Nửa nhóm chính quy hoàn toàn

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHÍ VĂN THỦY NỬA NHĨM CHÍNH QUY HỒN TỒN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Nghệ An, 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHÍ VĂN THỦY NỬA NHĨM CHÍNH QUY HỒN TỒN CHUN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS.LÊ QUỐC HÁN Nghệ An, 2012 MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU .2 CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .4 1.1 Nửa nhóm quy Nửa nhóm ngƣợc .4 1.2 Các quan hệ Grin nửa nhóm CHƢƠNG NỬA NHĨM CHÍNH QUY HỒN TỒN 16 2.1 Nửa nhóm quy hồn tồn 16 2.2 Sự phân tích Cliphớt 19 2.3 Nửa nhóm Cliphớt .24 KẾT LUẬN .31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 LỜI NĨI ĐẦU Các nửa nhóm quy đóng vai trị quan trọng lý thuyết nửa nhóm, nhƣng lớp nửa nhóm rộng khó đặc trƣng chúng.Vì vậy, ngƣời ta tìm cách nghiên cứu lớp nửa nhóm quy đặc biệt gần với nhóm nhƣ nửa nhóm ngƣợc, nửa nhóm orthodox…Với thành tựu đạt đƣợc nửa dàn, lớp nửa nhóm nửa dàn nửa nhóm đơn hồn tồn đƣợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Lớp nửa nhóm đƣợc gọi lớp nửa nhóm quy hồn tồn với nó, lớp nửa nhóm Cliphớt (là dàn nhóm) đƣợc xem xét Luận văn dựa sách Fundamentals of Semigroup Theory J M Howie xuất năm 1995 để tìm hiểu lớp nửa nhóm Luận văn g m có hai chƣơng: Chƣơng trình bày định nghĩa nửa nhóm quy, nửa nhóm ngƣợc tính chất chúng Sau chúng tơi trình bày quan hệ Grin nửa nhóm D - lớp quy nửa nhóm để làm sở trình bày chƣơng sau Chƣơng trình bày định nghĩa nửa nhóm quy hồn tồn đặc trƣng lớp nửa nhóm (Mệnh đề 2.1.2) Sau chúng tơi trình bày mối liên quan nửa nhóm quy hồn tồn nửa nhóm đơn hồn tồn (Mệnh đề 2.1.2, Định lý 2.2.6) Tiếp theo, chúng tơi trình bày nửa nhóm Cliphớt đặc trƣng chúng (Định lý 2.3.4) Phần cuối chƣơng trình bày số lớp nửa nhóm với điều kiện yếu nửa nhóm Cliphớt nhƣ nửa nhóm quy trái, nửa nhóm quy phải, nửa nhóm nửa ngun tố Luận văn đƣợc thực hoàn thành Trƣờng Đại học Vinh Nhân dịp tác giả xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Quốc Hán, ngƣời hƣớng dẫn tác giả hoàn thành luận văn Tác giả trân trọng cảm ơn Phòng Đào tạo Sau Đại học Trƣờng Đại học Vinh nhƣ thầy giáo, cô giáo Chuyên ngành Đại số Lý thuyết số tạo điều kiện giúp đỡ hƣớng dẫn tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng, song luận văn tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong nhận đƣợc đóng góp q báu thầy, giáo bạn đ ng nghiệp Nghệ An, tháng năm 2012 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nửa nhóm quy, nửa nhóm ngược 1.1.1 Định nghĩa Phần tử a thuộc nửa nhóm S đƣợc gọi phần tử quy a  aSa hay nói cách khác: a = axa với x S Nửa nhóm S đƣợc gọi quy phần tử quy Nếu axa = a e = ax lũy đẳng, ea = a Thật vậy; e2 = (ax) (ax) = (axa)x = e ea = axa = a Tƣơng tự f = xa lũy đẳng S af = a Ta ý a phần tử quy thuộc nửa nhóm S, iđêan phải aS1 = a  aS sinh a aS, a = af kéo theo a  aS Tƣơng tự S1a = Sa 1.1.2 Bổ đề Phần tử a