Hình học vi phân của các mặt chính quy (KL06368)

Quan điểm nói trên đượcphát triển trong hình học vi phân mà các vật thể được cấu tạo từ các mảnhtham số hóa bằng các tọa độ địa phương, nói chung các hàm tọa độ địa phương là các hàm trơ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

———————o0o——————–

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

HÌNH HỌC VI PHÂN CỦA CÁC MẶT CHÍNH QUI

Chuyên ngành: Hình học

Giảng viên hướng dẫn: ThS Trần Văn Nghị

Sinh viên: Vũ Thị Thu HiềnLớp: K36B

HÀ NỘI, 5/2014

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới Thạc sỹ Trần Văn Nghị người đã tận tình hướng dẫn để em cóthể hoàn thành tốt khóa luận này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáotrong khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tìnhtrong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn

bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập

và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Hà Nội, ngày tháng năm 2014

Sinh viên

Vũ Thị Thu Hiền

Lời cam đoan

Khóa luận được hoàn thành sau quá trình tự tìm hiểu, nghiên cứu của bảnthân và sự hướng dẫn của Th.S Trần Văn Nghị

Trong khóa luận em có tham khảo các kết quả nghiên cứu của các nhà khoahọc trong và ngoài nước Em xin cam đoan kết quả của khóa luận này là khôngsao chép từ bất kì khoá luận nào Em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời camđoan của mình

Hà Nội, ngày tháng năm 2014

Sinh viên

Vũ Thị Thu Hiền

Mục lục

1.1 Các đường cong tham số 6

1.2 Các đường cong chính quy và độ dài cung 6

1.3 Tính chất địa phương của các đường cong tham số theo độ dài cung 7 2 Mặt chính quy 9 2.1 Giới thiệu 9

2.2 Các mặt chính quy và tạo ảnh của các giá trị chính quy 9

2.3 Đổi tham số và hàm khả vi trên mặt 25

2.4 Mặt phẳng tiếp xúc của mặt cong và vi phân của ánh xạ 37

2.5 Dạng cơ bản thứ nhất và diện tích 45

2.6 Định hướng của các mặt 55

2.7 Đặc trưng hoá của các mặt định hướng compact 61

2.8 Định nghĩa hình học của diện tích 65

Lời nói đầu

1 Lý do chọn đề tài

Hình học là môn khoa học đi nghiên cứu về tính chất định tính và địnhlượng của các hình Tùy vào các phương pháp nghiên cứu khác nhau mà cónhững ngành hình học khác nhau như Hình học Afin, Hình học Xạ ảnh, Hìnhhọc Vi phân, Hình học Giải tích, Hình học Đại số, Tôpô

Ở phổ thông hình học được dạy và học theo quan điểm hình học Euclid Cácvật thể được cấu thành từ các mảnh phẳng và mảnh cầu Quan hệ so sánh giữacác vật thể hình học được thực hiện bởi các phép dời hình, hai vật thể hình họcđược xem là bằng nhau nếu chúng có thể được chồng khít lên nhau qua nhữngphép dời hình

Đại số tuyến tính và hình học giải tích xét các vật thể hình học được cấuthành từ các mảnh phẳng và các mảnh bậc 2 nói chung Các quan hệ so sánhđược xét như các phép biến đổi tuyến tính hoặc afin Các đường bậc 2được đưa

về 9 dạng chính tắc, các mặt bậc 2 trong không gian 3 chiều được đưa về 17dạng chính tắc

Trong hình học đại số bằng phương pháp phân loại có thể nghiên cứu cácđường và mặt hoặc siêu mặt bậc 3 hay bậc bất kì Quan điểm nói trên đượcphát triển trong hình học vi phân mà các vật thể được cấu tạo từ các mảnhtham số hóa bằng các tọa độ địa phương, nói chung các hàm tọa độ địa phương

là các hàm trơn bất kì Các phép biến đổi là các phép vi phôi Hình học Viphân là ngành hình học ứng dựng phép tính vi phân vào giải quyết các bài toánhình học Ở đó các khái niệm về mặt chính quy là những khái niệm ban đầu đểtiếp cận lý thuyết mặt trong E3 và nhiều bất biến hình học, nhiều tính chất địaphương và toàn cục của mặt sẽ được khảo sát

Khoá luận này đề cập đến lý thuyết về các mặt chính qui trong E3 và một sốtính chất liên quan

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các đối tượng nói trên và được sự địnhhướng của thầy hướng dẫn, tôi đã quyết định chọn đề tài này để trình bày trongkhóa luận tốt nghiệp đại học ngành Sư phạm Toán

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của khóa luận này là hệ thống và phân dạng các dạng bài tậpmột cách chi tiết nhất về mặt chính quy

