Về các phần tử chính quy khả nghịch trong vành

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CÁC PHẦN TỬ CHÍNH QUY KHẢ NGHỊCH TRONG VÀNH 7 2.1.. Một số tính chất của các phần tử chính qui khả nghịch trong vành...72.2... Người ta đã phân loại khái niệm vành

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 3

1.1 Vành chính qui và vành chính qui khả nghịch 3 1.2 Iđêan chính qui và iđêan chính qui khả nghịch 6

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CÁC

PHẦN TỬ CHÍNH QUY KHẢ NGHỊCH TRONG VÀNH 7

2.1 Một số tính chất của các phần tử chính qui khả nghịch

trong vành 72.2 Một số ví dụ trong vành ma trận 17

MỞ ĐẦU

Như tất cả chúng ta đều biết, Lý thuyết vành hiện nay đang được thếgiới rất quan tâm Thời gian gần đây, Lý thuyết vành đã được nghiên cứu sâuhơn và rộng hơn Người ta đã phân loại khái niệm vành ra thành nhiều lớpvành khác nhau, trong đó có lớp vành chính quy (regular ring), lớp vành chínhquy khả nghịch (unit-regular ring), mà phần tử của chúng tương ứng là chínhquy (regular element) và chính quy khả nghịch (unit-regular element) Cácphần tử trong các lớp vành này đã thu hút được rất nhiều sự quan tâm của cácnhà toán học lớn trên thế giới như Von Neumann, K.R.Goodearl, … nhằm tìmhiểu về những tính chất đặc biệt của chúng, để có thể tìm cách biểu diễn cácphần tử thuộc các lớp vành này về dạng đơn giản và gần gũi hơn Ví dụ nhưnghiên cứu về lớp vành chính quy khả nghịch đã cho ta thấy, mọi ma trậnvuông trên lớp vành này đều chéo hóa được, và đặc biệt hơn nữa là tất cả cácphần tử trên đường chéo đều là lũy đẳng, … Những phát hiện đó cho phépchúng ta nghiên cứu sâu hơn để giải quyết được nhiều bài toán về ma trận màtoán học ứng dụng hiện nay đang đặt ra

Từ những lí do trên, chúng tôi quyết định chọn đề tài “Về các phần tử

chính quy khả nghịch trong vành”.

Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu về những tính chất của cácphần tử chính quy khả nghịch trong các vành có đơn vị Từ đó tìm cách biểudiễn các phần tử đó về dạng đơn giản hơn

Luận văn gồm hai chương Trong chương 1, chúng tôi trình bày vềnhững khái niệm cơ sở để tìm hiểu về các phần tử chính quy khả nghịch trongvành Ở đây sẽ trình bày các khái niệm phần tử chính quy, vành chính quy,khái niệm phần tử chính quy khả nghịch và vành chính quy khả nghịch cũngnhư khái niệm iđêan chính quy và iđêan chính quy khả nghịch trong vành

Trong chương 2, chúng tôi trình bày những tính chất cơ bản của các phần tửchính quy khả nghịch trong vành, đồng thời từ đó xây dựng nên một số tínhchất của các ma trân vuông trên vành chính quy khả nghịch.

Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn nghiêm túc và chu đáo củaPGS TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng vàbiết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả cũngxin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong chuyên ngành Đại số

và Lý thuyết số, Khoa Toán và Khoa Sau Đại học, đã tận tâm dạy bảo trongthời gian học tập vừa qua Tác giả xin chân thành cảm ơn các bạn thành viêntrong nhóm “Seminar Lý thuyết vành và Môđun” về những thảo luận và traođổi bổ ích trong các chứng minh định lý Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơntới những người bạn học viên cao học khóa 14 chuyên ngành Đại số và Lýthuyết số đã tận tình giúp đỡ trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong nhận được sựchỉ bảo của các thầy giáo, cô giáo cùng các bạn đọc

Tác giả

CHƯƠNG 1KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này chúng tôi trình bày những khái niệm cơ bản như kháiniệm phần tử chính quy và phần tử chính quy khả nghịch trong vành, vànhchính quy và chính quy khả nghịch, tất cả đều là những khái niệm xuyên suốttrong toàn bộ luận văn

Một điều cần chú ý là, trong luận văn này, khi nói đến vành R thì ta hiểu

đó là vành có đơn vị

1.1 Vành chính quy và vành chính quy khả nghịch

1.1.1 Định nghĩa Một phần tử e thuộc vành R được gọi là lũy đẳng nếu nó

thỏa mãn: e 2 = e.

1.1.2 Định nghĩa Một phần tử x của vành R được gọi là phần tử chính quy

nếu ∃a ∈ R sao cho x = xax.

1.1.3 Định nghĩa Một vành R được gọi là vành chính quy (theo nghĩa Von

Neumann) nếu ∀x ∈ R đều là phần tử chính quy.

Ví dụ Cho D là một thể, V là không gian vectơ vô hạn chiều trên D Khi

đó, End D (V) là một vành chính quy.

Ta kí hiệu U(R) là tập tất cả các phần tử khả nghịch trong vành R.

1.1.4 Định nghĩa Một phần tử x của vành R được gọi là phần tử chính quy

khả nghịch nếu ∃a ∈ U(R) sao cho x = xax.

1.1.5 Định lý Giả sử A là vành có đơn vị và M là A-môđun phải sao cho

R = End A (M) là vành chính quy Phần tử a ∈R Khi đó các điều kiện sau là

tương đương:

(i) a là chính quy khả nghịch,

(ii) Tồn tại tự đẳng cấu u: M→M sao cho Im a ⊕ uKer a = M,

(iii) Ker a ≅ Coker a (Coker a = MIma , đẳng cấu với mọi phần bù của Im a trong M)

Chứng minh (i)⇒(ii) Giả sử a là chính quy khả nghịch, khi đó ∃x ∈ U(R)

sao cho a = axa Đặt u = x -1 đặt f = xa, thì f là một lũy đẳng, (vì f 2 = xaxa =

xa = f), và thỏa mãn Ra = Rf, đồng thời ta có: af = axa = a Do vậy, Ker a = (1 – f)M, và ta có:

M = uM = u(fM ⊕ (1 – f)M) = ufM ⊕ u(1 – f)M = Im a ⊕ uKer a (ii)⇒(iii) Nếu u: M→M là một tự đẳng cấu sao cho M = Im a ⊕ uKer a thì Coker a = MIma ≅ uKer a≅ Ker a.

(iii)⇒(i) Giả sử Ker a ≅ Coker a Giả thiết T là phần bù của Ker a trong M

và S là phần bù của Im a trong M Khi đó, a |T là đơn ánh Giả sử β: Im a → T

là đẳng cấu nghịch ảnh của a |T , và μ: S → Ker a là một đẳng cấu Khi đó

x: M→M được định nghĩa bởi x |Im a = β và x |S = μ là một tự đẳng cấu của M.

Nếu v ∈ T thì axav = aβav = av, và nếu k ∈ Ker a thì axak = 0 = ak Do vậy

axa = a, với x khả nghịch trong R.■

1.1.6 Hệ quả Giả sử M là một không gian vectơ trên thể D và R = End D (M) Nếu a∈ R thì a là chính quy khả nghịch nếu và chỉ nếu

dim(Ker a) = dim(Coker a).

Chứng minh Theo Định lý 1.1.4 ở trên, a∈ R là chính quy khả nghịch nếu và

chỉ nếu

Ker a ≅ Coker a ⇔ dim(Ker a) = dim(Coker a).■

1.1.7 Định nghĩa Một vành R được gọi là vành chính quy khả nghịch nếu

∀x ∈R đều là phần tử chính quy khả nghịch.

Ví dụ 1 Cho D là một thể, V là không gian vectơ hữu hạn chiều trên D.

Khi đó, R= End D (V) là một vành chính quy khả nghịch.

Ví dụ 2 Mọi vành R chính quy giao hoán, có đơn vị đều là vành chính quy

khả nghịch Thật vậy, giả sử a ∈R, do R chính quy nên a chính quy, suy ra

∃ x ∈ R sao cho axa = a Vì R giao hoán nên ta có: a 2 x = a, đồng thời axax = ax nên ax là một lũy đẳng trong R, tương tự thì xa cũng vậy Đặt

e = ax, khi đó e = (eae)(exe) và phần tử t = eae + 1 – e là khả nghịch trong R,

với nghịch đảo là t -1 = exe + 1 – e Vì a = ea = aea, nên ta có et = a và

a = ea = at -1 a Do vậy, R là chính quy khả nghịch.

1.1.8 Mệnh đề Tính chính quy và chính quy khả nghịch của một vành bảo

toàn qua đẳng cấu.

Chứng minh Ta chứng minh với trường hợp R là vành chính quy khả nghịch.

Giả sử ψ: R→R' là một đẳng cấu Lấy bất kỳ a∈ R, do R là chính quy khả

nghịch nên ∃x ∈ U(R) sao cho a = axa Do ψ là đẳng cấu vành nên ta có:

ψ(a) = ψ(axa) = ψ(a)ψ(x)ψ(a).

Lại vì x ∈ U(R) nên ∃x -1 để xx -1 = x -1 x = 1 nên ta có (ψ(x)) -1 = ψ(x) -1 là nghịch

đảo của ψ(x) trong R' ⇒ R' là vành chính quy khả nghịch.■

1.2 Iđêan chính quy và iđêan chính quy khả nghịch

1.2.1 Định nghĩa Cho I là iđêan của một vành R Ta nói rằng I là iđêan

chính quy của vành R nếu ∀x ∈I, ∃a∈R sao cho x = xax.

1.2.2 Mệnh đề Một iđêan chính quy trong vành cũng là một vành chính quy.

Chứng minh Giả sử I là iđêan chính quy của vành R, khi đó ∀x ∈I, ∃a∈R

sao cho x = xax Xét xaxax = xax = x, trong đó axa ∈ I Do vậy x ∈ I là chính

quy trong vành I Suy ra I là vành chính quy.■

1.2.3 Định nghĩa Cho I là một iđêan của vành R Ta nói rằng I là iđêan

chính quy khả nghịch của vành R nếu ∀x ∈I, ∃a ∈ U(R) sao cho x = xax.

Ví dụ Vành R= End D (V) với V là không gian vectơ vô hạn chiều trên D Xét

⇒ dim D (Ker x) = dim D ( V xV ) = ∞, do dim D (xV) < ∞.

⇒ x là chính quy khả nghịch (theo Hệ quả 1.1.6), ⇒ I là chính quy khả

nghịch

CHƯƠNG 2MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA CÁC PHẦN TỬ CHÍNH QUY

i) Tồn tại u ∈ U(R) sao cho a = aua,

ii)Tồn tại u ∈ U(R) sao cho au và ua là lũy đẳng,

iii)Tồn tại u ∈ U(R) sao cho au hoặc ua là lũy đẳng,

iv) Tồn tại p, q ∈ U(R) sao cho paq là lũy đẳng.

Chứng minh.

i)⇒ii) Nếu ∃ u ∈ U(R) sao cho a = aua thì khi đó ta có:

(au) 2 = auau = au, ⇒ au là lũy đẳng.

(ua) 2 = uaua = ua, ⇒ ua là lũy đẳng.

ii)⇒iii) Hiển nhiên.

iii)⇒iv) Do R có đơn vị là 1 nên với p = 1, q = u thì từ au lũy đẳng ta có paq

2.1.2 Mệnh đề Cho R là vành chính quy khả nghịch, khi đó ∀ a ∈ R ta có biểu diễn a = xe, với x ∈ U(R), e là một lũy đẳng.

Chứng minh Ta có a ∈ R với R là chính quy khả nghịch nên ∃y ∈ U(R) sao

cho a = aya Đặt e = ya, ⇒ e là một lũy đẳng Ta có y -1 e = a, với y -1 là khả

nghịch của y Đặt x = y -1 ∈ U(R), ⇒ a = xe.■

2.1.3 Định lý Vành chính quy R là chính quy khả nghịch nếu và chỉ nếu từ

aR + bR = R ta suy ra tồn tại t∈ R sao cho a + bt ∈ U(R).

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử R là chính quy khả nghịch, a, b ∈ R thỏa

mãn: aR + bR = R Vì R là chính quy khả nghịch nên ∃ u, y ∈ U(R) sao cho:

a = aua, b = byb Đặt e = au, f = by, ta có: e 2 = e và f 2 = f Khi đó

aR + bR = eR + fR = eR + (1 – e)fR.

Do R là chính quy khả nghịch nên ∃ w∈ U(R) sao cho

(1 – e)fw(1 – e)f = (1 – e)f.

⇔ gβ = g

⇒ e + g = 1, hay e + (1 – e)fw(1 – e) = 1.

Ta có e + fw(1 – e) – e 2 fw(1 – e) = 1, do e 2 = e.

⇔ e[1 - e fw(1 – e)] + fw(1 – e) = 1

⇔ au[1 - e fw(1 – e)] + byw(1 – e) = 1 (*)

Đặt γ = [1 + e fw(1 – e)]u -1 ∈ U(R) Nhân phía phải hai vế của (*) với γ, ta

có:

au[1 - e fw(1 – e)] [1 + e fw(1 – e)]u -1 + byw(1 – e)γ = γ.

⇔ au[1 - e fw(1 – e) efw(1 – e)]u -1 + byw(1 – e)γ = γ.

⇔ auu -1 + byw(1 – e)γ = γ.

⇔ a + byw(1 – e)γ = γ.

Đặt t = byw(1 – e)γ ⇒ t ∈ U(R), và thỏa mãn a + bt khả nghịch.

Điều kiện đủ Với R là vành chính quy, giả sử từ aR + bR = R, suy ra

t ∈ U(R) để a + bt ∈ U(R), ta chứng minh R là chính quy khả nghịch.

Giả sử a ∈ R ⇒ ∃x để a = axa ⇒ ax lũy đẳng và aR + ( 1 – ax)R = R

⇒ ∃ t ∈ R và u ∈ U(R) sao cho [a + (1 – ax)t ]u = 1.

⇒ ax[a + (1 – ax)t ]ua = axa

⇔ (axa + ax(1 – ax)t) = a

⇔ (a + 0)ua = a

⇔ aua = a

⇒ R là chính quy khả nghịch.■

2.1.4 Bổ đề Giả sử a,b,c là các phần tử của vành F sao cho ab + c = 1 Nếu

tồn tại x ∈ F sao cho a + cx khả nghịch thì sẽ tồn tại y ∈ F để b + yc khả nghịch.

Chứng minh.

Đặt u = a + cx

v = b + (1 – bx)u -1 c

a(1 – ba) = a – aba = a – (1 – c)a = a – a + ca = ca,

nên suy ra:

vx(1 – ba) = 1 – ba - (1 – bx)u -1 ca (2)Vậy từ (1) và (2) ta có:

vw = v[a + x(1 – ba)]

= va + vx(1 – ba)

= va + (1 – bx)u -1 ca + 1 – ba - (1 – bx)u -1 ca = 1

⇒ vw = 1.

Tương tự ta có:

wb = ab + x(1 – ba)b = ab + xb – xbab

⇒ wv = 1 (**)

Vậy từ (*) và (**) ta có w là nghịch ảnh của v, ⇒ v khả nghịch, ⇒ tồn tại

phần tử y = (1 – bx)u -1 để b + yc khả nghịch.■

2.1.5 Bổ đề Giả sử I là iđêan chính quy của vành R Khi đó các điều kiện

sau đây là tương đương:

i) I là chính quy khả nghịch,

ii) Nếu aR + bR = R với a ∈ I, thì ∃ y ∈ R để a + by ∈ U(R),

iii) Nếu Ra + Rb = R với a ∈ I, thì ∃ z ∈ R để a + zb∈ U(R).

Chứng minh i) ⇒ ii) Giả sử rằng aR + bR = R với a ∈ I Khi đó ax + bz = 1

với x, z nào đó thuộc R Vì a ∈ I, nên ta có u ∈ U(R) sao cho a = aua

Đặt au = e, khi đó e là một lũy đẳng Hơn nữa, ta có: eu -1 x + bz = 1 do a =

eu Vì vậy:

e + bz(1 – e) = 1 - eu -1 x(1 – e)

Đặt y = z(1 – e)u -1 Ta thấy a + by = [1 - eu -1 x(1 – e)]u -1 ∈ U(R).

ii) ⇒ i) Cho x bất kỳ thuộc I, ta có y ∈ R sao cho x = xyx, do I chính quy Từ

xy + (1 – xy) = 1 ∈ R, từ (2) ta có z ∈ R sao cho x + (1 – xy)z ∈ U(R) Theo

Bổ đề 2.1.4 ta có s ∈ R sao cho y + s(1 – xy) = u ∈ U(R) Do vậy,

x = xyx = x[y + s(1 – xy)]x = xux.

i) ⇔ iii) Chứng minh tương tự như trên.■

2.1.6 Bổ đề Nếu y là một phần tử của R sao cho a – aya là chính quy thì a là

chính quy.

Chứng minh Nếu a – aya là chính quy thì ∃ z ∈ R sao cho:

(a – aya) z (a – aya) = a – aya (*)

Đặt x = z – zay – yaz + yazay + y Ta có:

axa = a(z – zay – yaz + yazay + y)a

⇒ axa = aza – azaya – ayaza + ayazaya + aya (**)

2.1.7 Bổ đề Giả sử I là iđêan chính quy khả nghịch của vành R Giả sử rằng

a, b ∈ I Khi đó ta có:

i) Nếu aR = bR thì ∃u ∈ U(R) sao cho a = bu,

ii) Nếu Ra = Rb thì ∃u ∈ U(R) sao cho a = ub.

Chứng minh Giả sử aR = bR, với a, b ∈ I Khi đó ta có x, y ∈ R sao cho

ax = b và a = by Do I là chính quy khả nghịch trong R nên ta có a = aa'a với a' ∈ U(R) Suy ra ax= aa'ax.

Vì a'ax ∈ I nên ta có thể giả sử x ∈ I Tương tự, ta có thể giả sử y ∈ I Rõ

ràng: b = ax = byx Từ biểu thức: yx + (1 - yx) = 1, với y ∈ I, theo Bổ đề

2.1.5 ta có z∈ R sao cho y + (1 - yx)z ∈ U(R) Đặt y + (1 - yx)z = u, khi đó

ta có:

a = by = b[y + (1 - yx)z] = bu.

Điều kiện thứ hai được chứng minh tương tự như trên.■

2.1.8 Định lý Giả sử I là iđêan chính quy của vành R Khi đó, các điều kiện

sau là tương đương:

i) I là chính quy khả nghịch

ii) Nếu aR≅ bR với a, b ∈ I thì ∃u, v ∈ U(R) sao cho a = ubv.

Chứng minh i) ⇒ ii) Giả sử ψ: aR≅ bR với a, b ∈ I, khi đó ta có ψ(a)R =

bR Rõ ràng do a ∈ I nên ψ(a) là chính quy, do đó ta có thể tìm được c ∈

R sao cho:

ψ(a) = ψ(a).c ψ(a) = ψ(ac ψ(a))

⇒ a = ac ψ(a) ∈ Rψ(a)

⇒ Ra ⊆ Rψ(a)

Vì a ∈ I nên ta có a = ada với d ∈ R, ⇒ ψ(a) = ψ(ada) = ψ(a)da ∈ Ra

Do vậy, Rψ(a) ⊆ Ra, ⇒ Ra = Rψ(a) Rõ ràng ta có ψ(a) ∈ I Theo Bổ đề

2.1.7 ở trên, từ Ra = Rψ(a) và ψ(a)R = bR, sẽ ∃u, v ∈ U(R) sao cho ψ(a) = ua và b = ψ(a)v.

Vì vậy ta có kết luận b = uav

ii) ⇒ i) Cho x bất kỳ thuộc I, khi đó ∃y ∈ R sao cho x = xyx Đặt e = xy, ta

có xR = eR, với x, e ∈ I ⇒ ∃u, v ∈ U(R) sao cho x = uev Rõ ràng ta có:

x(u -1 v -1 )x = uev(u -1 v -1 )uev = ue 2 v = uev = x,

⇒ x chính quy khả nghịch.

Vậy I là chính quy khả nghịch.■

2.1.9 Định nghĩa Cho I là một iđêan của vành R, hai phần tử a, b ∈ R Ta

nói rằng a giả đồng dạng với b theo I, kí hiệu a : b theo I (a is similar to b via I) nếu tồn tại x, y, z ∈ I sao cho xay = b, zbx = a, xyx = xzx

pseudo-=x.

2.1.10 Bổ đề Giả sử I là một iđêan của R Khi đó các điều kiện sau đây là

tương đương:

i) a : b theo I,

ii) Tồn tại x, y ∈ I sao cho a = xby, b = yax, x = xyx và y = yxy.

Chứng minh ii) ⇒ i) Hiển nhiên.

i) ⇒ ii) Từ giả thiết a: b theo I, ta có x, y, z ∈ I sao cho:

b = xay, zbx = a và x = xyx = xzx.

Khi đó ta cũng có:

xa(yxy) = xzbxyxy = xzb(xyx)y = xzbxy = xay = b, (zxz)bx = zxzxayx = z(xzx)ayx = zxayx = zbx = a.

Do vậy, ta có thể thay thế y bởi yxy và z bởi zxz Khi đó ta có:

xazxy = xzbxzxy = xzbxy = xay = b, zxybx = zxyxayx = zxayx = zbx = a.

Mặt khác, ta lại có:

zxy = z(xyx)y = (zxy)x(zxy),

x = xyx = x(zxy)x.

Vậy ta có điều phải chứng minh.■

2.1.11 Định lý Giả sử I là một iđêan của vành R Khi đó các điều kiện sau

là tương đương:

i) I là chính quy khả nghịch,

ii) Với mọi a : b theo I, đều ∃u ∈ U(R) sao cho a = ubu -1

Chứng minh i) ⇒ ii) Giả sử có a : b theo I, theo Bổ đề 2.1.10 ở trên,

∃ x,y ∈I sao cho a = xby, b = yax, x = xyx và y = yxy Do I là chính quy khả

nghịch nên ta có v ∈ U(R) sao cho y = yvy và vy = vyxy do y = yxy, ⇒ vy =

vyxy = vyvy, nên vyxy – vyvy = 0 ⇔ vy(xy – vy) = 0 Vì v, y khả nghịch nên

Đồng thời, ax = xbyx = xyaxyx = xyax = xb Do vậy nên au = ub.

ii) ⇒ i) Cho x bất kỳ thuộc I Do I chính quy nên ∃y ∈ R sao cho x = xyx.

Rõ ràng ta có xy và yx là các lũy đẳng thuộc I Đặt e = xy, f = yx Ta sẽ chứng minh e : f theo I Ta có:

e = (exf)f(fye), vì xy = (xyxyx)yx(yxyxy) = x.yx.yxy = xy,

f = (fye)e(exf), vì yx = (yxyxy)xy(xyxyx) = yxy.xy.x = yx, exf = (exf)(fye)(exf),

fye = (fye)(exf)(fye).

⇒ e : f theo I, hay xy : yx theo I Suy ra ∃ u ∈ U(R) sao cho xy =

uyxu -1

⇔ 1 – xy = 1 – uyxu -1 = uu -1 - uyxu -1