Thông tin tài liệu
1 Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh Nguyễn Thị Nga Nhóm hữu hạn nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều Luận văn thạc sĩ to¸n häc Vinh 2010 Mơc lơc Trang Lêi nãi ®Çu Ch-¬ng I Nhãm tuyÕn tÝnh tổng quát nhóm tuyến tính đặc biệt 1.1 Tập sinh nhóm tuyến tính tổng quát nhóm tuyến tính đặc biệt 1.2 Nhóm chuẩn tắc nhóm tuyến tính tổng quát nhóm tuyến tính ®Ỉc biƯt 10 Ch-¬ng II: Nhãm hữu hạn nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều.19 2.1 Một số tính chất nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều tr-ờng đóng đại số 19 2.2 Nhóm hữu hạn nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều 23 Kết luËn 33 Tài liệu tham khảo 34 Lời nói đầu Nhóm tuyến tính tổng quát nhóm tuyến tính đặc biệt lớp nhóm ®ãng vai trß quan träng lý thuyÕt nhãm nãi riêng Đại số đại nói chung Chúng đà đ-ợc nhiều tác giả nghiên cứu đạt đ-ợc nhiều thành tựu sâu sắc tr-ờng hợp tổng quát Tuy nhiên toán tìm nhóm lớp tr-ờng hợp cụ thể toán hấp dẫn đ-ợc nhiều tác giả quan tâm Dựa tài liệu Group Theory M.Suzuki xuất năm 1982 Combinatorial Group Theory C.F Miller III xuất 2004, tìm hiểu cấu trúc nhóm hữu hạn nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều tr-ờng đóng đại số nói chung tr-ờng hữu hạn nói riêng Luận văn đ-ợc chia làm hai ch-ơng: Ch-ơng Nhóm tuyến tính tổng quát nhóm tuyến tính đặc biệt Trong ch-ơng này, dựa kết toán tìm tập sinh nhóm tuyến tính tổng quát nhóm tuyến tính đặc biệt, đà chứng minh đ-ợc mét sè tÝnh chÊt cđa nhãm chn t¾c cđa lớp nhóm Ch-ơng Nhóm hữu hạn nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều Trong ch-ơng này, sau tìm hiểu số tính chất nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều, trình bày kết mô tả nhóm hữu hạn nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều tr-ờng hữu hạn Luận văn đ-ợc thực d-ới h-ớng dẫn PGS TS Lê Quốc Hán Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy đà tận tình dẫn học tập tập d-ợt nghiên cứu khoa học Thầy đà đặt vấn đề trực tiếp h-ớng dẫn hoàn thành Luận văn Tác giả xin chân thành biết ơn ban chủ nhiệm Khoa Toán, Khoa Sau Đại học, Tổ Đại số PGS TS Ngô Sỹ Tùng; PGS TS Nguyễn Thành Quang; PGS TS Lê Quốc Hán; TS Nguyễn Thị Hồng Loan quý thầy cô khoa toán Đại học Vinh đà nhiệt tình dẫn giúp đỡ để hoàn thành Luận văn Mặc dù đà cố gắng, song Luận văn tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận đ-ợc đóng góp quý báu từ thầy cô giáo bạn lớp Vinh, tháng 10 năm 2010 Tác giả Ch-ơng I Nhóm tuyến tính tổng quát nhóm tuyến tính đặc biệt 1.1 Tập sinh nhóm tuyến tính tổng quát nhóm tuyến tính đặc biệt 1.1.1 Định nghĩa Giả sử F lµ mét tr-êng tïy ý vµ n lµ mét sè tự nhiên cố định Nhóm đ-ợc tạo thành từ tập hợp tất ma trận không suy biến cỡ nxn với phép toán ma trận đ-ợc gọi nhóm tuyến tính tổng quát cấp n tr-ờng F; đ-ợc ký