Chuyên đề đại số tổ hợp

CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM http://vinstar.edu.vn Hotline: 0978.459828 Tel: 0462.787.333 Chuyên đề luyện thi đại học Trang 1 Chuyên đề đại số tổ hợp. NỘI DUNG Đ1: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và ứng dụng .  Lý thuyết: * Qui tắc cộng, qui tắc nhân. * Hoán vị, chỉnh hợp; tổ hợp. Các dạng toán ứng dụng. 1.1. Dạng 1: Rút gọn biểu thức đại số tổ hợp. 1.2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức đại số tổ hợp. 1.3. Dạng 3: Giải phương trình; bất phương trình đại số tổ hợp. 1.4. Dạng 4: Các bài toán đếm số phương án. Đ2: Nhị thức Newtơn và ứng dụng.  Lý thuyết: Nhị thức Newtơn.  Các dạng toán ứng dụng. 2.1. Dạng 1: Tính tổng tổ hợp. 2.2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức đại số tổ hợp. 2.3. Dạng 3: Xác định hệ số của số hạng trong khai triển nhị thức Newtơn. Đ1: hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và ứng dụng.  Lý thuyết: I. Qui tắc cộng, qui tắc nhân. 1. Quy tắc cộng: Nếu có m 1 cách chọn đối tượng x 1 , có m 2 cách chọn đối tượng x 2 , m n cách chọn đối tượng x n và nếu cách chọn đối tượng x i không trùng với đối tượng x j nào( i khác j; i, j = 1,2, ,n) thì có m 1 + m 2 + + m n cách chọn một trong các đối tượng đã cho. 2. Quy tắc nhân: Nếu một phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp, bước 1 có m 1 cách, bước 2 có m 2 cách, bước n có m n cách, thì phép chọn đó được thực hiện theo m 1 .m 2 m n cách khác nhau. II. Hoán vị, chỉnh hợp; tổ hợp. 1. Hoán vị: * ĐN: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n  1). Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. * Số hoán vị của n phần tử : P n = n! = 1.2.3.4.5….n ( ; n 1)nN   ; Qui ước 0! 1 . CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM http://vinstar.edu.vn Hotline: 0978.459828 Tel: 0462.787.333 Chuyên đề luyện thi đại học Trang 2 2. Chỉnh hợp: * ĐN: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k (1  k  n) phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A. * Số chỉnh hợp chập k của n phần tử : )1) (1(  knnn A k n (1  k  n) ! ( )! n k A n nk   (1  k  n) 3. Tổ hợp: * ĐN: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (0  k  n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. * Số tổ hợp chập k của n phần tử : )!(! ! knk n C k n   (0  k  n)  Các dạng toán thường gặp: 1.1. Dạng 1: Rút gọn biểu thức đại số tổ hợp. 1.2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức đại số tổ hợp. 1.3. Dạng 3: Giải phương trình; bất phương trình đại số tổ hợp. 1.4. Dạng 4: Các bài toán đếm số phương án. 1- Dạng 1: rút gọn biểu thức đại số tổ hợp. 1. Phương pháp: Sử dụng các công thức sau để rút gọn biểu thức đại số tổ hợp: * ! n Pn ( * nN ) * ! ( )! n k A n nk   (1  k  n) * ! !( )! n k C n k n k   (0  k  n) 2. Một số ví dụ: VÍ DỤ 1 Rút gọn biểu thức: 1 ! 2 n k A n k k     Bài giải Ta có nhận xét:   1 1 1 ! 1 ! ! k k k k    Suy ra   1 1 1 1 1 1 1 1 1 ! 1! 2! 2! 3! 1 ! ! ! 2 n k A n k n n n k               Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: 65 4 AA nn A A n   CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM http://vinstar.edu.vn Hotline: 0978.459828 Tel: 0462.787.333 Chuyên đề luyện thi đại học Trang 3 Bài giải Ta có 2 )4()5)(4(4 )3) (1( )4) (1()5) (1(     nnnn nnn nnnnnn A Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức: 1 1 2 2 1   n n C n n C n n C n C n CA Bài giải: Ta lần lượt có: 1 n Cn ! 2 2!.( 2)! 2 2. 1 1! 1!.( 1)! n C n n n n C n n      1 1 1! 1!.( 1)! n C n n nn C n n    ( 1) suy ra : 1 2 1 . 2 nn A n n         3. Bài tập tự luyện: <1> Rút gọn biểu thức: 1 1 ( 1) n n k C kk     <2>Rút gọn biểu thức: 5! ( 1)! . ( 1) 3!( 1)! m A m m m    <3> Rút gọn biểu thức: 12 11 10 9 49 49 17 17 10 8 49 17 - A A A A B AA   2-Dạng 2: chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức đại số tổ hợp. 1. Phương pháp: Thực hiện các bước sau:  Sử dụng các công thức: * ! n Pn ( * nN ) * ! ( )! n k A n nk   (1  k  n) * ! !( )! k n n C k n k   (0  k  n) * -1 (0 ) -1 -1 k k k C C C k n n nn     CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM http://vinstar.edu.vn Hotline: 0978.459828 Tel: 0462.787.333 Chuyên đề luyện thi đại học Trang 4 đưa đẳng thức, bất đẳng thức đại số tổ hợp thành đẳng thức, bất đẳng thức đại số thông thường.  Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức đại số thông thường suy ra đpcm. 2. Một số ví dụ: Ví dụ 1: CMR với k, n  N, 3 k  n ta có: n kn Ak n kn A n kn A        212 Bài giải ( )! ( )! ( )! 1 21 1 ( 2)! ( 1)! ( 2)! 1 22 ( )! ( )! ( )! 2 ( 1)( 2)! ( 1).( 2)! ! n k n k n k nn VT A A n k n k k k k k k n k k n k k n k n k A VP nk k k k k k k                                 Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 1 22 ( !) ( ) ( , 2) 2 n nn n n n Z n      (1) Bài giải Biến đổi BĐT (1) về dạng: 1 22 (1.2.3 ) ( ) 2 n nn nn   2 1 2 [(1. )2.( 1)].3.( 2) ( 1)] ( ) 2 n nn n n n n k n k         (2) a.Ta có đánh giá: ( 1) (*) ( , 1)k n k n k n k      do (*) ( 1) ( 1) 0 ( )( 1) 0n k k k n k k         đúng ,1k n k   áp dụng BĐT (*) với k = 2,…, n -1 ta được 1. 2.( 1) ( 1) .1 nn nn k n k n nn                  n bất đẳng thức. Suy ra 2 [(1. )2.( 1)].3.( 2) ( 1) ( 1).2( .1)] a) n n n n k n k n n n      b. Sử dụng BĐT Côsi tacó : 11 22 ( 1) ( ) ( ) 22 k n k n k n k         (**) 0,k n k   áp dụng BĐT (**) với k =1,2,…, n ta được CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM http://vinstar.edu.vn Hotline: 0978.459828 Tel: 0462.787.333 Chuyên đề luyện thi đại học Trang 5 2 2 2 1 1. 2 2 1 2( 1) 2 1 ( 1) BDT 2 1 ( 1)2 2 2 1 1. 2 n n n n n k n k n n n n n                                                 Suy ra 2 1 (1. )[2.( 1)].3.( 2) ( 1) ( 1)2( .1) 2 n n n n n k n k n n           b) Từ a) và b) suy ra (2) được chứng minh , suy ra (1) được chứng minh Ví dụ 3: CMR a. 1 2 3 33 3 k k k k k C C C C C n n n n n         b. -1 -2 2 (2 ) 2 k k k k C C C C k n n n n n       c. 1 2 3 3 2 2 5 4 32 k k k k k k C C C C C C n n n n nn            Bài giải a. Ta có : 1 1 2 2 3 ( ) 2( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 k k k k k k VT C C C C C C n n n n n n k k k k k k k C C C C C C C n n n n n n n k k k C C C VP n n n                                       b. Ta có: -1 -2 2 (2 ) 2 k k k k C C C C k n n n n n       Nên:         -1 -1 - 2 -1 1 1 2 k k k k k k k VP C C C C C C C VT n n n n n n n            c.   1 1 2 3 1 2 3( ()) k k k k n n n n kk VT C C nn C C C C                 1 2 3 2 3 1 1 1 k k k C C C n n n           CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM http://vinstar.edu.vn Hotline: 0978.459828 Tel: 0462.787.333 Chuyên đề luyện thi đại học Trang 6               1 2 2 3 2 1 1 1 1 23 2 22 2 2 3 2 3 2 2 3 2 2 k k k k C C C C n n n n kk CC nn k k k k k C C C C C VP n n n n n                                Ví dụ 4: CMR: 2 . ( ) (0 ) (1) 2 2 2 - n n n C C C k n n n k n k     Bài giải Ta có:                     2 . ( ) (0 ) (1) 2 2 2 - 2 2 ! 2 ! 2 ! 2 . ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) !. ! !. ! !. ! 2 ( 1)( 2) ( ) ( 1)( 2) ( ) ( 1) ( ) (1 n n n C C C k n n n k n k n k n k n n k n k n n k n k n n n n n k n n k n n n n k n k n k n n k n k n k n n n n nk                                                 2 )( 1) ( )( ) ( 1) ( ) (*)n k n k n n k n n n n         Theo BĐT Cauchy ta có   2 ( )( ) 0 k n; n k i n k i n i         i = 1 n Cho ni ,1 ta được BĐT (*) Vậy BĐT (*) đúng  (1) được chứng minh. 3. Bài tập tương tự Bài 1: 1 . ( 1) ( , ) nm nC m C m n Z m n m n      Bài 2: 22 ( 2, ) 1 C C n n n Z n n       Bài 3: - . . ( , , , , ) - r k k r k C C C C r k n N r n k r n r n n r     Bài 4: 1 2 -1 1 ( ) 2 2 2 2 2 nn C C C n Z n n n      Bài 5: -1 -1 n rr CC n n r  Bài 6 * :   23 1 1 2. 3 1 2 -1 -1 2 p n C C C C nn n n n n C p n n pn C C C C n n n n         Bài 7: , 2 n N n   ta có   1 1 1 1 2 2 2 23 n n A A A n      Bài 8: CMR: -2 ( -1) ( 1) -2 kk k k C n n C n n  CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM http://vinstar.edu.vn Hotline: 0978.459828 Tel: 0462.787.333 Chuyên đề luyện thi đại học Trang 7 Bài 9: CMR: -1 (0 ) -1 -1 k k k C C C k n n nn     Bài 10: CMR: 2 . ( ) 0 )(1) 2 2 2 - n n n C C C k n n n k n k     Bài 11: CMR: 1 11 k k k A A kA n nn    Bài 12: CMR: 1 2 3 1 2 3 1 nn P P P nP P        Bài 13: CMR: 3 3 2 2 32 4 1 52             k m C k m C k n C k n C k n C k n C Bài 14: CMR: ),2( 2 21 2 nk k n C k n C k n C k n C        Bài 15: CMR: . . . ( , ; , , ) r k k n k a C C C C r n k r n r k Z n r n rk       + + + 1 . ( ) 1 1 2 1 . ( ) 1 2 1 n r rr b C C r n nr r r r r c C C C C r n n n n r             Bài 16: CMR: 0 1 1 2 2 5 5 1) . . . . 5 5 5 5 5 1 2 1 2) 1 2 1 1 2 3 4 3) 4. 6. 4. 4 3 1 2 4) 3. 3 3 k k k k k C C C C C C C C C n n n n n r r r r C C C C n n n r k k k k k k C C C C C C n n n n n n k k k k k C C C C C n n n n n                                      111 5) 2 2 m m m n n n m C C C C n      3 12 6) 3 3 3 1 2 3 2 3 7)2 5. 4. 23 kkk k k C C C C C n n n n n k k k k k k C C C C C C n n n n nn                   Bài 17: CMR: 1000 (0 k 2000) 2001 2001 2001 2001 1 1001k k C C C C      ( ĐHQGHN – A –99- 00 ) Bài 18: CMR: 210 100 2 50 100 210 100 2  C 3- Dạng 3: Phương trình, bất phương trình đại số tổ hợp. * Định nghĩa: Phương trình, bất phương trình đại số tổ hợp là phương trình, bất phương trình có chứa ẩn dưới các kí hiệu: ! n , n P , k n A , k n C . * Cách giải:  Bước 1: Đặt điều kiện của ẩn. Nhớ rằng: CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM http://vinstar.edu.vn Hotline: 0978.459828 Tel: 0462.787.333 Chuyên đề luyện thi đại học Trang 8 - ! n có nghĩa  n N - n P có nghĩa  n N * - k n A có nghĩa  nk, N; 1 kn - k n C có nghĩa  nk, N; nk 0  Bước 2: Chuyển phương trình, bất phương trình đại số tổ hợp sang phương trình, bất phương trình đại số thông thường nhờ các công thức tổ hợp: - 1.2.3 n ! n với mọi 1,  nNn (nhớ: 0! = 1) - !nP n  với mọi n N * - )!( ! )1) (2)(1( kn n knnnnA k n   với mọi      nk Nnk 0 , - ! !( - )! k n n C k n k  với mọi nk, N; nk 0 - 1 11 k k k n n n c c c    ( nk, N; nk 0 ) - k n k nn cc   ( nk, N; nk 0 )  Bước 3: Giải phương trình, bất phương trình đại số thông thường để tìm ẩn.  Bước 4: Đối chiếu với tập xác định, kết luận. * Một số ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 1 1 1 . 72 y x x y x AP P     Lời giải + Điều kiện của x; y: , ; x 2; y x-1x y N   (*) + Biến đổi phương trình về dạng: 2 ( 1)! ( )! ( )! 72 ( 1) 72 ( 1)! 8 72 0 9 x xy xy xx x x xx x                   Đối chiếu với điều kiện ( * ) suy ra nghiệm của phương trình là 8x  . 17y . ( ĐHBK – 2000- 2001 ): Giải bất phương trình sau: Ví dụ 2: 2 2 3 2 16 10 2 x x x A A C x    Lời giải + Điều kiện của x: 3 xN + Biến đổi bất phương trình về dạng: CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM http://vinstar.edu.vn Hotline: 0978.459828 Tel: 0462.787.333 Chuyên đề luyện thi đại học Trang 9 1 (2 )! ! 6 ! 10 2 (2 2)! ( 2)! 3!( 3)! 1 6 ( 2)( 1) (2 1)2 ( 1) 10 2 3! (2 1) ( 1) ( 2)( 1) 10 3 12 0 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                               + Kết hợp với Điều kiện (*) 3; 4xx   + Vậy nghiệm của bất phương trình là 3; 4xx ( HVBCVT- 98- + TNTHPT 02- 03): Ví dụ 3: Giải hệ: 2:5:6:: 11 1    y x y x y x CC C + Điều kiện của x, y ; ; 01 1 01 1 01 x y N x y N yx y yx xy yx                       + Ta có: 1 1 11 11 1 1 11 65 : : 6:5:2 6 5 2 52 yy xx y y y y y y x x x x x x yy xx CC C C C C C C CC                      1 ( 1)! 1 ( )! 6 !( 1 )! 5 ( 1)!( 1)! 1 ( )! 1 ( )! 5 ( 1)!( 1)! 2 ( 1)!( 1)! xx y x y y x y xx y x y y x y                           5( 1)( 1) 6( )( 1) 2( )( 1) 5 ( 1) x y x y x y x y x y y y                5( 1)( 1) 3.5 ( 1) 2( )( 1) 5 ( 1) x y y y x y x y y y              13 2( )( 1) 5 ( 1) xy x y x y y y           31 2(3 1 )(3 1 1) 5 ( 1) xy y y y y y y             2 31 39 xy yy       3 1 8 33 x y x yy         Vậy nghiệm của hệ là x = 8; y = 3 * Bài Tập Tương Tự: <1> Giải các phương trình, bất phương trình sau: 1. 79 21   x x x x o x CCC 6. xCA x xx 14 23   (TNTHPT - 98 - 99) 2. 33 86 5 x xx CA    7. xxCCC xxx 14966 2321  (ĐHNN - 99- 00) 3. 2 7 321 x CCC xxx  8. xAA xx 215 23  (ĐHQGHN - 98- 99) CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC VINSTAR VIỆT NAM http://vinstar.edu.vn Hotline: 0978.459828 Tel: 0462.787.333 Chuyên đề luyện thi đại học Trang 10 4. 10 6 2 1 322 2  xxx C x AA 9. 3 1 4 13 1 14 n n n C AP     ( ĐHHH – 1999 ) 5. 1 4 2 1 1 6 711   xxx CCC 10. 4 1 3 1 14 n n n n A P C     15. 2 5 3 60 ( )! k n n P A nk      (TNTHPT – 03 – 04 ) 16. 