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

a) Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là mặt chính quy

b) Phạm vi nghiêm cứu

Phạm vi nghiên cứu là lý thuyết và bài tập về mặt chính quy

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhiệm vụ nghiên cứu là phân loại, hệ thống các dạng bài tập về mặt chính quy

5 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích và tổng hợp kiến thức

6 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Mặt chính qui

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Kí hiệu R3 là tập hợp các bộ (x, y, z) các số thực Các tập con được địnhnghĩa một cách tự nhiên thông qua các hàm số khả vi Ta nói rằng một hàm

số của một biến số thực là khả vi (hoặc trơn) nếu có đạo hàm mọi cấp tại mọiđiểm

Định nghĩa Một đường cong tham số khả vi là một ánh xạ khả vi α : I →R3trên một khoảng mở I=(a,b) của đường thẳng thực R vào R3

Từ khả vi trong định nghĩa này được hiểu rằng αlà ánh xạ tương ứng với mỗi

t ∈ I là một điểm α(t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3, trong đó các hàm số x(t),y(t),z(t)

là khả vi Biến số t được gọi là tham số của đường cong Từ khoảng được lấytrong trường hợp tổng quát để ta không loại đi trường hợp a = −∞; b = +∞.Nếu ta biểu thị x0(t) là đạo hàm bậc nhất của x tại điểm t và đạo hàm củacác hàm số y và z cũng được biểu thị giống như vậy, thì vectơ (x0(t), y0(t), z0(t) =

α0(t) ∈ R3 được gọi là vectơ tiếp tuyến (hoặc vectơ vận tốc) của đường cong αtại t Tập ảnh α(I) ⊂ R3 được gọi là vết của α Ta nên phân biệt một đườngcong tham số, nó là một ánh xạ, nó có vết và là một tập con của R3

Cho α : I → R3 là một đường cong tham số khả vi Với mỗi t ∈ I, nếu

α0(t) 6= 0, thì có một đường thẳng chứa điểmα(t) và vectơ α0(t) Đường này đượcgọi là tiếp tuyến với α tại t Nghiên cứu hình học vi phân của một đường congđiều quan trọng là sự tồn tại tiếp tuyến với α tại mọi điểm Do đó, ta gọi t bất

kì thỏa mãn α0(t) = 0 là một điểm kì dị của α và hạn chế nghiên cứu các đườngcong không có điểm kì dị

Định nghĩa Một đường cong khả vi tham số α : I →R3 được gọi là chính quynếu α0(t) 6= 0 với mọi t ∈ I.

Từ bây giờ, ta chỉ xem xét các đường cong tham số khả vi, chính quy (và đểthuận tiện ta bỏ đi từ khả vi)

Cho t ∈ I, độ dài cung của một đường cong chính quy α : I →R3 từ điểm t 0,được định nghĩa bởi

Định nghĩa 1 Cho α : I → R3 là một đường cong tham số theo độ dài cung

s ∈ I Số |α00(s)| = k(s) được gọi là độ cong của α tại s

Nếu α là một đường thẳng, α(s) = u.s + v, với u; v là các vectơ hằng (|u| = 1),thì k ≡ 0 Ngược lại, nếu k = α00(s) = 0, thì độ cong của nó bằng 0 và đườngcong lúc này là một đường thẳng

Ta đi biểu thị t(s) = α0(s) là vectơ tiếp tuyến đơn vị của α tại s Do đó,

t0(s) = k(s)n(s)

Vectơ đơn vị b(s) = t(s) ∧ n(s) là pháp tuyến của mặt phẳng mật tiếp và nóđược gọi là vectơ trùng pháp tuyến tại s Vì b(s) là một vectơ đơn vị nên độ dài

|b0(s)| đo tốc độ thay đổi của mặt phẳng mật tiếp trong lân cận của s Do đó,

b0(s) được đo sao cho kéo đường cong ra khỏi mặt phẳng mật tiếp tại s, trongmột lân cận của s

Ta có b0(s) vuông góc với b(s) và

b0(s) = t0(s) ∧ n(s) + t(s) ∧ n0(s) = t(s) ∧ n0(s).

Vậy b0(s) vuông góc với t(s) Do đó, b0(s) song song với n(s) và ta có thể viết

b0(s) = τ (s)n(s),

với một số hàm τ (s) (Chú ý rất nhiều tác giả viết −τ (s) thay cho τ (s)).

Định nghĩa 2 Cho α : I → R3 là một đường cong tham số theo độ dài cungvới α00(s) 6= 0, s ∈ I Số τ (s) được định nghĩa bởi b0(s) = τ (s)n(s) được gọi là độxoắn của α tại s

Trường mục tiêu Frénet

Với mỗi giá trị của tham số s, ba vectơ đơn vị t(s), n(s), b(s) trực giao Ta cócác đạo hàmt0(s) = kn, b0(s) = τ ncủa các vectơ t(s), b(s) Khi đó hình thành mộttrường mục tiêu được gọi là trường mục tiêu Frénet tại s

tả một số tiêu chí hữu ích để đưa ra một tập con nhất định của R3 là một mặtchính quy.

Phần 2.3 chỉ ra rằng có thể định nghĩa được cho một hàm trên mặt chínhquy là hàm khả vi và trong phần 2.4, ta sẽ thấy rằng khái niệm vi phân trong

R2 có thể được mở rộng đến các hàm như vậy Do đó mặt chính quy trong R3cho ta một sự thiết lập tự nhiên từ các phép tính hai chiều

Tất nhiên, các đường cong có thể được hiểu cho cùng quan điểm đó, tức lànhư các tập con của R3 mà cho ta một sự thiết lập tự nhiên từ các phép tínhmột chiều Chúng sẽ được đề cập ngay trong phần 2.3

Phần 2.5 ta sẽ giới thiệu dạng cơ bản thứ nhất như một công dụng tự nhiên

để xử lý các câu hỏi định lượng (độ dài của đường cong, diện tích của thiếtdiện ) trên một mặt chính quy

Phần 2.6 ta sẽ trình bày ý tưởng của sự định hướng trên mặt chính quy

Nói một cách khái quát, một mặt chính quy trong R3 là lấy một số mặtphẳng, biến dạng chúng và dán lại sao cho hình nhận được không có các điểmnhọn, không có các cạnh hoặc không có tính tự cắt để tại mỗi điểm có thể nóiđến mặt phẳng tiếp xúc của mặt Các mặt cũng sẽ được giả thiết đủ trơn để cóthể mở rộng các khái niệm cũng như các kết quả của giải tích lên chúng Định

nghĩa sau đây thỏa mãn các yêu cầu trên.

Định nghĩa 1 Một tập con S ⊂R3 là một mặt chính quy nếu với mọip ∈ Xtồn tại một lân cận V ⊂R3 và ánh xạ X : U → V ∩ S từ một tập mở U ⊂R2 đến

V ∩ S ⊂R3 sao cho:

i)X là ánh xạ khả vi Điều đó có nghĩa là

X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ U ;với các hàm x(u, v), y(u, v), z(u, v) có đạo hàm riêng liên tục mọi cấp trong U ii)X là một đồng phôi Vì X là liên tục theo điều kiện i) nên điều này cónghĩa là X có ánh xạ ngược X−1 : V ∩ S → U liên tục Nói cách khác, X−1 làhạn chế của một ánh xạ liên tục F : W ⊂R3→R3 xác định trên một tập mở Wchứa V ∩ S

iii) (Điều kiện chính quy) Với mỗi q ∈ U, vi phân dXq :R2 →R2 là đơn ánh.Định nghĩa 1 được minh hoạ bởi Hình 2.1 dưới đây

Hình 2.1:

Ánh xạ X được gọi là một tham số hóa hay một hệ tọa độ (địa phương) trong(một lân cận) của p Lân cận V ∩ S của p trong S được gọi là một lân cận tọađộ

Có thể phân tích rõ hơn về điều kiện iii) bằng cách xét ma trận của ánh xạtuyến tính dX q trong cơ sở chính tắc { e 1 = (1, 0); e 2 = (0, 1)} của R2 với tọa độ(u, v) và f1 = (1, 0, 0); f2= (0, 1, 0); f3 = (0, 0, 1) của R3 với tọa độ (x, y, z).

Cho q = (u0, v0).Vectơ e1 là vectơ tiếp xúc của đường tham số u → (u, v0) màảnh của nó qua X là đường cong u 7→ (x(u, v0), y(u, v0), z(u, v0)).

Ảnh của đường cong mà (gọi là đường cong tọa độ v = v0) trên S và X(q) là

Điều kiệniii)của Định nghĩa 1 có thể được biểu diễn bằng cách lấy 2 vectơ cộtcủa ma trận này độc lập tuyến tính hoặc tương đương là tích vectơ ∂x

∂u ∧∂x

∂v 6= 0

hoặc còn một cách khác là một trong các định thức con của ma trận cấp 2 củadX q

∂(x, y)

∂(u, v) =

,∂(y, z)

∂(u, v),

∂(x, z)

∂(u, v)không đồng thời bằng 0 tại q.

