỉnh hình yếu 2.4.1 Định nghĩa: 2.4.2 Định lý: 2.4.3 Bổ đề: Kết luận 10 11 11 11 13 13 14 14 14 14 14 16 iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT N N0 E✝ E✶ ✶ Eco B a, r B a, r l1 c0 c  intU U XK P E, F Hb E, F ♣ q ♣ q ♣ q ♣ q ♣ q ♣ q H U H U, F N♣Nq tr : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ✏t ✏ ❨t ✉ ✉ Tập hợp số tự nhiên N 1, 2, Tập hợp số N0 N Đối ngẫu đại số E Đối ngẫu topo E Không gian E ✶ với topo compact mở Hình cầu mở tâm a bán kính r Hình cầu đóng tâm a bán kính r Không gian Banach dãy số phức khả tổng tuyệt đối Không gian Banach dãy số phức hội tụ không Tập dãy số thực dương hội tụ không Phần U Bao đóng U Không gian Banach sinh K X Không gian đa thức từ E vào F Không gian hàm chỉnh hình bị chặn tập bị chặn E giá trị F Không gian hàm chỉnh hình U giá trị vô hướng Không gian hàm chỉnh hình U giá trị F Tập đa số Trang ⑨ iv Mở đầu Vào kỉ 16 G Cardano (1501-1576) nói đến số "ảo" số âm Đến kỉ 18 số phức rải rác xuất công trình toán học I Newton, N Bernoulli, A Clairaut Song người coi sáng lập môn hàm phức L Euler (1707-1783) Ông nghiên cứu hàm phức sơ cấp, đưa vào khái niệm khả vi năm (1755) phép tính tích phân năm (1777) Nhiều ứng dụng hàm phức vào giải tích thực, thủy động học phép vẽ đồ ông khởi xướng Lý thuyết hàm phức đời mang ý nghĩa vô to lớn Nhờ lý thuyết hàm phức C.F Gauss (1777-1855) chứng minh định lí đại số (1799): đa thức bậc n trường số phức có n nghiệm kể số nghiệm bội Đầu kỉ 19 lý thuyết hàm phức phát triển thành số nghành quan trọng giải tích toán học Công lao to lớn thuộc A.L Cauchy (1789-1857), người phát triển phép tính tích phân, K Weierstrass (1815-1897), người phát triển lý thuyết chuỗi hàm B Riemann (1826-1866), người xây dựng sở hình học lý thuyết hàm phức Ngày lý thuyết hàm phức lí thuyết đóng vai trò quan trọng toán học, có ứng dụng vô to lớn nghành vật lý kĩ thuật khác như: thủy động học, khí động học, lý thuyết điện từ trường, mạch điện, nước ngầm, nổ định hướng,đàn hồi Trong nội dung tiểu luận nhắc lại số kết giải tích phức cổ điển sau trình bày số khái niệm giải tích phức không gian Banach Tiểu luận chắn tránh khỏi sai sót, mong nhận đóng góp ý kiến bạn đọc quý thầy cô để tiểu luận hoàn thiện Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương tóm tắt lại số định lí giải tích hàm định lí Hanh-Banach, nguyên lí ánh xạ mở, định lí đồ thị đóng nguyên lí bị chặn Tiếp theo trình bày số kết giải tích phức cổ điển nguyên lí Maximum, công thức tích phân Cauchy, định lí Liouville Cuối trình bày định nghĩa đa thức chuỗi không gian Banach công cụ để định nghĩa ánh xạ chỉnh hình không gian Banach 