Thông tin tài liệu
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHÍ VĂN THỦY NỬA NHÓM CHÍNH QUY HOÀN TOÀN Nghệ An, 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHÍ VĂN THỦY NỬA NHÓM CHÍNH QUY HOÀN TOÀN !"! # Người hướng dẫn khoa học PGS.TS.LÊ QUỐC HÁN Nghệ An, 2012 $ MỤC LỤC %%!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! &'(!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! )*!+,-./!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" !! 0123456372389:!0123452;<=6!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" !! >689123?@A2B@C22012345!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!D )*!EF'GH!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!0123456372389:3IJ2BIJ2!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!KL3M2B763NAL3OB!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!P !$!012345NAL3OB!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" +!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!$ QF+R!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!$ " LỜI NÓI ĐẦU >620123456372389:S42;5TBU1AB@V8912B@W2;B@I2;NXB39:YB201 2345Z23<2;NOL20123452J:89>@T2;UJ@[B\34S]6B@<2;63^2;!_U`:Z 2;<aAB1SbB_56>632;3AC26c96>6NOL20123456372389:S]6dA?B;e2UOA 23453f223<20123452;<=6Z2012345I@B3IgIhiOA23j2;B3J23BK9SkB S<=6Ul201gJ2Z5TBNOL2012345NJ201gJ26>62012345Sf23IJ2BIJ2 S<=623Al9B>6;Am8912BM52;3AC26c9!OL20123452J:S<=6;WANJNOL201 23456372389:3IJ2BIJ2U1 n 6o2;UOA24ZNOL2012345NAL3OBpNJgJ26q1 6>62345r6s2;S<=6ht5huB!9`2Uv26q163^2;BwAgK1B@C269x2y>63 Fundamentals of Semigroup Theory6q1z!!I{Ath9[Bdm22v5PP#S|B_5 3A|9NOL2012345B@C2! 9M } 2Uv2;w n 56I ~ 31A63<f2;: 3<f2;B@_23dJ:S•232;3€120123456372389:Z20123452;<=6UJ 6>6B72363[B6q163^2;!19S463^2;BwAB@_23dJ:89123?@A2B@C22012345 UJ6>6D - NOL6372389:B@I2;2012345S|NJ56fy•B@_23dJ:63<f2;y19! 3<f2;B@_23dJ:S•232;3€120123456372389:3IJ2BIJ2UJ6>6S]6B@<2; 6q1NOL20123452J:p?23Sl!!r!19S463^2;BwAB@_23dJ:5xANAC2 8912;Aj120123456372389:3IJ2BIJ2UJ2012345Sf23IJ2BIJ2p?23Sl !!Z•23NX!!r!AYLB3tIZ63^2;BwAB@_23dJ:6>62012345NAL3OBUJ 6>6S]6B@<2;6q163^2;p•23NX!$!"r!‚3e269xA6q163<f2;B@_23dJ:5TByx NOL2012345UOASAl9\A?2:Y93f26q12012345NAL3OB23<201234563723 89:B@>AZ20123456372389:L3mAZ20123452012;9:C2Bx! 9`2Uv2S<=6B3K63A?2UJ3IJ2B3J23BkA@<a2;kA3W6A23! 