Nhận xét 1:

1 Như vậy có thể xem mặt chính qui được phủ bởi một họ các lân cận toạ

độ tức là ảnh của một họ ánh xạ X (tham số hoá) thoả mãn các điều kiệni), ii), iii)

2 Điều kiện i) cho phép ta có thể sử dụng công cụ của giải tích (phép tính vitích phân) để nghiên cứu các mặt chính qui

3 Điều kiện ii) nhằm ngăn cản tính tự cắt của mặt và do đó có thể nói đếnmặt phẳng tiếp xúc của mặt tại mọi điểm

4 Điều kiện iii) đảm bảo mọi điểm đều có mặt phẳng tiếp xúc (Hình 2.3b)

với R2 = (x, y, z) ∈R3 : z = 0 và U = (x, y) ∈R2 : x2+ y2 < 1 là một tham

số hóa của S2. Nhận thấy rằng X1(U ) là nửa mặt cầu trên của S2 trong mặtphẳng xy

Do x2+ y2< 1 nên hàm p1 − (x 2 + y 2 )có các đạo hàm riêng liên tục mọi cấp

Do đó, điều kiện i) được thỏa mãn

Điều kiện iii) dễ dàng thỏa mãn vì

∂(x, y)

∂(x, y) ≡ 1.

Để kiểm tra điều kiệnii), ta nhận thấy rằng X1 là đơn ánh và X1−1 là hạn chếcủa phép chiếu π(x, y, z) = xy trên tập X1(U ) Do đó X1−1 là liên tục trên X1(U ).Bây giờ ta sẽ phủ hình cầu với các tham số hóa tương tự Ta đặt X2 : U ⊂

V = {(0, ϕ) : 0 < ϕ < 2π, 0 < θ < π} và lấy X : V → R3 xác đinh bởi X(θ, ϕ) = (sinθcosϕ, sinθsinϕ, cosθ).

Dễ thấy X(U ) ⊂ S2 Ta chứng minh rằng X là một tham số hóa của S2 Khi

Hình 2.5:

đó θ được gọi là vĩ độ và ϕ được gọi là kinh độ (Hình 2.5)

Rõ ràng là các hàm sinθcosϕ, sinθsinϕ và cosθ có các đạo hàm riêng liên tụcđến mọi cấp Do đó X là khả vi

Hơn nữa để định thức Jacobian:

Tiếp theo chúng ta thấy rằng mỗi (x, y, z) ∈ S2\C, ở đó C là nửa đường tròn

C =(x, y, z) ∈ S2, y = 0, x ≥ 0 , θ là duy nhất bởiθ = cos−1z, vì 0 < θ < π Biết

θ xác định được sinϕ và cosϕ Từ x = sinθcosϕ, y = sinθsinϕ ta xác định đượcduy nhất ϕ(0 < ϕ < 2π) Vậy X có ánh xạ ngược X−1 Để kiểm tra đầy đủ điềukiện ii), ta phải kiểm tra X−1 là liên tục Tuy nhiên, vì ta sẽ sớm chứng minhMệnh đề 4 nên điều thử lại không cần thiết để ta biết rằng tập S là một mặtchính quy, không cần điều đó ở đây Ta chú ý rằng X(V ) chỉ bỏ đi một nửađường tròn S2 (bao gồm 2 cực) và cũng có thể phủ S2 bởi lân cận tọa độ của 2tham số hóa kiểu như trên

Trong Bài tập 16 ta sẽ chỉ ra làm thế nào để phủ S2 với tập các lân cận toạđộ

Ví dụ vừa rồi cho thấy việc kiểm tra một tập nào đó của R3 là một mặt chính

quy bằng định nghĩa là một công việc dễ nhàm chán Trước khi đi vào các ví

dụ, ta sẽ trình bày 2 mệnh đề để đơn giản hóa việc này Mệnh đề 1 cho thấymối quan hệ giữa định nghĩa của một mặt chính quy và đồ thị của một hàm

z = f (x, y) Mệnh đề 2 dùng Định lý Hàm ngược và định nghĩa liên quan củamột mặt chính quy với các tập con f (x, y, z) = const.

Mệnh đề 1 Nếu f : U →R là một hàm khả vi trong một tập mở U ⊂R2 thì đồthị của f, tức là tập con của R3 cho bởi (x, y, f (x, y)) với (x, y ∈ U ), là một mặtchính quy

Chứng minh Dễ thấy rằng ánh xạ X : U →R3 cho bởi X(u, v) = (u, v, f (u, v)) làmột tham số hóa của đồ thị có lân cận toạ độ bao gồm tất cả các điểm của đồthị Điều kiệni) được chứng minh và điều kiện iii) cũng không quá khó khăn vì

Nếu f : U ⊂R → R là một hàm lấy giá trị thực của một biến thực thì mộtđiểmx0 ∈ U là tới hạn nếu f0(x0) = 0, nghĩa là vi phândfx0 là vectơ không (Hình2.6) Chú ý rằng bất kì điểm a 6∈ f (U ) là một giá trị chính quy tầm thường của

Chứng minh Lấy p = (x0, y0, z0) là một điểm của f−1(a).