hiệu GL(n, F) Tập hợp ma trận có định thức tạo thành nhóm đ-ợc gọi nhóm tuyến tính đặc biệt đ-ợc ký hiệu SL (n, F) Nếu F tr-ờng hữu hạn gồm q phần , sử dụng số ký hiệu đặc biệt viết GL (n, q) thay cho G (n, F), SL (n, q) thay cho SL (n, F) víi F = Fq Chóng ta giải toán sau: (I) Tìm tập hợp phần tử sinh thích hợp (II) Xác định tất nhóm chuẩn tắc nhóm tuyến tính tổng quát nhóm tuyến tính đặc biệt tr-ờng F Bài toán (I) đ-ợc giải cách sử dụng kết sơ cấp đại số tuyến tính Chúng ta cố định tr-ờng sở F số tự nhiên n Giả sử I ma trận đơn vị, Eij ma trận cỡ n x n cho thành phần (i, j) tất thành phần khác phần tử F i j Giả sử ij () = I + Eij Giả sử A ma trận cỡ n x n với thành phần F, phép nhân trái ij () với A cho ta phép toán cộng lần dòng thứ j A vào dòng thứ i A T-ơng tự phép nhân phải ij tạo thành phép toán cộng thêm lần cột thứ j A Đó phép toán sơ cấp dòng cột Một định lý đại số tuyến tính khẳng định ma trận vuông không suy biến đ-ợc ®-a vÒ mét ma trËn ®-êng chÐo 0 1 D = , 0 = det A số hữu hạn phép toán sơ cấp dòng đà đ-ợc mô tả Hơn nữa: Bij ()-1 = Bij (-) (i j) Do ®ã, ma trËn tïy ý cã định thức đ-ợc viết d-ới dạng tích ma trận dạng Bij () (i = j, F), mµ mét ma trËn tïy ý với định thức đ-ợc viết d-ới dạng tích hữu hạn ma trận Bij () ma trận D đà đ-ợc xác định Vì Bij () SL (n, F) nªn tõ lËp luËn ta suy định lý sau 1.1.2 Định lý Ta cã SL (n, F) = < Bij (), i j, F, F* > GL(n,F) = < Bij (), D , i j, F, F* > T-¬ng ứng A det A đẳng cấu từ GL (n, F) lên nhóm nhân F* F Theo ®Þnh lý ®ång cÊu ta cã: 1.1.3 MƯnh ®Ị SL (n, F) GL (n, F) nhóm th-ơng GL (n, F) / SL (n, F) đẳng cấu với nhóm nhân F* tr-ờng sở F Sẽ thuận lợi dùng hình học để nghiên cứu nhóm GL(n,F) Giả sử V không gian véc tơ n – chiỊu trªn tr-êng F, chóng ta sÏ viết tập hợp tất phép biển đổi tuyến tính từ V lên V GL (V) Các phần tử GL (V) thực tế đẳng cấu từ V lên V, hợp thành hai phần tử f g GL (V) phần tử GL (V) Với phép hợp thành nh- phép toán, GL (V) tạo thành nhóm Nh- đà học đại số tuyến tính sơ cấp, tác động phần tử tùy ý thuộc GL (V) đ-ợc biểu diễn ma trận với thành phần F Chúng ta tóm tắt sơ liên kết phép biến đổi tuyến tính ma trận Giả sử { v1, } sở không gian véc tơ V Đối với phần tử tùy ý f GL (V), đặt: n f (vi) = f ij v j Các hệ số ij phần tử F, ma trận (ij) cỡ n x n biểu diễn phép biến đổi tuyÕn tÝnh f, ta viÕt: ij = Mf NÕu g phần tử khác n GL (V) nÕu g(vj) = k 1 jk vk th× Mg = (jk) lµ ma trËn biĨn diƠn g Ta cã: fg (vi) = g (f(vi)) = g ( ij vj) = ij g(vj)= ij jk vk Nh- vËy c«ng thøc Mfg = Mf Mg ®óng víi f g GL (V) Trong công thức này, vế phải phép nhân ma trận Mf Mg Hàm đồng V t-ơng ứng với ma trận đơn vị Do đó, g nghịch đảo f M f Mg = I chứng tỏ Mf không suy biến Nh- vËy ma trËn kh«ng suy biÕn cì n x n (M = (ij)) với thành phần F đà đ-ợc cho, rõ ràng tồn phép biến đổi tuyÕn tÝnh f cho: M = Mf (nÕu chóng ta xác định f công thức n f(vi) = f 1 ij v j vµ më réng tuyến tính) Do có đẳng cấu sau: 1.1.4 MƯnh ®Ị GL (V) GL (n, F) Một đẳng cấu đ-ợc cho t-ơng ứng f Mf Đẳng cấu phụ thuộc vào cách chọn së cña V Thùc ra, nÕu {v1, v2, vn} sở khác không gian vectơ V, chóng ta cã: n v’ i= S v f 1 ij j n T-¬ng tù vk = t i 1 kl v 'l , ®ã T = (tkl) ma trận nghịch đảo ma n trận (sij) Do ®ã nÕu f (v’ i) = ' v f 1 ij j th× f M’ f = ( ij) đẳng cấu từ GL (V) lên GL (n, F), ta có: M f = T-1MfT Công thức chứng tỏ rằng: det Mf = M f Nh- vậy, định thức ma trận t-ơng ứng không phụ thuộc vào cách chọn sở V Do ta định nghĩa nhóm tuyến tính đặc biệt nhmột nhóm nhóm GL (V) chứa phép biến đổi tuyến tính t-ơng ứng với ma trận có định thức Chúng ta xét siêu phẳng V Đó không gian với đối chiều 1, đ-ợc sinh n véc tơ độc lập tuyến tính Một phép biến đổi tuyến tính thuộc SL (V) đ-ợc gọi phép co rút khác đơn vị, nh-ng cố định tất véc tơ siêu phẳng V Giả sử {v1, v2, , vn} sở V Thế phép biến đổi tuyến tính t đ-ợc biểu diễn Bij(), với sở ®ã lµ mét phÐp co rót Thùc ra, nÕu H ký hiệu siêu phẳng đ-ợc sinh v1, vi-1, vi+1, , (tất thành phần sở trừ vi) t cố định tất phần tử H t phép co rót, cho bëi Nh- vËy ta cã thể phát biểu 1.1.5 Mệnh đề Nhóm SL (V) đ-ợc sinh bëi c¸c phÐp co rót Tõ c¸c lËp ln suy siêu phẳng H V không gian chiều tïy ý V cđa H, tån t¹i mét phÐp co rút t cho t cố định tất phần tử H V = (t - 1) V Thực tế ta đà chọn së cđa V cho v1 H vµ v2 V {0} phần tử lại v3, ,vn nằm H, phép biến đổi tuyến tính đ-ợc biểu diễn ma trận B12() phép co rút với tính chất đòi hỏi Ng-ợc lại, giả sử t phép co rút Chúng ta chứng tỏ tồn sở {vi} V cho t đ-ợc biểu diễn ma trËn B12 () theo c¬ së cđa {vi} Theo định nghĩa t cố định phần tử siêu phẳng H Hơn nữa, tồn phần tử u thuéc V cho t(u) u, nh- vËy V = H + Fu Vì t SL (V) nên t(u) – u H Do ®ã ta cã thĨ chän mét c¬ së cđa V cho: V1 = u, v2 = t(u) – u vµ v3, , H Với sở {vi} này, t đ-ợc biểu diễn B12 () Tổng quát, giả sử f g hai phần tử GL (V) cho ma trËn M f biĨu diƠn f víi c¬ së {vi} cđa V ®ång nhÊt víi ma trËn M’ g biểu diễn g với sở {v i} khác Giả sử T ma trận chuyển sở {v i} thành sở {vi} Với sở {vi}, phần tử g đ-ợc biểu diễn ma trận Mg cho M g = T-1MgT Vì Mg đồng với Mf nên T-1 MgT = Mf Thế tất ma trận không suy biến đ-ợc viết d-ới dạng Mx (x GL (V)) Do giả sử T = Mx vµ x-1gx = h Ta cã: Mf = T-1 Mg T = Mx-1 Mg Mx = Mh Từ ta nhận đ-ợc: f = h = x-1 g x Nh- vậy, đà chứng minh đ-ợc phần đầu mệnh đề sau: 1.1.6 Mệnh đề Hai co rút liên hợp với GL (V) Nếu n=dim V 3, co rút liên hợp SL (n, V) Chøng minh NÕu f vµ g hai co rút, tồn phần tư k thc GL(V) cho f=x-1gx Chän mét c¬ sở {vi} V cho f đ-ợc biểu diễn 10 B12 (i) theo cở sở Giả sử y phần tử đ-ợc biểu diễn ma trËn D víi = det x V× n 3; y giữ v1 v2 bất biến Do y giao hoán với f ta có: y-1 f y = f = x-1 f x Gi¶ sư z = xy-1 Khi f = z-1 g z