Về biểu diễn hữu hạn của nửa nhóm chính quy

1 g BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH Nguyễn Thanh Hà VỀ BIỂU DIỄN HỮU HẠN CỦA NỬA NHĨM CHÍNH QUY LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Nghệ An, 2012 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CHƢƠNG NỬA NHĨM CHÍNH QUY 1.1 Các quan hệ Grin nửa nhóm 1.2 D – lớp quy 1.3 Nửa nhóm quy 15 CHƢƠNG ĐIỀU KIỆN BIỂU DIỄN HỮU HẠN ĐỐI VỚI NỬA NHĨM CHÍNH QUY 22 2.1 Nửa nhóm tự Vị nhóm tự 22 2.2 Biểu diễn hữu hạn 25 2.3 Điều kiện biểu diễn hữu hạn mở rộng iđêan nửa nhóm 28 2.4 Điều kiện biểu diễn hữu hạn nửa nhóm quy 32 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 MỞ ĐẦU Giả sử S nửa nhóm Khi tồn bảng chữ A tương đẳng  nửa nhóm tự A+ cho S  A+/ Giả sử R quan hệ hai A+ cho tương đẳng sinh R  Khi cặp gọi biểu diễn nửa nhóm S ký hiệu bởi: P(S) = Một nửa nhóm S thừa nhận nhiều biểu diễn khác nhau, biểu diễn hữu hạn (nghĩa A R tập hữu hạn) xem tốt Tuy nhiên, nửa nhóm tuỳ ý khơng phải tồn biểu diễn hữu hạn Mục đích luận văn dựa cơng trình Presentatian of semigroups and inverse semigroups tác giả Catarina Carvalho Trường Đại học tổng hợp St Andrew xuất năm 2003 để tìm hiểu vấn đề: Với điều kiện nửa nhóm quy biểu diễn hữu hạn Ngoài mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn chia làm hai chương sau: Chƣơng Nửa nhóm quy Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức quan hệ Grin nửa nhóm, D - lớp quy, nửa nhóm quy để làm sở cho việc trình bày chương sau Chƣơng Điều kiện biểu diễn hữu hạn nửa nhóm quy Đây nội dung luận văn Trước hết, chúng tơi hệ thống khái niệm tính chất liên quan đến nửa nhóm tự do, vị nhóm tự biểu diễn hữu hạn Sau chúng tơi trình bày điều kiện biểu diễn hữu hạn mở rộng iđêan nửa nhóm nửa nhóm quy Các kết chủ yếu là: Chứng minh + Giả sử nửa nhóm S mở rộng iđêan T I Nếu T I nửa nhóm biểu diễn hữu hạn S nửa nhóm biểu diễn hữu hạn + Giả sử S nửa nhóm quy với hữu hạn iđêan trái hữu hạn iđêan phải Thế S nửa nhóm biểu diễn hữu hạn nhóm tối đại S biểu diễn hữu hạn Phần cuối luận văn khảo sát lớp nửa nhóm ngược biểu diễn hữu hạn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Vinh Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Quốc Hán, người hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, phịng đào tạo sau đại học thầy giáo, cô giáo môn Đại số - Lý thuyết số tạo điều kiện giúp đỡ hướng dẫn tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng, song luận văn tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong nhận đóng góp q báu thầy, giáo bạn đồng nghiệp Chúng xin trân trọng cảm ơn Nghệ An, tháng năm 2012 Tác giả CHƢƠNG NỬA NHĨM CHÍNH QUY 1.1 Các quan hệ Grin nửa nhóm 1.1.1 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm Ta định nghĩa quan hệ L, R, J sau S: a L b  S1a = S1b a R b  aS1 = bS1 a J b  S1aS1=S1bS1 S1a, aS1 S1aS1 iđêan trái, phải iđêan S sinh a Từ định nghĩa trực tiếp suy ra: a L b   s, s’ S1: a = sb, b= s’a a R b   r,r S1 : a = br, b= ar’ Hơn nữa, L, R J quan hệ tương đương S Thực ra, L tương đẳng phải R tương đẳng trái S Với x  S, ta ký hiệu Lx L – lớp tương đương chứa x: Lx =  y  S x L y Tương tự, R x Jx ký hiệu lớp tương đương theo R J tương ứng chứa x 1.1.2 Mệnh đề Các quan hệ L R giao hoán: L R = R L Chứng minh Giả sử (a,b) L R Khi tồn c  S cho (a,c)  L (c,b) R Do tồn x,y,u,v  S1 cho xa = c, cu = b, yc = a, bv = c Đặt d = ycu, au = ycu = d, dv = ycuv = ybv = yc = a; từ a R d Ta lại có yb = ycu = d, xd = xycu = xau = cu = b d L b Suy (a,b)  R o L, nghĩa L o R  Ro L Chứng minh tương tự có R o L  Lo R từ L o R = R o L  1.1.3 Định nghĩa Giả sử L R quan hệ tương đương xác định Định nghĩa 1.1.1 Ta xác định quan hệ S D = L o R= Ro L, H = L  R Khi H quan hệ tương đương lớn S chứa L R ; D quan hệ tương đương bé S chứa L D Các quan hệ L, R, J, D H gọi quan hệ Grin nửa nhóm S Từ Định nghĩa 1.1.1 trực tiếp suy L  J R  J Từ D  J Ta nhắc lại nửa nhóm S gọi tuần hồn phần tử thuộc S có cấp hữu hạn Từ suy với a  S tồn số tự nhiên n  * cho an luỹ đẳng Thực tế, an đơn vị nhóm tối đại Ka chứa nửa nhóm (xyclic) đơn diễn hữu hạn Ta biết rằng, nhóm G có H = L = R = D = J = G x G nửa nhóm S giao hốn, ta có H=L=R =D=J Kết sau đáng quan tâm: 1.1.4 Mệnh đề Nếu S nửa nhóm tuần hồn D = J Chứng minh Giả sử a J b Khi tồn x,y,u,v  S1 cho xay=b, ubv = a (1) Ta cần chứng minh tồn c  S cho a L c, c R b Từ (1) suy a = (ux) a(yv) = (ux)2a (yv)2= (ux)3a(yv)3=… b= (xu) b(vy)=(xu)2 b(vy)2= (xu)3 b (vy)3= … Vì S nửa nhóm tuần hồn nên tồn số ngun dương m cho (ux)m luỹ đẳng Đặt c = xa, a = (ux)m a(yv)m = (ux)m (ux)m a (yv)m = (ux)ma = (ux)m-1uc nên a L c Ta lại có cy = xay = b chọn số nguyên dương n cho (vy)n luỹ đẳng c = xa = x(ux)n+1a(yv)n+1 = (xu)n-1 xay (vy)nv = (xu)n+1b (vy)2nv= (xu)n+1 b(vy)n+1(vy)n-1v = b(vy)nv Từ c R b nên (a,b)  Lo R = D  Để mơ tả lớp nửa nhóm quan trọng khác thoả mãn điều kiện D = J, ta cần đưa số ký hiệu khái niệm chuẩn bị Chú ý quan hệ L , R J xác định theo thuật ngữ iđêan, nên thứ tự bao hàm iđêan cảm sinh thứ tự phận lớp tương đương:   R a  Rb nÕu aS1  bS  1 1 J a  J b nÕu S aS  S bS  La  L b nÕu S a  S1 b (2) Như xét S L S tập hợp , S J R thứ tự phận Chú ý a  S x,y  S1, có Lxa  La, Rax  Ra, Jxay  Ja (3) La  Lb  Ja  Jb, Ra Rb  Ja  Jb (4) Giả sử (X, ) tập hợp thứ tự phận Thế (X, ) gọi thoả mãn điều kiện cực tiểu tập hợp khác rỗng X có phần tử cực tiểu (Giả sử Y tập X a  Y Khi a gọi phần tử cực tiểu Y khơng có phần tử Y thực lớn a, nghĩa (y Y) y  a  y= a ) 1.1.5 Định nghĩa Nửa nhóm S gọi thoả mãn điều kiện minL, minR hay minJ tập thứ tự phận S L hay S tương ứng , S J R thoả mãn điều kiện cực tiểu Các điều kiện hiển nhiên tương ứng với điều cực tiểu iđêan trái, iđêan phải hay iđêan tương ứng yếu