Đồng dư trên nửa nhóm chính quy (KL06269)

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ******** NGUYỄN THỊ DUNG ĐỒNG DƢ TRÊN NỬA NHÓM CHÍNH QUY KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS NGUYỄN HUY HƢNG Hà Nội - 2014 Khóa luận tốt nghiệp đại học LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Huy Hưng – Người thầy trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ em suốt trình học tập trường trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Đồng thời, em xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Đại số, thầy cô khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Trong khuôn khổ có hạn khóa luận điều kiện mặt thời gian, trình độ có hạn lần nghiên cứu khoa học nên khóa luận em không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, em mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Dung Nguyễn Thị Dung K36B – Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học LỜI CAM ĐOAN Dưới hướng dẫn, bảo tận tình thầy Nguyễn Huy Hưng khóa luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp em có sử dụng số tài liệu tham khảo nhà khoa học Em xin khẳng định kết đề tài “Đồng dƣ nửa nhóm quy” trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Dung Nguyễn Thị Dung K36B – Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nửa nhóm 1.2 Dàn 1.3 Đồng dư 1.4 Phần tử lũy đẳng, tập lồi 1.5 Cấu trúc nửa nhóm 1.6 Nửa nhóm quy 12 1.7 Nửa nhóm ngược 14 Chương ĐỒNG DƯ TRÊN NỬA NHÓM CHÍNH QUY 19 2.1 Nửa nhóm quy cực đại 19 2.2 Dàn đồng dư nửa nhóm quy 23 2.3 Đồng dư nửa nhóm ngược 28 2.4 Dàn đồng dư nửa nhóm ngược 34 2.5 Hệ hạt nhân chuẩn tắc 36 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 Nguyễn Thị Dung K36B – Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học môn học làm tảng cho ngành khoa học khác, thành phần thiếu văn hóa phổ thông Môn Toán có tiềm to lớn việc khai thác phát triển lực trí tuệ chung, rèn luyện thao tác phẩm chất tư người Từ đời đến nay, lý thuyết nửa nhóm đạt nhiều thành tựu quan trọng có mối liên hệ chặt chẽ với nhiều lĩnh vực khoa học máy tính nhiều lĩnh vực khác Toán học Lý thuyết nửa nhóm đưa vào chương trình đại học chuyên đề tự chọn sinh viên ngành Toán, nhiên với lượng thời gian có hạn chúng em khó nghiên cứu sâu vào vấn đề Đối với em, lý thuyết nửa nhóm môn hay tạo cho em nhiều hứng thú học, điều gợi cho em muốn học hỏi, biết nhiều lý thuyết nửa nhóm Được gợi ý thầy giáo hướng dẫn, em mạnh dạn chọn đề tài “Đồng dư nửa nhóm quy” làm khóa luận tốt nghiệp đại học Em mong khóa luận có ích cho quan tâm đến đồng dư, đặc biệt đồng dư nửa nhóm quy Mục đích nghiên cứu Quá trình thực đề tài giúp em bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu lý thuyết nửa nhóm, đặc biệt tìm hiểu sâu đồng dư nửa nhóm quy Đối tƣợng nghiên cứu Tập trung nghiên cứu đồng dư nửa nhóm quy Phƣơng pháp nghiên cứu Đề tài hoàn thành dựa kết hợp phương pháp: Nguyễn Thị Dung K36B – Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học - Nghiên cứu lý luận - Phân tích - Tổng hợp - Đánh giá Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Nội dung chủ yếu chương trình bày số khái niệm lý thuyết nửa nhóm, cấu trúc nửa nhóm số nửa nhóm đặc biệt với tính chất đặc trưng Chương Đồng dƣ nửa nhóm quy Chương dùng để trình bày dàn đồng dư nửa nhóm quy, nửa nhóm ngược hệ hạt nhân chuẩn tắc nửa nhóm ngược Nguyễn Thị Dung K36B – Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nửa nhóm Định nghĩa 1.1 Cho S   Ta nói  S ,  phép toán hai S nửa nhóm phép toán có tính chất kết hợp, tức x, y, z  S ta có x y z  x  y z Ví dụ 1.1 a)  ,  nửa nhóm b)  , nửa nhóm ta định nghĩa phép toán hai c) Trên :   (m, n) Khi  m, n , nửa nhóm Thật vậy, m, n, p  ta có  m  n   p  m, n  p  m, n, p  m  n, p  m   n  p   n   d) Cho S :  : n      phép nhân hai ma trận thông thường Trên S ta xét phép toán Khi  S ,  nửa nhóm Thật 1 n 1 m   ,    S ta có      n  m   n  m       S      Mặt khác, phép nhân ma trận có tính chất kết hợp   S,  nửa nhóm Định nghĩa 1.2 Cho  S ,  nửa nhóm,   A  S Ta nói A nửa nhóm S A đóng kín với phép toán , tức x, y  A , ta có x y  A Nguyễn Thị Dung K36B – Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Ví dụ 1.2 a)  ,  nửa nhóm  ,  b)  ,. không nửa nhóm  ,  1.2 Dàn 1.2.1 Nửa dàn, nửa dàn đầy đủ Định nghĩa 1.3 Cho  S ,   tập thứ tự A  S Một chặn (chặn trên) A phần tử z  S cho x  A, z  x  x  z  Phần tử lớn chặn A gọi cận A Phần tử nhỏ chặn A gọi cận A Kí hiệu A : cận A A : cận A xy : cận x y xy : cận x y Ví dụ 1.3 Cho S  1,2,3 Trên S ta xét quan hệ  Khi đó, ta có 1,2 1,3  1 , 1,2 3   , 1,23  1,2,3 Định nghĩa 1.4 Một tập thứ tự  S ,   gọi nửa dàn (trên) đầy đủ A  S có cận (trên) 1.2.2 Dàn, dàn đầy đủ Định nghĩa 1.5 Một tập thứ tự  S ,   gọi dàn đầy đủ vừa nửa dàn đầy đủ vừa nửa dàn đầy đủ Định nghĩa 1.6 Một tập thứ tự  S ,   gọi dàn vừa nửa dàn vừa nửa dàn trên, tức x, y  S , xy xy Nguyễn Thị Dung K36B – Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học 1.3 Đồng dƣ Định nghĩa 1.7 Một quan hệ nhị phân  từ tập X đến tập Y tập X  Y Nếu x  X , y Y cho  x, y    ta viết x  y Quan hệ đồng X quan hệ id X   x, x  : x  X  Quan hệ ngược  quan hệ  1   y, x  :  x, y    Cho  quan hệ từ X đến Y,  quan hệ từ Y đến Z Ta gọi hợp thành   quan hệ   từ X đến Z xác định sau     x, z   X  Z y Y , x y, y z Nhận xét 1.1  id X   , idY    Định nghĩa 1.8 Với x  X ta đặt x :  y Y x  y Ta gọi  ánh xạ phận từ X đến Y x  1, x  X Hơn nữa,  ánh xạ từ X đến Y x  1, x  X Cho  ánh xạ phận từ X đến Y Khi đó, miền xác định  tập  dom  x  X y Y ,  x, y     Ta thấy dom  X  ánh xạ dom  X Ảnh  tập  im  y Y x  X ,  x, y     Cho T  Y Khi đó, tạo ảnh T qua  tập T  1  x  X t T , xt Kí hiệu BX :   X  X  tập tất quan hệ nhị phân X Nguyễn Thị Dung K36B – Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Khi X=Y ánh xạ phận từ X đến X gọi biến đổi phận X; ánh xạ từ X đến X gọi biến đổi đầy đủ X Đặt PX :  : X  X  biến đổi phận X  TX :  : X  X  biến đổi đầy đủ X  S X :  : X  X  song ánh X  Nhận xét 1.2 1 S X  TX  PX  BX  PX vị nhóm BX , TX vị nhóm PX , S X nhóm TX Định nghĩa 1.9 Cho   BS Ta nói 1   2  có tính chất phản xạ x  S , x x (hay id S   ) có tính chất đối xứng x, y  S , x y  y  x (hay    1 )  3  có tính chất phản đối xứng x, y  X , x y y  z x  y (hay    1  id S )  4  có tính chất bắc cầu x, y, z  S cho x y, y z ta có x z (hay    ) Định nghĩa 1.10 Quan hệ  tập S gọi quan hệ tương đương S có ba tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu Quan hệ  tập S gọi quan hệ thứ tự phận S có ba tính chất phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu Định nghĩa 1.11 Cho BS tập quan hệ nhị phân S   BS Khi đó, ta nói quan hệ   Tương thích trái x, y  S , x  y  zx  zy ; Nguyễn Thị Dung K36B – Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học đề 2.6, e1 , e2  ES cho   e1 , e2    Mà  ES  ES f1  e1 , f  e2   e1 , e2     nên ta có  e1 , e2    f1  e1  e2  f Do   lũy đẳng tách Mặt khác, với đồng dư  S      a, b   S  S :  a , b    đồng dư S Giả sử  lũy đẳng tách Nếu e, f  ES  e, f    Khi  e , f     e  f    e, f   Do   ES Do   ES lũy đẳng tách    A Ta có:         :   A dàn đồng dư lũy đẳng tách S  Theo bổ đề 2.7 nhận xét bên ta có A  dàn đầy đủ   S   đồng dư giao hoán Theo bổ đề 2.5, A dàn đầy đủ   S  đồng dư giao hoán Do A dàn môđun đầy đủ   S  Do A dàn đầy đủ   S  nên  A   A A có phần tử lớn 2.3 Đồng dƣ nửa nhóm ngƣợc Định nghĩa 2.5 Cho S nửa nhóm ngược P  E :   J  phân hoạch ES Khi đó, P phân hoạch chuẩn tắc ES (i)  ,   J   J cho E E  E (ii)   J a  S    J cho aE a 1  E Ví dụ 2.1  ,. nửa nhóm ngược P  E1 , E2  với E1  0 , E2  1 phân hoạch chuẩn tắc E Thật (i) Ta có 0.1   E1E2  E1 Nguyễn Thị Dung 28 K36B – Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học (ii) a  ta có aE1a 1  a.0.a 1   E1 aE2a 1  a.1.a 1  a.a 1   E2  P  E1 , E2  phân hoạch chuẩn tắc E Nếu S nửa nhóm ngược, P  E :   J  phân hoạch chuẩn tắc ES E tập lồi,   J Thật vậy, cho e, g  E với e  f  g f  E Khi e  f  ef  e  E E  E Do f  gf  E E  E  E tập lồi Kí hiệu  P quan hệ tương đương ES sinh P Định lý sau tồn đồng dư  S cho  ES   P mô tả đồng dư lớn nhỏ Định lý 2.3 Cho P  E :   J  phân hoạch chuẩn tắc nửa dàn phần tử lũy đẳng nửa nhóm ngược S Đặt    a, b   S  S   J : aa 1 , bb1  E ; e  E : ea  eb    a, b   S  S   J    J : aE a 1 , bE b 1  E  Khi đó,   tương ứng đồng dư nhỏ lớn S cho  ES  ES  P Chứng minh: Ta có  quan hệ tương đương Thật (i) Ta có a  S ,   J : aa 1  E ; e  E : ea  ea   a, a     có tính chất phản xạ (ii) Nếu  a, b      J : aa 1 , bb1  E e  E : ea  eb    J : bb1 , aa 1  E e  E : eb  ea   b, a     có tính chất đối xứng Nguyễn Thị Dung 29 K36B – Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học  a, b  ,  b, c   S  S Nếu  a, b  ,  b, c   (iii)   J : aa 1 , bb1  E e  E : ea  eb   J : bb1 , cc 1  E f  E : fb  fc Do bb1  E , E     Ta có e, f  E Giả sử e  f  ef  fe  e Ta có: fb  fc  efb  efc  eb  ec Mà ea  eb  ea  ec Vậy   J : aa 1 , cc1  E e  E : ea  ec   a, c     có tính chất bắc cầu Vậy  quan hệ tương đương Lấy  a, b   , c  S Khi đó, ta có   J : aa 1 , bb1  E e  E : ea  eb Giả  ac  ac  sử  aa  acc 1 1  bc bc   acc 1a 1  E , 1  bcc 1b1  E Do a 1   E E nên 1  aa  acc 1 a 1    aa 1a  cc 1a 1   acc 1a 1  E 1  E E  E Tương tự, ta có E E  E Thật vậy,  bb1  bcc1b1   E E , bb bcc 1 1 1 b   bb b  cc 1 1 1 b   bcc b  E  E E  E 1 1 Ta có eacc1a 1  eeacc 1a 1 (Do e phần tử lũy đẳng)  eacc1a 1e (Do S phần tử lũy đẳng giao hoán)  ebcc1b1e (Do ea  eb,  ea    eb  ) 1 1  eebcc1b1 (Do S phần tử lũy đẳng giao hoán)  ebcc 1b1 (Do e phần tử lũy đẳng) Mà eacc 1a 1  E E  E , ebcc 1b1  E E  E  E  E Mặt khác, f  E ta có fe  ef  E E  E , Nguyễn Thị Dung 30 K36B – Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học  fe  ac  f  ea  c  f  eb  c   fe bc   ac, bc   Do P phân hoạch chuẩn tắc nên   J , cE c 1  E   ca  ca   caa 1c 1  cE c 1  E , 1  cb  cb  1  cbb1c 1  cE c 1  E Nếu f  caa 1ec 1 f  cE c 1  E fca  caa 1ec1ca  caa 1c1cea (Do S phần tử lũy đẳng giao hoán)  caa 1c1ceb  caa1ec1cb  fcb   ca, cb   Vậy  đồng dư S Hơn nữa, ta có  ES  P Giả sử  đồng dư S cho  ES  ES   P Lấy  a, b    ta có aa 1 , bb1 , e  E Do aa 1 P  bb1 P  e P Do    P  aa 1  bb1  e ES  ES  a   aa 1a    aa 1  a  e a   ea    eb   e b  bb1 b  b   a, b        đồng dư nhỏ S cho  ES  P Tương tự ta chứng minh  đồng dư lớn S  ES   P Thật vậy, ta có  quan hệ tương đương Vì (i) Ta có a  S ,  J   J cho aE a 1  E (Do P phân hoạch chuẩn tắc ES )   a, a      có tính chất phản xạ (ii) Nếu  a, b    với   J ,   J cho aE a 1 , bE b1  E    J cho bE b1 , aE a 1  E   b, a      có tính chất đối xứng Nguyễn Thị Dung 31 K36B – Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học (iii)  a, b  ,  b, c   S  S Nếu  a, b  ,  b, c      J    J : aE a 1 , bE b1  E   J    J : bE b1 , cE c 1  E    J ,   J : aE a 1 , cE c 1  E   a, c    Vậy  quan hệ tương đương Lấy  a, b   , c  S Với   J   J : cE c 1  E (Do P phân hoạch chuẩn tắc ES ) Do ta có acE  ac   acE c 1a 1  aE a 1  E (Theo giả thiết  a, b    ) 1 bcE  bc   bcE b1a 1  aE a 1  E (Theo giả thiết  a, b    ) 1    J ,   J : acE  ac  , bcE  bc   E   ac, bc    1 1 Do  a, b      J ,   J : aE a 1 , bE b1  E Do đó, ta có caE  ca   caE a 1c 1  cE c 1  E (Do P phân hoạch chuẩn tắc) 1 cbE  cb   cbE b1c 1  cE c 1  E   ca, cb    1 Vậy  đồng dư S Hơn nữa,  đồng dư lớn S  ES  P Định nghĩa 2.6 Cho S nửa nhóm ngược Ta gọi N hệ hạt nhân chuẩn tắc S N tập hợp nửa nhóm S, N   N :   J  cho E  EN  (1) E :   J  phân hoạch chuẩn tắc ES ; (2) aa 1 , bb1  E a, ab1  N b  N ; (3) aa 1 , bb1  E , ab1  N aE a 1  E aN  b1  N Định lý 2.4 Cho S nửa nhóm ngược N   N :   J  hệ hạt nhân chuẩn tắc S Đặt Nguyễn Thị Dung 32 K36B – Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học  N   a, b   S  S   J : aa 1 , bb1 E , ab1  N  Khi  N đồng dư S  N :   J  tập phần tử lũy đẳng S  N Ngược lại, cho  đồng dư S Khi N  e : e  ES  hệ hạt nhân chuẩn tắc S    N Do đồng dư nửa nhóm ngược xác định lớp đồng dư chứa phần tử lũy đẳng Định lý 2.5 Cho S nửa nhóm ngược P  E :   J  phân hoạch chuẩn tắc ES Với   J , cho T nửa nhóm ngược lớn S cho ET  E ,  M   x T e  E : ex  e , N  x T E E  E  xE x 1  E  Khi M  M  :   J  N   N :   J  hệ hạt nhân chuẩn tắc S, M   ,  N     định nghĩa định lý 2.3 Chứng minh: Với   J , cho U , V tương ứng   lớp   lớp S chứa E Rõ ràng M   U Do EU  E  U  T Do x U   x  T Hơn nữa, x, xx 1 U   x, xx 1   (theo định nghĩa  ) nên e  E : ex  exx 1  exe  exx 1e  exx 1  E (Do e, xx 1  E ) Do  exe  x  exex  ex (Do ex  exx 1 lũy đẳng)  exx1  exe  x  M  ,U  M  Vậy M   U M   Nguyễn Thị Dung 33 K36B – Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Cho x  N , ta có xx 1  E (Do xx 1  N , xx 1 lũy đẳng) Với   J , xx 1E xx 1   xx 1  E  xx 1E  E E  E Khi xE x 1  E (theo định nghĩa N )   x, xx 1     N  V  x V Mặt khác, EV  E , V  T x V  x, x 1 T  Cho   J , giả sử E E  E Cho e  E , f  E , g  E Khi efe  E E E  E2 E  E E  E   e  f   e    g   Do e  x  x 1   xfx 1     x  f    x 1    e  f   e   g   xfx 1  E (theo định nghĩa N ) Do P phân hoạch chuẩn tắc ES  xE x 1  E  x  N  V  N  N   2.4 Dàn đồng dƣ nửa nhóm ngƣợc Định lý 2.6 Cho S nửa nhóm ngược cho     1 , 2    S     S  : 1 ES  2 ES  Khi (i)  đồng dư   S  ; (ii) Mỗi   lớp dàn môđun đầy đủ   S  (với phần tử lớn nhỏ nhất); (iii) Dàn thương   S   đầy đủ đồng cấu tự nhiên  #   S  lên   S   đồng cấu dàn đầy đủ Chứng minh: (i) Ta có S nửa nhóm ngược  S nửa nhóm quy Theo định lý 2.2   giao tương đương tương thích   S  Để chứng minh  đồng dư ta cần chứng minh  1 , 2   , 3   S     ,  3   Nguyễn Thị Dung 34 K36B – Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Cho e  ES f  e  1  3   ES Khi f  ES  e, f   1  3 Do x1 , x2 , , xk  S cho  e, x1   1 ,  x1 , x2   3 , ,  xk , f   3   e, x1 x11   1 ,  x1 x11 , x2 x21   3 , ,  xk xk1 , f   3 Do  1 , 2     e, x1 x11   2 ,  x1 x11 , x2 x21   3 , ,  xk xk1 , f   3   e, f   2  3 f  e  2  3   ES  e  1  3   ES  e  2  3   ES Tương tự, ta chứng minh e  2  3   ES  e  1  3   ES Do 1  3 ES    3 ES  1  3 , 2  3   (ii) Ta có S nửa nhóm ngược  S nửa nhóm quy    lớp dàn môđun đầy đủ   S  (với phần tử lớn nhỏ nhất) (theo định lý 2.2) (iii) Để   S   đầy đủ đồng cấu tự nhiên  #   S  lên   S   đầy đủ (tức là,  # bảo toàn hợp giao cặp hợp giao) đủ để  đồng dư đầy đủ theo nghĩa:   tồn tập số I , i , i   S  , i  I i , i  , i  I (a)  i , i    iI iI    (b)  i ,  i   iI iI  Thật vậy, ta có i , i   i   ES  ES   i   ES  ES   jI , j i  j  i   ES  ES   jI , j i  j  i   ES  ES    i , i    iI iI  Nguyễn Thị Dung 35 K36B – Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học e  ES Cho  e, f    i   f  e i  j  j  ES I , j i Khi f  ES  j  j Do x1 , x2 , , xk  S cho I , j i  e, x    ,  x , x   i   j , ,  xk , f   j j I , j i jI , j i 1   e, x1 x11   i ,  x1 x11 , x2 x21   j  , , x x , f   j j  j k k I , j i I , j i Ta có   ,      e, x x i 1 1 i    ,  x x 1 1 i , x2 x21   j  j , ,  xk xk1 , f   j j I , j i I , j i    j  ES   e, f   i    j f  e i  j I , j i jI , j i      e i  j  j  ES  e i  j  j  ES I , j i I , j i Tương tự, ta chứng minh     e i  j  j  ES  e i  j  j  ES I , j i I , j i Do  i iI ES    i iI ES    i ,  i  Vậy ta có (iii) iI iI 2.5 Hệ hạt nhân chuẩn tắc Cho S nửa nhóm ngược định nghĩa    S  định lý 2.6 Định nghĩa 2.7 Cho T nửa nhóm,  đồng dư T B  T Khi  B   x T b  B :  b, x    Bổ đề 2.8 Cho T nửa nhóm, 1 , 2 đồng dư T B  T Khi  B 1  2   B 2  1   B 1  2  B  1  2  Chứng minh: (i) Theo định nghĩa ta có  B 1  2  B  1  2  Thật Lấy x   B 1  2  b1   B  1 :  b1 , x   2 Nguyễn Thị Dung 36 K36B – Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học  b2  B :  b2 , b1   1 ,  b1 , x   2  b2  B :  b2 , x   1  2  x  B  1  2    B 1  2  B  1  2  (ii) Cho x  B 1  2  Khi b  B cho  b, x   1  2  x1 , x2 , , xk T cho  b, x1   1 ,  x1 , x2   2 , ,  xk , x   2  x1   B 1  x2   B 1  2   B 2  1 (theo giả thiết) Ta có   B 2  1  1   B 2  1 Thật vậy:    B 2  1  1   B 2  1 Lấy x    B 2  1  1  b1   B  2  1 :  b1 , x   1  b2  B 2 :  b2 , b1   1 ,  b1 , x   1  b2  B 2 :  b2 , x   1 (Do 1 có tính chất bắc cầu)  x   B 2  1    B 2  1  1   B 2  1   B 2  1    B  2  1  1 Lấy x   B 2  1  b1   B  2 :  b1 , x   1  b1  B 2 , b2 T :  b1 , b2   1 , b2 , x   1 (Do 1 bắc cầu)  b2   B 2  1 :  b2 , x   1  x    B 2  1  1   B 2  1    B 2  1  1    B 2  1  1   B 2  1 Nguyễn Thị Dung 37 K36B – Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Do đó, ta có x3    B 2  1  1   B 2  1   B 1  2 … xk    B 2  1  1   B 2  1   B 1  2 x    B 2  1  1   B 2  1   B 1  2  B  1  2    B 1  2 Vậy  B 1  2  B  1  2  Bổ đề 2.9 Cho  ,    S  cho   ,    N   J  , M    J  tương ứng hệ hạt nhân chuẩn tắc   Ta định nghĩa  N  M  : k n  N , m M  : kk 1  E , kn  m Khi đó,  N  M    N    M    Chứng minh: (i)  N  M    N    M    Cho k   N  M  Khi  n  N , m  M  cho kk 1  E , kn  m  kk 1  E ,  n1  n1   E (Do  n1  n1   N ,  n1  n1  1 1 1 lũy đẳng); k  n1   M  (Do kn  m  M  )   k , n1    k   N  1 Do k  N   a  N cho  k , a     k 1k , a 1a   với a 1a  E  k 1k  E  k 1k  N   k 1k , n      kk 1k , kn    (Do  tương thích trái) Khi  k , m   kk k , kn     k   M     k  N    M    1 Vậy  N  M    N    M    (ii)  N    N  M  Nguyễn Thị Dung 38 K36B – Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Cho k   N  Khi n  N cho  k , n      J cho kk 1 , nn1  E kn1  M  Do n  N  nn1  E  E  E  kn1  M   k   N  M  Vậy  N    N  M  (iii)  M     N  M  Cho k  M      k , m    với m  M  Khi mm1  E (Do mm1  M  , mm1 lũy đẳng)  kk 1  E Ta có k  M     k 1 , m1      k 1m, m1m    (Do  tương thích phải) Mà m1m  E  k 1m  N Đặt n  k 1m Khi kn  kk 1m  E M   M   k   N  M  Vậy  M     N  M  Từ (ii) (iii)   N    M      N  M  Vậy  N  M    N    M    Định lý 2.7 Cho  N   J , M    J  tương ứng hệ hạt nhân chuẩn tắc   ,   ,    Cho  N  M   k n  N , m  M  : kk  E , kn  m;  N  M   N  M  Khi  N  M    J  hệ hạt nhân chuẩn tắc    1  N  M     J  hệ hạt nhân chuẩn tắc    Chứng minh: Ta có e  E , e       e  e Thật vậy, lấy x  e        x, e       x, e     x  e   x  e  e  e       e  e  x  e  x , e       Ngược lại, lấy x  e  e Nguyễn Thị Dung 39 K36B – Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học  x  e   x, e        x, e       x  e      x  e  x , e         e  e  e       e       e  e Mà e  e  N  M   e       N  M    N  M    J  hệ hạt nhân chuẩn tắc    Nếu e  E e   E    N e   E   M  Do   lớp dàn   S  , e  E  e        E      Theo bổ đề 2.9 ta có  N    M     E       E          E        E     (theo bổ đề 2.8)   N    N  M  (theo bổ đề 2.9)   N  M    J  hệ hạt nhân chuẩn tắc    Nguyễn Thị Dung 40 K36B – Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học KẾT LUẬN Trong khóa luận em tập trung nghiên cứu “Đồng dư nửa nhóm quy” Đóng góp khóa luận trình bày cách có hệ thống, chi tiết hóa số Bổ đề, Định lý như: Bổ đề 2.1, 2.2, 2.3, 2.5, 2.9, Định lý 2.1, 2.2, 2.3, 2.6, 2.7, tìm hiểu thêm số khái niệm đưa ví dụ minh họa cho khái niệm mà chương trình Đại học chưa đề cập tới mối liên hệ chúng với kiến thức có liên quan đến đề tài Như nói đề tài hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu đặt Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, lần em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung thầy cô tổ Đại số nói riêng đặc biệt thầy Nguyễn Huy Hưng - Người thầy tận tình giúp đỡ, bảo cho em suốt thời gian qua Mặc dù có nhiều cố gắng song hạn chế mặt thời gian kiến thức nên khóa luận em không tránh khỏi thiếu sót định Vì em mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc để đề tài em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Nguyễn Thị Dung 41 K36B – Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học TÀI LIỆU THAM KHẢO A H Clifford and G B Preston (1961), The Algebraic Theory of Semigroup, Vol.1, Math Surveys of the American Math Soc Alan J Cain (2013), Nine chapters on the semigroup art, Lecture notes for M431 Semigroups, Porto G B Preston (1954), Inverse semigroups, J London Math Soc 29, 396-403 J M Howie, and G Lallement (1966), Certain fundamental congruences on a regular semigroup, Proc Glasgow Math Assoc (7) 3, 145-159 N R Reilly and H E Scheiblich (1967), Congruences on regular semigroups, Pacific J Math, Vol 23, 349-360 Nguyễn Thị Dung 42 K36B – Sp Toán [...]... phần tử chính quy 1.6.2 Nửa nhóm chính quy Định nghĩa 1.18 Một nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm chính quy nếu mọi phần tử thuộc S đều chính quy, tức là x  S , y  S sao cho xyx  x Ví dụ 1.6  ,  là nửa nhóm chính quy Thật vậy, dễ thấy là một nửa nhóm Hơn nữa ta có x  ,   x    ,  mà x    x   x   x    x   x  0  x  x   ,   là nửa nhóm chính quy 1.6.3 Cặp chính quy Định... phần tử ngược của a và  a, b  là cặp chính quy Nhận xét: + Trong nửa nhóm chính quy, mọi phần tử đều có phần tử ngược + Nếu  a, a  là cặp chính quy thì aa và aa là các phần tử lũy đẳng nhưng chúng khơng bằng nhau 1.6.4 Nửa nhóm con chính quy Định nghĩa 1.20 Cho S là nửa nhóm chính quy và   A  S Khi đó A là nửa nhóm con chính quy của S nếu A là nửa nhóm con của S và nó đóng kín với phép lấy... là nửa nhóm con ngược lớn nhất với E là tập các phần tử lũy đẳng Chứng minh: Theo định lý 2.1, E C là nửa nhóm con chính quy lớn nhất với E là tập các phần tử lũy đẳng Do các phần tử của E giao hốn  E C là nửa nhóm con ngược (theo định lý 1.2) Vậy E C là nửa nhóm con ngược lớn nhất của S 2.2 Dàn của các đồng dƣ trên nửa nhóm chính quy Với nửa nhóm S bất kì, kí hiệu   S  là dàn của các đồng dư trên. .. , x, y  S (4) Nhận xét 1.4 Một nửa nhóm S là nửa nhóm ngược nếu nó là nửa nhóm chính quy và các phần tử lũy đẳng giao hốn Nhận xét 1.5 Trong nửa nhóm chính quy, mọi phần tử đều có phần tử ngược Nửa nhóm ngược là nửa nhóm mà mỗi phần tử có phần tử ngược duy nhất 1.7.2 Định lý đặc trƣng của nửa nhóm ngƣợc Định lý 1.2 Các mệnh đề sau đây là tương đương: a) S là nửa nhóm ngược; b) Mọi phần tử của S có... đại học  Ví dụ 1.7 ta có ra   ,  là nửa nhóm con chính quy của ,  Thật vậy, ,  là nửa nhóm chính quy (Theo ví dụ 1.6) Hơn nữa, ta dễ chỉ ,  là nửa nhóm con của x   Vậy   ,  Mặt khác, ,  là nửa nhóm con chính quy của  x  ta có ,  1.7 Nửa nhóm ngƣợc 1.7.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.21 Một nửa nhóm S được trang bị phép tốn 1 là nửa nhóm ngược nếu thoả mãn các điều kiện x... được và mọi đồng dư lũy đẳng tách được trên nửa nhóm chính quy đều nằm trong H Vì vậy với bất kì nửa nhóm chính quy S,   H  là tập các đồng dư lũy đẳng tách được trên S Với bất kì tập con lồi cùng với phần tử lớn nhất và nhỏ nhất của một dàn đầy đủ là một dàn con đầy đủ Do đó, với bất kì nửa nhóm chính quy S, vì   H  là tập con lồi của   S  nên theo bổ đề 2.7,   H  (tập các đồng dư lũy đẳng... qx  yx   yx    yp    là phần tử chính quy Do đó mọi phần tử của Lx đều chính quy Lập luận tương tự, ta có nếu t  S là chính quy thì mọi phần tử của Rt là chính quy Vì vậy nếu x là chính quy thì mọi phần tử của Dx là chính quy Định nghĩa 1.16 Một D-lớp được gọi là chính quy nếu mọi phần tử của nó là chính quy Trái lại, ta nói D-lớp đó là khơng chính quy Nguyễn Thị Dung 11 K36B – Sp Tốn Khóa... R là dàn con (dàn con của các đồng dư giao hốn, dàn con đầy đủ) của   S  thì hiển nhiên R  là dàn con (dàn con của các đồng dư giao hốn, dàn con đầy đủ) của   S   Người ta chứng minh được các kết quả sau liên quan đến đồng dư trên nửa nhóm chính quy: Nguyễn Thị Dung 25 K36B – Sp Tốn Khóa luận tốt nghiệp đại học Bổ đề 2.6 Cho  là một đồng dư trên nửa nhóm chính quy S Khi đó,   lớp lũy đẳng... S Với bất kì nửa nhóm S, đặt   H      S  :   H  Bổ đề 2.7 Cho S là một nửa nhóm chính quy Khi đó   H  là một dàn con của   S  của các đồng dư giao hốn với phần tử lớn nhất và nhỏ nhất Định nghĩa 2.4 Đồng dư  trên nửa nhóm S được gọi là lũy đẳng tách được nếu mỗi   lớp chứa nhiều nhất một phần tử lũy đẳng Người ta đã chứng minh được rằng bất kì đồng dư  trên nửa nhóm mà   H...   S là nửa nhóm ngược Nguyễn Thị Dung 17 K36B – Sp Tốn Khóa luận tốt nghiệp đại học Mệnh đề 1.6 Cho S là một nửa nhóm ngược Khi đó, ES là nửa nhóm con của S và có dạng một nửa dàn, với ef  ef , gọi là nửa dàn của các phần tử lũy đẳng của S 1.7.3 Nửa nhóm con ngƣợc Định nghĩa 1.22 Cho S là nửa nhóm ngược và T là nửa nhóm con của S Khi đó, T là nửa nhóm con ngược của S nếu T cũng là nửa nhóm ngược ... 14 Chương ĐỒNG DƯ TRÊN NỬA NHĨM CHÍNH QUY 19 2.1 Nửa nhóm quy cực đại 19 2.2 Dàn đồng dư nửa nhóm quy 23 2.3 Đồng dư nửa nhóm ngược 28 2.4 Dàn đồng dư nửa nhóm ngược ... thuyết nửa nhóm, cấu trúc nửa nhóm số nửa nhóm đặc biệt với tính chất đặc trưng Chương Đồng dƣ nửa nhóm quy Chương dùng để trình bày dàn đồng dư nửa nhóm quy, nửa nhóm ngược hệ hạt nhân chuẩn tắc nửa. .. 2.4 Đồng dư  nửa nhóm S gọi lũy đẳng tách   lớp chứa nhiều phần tử lũy đẳng Người ta chứng minh đồng dư  nửa nhóm mà   H lũy đẳng tách đồng dư lũy đẳng tách nửa nhóm quy nằm H Vì với nửa nhóm