Hơn Mz = Mx My-1 det Mz = -1 = Do f g liên hợp SL (V) 1.1.7 Mệnh đề Một phép biển đổi tuyến tính liên hợp với phép co rót cịng lµ mét phÐp co rót Chøng minh Theo định nghĩa phần tử H thuộc SL (V) phép co rút hạt nhân H phép biến đổi t siêu phẳng Giả thiết t phép co rút Thế liên hợp t x tùy ý, hạt nhân tx siêu phẳng x (H) Theo MƯnh ®Ị 1.1.3, tx n»m SL (V), tx co rút Chúng ta chó ý r»ng mét c¸i co rót t cã thể đ-ợc đặc tr-ng nh- phần tử SL (V) cho dim (t - 1) = Do ®ã, ®èi víi t vµ x tïy ý ta cã: (tx - 1) V = x ((t - 1) V) Tiếp theo, xác định tâm hóa SL (V) GL (V) 1.1.8 Mệnh đề Các điều kiện sau phần tử z GL (V) t-ơng đ-ơng 1) Phần tử z giao hoán đ-ợc với co rút 2) Phần tử z cố định không gian chiều V 3) Tồn phần tử F cho z (V) = V, víi mäi v V 4) Phần tử z nằm tâm GL (V) 22 (iii) Giả sử x phần tử L với cấp hữu hạn n Thế x liên hợp với t ( 0) L nÕu vµ chØ nÕu p > vµ p -ớc n Trong tr-ờng hợp này, cấp x p 2p Chứng minh (i) Vì F tr-ờng đóng đại số, phép biến đổi tuyến tính x có giá trị riêng Giả sử giá trị riêng x, giả sử ui véc tơ riêng t-ơng ứng Nếu chọn u1 thành phần sở, biểu diễn ma trận x đ-ợc cho bëi Vì x SL (V), nên = -1 Nếu = , = = Nh- x liên hợp víi t NÕu , thÕ th× vÐc tơ riêng u2 t-ơng ứng với giá trị riêng phơ thc tun tÝnh víi u1 Do ®ã {u1, u2} sở V, x liên hợp với d GL(V) Vì làm cho {u1, u2} trở thành sở, phép thay đổi tạo độ đ-ợc đ-a phần tử thuộc SL(V) Nh- vậy, v liên hợp với d hc víi t L (ii) NÕu p 2, Z đ-ợc sinh t0 Không có phần tử cấp khác thuộc L Điều suy tõ SL(V ) 1 (iii) Vì T đẳng cấu với nhãm F+, phÇn tư t ( 0) có cấp hữu hạn p > Trong tr-ờng hợp này, cấp t p 2p Giả thiết p > vµ p chia hÕt cho n Theo (i) x liên hợp với d hay t Nếu x liên hợp với d, nguyên thuỷ cấp n 23 đơn vị Điều mâu thuẫn đặc tr-ng p F không chia hết cấp nguyên thuỷ cấp n đơn vị Do đó, x liên hợp với t Các tính chất sau tâm hoá sở để khảo sát nhóm hữu hạn SL(V) 2.1.4 Mệnh đề (i) Nếu x-1tx = t với x L 0, x phần tử thuộc H Nếu thêm vào điều kiện = , x T Z Do ®ã, nÕu 0, th× CL(t) = T Z (ii) NÕu y-1dy = với y L , = =-1 vµ y < D,w > NÕu 1, CL(d) = D Nếu D1 nhóm cđa D cho D1 thÕ th× N1(D1) = Chứng minh Cả hai mệnh đề đ-ợc suy trực tiếp dựa vào phép toán ma trận Chẳng hạn, đẳng thức 1 1 1 Víi kÐo theo = + vµ = Nếu = đẳng thức trên, ta nhận đ-ợc = Điều chứng minh (i) Mệnh đề (ii) đ-ợc chứng minh t-ơng tự 2.1.5 Mệnh đề Cái tâm hoá phần tử x thuộc L Aben trừ tr-ờng hợp x thc t©m cđa L 24 Chøng minh Theo MƯnh đề 2.1.3, x liên hợp với d với t Do đó, cần chứng minh Mệnh đề 2.1.5 phần tử nh- Trong tr-ờng hợp, Mệnh đề 2.1.5 suy từ Mệnh đề 2.1.3 nhóm T x Z D nhóm Aben 2.2 Nhóm hữu hạn nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều Bây giờ, giả sử G nhóm hữu hạn L Chỉ cần xét tr-ờng hợp G Z (L) Nếu Z G, theo Hệ 2.1.2 Hệ 2.1.3, có Z=2, G lẻ, GZ = G Z Nh- vậy, cấu trúc G đ-ợc xác định hoàn