điều kiện tương ứng iđêan (khơng thiết iđêan chính) 1.1.6 Mệnh đề Nếu S thoả mãn điều kiện minL minR D = J Chứng minh Giả sử S thoả mãn điều kiện minL minR, S1 thoả mãn điều kiện ấy, S1 có iđêan trái phải S Do ta giả thiết S có phần tử đơn vị Giả thiết a J b Thế tồn p,q,r,s  S cho paq = b, rbs =a Suy tập hợp X = s  S y  S : xay  b khác rỗng, từ tập   Lx x  X  S L khác rỗng Từ điều kiện minL ta tìm phần tử cực tiểu Lu  ta chọn phần tử v  S cho uav = b Khi uruavsv = b nên Luru  Từ (3) ta có Luru  Lu, tính cực tiểu Lu  suy Lu= Luru  Lru  Lu Từ Lru= Lu ru Lu Vì L tương đẳng phải S nên ruav L uav hay rb L b Lập luận tương tự cách sử dụng điều kiện minR ta nhận rbs Rrb hay a Rrb Từ a D b nên J  D Hiển nhiên D  J nên J = D  1.2 D – lớp quy 1.2.1 Nhận xét Mỗi D – lớp nửa nhóm S hợp L- lớp hợp R-lớp Giao L- lớp R-lớp rỗng H-lớp Hơn theo định nghĩa D, a D b  Ra  Lb  La  Rb  Từ ta hình dung D – lớp “hộp trứng”, dịng biểu diễn R-lớp cột biểu diễn L- lớp ô vuông biểu diễn H - lớp Ra Ra  Lb Lb Nếu D D–lớp tuỳ ý nửa nhóm S a, b D cho a R b (nghĩa a b nằm dòng hộp trứng), tức tồn s,s’ S cho as  b, bs '  a Phép chuyển dịch phải s : S  S ánh xạ a thành b Thực tế ánh xạ La vào Lb , x  La xs L as L ổn định phải xs L as = Lb Tương tự s’ ánh xạ Lb vào La hợp thành s s ' : La  La thoả mãn: x  ua tuỳ ý thuộc La , xss’ = uass’ = ubs’ = ua = x Như ss’ ánh xạ đồng La Lập luận tương tự có  s '  s ánh xạ đồng Lb Từ s La  s ' Lb song ánh ngược từ La lên Lb từ Lb lên La tương ứng Thậm chí nói nhiều ánh xạ đó: Nếu x  La phần từ y  xs thuộc Lb có tính chất y  xs , x  ys ' Như y R x , ánh xạ  s bảo tồn R - lớp Nó ánh xạ H – lớp La cách – lên H - lớp tương ứng Lb Chú ý tương tự áp dụng cho  s ' Tóm lại ta chứng minh kết sau: 1.2.2 Bổ đề (Bổ đề Grin) Giả sử a R b s, s '  S thỏa mãn as  b, bs '  a Thế phép chuyển dịch phải  s bảo toàn R La ,  s ' L song ánh – lớp từ La lên Lb từ Lb lên La tương ứng Lập luận tương tự, nhận Bổ đề Grin đối ngẫu b 28 2.2.9 Nhận xét (i) Giả sử S vị nhóm S có biểu diễn vị nhóm Vì S nửa nhóm nên S có biểu diễn nửa nhóm (ii) Giả sử S vị nhóm với biểu diễn nửa nhóm Khi tồn từ wA+ biểu diễn đơn vị S Thế S có biểu diễn vị nhóm (iii) Giả sử G nhóm xác định biểu diễn nhóm Khi G xác định biểu diễn vị nhóm , A-1 tập hợp tương ứng - với A không giao với A, A-1 = {a-1|aA}, A-1 A =  Trong [4] chứng minh 2.2.10 Mệnh đề (1) Một vị nhóm biểu diễn hữu hạn vị nhóm biểu diễn hữu hạn nhóm (2) Một nhóm biểu diễn hữu hạn nhóm biểu diễn hữu hạn vị nhóm (3) Một nhóm biểu diễn hữu hạn nhóm biểu diễn hữu hạn nửa nhóm 2.3 Điều kiện biểu diễn hữu hạn mở rộng iđêan nửa nhóm 2.3.1 Định nghĩa Giả sử I iđêan nửa nhóm S Ta định nghĩa quan hệ  I S bởi: I = (I x I)  iS Nghĩa (x,y) I x = y x, y  I Khi  I tương đẳng S gọi tương đẳng Rees S liên kết với I 29 Nửa nhóm thương S/I ký hiệu S/I, gọi thương Rees S theo iđêan