skkm toàn cảnh chuyên đề tích phân và ứng dụng ôn thi THPT

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi : Hội đồng sáng kiến: Sở GDĐT Ninh Bình Chúng tơi ghi tên đây: TT Họ tên Ngày Nơi công tháng tác Chức vụ năm sinh Trình độ Tỷ lệ (%) chun đóng góp mơn vào việc tạo sáng kiến Lã Duy Tiến 14/05/1985 Trường Giáo viên Đại Học 40% Giáo viên Đại học 30% THPT Bình Minh Bùi Văn Hòa 26/01/1985 Trường THPT Bình Minh Trần Thị Loan 10/02/1988 Trường Giáo viên Đại Học 30% THPT Bình Minh I Tên sáng kiến: “ Toàn cảnh Nguyên Hàm - Tích Phân Ứng Dụng ơn thi thpt quốc gia.” Lĩnh vực áp dụng: Phương pháp dạy học mơn Tốn II Nội dung sáng kiến: Giải pháp cũ thường làm: Hiện với hình thức thi trắc nghiệm, nội dung thi chương Nguyên Hàm – Tích phân Ứng dụng thay đổi nhiều so với trước nên cách dạy học chương theo kiểu cũ khơng phù hợp Trong đề thi trước câu chương “ Nguyên hàm – Tích Phân ứng dụng” thường dừng mức độ dễ, nội dung mang tính hàn lâm, ơn thi cho học sinh cần tập trung số dạng tốn cụ thể Dưới trích dẫn số câu thuộc nội dung đề thi cũ ) ( +Trích đề thi đại học năm 2016: Tính tích phân: I = ∫0 3x x + x + 16 dx +Trích đề thi đại học năm 2015: Tính tích phân I = ∫0 ( x − 3)e x dx +Trích đề thi dự bị ĐH năm 2015: I = ∫0 x dx x +1 +Trích đề thi khối A năm 2014: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = x − x − đường thảng y = x + Tuy nhiên đề thi trắc nghiệm xuất nhiều nội dung lạ, đa dạng, nhiều câu hỏi mang tính thực tế, đặc biệt câu vận dụng cao nhằm phân loại học sinh giỏi tập trung nhiều vào chương Dưới xin minh họa câu thuộc chủ đề Nguyên Hàm – Tích phân Ứng dụng đề thi Câu Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm đoạn [ 1; 2] , f ( 1) = f ( ) = Tính I = ∫ f ′ ( x ) dx A I = Câu D I = C I = B I = −1 Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f ( 2) = − f '( x) = 4x3 ( f ( x) ) ∀x ∈ ¡ Giá 25 trị f ( 1) bằng? A − 41 100 B − 10 C − 391 400 D − 40 (Đề thi THPT Quốc Gia 2018) x Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = e + x thỏa mãn F ( ) = Câu Tìm F ( x ) B F ( x ) = 2e x + x − x D F ( x ) = e + x + A F ( x ) = e x + x + x C F ( x ) = e + x + 2 Tính tích phân I = ∫ x x − 1dx cách đặt u = x − , mệnh đề Câu đúng? A I = ∫ u du Câu Cho ∫e 0 D I = ∫ u du 21 dx 1+ e = a + b ln , với a , b số hữu tỉ Tính S = a + b3 +1 x A S = Câu C I = ∫ u du B I = ∫ u du B S = −2 C S = D S = Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x = x = , biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x ( ≤ x ≤ 3) thiết diện hình chữ nhật có hai cạnh 3x A V = 32 + 15 Câu B V = 124π C V = 124 ( 3x − ) D V = 32 + 15 π Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong y I khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I ( 2;9 ) trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường s mà vật di chuyển O 123 t (kết làm tròn đến hàng phần trăm) A s = 23, 25 (km) B s = 21,58 (km) C s = 15,50 (km) D s = 13,83 (km) Câu Ông An có mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 16 m độ dài trục bé 10 m Ông 8m muốn trồng hoa dải đất rộng m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/ m Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm tròn đến hàng nghìn) A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng C 7.128.000 đồng D 7.826.000 đồng Câu Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình bên y Đặt g ( x ) = f ( x ) − ( x + 1) Mệnh đề đúng? A g ( 3) > g ( −3) > g ( 1) B g ( −3) > g ( 3) > g ( 1) C g ( 1) > g ( −3) > g ( 3) D g ( 1) > g ( 3) > g ( −3) −3 x O −2 Như dạy học theo nội dung cũ không giải hết vấn đề chủ đề Nguyên Hàm – Tích phân ứng dụng, đặc biệt câu mức độ vận dụng, vận dụng cao chưa xuất đề thi trước toán thực tế, toán liên quan đến đồ thị Giải pháp cải tiến: Trước thực tế nhóm chúng tơi đầu tư nghiên cứu đưa sáng kiến để giải trọn vẹn vấn đề chương Nguyên hàm – Tích phân Ứng dụng Đặc biệt tập trung vào dạng toán vận dụng cao dễ xuất đề thi Sáng kiến trình bày cách khoa học, có hệ thống, đầy đủ dạng toán, đầy đủ hướng dẫn giải Học sinh tự học, phù hợp với phương pháp dạy học tích cực lấy học sinh làm trung tâm Chắc chắn sáng kiến giúp ích nhiều cho thầy cô em học sinh mong muốn đạt điểm cao kì thi trung học phổ thơng quốc gia tới 2.1 Cơ sở lý luận: Tồn kiến thức chúng tơi tóm tắt chi tiết theo chương nhằm giúp người đọc dễ theo dõi ghi nhớ, kèm với ví dụ minh họa cụ thể theo đơn vị kiến thức( xem phần phụ lục sáng kiến) Dưới nội dung sáng kiến CHƯƠNG Nguyên hàm – Tích phân hàm phân thức hữu tỷ CHƯƠNG Nguyên hàm – Tích phân phần CHƯƠNG Các toán hàm lượng giác CHƯƠNG Ngun hàm tích phân hàm vơ tỷ, thức CHƯƠNG Các loại tích phân đặc biệt CHƯƠNG Phương pháp đổi cận đổi biến – Hàm ẩn CHƯƠNG Các tốn phương trình vi phân CHƯƠNG Các ứng dụng tích phân CHƯƠNG Bất đẳng thức tích phân CHƯƠNG 10 Các tốn đồ thị tích phân 2.2 Giải pháp Do nội dung kiến thức nhiều, tổng chủ đề chúng tối viết 500 trang kèm với nhiều dạng tốn mới, nhiều giải pháp để giải dạng tốn nên khơng thể giới thiệu đầy đủ giải pháp sáng kiến này, chúng tơi xin phép chuyển tồn nội dung sang phần phụ lục Dưới xin giới thiệu qua số nội CHƯƠNG dung tiêu biểu đảm biểu tiêu chí lạ kèm cách giải sáng tạo CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BÀI TỐN LIÊN QUAN TỚI TÍCH Ta bắt gặp tốn có dạng f '( x) = g ( x) h ( f ( x) ) , với g ( x) hàm theo biến x cách làm chung ta lấy nguyên hàm vế, cụ thể: f '( x) = g ( x) h ( f ( x) ) ⇔ f '( x) h ( f ( x) ) = g ( x) ⇒ ∫ f '( x) h ( f ( x) ) dx = ∫ g ( x) dx Hoặc lấy tích phân vế, đến tùy thuộc vào yêu cầu giả thiết tốn mà ta suy kết cần tính Để hiểu rõ ta bắt đầu với ví dụ sau: Câu Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f ( 2) = − f '( x) = 4x3 ( f ( x) ) ∀x ∈ ¡ Giá trị f ( 1) 25 bằng? A − 41 100 B − 10 C − 391 400 D − 40 Đề thi THPT Quốc Gia 2018 Lời giải Phân tích: Nếu ban đầu gặp dạng có lẽ ta cách xử lý nào, nhiên bám sát vào toán tổng quát ta có hướng làm sau: Giả thiết tương đương với: f '( x) = 4x ( f ( x) ) ⇔ f '( x) ( f ( x) ) = 4x3 Đến ta lấy nguyên hàm hay tích phân? Chú ý với tốn bắt tính giá trị hàm số điểm mà giả thiết cho giá trị cụ thể hàm điểm ta lấy tích phân hai vế Lấy tích phân cận từ đến vế ta được: f '( x) ( f ( x) ) = 4x3 ⇒ ∫ ⇔− f ( x) ( f ( x) ) = 15 ⇔ − f '( x) 2 dx = ∫ 4x3dx = 15 1 1 + = 15 ⇒ f ( 1) = − f ( 2) f ( 1) 10 Chọn ý B BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI TỔNG Xét toán tổng quát sau: f '( x) + k ( x) f ( x) = g ( x) + Gọi G ( x) = ∫ g ( x) dx với G ( x) họ nguyên hàm g ( x) + Nhân hai vế với eG( x) ta được: eG( x) f '( x) + g ( x) eG( x) f ( x) = k ( x) eG( x) ( ) ⇔ eG( x) f ( x) ' = k ( x) eG( x) ⇒ f ( x) = e− G( x) ∫ k ( x) eG( x) dx Ngồi số dạng ta tìm hiểu ví dụ Ta giải dạng tốn thơng qua ví dụ sau Câu Cho hàm số f ( x) liên tục R\ { 0;−1} , thỏa mãn x ( x + 1) f '( x) + f ( x) = x + x với x ∈ R\ { 0;−1} f ( 1) = −2ln Biết f ( 2) = a + bln với a, b ∈ R , tính P = a2 + b2 13 A P = B P = C P = D P = 4 Lời giải Theo tốn tổng qt f '( x) độc lập nên toán ta cần phải độc lập f '( x) Biến đổi giả thiết ta x ( x + 1) f '( x) + f ( x) = x2 + x ⇔ f '( x) + f ( x) = x ( x + 1)  x  Ta có: ln ÷ 1  x 1  x  x+ ∫ x( x + 1) dx = ∫  x − x + 1÷ dx = ln  x + 1÷ ⇒ e   = x + x x x ′  f ' x + f x = f x ( ) Nhân hai vế với ta thấy : ( )  ( ) x + 1 x+ x+ ( x + 1) Do giả thiết tương đương với : CHƯƠNG x ′ x x x    f x = ⇒ f ( x) =∫ dx = ∫  1− ( ) ÷dx = x − ln x + + C   x + 1 x + x+ x+ x + 1  x = x − ln x + − Mà f ( 1) = −2ln ⇒ C = −1⇒ f ( x) x+  a=  3  ⇒ P = Cho x = ta f ( 2) = − ln 3− ⇒ f ( 2) = − ln ⇒  2 b = −  CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG I LÝ THUYẾT CẦN NẮM Trước vào lý thuyết phần ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, ta chứng minh tính chất dùng phần Tính chất: Nếu đoạn [a;b] , hàm số f ( x) khơng đổi dấu thì: b b a a ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx ( *) Chứng minh Hàm số f ( x) không đổi dấu đoạn [ a;b] , nghĩa f ( x) dương âm ∀x ∈ [ a;b] • Trường hợp f ( x) ≥ ∀x ∈ [ a;b] Gọi F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) ⇒ F'( x) = f ( x) ≥ 0∀x ∈ [ a;b] ⇒ F ( x) đồng biến [ a;b] ⇒ F ( b) ≥ F ( a) ⇒ F ( b) − F ( a) ≥ b Ta có ∫ a b f ( x) dx = ∫ f ( x) dx = F ( x) a = F ( b) − F ( a) ( 1) b a b ∫ f ( x) dx = F ( x) a b a = F ( b) − F ( a) = F ( b) − F ( a) ( 2) b b a a Từ ( 1) ,( 2) ⇒ ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx • Trường hợp f ( x) < ∀x ∈ [ a;b] Chứng minh tương tự, suy b b a a ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx Qua hai trường hợp, ta suy điều phải chứng minh Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) liên tục đoạn [ a;b] , trục b hoành hai đường thẳng x = a , x = b xác định: S = ∫ f ( x) dx a y f ( x) a c1 O c2 c3 b x  y = f ( x)  b  y=0 • Ta có ( H ) :  S = ∫ f ( x) dx a  x= a  x = b Phương pháp giải b Cách Tính S = ∫ f ( x) dx theo phương pháp trình bày phần tích phân hàm trị tuyệt a đối Cách Áp dụng tính chất ( *) chứng minh • Giải phương trình f ( x) = ( 1) đoạn [ a;b] • b b a a Nếu (1) vơ nghiệm S = ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx • Nếu (1) có nghiệm thuộc [ a;b] , giả sử có nghiệm α thì: b α b α b a a α a α S = ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , y = g ( x) liên tục đoạn [ a;b] hai đường thẳng b x = a , x = b xác định: S = ∫ f ( x) − g ( x) dx a y ( C2 ) a O ( C1 ) c1 c2 b x  ( C ) : y = f ( x)  b ( C ) : y = g ( x) Ta có ( H ) :  ; S = ∫ f ( x) − g ( x) dx x= a a   x= b Phương pháp giải b Cách Tính S = ∫ f ( x) − g ( x) dx theo phương pháp trình bày phần tích phân hàm a trị tuyệt đối Cách Áp dụng tính chất ( *) chứng minh • Giải phương trình f ( x) = g ( x) ( 1) đoạn [ a;b] b • Nếu ( 1) vơ nghiệm S = ∫ f ( x) − g ( x) dx = a b ∫ ( f ( x) − g ( x) ) dx a • Nếu ( 1) có nghiệm thuộc [ a;b] , giả sử có nghiệm α thì: α b ∫ ( f ( x) − g ( x) ) dx + S = ∫ f ( x) − g ( x) dx = a a b ∫ ( f ( x) − g ( x) ) dx α Chú ý • Diện tích hình phẳng giới hạn đường x = g ( y ) , x = h ( y ) hai đường d thẳng y = c , y = d xác định: S = ∫ g ( y ) − h ( y ) dy c • Diện tích hình phẳng S giới hạn prabol y = ax2 + bx + c trục hoành với b − 4ac > S2 (b = − 4ac) = 36a4 ∆3 36a4 Gọi x1 < x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = ta có S= ∫ x2 x1 ( ax + bx + c) dx = ∫ ( ax x2 x1 + bx + c) dx = a b x2 − x31 ) + ( x22 − x12 ) + c( x2 − x1 ) ( x2 − x1 × 2a( x1 + x2 ) − x1x2  + 3b( x1 + x2 ) + 6c   = x2 − x1 × 2a( x1 + x2 ) − x1x2  + 3b( x1 + x2 ) + 6c    b2 c  3b2 = x2 − x1 × 2a − ÷ − + 6c a  a a = b2 − 4ac) ( b2  2  = x2 − x1 × 4c − ⇒S = ( x1 + x2 ) − 4x1x2  ( b − 4ac) = a 36a2  36a4 Hoặc dùng cơng thức biết có S = bh = x2 − x1 ×c − b = 3 4a (b − 4ac) 3 6a Suy diện tích S hình phẳng giới hạn ( P ) : y = ax + bx + c đường thẳng ∆3 d :mx + n cắt hai điểm phân biệt S = 36a4 ( ∆ = ( b − m) − 4a( c − n ) ) II CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA Câu 46 (Trang 359 – Chương 8) Vòm cửa lớn trung tâm văn hố có dạng hình Parabol Người ta dự định lắp cửa kính cường lực cho vòm cửa Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết vòm cửa cao 8m rộng 8m (như hình vẽ) 28 (m ) 128 C (m ) 26 (m ) 131 D (m ) A B Chọn hệ trục Oxy hình vẽ Lời giải y −4 O x Gọi ( P1 ) : y = ax + c Parabol qua hai điểm A ( 4;0) ,B ( 0;8)  0 = a.16+ c a = − ⇔ ⇒ ( P1 ) : y = − x + Nên ta có hệ phương trình sau  c = c = 10 ⇒ S= ∫ − 2x +8 = CHƯƠNG −4 128 (m ) CÁC BÀI TỐN VỀ ĐỒ THỊ TRONG TÍCH PHÂN 10 Câu 20 ( Trang 501 – Chương 10) Cho đồ thị hàm số f '( x) g'( x) hình vẽ Đặt h ( x) = f ( x) − g ( x) Biết g ( −3) + g ( 4) > > f ( −3) + f ( 4) , hỏi mệnh đề sau đúng? y A h ( x) đạt h ( −1) ,h ( −1) < B h ( x) đạt h ( −1) ,h ( −1) > C h ( x) đạt max h ( −1) ,h ( −1) < Lời giải Xét Dễ thấy −1 −3 D h ( x) đạt max h ( −1) ,h ( −1) > g'( x) O h'( x) = f '( x) − g'( x) x f '( x) h'( −3) = h'( −1) = h'( 4) = Dựa vào đò thị, thấy f '( x) > g'( x) với x ∈ ( −1;4) ⇒ h'( x) > với x ∈ ( −1;4) Ta có bảng biến thiên x h'( x) −∞ +∞ −3 + −1 − + − h ( x) ⇒ h'( x) có cực tiểu h ( −1) Dựa vào tương quan phần diện tích đồ thị, dễ thấy • ∫ ( 1− g'( x) ) dx > ∫ ( 1− g'( x) ) dx ⇒ 5− g ( 4) + g ( −1) > − g ( −1) + g ( −3) −1 −1 −3 ⇒ 2g ( −1) > g ( 4) + g ( −3) − > ⇒ g ( −1) > ( 1) • ∫ ( 1− f '( x) ) dx > ∫ ( 1− f '( x) ) dx ⇒ − f ( −1) + f ( −3) > 5− f ( 4) + f ( −1) −1 −3 −1 ⇒ 2f ( −1) < f ( −3) + f ( 4) − < ⇒ f ( −1) < ( 2) Từ ( 1) ( 2) ⇒ h ( −1) = f ( −1) − g ( −1) < Chọn ý A 11 V Hiệu kinh tế xã hội dự kiến đạt Hiệu kinh tế: Với việc sáng kiến kinh nghiệm tự tổng hợp, biên soạn không tiền quyền tốn chi phí in ấn, sáng kiến tiết kiệm đến 100.000 với 1000 học sinh sử dụng( Học sinh khóa từ 2017 đến 2019) tiết kiệm đến 100 triệu Nếu áp dụng nhân rộng toàn tỉnh với số luợng 27 trường THPT tiết kiệm số tiền lớn sản phẩm tri thức có giá trị Hiệu xã hội: - Đối với học sinh, phụ huynh xã hội: Với tài liệu tay thầy trường viết, học sinh cảm thấy hào hứng học tập, phụ huynh cảm thấy tự hào ngơi trường mà gửi gắm em Trong kì thi học kì thi thử thấy em tự tin nhiều gặp câu hỏi chủ đề này, kể câu khó Nhà trường ngày thu hút nhiều học sinh có chất lượng dự thi vào trường - Đối với nhà trường THPT Bình Minh: Sau áp dụng sáng kiến nhà trường thu kết tốt, tạo tin tưởng chun mơn nhóm tốn nhà trường Đồng thời khích lệ phong trào viết sáng kiến, cải tiến phương pháp dạy học đạt hiệu cao Đóng góp vào nâng