thuộc nửa nhóm S quy iđêan phải (trái) nửa nhóm S sinh a sinh lũy đẳng đó, tức aS = eS1 (S1a = S1e) Chứng minh Nếu a quy axa = a với x thuộc S e = ax phần tử lũy đẳng S mà ea = a Do aS1 = eS1 Đảo lại, giả thiết aS1 = eS1 e2 = e Khi e = ex với x thuộc S, ea = e2x = ex = a, e = ay với y thuộc S1 nên a = ea = aya Nếu y = a = a2 a = aaa Do trƣờng hợp a  aSa, tức a quy  1.1.3 Định nghĩa (i) Hai phần tử a b thuộc nửa nhóm S đƣợc gọi ngược aba = a ba b = b (ii) Nửa nhóm S đƣợc gọi nửa nhóm ngược phần tử có phần tử ngƣợc Nếu a b phần tử thuộc nhóm tối đại H nửa nhóm S, đặc biệt S nhóm a, b ngƣợc chúng nghịch đảo nhóm với nghĩa thơng thƣờng Nếu phần tử a thuộc nửa nhóm S có phần tử ngƣợc với a quy 1.1.4 Bổ đề Nếu a phần tử quy thuộc nửa nhóm S, chẳng hạn axa = a với x  S, a có phần tử ngược với nó, chẳng hạn phần tử xax Chứng minh: Giả sử b = xax Thế thì: aba = a(xax)a = (axa)xa = axa = a Do b ngƣợc với a  1.1.5 Bổ đề Hai phần tử thuộc nửa nhóm S nghịch đảo nhóm S chúng ngược giao hoán với Chứng minh Giả sử a b phần tử ngƣợc giao hốn với thuộc nửa nhóm S e = ab(=ba) Khi e lũy đẳng, ea = ae = a eb = be = b Do a b phần tử khả nghịch eSe thuộc nhóm tối đại H e S chứa e Vì ab = ba = e nên a b nghịch đảo nhóm He Mệnh đề đảo hiển nhiên Một phần tử quy có số phần tử ngƣợc với Nửa nhóm ngƣợc nửa nhóm phần tử có phần tử ngƣợc Vácne [1952b] gọi nửa nhóm “nhóm suy rộng” Hiện nửa nhóm ngƣợc lập thành lớp nửa nhóm có nhiều triển vọng cho việc nghiên cứu chúng gần nhóm 1.1.6 Bổ đề Nếu e, f, ef fe lũy đẳng thuộc nửa nhóm S ef fe ngược Chứng minh Ta có (ef) (fe) (ef) = ef2 e2f = ef.ef = (e f)2 = ef Tƣơng tự (fe)(ef)(fe) = fe  1.1.7 Định lý Ba điều kiện sau nửa nhóm S tương đương: (i) S quy hai lũy đẳng giao hốn với (ii) Mỗi iđêan phải iđêan trái S có phần tử sinh lũy đẳng (iii) S nửa nhóm ngược (tức phần tử thuộc S có phần tử ngược nhất) Chứng minh (i)  (ii) Theo Bổ đề 1.1.2, iđêan phải S có phần tử sinh lũy đẳng Giả thiết e f lũy đẳng sinh iđêan phải tức eS = fS Khi ef = f fe = e Nhƣng theo (i) ef = fe nên e = f (ii)  (iii) Theo Bổ đề 1.1.2, nửa nhóm S quy Chỉ cần chứng minh phần tử ngƣợc Giả sử b c ngƣợc với a Khi aba = a, bab = b, aca = a, cac = c Từ abS = aS = acS Sba = Sa = Sca nên ab = ac ba = ca (theo (ii)) Do b = bab = bac = cac = c (iii)  (i) Rõ ràng nửa nhóm ngƣợc quy Chỉ cịn phải chứng tỏ hai lũy đẳng giao hốn với Trƣớc hết ta phải chứng minh tích ef hai lũy đẳng e f lũy đẳng Thật vậy, giả sử a phần tử ngƣợc ef Khi (ef)a(ef) = ef, a(ef)a = a Đặt b = ae Thế thì: (ef)b(ef) = efae2 f = efaef = ef b(ef)b = ae2 fae = aefae = ae = b Do b phần tử ngƣợc ef, nên theo tính chất (iii) ae = b = a Tƣơng tự chứng minh fa = a Do a2 = (ae)(fa) = a(ef)a = a Nhƣng lũy đẳng phần tử ngƣợc dùng điều kiện (iii) ta kết luận a = ef Nhƣ ef lũy đẳng Bây giả sử e f hai lũy đẳng bất kỳ, theo điều vừa chứng minh, ef fe lũy đẳng Theo Bổ đề 1.1.6 chúng ngƣợc Vậy ef fe ngƣợc ef, ef = fe  1.1.8 Bổ đề Đối với phần tử a, b