Về các phần tử chính quy khả nghịch trong vành

bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học vinh phạm thị kim cúc phần tử quy khả nghịch vành luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2008 giáo dục đào tạo Trờng đại học vinh phạm thị kim cúc phần tử quy khả nghịch vành chuyên ngành: đại số & lý thuyết số mã số: 60 46 05 luận văn thạc sĩ toán học Ngi hng dn khoa hc: pgs.ts ngô sỹ tùng Vinh - 2008 MC LC Trang M U CHNG KIN THC C S 1.1 Vnh chớnh qui v vnh chớnh qui kh nghch 1.2 Iờan chớnh qui v iờan chớnh qui kh nghch CHNG MT S TNH CHT CA CC PHN T CHNH QUY KH NGHCH TRONG VNH 2.1 Mt s tớnh cht ca cỏc phn t chớnh qui kh nghch vnh 2.2 Mt s vớ d vnh ma trn .17 KT LUN 26 TI LIU THAM KHO 27 M U Nh tt c chỳng ta u bit, Lý thuyt vnh hin ang c th gii rt quan tõm Thi gian gn õy, Lý thuyt vnh ó c nghiờn cu sõu hn v rng hn Ngi ta ó phõn loi khỏi nim vnh thnh nhiu lp vnh khỏc nhau, ú cú lp vnh chớnh quy (regular ring), lp vnh chớnh quy kh nghch (unit-regular ring), m phn t ca chỳng tng ng l chớnh quy (regular element) v chớnh quy kh nghch (unit-regular element) Cỏc phn t cỏc lp vnh ny ó thu hỳt c rt nhiu s quan tõm ca cỏc nh toỏn hc ln trờn th gii nh Von Neumann, K.R.Goodearl, nhm tỡm hiu v nhng tớnh cht c bit ca chỳng, cú th tỡm cỏch biu din cỏc phn t thuc cỏc lp vnh ny v dng n gin v gn gi hn Vớ d nh nghiờn cu v lp vnh chớnh quy kh nghch ó cho ta thy, mi ma trn vuụng trờn lp vnh ny u chộo húa c, v c bit hn na l tt c cỏc phn t trờn ng chộo u l ly ng, Nhng phỏt hin ú cho phộp chỳng ta nghiờn cu sõu hn gii quyt c nhiu bi toỏn v ma trn m toỏn hc ng dng hin ang t T nhng lớ trờn, chỳng tụi quyt nh chn ti V cỏc phn t chớnh quy kh nghch vnh Mc ớch chớnh ca lun l tỡm hiu v nhng tớnh cht ca cỏc phn t chớnh quy kh nghch cỏc vnh cú n v T ú tỡm cỏch biu din cỏc phn t ú v dng n gin hn Lun gm hai chng Trong chng 1, chỳng tụi trỡnh by v nhng khỏi nim c s tỡm hiu v cỏc phn t chớnh quy kh nghch vnh õy s trỡnh by cỏc khỏi nim phn t chớnh quy, vnh chớnh quy, khỏi nim phn t chớnh quy kh nghch v vnh chớnh quy kh nghch cng nh khỏi nim iờan chớnh quy v iờan chớnh quy kh nghch vnh Trong chng 2, chỳng tụi trỡnh by nhng tớnh cht c bn ca cỏc phn t chớnh quy kh nghch vnh, ng thi t ú xõy dng nờn mt s tớnh cht ca cỏc ma trõn vuụng trờn vnh chớnh quy kh nghch Lun c thc hin di s hng dn nghiờm tỳc v chu ỏo ca PGS TS Ngụ S Tựng Nhõn dp ny tỏc gi xin by t lũng kớnh trng v bit n sõu sc ti thy giỏo hng dn PGS TS Ngụ S Tựng Tỏc gi cng xin by t lũng bit n ti cỏc thy giỏo, cụ giỏo chuyờn ngnh i s v Lý thuyt s, Khoa Toỏn v Khoa Sau i hc, ó tn tõm dy bo thi gian hc va qua Tỏc gi xin chõn thnh cm n cỏc bn thnh viờn nhúm Seminar Lý thuyt vnh v Mụun v nhng tho lun v trao i b ớch cỏc chng minh nh lý Tỏc gi cng xin by t lũng bit n ti nhng ngi bn hc viờn cao hc khúa 14 chuyờn ngnh i s v Lý thuyt s ó tn tỡnh giỳp quỏ trỡnh hc v hon thnh lun Lun khụng trỏnh nhng thiu sút, tỏc gi mong nhn c s ch bo ca cỏc thy giỏo, cụ giỏo cựng cỏc bn c Tỏc gi CHNG KIN THC C S Trong chng ny chỳng tụi trỡnh by nhng khỏi nim c bn nh khỏi nim phn t chớnh quy v phn t chớnh quy kh nghch vnh, vnh chớnh quy v chớnh quy kh nghch, tt c u l nhng khỏi nim xuyờn sut ton b lun Mt iu cn chỳ ý l, lun ny, núi n vnh R thỡ ta hiu ú l vnh cú n v 1.1 Vnh chớnh quy v vnh chớnh quy kh nghch 1.1.1 nh ngha Mt phn t e thuc vnh R c gi l ly ng nu nú tha món: e2 = e 1.1.2 nh ngha Mt phn t x ca vnh R c gi l phn t chớnh quy nu a R cho x = xax 1.1.3 nh ngha Mt vnh R c gi l vnh chớnh quy (theo ngha Von Neumann) nu x R u l phn t chớnh quy Vớ d Cho D l mt th, V l khụng gian vect vụ hn chiu trờn D Khi ú, EndD(V) l mt vnh chớnh quy Ta kớ hiu U(R) l tt c cỏc phn t kh nghch vnh R 1.1.4 nh ngha Mt phn t x ca vnh R c gi l phn t chớnh quy kh nghch nu a U(R) cho x = xax 1.1.5 nh lý Gi s A l vnh cú n v v M l A-mụun phi cho R = EndA(M) l vnh chớnh quy Phn t a R Khi ú cỏc iu kin sau l tng ng: (i) a l chớnh quy kh nghch, (ii) Tn ti t ng cu u: MM cho Im a uKer a = M, (iii) Ker a Coker a (Coker a = M Im a , ng cu vi mi phn bự ca Im a M) Chng minh (i) (ii) Gi s a l chớnh quy kh nghch, ú x U(R) cho a = axa t u = x-1 t f = xa, thỡ f l mt ly ng, (vỡ f2 = xaxa = xa = f), v tha Ra = Rf, ng thi ta cú: af = axa = a Do vy, Ker a = (1 f)M, v ta cú: M = uM = u(fM (1 f)M) = ufM u(1 f)M = Im a uKer a (ii) (iii) Nu u: MM l mt t ng cu cho M = Im a uKer a thỡ Coker a = M Im a uKer a Ker a (iii) (i) Gi s Ker a Coker a Gi thit T l phn bự ca Ker a M v S l phn bự ca Im a M Khi ú, a|T l n ỏnh Gi s : Im a T l ng cu nghch nh ca a|T, v : S Ker a l mt ng cu Khi ú x: MM c nh ngha bi x|Im a = v x|S = l mt t ng cu ca M Nu v T thỡ axav = aav = av, v nu k Ker a thỡ axak = = ak Do vy axa = a, vi x kh nghch R. 1.1.6 H qu Gi s M l mt khụng gian vect trờn th D v R = End D(M) Nu a R thỡ a l chớnh quy kh nghch nu v ch nu dim(Ker a) = dim(Coker a) Chng minh Theo nh lý 1.1.4 trờn, a R l chớnh quy kh nghch nu v ch nu Ker a Coker a dim(Ker a) = dim(Coker a). 1.1.7 nh ngha Mt vnh R c gi l vnh chớnh quy kh nghch nu x R u l phn t chớnh quy kh nghch Vớ d Cho D l mt th, V l khụng gian vect hu hn chiu trờn D Khi ú, R= EndD(V) l mt vnh chớnh quy kh nghch Vớ d Mi vnh R chớnh quy giao hoỏn, cú n v u l vnh chớnh quy kh nghch Tht vy, gi s a R, R chớnh quy nờn a chớnh quy, suy x R cho axa = a Vỡ R giao hoỏn nờn ta cú: a2x = a, ng thi axax = ax nờn ax l mt ly ng R, tng t thỡ xa cng vy t e = ax, ú e = (eae)(exe) v phn t t = eae + e l kh nghch R, vi nghch o l t-1 = exe + e Vỡ a = ea = aea, nờn ta cú et = a v a = ea = at-1a Do vy, R l chớnh quy kh nghch 1.1.8 Mnh Tớnh chớnh quy v chớnh quy kh nghch ca mt vnh bo ton qua ng cu Chng minh Ta chng minh vi trng hp R l vnh chớnh quy kh nghch Gi s : RR' l mt ng cu Ly bt k a R, R l chớnh quy kh nghch nờn x U(R) cho a = axa Do l ng cu vnh nờn ta cú: (a) = (axa) = (a)(x)(a) Li vỡ x U(R) nờn x-1 xx-1 = x-1x = nờn ta cú ((x))-1 = (x)-1 l nghch o ca (x) R' R' l vnh chớnh quy kh nghch. 