Vì a là một giá trị chính quy của f, không giảm tính tổng quát (có thể đổitên trục nếu cần thiết) giả sử fz 6= 0 tại p Ta xác định một ánh xạ

F−1: W → V là khả vi (Hình 2.7) Điều này kéo theo rằng các hàm tọa độ của

F−1 các hàm x = u, y = v, z = g(u, v, t), (u, v, t) ∈ W là khả vi Trường hợp đặcbiệt z = g(u, v, a) = h(x, y) là một hàm khả vi xác định trên hình chiếu của V

Hình 2.7:

trên mặt phẳng xy

Vì F (f−1(a) ∩ V ) = W ∩ {(u, v, t), t = a} ta kết luận rằng đồ thị của h là

f−1(a) ∩ V

Theo Mệnh đề 1,f−1(a)∩V là một lân cận toạ độ chứap Do đó, mỗip ∈ f−1(a)

có thể phủ bởi một lân cận toạ độ và f−1(a) là một mặt chính quy

Nhận xét 2 Việc chứng minh cơ bản sử dụng Định lý Hàm ngược "để tìmnghiệm z" trong phương trình fz(p) 6= 0. Thực chất đây là một trường hợp đặcbiệt của Định lý tổng quát Hàm ẩn

a 2 , fy = 2yb2, fz = 2zc2đồng thời triệt tiêu chỉ tại điểm(0, 0, 0) mà điểm này không thuộc f−1(0) Ví dụnày chỉ ra mặt cầu là một trường hợp riêng (a = b = c = 1)

Các ví dụ của mặt chính quy đã giới thiệu là tập liên thông của R3 Một mặt

S ⊂R3 được gọi là liên thông nếu bất kì hai điểm nào của S đều có thể nối bởimột đường cong liên tục trong S Trong định nghĩa của một mặt chính quy takhông hạn chế trên tính chất liên thông mặt và ví dụ sau đây chỉ ra rằng cácmặt chính quy cho bởi Mệnh đề 2 có thể không liên thông

Ví dụ 3 Hyperboloid 2 tầng: −x 2 − y 2 + x2 = 1 là một mặt chính quy vì

S = f−1(0) với 0 là một giá trị chính quy của hàm f (x, y, z) = −x2− y 2 + z2− 1(Hình 2.8) Chú ý rằng mặtS không liên thông vì hai điểm nằm ở hai tầng khácnhau (z > 0 và z < 0 ) không thể nối với nhau bằng một đường cong liên tục.α(t) = (x(t), y(t), z(t)) trong mặt, mặt khác, z đổi dấu và đối với một số t 0 ta

có z(t 0 ) = 0 mà có nghĩa là α(t 0 ) 6∈ S.

Hình 2.8:

Ta có tính chất sau đây của một mặt liên thông: "Nếu f : S ⊂R3→R là hàmliên tục xác định trên một mặt liên thông S Nếu f (p) 6= 0, ∀p ∈ S thì f khôngđổi dấu trên S"

Thật vậy, giả sử ta có f (p) > 0 và f (q) > 0 với p, q ∈ S Do S là liên thông,tồn tại đường cong liên tục α : [a, b] → S với α(a) = p, α(b) = q.

Xét f ◦ α : [a, b] → R Theo Định lý Giá trị trung bình tồn tại c ∈ [a, b] với f ◦ α(c) = 0 Điều này chứng tỏ f = 0 tại điểm α(c)

Ví dụ 4 Mặt xuyến (torus) T là một mặt sinh ra bằng cách quay một đườngtròn có bán kính r quanh một đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa đường tròn

và cách tâm đường tròn một khoảng a > r (Hình 2.9)

Lấy S1 là đường tròn trong mặt phẳng yz với tâm đường tròn là điểm(0, a, 0) Khi đó S1 được cho bởi (y − a)2+ z2 = r2 và các điểm của hình T cóđược bằng cách quay đường tròn này quanh trục z thỏa mãn phương trình:

z2= r2− (px 2 + y 2 − a)2

Hình 2.9:

Vì vậy, T là ảnh ngược của r2 cho bởi hàm

f (x, y, z) = z2+ (px 2 + y 2 − a)2.Hàm này là khả vi với (x, y) 6= (0, 0) và vì

x 2 + y 2 ;