tùy ý thuộc nửa nhóm ngược S có hệ thức (a-1)-1 = a (ab)-1 = a-1b-1 Chứng minh Hệ thức thứ hiển nhiên Ta chứng minh hệ thức thứ hai Ta có (ab)(b-1a-1)(ab) = a(bb-1)(a-1a) b = a(a-1a)(b-1b)b = ab,(b-1a-1)(ab)(b-1a-1) = b-1(a-1a)(bb-1)a-1 = b-1(bb-1)(a-1a)a-1 = b-1a-1 Do b-1a-1 ngƣợc với ab  1.1.9 Bổ đề Nếu e f lũy đẳng nửa nhóm ngược S Se  Sf = Sef (= Sfe) Chứng minh Nếu a  Se  Sf ae = af = a nên aef = af = a a  Sef Đảo lại, a  Sef (= Sfe) aef = afe = a từ ae = af = a, tức a  Se  Sf 1.2 Các quan hệ Grin nửa nhóm 1.2.1 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm Ta định nghĩa quan hệ L, R, J sau S: a L b  S1a = S1b a R b  aS1 = bS1 a J b  S1aS1 = S1bS1 S1a, aS1, S1aS1 tƣơng ứng iđêan trái, phải iđêan S đƣợc sinh a Rõ ràng L, R, J quan hệ tƣơng đƣơng S Hơn nữa, L tƣơng đẳng phải R tƣơng đẳng trái S Với a  S, ký hiệu La, Ra Ja tƣơng ứng với L – lớp, R – lớp, J – lớp tƣơng ứng chứa a 1.2.2 Bổ đề Các quan hệ L R giao hoán với quan hệ D = L R = R L quan hệ tương đương bé chứa L R Chứng minh Ta cần chứng minh L R  R L Giả sử (a,b)  L R Khi đó, t n c  S cho a L c c R b Thế t n u,v  S1 cho a = uc b = cv, đặt d= av = ucv = ub Vì L tƣơng đẳng phải nên (a,c)  L kéo theo (av, cv)  L, nghĩa (d,b)  L Vì R tƣơng đẳng trái nên (c,b)  R kéo theo (uc, ub)  R, nghĩa (a,d)  R Từ (a,d)  R (d,b)  L kéo theo (a,b)  R L L R  R L 10 D chứa lớp a đƣợc ký hiệu Da Chú ý L  J R  J nên D  J, nói chung D  J Với a  S, ta có hai ký hiệu thƣờng dùng: J(a) iđêan sinh a, J (a) = S1aS1 Ja tập tất phần tử sinh J(a), nghĩa Ja D – lớp chứa a 1.2.3 Định nghĩa Quan hệ H S đƣợc xác định H = L  R Với a  S, ký hiệu H – lớp chứa a Ha 1.2.4 Chú ý a) R -lớp R L – lớp L nửa nhóm S giao chúng chứa D – lớp S Thật vậy; giả sử a  R b  L Khi aDb t n c  S cho (a,c)  R (c,b)  L Nhƣng điều tƣơng đƣơng với điều kiện c  R c  L, nghĩa c  R  L Do aDb R  L   Mặt khác, rõ ràng aDb D – lớp chứa R L trùng  b) Để hình dung tốt D – lớp nửa nhóm S, ta dùng hình ảnh sau gọi “hộp trứng” Hãy tƣởng tƣợng phần tử thuộc D đƣợc thành bảng chữ nhật giống hộp dùng để trứng, mà dòng ứng với R – lớp, cột ứng với L – lớp chứa D Mỗi ô hộp ứng H – lớp chứa D, ý chứng tỏ hộp khơng có trống Ta không giả thiết phần tử thuộc H – lớp đƣợc cách đặc biệt Ta thấy H – lớp chứa D có cấp Vậy nói ô hộp trứng đƣợc số giống phần tử thuộc nửa nhóm S c) Nếu a b phần tử thuộc nửa nhóm S, ta viết Ja  Jb trƣờng hợp S1aS1  S1bS1, nghĩa a  J(b) Quan hệ  thứ tự phận tập J – lớp S 20 2.1.3 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm Khi điều kiện sau tương đương: (i) S nửa nhóm đơn hồn tồn; (ii) S nửa nhóm quy hồn tồn xx-1 = (xyx)(xyx)-1,  x, y  S; (iii) S nửa nhóm đơn S nửa nhóm quy hồn tồn Chứng minh (i)  (ii) Giả sử S nửa nhóm đơn hoàn toàn với a  S, a 1 phần tử ngƣợc a nằm Ha Giả sử x, y  S Thế xyxHx, từ xx -1 = (xyx)(xyx)-1 (ii)  (iii) Giả sử a, b  S Khi a = aa-1a = aba.(aba)-1a, Ja  Jb Bằng cách thay đổi vai trị a cho b, ta có Jb  Ja nên Ja = Jb Suy J = SxS nên S nửa nhóm đơn (iii)  (i) Giả thiết S nửa nhóm quy hồn toàn đơn Chúng ta chứng tỏ lũy đẳng S nguyên thủy, từ suy S nửa nhóm đơn hồn tồn Thật vậy, giả sử e f hai lũy đẳng S cho ef = fe = e Thế S nửa nhóm đơn nên t n z, t  S cho e = zft Đặt x = exf, y = fte, có xfy = (ezf)f(yte) = e(zft)e = e3, nữa, e2 = e, f2 = f nên ex = xf = x, fy = ye = y Khi đó, S nửa nhóm quy hồn tồn nên theo Mệnh đề 2.1.2, phần tử x  Hg với g lũy đẳng S Nhƣ vậy, gx = xg = x, t n x-1  Hg cho xx-1 = x-1x = g Thế gf = x-1xf = x-1x = g Nhƣng lại có gf = gef = gxfyf = xfyf = ef = f nên g = f Từ f = fe = ge = gxfy = xfy = e Nhƣ ta chứng minh đƣợc e f hai lũy đẳng S cho ef = fe = e f = e, nghĩa e lũy đẳng nguyên thủy từ S nửa nhóm đơn hồn tồn 2.2 Sự phân tích Cliphớt  21 Trƣớc hết, ta tìm hiểu khái niệm băng nửa dàn 2.2.1 Định nghĩa (i) Một tập X đƣợc gọi thứ tự phận phản xạ, phản đối xứng bắc cầu (ii) Giả sử E tập hợp tất luỹ đẳng nửa nhóm S Khi quan hệ  xác định E bởi: e  f (e.f  E) ef = fe = e thứ tự phận tự nhiên E (iii) Phần tử b thuộc tập thứ tự phận X đƣợc gọi cận tập Y X y  b với y  Y Cận b tập Y đƣợc gọi cận bé nhất, hợp tập Y b  c với cận tập hợp Y Nếu Y có hợp X, rõ ràng hợp (iv) Cận cận lớn hay giao đƣợc định nghĩa cách đối ngẫu Tập thứ tự phận X đƣợc gọi nửa dàn (dưới), tập g m hai phần tử {a,b} tập X có hợp (giao) X, trƣờng hợp tập hữu hạn X có hợp (giao) Hợp (giao) {a,b} ký hiệu a  b (a  b) (v) Một dàn tập thứ tự phận, đ ng thời vừa nửa dàn vừa nửa dàn dƣới Dàn X đƣợc gọi đầy đủ tập X có hợp giao (vi) Băng nửa nhóm S mà phần tử lũy đẳng 2.2.2 Ví dụ Giả sử X tập tất nhóm nhóm S kể tập rỗng Thế X đƣợc thứ tự phận theo quan hệ bao hàm lý thuyết tập Vì giao tập hợp tùy ý nhóm S kể tập rỗng, nhóm S nên X dàn đầy đủ Giao tập Y X trùng với giao theo lý thuyết tập hợp phần tử thuộc tập hợp Y, lúc hợp Y nhóm S sinh hợp theo lý thuyết tập nhóm thuộc Y Tất lý luận ta thay từ “phỏng nhóm con‟‟ hay „„tập hợp S” từ “tƣơng đẳng S” 22 Mặt khác, tập hợp iđêan trái (phải, hai phía) nhóm S, kể tập rỗng, đóng phép hợp theo lý thuyết tập nhƣ giao, nên dàn đầy đủ đại số Bun tất tập hợp S Băng nửa nhóm S mà phần tử lũy đẳng Nhƣ S = E S băng S đƣợc thứ tự phận tự nhiên (a  b ab = ba = a) 2.2.3 Định lý Một băng giao hoán S nửa dàn thứ tự phận tự nhiên S Giao a  b hai phần tử a b S trùng với tích ab chúng Đảo lại, nửa dàn băng giao hoán phép giao Chứng minh Nhƣ trên, ta chứng tỏ quan hệ  quan hệ thứ tự phận S (=E) Ta chứng tỏ tích ab (=ba) hai phần tử a, b thuộc S trùng với cận dƣới lớn nhất, {a, b} Từ baa = ba2 = ba (ab)b = ab2 = ab suy ab  a ab  b Giả sử c  a c  b Thế (ab)c = a(bc) = ac = c, tƣơng tự, c(ab) = c, từ c  ab Mệnh đề đảo hiển nhiên  Chú ý: Ta làm cho S nửa dàn cách đặt a  b, ab = b, nhƣng thống ta giữ định nghĩa nêu Về sau, ta dùng từ nửa dàn nhƣ đ ng nghĩa với từ băng giao hoán, ta thỏa thuận từ nửa dàn đƣợc dùng với nghĩa nửa dàn dƣới băng giao hoán phép giao Ta nêu ví dụ băng khơng giao hốn Giả sử X Y hai tập tùy ý Ta định nghĩa phép tốn hai ngơi S = X x Y cách đặt (x1, y1) (x2, y2) = (x1, y1), (x1, x2  X; y1, y2  Y) Tính kết hợp lũy đẳng phép tốn hiển nhiên Ta gọi S băng chữ nhật tập X x Y Lý tên gọi nhƣ sau Ta tƣởng tƣợng X x Y bảng chữ nhật g m điểm, điểm (x,y) nằm dịng x cột y bảng Thế a1 = (x1, y1) a2 = (x2, y2) hai đỉnh đối diện hình chữ nhật X x Y X’ x Y’ đẳng cấu với X  X  Y  Y  23 Nếu X  ( Y  ) băng chữ nhật X x Y đẳng cấu với nửa nhóm phần tử khơng bên phải (bên trái) Y (X) Lý thuyết nửa nhóm khơng bao g m lý thuyết dàn nửa dàn lẫn lý thuyết nhóm Nếu loại nửa nhóm hồn tồn đƣợc mơ tả phạm vi lý thuyết nhóm nửa dàn, ta xem việc nghiên cứu tiếp tục cấu trúc nửa nhóm nằm ngồi phạm vi lý thuyết nửa nhóm Mặt khác ta coi việc nghiên cứu băng nhiệm vụ lý thuyết nửa nhóm Hiện cịn xa mơ tả cách hoàn hảo băng sai khác nửa dàn 2.2.4 Chú ý Ta hiểu phân tích nửa nhóm S phân chia thành hợp nửa nhóm rời S ( ) Để cho phân tích có giá trị, điều cần thiết nửa nhóm S phải nửa nhóm thuộc loại hẹp S, chẳng hạn nửa nhóm đơn hay nhóm Giả sử S = {S /  } phân tích nửa nhóm S cho với cặp phần tử  ,  thuộc tập số  t n phần tử   để S S  S Dễ thấy  trở thành băng phép tốn Ta nói S hợp băng  nửa nhóm S Ánh xạ  xác định a  =  a  S , đ ng cấu từ S lên  , nửa nhóm S lớp tƣơng đẳng   1 Đảo lại  cấu từ nửa nhóm S lên băng  , ảnh ngƣợc S   1 phần tử   nửa nhóm S S hợp băng  nửa nhóm S ( ) Nếu băng  giao hốn, ta nói S hợp nửa dàn  nửa nhóm S ( ) Nếu  cấu trúc S ( ) biết ta nói ta biết “cấu trúc thơ” nửa nhóm S Việc mơ tả cấu trúc mịn S, tức xét xem phần tử S khác nhân với nhƣ nào, vấn đề khó 24 Ta dùng cách gọi tắt: S băng (nửa dàn) nửa nhóm kiểu C, để S tập hợp băng (nửa dàn)  nửa nhóm S ( )   , S có kiểu C 2.2.5 Nhận xét Giả sử S nửa nhóm quy hồn tồn Thế theo Mệnh đề 2.1.2, với a  S ta có aHa2, từ aIa2 (2) Do với a, b  S, ta có Jab = J(ab)2 = Ja(ba)b  Jba thứ tự  quan hệ bao hàm I – lớp tƣơng đƣơng S Tƣơng tự, Jba  Jab nên Jab = Jba (3) Giả sử aIb Thế b = xay, a = ubv với x, y, u, v  S1 Nếu a S Jca = Jcubv  Jcub = Jubc  Jbc = Jcb Tƣơng tự, Jcb  Jca nên Jca = Jcb caIcb Theo (3), acIbc nên I tƣơng đẳng S Từ (2) (3) suy S  nửa dàn Bây ta xét I – lớp điển hình J = Ja S Vì (Ja)2  Ja2 = Ja nên Ja nửa nhóm S Nếu a, b  J t n x, y, u, v  S cho = b, ubv = a Khi t n lũy đẳng e, f  I cho a  He, b  Hf xay Từ (fx)a(yf) = fbf = b, (cu)b(vf) = eae = a Vì Jfx  J(fx)a(yf) = Jb = J, Jfx  Jf = J nên Jfx = J Từ fx J, tƣơng tự yf, eu, ve  J Thế nửa nhóm J nửa nhóm đơn và J nửa nhóm quy hồn tồn nên J phải nửa nhóm đơn hoàn toàn theo Mệnh đề 2.1.3 25 Bây ta ký hiệu nửa dàn S  Y,   Y ta ký hiệu nghịch ảnh toàn phần  ( ) S ,  :S → S  , x x tồn cấu tắc Thế S  – lớp S S nửa nhóm đơn hồn tồn Nhƣ vậy, S hợp rời nửa nhóm đơn hồn tồn S (   Y ), tính chất tƣơng đẳng  đƣa đến bao hàm thức S S  S (4) Chúng ta nói S nửa dàn nửa nhóm đơn hồn tồn Nhƣ ta chứng minh đƣợc kết quả: 2.2.6 Định lý Mỗi nửa nhóm quy hồn tồn nửa dàn nửa