Về giải tích fourier trên nhóm aben hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGƠ THU THỊ HIỀN VỀ GIẢI TÍCH FOURIER TRÊN NHĨM ABEN HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN – 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGƠ THU THỊ HIỀN VỀ GIẢI TÍCH FOURIER TRÊN NHÓM ABEN HỮU HẠN CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG NGHỆ AN – 2017 MỤC LỤC MỞ ĐẦU MỘT SỐ KÝ HIỆU THƢỜNG DÙNG TRONG LUẬN VĂN CHƢƠNG CẤU TRÚC CỦA NHÓM ABEN HỮU HẠN 1.1 Biểu diễn tổng trực tiếp nhóm aben hữu hạn 1.2 Nhóm đối ngẫu nhóm aben hữu hạn CHƢƠNG GIẢI TÍCH FOURIER TRÊN NHĨM ABEN HỮU HẠN 16 2.1 Giải tích Fourier sơ cấp 16 2.2 Tổng Poisson 24 KẾT LUẬN 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Lý thuyết nhóm nhánh đại số nghiên cứu tính chất nhóm - cấu trúc đại số Trong khoảng kỉ, nhiều nhà tốn học gặp khó khăn nghiên cứu tốn đại số trước lí thuyết nhóm đời Bắt đầu Joseph Louis Lagrange sử dụng nhóm hốn vị để tìm nghiệm đa thức (1771) Sau báo, nghiên cứu phương trình đại số Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss, Niels Henrik Abel (1824) Evariste Galois (1830), thuật ngữ lí thuyết nhóm xuất Vào khoảng cuối kỉ 19 lí thuyết nhóm hình thành nhánh độc lập đại số Nhiều khái niệm toán học xây dựng từ khái niệm nhóm nhờ thu nhiều kết mới, đóng góp cho phát triển nhiều ngành tốn học khác Hiện lí thuyết nhóm phần phát triển đại số có nhiều ứng dụng tơpơ học, lí thuyết hàm, mật mã học, học lượng tử nhiều ngành khoa học khác Bài tốn lí thuyết nhóm mơ tả tất hệ thống nhóm với xác đến đẳng cấu nghiên cứu phép biến đổi nhóm Trên thực tế, việc viết hết hệ thống nhóm khơng thể, mà lí thuyết nhóm cịn tiếp tục nghiên cứu Giải tích Fourier hay giải tích điều hồ khai sinh cơng trình Fourier, Euler số nhà toán học khác sở nghiên cứu chuỗi lượng giác Giải tích Fourier công cụ đắc lực để nghiên cứu đạo hàm riêng, lý thuyết nhóm lý thuyết số Trên sở tham khảo tài liệu [4] phương pháp sơ cấp lý thuyết số, lựa chọn đề tài luận văn ‘‘Về giải tích Fourier nhóm aben hữu hạn’’ nhằm tìm hiểu: Mối liên hệ ứng dụng sâu sắc lý thuyết số với lý thuyết nhóm giải tích tốn học Thể giải tích Fourier nhóm aben hữu hạn II Phƣơng pháp nghiên cứu luận văn Trong nghiên cứu sử dụng phương pháp, công cụ kỹ thuật của: - Nhóm aben hữu hạn, nhóm đối ngẫu nhóm aben hữu hạn; - Cơ sở số chiều không gian vectơ L2  G  ; - Độ đo tích phân hàm phức L2  G  - Phép biển đổi Fourier hàm phức xác định nhóm aben hữu hạn III Nội dung kết luận văn Ngoài mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm có hai chương Chương trình bày về: Cấu trúc nhóm aben hữu hạn; Đặc trưng nhóm aben hữu hạn; Nhóm đối ngẫu nhóm aben hữu hạn Chương trình bày về: Khơng gian vectơ hàm phức nhóm aben hữu hạn; Bất đẳng thức tam giác không gian vectơ hàm phức; Phép biến đổi Fourier nhóm Aben hữu hạn; Công thức Plancherel; Nguyên lý bất định; Công thức tổng Poisson Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn khoa học, người dành nhiều thời gian công sức cho việc giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, ngành Toán, Viện Sư phạm Tự nhiên, Phòng Đào tạo Sau Đại học - Trường Đại học Vinh, người tận tình giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành khóa học Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong muốn nhận góp ý thầy cô giáo đồng nghiệp TÁC GIẢ MỘT SỐ KÝ HIỆU THƢỜNG DÙNG TRONG LUẬN VĂN ● gcd  x, y, z  : Ước chung lớn số nguyên x, y, z ● lcm  x, y, z  : Bội chung nhỏ số nguyên x, y, z ● G : Nhóm aben hữu hạn ● G : Nhóm đối ngẫu nhóm G ● G : Cấp nhóm G ● G   G  p  : Tổng trực tiếp p  nhóm, với p ước nguyên tố m pm ● : Trường số phức ●  : Số phức ●  : Môđun số phức  ● f : Hàm liên hợp hàm phức f xác định G ● f : Chuẩn hàm phức f xác định G ● L2  G  : Không gian vec tơ n - chiều hàm phức xác định G   ● L2 G : Không gian vec tơ n - chiều hàm phức xác định G ● Với a  G , hàm  a  L2  G  định nghĩa 1 x  a, 0 x  a a  x   ●  a : a  G : Cơ sở trực giao không gian vectơ L2  G  ●  : Độ đo Haar G ●  f , g  : Tích hàm phức f g xác định G CHƢƠNG CẤU TRÚC CỦA NHÓM ABEN HỮU HẠN Chương giới thiệu nhóm aben hữu hạn đặc trưng chúng Chúng ta sử dụng lý thuyết số để xác định cấu trúc nhóm aben hữu hạn 1.1 Biểu diễn tổng trực tiếp nhóm aben hữu hạn 1.1.1 Định nghĩa Giả sử G nhóm aben viết theo lối cộng G1 , G2 , , Gn tập G Tổng tập tập G1  G2   Gk  a1  a2   ak :  Gi , i  1, , k Nếu G1 , G2 , , Gk nhóm G tổng G1  G2   Gk nhóm G Ta gọi G tổng trực tiếp nhóm G1 , G2 , , Gk viết G  G1  G2   Gk phần tử g  G viết cách dạng g  g1  g2   gk , gi  Gi , i  1, 2, , k Số phần tử nhóm G gọi cấp G ký hiệu G Nếu G  G1  G2  G  G1 G2  Gk Gk Cấp phần tử g  G nhóm cộng G số nguyên dương bé d cho dg  Trong lý thuyết nhóm, định lý Lagrange phát biểu rằng: Nếu H nhóm nhóm hữu hạn G , cấp (số phần tử) G chia hết cho cấp H Định lý đặt theo tên nhà toán học người Pháp Joseph Lagrange Giả sử p số nguyên tố Một p -nhóm nhóm mà phần tử có cấp luỹ thừa p Với số nguyên tố p , giả sử G  p  tập hợp phần tử G có cấp luỹ thừa p Khi đó, G  p  nhóm nhóm aben G Nhận xét Giả sử f : G  G ' đồng cấu nhóm g  G Khi đó, cấp f  g  G ' chia hết cấp g G Nếu G p  nhóm f : G  G ' tồn cấu G ' p  nhóm 1.1.2 Định lý Giả sử G nhóm aben hữu hạn G  m Khi đó, ta có G  G  p  pm Chứng minh Giả sử k m   pi i dạng phân tích tiêu chuẩn m r i 1 mi  m r pi  m1 , , mk   , i  1, 2, , k Khi đó, u1 , , uk cho m1u1  tồn số