Nhóm con thuần túy bị chặn

i c= v p e ≠ vớ

2.4.2. Nhóm con thuần túy bị chặn

18 [ ]5 Cho nhóm A là tổng trực tiếp của các nhóm cyclic có cùng

cấp pk với k ≥1 và p là số nguyên tố và B là nhóm con của nhóm A. Khi đó các phát biểu sau tương đương:

1) B là nhóm con p- thuần túy của A. 2) B∩ p Ak =0.

3) B là hạng tử trực tiếp của A.

Chứng minh. Đầu tiên, ta chứng minh 1) suy ra 2). Do B là

nhóm con p- thuần túy của A nên theo Mệnh đề 2.2.1.5.17.18..

ta có p B Bk = ∩p Ak . Mặt khác B là tổng trực tiếp của nhóm cyclic có cấp pk nên p Bk =0. Vậy B∩ p Ak =0.

chú sau Định lý 1.4.1.5.17.18.15., tồn tại C là nhóm con B- cao của A chứa

.

k

p A Ta chứng minh A B C= ⊕ . Giả sử a là phần tử của A thỏa pa b c= + với

,

b B c C∈ ∈ . Khi đó p a p b p ck = k−1 + k−1 . Vì p a p A Ck ∈ k ≤ nên

1 1

k k k

p b p a p c C− = − − ∈ . Mặt khác, rõ ràng p b Bk−1 ∈ và C∩ =B 0 do C là

nhóm con B- cao của A. Do đó p bk−1 =0. Mà theo giả thiết nhóm con B là tổng

trực tiếp của các nhóm cyclic có cùng cấp pk nên tồn tại b′∈B sao chopb′ =b.

Khi đó theo 18. ta cóA B C= ⊕ .

Cuối cùng, giả sử B là hạng tử trực tiếp của A. Khi đó, theo Mệnh đề 2.2.2.5.17.18.. ta có B là nhóm con thuần túy của A. Theo 14. ta có B là nhóm

con p- thuần túy của A.Vậy 3) suy ra 1).

Vậy ba khẳng định 1) 2) 3) tương đương nhau. 

8 Cho A là một nhóm và p là một số nguyên tố. Cho a A∈ có

( )

o a = p và h ap( ) < ∞. Khi đó tồn tại hạng tử trực tiếp B của A

sao cho B cyclic và a B∈ .

Chứng minh. Đặt ( )A ( )

p

h a =k. Khi đó tồn tại b A∈ sao cho

. k p b a= Do p b p p b pak+1 = × k = =0 và p b ak = ≠0 nên ( ) k 1 o b = p + .

Đặt B= b . Ta chứng minh B∩ p Ak+1 =0. Giả sử B∩ p Ak+1 ≠0. Khi đó tồn tại c B∈ ∩ p Ak+1 , c ≠0. Vì c B∈ = b nên c up b= α với 1≤ ≤α k ,

(u p, ) =1. Khi đó theo Mệnh đề 1.3.1.5.17.20.. ta có hp( )B ( )c =α. Mặt khác, vì

1

k

c p A∈ + nên tồn tại d A∈ sao cho c p d= k+1 . Khi đó p d up bk+1 = α hay 1

k

p + up bα

. Vì (u p, ) =1 nên pk+1 p bα

. Suy ra pk+1 pk−α( )p bα = p b ak = . Suy ra h( )pA ( )a ≥ +k 1, mâu thuẫn với giả thiết h ap( )=k. Vậy

1 0

k

B∩ p A+ = .

Áp dụng 18. ta có B là hạng tử trực tiếp cyclic của A. 

14 [ ]8 Cho B là nhóm con thuần túy bị chặn của nhóm A. Khi đó

B là một hạng tử trực tiếp của A.

Chứng minh. Theo 8Định ly 1.4.1.5.17.18.14.ta có B là tổng

trực tiếp của các nhóm cyclic bậc lũy thừa nguyên tố.Vì B bị

chặn nên bậc của các hạng tử cyclic trên bị chặn trên. Bằng qui

nạp theo n, ta sẽ chứng minh mọi nhóm con thuần túy bị chặn

B mà B là tổng trực tiếp các nhóm cyclic có bậc không vượt

quá n đều là hạng tử trực tiếp trong nhóm chứa nó.

Với n=1, ta có B=0 nên mệnh đề đúng.

Cho n≥2, giả sử mệnh đề đúng với mọi số nguyên ≤ n−1, ta chứng minh mệnh đề đúng với trường hợp n. Đặt pk là bậc cao nhất của các hạng tử cyclic

hạng tử trực tiếp của A.

Trường hợp 2: Nếu pk =n thì đặt Bk là tổng trực tiếp của các

hạng tử cyclic có bậc pk và C là tổng trực tiếp các hạng tử còn

lại (bậc bé hơn n p= k). Khi đó ta có

k

B B= ⊕C. (1)

Theo Mệnh đề 2.2.2.5.17.18.. ta có Bk là nhóm con thuần túy của nhóm A.

Mà Bk là tổng trực tiếp của các nhóm cyclic có cùng bậc pk nên theo 18. tồn tại

nhóm con D sao cho

k

A B= ⊕D. (2)

Đặt C′ = ∩B D. Ta chứng minh B B= k ⊕C′. Thật vậy, do A B= k ⊕D và k

B ≤ B nên

( )

k k

B ∩ =C′ B ∩ B∩D =( Bk ∩B) ∩ =D Bk ∩ =D 0. (3) Lấy b B∈ , từ (1) suy ra tồn tại b1∈Bk, c C∈ sao cho b b= +1 c. Từ (2) suy ra

tồn tại b2∈Bk, d D∈ sao cho c b= +2 d. Suy ra b b b= + +1 2 d. Do đó

( 1 2)d b= − b b+ ∈B. Do đó d∈ ∩ =B D C′. Vậy b=(b b1+ 2) + ∈ +d Bk C′. Mà d b= − b b+ ∈B. Do đó d∈ ∩ =B D C′. Vậy b=(b b1+ 2) + ∈ +d Bk C′. Mà , k B C′ ⊂B nên Bk + ⊂C′ B. Suy ra . k B B= +C′ (4) Từ (3), (4) suy ra

k

B B= ⊕C′. (5)

Kết hợp (1), (5) với 18. ta có k B

C′ ≅ B ≅C

nên cũng như C, nhóm C′ là

tổng trực tiếp của các hạng tử cyclic có bậc không vượt quá n−1. Ta chứng minh C′ là hạng tử trực tiếp của D. Theo giả thiết quy nạp, ta chỉ cần chứng

minh C′ thuần túy trong D. Thật vậy, vì B C= ⊕′ Bk nên theo Mệnh đề

2.2.2.5.17.18.. ta có C′ thuần túy trong B. Mà B thuần túy trong A nên theo ý

1 của 18. ta có C′ là thuần túy trong A. Mặt khác C′ ≤ ≤D A nên áp dụng ý 4

của 18. ta có C′ thuần túy trong .D Vậy

D C= ′⊕E (6)

với E là một nhóm con của D.

Từ (2) và (4) ta có A B= k ⊕ =D Bk ⊕(C′⊕E) (= Bk ⊕C′) ⊕E. Mà từ (5) ta có B B= k ⊕C′ nên A B= ⊕E. Vậy B là hạng tử trực tiếp của A. 