cao chất lượng giảng dạy nhà trường nhiều năm gần đơn vị có điểm thành tích học tập mơn tốn tốp dẫn đầu khối THPT tỉnh Ninh Bình - Đối với việc giảng dạy: Sáng kiến tiếp tục đóng góp vào việc giáo viên tích cực đổi phương pháp giảng dạy, đặc biệt em học sinh có lực học trở lên tự học, tự đọc nhà Nội dung Sáng kiến tài liệu tham khảo áp dụng cho tất trường THPT toàn tỉnh (27 trường THPT) Đặc biệt cho đối tượng học sinh ôn thi THPT Quốc gia Là chuyên đề giảng dạy hiệu cho giáo viên VI Điều kiện khả áp dụng Khả áp dụng sáng kiến thực tiễn: Rộng rãi tất trường trung học phổ thông Hiện nay, hầu hết trường THPT coi trọng vấn đề dạy ôn thi THPT Quốc gia cho học sinh, mà mơn Tốn mơn thi nằm nhiều khối thi học sinh Vì vấn đề dạy ơn thi THPT Quốc gia mơn Tốn nhà trường quan tâm nhiều Mà nội dung chuyên đề Nguyên Hàm – Tích Phân Ứng dụng phần 12 nội dung quan trọng khó nhiều học sinh khó khăn với giáo viên công việc soạn đề kiểm tra đề thi Do đó, việc áp dụng sáng kiến vào thực tiễn giảng dạy khả quan Vấn đề khơng nằm khả truyền đạt thầy cô giáo mà cần có cố gắng nhà trường, giáo viên học sinh Điều kiện áp dụng sáng kiến: Để áp dụng sáng kiến cho đạt hiệu tốt cần: + Nhiều dạng tốn mới, nhiều dạn tốn khó giáo viên cần nghiên cứu kĩ trước sáng kiến để truyền thụ tốt lượng kiến thức đến đối tượng học sinh + Tùy theo đối tượng học sinh lớp mà đưa mức độ ví dụ sáng kiến cho phù hợp Tuy nhiên sáng kiến phù hợp với đối tượng học sinh giỏi ôn luyện thi đạt điểm cao + Kiểm tra tiếp thu học sinh nội dung sáng kiến qua việc làm giải tập nhà + Thường xuyên cập nhật đề thi THPT Quốc gia thi thử trường để bổ sung vào sáng kiến góp phần làm phong phú kho tập Tôi xin cam đoan thông tin nêu đơn trung thực, thật hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật Bình Minh, ngày 15 tháng 04 năm 2019 XÁC NHẬN CỦA LÃNH ĐẠO ĐƠN VỊ Người nộp đơn (Ký ghi rõ họ tên) Lã Duy Tiến Bùi Văn Hòa Trần Thị Loan PHỤ LỤC 13 Do phần phụ lục SKKN dài Vậy Tôi xin phép gửi vào đường link đây: https://drive.google.com/open? id=1RCBKXvsqVK83W_vmdsRPhuYzDAwXKQT3 14 ... 2 b = −  CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG I LÝ THUYẾT CẦN NẮM Trước vào lý thuyết phần ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, ta chứng minh tính chất... trung học phổ thông Hiện nay, hầu hết trường THPT coi trọng vấn đề dạy ôn thi THPT Quốc gia cho học sinh, mà mơn Tốn môn thi nằm nhiều khối thi học sinh Vì vấn đề dạy ơn thi THPT Quốc gia mơn... nội dung chuyên đề Nguyên Hàm – Tích Phân Ứng dụng phần 12 nội dung quan trọng khó nhiều học sinh khó khăn với giáo viên cơng việc soạn đề kiểm tra đề thi Do đó, việc áp dụng sáng kiến vào thực