toàn GZ 2.2.1 Mệnh đề Giả sử G nhóm hữu hạn L = SL(V), giả sử M tập hợp tất nhóm Aben tối đại G Giả sử G chøa t©m X cđa L (i)NÕu x G Z, CG (x) M (ii) Đối với hai nhóm A B phân biệt thuộc M cã A B = Z (iii) Mét phÇn tử A thuộc M nhóm xyclic cấp nguyên tố với p, có dạng Q Z Q Sp - nhóm (sylow) cđa G (iv) NÕu A M vµ A nguyên tố với p, NG(A):A NÕu NG(A) : A = 2, có phần tử y thuộc NG(A) cho y1 xy=x-1 (v) Giả sử Q Sp – nhãm cña G NÕu Q {e}, thÕ th× cã mét nhãm xyclic K cđa G cho NG(Q) = QK NÕu K > Z , thÕ th× K M 25 Chøng minh (i) Theo MƯnh ®Ị 2.1.5, nÕu x Z thÕ CL(x) nhóm Aben Nh- vậy, CG(x) = G CL(x) cịng lµ nhãm Aben Mét nhãm Aben tối đại G chứa CG(x) đ-ợc chứa thực CL(x) Do đó, CG(x) nhóm Aben tối đại, nªn CG(x) M (ii) NÕu x A B, CG(x) chứa A B Theo giả thiết, A B thành phần phân biệt M Do CG(x) không Aben Theo (ii), xZ(L) từ A B = Z (iii) §èi víi phÇn tư t ý x thc G, nhóm Aben Từ đó, Z G, thành phÇn t ý A cđa M chøa mét phÇn tư x , A = CG(x) Theo Mệnh đề 2.1.3 (i), x liên hợp với d ( 1) với t ( 0) Nếu x liên hợp với d, CL(x) liên hợp với D theo Mệnh đề 2.1.4 (ii) Từ đó, A nhóm xyclic cho A nguyên tố với p Mặt khác, x liên hợp với t (0), theo Mệnh đề 2.1.4 (i), CG(x) đẳng cấu với nhóm hữu hạn T Z Trong tr-ờng hợp này, T F+ T chứa nhóm hữu hạn khác {e} Nhvậy p > A = QxZ, Q p nhãm Aben s¬ cÊp Chóng ta chøng tá r»ng Q Sp - nhóm G Giả sư S lµ mét Sp – nhãm cđa G chứa Q Thế thì, theo Định lý p nửa nhóm, X(S) {e} Do ®èi víi mét phÇn tư Z e cđa Z(S), nhận đ-ợc A = Q Z S Z CG(Z) M Điều chứng minh CG(Z) = A vµ Q = Z lµ mét Sp - nhãm cđa G (iv) Trong tr-êng hỵp nay, theo (iii), A nhóm xyclic cấp nguyên tố với p, phần tử sinh A liên hợp víi d ( 1) Tõ ®ã, theo MƯnh đề 2.1.4 (ii), NG(A) liên hợp vơi nhóm Nh- NG(A):A2 Khẳng định lại suy w hoán vị đ-ợc với phần tö thuéc D 26 (v) PhÐp chøng minh (iii) chứng tỏ Q liên hợp với nhóm T Do đó, không tính tổng quát, giả thiết Q T Trong tr-ờng hợp này, theo Mệnh đề 2.1.4 (i) NG(Q) TD Vì Q Sp nhóm G, nên NG(Q) T = Q Nh- vậy, nhóm NG(Q)/Q đẳng cấu với nhóm hữu hạn H/T F* Từ suy NG(Q)/Q nhóm xyclic cấp nguyên tố với p Do đó, chọn phần tử x cho cÊp cđa x nguyªn tè víi p với = K thoả mÃn NG(Q) = QK Q K = {e} Ta chØ cÇn chøng minh K > Z K M Giả sử A thành phần M cho K A Theo giả thiết, K nhóm xyclic cho K nguyên tố với p K > Z Do theo (iii), A nhóm xyclic cấp nguyên tố với p Từ A = QK A = (Q A)K = K Nh- vËy K M Bằng cách sử dụng Mệnh đề 2.2.1, chóng ta cã thĨ tÝnh sè phÇn tư cđa G b»ng hai c¸ch kh¸c Tr-íc hÕt, chóng ta giíi thiƯu mét sè ký hiƯu sau: 2.2.2 Ký hiƯu Giả sử G nhóm hữu hạn L = SL(V) chứa tâm Z L Đặt Z = e Thế thì, theo Mệnh đề 2.1.2, e = e = tuú thuéc vµo p = hay p2 Ta viết G = eg, g cấp nhóm th-ơng G/Z Giả sử Q Sp – nhãm cđa G, ký hiƯu Q = q NG(Q):Q = ek Giả sử M tập hợp tất nhóm Aben tối đại G Thế thì, M chứa tất nhóm liên hợp Q Z