nguyên  mk uk  Giả sử với g  G định nghĩa gi  miui g , i  1, , k Bởi vì, pi i gi  mui g  nên gi  G  pi  Hơn r g   m1u1   g1  G  G  p1    mk uk  g  m1u1 g   g k  G  p1    mk uk g  G  pk  ,  G  pk  Giả sử g1   gk  , gi  G  pi  , i  1, , k Khi đó, tồn số ngun khơng âm r1 , , rk cho g i k có cấp p , i  1, , k Giả sử d j   pi i , g j  d j g j  Bởi ri i r i 1 i j d j gi = 0,1  i  j  k nên suy  d j  g1   gk   d j g j g j = 0, j  1, , k Như vậy, phần tử có biễu diễn tầm thường G  G  p1    G  pk  có đủ điều kiện để kết luận G  G  p1    G  pk    G  p  ▄ pm 1.1.3 Bổ đề Giả sử G p  nhóm aben hữu hạn Giả sử g1  G phần tử có cấp lớn p G1  g1 nhóm xiclic sinh g1 Giả sử r h  G h  G1  G G1 có cấp p r nhóm thương G / G1 Khi đó, tồn phần tử g  G cho g  G1  h  G1 g có cấp p r nhóm G Chứng minh Nếu h  G1  G / G1 có cấp p r nhóm thương G G1 cấp r h nhóm G khơng vượt qúa p đồng thời không nhỏ p r (dựa theo nhận xét trên) Bởi G1  p r  h  G1   p r h  G1 nên p r h  G1 p r h  ug1 , u  p , u số nguyên dương (do g1  G r phần tử có cấp lớn p ) Viết u  p s v,  p, v   1,  s  r1 Khi đó, vg1 có r r s r s cấp p p s vg1 có cấp p G Từ p r h  p s vg1 có cấp p r r r s G h có cấp p Từ suy r  s   p r h  p s vg1  p r p s r vg1  p r g1, , g1,  p s r vg1  G1 Giả sử g  h  g1, , g  G1  h  G1 Hơn nữa, p r g  p r h  p r g1,  cấp g không vượt p r Mặt khác, g  G1 có cấp p r nhóm thương G / G1 cấp g không nhỏ p r Vậy suy g có cấp p r ▄ 1.1.4 Định lý Mỗi p  nhóm aben hữu hạn tổng trực tiếp nhóm xiclic Chứng minh Chứng minh quy nạp theo cấp (bản số) G Giả sử G nhóm xiclic, ta có điều cần chứng minh Nếu G khơng xiclic, giả sử g1  G phần tử có cấp lớn p G1  g1 nhóm xiclic sinh r g1 Nhóm thương G G1 p  nhóm aben hữu hạn 1 G   G1 G p r1  G Từ áp dụng giả thiết quy nạp ta có G H i nhóm G G1  Hk ,  H2  có cấp p i , i  2, , k Hơn nữa, ta cịn có r G1 G p r1  G k    p i r G1 i 2 Theo Bổ đề 1.1.3 với i  2, , k tồn gi  G cho gi  G1 sinh H i gi  G có cấp p i G Ký hiệu Gi là nhóm xiclic G sinh g i r Khi đó, Gi  p i , i  1, , k Ta chứng minh G  G1  r g  G1  G G1  Gk Nếu g  G tồn số nguyên u2 , , uk cho  ui  p i  1, i  2, , k r g  G1  u2  g2  G1    uk  g  G1    u2 g   uk g k   G1 Từ suy g   u2 g2   uk gk   u1 g1  G1 , với số nguyên u1 cho  u1  p r1  1, g  u1 g1  u2 g2  Như vậy, G  G1   uk g k  G1   Gk  Gk Bởi G  G1   Gk  G1 k Gk   p i  G , r i 1 15 Kiểm tra công thức định lý qua bảng    a    0     g     2g     3g   aG 0 0    a    0     g     2g     3g   aG 1 1    a    0     g     2g     3g   aG 2 2    a    0     g     2g     3g   aG 4 4 Nhóm đối ngẫu nhóm C4  0, go , 2g0 , 3g0  C4  0 , 1 ,  , 3  16 CHƢƠNG GIẢI TÍCH FOURIER TRÊN NHĨM ABEN HỮU HẠN 2.1 Giải tích Fourier sơ cấp 2.1.1 Khơng gian vectơ hàm phức nhóm aben hữu hạn Giả sử G nhóm aben hữu hạn cấp n L2  G  không gian vec tơ n - chiều hàm giá trị phức xác định G Liên hợp phức hàm f  L2  G  hàm f  L2  G  xác định f  x   f  x , x  G Với a  G , định nghĩa hàm  a  L2  G  1 x  a, 0 x  a a  x   Nếu f  L2  G  f   f  a  a , aG tập hợp n hàm  a : a  G sở không gian vectơ L2  G  2.1.2 Độ đo Haar nhóm aben hữu hạn Giả sử G nhóm aben hữu hạn cấp n L2  G  không gian vec tơ n - chiều hàm phức xác định G Chúng ta định nghĩa hàm  tập G  U   U , U  G Ta có   G   n  có tính chất cộng tính theo nghĩa U U tập rời G  U1  U    U1    U  Ngoài ra, hàm  biến đổi bất biến   a  U    U  , U  G, a  G Chúng ta gọi  độ đo Haar nhóm G Chúng ta định nghĩa độ đo   U   U / n, U  G Khi đó,   G   17 2.1.3 Tích phân không gian L2  G  Giả sử G nhóm aben hữu hạn cấp n L2  G  không gian vec tơ n - chiều hàm giá trị phức xác định G Sử dụng độ đo  , ta định nghĩa tích phân hàm f  L2  G  sau  f   f  x  dx   f  x  G xG G Chúng ta định nghĩa tích (inner product) không gian L2  G   f , g    f g   f  x  g  x , f , g  L G  xG G Ta có  a ,b     a  x b  x   10 aa  bb,  xG Do đó, tập hợp n hàm  a : a  G sở trực giao không gian vectơ L2  G  Hơn nữa, với f  L2  G  a  G ta có  f ,    f  x   x    f  x   x   f  a  a a xG xG a L2 - chuẩn hàm f  L2  G  định nghĩa f  f, f  2 2     f  x   xG  Chú ý Từ định nghĩa tích trong, ta có tính chất sau ● f   f , f    f  x  f  x    f  x   0; xG ● f xG    f  x    f  x   0, x  G  f  0; xG ●  f , g    f  x  g  x    g  x  f  x    g  x  f  x    g  x  f  x    g , f ; xG ● xG xG   f , g     f  x g  x     f  x g  x     f , g ; xG xG xG 18    f  x  g  x    f  x  g  x     f  x g  x     f , g ; ● f , g  xG xG xG   f1  f , g     f1  f  x  g  x    f1  x  g  x    f  x  g  x    f1 , g    f , g  xG xG xG xG xG   f , g1  g    f  x  g1  g  x    f  x  g1  x    f  x  g  x    f , g1    f , g  xG   ● f  g  f  g , f , g  L G (Bất đẳng thức tam giác) 2.1.4 Định lý (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz) Với hàm f , g  L2  G  ta có bất đẳng thức  f ,g  Chứng minh Nếu   f  g f g   f   g, f   g    f , f   g    g, f   g    f , f    f , g    g, f    g, g    f , f     f , g     g, f     f Chọn    f ,g   f ,g  g, g  g 2 2    f , g    f , g      f ,g g  f 2   f ,g   f ,g g  f  g, g  g  ta có f  g  f  f    f , g    f , g    2  f ,g g 2   f ,g g  f ,g g g  f ,g 2  Từ suy bất đẳng thức cần chứng minh  f ,g  f g ▄  f ,g g 2 g 19 2.1.5 Mệnh đề Giả sử G nhóm aben hữu hạn cấp n G nhóm đối ngẫu Khi đó, G sở không gian vectơ L2  G  Chứng minh Một đặc trưng   G nhóm G (Định nghĩa 1.2.1) hàm phức xác định G   L2  G  hay G  L2  G  Chúng ta chứng minh rằng, G sở L2  G  Thật vậy, 1 ,   G đặc trưng nhóm G theo quan hệ trực giao (Định lý 1.2.8) ta suy  n 1   ,  1    1 , 2    1 2   1  a  2  a   0 aG G Vì vậy, n đặc trưng nhóm đối ngẫu G trực giao với không gian   vectơ L2 G Ta chứng minh G gồm n đặc trưng độc lập tuyến tính Thật vậy, giả sử 11  2 2   n n   L2  G  , i  Khi ta xét tích  11  2 2   n  n , i    0, i     i  g  0  gG Sử dụng tính chất song tuyến tính tích ta có 1  1 , i    i  i , i    n  n , i    Sử dụng tính chất trực giao đặc trưng thuộc G ta suy i  0, i  1, , n Vì G  G  dim L2  G   n suy G sở L2  G  ▄ 2.1.6 Phép biến đổi Fourier Tương tự nhóm G , tồn độ đo   tích nhóm đối ngẫu G Nếu f1 , f  L2 G ( f1 , f hàm nhận giá trị phức xác định nhóm G ) 20 f ,f  f f G   f1    f    G Giả sử G đối ngẫu kép nhóm G , tức nhóm đặc trưng nhóm đối ngẫu G Khi đó, với a  G định nghĩa   a   G   a       a  , chứng minh rằng, đặc trưng G có có dạng   a  , a  G Theo quan hệ trực giao (Định lý 1.2.8), với a, b  G, ta có    a  ,  b      a     b        a  b   0n aa  bb., G G G   Phép biến đổi Fourier phép ánh xa tuyến tính từ L2  G  vào L2 G , đặt   tương ứng hàm f  L2  G  với hàm f  L2 G , f      f ,     f  g    g  gG   Quá trình hồi phục lại hàm f  L2  G  từ phép biến đổi Fourier f  L2 G gọi phép đảo ngược Fourier Ví dụ Phép biến đổi Fourier hàm  a  L2  G   a      a ,      a  g    g     a      a  gG 2.1.7 Định lý (Biến đổi ngƣợc Fourier) Giả sử G nhóm aben hữu hạn cấp n với nhóm đối ngẫu G Nếu f  L2  G  f có biểu diễn sau dạng tổ hợp tuyến tính qua đặc trưng G : f   f   , n G 21 f      f ,     f  g    g  gG Giả sử  : G  G đẳng cấu xác định   a       a  ,   G Nếu     f  L2  G  f  L2  G  f   a   nf  a  , a  G       ( f ảnh f qua phép biến đổi Fourier từ L2 G vào L2  G  )   Chứng minh Giả sử a  G Khi đó, từ định nghĩa phép biến đổi Fourier ta có 1   f      a      f b   b     a   n G n G  bG  1    f b     a   b   n  bG  G   f a, hệ thức trực giao n a  b, a  b    a   b   0 G Tính biểu diễn f   f     , suy từ tập sau: Giả sử n G   f  L2  G  Khi đó, c  L2 G f   c     , c     f    n G Chúng ta chứng minh công thức thứ hai Ta có   f   a    f      a    G    f      a ,   a       a  G       f  g    g    a ,  f      f  g    g   gG G gG     f  g     g  a ,   g    a     g  a  gG  nf  a  G   22 Định lý 2.1.7 chứng minh ▄ Biểu diễn f   f   , n G gọi chuỗi Fourier hàm f 2.1.8 Định lý (Công thức Plancherel) Nếu G nhóm aben hữu hạn cấp n f  L2  G  f  n f Chứng minh Sử dụng quan hệ trực giao nói Định lý 1.2.8, có f    f , f   f   f   G        f  b    b    f  a   a    aG  G  bG     f  a  f  b      a    b     aG bG  G   n f  a   n f 2 , aG Khai bậc hai hai vế, ta thu công thức Plancherel cần chứng minh ▄ 2.1.9 Giá đỡ hàm phức nhóm aben hữu hạn Giả sử G nhóm aben