1.2 Iờan chớnh quy v iờan chớnh quy kh nghch 1.2.1 nh ngha Cho I l iờan ca mt vnh R Ta núi rng I l iờan chớnh quy ca vnh R nu x I, a R cho x = xax 1.2.2 Mnh Mt iờan chớnh quy vnh cng l mt vnh chớnh quy Chng minh Gi s I l iờan chớnh quy ca vnh R, ú x I, a R cho x = xax Xột xaxax = xax = x, ú axa I Do vy x I l chớnh quy vnh I Suy I l vnh chớnh quy. 1.2.3 nh ngha Cho I l mt iờan ca vnh R Ta núi rng I l iờan chớnh quy kh nghch ca vnh R nu x I, a U(R) cho x = xax Vớ d Vnh R= EndD(V) vi V l khụng gian vect vụ hn chiu trờn D Xột I = { x EndD(V) | dimD(xV) < } thỡ I l mt iờan chớnh quy kh nghch ca R Tht vy, rừ rng I l mt iờan ca R Ly x bt k thuc I, ta cú dóy khp cỏc D-mụun phi: Ker x V xV 0 xV V V xV Khi ú V xV Ker x V xV xV dimD(Ker x) = dimD( V xV ) = , dimD(xV) < x l chớnh quy kh nghch (theo H qu 1.1.6), I l chớnh quy kh nghch 10 CHNG MT S TNH CHT CA CC PHN T CHNH QUY KH NGHCH TRONG VNH 2.1 Mt s tớnh cht ca cỏc phn t chớnh quy kh nghch vnh 2.1.1 B Nu a l mt phn t ca vnh R, thỡ cỏc iu kin sau õy l tng ng: i) Tn ti u U(R) cho a = aua, ii)Tn ti u U(R) cho au v ua l ly ng, iii)Tn ti u U(R) cho au hoc ua l ly ng, iv) Tn ti p, q U(R) cho paq l ly ng Chng minh i) ii) Nu u U(R) cho a = aua thỡ ú ta cú: (au)2 = auau = au, au l ly ng (ua)2 = uaua = ua, ua l ly ng ii) iii) Hin nhiờn iii) iv) Do R cú n v l nờn vi p = 1, q = u thỡ t au ly ng ta cú paq ly ng iv) i) Gi s p, q U(R) cho paq l ly ng, tc l: (paq)(paq) = paq aqpa = p-1(paq)q-1 aqpa = a t u = qp U(R) ta cú a = aua. 20 2.1.11 nh lý Gi s I l mt iờan ca vnh R Khi ú cỏc iu kin sau l tng ng: i) I l chớnh quy kh nghch, ii) Vi mi a : b theo I, u u U(R) cho a = ubu-1 Chng minh i) ii) Gi s cú a : b theo I, theo B 2.1.10 trờn, x,y I cho a = xby, b = yax, x = xyx v y = yxy Do I l chớnh quy kh nghch nờn ta cú v U(R) cho y = yvy v vy = vyxy y = yxy, vy = vyxy = vyvy, nờn vyxy vyvy = vy(xy vy) = Vỡ v, y kh nghch nờn suy xy = vy T ú ta cú: (1 xy vy)2 = = (1 yx yv)2 Suy u U(R) Mt khỏc: au = a(1 xy vy)v(1 yx yv) = -av(1 yx yv) = -av + ax + av = ax Tng t ta cú xb = ub ng thi, ax = xbyx = xyaxyx = xyax = xb Do vy nờn au = ub ii) i) Cho x bt k thuc I Do I chớnh quy nờn y R cho x = xyx Rừ rng ta cú xy v yx l cỏc ly ng thuc I t e = xy, f = yx Ta s chng minh e : f theo I Ta cú: e = (exf)f(fye), vỡ xy = (xyxyx)yx(yxyxy) = x.yx.yxy = xy, f = (fye)e(exf), vỡ yx = (yxyxy)xy(xyxyx) = yxy.xy.x = yx, exf = (exf)(fye)(exf), fye = (fye)(exf)(fye) e : f theo I, hay xy : yx theo I Suy u U(R) cho xy = xy = uyxu-1 = uu-1 - uyxu-1 uyxu-1 21 xy = u(1 yx)u-1 t a = (1 xy)u(1 yx) v b = (1 yx)u-1(1 xy) Khi ú ta cú: xy = ab, yx = ba Xột ng cu : abR = aR baR ar a bar, r R l ng cu, hay (1 xy)R (1 yx)R Mt khỏc : xR = xyR yxR cho bi (xr) = yxr, r R l ng cu Ta nh ngha u EndR(R) cho u l thu hp ca v Khi ú, ta cú x = xux, I l chớnh quy kh nghch. 22 2.2 Mt s vớ d vnh ma trn Ta kớ hiu Mn(R) l vnh ma trn cp n trờn R 2.2.1 B R l vnh chớnh quy v ch Mn(R) cng l vnh chớnh quy Chng minh iu kin cn Phộp chng minh gm bc Th nht, ta chng minh vi n = 2, th hai l m rng vi n tựy ý Nu r R, ta kớ hiu r' l mt phn t ca R cho rr'r = r a b t A = ữ l mt phn t tựy ý ca M2(R) c d 0 Nu ta t X = ' ữ v kớ hiu A AXA l B, ta s d dng tỡm c b g B= ữ h i vi g, h, i R phự hp g' Nu Y = 0 ữ thỡ C = B BYB = i' 0 ữ vi phn t k R no ú phự hp k 0 k' Nu Z = ữ thỡ ta thy rng C CZC = 0, ngha l C chớnh quy Do ú, 0 theo B 2.1.6 thỡ B l chớnh quy Cng li theo B 2.1.6 thỡ A l chớnh quy Vy B c chng minh vi n = T (M2(R))2 M4(R), ta cú B c chng minh vi n = 4, tng t vi M2k(R), vi mi k nguyờn dng Nu n l mt s nguyờn dng tựy ý, chn k cho 2k n Nu A Mn(R), gi s A1 M2k(R) vi A l phn gúc trỏi phớa trờn, v cỏc v trớ khỏc bng khụng Bõy gi nh l mt phn t ca M2k(R), A1 l chớnh quy Tc l, tn 23 B C k ti phn t X = ữ M2 (R), B Mn(R) cho A1XA1 = A1, nờn ABA = A, D E suy A l chớnh quy iu kin Nu Mn(R) chớnh quy, ta chng minh R cng chớnh quy Ly x bt k thuc R Xột phn t X Mn(R) vi x K 0 K X = M 0 K ữ 0ữ ữ ữ Do Mn(R) chớnh quy nờn A Mn(R) X = XAX Gi s A = (aj)n Mn(R), ú: xa11 x K 0 K XAX = M K ữ 0ữ ữ ữ x = xa11x vi a11 R, R chớnh quy. Vi , , a, b bt k thuc R, t: a [,] = ữ, B12(a) = ữ, B21(b) = ữ b 2.2.2 nh lý Gi s I l iờan chớnh quy kh nghch ca vnh R Khi ú, Mn(I) l mt iờan chớnh quy kh nghch ca Mn(R) Chng minh Gi s I l iờan chớnh quy kh nghch ca vnh R Theo B 2.2.1 trờn thỡ Mn(I) l iờan chớnh quy ca Mn(R) Gi s cú AX + B = In vi A = (aij) Mn(I), B = (bij), X = (xij) Mn(R) cho AXA = A Khi ú, vỡ AXA + BA = A nờn ta cú: A In B X ữ= X In Vỡ AX + B = In , nờn ta cú: XA I n ữ GL2(Mn(R)) A 24 a11R + + a1nR + b11R + + b1nR = R vi a11 I, suy tn ti cỏc phn t ti vi i = 1, , 2n cho: a11t1 + a12t2 + + a1ntn + b11tn+1 + + b1nt2n = Do a11 I l chớnh quy nờn u U(R) cho: a11 = a11ua11 t e = a11u e2 = e v a11 = eu-1 eu-1t1 + a12t2 + + a1ntn +b11tn+1 + +b1nt2n = Ta cú: e + (a12t2 + + a1ntn + b11tn+1 + + b1nt2n)(1 e) = e + (1 - eu-1t1)(1 e) = - eu-1t1(1 e) U(R), vỡ [1 - (1 - eu-1t1)(1 e)] [1 + (1 - eu-1t1)(1 e)] = t y2 = t2(1 e)u-1, M yn = tn(1 e)u-1, z1 = tn+1(1 e)u-1, M zn = t2n(1 e)u-1, thỡ ú ta cú: a11 + a12y2 + + a1nyn + b11z1 + + b1nzn = a11 + a12 t2(1 e)u-1 + + a1n tn(1 e)u-1 + b11tn+1(1 e)u-1 + + b1nt2n(1 e)u-1 = eu-1 + a12 t2(1 e)u-1 + + a1n tn(1 e)u-1 + b11tn+1(1 e)u-1 + + b1nt2n(1 e)u-1 25 = [e + (a12t2 + + a1ntn + b11tn+1 + + b1nt2n)(1 e)].u-1 = [1 - eu-1t1(1 e)]u-1 U(R) Nh vy ta tỡm c y2, , yn, z1, , zn cho: a11 + a12y2 + + a1nyn + b11z1 + + b1nzn = u1 U(R), vy ta cú: a11 a21 M an1 M a12 K a22 K a1n a2 n b11 K b21 K an K K K ann 0 bn1 K x11 K x21 K K xn1 K b1n ữ b2 n ữ y2 ữ M ữ bnn ữ yn x1n ữ z1 ữ x2 n ữ z2 ữ M ữ xnn ữ zn K K O K ữ 0ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ 1ữ u1 a12 K ' a 21 a22 K M * an K = * K K * M * K Nờn: a1n a2 n b11 K b21 K ann 0 bn1 K x11 K x21 K xn1 K b1n ữ b2 n ữ ữ ữ bnn ữ x1n ữ ữ x2 n ữ ữ ữ xnn ữ 26 * A ữ In In u1 M B * ữ ữ= X * In * * M * a '12 K a '22 K a '1n a '2 n b'11 K b'21 K a 'n K K K a 'nn 0 b 'n1 K x11 K x21 K K xn1 K b '1n ữ b'2 n ữ ữ ữ b 'nn ữ x1n ữ ữ x2 n ữ ữ ữ xnn ữ ú, a'22 = a22 - a'21 (u1)-1 a12 I Tng t, ta khng nh c: A [* , *] I n u1 a12 ( n ) u2 M B ữ B21(*)[* , *] = X * * M M * * K a1n ( n ) b11( n ) K K a2 n ( n ) b21( n) K K K un * bn1( n ) K x11 K K * xn1 K b1n ( n ) ữ b2 n ( n ) ữ ữ ữ (n) bnn ữ x1n ữ ữ ữ xnn ữ ú, u1, , un U(R) Vỡ vy: A In B ữ = [* , *] B21(*) B12(*)B21(*) X A B Suy ta cú: I X ữ B21(Y) = [* , *] B21(*) B12(*) vi Y Mn(R) T ú suy n A + BY GLn(R) Theo B 2.1.5 thỡ Mn(I) l chớnh quy kh nghch. 2.2.3 H qu Gi s I l iờan chớnh quy kh nghch ca vnh cú n v R Khi ú, mi ma trn vuụng trờn I l tớch ca mt ma trn ly ng v mt ma trn kh nghch 27 Chng minh Ly A bt k thuc Mn(I), theo nh lý 1.7 tn ti U GLn(R) cho A = AUA, Mn(I) l iờan chớnh quy kh nghch ca Mn(R) t E = AU, thỡ E2 = AUAU = AU = E v A = EU-1. 2.2.4 nh ngha (Kaplansky) Vnh R c gi l vnh Hermit phi nu vi mi s nguyờn dng n v A Mn(R) u tn ti Q Mn(R) khụng suy bin cho AQ l ma trn tam giỏc (trờn) Chỳ ý: Theo [11, tr 465, nh lý 3.5 v nh lý 5.1] ó ch rng R l vnh Hermit phi nu A M2(R) u tn ti ma trn Q khụng suy bin cho AQ l ma trn tam giỏc di 2.2.5 B Mi vnh R chớnh quy kh nghch u l vnh Hermit phi a b Chng minh Ly bt k A = ữ M2(R), a, b, c, d R Ta cn tỡm c d Q M2(R) khụng suy bin AQ l ma trn tam giỏc trờn Theo B 2.1.1, u, v U(R) cho f = cu v e = dv l cỏc ly ng Rừ u rng Q1 = ữ l khụng suy bin, v ta cú: v a b u au bv ữ : = A1 e AQ1 = ữ ữ= c d v f Nu Q2 = f f ữ thỡ Q2 l khụng suy bin, ta cú: au bv ữ e f f A1Q2 = f a1 ữ= (1 e) f b1 ữ : = A2, e ú a1 = au bvf v b1 = au(f 1) + bv Vỡ (1 e)f R, nờn theo B 2.1.1, w U(R) cho f1 = (1 e)f w l w ly ng Do vy, Q3 = ữ l khụng suy bin v: 28 a1 A2Q3 = (1 e) f b1 w a1w b1 ữ : = A3 ữ ữ= f e e Rừ rng ta luụn cú: i) ef1 = e(1 e)fw = e2 = e t g = f1(1 e) ii) eg = e f1(1 e) = e(1 e)f w (1 e) = e2 = e, v ge = f1(1 e)e = iii) (1 f1e)(1 + f1e) = f1ef1e = = (1 + f1e) (1 f1e), vỡ ef1 = f1e T ú, nu Q4 = ữ thỡ Q4 khụng suy bin v: + f1e a1w b1 f1e a2 ữ ữ= e + f1e g A3Q4 = f1 b2 ữ : = A4, e ú a2 = a1w(1 f1e) v b2 = b1(1 + f1e) g ữ thỡ Q5 l khụng suy bin v: Cui cựng nu ta t Q5 = g a2 A4Q5 = g b2 g a3 ữ ữ= e g b3 ữ = AQ l ma trn tam giỏc trờn, e+ g ú a3 = a2(1 g) b2g, b3 = a2 + b2 v Q = Q1Q2Q3Q4Q5 l khụng suy bin. 2.2.6 B Nu vnh R l chớnh quy kh nghch, A M2(R) thỡ tn ti cỏc ma trn khụng suy bin P, Q cho PAQ l ma trn tam giỏc trờn cú cỏc phn t u l ly ng Chng minh Trong chng minh B 2.2.5, ta chỳ ý rng e + g l ly ng, vỡ: (e + g)2 = e2 + eg + ge + g2 = e2 + g2 = e + g2, g2 = (f1(1 e))2 = f1(1 e).f1(1 e) = f1(f1 ef1)(1 e) = f1.f1.(1 e) = f1(1 e) = g, ef1 = v f12 = f1 Nờn (e + g)2 = e + g 29 Do vy, t R l chớnh quy kh nghch, thay vỡ ly A M2(R) bt k, ta ly a b A= ữ, vi e l ly ng v a, b R Theo B 2.1.1, u, v U(R) e u v cho ub v (ua)v l ly ng Khi ú, P = ữ v Q = ữ l cỏc ma 1 trn khụng suy bin v tha món: u a b v (ua )v ub ữ e PAQ = ữ ữ ữ= e l ma trn tam giỏc trờn cú cỏc phn t u l ly ng. 2.2.7 B Nu R l vnh chớnh quy kh nghch, A M2(R) thỡ tn ti cỏc e g ma trn khụng suy bin P, Q cho PAQ = ữ, ú e, g v h l cỏc h ly ng v eg = ge = e f Chng minh T nh lý 2.2.6, ta cú th gi s rng A = ữ, ú k e, f v k l cỏc ly ng f ữ l ma trn khụng suy bin Ta cú: t Q1 = e f f e (1 e) f ữ= ữ : = A1 k AQ1 = ữ k Theo B 2.1.1, w U(R) cho f1 = (1 e)fw l ly ng, ú P1 = ữ l khụng suy bin, ta cú: ữ v Q2 = w w e (1 e) f f1 e ữ ữ= ữ : = A2 k w w kw P1A1Q2 = ữ w 30 + f1e Theo iii) ca nh lý 2.2.5 ta cú P2 = ữ v Q3 = + f1e 0 ữ l f1e cỏc ma trn khụng suy bin v tha món: e f1 + f1e P2A2Q3 = ữ ữ + f1e w kw 0 e g ữ= ữ= f1e h PAQ, ú g = f1(1 e), h = (1 f1e)-1w-1kw(1 f1e), P = P2P1, Q = Q1Q2Q3 Theo ii) ca nh lý 2.2.5 ta cú iu phi chng minh. 2.2.8 nh ngha Cho vnh R v n N, ta núi rng R l vnh s cp chia c (elementary divisor ring) nu A Mn(R) u tn ti cỏc ma trn khụng suy bin P, Q Mn(R) cho PAQ l ma trn chộo 2.2.9 nh lý Mi vnh chớnh quy kh nghch R u l vnh s cp chia c Chng minh Theo nh chỳ ý v kt qu t cỏc B 2.2.5 n B 2.2.7 e g thỡ ta cú th ly bt k ma trn A = ữ M2(R), ú e, g, h l cỏc ly h g ng v eg = ge = Khi ú tn ti Q = g e g g AQ = ữ h g e ữ l khụng suy bin v: g e e + g ữ= g hg ữ h(1 g ) Xột P = ữ l ma trn khụng suy bin v tha món: hg e + g PAQ = ữ hg hg e + g ữ= h(1 g ) 0 ữ h(1 g ) l mt ma trn chộo 2.2.10 nh lý Gi s R l vnh chớnh quy kh nghch, A Mn(R) Khi ú A chộo húa c vi cỏc phn t trờn ng chộo u l ly ng 31 Chng minh Theo kt qu nh lý 2.2.9, tn ti cỏc ma trn khụng suy bin P, Q Mn(R) cho a1 K PAQ = M O K ữ Mữ ữ an Do R l chớnh quy kh nghch nờn i = 1, 2, , n, tn ti ui U(R) cho aiuiai = ai, i = 1, 2, , n t u1 K Q1 = M O K ữ Mữ ữ un Rừ rng Q1 khụng suy bin v (aiui)2 = aiui, i = 1, 2, , n Do ú, a1 K PAQQ1 = M O K ữ u1 K Mữ M O ữ an K ữ a1u1 K Mữ = M O ữ un K ữ M ữ. ữ an un KT LUN Lun ó thu c mt s kt qu chớnh nh sau: Lun ó gii thiu v mt s khỏi nim nh phn t chớnh qui, vnh chớnh qui, iờan chớnh qui, phn t chớnh qui kh nghch, vnh chớnh qui kh nghch v iờan chớnh qui kh nghch Trong phn ny, lun ó a mt s vớ d minh c th cho cỏc khỏi nim ú 2.Lun ó h thng li mt s tớnh cht ca cỏc phn t chớnh qui v chớnh qui kh nghch vnh, cng nh mt s tớnh cht v cỏc iờan chớnh qui kh nghch T ú lun gii thiu mt s tớnh cht quan trng nhm biu din cỏc ma trn vuụng trờn cỏc lp vnh chớnh qui kh nghch v dng ma trn ng chộo vi cỏc phn t trờn ng chộo l cỏc ly ng 32 Phng hng nghiờn cu tip theo ca lun l tip tc tỡm tũi nhng tớnh cht ca cỏc phn t chớnh qui kh nghch vnh v mt s tớnh cht c bit ca cỏc iờan chớnh qui kh nghch 33 TI LIU THAM KHO [1] P Ara, K.R Goodearl, K.C OMeara and E.Pardo, 1997, Diagonalization of matrices over regular rings, Linear Algebra Appl., Vol.265, tr 147-163 [2] B Brown, N.H McCoy, 1950, The maximal regular ideal of a ring, Proc Amer Math Soc., Vol.1, No.2, tr 165-171 [3] H Chen, On exchange QB-rings, Comm Algebra, Vol.31, tr 831-841, 2003 [4] H Chen and M Chen, 2003, On unit-regular ideal, New York J Math., [5] Vol.9, tr 295-302 H Chen and F Li, 2001, Exchange rings having ideal-stable range one, Sci China (Series A), Vol.44, No.5, tr 579-586 [6] G Ehrlich, 1976, Unit and one-sided units in regular rings, Trans Amer Math Soc., Vol.216, tr 81-90 [7] G Ehrlich, 1968, Unit regular rings, Portugal Math., Vol.27, tr 209-212 [8] K.R Goodearl, 1984, Cancellation of low-rank vector bundles, Pacific J Math., Vol.113, No.2, tr 289-302 [9] R Guralnick, C Lanski, 1982, Pseudosimilarity and cancellation of modules, Linear Algebra and Appl., Vol.47, tr 111-115 [10] M Henriksen, 1973, On a class of regular rings that are elementary divisor rings, Arch Math., Vol.24, tr 133-141 [11] I Kaplansky, 1949, Elementary divisors and modules, Trans Amer Math Soc., Vol.66, tr 464-491 34 [12] Tsan-Ming Lok, K P Shum, 2003, On matrix rings over unitregular rings, Contributions to Algebra and Geometry, Vol.44, No.1, tr 179-188 [...]... kết quả chính như sau: 1 Luận văn đã giới thiệu về một số khái niệm như phần tử chính qui, vành chính qui, iđêan chính qui, phần tử chính qui khả nghịch, vành chính qui khả nghịch và iđêan chính qui khả nghịch Trong phần này, luận văn đã đưa ra một số ví dụ minh họa cụ thể cho các khái niệm đó 2.Luận văn đã hệ thống lại một số tính chất của các phần tử chính qui và chính qui khả nghịch trong vành, cũng... như một số tính chất về các iđêan chính qui khả nghịch Từ đó luận văn giới thiệu một số tính chất quan trọng nhằm biểu diễn các ma trận vuông trên các lớp vành chính qui khả nghịch về dạng ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo là các lũy đẳng 32 Phương hướng nghiên cứu tiếp theo của luận văn là tiếp tục tìm tòi những tính chất của các phần tử chính qui khả nghịch trong vành và một số tính...11 2.1.2 Mệnh đề Cho R là vành chính quy khả nghịch, khi đó ∀ a ∈ R ta có biểu diễn a = xe, với x ∈ U(R), e là một lũy đẳng Chứng minh Ta có a ∈ R với R là chính quy khả nghịch nên ∃ y ∈ U(R) sao cho a = aya Đặt e = ya, ⇒ e là một lũy đẳng Ta có y-1e = a, với y-1 là khả nghịch của y Đặt x = y-1 ∈ U(R), ⇒ a = xe.■ 2.1.3 Định lý Vành chính quy R là chính quy khả nghịch nếu và chỉ nếu từ aR + bR... là chính quy khả nghịch. ■ 22 2.2 Một số ví dụ trong vành ma trận Ta kí hiệu Mn(R) là vành ma trận cấp n trên R 2.2.1 Bổ đề R là vành chính quy khi và chỉ khi Mn(R) cũng là vành chính quy Chứng minh Điều kiện cần Phép chứng minh gồm 2 bước Thứ nhất, ta chứng minh với n = 2, thứ hai là mở rộng với n tùy ý Nếu r ∈ R, ta kí hiệu r' là một phần tử của R sao cho rr'r = r a b Đặt A =  ÷ là một phần tử. .. Mn(R), giả sử A1 ∈ M2k(R) với A là phần góc trái phía trên, và các vị trí khác bằng không Bây giờ như là một phần tử của M2k(R), A1 là chính quy Tức là, tồn 23  B C k tại phần tử X =  ÷ ∈ M2 (R), B ∈ Mn(R) sao cho A1XA1 = A1, nên ABA = A, D E   suy ra A là chính quy Điều kiện đủ Nếu Mn(R) chính quy, ta chứng minh R cũng chính quy Lấy x bất kỳ thuộc R Xét phần tử X ∈ Mn(R) với x 0 K  0 0 K X =... = ab + xbc + (1 – xb)c = ab + xbc + c – xbc = ab + c ⇒ wv = 1 (**) Vậy từ (*) và (**) ta có w là nghịch ảnh của v, ⇒ v khả nghịch, ⇒ tồn tại phần tử y = (1 – bx)u-1 để b + yc khả nghịch. ■ 2.1.5 Bổ đề Giả sử I là iđêan chính quy của vành R Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương: i) I là chính quy khả nghịch, ii) Nếu aR + bR = R với a ∈ I, thì ∃ y ∈ R để a + by ∈ U(R), iii) Nếu Ra + Rb = R với a... + BY ∈ GLn(R) Theo Bổ đề 2.1.5 thì Mn(I) là chính quy khả nghịch. ■ 2.2.3 Hệ quả Giả sử I là iđêan chính quy khả nghịch của vành có đơn vị R Khi đó, mọi ma trận vuông trên I là tích của một ma trận lũy đẳng và một ma trận khả nghịch 27 Chứng minh Lấy A bất kỳ thuộc Mn(I), theo Định lý 1.7 tồn tại U ∈ GLn(R) sao cho A = AUA, do Mn(I) là iđêan chính quy khả nghịch của Mn(R) Đặt E = AU, thì E2 = AUAU =... 0  ÷ h(1 − g )  là một ma trận chéo 2.2.10 Định lý Giả sử R là vành chính quy khả nghịch, A ∈ Mn(R) Khi đó A chéo hóa được với các phần tử trên đường chéo đều là lũy đẳng 31 Chứng minh Theo kết quả Định lý 2.2.9, tồn tại các ma trận không suy biến P, Q ∈ Mn(R) sao cho  a1 K  PAQ =  M O  0 K 0 ÷ M÷ ÷ an  Do R là chính quy khả nghịch nên ∀ i = 1, 2, …, n, tồn tại ui ∈ U(R) sao cho aiuiai =... Do Mn(R) chính quy nên ∃ A ∈ Mn(R) để X = XAX Giả sử A = (aịj)n ∈ Mn(R), khi đó:  xa11 x 0 K  0 0 K XAX =  M  0 K  0 ⇒ 0 ÷ 0÷ ÷ ÷ 0 x = xa11x với a11 ∈ R, ⇒ R chính quy. ■ Với α, β, a, b bất kỳ thuộc R, đặt: α 0 1 a 1 0 [α,β] =  ÷, B12(a) =  ÷, B21(b) =  ÷ 0 β 0 1 b 1 2.2.2 Định lý Giả sử I là iđêan chính quy khả nghịch của vành R Khi đó, Mn(I) là một iđêan chính quy khả nghịch. .. và thỏa mãn a + bt khả nghịch Điều kiện đủ Với R là vành chính quy, giả sử từ aR + bR = R, suy ra t ∈ U(R) để a + bt ∈ U(R), ta chứng minh R là chính quy khả nghịch Giả sử a ∈ R ⇒ ∃ x để a = axa ⇒ ax lũy đẳng và aR + ( 1 – ax)R = R ⇒ ∃ t ∈ R và u ∈ U(R) sao cho [a + (1 – ax)t ]u = 1 ⇒ ax[a + (1 – ax)t ]ua = axa ⇔ (axa + ax(1 – ax)t) = a ⇔ (a + 0)ua = a ⇔ aua = a ⇒ R là chính quy khả nghịch. ■ 2.1.4 Bổ ...bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học vinh phạm thị kim cúc phần tử quy khả nghịch vành chuyên ngành: đại số & lý thuyết số mã số: 60 46 05 luận văn thạc sĩ toán học Ngi... hai chng Trong chng 1, chỳng tụi trỡnh by v nhng khỏi nim c s tỡm hiu v cỏc phn t chớnh quy kh nghch vnh õy s trỡnh by cỏc khỏi nim phn t chớnh quy, vnh chớnh quy, khỏi nim phn t chớnh quy kh... kh nghch v vnh chớnh quy kh nghch cng nh khỏi nim iờan chớnh quy v iờan chớnh quy kh nghch vnh 5 Trong chng 2, chỳng tụi trỡnh by nhng tớnh cht c bn ca cỏc phn t chớnh quy kh nghch vnh, ng thi