Toàn cảnh chuyên đề tích phân và ứng dụng ôn thi THPT

Tên sáng kiến: “ Toàn cảnh Nguyên Hàm - Tích Phân và Ứng Dụng ôn thi thpt quốc gia.” Lĩnh vực áp dụng: Phương pháp dạy học môn Toán.. Giải pháp cũ thường làm: Hiện nay với hình thức

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

I Tên sáng kiến:

“ Toàn cảnh Nguyên Hàm - Tích Phân và Ứng Dụng ôn thi thpt quốc gia.”

Lĩnh vực áp dụng: Phương pháp dạy học môn Toán

II Nội dung sáng kiến:

1 Giải pháp cũ thường làm:

Hiện nay với hình thức thi trắc nghiệm, nội dung thi chương Nguyên Hàm – Tích phân và Ứng dụng đã thay đổi rất nhiều so với trước đây nên cách dạy và học chương này theo kiểu cũ đã không còn phù hợp Trong đề thi trước đây các câu của chương “ Nguyên hàm – Tích Phân và ứng dụng” thường dừng ở mức độ dễ, nội dung mang tính hàn lâm,

do đó khi ôn thi cho học sinh chỉ cần tập trung một số dạng toán cụ thể là được

Dưới đây là trích dẫn một số câu thuộc nội dung này trong đề thi cũ

+Trích đề thi đại học năm 2016: Tính tích phân: 3  2 

I  x x x  x

+Trích đề thi đại học năm 2015: Tính tích phân 1

0( 3) dx

I x e x

+Trích đề thi dự bị ĐH năm 2015: 03

1

x

x







+Trích đề thi khối A năm 2014: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường

cong y x 2  x 3 và đường thảng y2x1

Tuy nhiên hiện nay trong đề thi trắc nghiệm mới xuất hiện rất nhiều nội dung lạ,

đa dạng, nhiều câu hỏi mang tính thực tế, đặc biệt là những câu vận dụng cao nhằm phân loại học sinh khá giỏi tập trung khá nhiều vào chương này

Dưới đây chúng tôi xin minh họa những câu thuộc chủ đề Nguyên Hàm – Tích phân

và Ứng dụng trong đề thi mới.

Câu 1. Cho hàm số f x  có đạo hàm trên đoạn 1; 2, f  1 1 và f  2 2 Tính

  2

1

d

I f x x

2

I 

Câu 2 Cho hàm số f x  thỏa mãn f 2  1

25

 và f' x  4x f x3   2  x Giá trị của f 1  bằng?

A 41

100

10

400

40



(Đề thi THPT Quốc Gia 2018)

Câu 3. Cho F x  là một nguyên hàm của hàm số f x ex2x thỏa mãn  0 3

2

Tìm F x 

2

x

2

x

F x  x 

2

x

2

x

F x  x 

Câu 4. Tính tích phân

2 2 1

I x x  x bằng cách đặt u x 21, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A

2

0

2 d

I   u u B

2

1

d

I  u u C

3

0

d

I  u u D

2

1

1

d 2

I   u u

Câu 5. Cho

1

0

ln

x

 



 , với a, b là các số hữu tỉ Tính S a 3b3

A S 2 B S 2 C S 0 D S 1

Câu 6. Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 1 và x 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ

x 1 x 3 thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là 3x và 3x 2 2

A V 32 2 15 B 124

3

V   C 124

3

V  D V 32 2 15 

Câu 7. Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h)

phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên Trong

khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một

phần của đường parabol có đỉnh I2;9 và trục đối xứng song song với

trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song

với trục hoành Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ

đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 8. Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ

dài trục lớn bằng 16 m và độ dài trục bé bằng 10 m Ông

muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8 m và nhận trục bé

của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để

trồng hoa là 100.000 đồng/1 m2 Hỏi ông An cần bao nhiêu

tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn

đến hàng nghìn)

A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng

C 7.128.000 đồng D 7.826.000 đồng

Câu 9. Cho hàm số yf x  Đồ thị của hàm số yf x  như hình bên

Đặt g x  2f x   x12 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A g 3 g3 g 1 B g3 g 3 g 1

C g 1 g3g 3 D g 1 g 3 g3

Như vậy nếu dạy và học theo nội dung cũ sẽ không giải quyết được hết các vấn đề của chủ đề Nguyên Hàm – Tích phân và ứng dụng, đặc biệt là các câu ở mức độ vận dụng, vận dụng cao chưa từng xuất hiện trong các đề thi trước đây như các bài toán thực tế, bài toán liên quan đến đồ thị

y

1 2 3 4

I

9

8m

x y

2



3



2

1 4

2 Giải pháp cải tiến:

Trước thực tế đó nhóm chúng tôi đã đầu tư nghiên cứu đưa ra các sáng kiến để có thể giải quyết trọn vẹn các vấn đề của chương Nguyên hàm – Tích phân và Ứng dụng Đặc biệt tập trung vào các dạng toán vận dụng cao dễ xuất hiện trong đề thi mới

Sáng kiến đã được trình bày một cách khoa học, có hệ thống, đầy đủ các dạng toán, đầy đủ hướng dẫn giải Học sinh có thể tự học, phù hợp với phương pháp dạy học tích cực mới lấy học sinh làm trung tâm Chắc chắn sáng kiến sẽ giúp ích rất nhiều cho các thầy cô và các em học sinh mong muốn đạt điểm cao trong kì thi trung học phổ thông quốc gia sắp tới

2.1 Cơ sở lý luận:

Toàn bộ các kiến thức cơ bản chúng tôi đã tóm tắt chi tiết theo từng chương nhằm giúp người đọc dễ theo dõi và ghi nhớ, đi kèm với đó là các ví dụ minh họa cụ thể theo từng đơn vị kiến thức( xem phần phụ lục của sáng kiến)

Dưới đây là các nội dung chính của sáng kiến

CHƯƠNG 1 Nguyên hàm – Tích phân hàm phân thức hữu tỷ

CHƯƠNG 2 Nguyên hàm – Tích phân từng phần

CHƯƠNG 3 Các bài toán về hàm lượng giác

CHƯƠNG 4 Nguyên hàm tích phân hàm vô tỷ, căn thức

CHƯƠNG 5 Các loại tích phân đặc biệt

CHƯƠNG 6 Phương pháp đổi cận đổi biến – Hàm ẩn

CHƯƠNG 7 Các bài toán về phương trình vi phân

CHƯƠNG 8 Các ứng dụng của tích phân

CHƯƠNG 9 Bất đẳng thức tích phân

CHƯƠNG 10 Các bài toán đồ thị trong tích phân

2.2 Giải pháp mới

Do nội dung kiến thức quá nhiều, tổng chủ đề chúng tối viết trên 500 trang đi kèm với nó

là nhiều dạng toán mới, nhiều giải pháp để giải quyết các dạng toán mới nên không thể giới thiệu đầy đủ các giải pháp mới trong sáng kiến này, chúng tôi xin phép chuyển toàn

bộ nội dung sang phần phụ lục Dưới đây chúng tôi chỉ xin giới thiệu qua một số nội dung tiêu biểu đảm biểu tiêu chí mới lạ kèm cách giải quyết sáng tạo

PHÂN

BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI TÍCH.

Ta sẽ bắt gặp các bài toán có dạng f' x  g x h f x     , với g x  là hàm theo biến x khi

đó cách làm chung của ta sẽ là lấy nguyên hàm 2 vế, cụ thể:

         

 

 

 

Hoặc có thể lấy tích phân 2 vế, đến đây thì tùy thuộc vào yêu cầu và giả thiết của bài toán

mà ta có thể suy ra kết quả cần tính

Để cùng hiểu rõ hơn ta sẽ bắt đầu với những ví dụ sau:

Câu 1.

Cho hàm số f x  thỏa mãn f 2  1

25

 và f' x  4x f x3   2  x Giá trị của f 1 

bằng?

A 41

100

10

400

40



Đề thi THPT Quốc Gia 2018

Lời giải Phân tích: Nếu ban đầu gặp dạng này có lẽ ta sẽ không biết cách xử lý thế nào, tuy nhiên

bám sát vào bài toán tổng quát ta sẽ có hướng làm như sau:

Giả thiết tương đương với:        

 

2

2

f' x

f x

Đến đây ta sẽ lấy nguyên hàm hay tích phân? Chú ý là với những bài toán bắt tính giá trị của hàm số tại một điểm mà giả thiết đã cho giá trị cụ thể của hàm tại một điểm nào đó thì ta sẽ lấy tích phân hai vế Lấy tích phân cận từ 1 đến 2 cả 2 vế ta được:

 

 

 

 

2

1

Chọn ý B.

BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI TỔNG.

Xét bài toán tổng quát sau: f' x k x f x    g x 

+ Gọi G x  g x dx  với G x  là một họ nguyên hàm của g x 

+ Nhân cả hai vế với eG x   ta được:

 

           

 

 

             

e f' x g x e f x k x e

e f x ' k x e f x e k x e dx

Ngoài ra còn một số dạng nữa ta sẽ tìm hiểu trong các ví dụ

Ta sẽ cùng giải quyết dạng toán này thông qua các ví dụ sau.

Câu 1.

Cho hàm số f x  liên tục trên R\0; 1 ,  thỏa mãn x x 1 f' x    f x  x2x với mọi x R \0; 1  và f 1  2ln2. Biết f 2   a bln3 với a, b R  , tính P a 2b 2

A P 1

2

4

4

2



Lời giải

Theo như bài toán tổng quát thì f' x  đang độc lập nên ở bài toán này ta cũng cần phải độc lập f' x  Biến đổi giả thiết ta được

       

   

x x 1



Ta có:

 

x ln

x 1

 

 



 

Nhân cả hai vế với x

x 1 ta thấy :  

 2    



Do đó giả thiết tương đương với :



Mà f 1  2ln 2 C 1 f x   x x ln x 1 1

x 1



Cho x 2  ta được    

3 a

3

2







 



A ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

I LÝ THUYẾT CẦN NẮM.

Trước khi vào lý thuyết của phần ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, ta sẽ chứng minh tính chất được dùng trong phần này

Tính chất: Nếu trên đoạn [a;b], hàm số f x  không đổi dấu thì:

     

f x dx  f x dx *

Chứng minh Hàm số f x  không đổi dấu trên đoạn a;b, nghĩa là f x  luôn dương hoặc luôn âm   x a;b

 Trường hợp 1.f x   0 x  a;b

Gọi F x  là một nguyên hàm của hàm số f x   F' x   f x     0 x a;b  F x luôn đồng biến trên a;b  F b  F a   F b  F a  0.

Ta có            

b a

f x dx f x dx F x F b  F a 1

             

b

b a a

f x dx  F x  F b  F a  F b  F a 2

Từ        

1 , 2  f x dx f x dx

 Trường hợp 2 f x  0 x  a;b

Chứng minh tương tự, suy ra    

f x dx  f x dx

Qua hai trường hợp, ta suy ra được điều phải chứng minh

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x    liên tục trên đoạn a;b , trục hoành và hai đường thẳng x a  , x b  được xác định:  

b a

Sf x dx

 Ta có  

 

y f x

y 0

H :

x a

x b

 















và  

b a

Sf x dx

Phương pháp giải.

Cách 1 Tính  

b a

Sf x dx theo phương pháp đã trình bày ở phần tích phân hàm trị tuyệt đối

y

a c1 c2 c3 b

 

f x

Cách 2 Áp dụng tính chất  * đã được chứng minh ở trên.

 Giải phương trình f x   0 1  trên đoạn a;b

 Nếu (1) vô nghiệm thì    

S f x dx f x dx.

 Nếu (1) có nghiệm thuộc a;b , giả sử có duy nhất 1 nghiệm là  thì:

S f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

    

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x    ,y g x    liên tục trên đoạn

a;b và hai đường thẳng x a , x b  được xác định:    

b

a

Sf x g x dx

Ta có  

   

   

1 2

C :y f x

C : y g x

H :

x a

x b















;    

b a

Sf x g x dx

Phương pháp giải

Cách 1 Tính    

b a

Sf x g x dx theo phương pháp đã trình bày ở phần tích phân hàm trị tuyệt đối

Cách 2 Áp dụng tính chất  * đã được chứng minh ở trên

 Giải phương trình f x   g x   1 trên đoạn a;b

 Nếu  1 vô nghiệm thì          

S f x  g x dx f x  g x dx.

 Nếu  1 có nghiệm thuộc a;b , giả sử có duy nhất 1 nghiệm là  thì:

               

S f x g x dx f x g x dx f x g x dx





      

Chú ý

y

C1

C2

 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x g y   ,x h y    và hai đường thẳng y c ,y d được xác định:    

d

c

Sg y  h y dy

 Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi prabol y ax 2bx c và trục hoành với

2

b  4ac 0 là  2 3 3

2

b 4ac S

Gọi x1x2là hai nghiệm của phương trình ax2bx c 0  ta có

xx12 2  xx12 2   32 31  22 21  2 1

2

6

2

1

6

3 2

2

b 4ac

Hoặc dùng công thức đã biết có 2  2 3

2 1

b 4ac



Suy ra diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi  P :y ax 2bx c và đường thẳng

d :mx n  cắt nhau tại hai điểm phân biệt là 2 3   2   

4

36a



II CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA.

Câu 46 (Trang 359 – Chương 8) Vòm cửa lớn của một trung

tâm văn hoá có dạng hình Parabol Người ta dự định lắp cửa

kính cường lực cho vòm cửa này Hãy tính diện tích mặt kính

cần lắp vào biết rằng vòm cửa cao 8m và rộng 8m (như hình vẽ)

A 28m2

3 B 26m2

3

C 128m2

3 D 131m2

3

Lời giải

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ

Gọi  P :y ax 1  2 c là Parabol đi qua hai điểm A 4;0 ,B 0;8   

Nên ta có hệ phương trình sau  1 2

1

2





4

4



TÍCH PHÂN

Câu 20 ( Trang 501 – Chương 10) Cho đồ thị hàm số f' x  và g' x  như hình vẽ Đặt

     

h x f x g x Biết g 3 g 4    3 f 3 f 4    , hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?

A h x  đạt min là h 1 ,h 1   0 B h x  đạt min là h 1 ,h 1   0

C h x  đạt max là h 1 ,h 1   0 D h x  đạt max là h 1 ,h 1    0

Lời giải

Dễ thấy

     

h' 3 h' 1 h' 4 0

Dựa vào đò thị, thấy f' x  g' x  với x  1;4  h' x  0với x  1;4

Ta có bảng biến thiên

x    3  1 4



 

h' x  0  0  0 

y

4

8

y

1

 1

3

 

'

f x

 

'

g x

 

h x

 

h' x

 có cực tiểu là h 1 

Dựa vào tương quan các phần diện tích trên đồ thị, dễ thấy

1 1 g' x dx 3 1 g' x dx 5 g 4 g 1 2 g 1 g 3

         

 311 f' x dx   411 f' x dx   2 f 1 f 3    5 f 4 f 1   

         

Từ  1 và  2  h 1   f 1 g 1    0

Chọn ý A.