Các nhóm lại M nhóm xyclic cấp nguyên tố với p Theo MƯnh ®Ị 2.2.1 (iv) nÕu A M cho A nguyên tố với p, thì: NG(A):A 27 Giả thiết thành phần M mà cấp chúng nguyên tố với p đ-ợc phân hoạch thành lớp liên hợp C1, C2, , CS+1 cho, đại diện Ai cđa Ci, cã: NG(Ai) = Ai ®èi víi i ≥ s NG(Aj) : Aj = ®èi víi s < j s + t Cuèi cïng, ký hiÖu Ai = egi (i = 1, 2, , s + t) Theo Mệnh đề 2.2.1, phần tử G đ-ợc chứa thành phần M, hai thành phần tuỳ ý M có thành phần Z chung Đối với i, số phần tử không thuộc tâm mà đ-ợc chứa nhóm liên hợp Ai lµ e(gi – 1)eg / e gi = e(gi – 1)g / gi ®ã = nÕu i s vµ = nÕu i > T-ơng tự, nhóm liên hợp Q Z chøa (eq – e)eg/eqk = e(q – 1)g/qk phần tử không thuộc tâm Do đó, nhận ®-ỵc e(g – 1) = e(q – 1)g/qk + e(gi 1)g/gi 2.2.3 Mệnh đề Hệ thức sau ®óng 1=1g q 1 qk s ( gi 1) gi i 1 s t (g i s 1 i 1) gi Theo định nghĩa, q luỹ thừa p, g i số nguyên lớn Điều kÐo theo (gi – 1)/gi ≥ 1/2 (i = 1, 2, ,s + t) Do đó, ta nhận đ-ợc > s/2 + t/4 Nh- vËy, chóng ta cã mét sáu tr-ờng hợp sau 28 Tr-ờng hợp I II III IV V VI s 1 0 0 t 1 Chóng ta xét tr-ờng hợp riêng 2.2.4 Mệnh đề Nếu s = 1, t = 0, thÕ th× Sp – nhóm Q khác G nhóm chuẩn tắc Aben sơ cấp G Nhóm th-ơng G/Q nhóm xyclic cấp nguyên tố với p Chứng minh Đẳng thức Mệnh đề 2.2.2 trở thành: (q 1) ( g 1) 1 g qk g Điều kéo theo 1/qk + 1/g1 = 1/g + 1/k (*) Nh- vËy, nÕu q = g = g1 G = A1 Từ G xyclic Giả thiết q > ThÕ th× (*) chøng tá r»ng k > Theo Mệnh đề 2.2.1 (v), k = gi với giá trị i Nh- vậy, tr-ờng hợp này, nhận đ-ợc k=g1 Thế (*) chứng minh g = qk G = NQ(G) 2.2.5 MƯnh ®Ị NÕu s = t = 1, thÕ cấp G nguyên tố với p, G nhóm cấp 4n đ-ợc xác định G = n lẻ, G SL(2, 3) Chứng minh Từ MƯnh ®Ị 2.2.3 suy 1/g1 + 1/2g2 = 1/2 + 1/g + (q – 1)/qk (**) NÕu q > 1, số hạng cuối 1/2k Do ®ã 1/2g2 -1/2k > 1/2 -1/g1 29 Điều kéo theo k > g2 Từ MƯnh ®Ị 2.2.1 (v), suy k = g1 ThÕ nhận đ-ợc mâu thuẫn 1/2g2 + 1/2g1 > 1/2 Do phải có q = 1, cấp G nguyên tố với p Hơn (**) cho ta 1/g1 + 1/2g2 > 1/2 Điều kéo theo g1 = hc g1 = NÕu g1 = 2, thÕ th× (**) chøng tá r»ng 2g2 = g Nh- G = NG(A2) Giả sử x phần tử sinh A2, giả sử y phần tử sinh A1 Thế A1=NG(A1) theo giả thiết (s = 1) Điều kéo theo A1 mét S2 – nhãm cña G Nh- vËy g2 = n số lẻ Theo Mệnh đề 2.2.1 (IV) nhận đ-ợc hệ thức: xn = y2, y-1 xy = x-1 Kiểm tra đ-ợc G đ-ợc xác định hoàn toàn hệ thức Giả thiết g1 = Từ công thức (**) nhận đ-ợc g2 = g = 12 Thế p e = Do cấp G 24 Giả sử x phần tử sinh A2 Thế thì, NG(A2) : A2 = NG(A2) chøa mét phÇn tư y cho: x2 = y2 vµ y-1xy = x-1 Nh- vËy, H = NG(A2) nhóm quaternion cấp Phần tử y đ-ợc chứa nhóm Aben tối đại G Trong tr-ờng hợp này, liên hợp với A2 T-ơng tự, tất ba nhóm xyclic cấp H liên hợp, nh-ng G:H=3, nên không nhóm liên hợp khác A2 tồn Nh- vậy, H G, cấu trúc G đ-ợc xác định nh- mét më réng cđa nhãm quaternion Do ®ã, G SL(2,3) 2.2.6 MƯnh ®Ị NÕu s = t = th× G = Q x Z 30 Chøng minh