3M2 g•L 2J: B>6 ;Am hA2 S<=6 dJ: Bƒ NV2; dAYB f2 yM9 y„6 SY2 ‚!CH9x6>2Z2;<aASb3<O2;g…2B>6;Am3IJ2B3J23N9`2Uv22J:! # >6;AmB@M2B@I } 2;61 † 5f2‚3I n 2;1 n IB1 } I19kA3W6@<f n 2;1 } A3I } 6 A236s2;23<6>6B3e:;A>IZ6w;A>IB@I2;39:C22;J23kAyxUJXB39:YB yxSbBkISAl9\A?2;A^LS‡UJ3<O2;g…2B>6;AmB@I2;89>B@_233W6B`LUJ3IJ2 B3J23N9`2Uv22J:! ]6goSb@[B6x;„2;ZyI2;N9`2Uv2\3w2;B3|B@>23\3ƒA23j2;B3AY9y4BZ 63^2;BwA@[B5I2;23`2S<=623j2;S42;;4L89Xd>96q16>6B3e:Z6w;A>IUJ 6>6dk2Sˆ2;2;3A?L! ;3?F2ZB3>2;‰2v5 >6;Am CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Nửa nhóm chính quy, nửa nhóm ngược 1.1.1. Định nghĩa!‚3e2B0aB39T62012345SS<=6;WANJphần tử chính quy 2Y9a ∈ aSa31:24A6>63\3>6a = axaUOAx ∈ S.012345SS<=6;WANJchính quy2Y95ŠAL3e2B06q124NJ6372389:! Y9 axa = a B3_ e = ax NJ 5TB Ns: S‹2;Z 3f2 2j1 ea = a! 3`B U`:Œ e 2 =(ax) (ax) = (axa)x = eUJea = axa = a!<f2;BKf = xa6s2;NJ5TBNs: S‹2;6q1S UJaf = a!16s2;63^X@•2;a NJL3e2B06372389:B39T62012345 SZB3_ASC1263723L3mAaS 1 = a ∪ aSyA23d•Aad•2;aSZU_a = af\uIB3tIa ∈ aS! <f2;BKS 1 a = Sa! 1.1.2. Bổ đề.Phần tử a thuộc nửa nhóm S là chính quy khi và chỉ khi iđêan chính phải (trái) của nửa nhóm S sinh bởi a sẽ được sinh bởi một lũy đẳng nào đó, tức là aS 1 = eS 1 (S 1 a = S 1 e). Chứng minh!Y9aNJ6372389:B3_axa = aUOAx2JIS4B39T6SUJe = axNJ L3e2B0Ns:S‹2;6q1 S5Jea = a!ŽIS4aS 1 = eS 1 ! mINkAZ;AmB3AYB@•2;aS 1 = eS 1 UJe 2 = e!+3AS4e = exUOAx2JIS4 B39T6SZU_U`:ea = e 2 x = ex = a, e = ayUOAy2JIS4B39T6S 1 2C2a = ea = aya! Y9y = 1B3_a = a 2 UJa = aaa!ŽIS45WAB@<a2;3=La ∈ aSaZBc6NJa63723 89:! 1.1.3. Định nghĩa. (Ar1AL3e2B0aUJbB39T62012345S S<=6;WANJngược nhau2Y9aba = aUJba b = b! pAAr012345SS<=6;WANJnửa nhóm ngược2Y95ŠAL3e2 B06q124645TBL3e2B02;<=6g9:23[B! Y9a UJbNJ6>6L3e2B0B39T623456I2BxASkAH2JIS46q15TB2012345SZ S]6dA?B\3ASNJ5TB2345B3_a, bNJ2;<=62319\3AUJ63•\3A63^2;NJ2;3•63 SmI6q12319B@I2;2345UOA2;3€1B3w2;B3<a2;! Y9L3e2B0aB39T62012345S64L3e2B02;<=6UOA24B3_aNJ6372389:! D 1.1.4. Bổ đề!Nếu a là phần tử chính quy thuộc nửa nhóm S, chẳng hạn axa = a với x ∈ S, thì a có ít nhất một phần tử ngược với nó, chẳng hạn phần tử xax. Chứng minhAmy0 b = xax!3YB3_ aba = a(xax)a = (axa)xa = axa = a! ŽIS4 b2;<=6UOAa. 1.1.5. Bổ đề!Hai phần tử thuộc nửa nhóm S là nghịch đảo của nhau trong một nhóm con nào đó của S khi và chỉ khi chúng ngược nhau và giao hoán với nhau. Chứng minh!Amy0aUJbNJ6>6L3e2B02;<=62319UJ;A1I3I>2UOA2319 B39T6 5TB 201 2345 S UJ e = ab(=ba). +3A S4 e NJ Ns: S‹2;Z 3f2 2j1 ea =ae = a và eb = be = b!ŽIS4aUJbNJ6>6L3e2B0\3m2;3•63B@I2;eSeUJ B39T623456I2BxASkAH e 6q1S63c1e! _ab = ba = e2C2aUJbNJ2;3•63SmI6q12319B@I2;2345H e !?23 SlSmINJ3A|223AC2! TBL3e2B06372389:64B3|645TByxL3e2B02;<=6UOA24!012345 2;<=6NJ2012345B@I2;S45ŠAL3e2B0645TBL3e2B02;<=6g9:23[B!