∂f

∂x =

2x(px 2 + y 2 − a)p

x 2 + y 2 ;

là một giá trị chính quy của f Từ đó suy ra rằng mặt xuyến T là mặt chínhquy

Mệnh đề 1 nói rằng đồ thị của một hàm khả vi là một mặt chính quy Mệnh

đề sau đây cho ta một khẳng định ngược lại, nghĩa là, bất kì mặt chính quy cóđịa phương hoá là đồ thị của một hàm khả vi

Mệnh đề 3 Cho S ⊂R3 là một mặt chính quy vàp ∈ S Khi đó tồn tại mộtlân cận V của p trong S sao cho V là đồ thị của một hàm khả vi có một trong

ba dạng sau: z = f (x, y), y = g(x, z), x = h(y, z)

Chứng minh Cho X : U → S là một tham số hóa của S tại p và viết X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ U Theo điều kiệniii)của Định nghĩa 1, một trongcác định thức sau phải khác không tại X−1(p) = −q

vi phôi từV 1 lên V 2 (Hình 2.10) Từ đây suy ra rằng hạn chế củaπlên V = X(V 1 )

là đơn ánh và tồn tại hàm ngược (π ◦ X)−1: V2 → V1 Nhận thấy rằng khi X làđồng cấu, V là một lân cận của p trong S Bây giờ, nếu ta xét hợp của ánh xạ(π ◦ X)−1(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) với hàm (u, v) → x(u, v) ta nhận thấy V là đồthị hàm khả vi z = z(u(x, y), v(x, y)) = f (x, y)

Các trường hợp còn lại có thể chứng minh tương tự, với x = h(x, y) và y = g(x, y)

Mệnh đề tiếp theo nói rằng nếu ta đã biết S là một mặt chính quy và ta có

W ⊂ S của p nghĩa là W là đồ thị của một hàm khả vi trên tập mở V của mặtphẳng xy

Lấy N = X−1(W ) ⊂ U và tập h = π ◦ X : N → V với π(x, y, z) = (x, y). Khi đó

dh = π ◦ dX là không suy biến tại X−1(q) = r Theo Định lý Hàm ngược tồn tạilân cận Ω ⊂ N sao cho h : Ω → h(Ω) là vi phôi Chú ý rằng X(Ω) là một tập mởtrong S và X−1 = h−1◦ π là hợp của ánh xạ liên tục Do đó X−1 là liên tục tại

q Vì q là tùy tùy ý,X−1 là liên tục trong X(U ).

Ví dụ 5 Nón một tầng C cho bởi z = px 2 + y 2 , (x, y) ∈R2 không phải là mặtchính quy Dễ thấy ánh xạ(x, y) → (x, y,px 2 + y 2 ) là không khả vi tại (0,0) Tachưa thể khẳng định rằng C không phải là mặt chính qui vì đây mới là một ánh

xạ từ R2 vàoC Trên C có thể có các tham số hóa khác Ta sẽ chứng tỏC khôngchính qui tại đỉnh của nó Nếu C là mặt chính qui thì có một lân cận của điểm(0, 0, 0) ∈ C là đồ thị của một hàm khả vi có một trong ba dạng sau

y = h(x, z), x = g(y, z), z = f (x, y).

Hai dạng sau cùng không thoả mãn vì phép chiếu của C lên các mặt phẳng

xz, yz không là đơn ánh Xét hàm có dạng thứ nhất z =px 2 + y 2 Dễ thấy hàmnày không khả vi tại (0,0) nên cũng không phù hợp Do đóC không phải là mặtchính qui Nếu bỏ đi điểm đỉnh(0, 0, 0) thì tập còn lại C\ {(0, 0, 0)} là mặt chínhqui

Ví dụ 6 Một tham số hóa của mặt xuyến T được cho bởi

X(u, v) = ((rcosu + a)cosv; (rcosu + a)sinv; rsinu);

BÀI TẬP

1 Cho mặt trụ (x, y, z) ∈ R3: x2+ y2= 1 là một mặt chính quy Tìm tham sốhóa mà các tọa độ lân cận phủ nó

2 Hỏi tập (x, y, z) ∈ R3, z = 0 và x2+ y2 ≤ 1 có là mặt chính quy không?

3 Chứng minh rằng nón 2 tầng với đỉnh của nó tại gốc nghĩa là tập



(x, y, z) ∈ R3, z = 0 và x2+ y2 < 1 là một mặt chính quy

4 Cho f (x, y, z) = z2 Chứng minh rằng 0 không là một giá trị chính quy của fnhưng mà f−1(0) là mặt chính quy

5 Cho p = (x, y, z) ∈ R3, x = y và X : U ⊂ R2 → R3 cho bởi X(u, v) = (v +

u, u + v, uv) trong đó u = (u, v) ∈R3 : u > v Hiển nhiên X(U ) ⊂ P Hỏi X có

là một tham số hóa của P không?