1.1 1.1.1 Một số định lí giải tích hàm Định lí Hanh-Banach Cho E không gian định chuẩn, F không gian E A phiếm hàm tuyến tính liên tục F Khi tồn phiếm hàm A˜ ˜F E tuyến tính liên tục cho A| A A A˜ ✏ 1.1.2 ⑥ ⑥✏⑥ ⑥ Nguyên lí ánh xạ mở Cho E , F hai không gian Banach A toàn ánh tuyến tính từ E vào F Khi A ánh xạ mở, tức với tâp U mở E ta có tập A U mở F ♣ q 1.1.3 Định lí đồ thị đóng Cho E, F hai không gian định chuẩn, A ánh xạ tuyến tính liên tục A ánh xạ đóng Tức tập x; A x đóng không gian ♣ ♣ qq topo tích E.F 1.1.4 Nguyên lí bị chặn t ✉ € Giả sử E không gian Banach,F không gian định chuẩn Aα , α Γ họ ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F Khi đó, với x E ta có sup Aα x € 1.2 1.2.1 α€Γ ⑥ ⑥ ➔  ✽ Một số kết giải tích phức cổ điển Nguyên lí Maximum ♣q ♣q Giả sử f z chỉnh hình miền D liên tục miền D Nếu f z không số |f z | đạt cực đại biên D 1.2.2 ♣q Công thức tích phân Cauchy ♣q € Định lí Giả sử f z chỉnh hình miền hữu hạn đơn liên D z0 D , đường cong Jordan, trơn, kín bao quanh z0 nằm D Khi ta có công thức tích phân Cauchy ♣ q✏ f z0 2πi ➺ f ♣ζ q ζ ✁ z0 γ ♣q Hơn nữa, f z liên tục biên D với z ♣ q✏ f z 2πi ➺ f ♣ζ q ζ ✁z € D; ta có γ 1.2.3 Định lí Liouville ♣q ♣q Nếu hàm f z chỉnh hình bị chặn toàn mặt phẳng phức f z hàm 1.3 Đa thức chuỗi không gian Banach 1.3.1 Đa thức 1.3.1.1 Ánh xạ tuyến tính € Định nghĩa: Giả sử E, F không gian Banach m N Ánh xạ A : Em F gọi m- tuyến tính tuyến tính theo biến Nghĩa với a a1 , a2 , , am E m j m, ánh xạ Ñ ✏♣ q€ ↕ ↕ Ej ◗ xj Ñ A♣a1 , , aj ✁1 , xj , aj  1 , , am q tuyến tính Kí hiệu: La m E, F L m E, F không gian vectơ ánh xạ m- tuyến tính m- tuyến tính liên tục từ E m vào F tương ứng Với A La m E, F , xác định ♣ € ♣ q ♣ q q ⑥A⑥ ✏ sup ⑥A♣x1, , xmq⑥ : xj € E, ⑥xj ⑥ ↕ 1, ↕ j ↕ m gọi chuẩn (suy rộng) A Khi m 1, ta viết La E, F La E, F L E, F L E, F Khi F K viết La m E, K La m E L m E, K L m E Cuối m 1, viết thông thường La E E #, L E E ✝ ✏ ♣ 1.3.1.2 ♣ q✏ ♣ q ♣ q✏ ♣ q✏ ♣ q ♣ q✏ ♣ q ♣ q✏ ♣ q✏ q ✏ ✏ Đa thức Ñ € ♣ q P ♣xq ✏ Axm ❅x € E Định nghĩa: Ánh xạ P : E F gọi đa thức m-thuần (thuần bậc m)nếu tồn A La m E, F cho ♣ q Ta kí hiệu Pa m E, F không gian vec tơ đa thức m- từ E tới F P m E, F không gian gồm đa thức m- liên tục Pa m E, F Đối với P Pa m E, F , đặt ♣ ♣ q q € ♣ q ⑥P ⑥ ✏ sup ⑥P ♣xq⑥ : x € E, ⑥x⑥ ↕ gọi chuẩn ( suy rộng) P Khi F K ta viết Pa m E, K Pa ✏ ♣ q ✏ ♣mE q P ♣mE, Kq ✏ P ♣mE q 1.3.2 Chuỗi lũy thừa 1.3.2.1 Định nghĩa: Chuỗi lũy thừa từ E tới F điểm a ✽ € E chuỗi có dạng ➦ Pm♣x ✁ aq, m✏ € Pa♣mE, F q với m € N0 ✽ ➦ P ♣x ✁ aq viết ➦✽ A ♣x ✁ aqm, Chú ý chuỗi lũy thừa m m m✏ m✏ ♣m ✏ Pm Am € Lsa ♣m E, F q, A Pm