I Ta thấy S/I có phần tử I phần tử khác {x} với x  I Đôi để đơn giản ký hiệu, ta đồng phần tử {x} = xI với phần tử x  S\I tích hai phần tử S/I sau: x.y = xy với x, y I Ix = I = xI với x  S Do I phần tử zero S/I Bây ta chứng minh hai kết tương tự định lý biết lý thuyết nhóm 2.3.2 Mệnh đề Giả sử J iđêan cịn T nửa nhóm nửa nhóm S, ngồi J  T   Khi J  T iđêan T, J T nửa nhóm S (J  T ) J T (J  T ) Chứng minh Vì (J  T)2 = J2  JT  TJ  T2  J T nên J  T nửa nhóm S Rõ ràng J  T iđêan T J iđêan J  T Do nửa nhóm thương Rees ( J  T ) T (J  T ) J xác định Ta ký hiệu phần tử zero tương ứng chúng O O' Khi (J  T ) J T = [(J  T) \J]  O (T\J)  O, ( J  T ) = [T \(JT)]  O' (T\J)  O' Do hai nửa nhóm thương xét gồm tất phần tử thuộc T mà không thuộc J phần tử zero Chúng đẳng cấu với mà trùng ta đồng phần tử zero  30 2.3.3 Mệnh đề Giả sử J iđêan nửa nhóm S  đồng cấu từ S lên nửa nhóm thương Rees S J Khi  cảm sinh ánh xạ - bảo toàn quan hệ bao hàm A  A = A/J từ tập tất iđêan S chứa J lên tập tất iđêan S/J (S / J ) (A/ J )  S / A Chứng minh Giả sử S/J = (S\ J)  O Khi A = A/J = (A\J)  O Khi A = A/J = (A\J)  O Vì  đồng cấu nên A iđêan S/I Nếu Q iđêan tuỳ ý S/J A = Q iđêan S chứa J (= O ) A = Q Nếu J  A  B, A B iđêan S, A\J   \T Do (ghép thêm phần tử zero vào hai vế) ta A J  B Như ánh J xạ A  A = A/J ánh xạ lên tập tất iđêan S bảo tồn quan hệ bao hàm chặt, nghĩa - Ta chứng minh khẳng định mệnh đề Giả sử A iđêan S chứa J Giả sử O' O'' phần tử zero nửa nhóm thương Rees xét Khi (S / J ) (A/ J )  [( S / J ) \ ( A / J )]  O ', S/A = (S\A)  O'' Vì (S/J) \ (A\J) = S\A, nên hai nửa nhóm thương khơng đẳng cấu mà thực chất trùng  Từ hai mệnh đề trực tiếp suy 2.3.4 Hệ (1) Nếu J J' iđêan nửa nhóm S J  J', J tối đại J' J'/J iđêan O - tối tiểu S ' Trong trường hợp J phép nhân khơng J J nửa nhóm O - đơn nửa nhóm với 31 (2) Iđêan J nửa nhóm S iđêan tối đại S S không chứa iđêan thực khác zero, S J J O - đơn nửa nhóm gồm hai phần tử với phép nhân khơng 2.3.5 Định nghĩa Giả sử A T hai nửa nhóm, T có phần tử zero Khi nửa nhóm S gọi mở rộng A T S chứa A iđêan S A T Chú ý I iđêan nửa nhóm S D mở rộng iđêan I S/I Kết sau nêu lên điều kiện cần để mở rộng iđêan nửa nhóm khác biểu diễn hữu hạn 2.3.6 Định lý Giả sử nửa nhóm S mở rộng iđêan T I Nếu T I nửa nhóm biểu diễn hữu hạn S nửa nhóm biểu diễn hữu hạn Chứng minh Giả sử T I nửa nhóm xác định biểu diễn hữu hạn tương ứng Giả sử S mở rộng iđêan T I, nghĩa T (hoặc đẳng cấu với) zero S S T  I Giả sử B0 tập hợp tất phần tử sinh thuộc B biểu diễn phần tử iđêan I Chúng ta xem S/T tập hợp (S\T)  {O}, tích khơng nằm S\T zero, B sinh S\T  {O} nên B\B0 sinh S\T, (B\B0)  A sinh S Giả sử J tập hợp hệ thức cho S = {u = v  S | u biểu diễn phần tử zero I} Đối với tất u  (B\B0)+ biểu diễn phần tử zero I ta cố định phần tử  (u)  A+ cho u =  (u) S Đối với tất cặp chữ a  A+ cho ab =  (a,b) ba = T(b,a) 32 S Chúng ta thấy S xác định biểu diễn (3) Thật vậy, T iđêan S T thoả mãn R nên S thoả mãn R, I xem S\T  {O} nên S phải thoả mãn S S (nhớ I thoả mãn S) Rõ ràng S thoả mãn (2), (3) Nếu w1 biểu diễn phần tử zero I w2 biểu diễn phần tử khác zero I w1 = w2 thoả mãn I, với w1, w2  (B\B0), hệ thức suy từ S \S Nếu w1 (và w2) biểu diễn phần tử T, viết w1 = a1a2…ak với a1a2…ak  A  (B\B0) Nếu tích a1, a2,…, ak biểu diễn phần tử zero I sử dụng hệ thức (2) để biến đổi từ A+, sử dụng hệ thức (3) để nhận từ w1 từ w1  A+ cho w1 = w1 S Tương tự nhận từ w2  A+ cho w2 = w2 S, ta có w1 = w2 , w1, w2  A+ thoả mãn S, hệ thức thoả mãn T, thể suy từ R Chúng ta kết luận rằng, biểu diễn xác định S A, B, R , S hữu hạn nên S biểu diễn hữu hạn  2.4 Điều kiện biểu diễn hữu hạn nửa nhóm quy Trước hết, cần số kết thương nhóm 2.4.1 Định nghĩa ký hiệu Giả sử a phần tử S Ký hiệu J(a) = S1aS1 iđêan S sinh a J a J - lớp chứa a, tức 33 phần tử sinh J(a) Ký hiệu I(a) = J(a)\Ja Nếu I(a)   I(a) iđêan S Thật vậy, giả sử b  I(a) c  S Khi b  J (a) J (a) iđêan S Vì J (bc)  J (b)  J (a) nên bc  Ja Vậy bc  I(A) Tương tự, cb  I(a) Vì I(a) iđêan S nên iđêan J(a) Mỗi nửa nhóm thương Rees J (a) I (a) với a  S gọi thương S Quy ước: Nếu T nửa nhóm I =  T nửa nhóm T I 2.4.2 Định nghĩa Một iđêan M nửa nhóm S gọi tối tiểu khơng thực chứa iđêan S Như vậy, A B hai iđêan tối tiểu S A B khơng giao nhau, AB  A AB  B Do S có iđêan tối tiểu iđêan tối tiểu phải nhất, gọi hạt nhân S ký hiệu K(S) hay đơn giản K 2.4.3 Bổ đề Mỗi thương nửa nhóm S tuỳ ý O đơn nửa nhóm zero (nghĩa ab = với a,b  S) Chỉ trường hợp S có hạt nhân tồn thương đơn trường hợp hạt nhân thương đơn Chứng minh Giả sử S nửa nhóm a  S Trước hết ta chứng tỏ I(a) iđêan tối đại J(a) Thật vậy, giả thiết B iđêan S mà I(a)  B  J(a) Giả sử b  B\I(a) Khi b  J(a) \I(a) = Ja, nghĩa J(b) = J(a) Nhưng J(b)  B nên B = J(a) Nếu I(a) =  lý luận chúng tỏ iđêan J(a) tối tiểu S phải hạt nhân S Thế J(a) đơn Nếu I(a)   J(a)/I(a) nửa nhóm o - đơn nửa nhóm zero theo Hệ 2.3.4  34 2.4.4 Định nghĩa Ta gọi chuỗi nửa nhóm S chuỗi S = S1  S2 … Sm  Sm+1 =  (1) Các iđêan Si S S kết thúc tập rỗng cho không tồn iđêan nằm thực Si Si+1 (i = 1, 2,…,m) Ta định nghĩa thương chuỗi (1) nửa nhóm thương Rees Si Si Si 1 (i = 1, 2, , m) Thế theo Hệ 2.3.4, nửa nhóm thương nửa nhóm đơn (khi i = m) nửa nhóm zero Si 1 2.4.5 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm với chuỗi (1) Khi thương chuỗi (1) lấy theo thứ tự đẳng cấu với thương S Đặc biệt thương hai chuỗi S đẳng cấu với Hạng tử cuối chuỗi S hạt nhân S Chứng minh Xét thương sử a  Si Si 1 Si chuỗi (1) Giả Si 1 Rõ ràng J(a)  Si+1 iđêan S nằm Si + Si thực chứa Si+1 a  Si+1 Do J(a)  Si+1 = Sij Giả sử b  I(a) Khi b  Si+1, trái lại ta có (như a): J(b) Si+1 = Si, từ a  J(b), trái giả thiết b I(a) Do I(a)  Si+1 Mặt khác, c J(a)  Si+1 J(c)  