>62t •P#d‘;WA6>62012345S4NJ’2345y9:@T2;“!A?221:6>62012345 2;<=6N`LB3J23NOL6>620123456423Al9B@A|2UW2;23[B63IUA?62;3AC26c9 U_63^2;\3>;e26>62345! 1.1.6. Bổ đề! Nếu e, f, ef và fe là các lũy đẳng thuộc nửa nhóm S thì ef và fe ngược nhau. Chứng minh. 164(ef) (fe) (ef) = ef 2 e 2 f = ef.ef = (e f) 2 = ef. <f2;BK(fe)(ef)(fe) = fe! 1.1.7. Định lý!Ba điều kiện sau đối với nửa nhóm S là tương đương: (i) S chính quy và hai lũy đẳng bất kỳ của nó giao hoán với nhau (ii) Mỗi iđêan chính phải và mỗi iđêan chính trái của S có một phần tử sinh lũy đẳng duy nhất. (iii) S là nửa nhóm ngược (tức là mỗi phần tử thuộc S có một phần tử ngược duy nhất). ‰ Chứng minh!pAr ⇒ pAAr!3tI.”Sl!!Z5ŠAASC1263723L3mA6q1S647B23[B 5TBL3e2B0yA23Ns:S‹2;!AmB3AYB@•2;eUJfNJ6>6Ns:S‹2;6o2;yA23@15TB ASC1263723L3mABc6NJ eS = fS!+3AS4 ef = f UJ fe = e!3<2;B3tIpAr ef = fe 2C2e = f! pAAr ⇒ pAAAr!3tI.”Sl!!Z2012345S6372389:!3•6e263c2;5A23yK g9:23[B6q1L3e2B02;<=6!Amy0bUJc2;<=6UOAa!+3AS4aba = a, bab = b, aca = a, cac = c.•S4abS = aS = acS UJ Sba = Sa = Sca 2C2ab = ac UJba = capB3tIpAArr!ŽIS4b = bab = bac = cac = c! pAAAr ⇒ pAr!–—@J2;5TB20123452;<=6B3_6372389:!3•6V2L3mA63c2; Bƒ@•2;31ANs:S‹2;d[B\˜;A1I3I>2UOA2319!@<O63YBB1L3mA63c2;5A23 B763ef6q131ANs:S‹2; e UJf NJ5TBNs:S‹2;!3`BU`:Z;Amy0aNJL3e2B0 2;<=66q1ef!+3AS4 (ef)a(ef) = ef, a(ef)a = a!]Bb = ae! 3YB3_(ef)b(ef) = efae 2 f = efaef = ef UJ b(ef)b = ae 2 fae = aefae = ae = b. ŽIS4b6s2;NJL3e2B02;<=66q1efZ2C2B3tIB72363[BpAAArae = b = a. <f2;BK64B3|63c2;5A23@•2; fa = a!ŽIS4 a 2 = (ae)(fa) = a(ef)a = a. 3<2;5TBNs:S‹2;NJL3e2B02;<=6UOA6372324UJNkAgo2;SAl9\A?2pAAArB1 \YBN9`2a = ef!3<U`: efNJNs:S‹2;!.M:;Aa;Amy0eUJf NJ31ANs:S‹2;d[B \˜ZB3tISAl9U•163c2;5A23ZefUJfe6s2;Ns:S‹2;!3tI.”Sl!!63^2; 2;<=6 2319! `: ef UJ fe Sl9 2;<=6 efZ gI S4 ef = fe! 1.1.8. Bổ đề!Đối với phần tử a, b tùy ý thuộc nửa nhóm ngược S có các hệ thức là (a -1 ) -1 = a và (ab) -1 = a -1 b -1 . Chứng minh!?B3c6B3c23[BNJ3A|223AC2!163c2;5A233?B3c6B3c31A!1 64(ab)(b -1 a -1 )(ab) = a(bb -1 )(a -1 a) b = a(a -1 a)(b -1 b)b = ab,(b -1 a -1 )(ab)(b -1 a -1 ) = b -1 (a -1 a)(bb -1 )a -1 = b -1 (bb -1 )(a -1 a)a -1 = b -1 a -1 . ŽIS4b -1 a ™ 2;<=6UOAab! 1.1.9. Bổ đề!Nếu e và f là các lũy đẳng của nửa nhóm ngược S thì Se ∩ Sf = Sef (= Sfe). P Chứng minh!Y9a ∈ Se ∩ SfB3_ae = af = a2C2aef = af = aUJU_U`:a ∈ Sef!mINkAZ2Y9 a ∈ Sef pš SferB3_ aef = afe = a B•S4 ae = af = aZ Bc6NJa ∈ Se ∩ Sf. 1.2. Các quan hệ Grin trên nửa nhóm 1.2.1. Định nghĩa!Amy0NJ5TB2012345!1S•232;3€16>689123?L, R, J y19SM:B@C2 a L b ⇔ S 1 a = S 1 b a R b ⇔ aS 1 = bS 1 a J b ⇔ S 1 aS 1 = S 1 bS 1 B@I2;S4S 1 a, aS 1 , S 1 aS 1 B<f2;c2;NJ6>6ASC1263723B@>AZ63723L3mAUJASC12 637236q1SS<=6yA23@1d•Aa! –—@J2;L, R, JNJ6>689123?B<f2;S<f2;B@C2S. f22j1ZL NJ5TBB<f2; S‹2;L3mAUJ R NJ5TBB<f2;S‹2;B@>AB@C2S. OA5ŠAa ∈ SZ\X3A?9L a , R a UJ J a B<f2;c2;UOA6>6L›NOLZR›NOLZJ›NOLB<f2;c2;63c1a! 1.2.2. Bổ đề!Các quan hệ L và R giao hoán với nhau và do đó quan hệ D = L o R = R o L là quan hệ tương đương bé nhất chứa L và R. Chứng minh. 163•6e263c2;5A23L o R ⊆ R o L. Amy0pa,br ∈ L o R. +3AS4Z Bˆ2BkAc ∈ S y1I63Ia L cUJcR b!3YB3_Bˆ2BkAu,v ∈ S 1 y1I63Ia = uc UJ b = cvZS]Bd= av = ucv = ub. _L NJB<f2;S‹2;L3mA2C2pa,c) ∈ L \uI B3tIpav, cv) ∈ L, 2;3€1NJpd,b) ∈ L. _ R NJB<f2;S‹2;B@>A2C2pc,b) ∈ R \uI B3tI(uc, ub) ∈ R, 2;3€1NJ(a,d) ∈ R. •(a,d) ∈ R UJ(d,b) ∈ L \uIB3tI(a,b) ∈ R o L UJgIS4L o R ⊆ R o L . D 63c1NOLa S<=6\X3A?9NJD a . 3^X@•2;L ⊆ J UJR ⊆ J 2C2 D ⊆ J, UJ24A6392;D ≠ J!OA5ŠAa ∈ S, B16431A\X3A?9B3<a2;go2;Jpa) NJASC12 63723yA23d•Aa, J (a) = S 1 aS 1 và J a NJB`LB[B6m6>6L3e2B0yA236q1J(a), 2;3€1 NJJ a 63723NJD›NOL63c1a. 1.2.3. Định nghĩa. H9123?HB@C2S S<=6h>6S•23d•AH = L ∩ R. OA5ŠAa ∈ S, \X3A?9H›NOL63c1a NJH a ! 1.2.4. Chú ý.1rR™NOLR UJL›lớp Lcủa nửa nhóm S giao nhau khi và chỉ khi chúng được chứa trong một D – lớp của S. 3`BU`:Œ;Amy0a ∈ RUJb ∈ L!+3AS4aDb \3AUJ63•\3ABˆ2BkAc ∈ Sy1I63I (a,c) ∈ R và (c,b) ∈ L. 3<2;SAl9S4B<f2;S<f2;UOASAl9\A?2 c ∈ R UJ c ∈ LZ2;3€1NJc ∈ R ∩ L!ŽIS4aDb \3AUJ63•\3AR ∩ L ≠ φ !]B\3>6Z@—@J2; aDb \3A UJ63•\3A6>6 D ›NOL63c1 R UJ L B@o2;2319! dr|3_23g92;BxB3f2Ul6>6D›NOL6q12012345SZB1go2;3_23m23y19 SM:;WANJ’3TLB@c2;“!b:B<•2;B<=2;6>6L3e2B0B39T6DS<=6y„LB3J23 5TBdm2;63j23`B;Ax2;6>63TLgo2;S|y„LB@c2;Z5J6>6gV2;c2;UOA6>6 R›NOLZ6V26>66TBc2;UOA6>6L›NOL63c1B@I2;D!ŠAw6q13TLc2;N1 n 5TBH›NOL63c1B@I2;DZUJ63^XB@C263c2;BƒB@I2;3TL\3w2;64wB@x2; 2JI!1\3w2;;AmB3AYB@•2;6>6L3e2B0B39T66>6H›NOLS<=6y„L5TB6>63 S]6dA?B2JIS4!1yœB3[:2;1:@•2;6>6H›NOL63c1B@I2;D646o2;6[L! `:64B3|24A6>6w6q13TLB@c2;S<=6y„Ld•A5TByx;Ax2;23196>6L3e2B0 B39T62012345S! 6rY9a UJb NJ6>6L3e2B0B39T62012345S, B3_B164B3|UAYBJ a ≤ J b B@I2;B@<a2;3=LS 1 aS 1 ⊆ S 1 bS 1 , 2;3€1NJ\3Aa ∈ Jpb).H9123? ≤ NJ5TBB3cBKdT L3`2B@C2B`LJ›NOL6q1S! gr3^X@•2;5TB2012345SNJSf2B@>ApL3mAr\3AUJ63•\3A2463•;ˆ5 5TBL›NOLpR›NOLrUJ5TB2012345NJSf2\3AUJ63•\3A2463•;ˆ55TB
Ngày đăng: 20/12/2013, 22:01
Xem thêm: Nửa nhóm chính quy hoàn toàn luận văn thạc sĩ toán học , Nửa nhóm chính quy hoàn toàn luận văn thạc sĩ toán học