hữu hạn cấp n f  L2  G  Giá đỡ (support) f tập hợp sau   supp  f   a  G : f  a   Chúng ta định nghĩa L  chuẩn hàm f  L2  G  f     max f  a  : a  G Với hàm f  L2  G  có bất đẳng thức sau f 2   f , f    f a  aG  asupp f  f a   asupp f  f   f  supp  f  23 2.1.10 Định lý (Nguyên lý bất định/Uncertainty princible) Giả sử G nhóm aben hữu hạn cấp n f  L2  G  f  0,   supp  f  supp f  G , f biến đổi Fourier f Chứng minh Giả sử a  G Dùng biến đổi ngược Fourier (Định lý 2.1.7) có f a   f      a  n G Bởi   a   với   G nên từ suy f a  1 f     a   n G n 1  f    n  f    n  G  G f   supp f Vì f     max f  a  : a  G   f   n supp f    Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz với cặp hàm f , g  L2 G g    f ,g   hàm đặc trưng tập hợp supp f    G : f     , ta có hay  f   g   xG f g ,      f       f    supp f  supp f  supp f     Áp dung cơng thức Plancherel (Định lý 2.1.8) ta có   24 f   1    f     n  supp f      f    supp f n supp f    f n  f n  Bởi f  nên f    supp  f   f n supp f ( f 2   f,f ( f   supp  f  supp f      supp f f   )  n f 2) ( supp  f   1)    supp  f  supp f  n  G ▄   Nếu f  L2  G  supp  f   1, nguyên lý bất định suy supp f  n  G nghĩa f     0,   G Ví dụ Giả sử a  G f   a  L2  G  Khi đó, f  x    a  x    x  a Vì   vậy, supp  f   a , hay supp  a   1, supp  a  n  G Ta có  a     0,   G Điều suy đại lượng bị chặn Nguyên lý bất định tốt 2.2 Tổng Poisson 2.2.1 Định nghĩa Giả sử G nhóm aben hữu hạn với nhóm H Ký hiệu:   L2  G   f  L2  G  : f  x  h   f  x  , x  G, h  H H Khi đó, L2  G  không gian vectơ phức Giả sử H   G    G :   h   1, h  H H 25 2.2.2 Bổ đề Giả sử G nhóm aben hữu hạn với nhóm H Khi G = G  L2  G  H H H Chứng minh Nếu   G  G   x  h     x    h     x     x  , x  G, h  H Do đó,   G  L2  G  Ngược lại,   G  L2  G  H H   h      h       1, h  H H Vì vậy,   G ▄ 2.2.3 Bổ đề Giả sử G nhóm aben hữu hạn với nhóm H  : G  G / H toàn cấu tự nhiên Với f #  L2  G / H  , định nghĩa ánh xạ  #  f #   #  f #   x   f #  x   f #  x  H  , x  G Khi đó,  # đẳng cấu không gian vectơ từ L2  G / H  lên L2  G  Hơn H   H # G/ H G , ánh xạ # :G / H  G H đẳng cấu nhóm Chứng minh Giả sử f #  L2  G / H  ,  #  f #   x  h   f #  x  h   f #  x    #  f #   x  h  , x  G, h  H Vì vậy,  # ánh xạ L2  G / H  lên L2  G  Kiểm tra rằng,  # ánh xạ H tuyến tính khơng gian vectơ Hơn nữa,  # tồn ánh f  L2  G  H định nghĩa ánh xạ f #  L2  G / H  cho 26    x   f  x  H   f  x  ,x  G Cuối cùng,   f   x   0, x  G f  x  H   0, với f #  x  H   f  x   # f # toàn ánh  # # # # # x  H  G / H hay tương đương với f #  Vậy,  # đẳng cấu không gian vectơ Nếu  #  G / H  #   #   x  y    #   x  y    # x  y  H   # x  H #  y  H     x      y   # # # # Do  #   #   G  L2  G   G H