nhóm đơn hồn tồn 2.2.7 Chú ý Giả thiết có nửa dàn Y tập hợp nửa nhóm đơn hồn tồn S đƣợc số hóa Y cho  >  t n đ ng cấu  , : S  S  thỏa mãn (S1)   Y ,  ,  1S tự đẳng cấu đ ng S (S2) Đối với  ,  ,   Y cho      ,   ,   ,   , Để thuận lợi, từ sau ta viết ảnh phần tử x  S qua ánh xạ  : S  T x thay cho   x  Nhƣ  : S  T  :T  P ánh xạ phép hợp thành   : S  P đƣợc viết  Khi x  S ta có x   x  nhƣ điều kiện (S2) đƣợc viết thành  ,   ,   , Bây ta định nghĩa phép nhân S   S nhƣ sau:  Y Giả sử x  S , y  S Thế xy   x ,  y ,  (5) 26 Nếu x  S , y  S , z  S tính chất đ ng cấu điều kiện bắc cầu (S2) ta có :  xy  z   x ,  y ,  z   x ,  y ,   ,   z ,    x ,  y ,  z ,  , tƣơng tự x yz   x , y , z ,  Nhƣ vậy, phép nhân (5) thỏa mãn luật kết hợp Suy S dạng đặc biệt nửa nhóm quy hồn toàn, đƣợc gọi nửa dàn mạnh nửa nhóm đơn hồn tồn đƣợc ký hiệu S  S Y ; S ;  Tuy nhiên, nửa nhóm quy hồn tồn đƣợc biểu diễn dƣới dạng Ta đến định nghĩa sau 2.2.8 Định nghĩa Nếu nửa nhóm S đƣợc biểu diễn dƣới dạng nửa dàn mạnh nửa nhóm đơn hồn tồn ta nói S có phân tích Cliphớt Từ Định nghĩa 2.2.8 Mệnh đề 2.1.2 trực tiếp suy ra: 2.2.9 Hệ Nếu nửa nhóm S có phân tích Cliphớt S nửa nhóm quy hồn tồn 2.3 Nửa nhóm Cliphớt 2.3.1 Định nghĩa Một nửa nhóm S đƣợc gọi nửa nhóm Cliphớt (S,  ,-1) nửa nhóm quy hồn tồn thỏa mãn điều kiện: x, y  S, có  xx  yy    yy  xx  1 1 1 1 (6) 2.3.2 Chú ý Giả sử S nửa nhóm tùy ý Phần tử c  S đƣợc gọi phần tử trung tâm cs = sc, s  S Tập hợp tất phần tử trung tâm nửa nhóm S tạo thành nửa nhóm S đƣợc gọi tâm S đƣợc ký hiệu C(S) 27 2.3.3 Chú ý Giả sử S nửa nhóm (khơng thiết quy) T nửa nhóm S Nếu a, b  T ta nói hai quan hệ Grin loại a b Chẳng hạn:  a, b   L T nghĩa t n u, v  T1 cho ua = b, vb = a,  a, b   L s nghĩa t n s, t  S1 cho sa = b, tb = a Chúng ta sử dụng ký hiệu  LTa  u  T  a, u   L T  , LSa  s  S  a, s   L s  Khi LT  L S  TxT  Với ký hiệu tƣơng ứng, ta có R T  R S  (T  T ), H T  H S  (T  T ) DT  D S  (T  T ), J T  J S  (T  T ) Các bao hàm thức thực sự, chẳng hạn S nhóm xyclic sinh a T  a n n  Z , n  0 LT = RT = HT = DT = JT = 1T, L S  (T  T )  R S  (T  T )  H S  (T  T )  D S  (T  T )  J S  (T  T )  T  T Nếu T nửa nhóm quy nửa nhóm S LT  L S  (T  T ), R T  R S  (T  T ), H T  H S  (T  T ) 2.3.4 Định lý Giả sử S nửa nhóm với E tập hợp lũy đẳng Thế điều kiện sau tương đương: (i) S nửa nhóm Cliphớt; (ii) S nửa dàn nhóm; (iii) S nửa dàn mạnh nhóm; (iv) S quy E  C(S); (v) S quy DS  ( E  E )  1E Chứng minh (i)  (ii) Giả sử S nửa nhóm Cliphớt Thế S nửa nhóm quy hồn tồn nên S nửa dàn nửa nhóm đơn hoàn toàn S Bây lũy đẳng e S đƣợc biểu diễn dƣới dạng xx-1 với x theo điều kiện (6) lũy đẳng S giao hoán Điều xảy 28 thành phần S , S nửa nhóm đơn hồn tồn với lũy đẳng giao hoán nên S nhóm Nhƣ S nửa dàn nhóm (ii)  (iii) Đối với   Y giả sử e đơn vị S Bây giả thiết    Thế a  S , tích e a  S  S , định nghĩa ánh xạ  , : S  S quy tắc a ,  e a Thế  , ánh xạ đ ng S ,  , đ ng cấu với a , b  S (a )(b , )  (e a )(e b )  ((e a )e )b Mặt khác e a  S e đơn vị S  nên (a , )(b , )  e a b  (a b ) , ( , )(b , )  (a b ) , Từ  ,  đ ng cấu Giả sử      Chú ý tính chất đ ng cấu nên a  S , có (a , ) ,  e (e a )  (e e )a  (e , )a  e a  a  , nhƣ  ,  ,   , Cuối cùng, ý  ,   Y với a  S , b  S , tích a b  S với    Từ a b  e (a b )  (e a )b = ((e a )e )b (vì e a  S ) = (e a )(e b )  (a , )(b  , ); S đẳng cấu với nửa dàn mạnh nhóm S Y ; S ; ,  (iii)  (iv) Chắc chắn nửa dàn mạnh nhóm nửa nhóm quy Các lũy đẳng phần tử đơn vị e nhóm G cách tính tốn trực tiếp, tất   Y tất g   G , e g  (e , )( g  , , )  e ( g   , )  g   , ; g e  ( g  , )(e , )  ( g   , )e  g   , Do e g  g e ,  ,   E Từ E  C (S ) 29 S (iv)  (v) Giả thiết eD f, e f lũy đẳng Thế t n phần tử ngƣợc a cho aa’ = e, aa’ = f Từ với ý e, f  C(S), có e  e2  e(aa)a  afa  faa  aaaa  aae  aea  aaaa  f  f , Và ta kết luận đƣợc DS  ( E  E )  1E (v)  (i) Mỗi D lớp chứa lũy đẳng đơn lẻ, nhóm Nhƣ D = H phần tử a có phần tử ngƣợc a-1 tính chất (a-1)-1 = a, aa-1a = a, aa-1 = a-1a Nhƣ S nửa nhóm quy hồn tồn từ S nửa dàn Y nửa nhóm đơn hồn toàn S Bây x, y  S ta có xy  Rx  Ly , xDy Nhƣ S đƣợc chứa D – lớp đơn lẻ, chứa lũy đẳng Từ S thực tế nhóm Bây từ (ii)  (iii) kết luận S nửa dàn mạnh nhóm S Y ; S ; ,  từ suy với phần tử x  S phần tử y  S , xx 1 yy 1  e e  e  e e  yy 1xx 1 Nhƣ vậy, S nửa nhóm Cliphớt  Phần cuối tiết trình bày lớp nửa nhóm với điều kiện “yếu” nửa nhóm Cliphớt Trƣớc hết ta giới thiệu vài khái niệm cần thiết cho việc trình bày sau 2.3.5 Định nghĩa (i) Nửa nhóm S đƣợc gọi nửa nhóm quy trái (phải) với phần tử a  S t n phần tử x  S cho xa2 = a(a2x = a) (ii) Nửa nhóm S đƣợc gọi nửa nhóm quy với a  S t n x, y  S cho a = xa2y (iii) Một tập A nửa nhóm S đƣợc gọi nửa nguyên tố a  A, a  S kéo theo a  A Trong [1, Bổ đề 1.4] chứng minh đƣợc rằng: 30 2.3.6 Bổ đề Một nửa nhóm S quy trái (phải, giữa) I iđêan trái (phải, hai phía) S nửa nguyên tố 2.3.7 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm S Khi điều kiện sau tương đương (i) S quy trái; (ii) Mỗi iđêan trái S nửa nguyên tố; (iii) Mỗi L – lớp S nửa nhóm đơn trái S; (iv) Mỗi L – lớp S nửa nhóm S; (v) S hợp rời rạc nửa nhóm đơn trái; (vi) S hợp nửa nhóm đơn trái Chứng minh Sự tƣơng đƣơng (i) (ii) suy từ Bổ đề 2.3.6 Giả sử có (i) Khi aLa2 với a  S Giả sử aLb Thế a2Lba L tƣơng đẳng phải Do aLba L – lớp La chứa a nửa nhóm S Để chứng minh La đơn trái, giả sử b  La Ta cần chứng tỏ ca = b với c thuộc La Khi ba  La nhƣ ta chứng tỏ, nên b = xba với x thuộc S1 Giả sử c = xb Ta chứng tỏ c  La S quy trái nên ta có y  S cho x = yx2 Thế b = xba = yx2ba = (ya)(xba) = yxb = yc Từ b = yc c = xb suy cLb, c  Lb = La Vậy (i) kéo theo (iii) (iii) kéo theo (iv) hiển nhiên Giả sử có (iv) a2  La với a  S, La nửa nhóm S Nhƣ a2La S quy trái Do (iv) kéo theo (i) nhƣ (i), (ii), (iii), (iv) tƣơng đƣơng Rõ ràng (iii) kéo theo (v) (v) kéo theo (vi) Chứng minh kết thúc ta chứng minh đƣợc (v) kéo theo (i) Giả sử có (v) a  S Thế a thuộc nửa nhóm đơn