12 22 5 2 nn n n n C C A    (TNTHPT – 04 – 05 ) <2> Tìm các số âm trong dãy số 1 2 3 ; ; , , n x x x x với 4 4 2 143 4 n n nn A x PP    , n = 1,2,3,…,n. <3 > Giải các hệ phương trình sau: a.          1 12 35 y x y x y x y x CC CC b. 2 5 90 5 2 80 yy xx yy xx AC AC        c. 1 1 1 11 ( ): : 10:2:1 y y y y x x x x A yA A C      < 4 > Cho khai triển nhị thức: 1 1 1 1 0 1 1 1 1 3 3 3 3 2 2 2 2 (2 2 ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 )(2 ) (2 ) x x x x x x x x n n n n n n n n n n n C C C C                  ( n là số nguyên dương ). Biết trong khai triển đó 31 5 nn CC và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x. ( ĐHCĐ -A- 2002 ) < 5 > Tìm số nguyên dương n sao cho: 1 2 2 3 3 4 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2.2 3.2 4.2 (2 1)2 2005 nn n n n n n C C C C n C              ( ĐHCĐ -A- 2005 ) < 5 > Tính giá trị của biểu thức: 43 1 3 ( 1)! nn AA M n     biết rằng 2 2 2 2 1 2 3 4 2 2 149 n n n n C C C C         ( ĐHCĐ -D- 2005 ) IV- Dạng 4: Bài Toán Đếm Số Phương Án 1. Ghi nhớ : 1. Đối với loại toán đếm số phương án, ta cần chú ý - Đọc kỹ đầu bài, phân tích câu văn cặn kẽ, nắm chắc bản chất của hành động, đối tượng để thấy được các khả năng có thể. - Sử dụng phép mô hình hoá cùng các quy tắc đếm cơ bản. - Trong một số bài toán, có thể ta phải sử dụng đến phần bù. Nguyên lý bù trừ: Khi hai công việc có thể được làm đồng thời, chúng ta không thể dùng quy tắc cộng để tính số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả hai việc. Cộng số cách làm mỗi việc sẽ dẫn đến sự trùng lặp, vì những cách làm cả 2 việc sẽ được tính 2 lần. Để tính đúng số cách thực hiện nhiệm vụ này ta cộng số cách làm mỗi một trong 2 việc rồi trừ đi số cách làm đồng thời cả 2 việc. Đó là nguyên lý bù trừ. 2. Sử dụng qui tắc nhân để thực hiện bài toán đếm số phương án: [...]... nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ? 2 Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn ( ĐHSPHN2 - Đ8): Có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ ctrong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần các chữ số khác có mặt một lần Với các số 0, 1, 2, 3, 4, ,5 ta có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong... nhiêu số gồm 5 chữ số đôi 1 khác nhau lấy từ E trong mỗi trường hợp sau: a Là số chẵn b Một trong 3 số đầu tiên bằng 1 < 21 > Từ các số 0,1,2, ,9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau sao Cho trong các số đó có mặt chữ số 0 và 1 < 22 > Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 ta có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau sao cho trong các số đó phải có mặt chữ số 5 < 23 > Cho các chữ số 0,2,4,5,6,8,9... hệ số của số hạng lần lượt là:  Khai triển bắt đầu bằng   a ở các số hạng liền sau giảm đi 1 đơn vị và số mũ của b ở các số hạng liền sau tăng lên 1 đơn vị Tổng các số mũ của a và b bằng n Các hệ số của các số hạng cách đều hai số hạng đầu cuối bằng nhau 0 Cn a n 0 1 3 Cn ;Cn ;Cn2 ;Cn ;' ; Cnn kết thúc bằng n Cn bn , sau đó không kể đến hệ số, số mũ của k n k k Công thức của số hạng tổng quát: Số. .. 0462.787.333 Chuyên đề luyện thi đại học 60000 xây dựng từ 10 chữ số đó Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được : a Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau b Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau < 27 > Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau có thể lập được từ các chữ số 0,2,4,6,8 < 28 > Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được : a Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số 6,7 b.Tìm... các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 