Si+1, J(c)  J(a), nghĩa cI(a) Ta kết luận I(a) = J(a)  Si+1 Theo Mệnh đề 2.3.2 có J (a) ( J (a)  Si 1 )  Nhưng thương vế trái Si Si 1 đẳng cấu với thương ( J (a)  Si 1 ) J (a) I (a) J (a) I (a) Si 1 vế phải Si Si+1 , 35 Hơn nữa, Ja = J(a) \ I(a) = (J/a)  Si+1) \ (I(a)Si+1) = Si \ Si + Do a'  Si\Si+1 J(a') = J(a), nghĩa thương J (a) I (a) ứng với thương Si Si+1 không phụ thuộc việc chọn phần tử a thuộc Si\Si+1 Mặt khác, a phần tử thuộc S phải tồn i(1  i  m) cho a  Si a  Si+1 a  S1 a  Sm+1 Do ánh xạ Si Si 1  J (a) I (a) ánh xạ - từ tập thương chuỗi (1) lên tập thương S Khẳng định cuối mệng đề suy trực tiếp từ Bổ đề 2.4.3  2.4.6 Định nghĩa Chuỗi (1) tập Si nửa nhóm S gọi chuỗi iđêan S Si+1 iđêan Si(i = 1,2,…,m - 1); nửa nhóm thương Rees Si Si 1 (i = 1,2,…, m - 1) gọi thương chuỗi Hai chuỗi iđêan gọi đẳng cấu thương chúng lấy theo thứ tự đẳng cấu với Ta nói chuỗi iđêan mịn hố chuỗi iđêan khác hạng tử chuỗi thứ hai hạng tử chuỗi thứ Một chuỗi iđêan gọi chuỗi hợp thành khơng có mịn hố thực 2.4.7 Chú ý Theo Hệ 2.3.4 thương chuỗi hợp thành (1) nửa nhóm có hai phần tử với phép nhân zero, trừ thương cuối Sm   Sm nửa nhóm đơn (vì Sm hạt nhân S) Định lý nửa nhóm tương tự Định lý Jordan - Holder - Schreier khẳng định rằng: hai chuỗi iđêan nửa nhóm S có mịn hoá đẳng cấu, đặc biệt chuỗi hợp thành S đẳng cấu với Kết Rees chứng minh vào năm 1940 cách dùng phương pháp Zaussenhaus 36 2.4.8 Định nghĩa Nửa nhóm S gọi nửa đơn thương O - đơn đơn 2.4.9 Mệnh đề Mỗi iđêan iđêan tuý ý nửa nhóm đơn S iđêan S Chứng minh Giả sử S nửa nhóm đơn, A iđêan S B iđêan A Khi ABA iđêan S chứa B Nếu ABA = B B iđêan S, điều cần chứng minh Ta chứng minh ABA  B dẫn tới mâu thuẫn Giả sử b B\ABA theo giả thiết S nửa đơn thương J (b) I (b) O - đơn đơn   = J(b)/I(b) J (b) I (b) Từ J(b)2  I(b) = J(b) Vì S1bS1S1bS1S1bS1  S1bS1 bS1bS1 nên J(b)2  J(b)J(b) Ngoài J(b)  A b  B Do J(b)2  ABA Từ đó: J(b) = J(b)2  I(b)  ABA I(b) Điều mâu thuẫn bJ(b) b  ABAI(b)  Từ Mệnh đề 2.4.9 trực tiếp suy 2.4.10 Hệ Các hạng tử chuỗi iđêan tuỳ ý nửa nhóm nửa đơn iđêan S Đặc biệt, nửa nhóm nửa đơn chuỗi chuỗi hợp thành không khác 37 2.4.11 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm quy với hữu hạn iđêan phải iđêan trái, nửa nhóm O - đơn (đơn) S O - đơn (đơn hoàn toàn) Chứng minh Giả sử S có chuỗi tăng vơ hạn luỹ đ ẳng f1 > f2 > …> fk > … Chúng ta nhắc lại fi  fj  fi = fifj = fjfi Khi iđêan Sfi iđêan S fifi chúng chưa iđêan Sfi, nhận chuỗi giảm iđêan trái Sf1  Sf2 …  Sfk  … Giả thiết fi  Sfi+1 với i  đó, ta biết fi  Sf i Vì S nửa nhóm quy nên tồn a  S cho fi = afi+1, fi = afi+1  fif i+1 = afifi+1  fi fifi+1 = a fi+1  fifi+1 = fi  fi  fi+1 suy fi = fi+1, điều kiện mâu thuẫn với fi > fi+1, ta phải có chuỗi giảm ngặt vơ hạn iđêan trái Sf1  Sf2  Sf3 … Sfk  … trái với giả thiết Chúng ta kết luận S có chuỗi giảm vơ hạn l uỹ đẳng, nên phải chứa