H H Phần lại, kiểm tra rằng,  # : G / H  G đẳng cấu nhóm Bổ đề chứng minh ▄ 2.2.4 Định lý (Cơng thức tổng Poisson) Giả sử G nhóm aben hữu hạn H nhóm G Nếu f  L2  G  H  f  y  yH G  f     G H Chứng minh Giả sử f  L2  G    G Khi đó, định nghĩa hàm H f #  L2  G / H  bởi: f #  x  H    f  x  y , x  G yH Chúng ta định nghĩa đặc trưng  #  G / H  #  x  H     x 27 H Nếu  # : G / H  G đẳng cấu nhóm xây dưng Bổ đề 2.2.3  #   #    biến đổi Fourie f #   f # #   f x  H  x  H    f  x  y   x  y # # x  H G / H  # x  H G / H yH   f  x   x xG  f    Từ suy rằng, dãy Fourier cho f # f # x  H    G/H H G   # G / H   f # # x  H   f     x   G / H Điều tương đương với H  f  x  y  yH G  f      x , x  G G H Khi x  thu Công thức tổng Poisson ▄ 28 KẾT LUẬN Giải tích Fourier cơng cụ đắc lực để nghiên cứu đạo hàm riêng, lý thuyết nhóm lý thuyết số Trên sở tìm hiểu thể Giải tích Fourier lớp nhóm aben hữu hạn, luận văn sâu giới thiệu nội dung sau - Cấu trúc nhóm aben hữu hạn; - Đặc trưng nhóm aben hữu hạn; - Nhóm đối ngẫu nhóm aben hữu hạn; - Khơng gian vectơ hàm phức nhóm aben hữu hạn; - Bất đẳng thức tam giác không gian vectơ hàm phức nhóm aben hữu hạn - Giải tích Fourier nhóm aben hữu hạn: Cơng thức Plancherel, Nguyên lý bất định Công thức tổng Poisson xác lập mối liên hệ hàm phức f với hàm biến đổi Fourier f tương ứng f (Định lý 2.1.8, Định lý 2.1.10, Định lý 2.2.4 ) Những vấn đề trình bày luận văn nội dung Giải tích Fourier nhóm aben hữu hạn Đó kiến thức giao lĩnh vực giải tích đại số mang tính chất liên ngành Vì vậy, nội dung luận văn kiến thức tìm hiểu ban đầu tác giả Hy vọng rằng, thời tới có tìm hiểu nghiên cứu sâu sắc lĩnh vực 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] [2] Nguyễn Thành Quang (2011), Lý thuyết trường ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội Nguyễn Thành Quang, Nguyễn Thị Hồng Loan, Phan Đức Tuấn (2016), Số học đại, Nhà xuất Đại học Vinh TIẾNG ANH [3] D V Burton (2002), Elementary Number Theory, McGraw-Hill [4] [5] M B Nathason (2000), Elementary Methods in Number Theory, Springer S G Telang (2001), Number Theory, McGraw-Hill ... CẤU TRÚC CỦA NHÓM ABEN HỮU HẠN 1.1 Biểu diễn tổng trực tiếp nhóm aben hữu hạn 1.2 Nhóm đối ngẫu nhóm aben hữu hạn CHƢƠNG GIẢI TÍCH FOURIER TRÊN NHĨM ABEN HỮU HẠN 16 2.1 Giải tích Fourier sơ cấp... chương Chương trình bày về: Cấu trúc nhóm aben hữu hạn; Đặc trưng nhóm aben hữu hạn; Nhóm đối ngẫu nhóm aben hữu hạn Chương trình bày về: Khơng gian vectơ hàm phức nhóm aben hữu hạn; Bất đẳng thức... có: Mỗi nhóm aben hữu hạn tổng trực tiếp nhóm xiclic ▄ 1.2 Nhóm đối ngẫu nhóm aben hữu hạn 1.2.1 Đặc trƣng nhóm aben hữu hạn Giả sử G nhóm aben hữu hạn, viết theo lối cộng Một đặc trưng nhóm G