trái S Do a2  T xa2 = a giải đƣợc với x  T  2.3.8 Định lý Giả sử S nửa nhóm Khi điều kiện sau tương đương (i) S hợp nhóm; 31 (ii) S vừa quy trái vừa quy phải; (iii) Mỗi iđêan trái iđêan phải S nửa nguyên tố; (iv) S quy trái quy; (iv’) S quy phải quy; (v) Mỗi H – lớp S nhóm; (vi) S hợp nhóm rời Chứng minh Nếu (i) rõ ràng S quy trái, quy phải quy, ta giải phƣơng trình xa2 = a; a2y = a, xax = a với x, y, z nằm nhóm S chứa a Nhƣ (i) kéo theo (ii), (iv) (iv‟) Hơn (ii) (iii) tƣơng đƣơng với theo Bổ đề 2.3.6 Bây giả sử có (ii) Thế aLa2 aRa2 nên aHa2 với a  S Theo Định lý Grin (1.3.7) từ suy H – lớp Ha chứa a nhóm Nhƣ (v) Nghĩa (ii) kéo theo (v) (v) kéo theo (vi) H – lớp rời (vi) kéo theo (i) hiển nhiên Nhƣ ta chứng minh đƣợc tƣơng đƣơng (i), (ii), (iii) (vi) chứng minh (i) kéo theo (iv) (iv‟) Do đối ngẫu, chứng minh kết thúc ta chứng tỏ đƣợc (iv) kéo theo (i) Giả sử a  S Theo Mệnh đề 2.3.7, La nửa nhóm đơn trái S Vì S quy nên axa = a với x  S Khi xa lũy đẳng thuộc La Nhƣ La nửa nhóm đơn trái chứa lũy đẳng Thế La tích trực tiếp nhóm băng, nhƣ hợp nhóm Vì S hợp L – lớp nó, nên S hợp nhóm  32 KẾT LUẬN Nội dung luận văn g m vấn đề sau : Hệ thống lại khái niệm tính chất nửa nhóm quy, nửa nhóm ngƣợc quan hệ Grin nửa nhóm Trình bày khái niệm tính chất nửa nhóm quy hồn tồn nửa nhóm đơn hồn tồn (Mệnh đề 2.1.2, Mệnh đề 2.1.3, Định lý 2.2.6) Trình bày khái niệm tính chất nửa nhóm Cliphớt (Định lý 2.3.4) 33 Trình bày số lớp nửa nhóm với điều kiện yếu nửa nhóm Cliphớt nhƣ nửa nhóm quy phải, nửa nhóm quy trái, nửa nhóm nửa nguyên tố đặc trƣng chúng (Mệnh đề 2.3.7, Định lý 2.3.8) TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] A H Cliphớt G.B.Prestơn (1970), Lý thuyết nửa nhóm, Bản dịch Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngơn ngữ nhóm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Lê Quốc Hán (2008), Giáo trình lý thuyết nửa nhóm lý thuyết nhóm, Trƣờng Đại học Vinh 34 Tiếng Anh [4] C A Carvalho (2003), Presentations of semigroups and inverse semigroups, University of St Andrew, February 26 [5]C A Carvalho (2009), Bruck-Reilly extentions of direct products of monoids and completely(0)-simple semigroups, Semigroup Forum,79, 145158 [6] J M Howie (1995), Fundamental of Semigroup theory, Oxford University Press [7] P Moravec (2008), Completely with nilpotent struct groups, Semigroup Forum, 77, 316-324 ... -1) vừa * - nửa nhóm vừa I – nửa nhóm Lớp U- nhóm thỏa mãn điều kiện * - nửa nhóm I – nửa nhóm lớp nửa nhóm ngƣợc Đối tƣợng tiết tìm hiểu lớp I – nửa nhóm quan trọng đƣợc gọi nửa nhóm quy hồn tồn... nhóm ngƣợc, nửa nhóm orthodox…Với thành tựu đạt đƣợc nửa dàn, lớp nửa nhóm nửa dàn nửa nhóm đơn hoàn toàn đƣợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Lớp nửa nhóm đƣợc gọi lớp nửa nhóm quy hồn tồn... Nửa nhóm quy Nửa nhóm ngƣợc .4 1.2 Các quan hệ Grin nửa nhóm CHƢƠNG NỬA NHĨM CHÍNH QUY HỒN TỒN 16 2.1 Nửa nhóm quy hồn tồn 16 2.2 Sự phân tích Cliphớt 19 2.3 Nửa nhóm