Tương đẳng orthodox trên các nửa nhóm chính quy

Bộ giáo dục và đào tạo trờng đại học vinh Nguyễn Thị Hiền Tơng đẳng orthodox trên các nửa nhóm chính quy Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2010 1 Bộ giáo dục và đào tạo trờng đại học vinh Nguyễn Thị Hiền Tơng đẳng orthodox trên các nửa nhóm chính quy Luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60.46.05 Ngời hớng dẫn khoa học PGS.TS. Lê Quốc Hán Vinh 2010 2 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu .……………2 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị .4 1.1 Các quan hệ trên một tập .4 1.2 Nhóm chính quy. Nửa nhóm ngược 7 1.3 Tương đẳng trên nửa nhóm ngược 10 Chương 2. Tương đẳng orthodox trên các nửa nhóm chính quy 15 2.1. Tương đẳng trên các nửa nhóm chính quy .15 2.2. Các tương đẳng orthdox trên một nửa nhóm chính quy và tương đẳng trên các nửa nhóm orthodox .18 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo .31 3 LỜI NÓI ĐẦU Tương đẳng là một vấn đề được nhiều nhà khoa học quan tâm, nghiên cứu. Trong luận văn này, chúng tôi tìm hiểu một số tương đẳng orthodox trên các nửa nhóm chính quy. Năm1954, G. B. Pretơn đã chứng minh được rằng mỗi tương đẳng trên nửa nhóm ngược S hoàn toàn được xác định bởi một họ các tập con chứa luỹ đẳng đặc biệt của S mà ông còn gọi là hệ hạt nhân của S. Năm 1986, F. Pastijn and M. Petrich 1986 đã mô tả các tương đẳng trên nửa nhóm chính quy theo hạt nhân và vết của chúng. Dựa trên bài báo “Orthodox Congruences on regular semigroups” của Gracinda M. S. Gomes đăng trên tạp chí Simegroups Forum 37 (1988) kết hợp với các kết quả trên nửa nhóm chính F. Pastijn và M. Petrich (1986), chúng tôi trình bày một cách có hệ thống và chứng minh một số kết quả mô tả tương đẳng orthodox trên nửa nhóm chính quy của orthodox. Từ đó đi sâu vào khảo sát một trường hợp riêng khi bản thân S là một nửa nhóm orthodox. Luận văn gồm 2 chương: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cở sở về các quan hệ trên một nửa nhóm chính quy, nửa nhóm ngược, tương đẳng trên nửa nhóm ngược. Chương 2. Tương đẳng orthodox trên nửa nhóm chính quy và tương đẳng trên nửa nhóm orthodox . Đây là nội dung chính của luận văn Tiết1. Trình bày chi tiết kết quả mô tả tương đẳng trên các nhóm chính quy với một số cải tiến nhỏ. Tiết 2. Tìm hiểu đặc trưng tương đẳng orthodox X trên nửa nhóm chính quy và đặc trưng các tương đẳng tuỳ ý trên nửa nhóm orthodox. Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Vinh. Nhân dịp này, tác giả xin được gửi lời cảm ơn trân trọng đến PGS. TS. Lê Quốc 4 Hán, cùng các thầy cô giáo trong tổ Đại số đã tạo điều kiện hướng dẫn và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn này không thể tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp quý báu của thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng nghiệp. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn . Vinh, ngày 2 tháng 11 năm 2010 Tác giả CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 1.1. NHÓM CÁC QUAN HỆ TRÊN MỘT TẬP 1.1.1. Định nghĩa. Ta hiểu quan hệ hai ngôi trên một tập X là một tập con ρ của tích Đềcác X × X của tập X với chính nó. Nếu ρ ∈ b) (a, , trong đó a và b là các phần tử thuộc tập X, thì ta cũng sẽ viết a ρ b và nói a nằm trong quan hệ ρ với b. Nếu ρ và σ là các quan hệ trên X, thì cái hợp thành ρ ο σ của chúng được định nghĩa như sau: ρ ∈ b) (a, ο σ nếu tồn tại phần tử Xx ∈ , sao cho ρ ∈ ),( xa và σ ∈ ),( bx phép toán hai ngôi )( ο là kết hợp. Thật vậy, nếu ρ , σ và τ là các quan hệ trên X, thì mỗi một trong các điều khẳng định ρ (b) (a, ∈ ο ) σ ο τ và ρ ∈ b) (a, )( σοτο tương đương với điều khẳng định rằng tồn tại các phần tử Xyx ∈ ),( sao cho ρ ∈ ),( xa , σ ∈ ),( bx và τ ∈ ),( by . Do đó B x tất cả các quan hệ hai ngôi trên X là một nửa nhóm đối với phép toán )( ο . Ta sẽ ký hiệu t là quan hệ bằng nhau (hoặc đường chéo của tập X × X), cụ thể là tba ∈ ),( khi và chỉ khi ba = . Hiển nhiên, t là đơn vị của nửa nhóm B x . Quan hệ ngược 1 − ρ của quan hệ ρ được định nghĩa như sau: 1 b) (a, − ∈ ρ khi và chỉ khi ρ ∈ b) (a, . Chú ý rằng .)(,)( 11111 −−−−− == ρσσρρρ ο ο Nói cách khác, ánh xạ 1 − → ρρ là phản đẳng cấu đối hợp của nhóm B x . Hệ thức ρ δ ⊆ có nghĩa là ρ là tập con của σ . Điều đó tương đương với mệnh đề: a ρ b kéo theo a σ b. Vì B x gồm tất cả các tập con của tập X × X, nên ta có thể thực hiện trong B x các phép toán Bun (Boole): hợp, giao và lấy phần bù. 1.2.1. Định nghĩa. Ta nói quan hệ ρ là đối xứng nếu 1 − ⊆ ρρ (và do đó 1 − = ρρ ), là phản xạ nếu ρ ⊆ t và là bắc cầu nếu ρρρ ο ⊆ . Quan hệ ρ trên tập X được gọi là quan hệ tương đương, nếu nó là phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Quan hệ tương đương tùy ý trên X là một lũy đẳng của nửa nhóm B x . Nếu ρ là một quan hệ tùy ý trên tập X và Xa ∈ , thì ta đặt { } axXxa ρρ ∈= và { } xaXxa ρρ ∈= . Nếu ρ là quan hệ tương đương thì: 6 (1) ρ aa ∈ với mỗi Xa ∈ và (2) Từ φρρ ≠∩ ba suy ra ρρ ba = . Như vậy, họ các tập ρ a , trong đó Xa ∈ là một phân hoạch của tập X, tức là các tập đó không giao nhau và hợp của chúng bằng X; ta ký hiệu họ đó là ρ /X . Ta gọi ρ a là lớp tương đương của tập X theo mod ρ chứa a. Đảo lại, mọi phân hoạch P của tập X xác định một quan hệ tương đương ρ mà P = ρ /X , cụ thể a ρ b khi và chỉ khi a và b thuộc cùng một tập của phân hoạch P. Ta gọi ánh xạ ρ aa → là ánh xạ tự nhiên hay ánh xạ chính tắc từ tập X lên ρ /X . Nếu ρ là một quan hệ tùy ý trên X, thì ta định nghĩa bao đóng bắc cầu t ρ của quan hệ ρ bằng cách đặt 1 ( ) ( ) . t n n ρ ρ ρ ρορ ρορορ ∞ = = = ∪ ∪ ∪ U Hiển nhiên t ρ là bắc cầu và được chứa trong mỗi quan hệ bắc cầu trên X chứa ρ . Nếu ο ρ là quan hệ tùy ý trên X, thì quan hệ t ∪∪= − 1 1 οο ρρρ là quan hệ phản xạ và đối xứng bé nhất trên X chứa ο ρ . Bao đóng bắc cầu t 1 ρρ = của quan hệ 1 ρ là quan hệ tương đương trên X chứa ο ρ . Ta gọi ρ là quan hệ tương đương trên X sinh bởi ο ρ . Giao của một tập tùy ý các quan hệ tương đương. Mệnh đề tương đương đối với hợp theo lí thuyết tập không đúng ngay cả trong trường hợp hai quan hệ. Ta định nghĩa hợp σρ ∨ của hai quan hệ tương đương ρ và σ là quan hệ tương đương sinh bởi σρ ∪ , tức là σρ ∨ là bao đóng bắc cầu của quan hệ σρ ∪ . 1.1.3. Bổ đề. Nếu ρ và σ là các quan hệ tương đương trên tập X và σορροσ = , thì ροσ cũng là quan hệ tương đương trên X và σρροσ ∨= . Chứng minh. Vì hiển nhiên ροσ được chứa trong σρ ∨ nên chỉ còn phải chứng tỏ rằng ροσ là quan hệ tương đương. Từ bao hàm thức ροσρ ⊆⊆ t suy ra rằng quan hệ ροσ là phản xạ, còn đẳng thức ροσσορορσροσ === −−− 111 )( chứng tỏ ροσ đối xứng, cuối cùng 7 σρσσρρσρσρσρσρ οοοοοοοοοο === )()( tức là σρ ο bắc cầu. 1.1.4. Chú ý. Nếu ρ là một quan hệ trên X sao cho 1 = ρ x với mỗi Xx ∈ , thì ta có thể đồng nhất các tập ρ x gồm một phần tử với phần tử duy nhất của nó và coi ρ như phép biến đổi ρ xx → của tập X. Nếu σ là một quan hệ khác thuộc loại đó trên X thì σρ ο cũng có tính chất đã nêu, ngoài ra σρ ο trùng với cái hợp thành của ρ và σ coi như các phép biến đổi của tập X. Trong trường hợp đó σρ ο bằng cái hợp thành của σ và ρ . Như vậy B x chứa Z x như một nửa nhóm con và cũng chứa nửa nhóm con * x ζ phản đẳng cấu với Z x . Giả sử ϕ là ánh xạ từ tập X vào tập X'. Thế thì ϕ có thể coi như quan hệ trên tập ' X X∪ . Với mỗi ∈ x X' ta có { } '' 1 xxXxx =∈= − ϕϕ . Cái hợp thành 1 − ϕϕ ο được chứa trong X × X, thành thử nó có thể coi như một quan hệ trên X và ta thấy 1 ),( − ∈ ϕϕ ο yx khi và chỉ khi ϕϕ yx = . Từ đó rõ ràng rằng 1 − ϕϕ ο là một quan hệ tương đương, và ϕ cảm sinh một cách hiển nhiên một ánh xạ một- một từ 1 / − ϕϕ ο X lên ϕ X . Ta gọi 1 − ϕϕ ο là quan hệ tương đương trên X được cảm sinh một cách tự nhiên bởi ϕ . 1.2. NỬA NHÓM CHÍNH QUY, NỬA NHÓM NGƯỢC 1.2.1. Định nghĩa. Phần tử a thuộc nửa nhóm S được gọi là phần tử chính quy nếu aSaa ∈ hay nói cách khác: axaa = với Sx ∈ . Nửa nhóm S được gọi là chính quy nếu với mỗi phần tử của nó là chính quy. Nếu aaxa = thì axe = là một lũy đẳng, hơn nữa aea = . Thật vậy: exaxaaxaxe === )())(( 2 và aaxaea == . Tương tự f = xa cũng là một lũy đẳng của S và af = a. Ta cũng có chú ý rằng nếu a là phần tử chính quy thuộc nửa nhóm S thì iđean chính phải aSaaS ∪= 1 sinh bởi a bằng aS, vì a = af kéo theo a ∈ aS. Tương tự SaaS = 1 . 1.2.2. Bổ đề. Phần tử a thuộc nửa nhóm S là chính quy khi và chỉ khi iđêan chính phải (trái) của nhóm S sinh bởi a sẽ được sinh bởi một lũy đẳng nào đó, tức là aS 1 =eS 1 (S 1 a=S 1 e). 8 Chứng minh. Nếu a là chính quy thì axa = a với x nào đó thuộc S và e = ax là phần tử lũy đẳng của S mà ea = a. Do đó aS 1 = eS 1 . Đảo lại, giả thiết rằng aS 1 = eS 1 và e 2 = e. Khi đó e = ex với x nào đó thuộc S, vì vậy ea = e 2 x = ex = a, e = ay với y nào đó thuộc S 1 , nên a = ea = aya. Nếu y=1 thì a = a 2 với a = aaa. Do đó mọi trường hợp aSaa ∈ . Tức là a chính quy. 1.2.3. Định nghĩa. (i) Hai phần tử a và b thuộc nửa nhóm S được gọi là ngược nhau nếu aba = a và bab = b, (ii) Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm ngược nếu mỗi phần tử của nó có một phần tử ngược duy nhất. Nếu a và b là các phần tử thuộc nhóm con tối đại H nào đó của một nửa nhóm S, (đặc biệt khi S là một nhóm ) thì a, b là ngược nhau khi và chỉ khi chúng là nghịch đảo của nhau trong nhóm với nghĩa thông thường. Nếu phần tử a thuộc nửa nhóm S có phần tử ngược với nó thì a là chính quy. 1.2.4. Bổ đề. Nếu a là phần tử chính quy thuộc nửa nhóm S, chẳng hạn axa=a với Sx ∈ , thì a có ít nhất một phần tử ngược với nó, chẳng hạn phần tử xax. Chứng minh. Giả sử b = xax, thế thì: aba = a (xax) a = ax (axa) x = xax = b. Do đó b ngược với a. 1.2.5. Bổ đề. Hai phần tử thuộc một nửa nhóm S là nghịch đảo của nhau trong một nhóm con nào đó của S khi và chỉ khi chúng ngược nhau. Chứng minh. Giả sử a và b là các phần tử ngược nhau và giao hoán với nhau thuộc một nửa nhóm S và e = ab (= ba). Khi đó e là lũy đẳng, hơn nữa ea = ae = a và eb = be = b. Do đó a và b là các phần tử khả nghịch trong eSe và thuộc nhóm con tối đại He của S chứa e. Vì ab = ba = e nên a và b là nghịch đảo của nhau trong nhóm He. Mệnh đề đảo là hiển nhiên. Một phần tử chính quy có thể có một số phần tử ngược với nó. Nửa nhóm ngược là nửa nhóm trong đó có mỗi phần tử ngược duy nhất. Hiện nay các nửa nhóm ngược hợp thành lớp các nửa nhóm có nhiều triển vọng nhất cho việc nghiên cứu vì chúng khá gần các nhóm. 9 1.2.6. Bổ đề. Nếu effe ,, và fe là các lũy đẳng thuộc nửa nhóm S thì ef và fe ngược nhau. Chứng minh. Ta có: efefeffefeefeffeef ==== 222 )())()(( . Tương tự fefefefe = ))()(( . 1.2.7. Định lý. Ba điều kiện sau đối với nửa nhóm S là tương đương: (i) S là chính quy và hai lũy đẳng bất kỳ của nó giao hoán với nhau; (ii) Mỗi iđêan chính phải và mỗi iđêan chính trái của S có một phần tử sinh lũy đẳng duy nhất; (iii) S là nửa nhóm ngược (tức là mỗi phần tử thuộc S có một phần tử ngược duy nhất). Chứng minh. (i) ⇒ (ii) Theo Bổ đề 1.2.2, mỗi iđêan chính phải của S có ít nhất phần tử sinh lũy đẳng. Giả thiết rằng e và f là các lũy đẳng cùng sinh ra một iđêan chính phải tức là eS = fs. Khi đó ef = f và fe = e. Nhưng theo (i), ef = fe nên e = f. (ii) ⇒ (iii) Theo Bổ đề 1.2.2, nửa nhóm S chính quy. Chỉ cần chứng minh sự duy nhất của phần tử ngược. Giả sử b và c ngược với a. Khi đó aba = a, bab = b, aca = a, cac = c. Từ đó abS = aS = acS và Sba = Sa = Sca = Sa = Sca nên ab = ac và ba = ac (theo (ii)). Do đó b = bab = bac = cac = c. (iii) ⇒ (i) Rõ ràng một nửa nhóm ngược thì chính quy. Chỉ còn phải chứng tỏ rằng hai lũy đẳng bất kỳ giao hoán với nhau. Trước hết ta phải chứng minh tích ef của hai lũy đẳng e và (af) a (ef) = a. Đặt d = ae. Thế thì: (ef) b (ef) = efae 2 f = efaef = ef. b(ef)b = ae 2 fae = aefae = ae = b. Do đó e cũng là phần tử ngược của ef, nên theo tính chất (iii) ae = b = a. Tương tự có thể chứng minh rằng f a = a. Do đó a 2 = (ae) (fa) = a (ef)a= a. Nhưng một lũy đẳng là phần tử ngược với chính nó và lại dùng điều kiện (iii). Ta kết luận a = ef. Như vậy ef là lũy đẳng. Bây giờ giả sử e và f là hai lũy đẳng bất kỳ, theo điều vừa chứng minh, ef và fe cũng lũy đẳng. Theo Bổ đề 1.2.6 chúng ngược nhau. Vậy ef và fe đều ngược ef, do đó ef = fe. 10