luỹ đẳng tối tiểu tập hợp luỹ đẳng khác zero, từ nửa nhóm O - đơn (đơn) S O - đơn (đơn) hoàn toàn  2.4.12 Chú ý Giả sử S nửa nhóm X tập khác rỗng S Các lớp ghép (corets) X S tập hợp có dạng Xs, s  S cho tồn t  S thoả mãn Xst = S Chúng ta biểu diễn tập tất lớp ghép X S C = {C1|iI} Khi số phần tử C gọi số X S ký hiệu [S: X] 38 Kết sau chứng minh ([4], trang 38) 2.4.13 Bổ đề Nếu G nhóm tối đại S số G S số H - lớp R - lớp G Cũng ([4], trang 60) chứng minh được: 2.4.14 Bổ đề Nếu G nửa nhóm với số hữu hạn nửa nhóm nửa nhóm ngược S S biểu diễn hữu hạn G biểu diễn hữu hạn Bây chứng minh kết tiết 2.4.15 Định lý Giả sử S vị nhóm quy với hữu hạn iđêan trái hữu hạn iđêan phải Thế S biểu diễn hữu hạn nhóm tối đại S biểu diễn hữu hạn Chứng minh Điều kiện S có hữu hạn iđêan trái hữu hạn iđêan phải tương đương với điều kiện S có hữu hạn R - lớp hữu hạn L - lớp Điều kéo theo S có hữu hạn lớp Theo Bổ đề 2.4.13 nhóm tối đại S có số hữu hạn Giả thiết S biểu diễn hữu hạn được, theo Bổ đề 2.4.14 nhận xét ta thấy tất nhóm tối đại S biểu diễn Đảo lại, giả thiết tất nhóm tối đại S biểu diễn hữu hạn Các thương nửa nhóm đơn, - đơn nửa nhóm với phép nhân zero (Bổ đề 2.3.3) Trong trường hợp S khơng thể có thương nửa nhóm với phép nhân zero S quy nên thương nhóm S nửa nhóm với phép nhân zero khơng quy Vậy tất thương S nửa nhóm O - đơn hồn tồn hay đơn hồn tồn Giả sử T thương S T nửa nhóm O - đơn hồn tồn Khi T  Mo[G, I, , P] G nhóm đẳng cấu với nhóm 39 tối đại tuỳ ý S, I tập hợp tương ứng - với tập tất iđêan trái O - tối tiểu S  tập hợp tương ứng - với tập tất iđêan phải O - tối tiểu S Vì S chứa hữu hạn iđêan trái hữu hạn iđêan phải nên I  hữu hạn Khi G biểu diễn hữu hạn nên T biểu diễn hữu hạn Chúng ta kết luận tất thương S biểu diễn hữu hạn được, áp dụng Mệnh đề 3.10 ([4], trang 62) để chứng tỏ K(S), thương S đơn hoàn toàn, biểu diễn hữu hạn Bằng cách xét dãy S S1 = S  S2  …  Sm = K(S) thương S1 S2 , S2 S3 , , Sm1 Sm theo thứ tự đẳng cấu với thương S Chúng ta thấy S m biểu diễn hữu hạn được, Sm1 Sm đẳng cấu với thương S, nên Sm-1 mở rộng iđêan hạt nhân K(S) thương S, từ Sm-1 biểu diễn hữu hạn theo Định lý 2.3.6 Vì Sm-2 mở rộng iđêan Sm-1 iđêan S nên Sm-2 biểu diễn hữu hạn Lặp lại lập luận đến tận khởi đầu dãy ta nhận S1 = S biểu diễn hữu hạn  2.4.16 Định nghĩa (i) Giả sử S nửa nhóm a  S Phần tử a'  S gọi phần tử ngược a gvg aa'a = a, a'aa' = a (ii) Nửa nhóm S gọi nửa nhóm ngược phần tử a  S có phần tử ngược (mà ta ký hiệu a-1) Kết sau chứng minh ([1], trang 55) 2.4.17 Mệnh đề Ba điều kiện sau nửa nhóm S tương đương (1) S nửa nhóm ngược; (2) S nửa nhóm quy hai luỹ đẳng S giao hoán với nhau; 40 (3) Mỗi iđêan trái iđêan phải S có phần tử sinh luỷ đẳng 2.4.18 Chú ý (1) Giả sử S nửa nhóm ngược tuỳ ý Khi tồn bảng chữ A tương đẳng  nửa nhóm ngược tự FI(A) cho S  FI(A)/ Nếu R quan hệ hai FI(A) cho tương đẳng