6 Bằng cách áp dụng Mệnh đề 2: h(x, y, z) = f (x, y) − z Hãy chứng minh Mệnh

đề 1 theo cách khác

7 Cho f (x, y, z) = (x + y + z − 1)2

a) Tìm điểm tới hạn và giá trị tới hạn của f

b) Với giá trị nào của C thì tập f (x, y, z) = c là một mặt chính quy?

c) Trả lời các câu hỏi của phần a và b với hàm f (x, y, z) = xyz2

8 Cho X(u, v) giống như trong Định nghĩa 1 Kiểm tra rằng dXq : R2 →R3 làđơn ánh khi và chỉ khi ∂x

a) X(u, v) = (u + v, u − v, 4uv), (u, v) ∈R2

b) X(u, v) = (ucoshv, usinhv, u2), (u, v) ∈R2, u 6= 0

Phần nào của S được phủ bởi các tham số hoá này?

12 Chứng minh rằng X : U ⊂R2 →R3 cho bởi

X(u, v) = (asinucosv, bsinusinv, ccosu), a, b, c 6= 0.

trong đó0 < u < π, 0 < v < 2π,là một tham số hóa bởi ellipsoid: x

13 Tìm một tham số hóa cho bởi hypebol 2 tầng

(x, y, z) ∈R3 : −x2− y2+ z2= 1 .

14 Một nửa đoạn [0, ∞) vuông góc tới một đường E và quay quanh E từ vị tríban đầu trong khi gốc O di chuyển dọc theo E Sự chuyển động là như vậy khi[0, ∞) đã xoay bằng một góc θ, gốc là ở khoảng cách d = sin2θ

2 từ đó là vị tríban đầu trên E Thử lại rằng bằng cách loại bỏ các đường E từ ảnh đường xoayquanh Ta có được một mặt chính quy Nếu chuyển động sao cho d = sinθ

2 Tacần loại bỏ những gì để có một mặt chính quy?

15 Cho hai điểm p(t) và q(t) chuyển động với tốc độ như nhau, p bắt đầu từ(0, 0, 0) và chuyển động dọc theo trục z và q bắt đầu tại (a, 0, 0), a 6= 0 và chuyểnđộng song song với trục y Hãy chỉ ra rằng đường qua hệ p(t) và q(t) miêu tảmột tập trong R3 cho bởi y(x − a) + zx = 0 Nó có là một mặt chính quy không?

16 Một cách khác để xác định các tham số hoá và các lân cận toạ độ của mặtcầuS2, được cho bởi x2+ y2+ (z − 1)2 = 1, là xét phép chiếu nổiπ : S2 {N } →R2

biến điểmp = (x, y, z) của mặt cầu S2 trừ đi cực bắcN = (0, 0, 2) thành giao củamặt phẳng xy với đường thẳng nối N với p (Hình 2.12) Đặt (u, v) = π(x, y, z)với (x, y, z) ∈ S2\ {N } và (u, v) thuộc mặt phẳng xy

b) Chứng minh rằng có thể dùng phép chiếu nổi để phủ mặt cầu với chỉ hai lâncận toạ độ.

17 Xác định đường cong chính quy tương tự như mặt chính quy Chứng minhrằng

a) Nghịch ảnh của một giá trị chính quy của một hàm khả vi f : U ⊂R2→R làmột mặt cong chính quy Cho ví dụ về một đường cong mà không liên thông.b) Nghịch ảnh của một giá trị chính quy của một ánh xạ khả viF : U ⊂ R3→R2

là một đường cong chính quy trong R3 Hãy xác định một đường cong trong

R3 như sự giao nhau của hai mặt

c) Tập C =(x, y) ∈R3, x2= y có là một đường cong chính quy không?

18 Giả sử rằng f (x, y, z) = u = const, g(x, y, z) = v = const, h(x, y, z) = w = const

mô tả ba họ của mặt chính quy và giả thiết rằng tại (x0, y0, z0) các Jacobian

∂(f, g, h)

∂(x, y, z) 6= 0

Chứng minh rằng trong một lân cận của (x0, y0, z0), ba họ sẽ được mô tả bằngmột ánh xạ F (u, r, w) = (x, y, z) là tập mở của R3 vào trong R3 trong đó mộttham số hóa địa phương cho mặt của họ f (x, y, z) = u, cho ví dụ, đạt được bằngcách đặt u = const trong ánh xạ đó

Xác định F trong các trường hợp sau mà họ của các mặt là

f (x, y, z) = x2+ y2+ z2 = u = const (mặt cầu với tâm (0, 0, 0));

a) C có phải là đường cong chính quy không?

b) Cho một đường trực giao với mặt phẳng R2 chạy qua C để nó có đạo hàmmột mặt trục S Hỏi S có là mặt chính quy hay không?