Các phần tử có cấp nguyên tố với p phần tử thuộc Z Do ®ã G = Q x Z 2.2.7 MƯnh ®Ị Nếu s = 0, t = p = G nhóm nhị diện cấp 2n, n lẻ, p = G SL(2,3) Chøng minh Theo MƯnh ®Ị 2.2.2 ta cã 1 q 1 2 g1 g qk Vì g 2g1, nên (q -1)/qk 1/2 Thế q > 1và k =1 Đẳng thức đ-ợc rút gọn thành 1/q + 1/2g1 = 1/2 + 1/g Chóng ta cã thĨ chøng minh mệnh đề 2.2.7 theo ph-ơng pháp đà sử dụng chøng minh mƯnh ®Ị 2.2.5 2.2.8 MƯnh ®Ị NÕu s = o, t = th× mét hai tr-ờng hợp sau xảy (1) g1 = (q – 1)/d; g2 = (q + 1)/d; g = q(q2 – 1)/d (d = hc d = 2) (2) g1 = 2; g2 = 5; g = 60 (q = 2) Chøng minh NÕu s = 0, t = đẳng thức Mệnh đề 2.2.3 trở thµnh 1/2g1 + 1/2g2 = 1/g + (q – 1)/qk (***) Râ rµng, q > vµ (q - 1)/q 1/2 Vì vế trái tối đa 1/2 nên k >1 Do ®ã, theo MƯnh ®Ị 2.2.1 (v) k = g1 k = g2 Không tổng quát, giả sử k = g1 Khi theo (***) có 1/2g2 = 1/g + 1/2g1 – 1/qg1 < 1/2g1 Tõ ®ã g1 < g2 Chóng ta sÏ chøng minh q (modg1) 31 Thật vậy, tâm hoá phần tử tuỳ ý x thuộc Q {e} Q Z theo MƯnh ®Ị 2.2.1 (iii) Do ®ã, phần tử Q {e} có k phần tử liên hợp NG(Q) Nh- vậy, q chia hết cho k = g1 Đặt ag = 2g1g2q ThÕ th× g2q + g1q = a + 2(q – 1) Do ®ã: g1q = a + (q – 2)g2 mà q (modg1), nên a số nguyên d-ơng Thế g2 a (modg1) g1 > (q – 2)g2/q Chóng ta chó ý r»ng q nhỏ Vì g/2g2 số nhãm con, nªn sè nguyªn a chia hÕt cho g1q Nh- vËy, q lµ cÊp cđa mét Sp – nhãm G, gi nguyên tố với p Từ đó, -ớc chung lớn a q Nh- vậy, a chia hết 2g1 Giả thiết q Trong tr-ờng hợp này, từ bất đẳng thức g 1>(q 2)g2/q trên, suy 2g1 > g2 Mặt khác q (modg1) nên g2 = a+ lg1 Vì a chia hết 2g1 2g1 > g2 > g1 nên g2 = g1 + a Thế thì, từ đẳng thức g1q = a + (q 2)g2 ta nhận đ-ợc g1q = a + (q – 2)(g1 + a) Do ®ã 2g1 = a(q 1) Điều kéo theo 2g2 = a(q + 1), 2g = a(q2 – 1)q vµ 2/a = (q 1)/g1 Đẳng thức cuối đồng d- thøc q (modg1) suy d = 2/a số nguyên, nên ta nhận đ-ợc tr-ờng hợp thứ Mặt khác, q3, q=3 g1=2 theo đồng d- thức q 1(mod g1) Từ bất đẳng thức g1 < g2 với g2 a (modg1) vµ g1 > (q – 2)g2/q chøng minh < g2 < Vì g2 nguyên tố với q = 3, nên g2 = (tr-ờng hợp thứ với d = 1) g2 = (tr-ờng hợp thứ 2) 2.2.9 Mệnh đề 32 NÕu s = 0, t = 3, thÕ th× nhãm G đẳng cấu với nhóm sau đây: G = (n chẵn) G = G = SL (2, 5) nhóm biểu diễn mà chuyển vị t-ơng ứng với phần tử cấp Chứng minh Trong tr-ờng hợp này, hệ thức Mệnh đề 2.2.3 trë thµnh 1/2g1 + 1/2g2 + 1/2g3 = 1/2 – 1/g + (q – 1)qk NÕu q > 1, thành phần cuối 1/2k Vì k gi theo 2.2.1 (v) nên ta nhận đ-ợc mâu thuẫn Do q = Tõ ®ã 1/2g1 + 1/2g2 + 1/2g3 = 1/2 + 1/g > 1/2 Chóng ta h·y chän ký hiƯu cho < g1 g2 g3 ThÕ ta có hai tr-ờng hợp sau: g1 = 2, g2 = 2, g = 2g3 g1 = 2, g2 = 3, g Tr-êng hỵp thø xảy G = NG(A3) ta nhận ®-ỵc biĨu diƠn G = (n chẵn) Trong tr-ờng hợp thứ hai, ta cã g3 Nh-ng nÕu g3 = g = 12 Theo Định lý Sylow, nhóm A3 phải liên hợp với A2 Điều vô lý Từ đó, g3 = 4, g = 24 g3 = 5, g = 60 XÐt tr-êng hỵp g = 24 Vì số NG(A2) 4, nên có đồng cấu