Chương Ánh xạ chỉnh hình 2.1 Ánh xạ chỉnh hình Trong chương ta đưa khái niệm ánh xạ chỉnh hình thuật ngữ chuỗi lũy thừa sau số tính chất chúng tương tự hàm chỉnh hình biến phức Tất không gian Banach chương không gian Banach phức kí hiệu E, F , 2.1.1 Định nghĩa Ñ ♣ q⑨ Giả sử U tập mở E Ánh xạ f : U F gọi chỉnh hình hay giải tích với a U tồn hình cầu B a, r U dãy đa thức Pm P m E, F cho € q € ♣ ♣ q✏ f x € ♣ q ✽ ➳ m✏ ♣ ✁ aq Pm x hội tụ với x B a, r Kí hiệu H U, F không gian véc tơ ánh xạ chỉnh hình từ U vào F Khi F C ta viết H U, C H U ✏ 2.1.2 ♣ q ♣ q✏ ♣ q Nhận xét ♣ q ➦✽ P mf ♣aq♣x ✁ aq thông thường Pm ✏ P m f ♣aq với m € N0 Chuỗi m✏0 gọi chuỗi Taylor f a Ta kí hiệu Am f ♣aq phần tử thuộc m f ♣aq ✏ P m f ♣aq Ls ♣m E, F q thỏa mãn A④ dãy Pm định nghĩa xác định f a, ta kí hiệu 2.1.3 Ví dụ ♣ q⑨ ♣ q P E, F H E, F Chứng minh Chỉ cần chứng minh P H E, F với P P m E, F Giả ♣ Cho a, x E Do Nhị Thức Newton ta có sử A Ls m E, F cho P A € ♣ q € ♣ q ✏ € m ✂ ✡ ➳ m m Aam✁j ♣x ✁ aqj P ♣xq ✏ Ax ✏ j € ♣ q j ✏0 Như P chỉnh hình E j ♣ q✏ ✂ ✡ P P a ♣ q✏ ♣ P j P a j trị Ls j E, F 2.1.4 q m Aam✁j nếuj j ↕m → m Ngoài P j P ♣aq đa thức E bậc j với giá Ví dụ Giả sử ➦✽ P ♣xq chuỗi lũy thừa từ E tới F có bán kính hội tụ ✽, m j ✏0 Pm liên tục Nếu ta xác định ♣ q✏ f x € ♣ q ✽ ➳ j ✏0 ♣ q €E Pm x , x f H E, F ♣m với Am Ls mE, F M Chứng minh Giả sử Pm A tỏ ✽ ➳ ✽ ✂ ✡ ➳ m m✁ j j Am a r j j ✏0 m✏j ✏ € ♣ ⑥ ⑥⑥ ⑥ € q € N0 Ta chứng ➔✽ → với a E r Thật vậy, cách thay đổi thứ tự lấy tổng ta có ✽ ➳ ✽ ✂ ✡ ➳ m j ✏ m✏ j j ⑥Am⑥ ⑥a⑥m✁j rj ✏ ✏ ✽ ➳ ✽ ✂ ✡ ➳ m m✏0 j ✏0 ✽ ➳ m✏0 j ⑥Am⑥ ⑥a⑥m✁j rj ⑥Am⑥♣⑥a⑥   rqm Chuỗi cuối hội tụ bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa ✽ Đặc ✽ ✂ ✡ ➳ m biệt Vậy chuỗi ➦✽ m✏ j ♣mjqAmam✁j xác định phần tử Qi € P ♣j E, F q với j € N0 Mặt khác ta có ♣ q✏ f x ✏ theo x 2.1.5 j m✏j ⑥Am⑥ ⑥a⑥m✁j rj ➔ ✽ ✽ ➳ ✽ ➳ ✽ ✂ ✡ ➳ m ♣ ✁ aqj j ✽ ➳ m✁ j j Am a ♣x ✁ aq ✏ Qj ♣x ✁ aq ♣ q✏ m✏0 m✏0 j ✏0 ✡ ✂ ✽ ➳ ✽ ➳ Pm x m j j ✏0 m✏j Am am✁j x € B♣a, rq Như f € H♣E, F q j ✏0 Ví dụ ♣ q Giả sử ϕm dãy E ✶ hội tụ điểm tới không Nếu xác định ♣ q✏ f x € ♣ q ✽ ➳ ♣ϕm♣xqqm, x € E m✏0 f H E Chứng minh Do nguyên lí bị chặn tồn C m N0 Ta chứng tỏ € ✽ ✂ ✡ ✽ ➳ ➳ m j ✏ m✏ j j → cho ⑥ϕm⑥ ➔ C với ⑤ϕm♣aq⑤m✁j ⑥ϕm⑥j rj ➔ ✽ € E ↕ r ↕ 1e ✽ ➳ ✽ ✂ ✡ ✽ ➳ m ✂ ✡ ➳ ➳ m m ⑤ ϕm ♣aq⑤m✁j ⑥ϕm ⑥j rj ✏ ⑤ϕm♣aq⑤m✁j ⑥ϕm⑥j rj j j m✏0 j ✏0 j ✏ m✏ j ✽ ➳ ✏ ♣⑤ϕm♣aq⑤   ⑥ϕm⑥rqm m✏0 ✽ ➳ ↕ ♣⑤ϕm♣aq⑤   Crqm với a Thật vậy, m✏0 ➔ ϕm♣aq Ñ m Ñ Do ta có ⑤ϕm♣aq⑤m✁j ⑥ϕm⑥j ➔ ✽ Chuỗi cuối hội tụ Cr ✽ ✂ ✡ ➳ m✏j m j Vậy chuỗi ➦✽ m✏j ♣mjq♣ϕm♣aqqm✁j ϕjm định phần tử Qj € P ♣j E q với j € N0 Mặt khác ta có ✽ ➳ ♣ q✏ f x r⑤ϕm♣aq⑤   ϕm♣x ✁ aqsj m✏0 ✽ ➳ m ✂ ✡ ➳ m ✏ ♣ϕm♣aqqm✁j ♣ϕm♣x ✁ aqqj j m✏0 j ✏0 ✽ ➳ ✽ ✂ ✡ ➳ m ✏ ϕ♣aqm✁j ♣ϕm ♣x ✁ aqqj j j ✏ m✏ j ✽ ➳ ✏ Qj ♣x ✁ aq j ✏0 theo x 2.1.6 € B♣a, rq Như f € H♣E q Mệnh đề € ♣ q € € Giả sử U tập mở liên thông E giả sử f H U, E Nếu f đồng không tập mở khác rỗng V U f đồng không U Chứng minh a Trước tiên, ta coi U lồi Giả sử a V, x U Đặt ♣q ✏ tλ € C : a   λ♣x ✁ aq € U ✉ Do U lồi , A lồi, đặc biệt liên thông Với ψ € F ✶ , hàm g ♣λq ✏ ψ ✆ f ♣a   λ♣x ✁ aqq, λ € A chỉnh hình A đồng không đĩa mở ∆♣a, εq với ε → A Khi g đồng không A định lí hàm chỉnh hình vô hướng Đặc biệt ψ f x g ĐỊnh lí Hahn-Banach cho ta f x b Trong trường hợp tổng quát Giả sử A kí hiệu tập hợp điểm a U cho f đồng không lân cận a Rõ ràng A mở DO f V nên A Còn chứng minh A đóng U Khi tính liên thông U suy f U Giả sử an dãy A hột tụ tới b U Chọn r cho B b, r U chọn n để an B b, r Từ a suy f B b, r Vậy b A điều cần chứng minh Tiếp theo ta mở rộng Nguyên lí ánh xạ mở ✆ ♣ q✏ ♣ q✏ ♣ q✏ ♣q ✑ € ✘❍ € ✑ → ♣ q ✑ ♣ q⑨ € ♣ q € ♣ q ♣q 2.1.7 Mệnh đề € ♣ q Giả sử U tập mở liên thông E giả sử f H U Nếu f khác số U f V mở với tập mở V U Chứng minh CHỉ cần chứng minh f V mở C với tập lồi mở V U Giả sử V tập lồi mở U x V Do nguyên lí đồng hàm f khác số V Vậy tồn y V cho f x f y Vì V lồi, tập A λ C:x λ y x V ♣ q ♣ q ⑨ € ✏t € € ♣ q✘ ♣ q   ♣ ✁ q€ ✉ lôi Hàm ♣ q ✏ f rx   λ♣y ✁ xqs xác định chỉnh hình A với g ♣0q ✏ f ♣xq ✘ f ♣y q ✏ g ♣1q Nguyên lí ánh xạ mở hàm chỉnh hình biến phức cho ta g ♣Aq mở C Bởi f ♣xq ✏ g ♣0q € g ♣Aq ⑨ f ♣V q, suy f ♣V q mở C g λ 2.1.8 Mệnh đề € ♣ q Giả sử U tập mở, liên thông E giả sử f H U Nếu tồn a U cho f x f a với x U f số U Chứng minh Giả sử f số U Bởi nguyên lí ánh xạ mở tập f U mở C Vậy chứa đĩa ∆ f a , r λ C: f a λ r Nhưng điều xảy f x f a với x U Để kết thúc mục này, ta đưa Định lí Liouville € ⑤ ♣ q⑤ ↕ ⑤ ♣ q⑤ € ♣ ♣ q q✏t € ⑤ ♣ q⑤ ↕ ⑤ ♣ q⑤ 2.1.9 ⑤ ♣ q✁ ⑤ ➔ ✉ € ♣ q Định lí € ♣ € q Nếu ánh xạ f H E, F bị chặn E f ánh xạ Giả sử Giả sử x E ψ F ✶ Khi hàm g λ ψ f λ chỉnh hình bị chặn C Do định lí Liouvulle cổ điển nên g số, đặc biệt ψ f x ψ f Định lí Hahn-Banach cho ta f x f Vậy f hàm € ♣ q✏ ✆ ♣ q ✆ ♣ q✏ ✆ ♣ q ♣ q✏ ♣ q 10 2.2 Ánh xạ G- chỉnh hình Trong mục ta chứng minh ánh xạ chỉnh hình liên tục hạn chế đường thẳng phức chỉnh hình Đó đặc trung thuận lợi cho việc kiểm tra tính chỉnh hình ánh xạ 2.2.1 Định nghĩa: Ñ Ñ ♣   q ✁ Giả sử U tập mở E Ánh xạ f : U F gọi G chỉnh hình a U b E, ánh xạ λ f a λb chỉnh hình tập mở λ C : a λb U Ký hiệu: HF U, F KGVT ánh xạ G chỉnh hình từ U vào F Nếu F C, ta viết HG U, C HG U Ví dụ: Chứng minh P a λb đa thức theo λ với a, b E Nhận xét: Bằng cách kiểm tra lại chứng minh ánh xạ chỉnh hình ta nhận thấy kết tương ứng sau với ánh xạ G bchỉnh hình nguyên lý đồng nhất, nguyên lý ánh xạ mở, nguyên lý Maximum định lý Liouville, t € ✏ € €   € ✉ ♣ q ♣ q✏ ♣ q ♣   q ✁ € ✁ 2.2.2 Định lý : Ñ Giả sử U tập mở E Khi đó, ánh xạ f : U F F phát biểu sau tương đương: (a) f chỉnh hình (b) f liên tục G-chỉnh hình (c) f liên tục f U ❳M chỉnh hình với không gian hữu hạn chiều M E Chứng minh a b hiển nhiên b c Giả sử f : U F G chỉnh hình liên tục Giả sử M không gian hữu hạn chiều E với a U M giả sử e1 , e2 , , en sở M Ta có khai triển chuỗi: ⑤ ♣ qñ♣ q ♣qñ♣q Ñ ✁ € ❳ ♣   λ1e1     λnenq ✏ f a ➳ α 11 cα λα1 λαnn ♣ q Ở chuỗi hội tụ tuyệt đối đa đĩa ∆n 0, r Nếu với m N0 xác định € P m ➳ ♣λ1e1     λnenq ✏ ta có khai triển chuỗi luỹ thừa ♣   λ1e1     λnenq ✏ f a ⑤α⑤✏m ➳ m✏0 cα λα1 λαnn ♣ P m λ1 e1     λnenq (c) chứng minh c a Giả sử B a, r U Nếu M không gian hữu hạn chiều E chứa a giả thiết f U ❳M chỉnh hình ta có tồn chuỗi luỹ thừa ♣ qñ♣ q ♣ q⑨ ⑤ ➦✽ P M ♣x ✁ aq từ M vào F cho m✏ m ♣ q✏ f x € ❳ ✽ ➳ m✏0 ♣ ✁ aq PmM x với x B♣a,rq M Nếu M N không gian hữu hạn chiểu E chứa a tính khai triển Taylor, ta có: PmM t PmN t với t M N m N0 Như xác định Pm : E F Pm t PmM t M không gian hữu hạn chiều chứa a t Dễ thấy Pm P m E, F Thật vậy, với M N không gian hữu hạn chiều E chứa a Chọn ④ ③ AM L m M, F = Anm Lsa m N, F cho PmM AM AN m m m Do N M tính chất đối xứng AM AN N m Vậy họ m Am , ta có Am m M ♣m Pm Như AM Lsa m E, F cho A m với M xác định cho ta Am Pm Pa m E, F ♣q✏ ♣q Ñ € € ♣ q q € ♣ € ♣ q ♣ q✏ f x ✽ ➳ m✏ ✏ € ♣ € ❳ ♣q✏ ♣q € ♣ q ✏ ♣ qq ✏ ♣ q ♣ ❳ q q ✏ ♣ ✁ aq, ❅x € B♣a,rq Pm x ⑨ → Do f liên tục ta tìm hình cầu B♣a,sq B♣a,rq c cho f x c với x B♣a,sq Cho t E với t Giả sử M không gian hữu hạn chiều E chứa a t Bởi công thức tính tính phân Cauchy, ta có ⑥ ♣ q⑥ ↕ € € ♣ q ✏ PmM ♣tq ✏ Pm t ⑥⑥↕ 2πi 12 ➺2 f ♣a   ζtq dζ ⑤ζ ⑤✏s ζ m  ✽ ⑥ ⑥ ↕ cs✁m Vậy Pm liên tục chuỗi luỹ thừa ➦ Pm♣x ✁ aq m✏0 có bán kính hội tụ ➙ s Vậy ♣aq chứng minh Từ suy ra, Pm 2.3 Hàm chỉnh hình theo biến Ñ Giả sử U mở Cn giả sử f : u F chỉnh hình tách Khi đó, f liên tục f bị chặn địa phương Chứng minh: Giả sử f : U F chỉnh hình tách bị chặn địa phương Cho a U chọn r 0, c để f ζ c, với ζ ∆n a, r U Khi , với ζ ∆n a, r ta viết € → → Ñ ⑥ ♣ q⑥ ↕ € ♣ q❳ € ♣ q n ➳ f ♣ζ q ✁ f ♣aq ✏ rf ♣a1, , aj✁1, ζ1, , ζnq ✁ f ♣a1, , aj , ζj 1, , ζnqs j ✏1 Từ giả thiết ta suy hiệu ♣ q ✏ f ♣a1, , aj✁1, ζ1, , ζnq ✁ f ♣a1, , aj , ζj 1, , ζnq chỉnh hình theo ζj biến khác không đổi Hơn nữa, ⑥g ♣ζj q⑥ ↕ 2c với ⑤ζj ✁ aj ⑤ ↕ r Theo bổ đề Schwart áp dụng cho gj , ta nhận được: n ➳ ⑥f ♣ζ q ✁ f ♣aq⑥ ↕ 2c ⑤ζj ✁ aj ⑤ ; ❅ζ € ∆n♣a, rq gj ζj r j ✏1 Bất đẳng thức chngs tỏ f liên tục Điều kiện đủ chứng minh Điều kiện cần hiển nhiên 2.3.1 Bổ đề: Giả sử U tập mở Cn Khi đó, ánh xạ f : U chỉnh hình tách liên tục Chứng minh: Chỉ cẩn chứng minh điều kiện đủ Giả sử a U Ta có khai triển chuỗi € ♣   λq ✏ f a ➳ Ñ F chỉnh hình cα λα1 λαnn α chuỗi hội tụ tuyệt đối đa đĩa Do đó, f chỉnh hình Bổ đề mở rộng đến không gian Banach tuỳ ý 13 2.3.2 Mệnh đề: ✂ Giả sử E1 , , En F không gian Banach, U tập mở E1 En Khi đó, ánh xạ f : U F chỉnh hình chỉnh hình tách liên tục Chứng minh: Chỉ cần chứng minh điều kiện đủ Giả sử f : U F chỉnh hình tách liên tục Giả sử a a1 , , an U b b1 , , bn E1 En Khi ánh xạ: ✂ Ñ ✏♣ q€ ✏♣ Ñ q€ ✂ ✂ g : ♣λ1 , , λn q Ñ f ♣a1   λ1 b1 , , an   λn bn q; λ ✏ ♣λ1 , , λn q € Cn chỉnh hình tách Như vậy, g G✁ chỉnh hình Đặc biệt, λ Ñ f ♣a1   rb, , an   rbq chỉnh hình Vậy f G✁ chỉnh hình liên tục Suy ra, f chỉnh hình Với khái niệm G chỉnh hình ta chuyển nghiên cứu ánh xạ chỉnh hình tới trường hợp không gian xác định chiều Tiếp theo, ta đưa vào khái niếm chỉnh hình yếu để đưa việc nghiên cứu ánh xạ chỉnh hình giá trị Banach ánh xạ chỉnh hình giá trị vô hướng ✁ 2.4 2.4.1 Chỉnh hình yếu Định nghĩa: Ñ Giả sử U tập mở E f : U F Ánh xạ f gọi chỉnh hình yếu hay giải tích yếu φ f : u C chỉnh hình với φ F ✶ Tương tự f gọi G chỉnh hình yếu φ f G chỉnh hình với φ F ✶ ✆ ✁ 2.4.2 Ñ ✆ € ✁ € Định lý: Ñ Giả sử U tập mở E f : U F Khi đó, (a) f G chỉnh hình f G chỉnh hình yếu (b) chỉnh hình f chỉnh hình yếu Trước chứng minh bổ đề ta thiết lập bổ đề sau: ✁ 2.4.3 ✁ Bổ đề: Giả sử U tập mở C Khi đó, ánh xạ f : U chỉnh hình yếu 14 Ñ F chỉnh hình Chứng minh: Chỉ cần chứng minh điều kiện đủ Đầu tiên, ta chứng minh f liên tục Cho λ0 U chon r để ∆ λ0 ; 2r U Giả sử φ F ✶ λ ∆ λ0 , r , λ λ0 Áp dụng công thức tích phân Cauchy hàm chỉnh hình biến, ta có: ♣ q❳ € € ♣ q ✘ € → ➺ ✂ φ ✆ f ♣ζ q φ ✆ f ♣ζ q ✡ f ♣λq ✁ φ ✆ f ♣λ0 q ✏ ✁ ζ ✁ λ q dζ ζ ✁λ ⑤ζ ⑤✏2r ➺ λ ✁ λ0 φ ✆ f ♣ζ q ✏ 2πi ♣ζ ✁ λq♣ζ ✁ λ0 dζ 2πi ⑤ζ ⑤✏2r ✞✞ ✂ ✡✞✞ f ♣ λ q ✁ f ♣ λ q ✞✞φ ✞✞ ↕ M 4πr ✏ M λ ✁ λ0 2π r.2r r M ✏ supt⑤φ ✆ f ♣ζ q⑤ : ⑤ζ ✁ λ0 ⑤ ✏ 2r✉ Do nguyên lý bị chặn đều, tồn c → cho: ✎✎ ✎✎ f ♣ λ q ✁ f ♣ λ q ✎ ✎✎ ✎ ↕ c; ❅λ € ∆♣λ0, rq, λ ✘ λ0 λ ✁ λ0 Suy Bất đẳng thức chứng tỏ f liên tục λ0 Bây cách chứng minh f chỉnh hình tương tự định lý trình bày Thật vậy, ∆ λ0 , r U ta có, ♣ q❳ ♣ q✏ f λ đới với ζ 2πi ➺ ⑤ζ ✁λ0 ⑤✏r ♣q ✁ f ζ dζ ζ λ € ∆♣λ0, rq Từ đó, ta nhận khai triển chuỗi ➺ f ♣ζ ✽ ➳ f ♣λq ✏ ♣λ ✁ λ0qm 2πi dζ ζ ✁ λ m✏0 ⑤ζ ✁λ0 ⑤✏r ♣ q ↕s➔r chuỗi hội tụ đĩa ∆ λ0 , s ; Do đó, f chỉnh hình 15 Kết luận Như vậy, trình bày số khái niệm giải tích phức không gian Banach đồng thời nhắc lại số nội dung giải tích phức biến Do giới hạn thời gian lượng kiến thức giới hạn nên tiểu luận chắn tránh sai sót Nhóm mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc để hoàn thiện Lời cuối cùng, chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy PGS.TS Thái Thuần Quang, người Thầy tận tình giảng dạy cho chúng em thời gian vừa qua 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J Mujica (1986), Complex analysis in Banach spaces, North-Holland Math Studies, 120 17 [...]... s ; 0 Do đó, f là chỉnh hình 15 Kết luận Như vậy, chúng tôi đã trình bày được một số khái niệm cơ bản của giải tích phức trong không gian Banach đồng thời cũng nhắc lại một số nội dung cơ bản của giải tích phức một biến Do giới hạn thời gian và lượng kiến thức còn giới hạn nên bài tiểu luận chắc chắn không thể tránh được sai sót Nhóm rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để có thể... xạ chỉnh hình Trong chương này ta đưa ra khái niệm ánh xạ chỉnh hình dưới thuật ngữ của chuỗi lũy thừa và sau đó là một số tính chất của chúng tương tự như hàm chỉnh hình một biến phức Tất cả các không gian Banach trong chương này đều là các không gian Banach phức và được kí hiệu bởi E, F , 2.1.1 Định nghĩa Ñ ♣ q⑨ Giả sử U là tập mở trong E Ánh xạ f : U F gọi là chỉnh hình hay giải tích nếu với mọi... tập mở trong E Khi đó, đối với ánh xạ f : U F F thì các phát biểu sau tương đương: (a) f là chỉnh hình (b) f là liên tục và G-chỉnh hình (c) f là liên tục và f U ❳M là chỉnh hình với mọi không gian con hữu hạn chiều M của E Chứng minh a b là hiển nhiên b c Giả sử f : U F là G chỉnh hình và liên tục Giả sử M là không gian con hữu hạn chiều của E với a U M và giả sử e1 , e2 , , en là một cơ sở của M Ta... m✏0 ♣ ✁ aq PmM x với x B♣a,rq M Nếu M và N là 2 không gian con hữu hạn chiểu của E chứa a thì do tính duy nhất của khai triển Taylor, ta có: PmM t PmN t với mọi t M N thì mọi m N0 Như vậy có thể xác định Pm : E F bởi Pm t PmM t nếu M là không gian con hữu hạn chiều chứa a và t Dễ thấy Pm P m E, F Thật vậy, với M và N là 2 không gian con hữu hạn chiều của E chứa a Chọn ④ ③ AM L m M, F và = Anm Lsa... chỉnh hình Với khái niệm G chỉnh hình ta đã chuyển sự nghiên cứu ánh xạ chỉnh hình tới trường hợp không gian xác định là 1 chiều Tiếp theo, ta đưa vào khái niếm chỉnh hình yếu để đưa việc nghiên cứu ánh xạ chỉnh hình giá trị Banach về ánh xạ chỉnh hình giá trị vô hướng ✁ 2.4 2.4.1 Chỉnh hình yếu Định nghĩa: Ñ Giả sử U là tập mở trong E và f : U F Ánh xạ f gọi là chỉnh hình yếu hay giải tích yếu nếu... hình một biến phức cho ta g ♣Aq mở trong C Bởi vì f ♣xq ✏ g ♣0q € g ♣Aq ⑨ f ♣V q, suy ra f ♣V q là mở trong C g λ 2.1.8 Mệnh đề € ♣ q Giả sử U là tập con mở, liên thông của E và giả sử f H U Nếu tồn tại a U sao cho f x f a với mọi x U thì f là hằng số trên U Chứng minh Giả sử f là hằng số trên U Bởi nguyên lí ánh xạ mở tập f U là mở trong C Vậy nó chứa đĩa ∆ f a , r λ C: f a λ r Nhưng điều này không. .. Ta có khai triển chuỗi € ♣   λq ✏ f a ➳ Ñ F là chỉnh hình nếu cα λα1 1 λαnn α và chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều trên một đa đĩa nào đó Do đó, f là chỉnh hình Bổ đề này được mở rộng đến không gian Banach tuỳ ý 13 2.3.2 Mệnh đề: ✂ Giả sử E1 , , En và F là các không gian Banach, U là tập mở trong E1 En Khi đó, ánh xạ f : U F là chỉnh hình nếu và chỉ nếu nó chỉnh hình tách và liên tục Chứng minh: Chỉ cần... với hàm chỉnh hình vô hướng Đặc biệt ψ f x g 1 0 ĐỊnh lí Hahn -Banach cho ta f x 0 b Trong trường hợp tổng quát Giả sử A kí hiệu tập hợp các điểm a U sao cho f đồng nhất bằng không trên một lân cận của a Rõ ràng A là mở DO f 0 trên V nên A Còn chứng minh A là đóng trong U Khi đó do tính liên thông của U suy ra f 0 trên U Giả sử an là dãy trong A hột tụ tới b U Chọn r 0 sao cho B b, r U và chọn n để... Liouvulle cổ điển nên g là hằng số, đặc biệt ψ f x ψ f 0 Định lí Hahn -Banach cho ta f x f 0 Vậy f là hàm hằng € ♣ q✏ ✆ ♣ q ✆ ♣ q✏ ✆ ♣ q ♣ q✏ ♣ q 10 2.2 Ánh xạ G- chỉnh hình Trong mục này ta sẽ chứng minh một ánh xạ là chỉnh hình nếu nó là liên tục và hạn chế của nó trên mọi đường thẳng phức là chỉnh hình Đó là đặc trung rất thuận lợi cho việc kiểm tra tính chỉnh hình của một ánh xạ nào đó 2.2.1 Định... ♣ q ✑ ♣ q⑨ € 9 ♣ q € ♣ q ♣q 2.1.7 Mệnh đề € ♣ q Giả sử U là tập mở liên thông trong E và giả sử f H U Nếu f khác hằng số trên U thì f V là mở với mọi tập con mở V của U Chứng minh CHỉ cần chứng minh f V là mở trong C với mọi tập lồi mở V U Giả sử V là tập con lồi mở của U và x V Do nguyên lí đồng nhất hàm f khác hằng số trên V Vậy tồn tại y V sao cho f x f y Vì V là lồi, tập A λ C:x λ y x V ♣ ... ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN TIỂU LUẬN GIẢI TÍCH PHỨC ĐỀ TÀI MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH PHỨC TRONG KHÔNG GIAN BANACH CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS... nước ngầm, nổ định hướng,đàn hồi Trong nội dung tiểu luận nhắc lại số kết giải tích phức cổ điển sau trình bày số khái niệm giải tích phức không gian Banach Tiểu luận chắn tránh khỏi sai sót, mong... 15 Kết luận Như vậy, trình bày số khái niệm giải tích phức không gian Banach đồng thời nhắc lại số nội dung giải tích phức biến Do giới hạn thời gian lượng kiến thức giới hạn nên tiểu luận chắn