số trên sao cho: 1 Chữ số đầu tiên là 3 2 Các chữ số đều khác nhau 3 Không tận cùng bằng chữ số 4 < 29 > Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 ta có thể thành lập được bao nhiêu số chẵn mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau < 30 > Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8} Từ tập A: a Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 3 chữ số b Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số lẻ... số 1 có mặt 3 lần mỗi số khác có mặt 1 lần ( ĐHHuế – 00 – 01 - Đ26) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 từ các chữ số đã cho lập đợc: 1 Bao nhiêu chữ số chẵn có 4 chữ số và 4 chữ số đó khác nhau đôi một? 2 Bao nhiêu chữ số chia hết cho 5, có 3 chữ số và 3 chữ số đó khác nhau đôi một 3 Bao nhiêu chữ số chia hết cho 9, có 3 chữ số và 3 chữ số đó khác nhau đôi một Ngời ta viết các số có 6 chữ số. .. các chữ số 0,2,4,5,6,8,9 Hỏi có thể lập được bao nhiêu số: a Có 3 chữ số mà trong mỗi số các chữ số khác nhau b Có 4 chữ số khác nhau và có chữ số 5 < 24 > Với 5 chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt và thoả mãn: a Mỗi số nhỏ hơn 40000 b Mỗi số nhỏ hơn 45000 < 25 > Cho các số 0,1,2, ,9 có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn Trang 20 CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ PHÁT... chữ số 1, 2, 3, 4, 5 nh sau: Trong mỗi số đợc viết có một chữ số xuất hiện 2 lần còn các chữ số còn lại xuất hiện 1 lần Hỏi có bao nhiêu số nh vậy Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số đợc viết bởi duy nhất 3 chữ số 1, 2, 3, trong đó chữ số 2 xuất hiện 2 lần Tự luyện: < 15 > Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số ? < 16 > Cho A = {1,3,5,6,8} Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số lấy từ các chữ số. .. n - Số hạng không chứa biến Số hạng chính giữa Số hạng thứ n0 (n0  n) Số hạng có hệ số lớn nhất - Số hạng hũư tỷ, số hạng nguyên… - * Phương Pháp Giải: * Viết công thức của số hạng tổng quát: Số hạng thứ k + 1 trong khai triển (a  b)n là: Tk1  C n a cần xác định đúng a,b  hệ số của số hạng thứ k +1 là k n k b k ( 0  k  n ) trong bài k a k1  C n a nk * Từ gỉa thiết số hạng cần tìm là số hạng... bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi 1 khác nhau d Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi 1 khác nhau và chia hết cho 5 e Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi 1 khác nhau sao cho chữ số đứng cuối chia hết cho 4 < 31 > Với 4 chữ số 1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt < 32 > Với 5 chữ số 1,2,3,4 ,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt . bất đẳng thức đại số tổ hợp. 1.3. Dạng 3: Giải phương trình; bất phương trình đại số tổ hợp. 1.4. Dạng 4: Các bài toán đếm số phương án. 1- Dạng 1: rút gọn biểu thức đại số tổ hợp. 1. Phương. http://vinstar.edu.vn Hotline: 0978.459828 Tel: 0462.787.333 Chuyên đề luyện thi đại học Trang 1 Chuyên đề đại số tổ hợp. NỘI DUNG Đ1: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và ứng dụng .  Lý thuyết: * Qui tắc. nhân. * Hoán vị, chỉnh hợp; tổ hợp. Các dạng toán ứng dụng. 1.1. Dạng 1: Rút gọn biểu thức đại số tổ hợp. 1.2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức đại số tổ hợp. 1.3. Dạng 3: Giải