sinh R FI(A)  cặp gọi biểu diễn nửa nhóm ngược S S xác định biểu diễn nửa nhóm ngược (ii) Giả sử S biểu diễn nửa nhóm ngược xác định biểu diễn nửa nhóm ngược Khi S nửa nhóm xác định biểu diễn 2.4.19 Mệnh đề Giả sử S vị nhóm ngược với hữu hạn iđêan trái hữu hạn iđêan phải S biểu diễn hữu hạn vị nhóm ngược S biểu diễn vị nhóm Chứng minh Giả thiết S biểu diễn hữu hạn nửa nhóm ngược Từ kiện S chứa hữu hạn iđêan trái hữu hạn iđêan phải suy nhóm tuỳ ý S có số hữu hạn Thế theo Bổ đề 2.4.14 nhóm tối đại S biểu diễn hữu hạn Vì S nửa nhóm ngược nên S quy, theo Định lý 2.4.15, S biểu diễn hữu hạn vị nhóm Đảo lại, giả thiết biểu diễn hữu hạn xác định S vị nhóm Thế biểu diễn xác định S vị nhóm ngược, S biểu diễn hữu hạn vị nhóm ngược  41 KẾT LUẬN Luận văn thực nội dung sau: Trình bày khái niệm tính chất liên quan đến quan hệ Grin nửa nhóm Trình bày kiến thức D - lớp quy, nửa nhóm quy Hệ thống hố khái niệm tính chất liên quan đến nửa nhóm tự vị nhóm tự Từ trình bày điều kiện biểu diễn hữu hạn mở rộng iđêan nửa nhóm (Định lý 2.3.6) Trình bày lại chứng minh chi tiết vị nhóm quy với hữu hạn iđêan trái hữu hạn iđêan phải biểu diễn hữu hạn nhóm tối đại biểu diễn hữu hạn (Định lý 2.4.15) Trình bày lớp nửa nhóm ngược biểu diễn hữu hạn (Mệnh đề 2.4.19) 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] A.H.Cliphớt G.B.Prestơn (1970), Lý thuyết nửa nhóm, Bản dịch tiếng Việt Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2008), Giáo trình lý thuyết nửa nhóm lý thuyết nhóm, Trường Đại học Vinh Tiếng Anh [3] I Araújo, M Branco,V Fernandes, G.Gomes, N Raskuc (2001), On generators and relations for union s of semigroups, Semigroup Forum 63, 49-62 [4] Carvalho (2003), Presentations of semigroups and inverse semigroups, University of St Andrew [5] J M Howie (1995), Fundamentals of semigroup theory, Claredon Press, Oxford [6] J M Howie, N Ruskuc (1994), Construction and presentations for monoids, Comm Algebra 22, 6209 - 6224 [7] G Lallement (1979), Semigroups and combinatarial applications, John Wiley and Sons, New York [8] N Ruskuc (1999), Presentations for subgroups and monoids, Journal of Algebra 220, 365 – 380 [9] B M Schein (1975), Free inverse semigroups are not finitely presented, Acta Math Acad Scient Hung 26, 41-52 ... (1) Một vị nhóm biểu diễn hữu hạn vị nhóm biểu diễn hữu hạn nhóm (2) Một nhóm biểu diễn hữu hạn nhóm biểu diễn hữu hạn vị nhóm (3) Một nhóm biểu diễn hữu hạn nhóm biểu diễn hữu hạn nửa nhóm 2.3... T I nửa nhóm biểu diễn hữu hạn S nửa nhóm biểu diễn hữu hạn + Giả sử S nửa nhóm quy với hữu hạn iđêan trái hữu hạn iđêan phải Thế S nửa nhóm biểu diễn hữu hạn nhóm tối đại S biểu diễn hữu hạn. .. hữu hạn Không phải nửa nhóm biểu diễn hữu hạn Sau ví dụ nửa nhóm biểu diễn hữu hạn đơn giản 2.2.7 Ví dụ Nửa nhóm đơn diễn hữu hạn sinh a cấp n + r - chu kỳ n có biểu diễn hữu hạn Nửa