V Hiệu quả kinh tế và xã hội dự kiến đạt được

1 Hiệu quả kinh tế:

Với việc sáng kiến kinh nghiệm do chúng tôi tự tổng hợp, biên soạn không mất tiền bản quyền chỉ tốn chi phí in ấn, mỗi cuốn sáng kiến đã tiết kiệm đến 100.000 với hơn

1000 học sinh sử dụng( Học sinh trong 3 khóa từ 2017 đến 2019) như thế chúng tôi đã tiết kiệm đến 100 triệu Nếu được áp dụng và nhân rộng trên toàn tỉnh với số luợng 27 trường THPT sẽ tiết kiệm được số tiền rất lớn và là sản phẩm tri thức có giá trị

2 Hiệu quả xã hội:

- Đối với học sinh, phụ huynh và xã hội: Với bộ tài liệu do chính tay thầy cô trong

trường viết, học sinh cảm thấy rất hào hứng trong học tập, phụ huynh cảm thấy rất tự hào

về ngôi trường mà mình gửi gắm con em Trong các kì thi học kì và thi thử đã thấy các

em tự tin rất nhiều khi gặp các câu hỏi trong chủ đề này, kể cả các câu khó Nhà trường

đã ngày càng thu hút được nhiều học sinh có chất lượng dự thi vào trường

- Đối với nhà trường THPT Bình Minh: Sau khi áp dụng sáng kiến này tại nhà trường

thu được kết quả tốt, tạo được sự tin tưởng chuyên môn của nhóm toán nhà trường Đồng thời khích lệ phong trào viết sáng kiến, cải tiến phương pháp dạy học đạt hiệu quả cao Đóng góp vào nâng cao chất lượng giảng dạy của nhà trường nhiều năm gần đây là đơn

vị có điểm thành tích học tập môn toán trong tốp dẫn đầu khối THPT tỉnh Ninh Bình

- Đối với việc giảng dạy: Sáng kiến này tiếp tục đóng góp vào việc giáo viên tích cực

đổi mới phương pháp giảng dạy, đặc biệt là các em học sinh có lực học khá trở lên có thể

tự học, tự đọc tại nhà Nội dung Sáng kiến này là tài liệu tham khảo có thể áp dụng cho tất cả các trường THPT trong toàn tỉnh (27 trường THPT) Đặc biệt là cho các đối tượng

học sinh ôn thi THPT Quốc gia Là một chuyên đề giảng dạy hiệu quả cho giáo viên

VI Điều kiện và khả năng áp dụng

1 Khả năng áp dụng sáng kiến trong thực tiễn:

Rộng rãi đối với tất cả các trường trung học phổ thông

Hiện nay, tại hầu hết các trường THPT đều coi trọng vấn đề dạy ôn thi THPT Quốc gia cho học sinh, mà môn Toán là môn thi nằm trong nhiều khối thi của học sinh Vì vậy vấn đề dạy ôn thi THPT Quốc gia môn Toán càng được các nhà trường quan tâm nhiều hơn nữa Mà nội dung chuyên đề Nguyên Hàm – Tích Phân và Ứng dụng là một phần nội dung quan trọng và khó đối với nhiều học sinh cũng như khó khăn với giáo viên trong công việc soạn đề kiểm tra và đề thi Do đó, việc áp dụng sáng kiến này vào trong thực tiễn giảng dạy là hết sức khả quan Vấn đề không chỉ còn nằm ở khả năng truyền đạt của thầy cô giáo mà cần có sự cố gắng của cả nhà trường, giáo viên và học sinh

2 Điều kiện áp dụng sáng kiến:

Để áp dụng sáng kiến này sao cho đạt được hiệu quả tốt nhất chúng ta cần:

+ Nhiều dạng toán mới, nhiều dạn toán khó giáo viên cần nghiên cứu kĩ trước sáng kiến để có thể truyền thụ tốt nhất lượng kiến thức đến từng đối tượng học sinh

+ Tùy theo từng đối tượng học sinh ở từng lớp mà đưa ra các mức độ ví dụ trong sáng kiến cho phù hợp Tuy nhiên sáng kiến phù hợp nhất với đối tượng học sinh khá giỏi ôn luyện thi đạt điểm cao

+ Kiểm tra sự tiếp thu của học sinh về nội dung sáng kiến qua việc làm và giải quyết các bài tập về nhà

+ Thường xuyên cập nhật đề thi THPT Quốc gia và thi thử các trường để bổ sung vào sáng kiến góp phần làm phong phú hơn kho bài tập

Tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự thật và hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật