Chuyên đề đại số và tổ hợp ôn thi đại học

11 585 0
Chuyên đề đại số và tổ hợp ôn thi đại học

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Chuyên đề đại số tổ hợp ôn thi đại học

Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 300  Chuyên đề 11: ĐẠI SỐ TỔ HP XÁC SUẤT  Vấn đề 1: SỬ DỤNG CÔNG THỨC kk n n n P ,A ,C A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. HOÁN VỊ Số hoán vò của n phần tử: P n =n! 2. CHỈNH HP: Số chỉnh hợp:      m n A n(n 1)(n 2) (n m 1)   m n n! A (n m)!  Điều kiện: n  m n, m nguyên dương 3. TỔ HP: Số tổ hợp:      m n n(n 1)(n 2) (n m 1) C 1.2.3 m   m n n! C m!(n m)!  Điều kiện:     n m n, m nguyên dương Ta có công thức: 1/   m n m nn CC 2/    m 1 m m n 1 n 1 n C C C 3/      0 1 2 n n n n n n C C C C 2 Số tập hợp con của tập hợp n phân tử là 2 n . B.ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008 Chứng minh rằng          k k 1 k n 1 n 1 n n 1 1 1 1 n2 C C C (n, k là các số nguyên dương, k  n, k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). Giải Ta có:                  k k 1 n 1 n 1 n 1 1 1 n 1 k!(n 1 k)! (k 1)!(n k)! . n 2 n 2 (n 1)! CC          1 k!(n k)! . (n 1 k) (k 1) n 2 n!   k n k!(n k)! 1 n! C TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 301 Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  4). Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k  {1, 2…, n} sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất. Giải Số tập con k phần tử của tập hợp A bằng k n C . Từ giả thiết suy ra:  42 nn C 20C       2 n 5n 234 0 n 18 (vì n  4). Do     k1 18 k 18 C 18 k 1 k1 C  k < 9 nên        1 2 9 9 10 18 18 18 18 18 18 18 C C C C C C Vậy số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất khi chỉ khi k = 9. Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005 Tính giá trò biểu thức     43 n 1 n A 3A M (n 1)! , biết rằng :         2 2 2 2 n 1 n 2 n 3 n 4 C 2C 2C C 149 (n là số nguyên dương, k n A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). Giải Điều kiện: n  3. Ta có         2 2 2 2 n 1 n 2 n 3 n 4 C 2C 2C C 149             (n 1)! (n 2)! (n 3)! (n 4)! 2 2 149 2!(n 1)! 2!n! 2!(n 1)! 2!(n 2)!  n 2 + 4n  45 = 0  n = 5 hay n = 9 (loại). suy ra M =    43 65 6! 5! 3. A 3A 3 2! 2! 6! 6! 4 . Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005 Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thỏa mãn đẳng thức:    22 n n n n 2P 6A P A 12 . ( n P là số hoán vò của n phần tử k n A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử). Giải Ta có:    22 n n n n 2P 6A P A 12 (n  , n  2) n! n! 2.n! 6. n! 12 (n 2)! (n 2)! n! n! (6 n!) 2(6 n!) 0 (6 n!) 2 0 (n 2)! (n 2)!                   6 n! 0 n! 6 n 3 n! 20 n(n 1) 2 0 n 2 (n 2)!                    Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 302  Vấn đề 2: PHÉP ĐẾM XÁC SUẤT A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. NGUYÊN TẮC ĐẾM 2 biến cố A B A có m cách xảy ra B có n cách xảy ra 2 biến cố A B cùng xảy ra có m  n cách Biến cố A hoặc B xảy ra có m + n cách  Chú ý: Nguyên tắc trên có thể áp dụng cho nhiều biến cố. 2. CHÚ Ý  Nếu thay đổi vò trí mà biến cố thay đổi ta có một hoán vò hoặc một chỉnh hợp.  Nếu thay đổi vò trí mà biến cố không đổi ta có một tổ hợp. XÁC SUẤT 1. KHÔNG GIAN MẪU Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra. Biến cố A là một tập con của không gian mẫu. 2. XÁC SUẤT Nếu các phần tử của không gian mẫu có cùng khả năng xảy ra, h là số phân tử của biến cố A, n là số phân tử của không gian mẫu. Xác suất để biến cố A xảy ra:  h p(A) n 3. CÁC CÔNG THỨC  Không gian mẫu E là biến cố chắc chắn xảy ra: p(E) = 1  Biến cố  là biến cố không thể xảy ra: p () = 0  Biến cố kéo theo A  B là biến cố A xảy ra thì biến cố B xảy ra: A  B. P(A)  p(B)  A  B là biến cố (A xảy ra hay B xảy ra). p(A  B) = p(A) + p(B)  p(A  B)  A  B là biến cố A B cùng xảy ra  Biến cố A B đối lập nếu không cùng xảy ra. Khi đó, ta có A  B = ; p(A  B) = 0; p(A  B) = p(A) + p(B)  Biến cố A là đối lập của A: p( A ) = 1  p(A)  Xác xuất có điều kiện: Biến cố A xảy ra với điều kiện biến cố B đã xảy ra:   p(A B) p(A B) p(B) hay p(A B) = p(B).p(AB)  Biến cố A B độc lập nếu biến cố B có xảy ra hay không thì xác suất của A vẫn không đổi: p(AB)=p(A) p(A B) = p(A)p(B) TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 303 B. ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? Giải Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là  4 12 C 495 . Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính như sau:  Lớp A có 2 học sinh, các lớp B, C mỗi lớp có 1 học sinh. Số cách chọn là:  2 1 1 5 4 3 C .C .C 120  Lớp B có 2 học sinh, các lớp C, A mỗi lớp có 1 học sinh. Số cách chọn là:  1 2 1 543 C .C .C 90  Lớp C có 2 học sinh, các lớp A, B mỗi lớp có 1 học sinh. Số cách chọn là:  1 1 2 543 C .C .C 60 Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là: 120 + 90 + 60 = 270. Vậy số cách chọn phải tìm là 495  270 = 225. Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005 Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam 1 nữ? Giải Có 14 3 12 CC cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất. Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất thì có 14 28 CC cách phân công thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ hai. Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất tỉnh thứ hai thì có 14 14 CC cách phân công thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ ba. Số cách phân công thanh niên tình nguyện về 3 tỉnh thỏa mãn yêu cầu bài toán là:  1 4 1 4 1 4 3 12 2 8 1 4 C .C .C .C .C .C 207900 cách Bài 3: Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ ba loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) số câu hỏi dễ không ít hơn 2? Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 304 Giải Có 3 trường hợp xảy ra.  Trường hợp 1: 2 dễ + 1trung bình + 2 khó:  2 1 2 15 10 5 C C C 10.500  Trường hợp 2: 2 dễ + 2 trung bình + 1 khó:  2 2 1 15 10 5 C C C 23.625  Trường hợp 3: 3 dễ + 1 trung bình + 1 khó:  3 1 1 15 10 5 C C C 22750 Theo qui tắc cộng ta có: 2 1 2 15 10 5 C C C + 2 2 1 15 10 5 C C C + 3 1 1 15 10 5 C C C = 56875 đề Bài 4: Cho đa giác đều A 1 A 2 . . . A 2n (n  2, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O), biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A 1 , A 2 , . . . A 2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A 1 , A 2 , . . . , A 2n . Tìm n. Giải  Số tam giác thỏa mãn đề bài là 3 2n C .  Số đường chéo qua tâm đường tròn là n, cứ 2 đường chéo qua tâm thì có một hình chữ nhật suy ra ta có 2 n C hình chữ nhật. Theo giả thiết ta có      2 2 2 2n n C 20C n 9n 8 0  n = 8 V n = 1 (loại). Kết luận n = 8. Bài 5: Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn. Giải  Số cách chọn 8 học sinh từ 18 học sinh của đội tuyển là:  8 18 18! C 43758 8!10! cách  Số cách chọn 8 học sinh chỉ gồm có hai khối là: Số cách chọn 8 học sinh khối 12 11 là 8 13 C Số cách chọn 8 học sinh khối 11 10 là 8 11 C Số cách chọn 8 học sinh từ khối 10 12 là 8 12 C  Số cách chọn theo ycbt: 43758     8 8 8 13 11 12 C C C = 41811 cách TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 305  Vấn đề 3: NHỊ THỨC NIUTƠN A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHỊ THỨC NIUTƠN: (a + b) n =     0 n 1 n 1 n n n n n C a C a b C b Chú ý: Số mũ của a tăng dần, số mũ b giảm dần có tổng bằng n. Các hệ số đối xứng:   m n m nn CC Tam giác Pascal: 1 n = 0 1 1 n = 1 1 2 1 n = 2 1 3 3 1 n = 3  Chú ý: Dựa vào bảng Pascal ta có thể viết ngay được khai triển Niutơn. B. ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008 Cho khai triển (1 + 2x) n = a 0 + a 1 x + … + a n x n , trong đó n  N * các hệ số a 0 , a 1 , …, a n thỏa mãn hệ thức     1n 0 n aa a 4096 2 2 . Tìm số lớn nhất trong các số a 0 , a 1 , … , a n . Giải Từ khai triển: (1 + 2x) n = a 0 + a 1 x + … + a n x n  Chọn  1 x 2 ta được:         n 12 1n 0 n aa 2 a 4096 2 n 12 2 2  Vậy biểu thức khai triển là: (1 + 2x) 12  Số hạng tổng quát là k k k 12 C 2 .x (k  , 0  k  12)  hệ số tổng quát là  kk k 12 a 2 .C ;    k 1 k 1 k 1 12 a 2 .C a k < a k + 1    k k k 1 k 1 12 12 2 .C 2 .C        k k 1 12! 12! 2 . 2 . k!(12 k)! (k 1)!(12 k 1)!  k + 1 < 24 – 2k   23 k 3 Mà k  . Do đó: a 0 < a 1 < a 2 < … < a 8 Tương tự: a k > a k + 1  k > 7 Do đó: a 8 > a 9 > … > a 12 Số lớn nhất trong các số a 0 , a 1 , …, a 12 là:  88 8 12 a 2 .C 126720 Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 306 Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức      1 3 2n 1 2n 2n 2n C C C 2048 ( k n C là số tổ hợp chập k của n phân tử). Giải      1 3 2n 1 2n 2n 2n C C C 2048 (*) Ta có:            2n 0 1 2 2 3 3 2n 1 2n 1 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 1 x C C x C x C x C x C x Với x = 1 thay vào (*) ta được:        2n 0 1 3 2n 1 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2 C C C C C (1) Với x = 1 thay vào (*) ta được:         0 1 2 3 2n 1 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 0 C C C C C C (2) Lấy (1) trừ (2) ta được:            2n 1 3 2n 1 12 2n 2n 2n 2 2 C C C 4096 2 n 6 Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007 Chứng minh rằng:         2n 1 3 5 2n 1 2n 2n 2n 2n 1 1 1 1 2 1 C C C C 2 4 6 2n 2n 1 (n là số nguyên dương, k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). Giải Ta có:           2n 0 1 2n 2n 2n 0 1 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n (1 x) C C x C x ,(1 x) C C x C x          2n 2n 1 3 3 2n 1 2n 1 2n 2n 2n (1 x) (1 x) 2(C x C x C x )            11 2n 2n 1 3 3 5 5 2n 1 2n 1 2n 2n 2n 2n 00 (1 x) (1 x) dx (C x C x C x C x )dx 2             1 1 2n 2n 2n 1 2n 1 2n 0 0 (1 x) (1 x) (1 x) (1 x) 2 1 dx 2 2(2n 1) 2n 1 (1)          1 1 3 3 5 5 2n 1 2n 1 2n 2n 2n 2n 0 C x C x C x C x dx           1 2 4 6 2n 1 3 5 2n 1 2n 2n 2n 2n 0 x x x x C . C . C . C . 2 4 6 2n      1 3 5 2n 1 2n 2n 2n 2n 1 1 1 1 C C C C 2 4 6 2n (2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh. TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 307 Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007 Tìm hệ số của số hạng chứa x 10 trong khai triển nhò thức Niutơn của (2 + x) n , biết:           n 0 n 1 1 n 2 2 n 3 3 n n n n n n n 3 C 3 C 3 C 3 C ( 1) C 2048 (n là số nguyên dương, k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). Giải Ta có:          n 0 n 1 1 n 2 2 n n n n n n n n 3 C 3 C 3 C ( 1) C (3 1) 2 Từ giả thiết suy ra n = 11 Hệ số của số hạng chứa x 10 trong khai triển Niutơn của (2 + x) 11 là:  10 1 11 C .2 22 Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 Tìm hệ số của x 5 trong khai triển thành đa thức của: x(1 –2x) 5 + x 2 (1 + 3x) 10 Giải Hệ số của x 5 trong khai triển của x(1  2x) 5 là (2) 4 . 4 5 C Hệ số của x 5 trong khai triển của x 2 (1 + 3x) 10 là 3 3 3 10 C Hệ số của x 5 trong khai triển của x(1  2x) 5 + x 2 (1 + 3x) 10 là:    4 4 3 3 5 10 ( 2) C 3 C 3320 Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 Tìm hệ số của số hạng chứa x 26 trong khai triển nhò thức Niutơn của     n 7 4 1 x x biết rằng         1 2 n 20 2n 1 2n 1 2n 1 C C C 2 1 (n nguyên dương, k n C là số tổ hợp chập k của n phân tử). Giải  Từ giả thiết suy ra:        0 1 n 20 2n 1 2n 1 2n 1 C C C 2 (1) Vì       k 2n 1 k 2n 1 2n 1 C C k, 0 k 2n +1 nên:                 0 1 n 0 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 1 C C C C C C 2 (2). Từ khai triển nhò thức Niutơn của   2n 1 (1 1) suy ra:             0 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 C C C (1 1) 2 (3) Từ (1), (2) (3) suy ra :  2n 20 22 hay n = 10.  Ta có:               10 10 10 10 k k 7 k 4 7 k 11k 40 10 10 4 k 0 k 0 1 x C x x C x x Hệ số của x 26 là k 10 C với k thỏa mãn: 11k  40 = 26  k = 6. Vậy hệ số của số hạng chứa x 26 là :  6 10 C 210 . Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 308 Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005 Tìm số nguyên dương n sao cho:             1 2 2 3 3 4 2n 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 C 2.2C 3.2 C 4.2 C (2n 1).2 C = 2005 ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử ) Giải Ta có:                   2n 1 0 1 2 2 3 3 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 1 x C C x C x C x C x x Đạo hàm hai vế ta có:                  2n 1 2 3 2 2n 1 2n 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 (2n 1) 1 x C 2C x 3C x (2n 1)C x x Thay x = 2 ta có:               1 2 2 3 4 n 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 C 2.2C 3.2 C 4.2C (2n 1).2 C 2n 1 Theo giả thiết ta có 2n + 1 = 2005  n = 1002. Bài 8: Tìm hệ số của x 8 trong khai triển thành đa thức của      8 2 1 x 1 x . Giải                     23 2 8 0 1 2 2 4 3 6 8 8 8 8 1 x 1 x C C x 1 x C x 1 x C x 1 x . . .    8 8 16 8 . . . + C x 1 x Số hạng chứa x 8 trong khai triển chỉ có trong    3 36 8 C x 1 x    4 48 8 C x 1 x . Suy ra hệ số của  8 3 4 88 x là 3C C 238 . Bài 9: Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhò thức Niutơn của     7 3 4 1 x x với x > 0. Giải                       7 k k 7k 77 7k kk 33 34 77 44 k 0 k 0 11 x C x C x xx Số hạng không chứa x ứng với   7 k k 0 34  28  4k  3k = 0  k = 4 Số hạng không chứa x là  k 7 7! C 35 3!4! . Bài 10: Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển nhò thức Niutơn của          n 5 n 1 n n 4 n 3 3 1 x biết rằng C C 7(n 3) x (n là số nguyên dương, x > 0, k n C là số tổ hợp chập k của n phân tử). TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 309 Giải                      n 1 n n 4 n 3 n + 4 ! n 3 ! C C 7 n 3 7 n 3 n 1 !3! n!3!  (n + 3) (3n  36) = 0  n = 12 Vậy               12 k 12 12 5 k 5 k 3 2 12 3 k0 1 x C x x x Cho          12 k 5 k 38 2 x x x x  0      5 12 k 3k 2 = 8  k = 4 Vậy hệ số của x 8 trong khai triển     12 5 3 1 x x là  4 12 C 495 . Bài 11: Cho n là số nguyên dương. Tính tổng:          2 3 n 1 0 1 2 n n n n n 2 1 2 1 2 1 C C C C 2 3 n 1 ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). Giải Xét         n 0 1 2 2 n 4 n n n n 1 x C C x C x C x             22 n 0 1 2 2 n n n n n n 11 1 x dx C C x C x C x dx                 n1 2 3 n 1 0 1 2 n n n n n 22 1x x x x C x C C C 11 n 1 2 3 n 1               n 1 n 1 2 3 n 1 0 1 2 n n n n n 3 2 2 1 2 1 2 1 C C C C n 1 2 3 n 1 . Bài 12: Với n là số nguyên dương, gọi a 3n3 là hệ số của x 3n3 trong khai triển thành đa thức của: (x 2 + 1) n (x + 2) n . Tìm n để a 3n 3 = 26n. Giải           nn nn 2 2 k 2n 2k h n h h nn k 0 h 0 x 1 x 2 C x C x 2     nn k h 3n (2k h) nn k 0 h 0 C C x Ycbt  2k + h = 3  k = h = 1 hay (k = 0 h = 3)       1 1 3 0 3 3n 3 n n n n a 2C C 2 C C 26n n = 5 . [...]... ĐTQG Toán học – Bài 13: Cho khai triển nhò thức: 2 x 1 2 2   x n 3  C0 n 2  x 1 n 2  C1 n 2  2   + C  2  2  x 1 n 1 2  x 3 n 1 n x 1 2  x n 1 3  Cn n 2   x n 3 (n là số nguyên dương) Biết rằng trong khai triển đó C3  5C1 số hạng n n thứ tư bằng 20n Tìm n x Giải + n  Z , n  3  Ta có C3  5C1    n = 7 V n =  4 (loạ i) n n  n  2  (n  1)  30  Số hạng... Bài 14: Tìm số nguyên dương n sao cho C0  2C1  4C2   2n Cn  243 n n n n Giải C0  2C1  4C2   2n Cn  243 n n n n (*) n Ta có 1  x   C0  xC1  x2C2   xn Cn (* *) n n n n Thế x = 2 vào (* *) ta có: 1  2n  C0  2C1  4C2   2n Cn  243  3n = 243 n n n n  n = 5 Bài 15: n Giả sử n là số nguyên dương 1  x   a0  a1x  a2 x2   ak x k   an xn Biết rằng tồn tại số k nguyên . giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – 300  Chuyên đề 11: ĐẠI SỐ TỔ HP VÀ XÁC SUẤT  Vấn đề 1: SỬ DỤNG CÔNG THỨC kk n n n P ,A ,C A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. HOÁN VỊ Số hoán vò của n phần tử:. cố A và B độc lập nếu biến cố B có xảy ra hay không thì xác suất của A vẫn không đổi: p(AB)=p(A) p(A B) = p(A)p(B) TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 303 B. ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC. của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp

Ngày đăng: 12/05/2014, 21:10

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan