2.3.1. Định nghĩa. Một nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm Cliphớt nếu (S, µ,-1)
là nửa nhóm chính quy hoàn toàn thỏa mãn điều kiện: đối với mọi x, y∈S, có ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1
xx− yy− = yy− xx− (6)
2.3.2. Chú ý. Giả sử S là một nửa nhóm tùy ý. Phần tử c∈S được gọi là phần tử trung tâm nếu cs = sc, ∀ ∈s S . Tập hợp tất cả các phần tử trung tâm của nửa nhóm S tạo thành một nửa nhóm con của S và được gọi là tâm của S và được ký hiệu bởi C(S).
2.3.3. Chú ý. Giả sử S là một nửa nhóm (không nhất thiết chính quy) và T là nửa nhóm con của S. Nếu a, b∈T thì ta nói về hai quan hệ Grin cùng loại của a và b. Chẳng hạn: ( ), T
a b ∈L nghĩa là tồn tại u, v∈ T1 sao cho ua = b, vb = a, trong khi đó ( ), s
a b ∈L nghĩa là tồn tại s, t∈S1 sao cho sa = b, tb = a. Chúng ta cũng sẽ sử dụng các ký hiệu ( ) { , }, { ( ), } T T S s a a L = ∈u T a u ∈L L = ∈s S a s ∈L Khi đó LT∈LS ∩(TxT).
Với những ký hiệu tương ứng, ta có
( ), ( ) ( ), ( ) T S T S T S T S T T T T T T T T ⊆ ∩ × ⊆ ∩ × ⊆ ∩ × ⊆ ∩ × R R H H D D J J
Các bao hàm thức này có thể thực sự, chẳng hạn nếu S là nhóm xyclic sinh ra bởi a và T ={a n Z nn ∈ , >0} thì LT = RT = HT = DT = JT = 1T, trong khi đó
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S S S S S T T T T T T T T T T T T ∩ × = ∩ × = ∩ × = ∩ × = ∩ × = × L R H D J
Nếu T là nửa nhóm con chính quy của nửa nhóm S thì
( ), ( ), ( )
T S T S T S
T T T T T T
= ∩ × = ∩ × = ∩ ×
L L R R H H
2.3.4. Định lý. Giả sử S là một nửa nhóm với E là tập hợp các lũy đẳng của nó. Thế thì các điều kiện sau đây tương đương:
(i) S là một nửa nhóm Cliphớt; (ii) S là một nửa dàn các nhóm; (iii) S là một nửa dàn mạnh các nhóm; (iv) S chính quy và E⊂C(S); (v) S chính quy và S ( ) 1 E E E ∩ × = D .
Chứng minh. (i)⇒(ii). Giả sử S là nửa nhóm Cliphớt. Thế thì S là nửa nhóm
chính quy hoàn toàn nên S là một nửa dàn các nửa nhóm con đơn hoàn toàn Sα. Bây giờ mỗi lũy đẳng e trong S được biểu diễn dưới dạng xx-1 với x nào đó và do đó theo điều kiện (6) thì các lũy đẳng của S giao hoán. Điều này xảy ra trong mỗi thành phần Sα, và do đó mỗi Sα là một nửa nhóm đơn hoàn toàn với các lũy đẳng giao hoán nên Sα là một nhóm. Như vậy Sα là một nửa dàn các nhóm.
(ii)⇒(iii). Đối với mỗi α∈Y giả sử eα là đơn vị của Sα. Bây giờ giả thiết rằng α β≥ . Thế thì đối với mỗi aα∈Sα, tích e aβ α∈Sαβ ⊆Sα, do đó có thể định
nghĩa một ánh xạ φα β, :Sα →Sβ bởi quy tắc aα α βφ =, e aβ α. Thế thì φα α, là ánh xạ
đồng nhất của Sα, hơn nữa φα β, là đồng cấu và với a bα, α∈Sα thì
,
(aα αβφ )(bα α βφ ) (= e aβ α)(e bβ α) ((= e a e bβ α) )β α Mặt khác. e aβ α∈Sα và eβ là đơn vị của Sβ nên
, , ,
(aα α βφ )(bα α βφ )=e a bβ α α =(a bα α)φα β do đó (αφα β, )(bα α βφ , ) (= a bα α)φα β, . Từ đó
, α β
φ là đồng cấu.
Giả sử α β γ≥ ≥ . Chú ý rằng do tính chất đồng cấu nên ∀ ∈aα Sα, có
, , , ,
(aα β γφ φ) β γ =e e aγ( β α) (= e e aγ β) α =(eφβ γ)aα =e aγ α =aα α γφ
như vậy φ φα β β γ, , =φα γ,
Cuối cùng, chú ý rằng đối với α β ∈, Y và với aα∈S b Sα, ∈ β, tích a bα β ∈Sγ với
γ αβ= . Từ đó a bα β =e a bγ( α β) (= e a bα α) β
= ((e a e bγ α) )γ β (vì e aβ α∈Sα)
= (e aγ α)(e bγ β) (= aα α βφ , )(bβ β αφ , );
và do đó S đẳng cấu với nửa dàn mạnh các nhóm S Y S ; α;φα β, .
(iii) ⇒(iv). Chắc chắn mỗi nửa dàn mạnh các nhóm là một nửa nhóm chính quy. Các lũy đẳng của nó là các phần tử đơn vị eα của nhóm Gα và bằng cách tính toán trực tiếp, đối với tất cả β ∈Y và tất cả gβ∈Gβ,
, , , , , ( )( ) ( ) ; e gα β = eα α αβφ gβ β α βφ =eαβ gβ β αβφ =gβ β αβφ , , , , ( )( ) ( ) g eβ α = gβ β αβφ eα α αβφ = gβ β αβφ eαβ =gβ β αβφ Do đó eα βg =g eβ α,∀α β, ∈E. Từ đó E⊂C S( ).
(iv) ⇒(v). Giả thiết rằng eDSf, trong đó e và f là các lũy đẳng. Thế thì tồn tại một phần tử ngược của a sao cho aa’ = e, aa’ = f. Từ đó với chú ý e, f∈C(S), có
2 ( ) 2
e e= =e a a a′ ′=afa′= faa′=a aaa′ ′=a ae a ea a aa a′ = ′ = ′ ′ = f = f , Và ta kết luận được rằng S ( ) 1
E
E E
∩ × =
D
(v) ⇒(i). Mỗi D lớp chứa một lũy đẳng đơn lẻ, và do đó là một nhóm. Như vậy D = H và do đó mỗi phần tử a có đúng một phần tử ngược a-1 và các tính chất (a-1)-1 = a, aa-1a = a, aa-1 = a-1a.
Như vậy S là nửa nhóm chính quy hoàn toàn và từ đó S là nửa dàn Y các nửa nhóm đơn hoàn toàn Sα. Bây giờ đối với mọi x y S, ∈ α ta cóxy R∈ ∩x Ly, và do đó
xDy. Như vậy mỗi Sα được chứa trong một D – lớp đơn lẻ, và do đó chứa đúng một lũy đẳng. Từ đó mỗi Sα thực tế là một nhóm.
Bây giờ từ (ii) ⇒(iii) chúng ta kết luận rằng S là một nửa dàn mạnh các nhóm S Y S ; α;φα β, và từ đó suy rằng với một phần tử x S∈ α và một phần tử
y S∈ β, xx yy−1 −1=e eα β =eαβ =e eβ α =yy xx−1 −1
Như vậy, S là một nửa nhóm Cliphớt. Phần cuối của tiết này trình bày một lớp nửa nhóm với điều kiện “yếu” hơn nửa nhóm Cliphớt. Trước hết ta giới thiệu một vài khái niệm cần thiết cho việc trình bày sau này.
2.3.5. Định nghĩa. (i) Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm chính quy trái (phải) nếu với mỗi phần tử a S∈ tồn tại phần tử x S∈ sao cho xa2 = a(a2x = a).
(ii) Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm chính quy giữa nếu với mỗi a S∈
tồn tại x y S, ∈ sao cho a = xa2y.
(iii) Một tập con A của nửa nhóm S được gọi là nửa nguyên tố nếu
2
,
a ∈A a S∈ kéo theo a A∈ .
Trong [1, Bổ đề 1.4] đã chứng minh được rằng:
2.3.6. Bổ đề. Một nửa nhóm S là chính quy trái (phải, giữa) khi và chỉ khi mỗi I iđêan trái (phải, hai phía) của S là nửa nguyên tố.
2.3.7. Mệnh đề. Giả sử S là một nửa nhóm S. Khi đó các điều kiện sau đây tương đương
(i) S là chính quy trái;
(ii) Mỗi iđêan trái của S là nửa nguyên tố;
(iii) Mỗi L – lớp của S là nửa nhóm con đơn trái của S; (iv) Mỗi L – lớp của S là một nửa nhóm con của S; (v) S là hợp rời rạc của các nửa nhóm con đơn trái; (vi) S là hợp của các nửa nhóm con đơn trái.
Chứng minh. Sự tương đương giữa (i) và (ii) suy ra từ Bổ đề 2.3.6. Giả sử có (i). Khi đó aLa2 với mỗi a S∈ . Giả sử aLb. Thế thì a2Lba vì L là tương đẳng phải. Do đó aLba và do đó L – lớp La chứa a là nửa nhóm con của S.
Để chứng minh La đơn trái, giả sử b L∈ a. Ta cần chứng tỏ rằng ca = b với
c nào đó thuộc La. Khi đó ba∈La như ta đã chứng tỏ, nên b = xba với x nào đó
thuộc S1. Giả sử c = xb. Ta chứng tỏ rằng c∈La vì S là chính quy trái nên ta có y ∈S sao cho x = yx2. Thế thì b = xba = yx2ba = (ya)(xba) = yxb = yc.
Từ b = yc và c = xb suy ra cLb, do đó c∋Lb = La. Vậy (i) kéo theo (iii). (iii) kéo theo (iv) là hiển nhiên. Giả sử có (iv) thì a2∈La với mỗi a∈S, vì La là
nửa nhóm con của S. Như vậy a2La và S chính quy trái. Do đó (iv) kéo theo (i) và như vậy (i), (ii), (iii), (iv) tương đương.
Rõ ràng (iii) kéo theo (v) và (v) kéo theo (vi). Chứng minh sẽ kết thúc nếu ta chứng minh được (v) kéo theo (i). Giả sử có (v) và a∈S. Thế thì a thuộc một nửa
nhóm đơn trái nào đó của S. Do đó a2∈T và xa2 = a là giải được với x∈T.
2.3.8. Định lý. Giả sử S là một nửa nhóm. Khi đó các điều kiện sau đây tương đương.
(i) S là hợp của các nhóm;
(ii) S vừa là chính quy trái vừa là chính quy phải;
(iii) Mỗi iđêan trái và mỗi iđêan phải của S là nửa nguyên tố; (iv) S chính quy trái và chính quy;
(iv’) S chính quy phải và chính quy; (v) Mỗi H – lớp của S là một nhóm; (vi) S là hợp của các nhóm rời nhau.
Chứng minh. Nếu (i) đúng thì rõ ràng S là chính quy trái, chính quy phải và chính quy, và do đó ta có thể giải các phương trình xa2 = a; a2y = a, xax = a
với x, y, z nằm trong các nhóm con của S chứa a. Như vậy (i) kéo theo (ii), (iv) và (iv’). Hơn nữa (ii) và (iii) tương đương với nhau theo Bổ đề 2.3.6.
Bây giờ giả sử có (ii). Thế thì aLa2 và aRa2 nên aHa2 với mỗi a∈S. Theo
Định lý Grin (1.3.7) từ đó suy rằng H – lớp Ha chứa a là một nhóm. Như vậy (v) đúng. Nghĩa là (ii) kéo theo (v).
(v) kéo theo (vi) vì các H – lớp là rời nhau và (vi) kéo theo (i) là hiển nhiên. Như vậy ta đã chứng minh được sự tương đương của (i), (ii), (iii) và (vi) và đã chứng minh (i) kéo theo (iv) và (iv’). Do đối ngẫu, chứng minh sẽ kết thúc nếu ta chứng tỏ được rằng (iv) kéo theo (i).
Giả sử a∈S. Theo Mệnh đề 2.3.7, La là nửa nhóm đơn trái của S. Vì S
chính quy nên axa = a với x∈S nào đó. Khi đó xa là một lũy đẳng thuộc La. Như
vậy La là một nửa nhóm con đơn trái chứa lũy đẳng. Thế thì La là tích trực tiếp của một nhóm và một băng, và như vậy là hợp của các nhóm. Vì S là hợp của các L – lớp của nó, nên S là hợp của các nhóm.
KẾT LUẬN
Nội dung của luận văn gồm những vấn đề sau :
1. Hệ thống lại các khái niệm và tính chất của nửa nhóm chính quy, nửa nhóm ngược và các quan hệ Grin trên nửa nhóm.
2. Trình bày khái niệm và tính chất của nửa nhóm chính quy hoàn toàn và nửa nhóm đơn hoàn toàn (Mệnh đề 2.1.2, Mệnh đề 2.1.3, Định lý 2.2.6). 3. Trình bày các khái niệm và tính chất của nửa nhóm Cliphớt (Định lý
2.3.4).
4. Trình bày một số lớp nửa nhóm với điều kiện yếu hơn nửa nhóm Cliphớt như nửa nhóm chính quy phải, nửa nhóm chính quy trái, nửa nhóm nửa nguyên tố và các đặc trưng của chúng (Mệnh đề 2.3.7, Định lý 2.3.8)
TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt.
[1] A. H. Cliphớt và G.B.Prestơn (1970), Lý thuyết nửa nhóm, Bản dịch của Trần Văn Hạo và Hoàng Kỳ, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội.
[2] Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngôn ngữ nhóm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[3] Lê Quốc Hán (2008), Giáo trình lý thuyết nửa nhóm và lý thuyết nhóm,
Trường Đại học Vinh. Tiếng Anh.
[4] C. A. Carvalho (2003), Presentations of semigroups and inverse semigroups, University of St. Andrew, February 26.
[5]C. A. Carvalho (2009), Bruck-Reilly extentions of direct products of monoids and completely(0)-simple semigroups, Semigroup Forum,79, 145-
158.
[6] J. M. Howie (1995), Fundamental of Semigroup theory, Oxford University Press.
[7] P. Moravec (2008), Completely with nilpotent struct groups, Semigroup Forum, 77, 316-324.