từ G lên S4 Kiểm tra trực tiếp, hạt nhân đồng cấu X nên G/Z Nh- vậy, G mở rộng tâm Từ G chứa phần tử nhÊt cÊp vµ cÊu tróc cđa G hoµn toàn đ-ợc xác định Nh- vậy, ta có G ˆ4 33 Ci cïng, xÐt tr-êng hỵp g = 60 đây, đặc số F không chia hết G Do đó, tâm X có cấp bậc Hơn nữa, S2 nhóm G nhóm quatenion (xem chứng minh Mệnh đề 2.2.5) Mỗi S2 nhóm S chứa ba nhóm liên hợp A1; S chuẩn hoá ba nhóm liên hợp Vì G có 15 nhóm liên hợp A1, nên G có năm S2 nhóm Theo Định lý Sylow, có đồng cấu từ G vào Nh-ng, phần tử tuỳ ý G Z chuyển thành nhóm đó, G/Z đẳng cấu với nhóm S5 Vì cấp G/Z 60, nên ảnh G/Z mét nhãm chn t¾c cđa S5 Ta cã G/Z A5 Nh- vËy, cÊu tróc cđa G lµ nh- nhóm biểu diễn A5, G SL(2, 5) 34 Kết luận Luận văn đà thu đ-ợc kết sau: Tìm hiểu tập sinh nhóm tuyến tính tổng quát nhóm tuyến tính đặc biệt Tìm hiểu đặc tr-ng nhóm nhóm tuyến tính tổng quát nhóm tuyến tính đặc biệt ( Định lý 1.2.1, Mệnh đề 1.2.2, Hệ 1.2.3 ) Trình bày số nhóm chuẩn tắc tr-ờng hợp tr-ờng sở hữu hạn (Mệnh đề 1.2.5, Mệnh đề 1.2.6, Chú ý 1.2.8) Chøng minh mét sè tÝnh chÊt cña nhãm tuyến tính đặc biệt hai chiều tr-ờng đóng đại sè ( MƯnh ®Ị 2.1.2, MƯnh ®Ị 2.1.5 ) Chứng minh số Định lý mô tả cấu trúc nhóm hữu hạn nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều tr-ờng hữu hạn ( Mệnh đề 2.2.4, MƯnh ®Ị 2.2.5, MƯnh ®Ị 2.2.6, MƯnh ®Ị 2.2.7, Mệnh đề 2.2.8, Mệnh đề 2.2.9) 35 Tài liệu tham khảo A Tiếng Việt [1] Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngôn ngữ nhóm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2008), Giáo trình lý thuyết nửa nhóm lý thuyết nhóm, Đại học Vinh [3] S.T Hu (1968), Mordern Algebra Holden – day B¶n dịch tiếng việt Đại số đại , 1974 [4] S.Lang (1965), Algebra Addison – Wesley Punlishing Company, Massaachusetts Bản dịch tiếng việt Trần Văn Hạo Hoàng Kú B TiÕng Anh [5] M Hall Jr (1959), The theory of groups, Macmilan, New York [6] C.F Miller III (2002), Subrgoups of a direct product with a free group, Quatery Journal of Math 53, 503 – 506 [7] C.F Miller III (2004), Combinatorial Group Theory, University of Melbourne 36 [8] M Suzuki (1982), Group Theory, Springer – Verlag Berlin Heidelbeng New York ... II: Nhóm hữu hạn nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều. 19 2.1 Một số tính chất nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều tr-ờng đóng đại số 19 2.2 Nhóm hữu hạn nhóm tuyến tính đặc biệt hai. .. Ch-ơng I Nhóm tuyến tính tổng quát nhóm tuyến tính đặc biệt 1.1 Tập sinh nhóm tuyến tính tổng quát nhóm tuyến tính đặc biệt 1.2 Nhãm chn t¾c cđa nhãm tun tÝnh tổng quát nhóm tuyến tính đặc biệt ... nhóm hữu hạn nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều tr-ờng đóng đại số nói chung tr-ờng hữu hạn nói riêng Luận văn đ-ợc chia làm hai ch-ơng: Ch-ơng Nhóm tuyến tính tổng quát nhóm tuyến tính đặc biệt
Ngày đăng: 04/10/2021, 17:30
Xem thêm:
