Hình học vi phân của các mặt chính quy (KL06368)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ———————o0o——————– KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HÌNH HỌC VI PHÂN CỦA CÁC MẶT CHÍNH QUI Chuyên ngành: Hình học Giảng viên hướng dẫn: ThS Trần Văn Nghị Sinh viên: Vũ Thị Thu Hiền Lớp: K36B HÀ NỘI, 5/2014 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sỹ Trần Văn Nghị người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành tốt khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, ngày tháng năm 2014 Sinh viên Vũ Thị Thu Hiền Lời cam đoan Khóa luận hoàn thành sau trình tự tìm hiểu, nghiên cứu thân hướng dẫn Th.S Trần Văn Nghị Trong khóa luận em có tham khảo kết nghiên cứu nhà khoa học nước Em xin cam đoan kết khóa luận không chép từ khoá luận Em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, ngày tháng năm 2014 Sinh viên Vũ Thị Thu Hiền Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các đường cong tham số 1.2 Các đường cong quy độ dài cung 1.3 Tính chất địa phương đường cong tham số theo độ dài cung Mặt quy 2.1 Giới thiệu 2.2 Các mặt quy tạo ảnh giá trị quy 2.3 Đổi tham số hàm khả vi mặt 2.4 Mặt phẳng tiếp xúc mặt cong vi phân ánh xạ 2.5 Dạng thứ diện tích 2.6 Định hướng mặt 2.7 Đặc trưng hoá mặt định hướng compact 2.8 Định nghĩa hình học diện tích 9 25 37 45 55 61 65 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 70 Lời nói đầu Lý chọn đề tài Hình học môn khoa học nghiên cứu tính chất định tính định lượng hình Tùy vào phương pháp nghiên cứu khác mà có ngành hình học khác Hình học Afin, Hình học Xạ ảnh, Hình học Vi phân, Hình học Giải tích, Hình học Đại số, Tôpô Ở phổ thông hình học dạy học theo quan điểm hình học Euclid Các vật thể cấu thành từ mảnh phẳng mảnh cầu Quan hệ so sánh vật thể hình học thực phép dời hình, hai vật thể hình học xem chúng chồng khít lên qua phép dời hình Đại số tuyến tính hình học giải tích xét vật thể hình học cấu thành từ mảnh phẳng mảnh bậc nói chung Các quan hệ so sánh xét phép biến đổi tuyến tính afin Các đường bậc đưa dạng tắc, mặt bậc không gian chiều đưa 17 dạng tắc Trong hình học đại số phương pháp phân loại nghiên cứu đường mặt siêu mặt bậc hay bậc Quan điểm nói phát triển hình học vi phân mà vật thể cấu tạo từ mảnh tham số hóa tọa độ địa phương, nói chung hàm tọa độ địa phương hàm trơn Các phép biến đổi phép vi phôi Hình học Vi phân ngành hình học ứng dựng phép tính vi phân vào giải toán hình học Ở khái niệm mặt quy khái niệm ban đầu để tiếp cận lý thuyết mặt E nhiều bất biến hình học, nhiều tính chất địa phương toàn cục mặt khảo sát Khoá luận đề cập đến lý thuyết mặt qui E số tính chất liên quan Với mong muốn tìm hiểu sâu đối tượng nói định hướng thầy hướng dẫn, định chọn đề tài để trình bày khóa luận tốt nghiệp đại học ngành Sư phạm Toán Mục đích nghiên cứu Mục đích khóa luận hệ thống phân dạng dạng tập cách chi tiết mặt quy Đối tượng phạm vi nghiên cứu a) Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu mặt quy b) Phạm vi nghiêm cứu Phạm vi nghiên cứu lý thuyết tập mặt quy Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu phân loại, hệ thống dạng tập mặt quy Phương pháp nghiên cứu Phân tích tổng hợp kiến thức Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Mặt qui Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các đường cong tham số Kí hiệu R3 tập hợp (x, y, z) số thực Các tập định nghĩa cách tự nhiên thông qua hàm số khả vi Ta nói hàm số biến số thực khả vi (hoặc trơn) có đạo hàm cấp điểm Định nghĩa Một đường cong tham số khả vi ánh xạ khả vi α : I → R3 khoảng mở I=(a,b) đường thẳng thực R vào R3 Từ khả vi định nghĩa hiểu α ánh xạ tương ứng với t ∈ I điểm α(t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3 , hàm số x(t),y(t),z(t) khả vi Biến số t gọi tham số đường cong Từ khoảng lấy trường hợp tổng quát để ta không loại trường hợp a = −∞; b = +∞ Nếu ta biểu thị x (t) đạo hàm bậc x điểm t đạo hàm hàm số y z biểu thị giống vậy, vectơ (x (t), y (t), z (t) = α (t) ∈ R3 gọi vectơ tiếp tuyến (hoặc vectơ vận tốc) đường cong α t Tập ảnh α(I) ⊂ R3 gọi vết α Ta nên phân biệt đường cong tham số, ánh xạ, có vết tập R3 1.2 Các đường cong quy độ dài cung Cho α : I → R3 đường cong tham số khả vi Với t ∈ I , α (t) = 0, có đường thẳng chứa điểm α(t) vectơ α (t) Đường gọi tiếp tuyến với α t Nghiên cứu hình học vi phân đường cong điều quan trọng tồn tiếp tuyến với α điểm Do đó, ta gọi t thỏa mãn α (t) = điểm kì dị α hạn chế nghiên cứu đường cong điểm kì dị Định nghĩa Một đường cong khả vi tham số α : I → R3 gọi quy α (t) = với t ∈ I Từ bây giờ, ta xem xét đường cong tham số khả vi, quy (và để thuận tiện ta bỏ từ khả vi) Cho t ∈ I , độ dài cung đường cong quy α : I → R3 từ điểm t0 , định nghĩa t |α (t)|dt, s(t) = t0 |α (t)| = x (t) + y (t) + z (t) độ dài vectơ α (t) Vì α (t) = 0, nên độ dài cung s hàm số khả vi t 1.3 ds = |α (t)| dt Tính chất địa phương đường cong tham số theo độ dài cung Định nghĩa Cho α : I → R3 đường cong tham số theo độ dài cung s ∈ I Số |α (s)| = k(s) gọi độ cong α s Nếu α đường thẳng, α(s) = u.s + v , với u; v vectơ (|u| = 1), k ≡ Ngược lại, k = α (s) = 0, độ cong đường cong lúc đường thẳng Ta biểu thị t(s) = α (s) vectơ tiếp tuyến đơn vị α s Do đó, t (s) = k(s)n(s) Vectơ đơn vị b(s) = t(s) ∧ n(s) pháp tuyến mặt phẳng mật tiếp gọi vectơ trùng pháp tuyến s Vì b(s) vectơ đơn vị nên độ dài |b (s)| đo tốc độ thay đổi mặt phẳng mật tiếp lân cận s Do đó, b (s) đo cho kéo đường cong khỏi mặt phẳng mật tiếp s, lân cận s Ta có b (s) vuông góc với b(s) b (s) = t (s) ∧ n(s) + t(s) ∧ n (s) = t(s) ∧ n (s) Vậy b (s) vuông góc với t(s) Do đó, b (s) song song với n(s) ta viết b (s) = τ (s)n(s), với số hàm τ (s) (Chú ý nhiều tác giả viết −τ (s) thay cho τ (s)) Định nghĩa Cho α : I → R3 đường cong tham số theo độ dài cung với α (s) = 0, s ∈ I Số τ (s) định nghĩa b (s) = τ (s)n(s) gọi độ xoắn α s Trường mục tiêu Frénet Với giá trị tham số s, ba vectơ đơn vị t(s), n(s), b(s) trực giao Ta có đạo hàm t (s) = kn, b (s) = τ n vectơ t(s), b(s) Khi hình thành trường mục tiêu gọi trường mục tiêu Frénet s Từ n = b ∧ t, ta có n (s) = b (s) ∧ t(s) + b(s) ∧ t (s) = −τ b − kt Ta có hệ phương trình   t = kn;  b = τ n n = −kt − τ b; Hệ phương trình gọi Công thức Frénet (bỏ s để thuận tiện) Chương Mặt quy 2.1 Giới thiệu Phần 2.2 trình bày số khái niệm mặt quy R3 Khác với nghiên cứu đường cong Chương mặt quy định nghĩa tập hợp ánh xạ Mục tiêu phần 2.2 mô tả số tiêu chí hữu ích để đưa tập định R3 mặt quy Phần 2.3 định nghĩa cho hàm mặt quy hàm khả vi phần 2.4, ta thấy khái niệm vi phân R2 mở rộng đến hàm Do mặt quy R3 cho ta thiết lập tự nhiên từ phép tính hai chiều Tất nhiên, đường cong hiểu cho quan điểm đó, tức tập R3 mà cho ta thiết lập tự nhiên từ phép tính chiều Chúng đề cập phần 2.3 Phần 2.5 ta giới thiệu dạng thứ công dụng tự nhiên để xử lý câu hỏi định lượng (độ dài đường cong, diện tích thiết diện ) mặt quy Phần 2.6 ta trình bày ý tưởng định hướng mặt quy 2.2 Các mặt quy tạo ảnh giá trị quy Nói cách khái quát, mặt quy R3 lấy số mặt phẳng, biến dạng chúng dán lại cho hình nhận điểm nhọn, cạnh tính tự cắt để điểm nói đến mặt phẳng tiếp xúc mặt Các mặt giả thiết đủ trơn để mở rộng khái niệm kết giải tích lên chúng Định ∂v ∂u + Xv ; ∂u ∂u ∂u ∂v X v = Xu + Xv ; ∂v ∂v X u = Xu u = u (u, v) v = v (u, v) biểu thức phép đổi toạ độ Vì sở {Xu , Xv } X u , X v định hướng giống Tp (S) Jacobian ∂(u, v) phép đổi toạ độ dương ∂(u, v) Định nghĩa Một mặt qui S gọi định hướng phủ kín họ lân cận toạ độ mà điểm p ∈ S thuộc lân cận họ lân cận phép đổi toạ độ Jacobian dương p Việc chọn họ gọi định hướng S S trường hợp gọi định hướng Nếu việc chọn S gọi không định hướng Ví dụ Mặt phẳng mà đồ thị hàm khả vi (Mệnh đề phần 2.2) mặt định hướng Thật vậy, tất mặt mà phủ kín lân cận toạ độ định hướng Ví dụ Mặt cầu mặt định hướng Việc tính toán trực tiếp dựa vào đối số tổng quát Mặt cầu phủ kín lân cận toạ độ (dùng phép chiếu Bài tập 16 phần 2.2) với tham số (u, v) (u, v) cho giao tuyến W lân cận (mặt cầu trừ điểm) tập liên thông Một điểm cố định p W Jacobian phép đổi toạ độ p âm ta đổi chỗ u v hệ toạ độ ban đầu Jacobian trở thành dương Do Jacobian khác W dương p ∈ W Do Jacobian dương Do tồn họ lân cận toạ độ thoả mãn Định nghĩa mặt cầu định hướng Với đối số xác dùng rõ ràng mặt qui phủ kín lân cận toạ độ mà giao tuyến liên thông mặt định hướng Trước giới thiệu ví dụ mặt không định hướng ta đưa giải thích hình học tính định hướng mặt qui R3 Như ta thấy phần 2.4 cho hệ toạ độ X(u, v) p ta xác định vectơ pháp tuyến đơn vị N p theo qui tắc N= X u ∧ Xv (1) |Xu ∧ Xv | 56 Lấy hệ toạ độ địa phương khác X (u, v) p ta thấy X u ∧ X v = (Xu ∧ Xv ) ∂ (u, v) (2) ; ∂ (u, v) ∂ (u, v) Jacobian phép đổi toạ độ ∂ (u, v) Do N bảo toàn dấu thay đổi dấu phụ thuộc vào dấu ∂ (u, v) ∂ (u, v) dương âm Bằng trường vectơ pháp tuyến đơn vị khả vi tập mở U ⊂ S ta có ánh xạ khả vi N : U → R3 kết hợp với điểm q ∈ U vectơ pháp tuyến đơn vị N (q) ∈ R3 S q Mệnh đề Một mặt qui S ⊂ R3 định hướng tồn trường vectơ pháp tuyến đơn vị khả vi N : S → R3 S Chứng minh Nếu S định hướng phủ kín họ lân cận toạ độ giao tuyến lân cận Phép đổi toạ độ có Jacobian dương P = X (u, v) lân cận ta xác định N (p) = N (u, v) đẳng thức (1) Khi N (p) xác định p thuộc vào lân cận toạ độ với tham số (u, v) (u, v), vectơ pháp tuyến N (u, v) N (u, v) trùng theo biểu thức (2) Ngoài từ đẳng thức (1) toạ độ N (u, v) R3 hàm khả vi (u, v) ánh xạ N : S → R3 khả vi Mặt khác, cho N : S → R3 trường pháp vectơ đơn vị khả vi, khảo sát họ lân cận toạ độ liên thông phủ S Với p = X (u, v) lân cận toạ độ X (U ) , U ⊂ R2 , với N liên tục phép đổi toạ độ u v ta có N (p) = Xu ∧ Xv |Xu ∧ Xv | Thật vậy, tích vô hướng N (p) , Xu ∧ X v |Xu ∧ Xv | = f (p) = ±1 hàm liên tục X(U ) Vì X(U ) liên thông, dấu S không đổi Nếu f = −1 ta hoán đổi u v tham số hoá xác nhận sau Tiến hành theo cách với tất lân cận toạ độ ta có giao tuyến ∂ (u, v) dương ∂ (u, v) X ∧ Xv Xu ∧ Xv Mặt khác ta có u = N (p) = − |Xu ∧ Xv | Xu ∧ Xv số X (u, v) X (u, v), Jancobian 57 dẫn đến mâu thuẫn Do việc cho họ lân cận toạ độ sau đổi chỗ u v thoả mãn điều kiện Định nghĩa S định hướng Nhận xét: Như phần chứng minh ta cần tồn trường vectơ đơn vị liên tục S để S định hướng Như trường vectơ hiển nhiên khả vi Ví dụ Ví dụ mặt không định hướng được: mặt Mobius Mặt có khảo sát đường tròn S cho x2 + y = đoạn mở AB cho mặt phẳng yz với y = ,|z| < Ta dịch chuyển tâm c AB theo chiều dài s−1 quay AB quanh C mặt phẳng cz theo cách mà c qua góc u, u AB qua góc Khi c hoàn thành chu trình quanh đường tròn, AB quay lại vị trí ban đầu với điểm mút bị đảo ngược Từ quan điểm vi phân ta nhận dạng mặt đối diện hình chữ nhật Cho góc xoắn tới hình chữ nhật điểm mặt AB xác định với điểm đối xứng (Hình 2.31) Về mặt hình học, rõ ràng mặt Mobius M qui không định hướng Hình 2.31: Thật vậy, M định hướng tồn trường vectơ pháp tuyến đơn vị khả vi N : M → R3 Đưa vectơ theo đường tròn x2 + y ta thấy sau thực chu trình vectơ N quay lại vị trí góc trái ngược −N Bây ta chứng minh điều Cho hệ toạ độ X : U → M u u u mặt Mobius xác định X (u, v) = − v sin sin u, − v sin cos u, v cos 2 < u < 2π, −1 < v < Lân cận toạ độ tương ứng bỏ qua điểm khoảng mở u = Khi việc đưa gốc u trục x ta nhận tham số hoá khác X (u, v) cho 58 π u¯ + cosu¯; π u¯ + sin u¯; y = − − v¯ sin π u¯ z = v¯cos + π mà lân cận toạ độ trừ u = Hai lân cận toạ độ bao phủ mặt Mobius x = − v¯ sin dùng để mặt qui Lưu ý giao tuyến lân cận toạ độ không liên thông thành phần liên hợp bao gồm π < u < 2π π W2 = X (u, v) : < u < π 3π 3π phép đổi toạ độ cho u = u− , v = +u W1 u = +u, v = −v 2 W1 = X (u, v) : W2 Suy ∂ (u, v) ∂ (u, v) = > W1 = −1 < W2 ∂ (u, v) ∂ (u, v) Để thấy mặt Mobius không định hướng ta giả sử xác định trường vectơ pháp tuyến đơn vị khả vi N : M → R3 Việc hoán đổi u v cần thiết, ta giả sử N (p) = Xu ∧ Xv |Xu ∧ Xv | p lân cận toạ độ X (u, v) Tương tự ta giả sử N (p) = Xu ∧ Xv Xu ∧ Xv tất điểm lân cận toạ độ X (u, v) Ngoài ra, Jacobian phép đổi toạ độ −1 W1 W2 (phụ thuộc vào việc thay đổi loại u → v, u → v ) Nếu p điểm phần giao tuyến N (p) = −N (p) mà có trái ngược Ta thấy mặt đồ thị hàm khả vi định hướng Bây ta thấy mặt nghịch ảnh giá trị qui hàm khả vi định hướng Đây lí tương đối khó để xây dựng ví dụ mặt qui không định hướng R3 Mệnh đề Nếu mặt qui cho S = (x, y, z) ∈ R3 , f (x, y, z) = a f : U ⊂ R3 → R khả vi a giá 59 trị qui f Khi S định hướng Chứng minh Cho điểm (x0 , y0 , z0 ) = p ∈ S Xét đường cong tham số: (x (t) , y (t) , z (t)) , t ∈ I S qua p với t = t0 Vì đường cong nằm S có f (x (t) , y (t) , z (t)) = a với ∀t ∈ I Vi phân vế biểu thức với biến t ta thấy t = t0 có fx (p) dx dt + fy (p) t0 dx dt dx dt + fz (p) t0 = t0 Điều cho thấy vectơ tiếp xúc đường cong t = t0 trực giao với vectơ (fx , fy , fz ) p Vì đường cong điểm ta suy N (x, y, z) = fx fx2 + fy2 + fz2 , fy fx2 + fy2 + fz2 , fz fx2 + fy2 + fz2 trường vectơ pháp tuyến đơn vị khả vi S Cùng với Mệnh đề ta hiểu S định hướng yêu cầu Nhận xét cuối định hướng rõ ràng thuộc tính địa phương mặt qui Với tính chất cục bộ, mặt qui vi phôi tới tập mở mặt phẳng định hướng Tính định hướng thuộc tính tổng thể BÀI TẬP Cho S mặt qui phủ lân cận toạ độ V1 V2 Giả sử V1 ∩ V2 cấu thành W1 ,W2 Jacobian đổi toạ độ W1 dương W2 âm Chứng minh rằng, S không định hướng Cho S mặt định hướng qui ϕ : S1 → S2 ánh xạ khả vi mà có vi phôi địa phương p ∈ S1 Chứng minh rằng, p ∈ S1 định hướng Nêu ý nghĩa khái niệm diện tích mặt Mobius Nếu có, lập tích phân để tính Cho S mặt định hướng cho {Uα } Vβ họ lân cận toạ độ phủ S nghĩa ∪Uα = S = ∪Vβ thoả mãn điều kiện Định nghĩa Ta nói {Uα } Vβ xác định định hướng S hợp họ thoả mãn Định nghĩa Chứng minh rằng, mặt qui đóng định hướng có định hướng phân biệt Cho ϕ : S1 → S2 vi phôi a) Chứng tỏ S1 định hướng S2 định hướng b) Cho S1 S2 định hướng Chứng minh rằng: vi phôi ϕ cảm sinh 60 định hướng S2 Sử dụng ánh xạ đối cực mặt cầu (Bài phần 2.3) chứng tỏ định hướng khác Xác định khái niệm định hướng đường cong qui C ⊂ R3 , chứng tỏ C đóng tồn định hướng phân biệt theo Bài tập Chứng tỏ mặt qui S chứa tập mở vi phôi tới mặt Mobius S không định hướng 2.7 Đặc trưng hoá mặt định hướng compact Đảo đề Mệnh đề phần 2.6 mặt định hướng R3 nghịch ảnh giá trị qui hàm khả vi Và không dễ dàng để chứng minh trường hợp đặc biệt mặt compact (được định chương này) Phần dành toàn để chứng minh đảo đề Cho S ⊂ R3 mặt định hướng Điểm cốt yếu việc chứng minh gồm việc chọn đường vuông góc qua p ∈ S , khoảng mở Ip quanh p với độ dài 2εp (εp biến thiên theo p) Nếu p = q ∈ S Ip ∩ Iq = ∅ Do đó, liên hợp ∪Ip , p ∈ S bao gồm tập mở V R3 ⊃ S có thuộc tính qua điểm V kẻ đường vuông góc với S Khi V gọi lân cận hình ống S (Hình 2.32) Như giả thiết, quan trọng việc tồn lân cận hình ống V Hình 2.32: mặt định hướng S Ta định nghĩa hàm g : V → R sau: cố định định hướng cho S Thấy đoạn Ip Iq , p = q lân cận hình ống V giao Như qua điểm p ∈ V kẻ đường vuông góc với S mà giao với S p Ta chứng minh g hàm khả vi giá trị qui g suy S = g −1 (0) ta muốn chứng minh Bây ta bắt đầu việc chứng minh tồn lân cận hình ống mặt định hướng Đầu tiên ta thấy với điểm p mặt qui tồn lân cận p mà có lân cận hình ống 61 Mệnh đề Cho S mặt qui X : U → S tham số hoá lân cận điểm p = X (u0 , v0 ) ∈ S Khi tồn lân cận W ⊂ X (U ) p S ε > cho đoạn thẳng đường thẳng vuông góc qua q ∈ W với tâm q chiều dài 2ε khác (có nghĩa W có lân cận hình ống) Chứng minh Xét ánh xạ F : U × R → R3 cho bởi: F (u, v, t) = X (u, v) + t.N (u, v) , (u, v) ∈ U, t ∈ R với N (u, v) = (Nx , Ny , Nz ) vectơ pháp tuyến đơn vị X (u, v) = (x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)) Về phương diện hình học, F ánh xạ điểm (u, v, t) mặt trụ U × R thành điểm đường thẳng vuông góc với S khoảng cách t từ X (u, v) Hiển nhiên F khả vi Jacobian t = cho ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∂u ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v Nx Ny Nz = |Xu ∧ Xv | = Theo Định lí Hàm ngược, tồn hình hộp U × R mà u0 − δ < u < u0 + δ, v0 − δ < v < v0 + δ, −ε < t < ε Giới hạn F đơn ánh Điều có nghĩa ảnh W F cho hình chữ nhật u0 − δ < u < u0 + δ, v0 − δ < v < v0 + δ đoạn thẳng đường vuông góc với tâm q ∈ W độ dài nhỏ 2ε không giao Tại điểm phù hợp để xem xét vấn đề sau Thực tế hàm g : V → R định nghĩa rõ ràng, giả thiết tồn lân cận hình ống V khả vi có giá trị qui liệu cục Mệnh đề Giả sử tồn lân cận hình ống V ⊂ R3 mặt định hướng S ⊂ R3 chọn định hướng cho S Khi hàm g : V → R định nghĩa khoảng định hướng từ điểm V tới chân đường vuông góc qua điểm 62 khả vi số giá tri qui Chứng minh Với ánh xạ F : U × R → R3 xác định mệnh đề ta giả sử tham số hoá X thích hợp với định hướng cho Kí hiệu x, y, z toạ độ F (u, v, t) = X (u, v) + tN (u, v) ta có viết: F (u, v, t) = (x (u, v, t) , y (u, v, t) , z (u, v, t)) Vì Jacobian ∂ (x, y, z) = t = nên ta đổi F hình hộp Q ∂ (u, v, t) u0 − δ < u < u0 + δ, v0 − δ < v < v0 + δ, −ε < t < ε ánh xạ khả vi F −1 (x, y, z) = (u (x, y, z) , y (x, y, z) , z (x, y, z)) (x, y, z) ∈ F (Q) = V Nhưng hàm g : V → R phần trình bày Mệnh đề xác t = (x, y, z) Do g khả vi Hơn giá trị qui g ∂t ∂t ∂t = = = với vài điểm t = Do vi phân dF −1 ∂x ∂y ∂z kì dị t = trái với giả thiết Cách khác: Để đến tổng quát nghĩa để chứng minh tồn lân cận hình ống mặt định hướng toàn vẹn ta cần lí luận hình học tôpô Ta giới hạn mặt compact mà ta định nghĩa Cho A tập R3 Chúng ta nói p ∈ R3 (một điểm giới hạn) A lân cận R3 chứa điểm A khác B Tập A gọi đóng chứa toàn điểm giới hạn Tập A bị chặn chứa hình cầu R3 Nếu A đóng bị chặn A gọi tập compact Mặt cầu vành xuyến mặt compact Mặt paraboloid tròn xoay z = x2 + y , (x, y) ∈ R đóng không bị chặn nên mặt compact Hình đĩa x2 + y < mặt phẳng mặt Mobius bị chặn không đóng nên mặt compact Ta cần vài thuộc tính tập compact R3 Khoảng cách điểm p, q ∈ R3 kí hiệu d (p, q) Mệnh đề (Bolazo- Weierstrass) Cho A ⊂ R3 tập compact Khi tập vô hạn A có điểm giới hạn A Mệnh đề (Heine-Borel) Cho A ⊂ R3 tập compact {Uα } họ tập mở A cho ∪α Uα = A Khi chọn số hữu hạn 63 Uk1 , Uk2 , , Ukn Uα cho ∪Uki = A, i = 1, n Mệnh đề Cho A ⊂ R3 tập compact {Uα } họ tập mở A cho ∪α Uα = A Khi ∃δ > : p, q ∈ A ta có d(p, q) < δ Từ p, q ∈ U α Bây giờ, ta chứng minh Mệnh đề 1 Giả sử δ > nghĩa cho , ∃pn , qn : d (pn , qn ) < pn , qn không n n thuộc họ tập mở {Uα } Đặt n = 1, 2, ta có hai tập vô hạn điểm pn , qn Theo Mệnh đề 1 có điểm giới hạn p, q tương ứng Do d (p, q) < ta chọn điểm giới hạn n theo cách để p = q Lại có p ∈ Uα với α bất kì, p ∈ A = ∪α Uα Uα tập mở nên có mặt cầu mở Bε (p) với tâm p cho Bε (p) ⊂ Uα Mặt khác p điểm giới hạn pn qn Bε (p) ⊂ Uα nghĩa pn qn thuộc Uα (mâu thuẫn với giả thiết) Sử dụng Mệnh đề Mệnh đề ta chứng minh tồn lân cận hình ống mặt định hướng compact Định lí Cho S ⊂ R3 mặt định hướng qui compact Khi tồn ε > : p, q ∈ S ta có độ dài đoạn đường vuông góc 2ε với tâm p, q dời (nghĩa S có lân cận hình ống) Chứng minh Từ Mệnh đề với điểm p ∈ S tồn lân cận Wp ε < cho chứa điểm Wp với ε = εp Cho p chạy qua S ta thu họ {Wp } với ∪p∈S Wp = S Từ tính compact Mệnh đề chọn số vô hạn Wp S Ta nói W1 , W2 , , Wk tương ứng với ε1 , ε2 , , εk cho ∪Wi = S, i = 1, k Ta có ε < ε1 , ε2 , , εk , 2δ δ số Lebesgue họ {Wi } (Mệnh đề 3) Thật cho điểm p, q ∈ S Nếu thuộc Wi , i = 1, k đoạn đường vuông góc với tâm p, q độ dài 2ε không cắt ε < εi Nếu p, q ∈ / Wi d (p, q) δ đoạn đường vuông góc tâm p, q độ dài 2ε cắt điểm Q ∈ R3 ta có 2ε d (p, Q) + d (Q, p) d (p, q) δ trái với định nghĩa ε Định lí Cho S ⊂ R3 mặt định hướng qui compact Khi tồn hàm khả vi g : V → R xác định tập mở V ⊂ R3 với V ⊃ S (rõ ràng lân cận hình ống cua S ) mà giá trị qui cho S = g −1 (0) Nhận xét Có thể chứng minh tồn lân cận hình ống 64 mặt định hướng mặt compact mà không hạn chế tính compact Nhận xét Có thể chứng minh mặt qui compact R3 định hướng 2.8 Định nghĩa hình học diện tích Trong phần ta giới thiệu chứng minh hình học cho định nghĩa diện tích cho phần 2.5 Cụ thể ta đưa định nghĩa hình học diện tích chứng minh trường hợp miền bị chặn mặt qui định nghĩa theo công thức cho phần diện tích phần 2.5 Để xác định diện tích miền R ⊂ S ta bắt đầu với phép phân hoạch P R thành phần nhỏ miền Ri nghĩa R = ∪i Ri đường biên miền Ri ∅ giới hạn tất điểm miền (Hình 2.33) Đường kính Ri lân cận khoảng cách R3 điểm Ri , đường kính lớn Ri cho phép phân hoạch P gọi chuẩn µ P Nếu ta đưa phép phân hoạch Ri ta có phân hoạch thứ cấp R Cho phép phân hoạch R = ∪Ri R, chọn tuỳ ý điểm pi ∈ Ri chiếu Hình 2.33: Ri vào mặt phẳng tiếp xúc Ri theo hướng đường thẳng vuông góc pi , phép chiếu kí hiệu Ri có diện tích A Ri Tổng A Ri gần qua quan sát trực giác diện tích i R Nếu chọn phép phân hoạch P1 , , Pn , ngày nhỏ cho chuẩn µn Pn hội tụ 0, tồn giới hạn A Ri giới hạn không i 65 phụ thuộc vào việc lựa chọn Khi ta nói R có diện tích A(R) xác định bởi: A(R) = lim A Ri µn →0 Ta thấy miền bị chặn mặt qui có diện tích Ta thu hẹp miền bị chặn chứa lân cận toạ độ thu biểu thức cho diện tích hệ số hạng thức sở hệ toạ độ tương ứng Mệnh đề Cho R ⊂ S miền bị chặn chứa lân cận toạ độ xác định tham số hoá X : U ⊂ R2 → S Số dương |Xu × Xv |dudv A (R) = Q gọi diện tích R Chứng minh Xét phép phân hoạch R = ∪i Ri R Vì R bị chặn kín, ta giả sử phép phân hoạch đủ nhỏ đường vuông góc Ri không trực giao Thật vậy, đường vuông góc biến thiên liên tục S , với p ∈ R, tồn lân cận p ∈ S mà pháp tuyến không trực giao, lân cận họ tập mở bao phủ R xét phân hoạch R chuẩn mà nhỏ số Lebesgue thoả mãn điều kiện cần Cố định miền Ri phân hoạch chọn pi ∈ Ri = X (Qi ) Ta muốn tính diện tích phép chiếu vuông góc Ri Ri lên mặt phẳng pi xét hệ trục p¯ xy¯z¯ R3 phép tịnh tiến Opi từ Oxyz Do phép quay trục z thành đường pháp tuyến pi , hệ có định hướng theo trục mới, (Hình 2.34) tham số hoá viết X (u, v) = X (u, v) , Y (u, v) , Z (u, v) việc giải thích công thức X (u, v) không phức tạp, có đủ liệu biết vectơ X (u, v) thu từ vectơ X (u, v) phép tịnh tiến giống ánh xạ tuyến tính trực giao ∂ (x, y) = Hơn z gồm pháp vectơ Ri ∂ (u, v) đường pháp tuyến trực giao Ri mẫu thuẫn với giả thiết Ta có Biểu thức A Ri cho bởi: A Ri = dxdy Ri Vì ∂ (x, y) = 0, ta xét phép đổi toạ độ x = x (u, v) , y = y (u, v) biểu thức ∂ (u, v) 66 Hình 2.34: trở thành ∂ (x, y) dudv ∂ (u, v) A Ri = Qi Ta nhận thấy pi vectơ X u X v thuộc mặt phẳng x¯y¯ đó: ∂Z ∂Z = = pi ∂u ∂v ∂ (x, y) ∂X ∂X Như × = pi ∂ (u, v) ∂u ∂v ∂X ∂X ∂ (x, y) − − = εi (u, v) , (u, v) ∈ Qi ∂ (u, v) ∂u ∂v εi (u, v) hàm liên tục Qi với εi X −1 (pi ) = Do chiều dài vectơ bảo toàn phép tịnh tiến ánh xạ tuyến tính trực giao nên ta có: ∂X ∂X ∂X ∂ (x, y) ∂X × × = = − εi (u, v) ∂u ∂v ∂u ∂v ∂ (u, v) Cho Mi mi giá trị nhỏ giá trị nhỏ hàm liên tục εi (u, v) miền compact Qi ∂ (x, y) ∂X ∂X ∧ − ∂ (u, v) ∂u ∂v mi Mi Do dudv mi ∂X ∂X ∧ dudv ∂u ∂v A Ri − Qi Qi dudv Mi Qi Tương tự với tất Ri ta được: A Ri − mi A (Qi ) i i |Xu ∧ Xv |dudv Mi A (Qi ) i Q 67 phép phân hoạch ngày nhỏ nữa, chuẩn µ → Mi → mi Do tồn giới hạn A Ri xác định i ∂X ∂X dudv ∧ ∂u ∂v A (R) = Q mà hiển nhiên độc lập với phép chọn phân hoạch điểm pi phép phân hoạch 68 Kết luận Phần nội dung khóa luận trình bày mặt qui, đổi tham số, hàm khả vi mặt, định hướng mặt, định nghĩa hình học diện tích số ứng dụng Sau trình nghiên cứu, em tìm hiểu thêm nhiều kiến thức mới, củng cố cho thêm nhiều kiến thức hình học Mặc dù có nhiều cố gắng song điều kiện khách quan chủ quan, khóa luận không tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận góp ý thầy cô giáo bạn 69 Tài liệu tham khảo Đoàn Quỳnh, Hình học Vi phân, NXB GD, (2009) Đoàn Quỳnh, Trần Đình Việt, Trương Đức Hinh, Nguyễn Hữu Quang Bài tập hình học Vi phân, NXBGD (1993) Phạm Đình Đô, Hình học Vi phân, NXB ĐHSP, (2010) M.P Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, (1976) 70 [...]... Cho C là một mặt cong chính quy nằm trên cạnh của đường thẳng r của mặt và r giao với p tại q (Hình 2.21) Cần điều kiện gì để C thỏa mãn để đảm bảo rằng phép quay của C quanh r tạo ra sự mở rộng mặt của sự xoay vòng 11 Chứng minh rằng phép quay của một mặt bởi xoay vòng S quanh trục của Hình 2.21: nó là vi phôi của S 12 Các mặt tham số thường hữu ích để mô tả tập mà có các mặt chính quy cho bởi một... ⊂ S1 → S2 của một tập mở V1 của một mặt chính quy S1 đến một mặt chính quy S2 được gọi là khả vi tại p ∈ V nếu các tham số hóa cho bởi X1 : U1 ⊂ R2 → S1 , X2 : U2 ⊂ R2 → S2 với p ∈ X1 (U ) và ϕ(X1 (U1 )) ⊂ X2 (U2 ) Ánh xạ X2−1 ◦ ϕ ◦ X1 : U1 → U2 là khả vi tại q = X1−1 (p) (Hình 2.16) Nói cách khác, ánh xạ ϕ là khả vi khi và chỉ khi các hàm thành phần của biểu diễn địa phương của ϕ trong các lân cận... tục trong S Trong định nghĩa của một mặt chính quy ta không hạn chế trên tính chất liên thông mặt và ví dụ sau đây chỉ ra rằng các mặt chính quy cho bởi Mệnh đề 2 có thể không liên thông 17 Ví dụ 3 Hyperboloid 2 tầng: −x2 − y 2 + x2 = 1 là một mặt chính quy vì S = f −1 (0) với 0 là một giá trị chính quy của hàm f (x, y, z) = −x2 − y 2 + z 2 − 1 (Hình 2.8) Chú ý rằng mặt S không liên thông vì hai điểm... 1: 1 Như vậy có thể xem mặt chính qui được phủ bởi một họ các lân cận toạ độ tức là ảnh của một họ ánh xạ X (tham số hoá) thoả mãn các điều kiện i), ii), iii) 2 Điều kiện i) cho phép ta có thể sử dụng công cụ của giải tích (phép tính vi tích phân) để nghiên cứu các mặt chính qui 3 Điều kiện ii) nhằm ngăn cản tính tự cắt của mặt và do đó có thể nói đến mặt phẳng tiếp xúc của mặt tại mọi điểm 4 Điều... vai trò quan trọng trong vi c nghiên cứu về mặt 28 Hình 2.16: chính quy giống vai trò của khái niệm về phép đẳng cấu tuyến tính giữa các không gian vectơ hoặc khái niệm về đồng vôi thức trong hình học Euclid Nói cách khác theo quan niệm về vi phân, hai mặt chính qui vi phôi với nhau được xem là như nhau Ví dụ 2 Nếu X : U ⊂ R2 → S là một tham số hóa, X −1 : X(U ) → R2 là khả vi Thật vậy, với p bất kì... xác định đường cong nối p đến q để tất cả các đạo hàm của α liên tục tại các điểm tương ứng và α không tự cắt Cho C là dấu vết của α a) C có phải là đường cong chính quy không? b) Cho một đường trực giao với mặt phẳng R2 chạy qua C để nó có đạo hàm một mặt trục S Hỏi S có là mặt chính quy hay không? 2.3 Đổi tham số và hàm khả vi trên mặt Định nghĩa của mặt chính qui cho thấy với mọi p ∈ S đều thuộc... không khả vi tại p = p0 Hình 2.15: Nhận xét 2 Vi c chứng minh Mệnh đề 1 có bản chất là sử dụng tính chất là ánh xạ ngược của một tham số hóa là liên tục Vì nếu ta cần Mệnh đề 1 xác định các hàm khả vi trên các mặt (một khái niệm quan trọng) thì ta không thể đặt điều kiện này vào định nghĩa của một mặt chính quy (Nhận xét 1 phần 2.2) Từ định nghĩa vi phân có thể dễ dàng mở rộng ra ánh xạ giữa hai mặt, một... ( x2 + y 2 − a)2 18 Hình 2.9: Vì vậy, T là ảnh ngược của r2 cho bởi hàm f (x, y, z) = z 2 + ( x2 + y 2 − a)2 Hàm này là khả vi với (x, y) = (0, 0) và vì 2y( ∂f ∂f = 2z, = ∂z ∂y 2x( ∂f = ∂x x2 + y 2 − a) x2 + y 2 x2 + y 2 − a) x2 + y 2 ; ; là một giá trị chính quy của f Từ đó suy ra rằng mặt xuyến T là mặt chính quy Mệnh đề 1 nói rằng đồ thị của một hàm khả vi là một mặt chính quy Mệnh đề sau đây... tục mọi cấp Vi c chứng minh định nghĩa này không phụ thuộc vào các tham số hoá đã chọn Ta cần kể đến bản chất khái niệm về sự liên kết tương đương với khái niệm vi phân là khái niệm của vi phôi Hai mặt chính quy S1 và S2 là vi phôi nếu tồn tại một ánh xạ khả vi ϕ : S1 → S2 và tồn tại ánh xạ ngược ϕ−1 : S2 → S1 cũng khả vi Như vậy ϕ được gọi là một phép vi phôi từ S1 vào S2 Định nghĩa về các vi phôi đóng... TẬP 1 Cho mặt trụ (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 1 là một mặt chính quy Tìm tham số hóa mà các tọa độ lân cận phủ nó 2 Hỏi tập (x, y, z) ∈ R3 , z = 0 và x2 + y 2 ≤ 1 có là mặt chính quy không? 3 Chứng minh rằng nón 2 tầng với đỉnh của nó tại gốc nghĩa là tập (x, y, z) ∈ R3 , z = 0 và x2 + y 2 < 1 là một mặt chính quy 4 Cho f (x, y, z) = z 2 Chứng minh rằng 0 không là một giá trị chính quy của f nhưng ... tài Hình học môn khoa học nghiên cứu tính chất định tính định lượng hình Tùy vào phương pháp nghiên cứu khác mà có ngành hình học khác Hình học Afin, Hình học Xạ ảnh, Hình học Vi phân, Hình học. .. thiết diện ) mặt quy Phần 2.6 ta trình bày ý tưởng định hướng mặt quy 2.2 Các mặt quy tạo ảnh giá trị quy Nói cách khái quát, mặt quy R3 lấy số mặt phẳng, biến dạng chúng dán lại cho hình nhận điểm... độ dài cung Mặt quy 2.1 Giới thiệu 2.2 Các mặt quy tạo ảnh giá trị quy 2.3 Đổi tham số hàm khả vi mặt 2.4 Mặt phẳng tiếp xúc mặt cong vi phân ánh xạ 2.5