Định nghĩa của mặt chính qui cho thấy với mọi p ∈ S đều thuộc vào một lâncận toạ độ (địa phương) nào đó của mặt Điều này cho phép ta sử dụng hệ tọa

độ địa phương để mô tả một số tính chất địa phương của mặt trong lân cận củađiểm p

Ví dụ: Cho một hàm f : S →R là khả vi tại một mặt chính quy S Chọn mộtlân cận toạ độ của p với các tọa độ u, v và nói rằng f là khả vi tại p nếu biểuthức trong các tọa độ u và v nhận các đạo hàm riêng liên tục mọi cấp

Tuy nhiên, cùng một điểm thuộc S có thể thuộc vào lân cận toạ độ khác nhau(trong phạm vi của Ví dụ 1 phần 2.2 bất kì điểm nằm trong góc phần tám thứnhất thuộc về ba trong số những lân cận toạ độ đã cho) Hơn nữa những hệ tọa

độ khác có thể chọn một lân cận của p (các điểm trong phạm vi ở trên đã đượctham số hóa bởi hệ tọa độ địa phương hoặc phép chiếu nổi Bài tập 16 phần 2.2),

để các định nghĩa trên có nghĩa, nó không phụ thuộc vào hệ tọa độ đã chọn Nóicách khác, nó cho thấy rằng khip thuộc về hai lân cận toạ độ với tham số (u, v)

và (ξ, η) nó có thể đi qua một trong số những cặp tọa độ này đến những tọa độkhác bằng phép trung gian biến đổi khả vi

Mệnh đề dưới đây sẽ cho thấy rằng điều này là đúng

Mệnh đề 1 Cho S ⊂ R3 là một mặt chính quy, p ∈ S, X : U ⊂ R2 → S và

Y : V ⊂R2→ S là hai tham số hóa địa phương của S sao cho p ∈ X(U ) ∩ Y (V ) =

W Khi đó phép đổi tọa độ h = X−1◦ Y : Y−1(W ) → X−1(W ) (Hình 2.14) là viphôi nghĩa là h là khả vi và hàm ngược h−1 cũng khả vi

Nói cách khác, nếu X và Y được cho bởi

Hình 2.14:

X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ U ;

Y (ξ, η) = (x(ξ, η), y(ξ, η), z(ξ, η)), (ξ, η) ∈ V ;sau phép đổi hệ tọa độ h cho bởi

u = u(ξ, η), v = v(ξ, η), (ξ, η) ∈ Y−1(W );

với hàm số u và v có đạo hàm riêng liên tục tại mọi cấp và ánh xạ h có thểnghịch đảo

ξ = ξ(u, v), η = η(u, v), (u, v) ∈ X−1(W ).

trong đó hàm số ξ và η cũng có đạo hàm riêng mọi cấp

Vì ∂(u, v)

∂(ξ, η).

∂(ξ, η

∂(u, v) = 1.Điều này cho thấy rằng định thức Jacobian của h và h−1 đều khác 0 mọi nơi.Chứng minh h = X−1◦ Y là một đồng phôi do X và Y là các đồng phôi Lấy

r ∈ Y−1(W ) và đặt q = h(v) DoX(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) là một tham sốhóa của mặt chính qui, ta có thể giả sử

Có thể hình dung F là ánh xạ từ hình trụ C xác định trên U vào hình trụ xácđịnh trênX(U ) biến thiết diện của C với cao đột thành mặt X(u, v) + te3 với e3

là vectơ đơn vị định hướng của trục Oz (Hình 214)

Ta có định thức của ma trận Jacobian { F−1(q)}

... giá trị quy f Từ suy mặt xuyến T mặt chínhquy

Mệnh đề nói đồ thị hàm khả vi mặt quy Mệnh

đề sau cho ta khẳng định ngược lại, nghĩa là, mặt quy cóđịa... data-page="30">

Hình 2.16:

chính quy giống vai trị khái niệm phép đẳng cấu tuyến tính cáckhông gian vectơ khái niệm đồng vôi thức hình học Euclid Nóicách khác theo quan niệm vi phân, hai mặt. .. xácđịnh hàm khả vi mặt (một khái niệm quan trọng) ta không thểđặt điều kiện vào định nghĩa mặt quy (Nhận xét phần 2.2)

Từ định nghĩa vi phân dễ dàng mở rộng ánh xạ hai mặt, mộtánh xạ liên